revista matematica-volumen 76 nx
Post on 06-Apr-2018
216 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
1/180
Sociedad CanariaIsaac Newton de Profesores de Matemticas
NNMMEE RR OO SSRevista de Didctica de las Matemticas
MMaarrzzoo ddee 22001111 VVoolluummeenn 7766
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
2/180
http://www.sinewton.org/numeros
Volumen 76, marzo de 2011, pginas 34ISSN: 1887-1984
Sociedad CanariaIsaac Newtonde Profesores de Matemticas
ndice
Editorial
Alicia Bruno y Antonio Martinn 5
Apertura
Martin Gardner, inspirador de la Expo 20007-18
Luis Balbuena Castellano
Monogrfico: Martin Gardner
Magia y Matemticas de la Mano de Martin
19-29Pedro Alegra Ezquerra
MatemGicas31-46
Carlos Vinuesa del Ro
Artculos
La fascinante matemtica de los nudos 47-54Rafael Andrs Alema Berenguer y Estrella Jornet Gil
Las Tablas y Grficos Estadsticos como Objetos Culturales55-67
Pedro Arteaga, Carmen Batanero, Gustavo Caadas y J. Miguel Contreras
Las actividades matemticas y su valor competencial. Un instrumento para su
deteccin 69-82Llus Mora Caellas y Nria Rosich
Dificultades en la interpretacin del concepto de variable en profesores de
matemticas de secundaria: un anlisis mediante el modelo 3UV 83-103Jos Antonio Jurez Lpez
Matemticos y Matemticas solidarios105-118
Inmaculada Gayte Delgado y Juan Nez Valds
La presencia matemtica en la isla de La Palma119-134
Jos Antonio Martn Corujo
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
3/180
ndice (continuacin)
4 NNMMEERROOSSVol. 76 marzo de 2011
Secciones
Experiencias de aula
Coloreando la geografa desde el plano al toroide135-148
Teresa Braicovich y Raquel Cognigni
Problemas
A propsito de Gardner y sus problemas, algunas soluciones y ms de abuelos149-156
Jos Antonio Ruprez Padrn y Manuel Garca Dniz
En la red
Los clickers en el aula de matemticas157-166
Isabel Marrero
Juegos
La Matemagia en Martin Gardner. (Introduccin al uso de la matemagia en la
escuela). Graduacin de la dificultad en el Cubo SOMA (II) 167-175Jos Antonio Ruprez Padrn y Manuel Garca Dniz
Leer Matemticas
Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemticas. Martin Gardner177-180
Resea: Jos M. Mndez Prez
Rosquillas anudadas. Martin Gardner181-185
Resea: Jos Rodrguez Expsito
Informaciones 187-188
Normas para los autores 189
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
4/180
http://www.sinewton.org/numeros
Volumen 76, marzo de 2011, pgina 5
ISSN: 1887-1984
Sociedad CanariaIsaac Newton
de Profesores de Matemticas
E
D
I
T
O
R
I
A
L
Editorial
Alicia Bruno y Antonio Martinn, Directores
Dedicamos este volumen a la figura de Martin Gardner, que falleci el 22 de mayo de
2010. Se trata de una figura polifactica, que destac como divulgador de las Matemticas,
contribuy a difundir los juegos matemticos, fue un especialista en trucos mgicos,
especialmente con fundamento matemtico, adopt una actitud beligerante frente a la
pseudociencia y tambin dej una obra filosfica.
La apertura de este volumen ha sido realizada por Luis Balbuena Castellano, quien se
centra en la faceta de Martn Gardner como difusor de juegos y entretenimientos matemticos.
Luis Balbuena nos muestra cmo esa difusin ha llegado a muchos rincones del mundo.
Prueba de ello, es la exposicin itineranteMatemticas 2000, realizada en Canarias el ao
2000 (Ao Mundial de la Matemticas), en la que se recogen muchos de los juegos planteadospor Martin Gardner.
La aficin a la magia matemtica de Martn Gardner est representada en diferentes
artculos de este volumen. Pedro Alegra Ezquerra realiza un recorrido por algunaspublicaciones de Martin Gardner dedicadas a laMatemagia y Carlos Vinuesa del Ro presenta
cmo algunos principios matemticos pueden emplearse para hacer juegos de magia. Por su
parte, Jos Antonio Ruprez Padrn y Manuel Garca Dniz, en las secciones deJuegos y
Problemas utilizan algunos de los planteados por Martin Gardner en sus publicaciones, entre
los que destacan los basados en trucos matemgicos.
La seccinLeer Matemtica, contribuye a este monogrfico con la resea de dos libros
de Martin Gardner: Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemticas (realizada por
Jos Mndez Prez) yRosquillas anudadas (realizada por Jos Rodrguez Expsito).
El equipo editorial de Nmeros agradece a todos los autores el esfuerzo realizado para
llevar a cabo este reconocimiento a un magnifico divulgador cientfico, como fue Martin
Gardner.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
5/180
http://www.sinewton.org/numerosVolumen 76, marzo de 2011, pginas 718
ISSN: 1887-1984
Sociedad CanariaIsaac Newton
de Profesores de Matemticas
A
P
E
R
T
U
R
A
Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000
Luis Balbuena Castellano
Artculo solicitado al autor por la revista
Resumen La matemtica recreativa estar siempre en deuda con Martin Gardner porque a l sedebe, en gran parte, la difusin de muchos juegos y otros entretenimientos que, en casitodos los casos haban sido inventados por otros. Pero no solo los difundi sino queprofundiz en ellos y ampli sus posibilidades hasta lmites insospechados. Muchas deesas aportaciones, pasaron del papel a materiales manipulables para formar parte de laexposicin itinerante Expo 2000.
Palabras clave Matemtica recreativa, exposicin matemtica, juegos.
Abstract Recreational Mathematics will always be indebted to Martin Gardner. In fact, in a largepart, the spread of many games and other entertainment that in almost all cases had beeninvented by other is due to him. No just spread them, but deepened them and extended
them and their possibilities to unforeseen limits. Many of his contributions went frompaper to manipulable material and are part of our traveling exhibition Expo.
Keywords Recreational Mathematics, Mathematical Exhibition, Games.
1. Introduccin
La moraleja es: no hay razn para no disfrutar con los divertimentosmatemticos si se tiene la mente y el temperamento necesarios, pero no se
debe rebasar la medida. Permitamos que nos sirvan ocasionalmente dedescanso. Dejmosles despertar y estimar nuestro inters por la ciencia y porlas matemticas. Pero mantengmoslos firmemente bajo control.
Martin Gardner
Martin Gardner, norteamericano nacido en Tulsa (estado de Oklahoma), en 1914, ha dejado unaprofunda huella tras su larga vida pues muri en Norma (tambin en Oklahoma) en 2010. Tras susestudios de filosofa, decide dedicarse al periodismo con tan buena suerte para los amantes de lasmatemticas y, en particular, de la matemtica recreativa, que a partir del nmero de diciembre de1956 empez a publicar en la prestigiosa revista Scientific American las pginas no muchas en cada
nmero dedicadas a Mathematical Games (Juegos Matemticos). Y as estuvo mes tras mes hastaque lo dej en mayo de 1986. Su trabajo estaba hacia el final de la revista y por eso, sus seguidores,entre los que me cuento, empezbamos a mirar esta revista de atrs hacia delante en una vidabsqueda de su seccin. Desconozco el dato de si fall alguna vez pero si no lo hizo fueron nadamenos que 354 trabajos los que lleg a publicar. Los artculos, con buen criterio, empezaron aaparecer juntos en sucesivas publicaciones que forman parte fundamental de su legado. S que trabajtambin en otros aspectos de la ciencia, que fue un enemigo visceral de las pseudociencias hasta el
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
6/180
Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000Luis Balbuena Castellano
8 NMEROSVol. 76 marzo de 2011
A
P
E
R
T
U
R
A
punto que otro gran divulgador como fue Isaac Asimov, le lleg a calificar de indomable. Los librostienen una ventaja sobre los artculos de la revista y es que en ellos se extiende mucho ms de lo que,seguramente, le permitan las pocas pginas de que dispona en la revista. Por eso deben ser de
obligada lectura y tenencia para los aficionados a la matemtica recreativa.
Si se busca informacin en internet sobre nuestro personaje, se encuentran numerosasaportaciones sobre su vida y su obra. Por eso me ha resultado complicado orientar mi contribucin alnmero especial que le quiere dedicar la revista NMEROS.
2. La Expo 2000
El 2000, como se recordar, fue el Ao Mundial de las Matemticas. Despus de l se han
celebrado, el de la Fsica en 2005 y el de la Qumica en 2011 En Canarias se cre un Comit, paraque esa decisin de la UNESCO no pasara desapercibida, en el que participaron las instituciones delArchipilago que tienen que ver con esta ciencia y otras que colaboraron puntualmente aunque no sedediquen a las matemticas de manera estricta. All estuvo la Sociedad Canaria Isaac Newton deProfesorado de Matemticas, la Facultad de Matemticas de la Universidad de La Laguna, los museosElder de Las Palmas de Gran Canaria y de la Ciencia y el Cosmos de La Laguna, y la FundacinCanaria Orotava de Historia de la Ciencia. Hubo un despliegue de actividades que transmitieron a lasociedad los valores de esta ciencia y su importancia a lo largo de la historia. Por ejemplo, cadasemana durante todo el ao, se publicaron suplementos dedicados a la divulgacin matemtica en dosperidicos,El Da, de Santa Cruz de Tenerife, yLaProvincia, de Las Palmas de Gran Canaria. Todosestos trabajos fueron recogidos en una publicacin que edit la Consejera de Educacin del Gobierno
de Canarias (Figura 1).
Figura 1. Portada del libro La divulgacin de las matemticas en la prensa.
Entre las iniciativas de ese ao est la que llamamos EXPO MATEMTICAS 2000. Se trata deuna exposicin que naci con vocacin de ser itinerante y as permanece desde entonces. Fue posiblegracias a la colaboracin de la Consejera de Educacin del Gobierno de Canaria que concedi unacomisin de servicios a la Profesora Dolores de la Coba para dedicarse a ese cometido (Figura 2,Figura 3). Fruto de su trabajo es esa exposicin de la que se hicieron dos copias: una qued en
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
7/180
Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000Luis Balbuena Castellano
9Sociedad CanariaIsaac Newtonde Profesores de Matemticas Vol. 76 marzo de 2011
A
P
E
R
T
U
R
A
Canarias recorriendo todas las islas y la otra viaj a la Pennsula movindose de un lado para otro:Galicia, Andaluca, Zamora, Valladolid, Burgos, Villanova y la Geltr, La Rioja, San Fernando deHenares, Feria de la ciencia de Madrid, etc.
La exposicin est formada por un buen nmero de actividades que se han ido renovando yampliando con el paso de los aos as como un conjunto de cuarenta carteles dedicados a variadostemas de divulgacin matemtica.
3. La Expo 2000 y Martin Gardner
Pues bien, algunas de las actividades que se ofrecen en las mesas estn inspiradas en trabajos deMartin Gardner. En el anexo se incluye uno de los inventarios que se ha hecho de la exposicin para
que pueda comprobarse la cantidad y variedad de actividades que se proponen. Todos los materialescon que estn hechos los distintos elementos han superado la prueba del uso continuado y lamanipulacin que han realizado con ellos miles de estudiantes. Adems se da la favorablecircunstancia de que es muy raro que sea sustrada alguna pieza de las muchas que existen en losdistintos juegos y puzzles.
Figura 2. Trptico anunciador de la exposicin Matemticas 2000.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
8/180
Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000Luis Balbuena Castellano
10 NMEROSVol. 76 marzo de 2011
A
P
E
R
T
U
R
A
Figura 3. Exposicin Matemticas 2000.
3.1. Cuadrado mgico de cartas
En el libro Nuevos pasatiempos matemticos de Alianza Editorial, presenta este juego quehemos llamado cuadrado mgico con cartas si bien en el libro aparece con las cartas de la barajafrancesa (picas, trboles, etc.). Consiste en colocar esas 16 cartas de forma tal que no se repitan nipalos ni figuras en cada fila o columna. Siempre indicamos que esta es como una primera fase. Lasegunda es conseguir que eso tampoco ocurra en las diagonales. Seala Gardner que en un libro de1624 ya se indicaba que posee 72 soluciones fundamentales diferentes sin contar las que se deducen delas anteriores por rotaciones y simetras. Sin embargo, cuando Gardner trat este tema en la revista ydio ese nmero de soluciones, le escribieron para demostrarle que realmente el problema tiene 144soluciones.
Figura 4. Solucin ptima. No hay repeticin en filas, columnas, diagonales ni en las cuatro esquinas.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
9/180
Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000Luis Balbuena Castellano
11Sociedad CanariaIsaac Newtonde Profesores de Matemticas Vol. 76 marzo de 2011
A
P
E
R
T
U
R
A
3.2. Pentamins y sus posibilidades
En el mismo libro hay un captulo dedicado a Polimins y rectngulos sin lnea de fractura.Inserta en l, un artculo de Golomb dedicado a los pentamins, es decir, a las piezas formadas porcinco cuadrados. Como es sabido, solo hay doce formas de colocar cinco cuadrados de forma quetengan un lado comn. Son los que estn en la figura. Por tanto, entre todas las piezas hay un total de60 cuadrados. Uno de los entretenimientos ms ingeniosos es colocar esos 60 cuadrados formandorectngulos de distintas dimensiones: 3x20; 4x15; 5x12 y otro de 6x10. Pero adems de esasconfiguraciones existen otras que tienen formas de camello, de torre, etc. cuya construccin llevatambin un buen tiempo el conseguirla. Recientemente ha aparecido en el mercado un juego conocidocomo Katamino que utiliza estas piezas para ir superando pruebas cuyo grado de dificultad crecegradualmente. Hay, en fin, un reto que se plantea con el tablero de ajedrez. Sabemos que ste tiene 64cuadros y que los cuadrados de las piezas de los pentamins son solo 60. Pues bien, el juego consiste
en colocar las doce piezas en los 60 cuadros que quedan en el tablero cuando se eliminan los que sesealan en la figura 6.
Figura 5. Los doce pentamins.
Figura 6. Tablero juego
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
10/180
Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000Luis Balbuena Castellano
12 NMEROSVol. 76 marzo de 2011
A
P
E
R
T
U
R
A
3.3. Tetraexos
En Festival mgico-matemtico (Alianza Editorial n 1023), dedica unas pginas a lo que llamatetraexos. Se trata de las siete piezas que se pueden conseguir uniendo por un lado cuatro hexgonos.Que considera un nmero prudente de piezas para utilizarlas como puzles. Si en lugar de cuatrohexgonos se unen cinco entonces se tienen 22 pentaexos. Son muchos aunque es un buenentretenimiento el conseguir dibujarlas todas o al menos llegar al mayor nmero de ellas. Por eso estambin una buena prueba para un torneo de juegos. En la EXPO se tiene un juego de estas piezashechos con tuercas que tienen la forma hexagonal.
Sabemos que el hexgono es uno de los tres polgonos regulares (el tringulo equiltero y elcuadrado son los otros dos) con los que se puede teselar una superficie plana. Pues bien, en el mismolibro aparecen unas figuras que deben ser conseguidas con esas piezas pero con un interesante aadido
y es que, segn indica Gardner, una de ellas no es posible obtenerla dejando al que lo intente que laconsiga descubrir. Por si lo intenta le dir que es el tringulo.
En este libro dedica tambin un espacio a los pentamins proponiendo ms actividades con esasdoce figuras.
Figura 7. Una de estas figuras no se puede conseguir con los tetraexos.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
11/180
Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000Luis Balbuena Castellano
13Sociedad CanariaIsaac Newtonde Profesores de Matemticas Vol. 76 marzo de 2011
A
P
E
R
T
U
R
A
3.4. Pentalfa
La famosa estrella de Salomn, tambin conocida como estrella pitagrica, es la base del juegoque figura en la EXPO con el nombre de pentalfa. Se dispone de nueve fichas que han de sercolocadas en nueve de los diez agujeros que aparecen en la estrella. Pero no se colocan de cualquiermanera, como es obvio sino que se ha de seguir la siguiente pauta. Se parte de un lugar que est sinficha. Ese sitio es el uno, se dice dos y se pasa a otro punto que puede estar ocupado o libre y acontinuacin se dice tres y se pasa a otro hueco que s debe estar libre para depositar all la ficha. Unprotocolo bien sencillo. Por supuesto los tres puntos que se tocan han de estar en lnea recta. Lo bonitode este juego es que tiene una estrategia ganadora que no resulta fcil de conseguir. Gardner dedicartculos a esta interesante estrella que, como es sabido, est repleta de proporciones ureas entre ladosy diagonales. En el corto de dibujos animados Donald en el pas de las matemticas se pone demanifiesto esa propiedad de una forma atractiva y clara.
Figura 8. Tablero del pentalfa.
3.5. La Torre de Hanoi
En el libro Diversiones matemticas (Selector ediciones, Mxico), dedica un espacio a estejuego que, como l mismo indica, fue inventado por Edouard Lucas. En la exposicin se tienen hastacinco discos. Se aconseja a los que lo intentan resolver que empiecen con tres. Que cuenten los pasosque dan para trasladar esos tres discos de la clavija de un extremo al otro y, generalmente, lo hacen en
ms de los 7 que representan el menor nmero de movimientos. Una vez que lo consiguen, que pasena los cuatro discos y despus a los cinco. Cuando la Facultad de Matemticas de la Universidad de LaLaguna celebr sus 25 aos, se public un libro conmemorativo en el que se insert y artculo mosobre este juego. En l presento una serie de posibilidades para la exploracin didctica del juego.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
12/180
Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000Luis Balbuena Castellano
14 NMEROSVol. 76 marzo de 2011
A
P
E
R
T
U
R
A
Figura 9. Tablero de juego de las Torres de Hanoi.
3.6. Hex
En el mismo libro citado en el prrafo anterior, Gardner habla del juego de hex. El que sepresenta en la expo 2000 est hecho con tuercas hexagonales pegadas y acopladas en un marco demadera. Pesa pero es fuerte. Es el que aparece en la figura 10, en la esquina inferior izquierda de lamesa. Las piezas para insertar en los hexgonos son de plstico. En la figura 11, imagen que aparece
en el libro, se ve el camino de negro a negro que se ha conseguido con las fichas de ese color. Claroque el que juega con las blancas ha de tratar de evitar que esto lo consiga su contrincante. DiceGardner que sus reglas son simples pero que, no obstante, es hex es un juego de una sorprendentesutileza matemtica. Indica que en 1948, John F. Nash, entonces un estudiante graduado enmatemticas en la Universidad de Princeton, reinvent el juego de forma independiente.
Figura 10. El Hex y otros juegos.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
13/180
Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000Luis Balbuena Castellano
15Sociedad CanariaIsaac Newtonde Profesores de Matemticas Vol. 76 marzo de 2011
A
P
E
R
T
U
R
A
Figura 11. Tablero de juego del Hex.
4. Conclusiones
He querido dejar de manifiesto que, adems de lo entretenido que son los libros de Martin
Gardner, representan una fuente de inspiracin para proponer actividades a los estudiantes, desde unasque son muy sencillas a otras realmente complicadas y propias de especialistas. Los libros de MartinGardner que ofrezco en la lista estn todos en castellano y, aunque lo he intentado, no s si esexhaustiva.
Acertijos divertidos y sorprendentes. RBA LIBROS. 2009Acertijos de Sam Lloyd. Zugarto Ediciones. 1992Aj! Paradojas que hacen pensar. LaborAj! Inspiracin. LaborCarnaval matemtico. Alianza Editorial. 1995Circo matemtico. Alianza (937)Comunicacin extraterrestre y otros pasatiempos matemticos
Damas, parbolas y ms mistificaciones matemticas. GedisaDiversiones matemticas. SelectorEl ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemticos. Alianza Editorial (1991)El idioma de los espas. ZugartoEl universo ambidiestro (I). RBA editoresFestival mgico-matemtico. Alianza Editor
Huevos, nudos y otras mistificaciones matemticas. GedisaIzquierda y derecha en el cosmos. Salvat Editores. 1973Juegos y enigmas de otros mundos. Gedisa
Juegos, los mgicos nmeros del Dr. Matrix. Editorial Gedisa. 1987La nueva era. Alianza (1463)Los acertijos de Sam Lloyd. GranicaMagia inteligente. GranicaMquinas y diagramas lgicos. AlianzaMatemtica para divertirse. GranicaMental Games (en espaol). SelectorMiscelanea matemtica. Salvat
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
14/180
Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000Luis Balbuena Castellano
16 NMEROSVol. 76 marzo de 2011
A
P
E
R
T
U
R
A
Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas. LaborNuevos acertijos de Sam Lloyd. Zugarto EdicionesNuevos pasatiempos matemticos. Alianza (391)Nuevos rompecabezas mentales. SelectorOrden y sorpresa. AlianzaPasatiempos matemticos. Alianza
Rompecabezas mentales. SelectorRosquillas anudadas y otras amenidades matemticas. LaborRuedas, vida y otras diversiones matemticas. LaborViajes por el tiempo y otras perplejidades matemticas. Labor
Luis Balbuena Castellano, catedrtico de Enseanza Secundaria, fundador de la Sociedad Canaria IsaacNewton de Profesores de Matemticas, impulsor de la Federacin Espaola de Sociedades de Profesoresde Matemticas y de la Federacin Iberoamericana de Sociedades de Educacin Matemticas de las queha sido su primer Secretario General.Autor de numerosos trabajos sobre Educacin as como de divulgacin de las matemticas en prensa,radio y televisin y libros como Gua Matemtica de La Laguna, Palillos aceitunas y refrescosmatemticos, Cuentos del Cero,El Quijote y las matemticas, etc.En la actualidad reparte su trabajo entre el Consejo Escolar del Estado, del que es miembro en el grupo depersonalidades de reconocido prestigio, y sus numerosas actividades en Iberoamrica en pro de la mejorade las condiciones educativas en general y las matemticas en particular, dirigiendo cursos deactualizacin cientfica y didctica para profesores de Paraguay, Chile, Mxico, etc.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
15/180
Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000Luis Balbuena Castellano
17Sociedad CanariaIsaac Newton
de Profesores de Matemticas Vol. 76 marzo de 2011
A
P
E
R
T
U
R
A
AnexoRelacin de materiales de los que constan las mesas de la EXPO MATEMTICAS 2000
Juego MaterialesEl acertijo del mandarn Tablero de madera con 25 huecos y 24 fichas cuadradas y numeradas
Anamorfosis cilndrica Un cilindro de metal pulido a espejo. Plantillas con dibujos anamrficos.
Anamorfosis cnica Base de madera con cono pulido a espejo en el centro. Plantillas con dibujos.
Aparato de Galton 1 prueba Estructura con soporte +canicas
Galton n pruebas (curva normal) Estructura de madera y cristal con 1000 bolitas de acero + atril para inclinarlo
Bjense de la Tierra Tablero cuadrado con disco giratorio con figuras de chinos
Cuatro cuatros Calculadora con slo la tecla del cuatro y las operaciones.
Camino al infinitoCaja de madera con tapa con dos laterales de cristal y dos espejos paralelos enel interior. Plantilla plastificada pegada en el frente.
Cada a lo largo de cuerdas Tablero vertical circular con cuerdas variables + 2 canicas.
El movimiento y la curvacicloide
Una rampa con plano inclinado, otra con superficie siguiendo una curvacicloide y tablillas separadoras. 2 canicas.
Dibujo de la curva cicloideBase de madera recortada siguiendo dos curvas de cicloide. Disco con punta delpiz. Soporte para papel. Lpiz en el extremo de un cordn sujeto al tablero.
Circuito Hamiltoniano33 cubos transparentes con tubo azul interior uniendo caras. 26 con tramo curvoy 7 con tramo recto
Crculos de coloresBase de madera + 16 piezas cuadradas con cuartos de crculos pintados decolores en dos de sus vrtices
Colmena coloreada 7 hexgonos de madera con crculos de colores en los lados
Cruz espacialCuatro piezas iguales, cada una de ellas est formada por 8 cubitos pegados (4claros y 4 oscuros)
Cuadrado mgico de colores Tablero de madera dividido en 4x4 cuadraditos. 16 botones de cuatro colores
Cubo de colores 27 cubos de madera con crculos de colores en las caras
Cubo diablico Cubo de madera cortado en 6 piezas de 2,3,4,5,6 y 7 cubitos respectivamente.
Cubo Soma Cubo cortado en 7 piezas de diversas formas pintadas en colores distintos.
Cubos locos Cuatro cubos con puntos de colores en sus caras en caja de madera con orificios
a
2
-b
2
=(a+b)(a-b) Puzzle de madera de 3 piezas (2 amarillas iguales y una negra)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
Cubo dividido en 8 piezas (1 cubo azul, 1 cubo verde, 3 prismas cuadradosnaranjas y 3 prismas rectangulares amarillos)
33+43+53=63 Puzzle formado por 216 cubitos de madera. Estn pegados formando 8 piezas
Cmo vencer a la gravedad? Base de madera con plano inclinado + doble cono
Domin de celosas y calados 28 piezas de domino con fotos de mdulos de calados y otro juego con celosas.
Domino transparente Tablero con nmeros grabados en ambas caras y juego de domino transparente
Estrella mgica Tablero con estrella pintada y perforaciones circulares. 12 fichas numeradas.
Estructuro 42 cubos pintados en 3 colores. Carpeta con problemas.
Superficie reglada: Hiperboloide Dos discos de madera sujetos por barra metlica central y elsticos.
Igual rea, distinta forma Dos puzzles de colores a dos caras. 4 piezas roja-verde y 5 piezas roja-amarilla.
Ilusin ptica: Si me colocas a laderecha encojo
Dos lminas iguales con forma de c
Juega con cuadrados 10 piezas geomtricas de plstico de colores. 5 amarillas y 5 verdes
Juego de los vasos 7 vasos de plstico azules
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
16/180
Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000Luis Balbuena Castellano
18 NMEROSVol. 76 marzo de 2011
A
P
E
R
T
U
R
A
Juego MaterialesEl Juego del Hex Tablero de madera con tuercas y 100 fichas (50 negras y 50 blancas)
Ley de Bode Barra de madera con cinta mtrica en placa metlica. 8 discos imantados.Mosaicos peridicos 41 piezas de plstico iguales (17 rojas y 24 negras)
Mosaicos regulares Polgonos regulares de cartn con dibujos coloreados de diversas formas.
Rompecabezas africano Base de madera con agujero, cuerda y una anilla
Tringulos anudados Tres tringulos de madera con agujeros y cuerda verde
Rompecabezas Victoria Tres piezas de madera (una circular y dos alargadas) y cordn.
El paseo de la mosca caprichosa Base de madera con crculos con forma de euro, tachuelas y elstico.
El Pentalfa Tablero con estrella pentagonal y 9 fichas de madera rojas (fichas de repuesto)
Pentaminos 12 piezas distintas de 5 cubitos pegados. 2 plantillas con problemas.
Pirmide de bolas 7 piezas formadas por bolitas de madera pegadas. Base triangular de madera
Pirmide de Piet Hein 6 piezas formadas por bolitas de madera pegadas. Base triangular de madera
Pompas de jabnDos placas dobles con tirador de metacrilato transparente unidas por tornillos.Estructuras geomtricas metlicas (cubo, tetraedro, crculo cuadrado,...).
Puentes de Konigsberg Tablero con maqueta de Konigsberg, islas, ro y puentes de la ciudad.
Rara partida de dominTablero negro de madera con 7 fichas pegadas y 7 dibujadas. Caja con el restode las fichas del domino
Real ms simtricaSoporte de madera para espejo de dos caras. Cuatro piezas geomtricas iguales,
de plstico cubiertos de vinilo en dos colores. Plantillas con figuras.Reflecto Reflecto (espejo) y piezas de fieltro de colores
Liberar al prisioneroCaja de madera con tapa conteniendo piezas rectangulares y cuadradas, una deellas con el dibujo de un rostro.
La termina caprichosa 27 cubos unidos por un elstico.
Jugando con las simetras Espejo, plantilla con dibujo y plantillas con partes del dibujo y su simtrico.
Libro de espejos Libro de espejos, plantilla con dibujos y piezas poligonales de plstico.
Solitario de trbol Tablero de madera con dibujo de trbol y perforaciones circulares. 15 fichas.
El Solitario ingls Tablero circular con 33 hendiduras, canicas. Plantillas con problemas sencillos.
El Solitario pirmide Tablero de madera con agujeros y 21 fichas de madera verdes.
El Solitario triangular Tablero de madera con orificios cilndricos, 25 fichas de plstico rosa.
Superficie reglada hilos-plomos Caja con tapa de madera y elsticos con pesas
Tangram7 piezas geomtricas de plstico negro (5 tringulos, un cuadrado y unparalelogramo). Fichas con dibujos de figuras variadas para construir.
Pitgoras Tablero de madera con dibujo troquelado y ocho piezas de maderas.
Pitgoras 3 cuadrados blancos y 16 tringulos rectngulos azules de plstico
Tetraexos Dos juegos de 7 piezas, cada una de ellas con cuatro tuercas soldadas
Las Torres de Brahma Base con tres pivotes 13 anillas rojas, 8 negras y 6 blancas
Las Torres de Hanoi Base de madera con tres pivotes y 7 discos de madera de distinto tamao
Slo una vez por cada lado Tablero con tres circuitos, tachuelas en los vrtices y elstico para el camino.
El vigilante desquiciado Plano de dos casas realizado en madera, tornillos y elstico.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
17/180
Sociedad CanariaIsaac Newton
de Profesores de Matemticas
http://www.sinewton.org/numeros
Volumen 76, marzo de 2011, pginas 1929
ISSN: 1887-1984M
O
N
O
G
R
F
I
C
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
DN
E
R
Magia y Matemticas de la Mano de Martin
Pedro Alegra Ezquerra (Universidad del Pas Vasco)
Artculo solicitado al autor por la revista
Resumen El pasado mes de mayo falleci, a la edad de 95 aos, Martin Gardner, una personalidadde quien se afirma que ha convertido a miles de matemticos en magos y a miles de
magos en matemticos. Su aficin por esta ciencia y aquel arte, puesta de manifiesto en su
incansable produccin escrita, ha movilizado a los ms diversos colectivos tanto en los
ltimos aos de su vida como despus de ella. La admiracin y el reconocimiento por su
labor didctica le han hecho merecedor de multitud de homenajes, uno de los cuales
pretende ser este trabajo que consiste en un recorrido por algunos juegos de magia
basados en propiedades matemticas que nos ense a lo largo de sus publicaciones.
Palabras clave Martin Gardner, magia, matemticas, didctica.
Abstract Last May died, at the age of 95 years, Martin Gardner, a personality who has turned in
magicians to thousands of mathematicians and in mathematicians to thousands ofmagicians. His passion for this art and that science, as manifested in his many
publications, has mobilized many different groups both in the last years of his life and
after he passed away. The admiration and appreciation for his teaching work has earned
him many honors, one of whom claims to be this work that is a tour through some magic
tricks based on mathematical properties that he teach us throughout their papers .
Keywords Martin Gardner, magic, mathematics, teaching.
1. Introduccin
El elemento ldico que hace recreativa a la matemtica recreativa puede
tomar muchas formas: un problema para resolver, un juego competitivo, un
truco de magia, una paradoja, una falacia o simplemente matemtica con
alguna vuelta curiosa o divertida. Son estos ejemplos de matemtica pura o
aplicada? Es difcil decirlo. En un sentido la matemtica recreativa es
matemtica pura, incontaminada de utilidad. En otro sentido es matemtica
aplicada, ya que responde a la necesidad humana de jugar. Martin Gardner
Qu sentimiento puede padecer un matemtico profesional que ha dedicado su vida a la
investigacin cuando descubre que un aficionado, sin estudios superiores de matemticas, poseenmero de Erds igual a dos1? Qu impresin le asalta a un mago profesional colmado de xitos y
fama internacional cuando se entera que un aficionado, que nunca ha actuado en pblico de manera
profesional, es considerado uno de los cien magos ms influyentes del siglo XX2? Qu clase de
1Se puede comprobar en http://www.ams.org/mathscinet/collaborationDistance.html2Segn la lista publicada por la revista MAGIC Magazine, en junio de 1999.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
18/180
Magia y Matemticas de la Mano de MartinP. Alegra Ezquerra
20
M
O
N
O
G
R
F
I
C
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R
NNMMEERROOSSVol. 76 marzo de 2011
admiracin produce entre sucesivas generaciones de aficionados a la ciencia ficcin, a sus personajes
y mticos autores, descubrir que el mismo personaje que ha alcanzado los xitos anteriores, fue
fundador, junto con Paul Kurtz, Isaac Asimov y Carl Sagan, entre otros, del "Committee for the
Scientific Investigation of Claims of the Paranormal", con el objetivo de promover la investigacincrtica de los fenmenos paranormales, desde un punto de vista cientfico? Qu mritos ha podido
cosechar este mismo personaje para ser conmemorado cada dos aos mediante un congreso en su
homenaje, del que se han celebrado ya nueve ediciones, y que rene a las personalidades ms
representativas del mundo de la matemtica recreativa, de la magia y del coleccionismo de juegos de
ingenio3? Qu tiempo ha quedado libre a este personaje para ejercer su profesin de escritor, para
publicar cerca de cien libros de temtica variada, a lo largo de casi 80 aos de carrera?
Muchas respuestas se han tratado de ofrecer desde su fallecimiento en mayo de 2010, a la edad
de 95 aos, en diferentes medios y desde los foros ms diversos. Si fuera posible extraer en una sola
frase el contenido de los obituarios que se han difundido en la prensa e internet, as como de losreconocimientos y agradecimientos por su labor, podramos decir que la vida de Martin Gardner ha
despertado la admiracin de muy variados colectivos, todos ellos de acuerdo en que su sugerente estilo
a la hora de escribir en diferentes temas ha conseguido atraer la atencin y el inters en aspectos poco
reconocidos y explorados hasta entonces.
Es claro entonces que sera imposible hacer un recuento de sus contribuciones a la ciencia y la
cultura del siglo XX. De modo que hemos elegido en este artculo centrarnos en la parte ms mgica
de las matemticas (o la ms matemtica de la magia): la que l adopt con el nombre de matemagia.
Haremos un recorrido por sus contribuciones en este campo y sealaremos algunas de las que nos han
parecido ms atractivas. Terminaremos con algunos apuntes sobre las ideas que l defenda sobre los
mtodos de enseanza de las matemticas, tanto a nivel elemental como superior.
Son muchos los escritos que nos ha legado, casi un centenar de libros publicados sobre todos los
campos de conocimiento que l cultiv, desde la literatura hasta la filosofa, pasando por la
divulgacin cientfica, la matemtica recreativa y la magia. Debido a la multitud de ediciones,
reimpresiones y traducciones de los libros de Martin Gardner, nos limitaremos en las referencias a la
recopilacin en versin digital de sus contribuciones mensuales a la revista Scientific American, que
abarcaron desde 1956 hasta 1981, un CD-ROM publicado en 2005 por The Mathematical Association
of America bajo el ttuloMartin Gardners Mathematical Games.
2. La coleccin de libros recopilatorios
La magia, junto con el ajedrez, ha sido la aficin ms duradera de las que Gardner cultiv. As
como el ajedrez se convirti en una obsesin que no le permita atender otras ocupaciones, la magia
fue su compaera inseparable hasta sus ltimos tiempos. A los quince aos public su primer juego de
magia en una de las revistas ms importantes de la poca, The Sphinx. Con 80 aos se le puede ver
(figura 1) haciendo flotar una cuchara en el aire con su fuerza mental.
Dicha aficin le llev a conocer personalmente a las mentes ms brillantes del mundo de la
magia. Pero la magia y las matemticas estn ntimamente ligadas: tanto los magos como los
matemticos estn motivados por el sentido de sorpresa que representa el misterio esencial del mundo.
Los magos ponen de manifiesto hechos sorprendentes y los matemticos tratan de explicarlos. Por otra
parte, como opinaba Arthur Clarke, el famoso escritor de ciencia ficcin, cualquier tecnologa
suficientemente avanzada es indistinguible de la magia. El propio Gardner se consideraba en la
interseccin de la magia y las matemticas, afirmando que la magia matemtica tiene su propio
3La pgina oficial de los congresos es http://www.g4g4.com/index.html
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
19/180
Magia y Matemticas de la Mano de MartinP. Alegra Ezquerra
21
MO
N
O
G
R
F
IC
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R
Sociedad CanariaIsaac Newtonde Profesores de Matemticas Vol. 76 marzo de 2011
encanto, pues combina la belleza de las estructuras matemticas con el valor de entretenimiento de
los trucos de magia.
Figura 1. Martin Gardner, demostrando sus dotes de control mental.
Como muestra de su afirmacin, Gardner no perda oportunidad a lo largo de sus publicacionesde utilizar los juegos de magia para ilustrar alguna teora matemtica o para describir algn principio
matemtico curioso. Este es el objetivo de la seccin: recorrer sus artculos de la Scientific American
para encontrar esos juegos mgico-matemticos que han tenido gran influencia en el entorno docente yen el mundo mgico.
No hace falta llegar muy lejos en el recorrido de sus artculos. En (Gardner, 1988a, pp. 15-18)encontramos la primera referencia a los juegos de magia. Bajo el ttulo Magic with a matrix,
describe un original juego de adivinacin de una suma con nmeros elegidos de forma arbitraria porun espectador, como muestra de las propiedades de los cuadrados mgicos, los cuales aparecen a
menudo en sus artculos. El juego es el siguiente:
Observa el cuadrado de la figura adjunta:
19 8 11 25 7
12 1 4 18 0
16 5 8 22 4
21 10 13 27 9
14 3 6 20 2
Selecciona cualquier nmero trazando un crculo alrededor de l. Tacha ahora el resto de los
nmeros que estn en su misma fila y columna. Repite la misma operacin: traza un crculo alrededor
de cualquier nmero no tachado y tacha todos los nmeros que estn en su misma fila y columna. Al
repetir la operacin cinco veces, habr cinco nmeros con un crculo alrededor. Suma todos ellos y
comprueba que el resultado es 57. Cmo puede saberse de antemano?
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
20/180
Magia y Matemticas de la Mano de MartinP. Alegra Ezquerra
22
M
O
N
O
G
R
F
I
C
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R
NNMMEERROOSSVol. 76 marzo de 2011
Para comprender la explicacin, basta observar que el cuadro anterior es simplemente la tabla
de sumar de ciertos nmeros, donde se han ocultado los sumandos. La tabla completa sera as:
+ 12 1 4 18 0
7 19 8 11 25 7
0 12 1 4 18 0
4 16 5 8 22 4
9 21 10 13 27 9
2 14 3 6 20 2
De este modo, el proceso anterior hace que la suma de los nmeros resultantes sea siempre la
suma de los nmeros que encabezan la tabla.
El captulo 10 del mismo libro est dedicado ntegramente a juegos de magia con cartas,
elementos que utilizar regularmente en sus artculos, unas veces para plantear problemas de ingenio y
otras veces para motivar el aprendizaje de propiedades matemticas diversas.
El captulo 4 del segundo libro de la coleccin (Gardner, 1987a, pp. 43-48) est dedicado a
explotar, en clave de juego de magia, algunas propiedades de la raz digital de un nmero en relacin
con la regla de divisibilidad del nueve. Explica otros juegos basados en dicha regla en el noveno libro
de la coleccin (Gardner, 1992a, pp. 257-259). En el captulo 7 del mismo libro (Gardner, 1987a, pp.
78-80) presenta algunos efectos mgicos que ilustran algunas caractersticas curiosas y sorprendentes
de la topologa y la teora de grupos. Otros trucos topolgicos aparecen en el captulo 17 del cuatro
libro de la coleccin (Gardner, 1991, pp. 199-201), en el captulo cinco del octavo libro (Gardner,
1989b, p. 73) y todo el captulo nueve del octavo libro (Gardner, 1989b, pp. 123-136) est dedicado al
estudio de las propiedades, tanto mgicas como matemticas, de la banda de Mbius como una forma
sencilla de presentar las superficies no orientables. La figura, aparentemente imposible de construir sin
traspasar la cuarta dimensin, que llama hypercard (cuya imagen se muestra en la figura 2) tambin
merece un tratamiento como juego de magia en (Gardner, 1992b, pp. 125-128).
Figura 2. Imagen del hypercard.
Ya el primer captulo del tercer libro de la coleccin (Gardner, 1995, pp. 14-19), de ttulo The
binary system, contiene diferentes versiones del famoso juego de adivinacin de un nmero a partir
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
21/180
Magia y Matemticas de la Mano de MartinP. Alegra Ezquerra
23
MO
N
O
G
R
F
IC
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R
Sociedad CanariaIsaac Newtonde Profesores de Matemticas Vol. 76 marzo de 2011
de una coleccin de tarjetas basadas en la representacin binaria de los nmeros. El famoso juego de
las 21 cartas (o problema de Gergonne), cuya explicacin descansa en el sistema de numeracin
ternaria, es tratado en (Gardner, 1984, pp. 109-110). El captulo 9 (Gardner, 1995, pp. 103-109) est
dedicado ntegramente a describir juegos de magia basados en principios matemticos, desde elsorprendente principio de Gilbreath hasta el elemental principio de paridad. El principio de Gilbreathaparece de nuevo en el octavo libro de la coleccin (Gardner, 1989b, p. 94). La idea bsica de este
principio, descubierto en 1957 por el matemtico-mago Norman Gilbreath, es que una mezcla simple
de una baraja ordenada produce dos sucesiones ordenadas de cartas, quiz entremezcladas entre ellas.Un estudio matemtico sencillo de este principio aparece en (Behrends, 1997). Tambin se han
encontrado sorprendentes conexiones de este principio con la teora de embaldosados no peridicos(de Bruijn, 1987).
Otro juego basado en el principio de paridad puede encontrarse en (Gardner, 1984, p. 75). En el
captulo 20 (Gardner, 1995, pp. 234-235) presenta una novedosa adivinacin, no de un nmero sinode una funcin! utilizando las propiedades del tringulo de Pascal. Utilizando unas cuantas cerillas,
ofrece otro sorprendente truco basado en la paridad en (Gardner, 1992a, pp. 16-17). Tambin explota
el principio de paridad utilizando cuadrados mgicos en (Gardner, 1983, pp. 72-73).
Nuevamente, todo el captulo 13, titulado Chicago Magic Convention, del cuarto libro(Gardner, 1991, pp. 147-159) est dedicado a la magia matemtica. Queremos destacar la versin que
all se describe del llamado truco de cartas de Cheney en el que se utiliza la teora de informacin para
descubrir una carta elegida. Describiremos brevemente el juego, plantendolo como problema deingenio.
Con un ayudante vuelto de espaldas, el mago entrega una baraja completa, de 52 cartas a un
espectador, el cual selecciona cinco cartas. El mago, al verlas, vuelve de dorso una de ellas y ordena
adecuadamente las otras cuatro. El espectador nombra en voz alta las cuatro cartas. Al orlas, el
ayudante es capaz de adivinar la carta que ha quedado de dorso. El problema es pues encontrar la
estrategia que deben utilizar el mago y el ayudante para determinar dicha carta.
Recientemente se ha despertado el inters de la comunidad educativa hacia el problema de
resolver el fundamento matemtico de dicho truco, debido a su potencial pedaggico y la riqueza de
aspectos matemticos involucrados. Un par de ejemplos que confirman lo anterior son los artculos
(Kleber, 2002) y (Holm y Simonson, 2003).
En el mismo captulo, describe tambin las propiedades matemticas de la llamada mezcla
australiana, proceso de eliminacin de cartas en una baraja similar al conocido como problema deJosefo4.
En el captulo 3 del quinto libro (Gardner, 1985, pp. 32-34) aparece un ejemplo de paradoja
geomtrica muy del gusto de Martin Gardner. Anteriormente ya haba dedicado un captulo al estudio
y propiedades de dichas paradojas en su aclamado libro sobre magia matemtica (Gardner, 1956). En
el dcimo (Gardner, 1983, pp. 40-42) y duodcimo (Gardner, 1988b, pp. 58-61) libros de la coleccin,desarrolla de forma amena y didctica otros ejemplos de paradojas probabilsticas, basadas en algunos
fenmenos no transitivos. Un poco ms adelante (Gardner, 1983, pp. 128-129) describe otrasparadojas visuales muy sorprendentes. Con ingeniosa irona describe en el captulo 16 del mismo libro
(Gardner, 1985, pp. 146-157) 26 efectos clsicos de clarividencia y precognicin, descubriendo as
algunos de los mtodos utilizados por los falsos mdiums y pseudovidentes, a quienes siempre trat dedesenmascarar.
4Se puede encontrar una descripcin del problema en http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Flavio_Josefo
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
22/180
Magia y Matemticas de la Mano de MartinP. Alegra Ezquerra
24
M
O
N
O
G
R
F
I
C
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R
NNMMEERROOSSVol. 76 marzo de 2011
La numerologa tambin estaba presente en muchos de sus artculos. Como continuacin de
(Gardner, 1995, p. 100), en el captulo 19 describe algunas propiedades mgicas del nmero cinco. A
modo de ejemplo, describiremos la siguiente.
Sean x1 y x2 dos nmeros reales positivos arbitrarios. A continuacin construimos la sucesin
recurrente
,...3,2,1
1
1 =+
=
+n
x
xx
n
n
n
A simple vista, si la sucesin fuera convergente, su lmite sera la constante urea. Sin
embargo, no es convergente ya que, curiosamente, se trata de una sucesin 5-peridica: todos los
valores se repiten cada cinco trminos.
En el captulo 14 del sexto libro (Gardner, 1984, pp. 135-142) hace honor a los libros ms
representativos de la magia matemtica hasta el momento, como sonMathemagic de Royal V. Heath
(1933) yMathematical Magic de William Simon (1964).
De nuevo, un captulo completo del sptimo libro (Gardner, 1989a, pp. 77-88) est dedicado a
descubrir algunos trucos utilizados por los calculistas para realizar operaciones relmpago. Como
ejemplo curioso, muestra el secreto de multiplicar rpidamente dos nmeros de nueve cifras (siempre
que uno de ellos sea 142857143). As, si queremos multiplicar el nmero 456887156 por aqul, basta
dividir por siete el nmero 456887156456887156. La explicacin es simple: la multiplicacin de 7 por
142857143 es igual a 1000000001. En ese mismo captulo explica un mtodo sencillo para adivinar el
da de la semana correspondiente a cualquier fecha del siglo XX.
Tambin el captulo 10 (Gardner, 1989a, pp. 123-138) describe de manera atractiva las
propiedades matemticas de las mezclas de cartas y su aplicacin a gran variedad de juegos de magia.
En particular, define la mezcla faro, tambin llamada mezcla perfecta, que consiste en lo siguiente:
Se divide un paquete de cartas exactamente por la mitad. Se mezclan las cartas, imbricndolas de modo que se vayan alternando las cartas de
cada montn, una por una y de forma exacta.
Adems,
Si las cartas superior e inferior del paquete inicial mantienen sus posiciones despus dela mezcla, sta recibe el nombre de faro exterior (Faro-Out).
Si la carta superior pasa al segundo lugar y la inferior al penltimo lugar despus de lamezcla, sta recibe el nombre de faro interior (Faro-In).
Muchas propiedades de dicha mezcla se desarrollan en (Alegra, 2008). Un estudio ms
completo, con aplicaciones de la mezcla faro en el diseo de memoria dinmica de ordenadores, se
encuentra en (Morris, 1998). Destacaremos, por su sorprendente elegancia, la siguiente propiedadobtenida de forma experimental por el mago-informtico Alex Elmsley:
Si queremos pasar la carta superior de la baraja a la posicin n-sima, escribimos el nmero
n1 en el sistema de numeracin binaria y realizamos una sucesin de mezclas faro de acuerdo a las
cifras de dicho nmero: por cada cifra 0 realizamos una faro exterior (Out) y por cada cifra 1
realizamos una faro interior (In). Por ejemplo, para pasar la primera carta a la posicin vigsimo
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
23/180
Magia y Matemticas de la Mano de MartinP. Alegra Ezquerra
25
MO
N
O
G
R
F
IC
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R
Sociedad CanariaIsaac Newtonde Profesores de Matemticas Vol. 76 marzo de 2011
tercera, escribimos el nmero 22 en base 2, y obtenemos 10110. As pues realizamos la siguiente
secuencia de mezclas faro: In-Out-In-In-Out.
En el captulo 15 del mismo libro (Gardner, 1989a, pp. 194-196) describe un juego de cartas
basado en las propiedades del tringulo de Pascal y la regla de divisibilidad del nueve. Este ejemplo
vuelve a ratificar uno de los lemas ms caractersticos de Martin Gardner; en la introduccin del libro
afirma que, en un nivel elemental, no es posible motivar a ningn alumno para aprender la teora de
grupos dicindole que la encontrar hermosa, estimulante o incluso til si algn da llega a ser un
fsico especializado en partculas.
Otro juego que le gustaba contar para ratificar sus ideas es el siguiente:
Escribe en una calculadora un nmero de tres cifras, digamos ABC. Escribe a continuacin el
mismo nmero, obteniendo as el nmero ABCABC. Independientemente de las cifras elegidas, puedoadivinar que el nmero es mltiplo de 13. Comprubalo con la calculadora. Divide ahora el cociente
entre 11. Tambin sale exacto! Ms an, divide el resultado entre 7. No slo el resultado es exacto
sino que el cociente resulta de nuevo el nmero ABC!
Gardner afirma que no conoce un mtodo mejor de introducir a los estudiantes en la teora de
nmeros y en las propiedades de los nmeros primos que la explicacin de por qu este truco funciona
siempre.
Es indudable que una baraja de cartas ofrece muchas posibilidades para establecer propiedades
combinatorias y probabilsticas, algunas de ellas poco intuitivas. En el captulo 7 del octavo libro de lacoleccin (Gardner, 1989b, pp. 97-102) describe algunas de ellas.
El nmero 142857 ya citado es motivo del captulo 10 del noveno libro (Gardner, 1992a, pp. 97-102). Dicho nmero es precisamente el periodo de la expresin decimal del nmero 1/7 y tiene la
propiedad de que, al multiplicarlo por 1, 2, 3, 4, 5 6, el resultado contiene las mismas cifras del
nmero en distinto orden, de ah que se llame nmero cclico. En 1919, Leonard Dickson prob que
todo nmero cclico es el periodo de la expresin decimal del inverso de algn nmero primo.
Recprocamente, para que el periodo de la expresin decimal del inverso de un nmero primo p seacclico es suficiente que el nmero de cifras de dicho periodo sea p 1. Los nicos nueve nmeros
primos menores que 100 que generan nmeros cclicos son 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 y 97.
Otro curioso juego basado en propiedades de algunos nmeros es el siguiente (Gardner, 1988b,p. 270):
Escribe en una calculadora el nmero 98765432 y divdelo por 8. Sorprendentemente, el
resultado es 12345679, donde estn todas las cifras en orden creciente, pero ha desaparecido
precisamente el 8. Si quieres que vuelva a aparecer, multiplica el resultado por 72. Vers que el
resultado est formado solamente por ochos.
La famosa sucesin de Fibonacci tambin se presta a realizar trucos de adivinacin. Bastaaplicar algunas propiedades poco conocidas de dicha sucesin para sorprender a pblicos profanos.
Varios ejemplos se muestran en el captulo 13 del noveno libro (Gardner, 1992a, pp. 159-165).
Despus de efectuar uno de estos trucos, cualquier persona est mejor predispuesta para escuchar yretener propiedades matemticas de esta y otras sucesiones definidas por relaciones de recurrencia. En
el dcimosegundo libro (Gardner, 1988b, p. 273) describe el siguiente juego, donde aparece la relacin
entre la sucesin de Fibonacci y el nmero ureo:
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
24/180
Magia y Matemticas de la Mano de MartinP. Alegra Ezquerra
26
M
O
N
O
G
R
F
I
C
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R
NNMMEERROOSSVol. 76 marzo de 2011
Escribe en una fila dos nmeros arbitrarios. Debajo de ellos escribe la suma de ambos. Sigue
escribiendo nmeros en fila, cada uno de ellos igual a la suma de los dos inmediatamente superiores a
l, hasta tener alrededor de veinte nmeros. Ahora divide el ltimo entre el penltimo o el penltimo
entre el ltimo, como prefieras. Observo que las tres primeras cifras de la parte decimal son 6, 1 y 8.
Es fcil entender la explicacin: el lmite del cociente de dos trminos sucesivos de una
sucesin de Fibonacci es, o bien el nmero ureo 1,61803 o bien su inverso 0,61803 En cualquier
caso, una buena aproximacin al lmite la produce el cociente entre dos trminos suficientemente
grandes.
El captulo 19 del dcimo libro (Gardner, 1983, pp. 206-213) est dedicado nuevamente a
juegos matemticos con cartas. Como muy acertadamente seala, los trucos matemticos suelen ser
aburridos para la mayora de la gente, debido a la acumulacin de tareas repetitivas que conllevan. Sin
embargo, tienen un curioso atractivo entre los matemticos aficionados o profesionales, por esa mismarazn. En el citado captulo presenta toda una rutina de juegos con cartas basados en diferentes
principios matemticos, como el de paridad, el de Hummer y el de Fulves, principios que estn
descritos con detalle en (Alegra, 2008).
Otro interesante principio matemtico, relacionado con la teora de la probabilidad, es el
conocido como principio de Kruskal (Gardner, 1997a, pp. 274-276), descubierto por el fsico de la
Universidad de Rutgers, recientemente fallecido, Martin Kruskal. El desarrollo del juego es el
siguiente:
Se distribuyen todas las cartas de la baraja, previamente mezclada, caras arriba sobre la mesa.
Se pide a un espectador que piense un nmero del uno al diez. A continuacin, debe realizar las
siguientes operaciones, todas ellas mentalmente para no dar ninguna indicacin de sus resultados:
Empezando con la primera carta, debe recorrer tantas cartas como indica el nmeropensado.
Al finalizar, debe fijarse en el valor de la carta donde se ha detenido y volver arecorrer, empezando por dicha carta, tantos pasos como indica dicho nmero. En caso
de que se haya detenido en una figura, recorrer cinco pasos.
El proceso anterior debe repetirlo tantas veces como sea posible, es decir siempre quehaya suficientes cartas para hacer el recorrido preciso. Cuando no pueda hacerlo ms,
debe fijarse y recordar la ltima carta del ltimo trayecto.
Pues bien, a pesar de la aleatoriedad de dicho proceso, es posible descubrir el valor de dicha
carta con una probabilidad mayor que 0,8. Esto es debido a que, para casi todas las elecciones de la
primera carta, el camino converge al mismo resultado final. El modelo matemtico que mejor se ajusta
a las caractersticas de este juego es el de las cadenas de Markov, tipos especiales de procesos
estocsticos, de gran inters en ciertas aplicaciones estadsticas5.
En el penltimo libro de la coleccin dedica un captulo (Gardner, 1992b, pp. 67-70) al
reconocido filsofo Charles Sanders Peirce y describe con detalle lo que llama el truco de cartas ms
difcil y fantstico jams inventado, publicado en los Collected Papersde Peirce, con el que
cualquier profesor puede motivar a los estudiantes interesados en la aritmtica de congruencias.Tambin en el ltimo libro de la coleccin (Gardner, 1997b, pp. 239-240) utiliza la aritmtica de
congruencias mdulo 13 con el que mostrar un mtodo sencillo para adivinar cualquier carta eliminada
de una baraja completa. En el libro (Gardner, 1987b, pp. 11-12), el tercero de la coleccin que recopila
5Una curiosa prueba del origen divino de la Biblia se encuentra en
http://sprott.physics.wisc.edu/Pickover/realitygame.html
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
25/180
Magia y Matemticas de la Mano de MartinP. Alegra Ezquerra
27
MO
N
O
G
R
F
IC
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R
Sociedad CanariaIsaac Newtonde Profesores de Matemticas Vol. 76 marzo de 2011
sus contribuciones a la revista Isaac Asimov' s Science Fiction Magazine durante diez aos, explica
con detalle un fantstico juego de cartas basado en la aritmtica de congruencias mdulo 5.
3. La enseanza de las matemticas segn Gardner
La variedad de los temas que trat a lo largo de veinticinco aos y el estilo directo que
destilaban sus columnas mensuales en la revista Scientific American causaron gran inters entre sus
lectores y tuvieron mucha influencia entre estudiantes de matemticas, muchos de los cuales seran
docentes en un futuro prximo. No es de extraar entonces que, a menudo, se dirigiera a este pblicomostrando su preocupacin por la formacin matemtica a niveles elementales y sugiriendo algunas
ideas sobre los mtodos de enseanza de las matemticas que consideraba ms efectivos. La siguiente
reflexin ha sido citada en varias ocasiones para resumir sus ideas sobre estos temas:El mejor mtodo
para mantener despierto a un estudiante es seguramente proponerle un juego matemtico intrigante,un pasatiempo, un truco mgico, una chanza, una paradoja, un trabalenguas o cualquiera de esas mil
cosas que los profesores aburridos suelen rehuir porque piensan que son frivolidades.
En la seccin anterior hemos citado algunos ejemplos de juegos de magia que l consideraba
que representaban excelentes ocasiones para despertar el inters de los estudiantes por cuestiones
matemticas de dificultad variable. En muchos otros lugares de su amplia produccin escrita se refierede manera general a sus conclusiones en torno a la enseanza de las matemticas a niveles
elementales. Citaremos dos de dichos pasajes.
En (Gardner, 1992b, pp. 61-75) se muestra seguidor del, entre muchas otras profesiones,filsofo y matemtico Charles Peirce al afirmar que su enfoque recreativo hacia las matemticas es
ms evidente en su visin de cmo las matemticas deben ensearse a los nios. En dicho artculo,
afirma:
Al recorrer los manuscritos de sus libros de texto se observa que estn repletos de mtodos
novedosos de utilizacin de rompecabezas y juegos con los que introducir conceptos matemticos.
As, por ejemplo, la paradoja de Zenn le serva de excusa para llevar la discusin hacia los
conceptos del continuo y del lmite, con la geometra proyectiva y las sombras que produce el gira de
una rueda iluminada por una lmpara introduca la idea del infinito. Peirce reconoci, antes de 1900,
el gran valor de la topologa elemental para estimular la imaginacin matemtica de un nio. La
frmula de Euler para los esqueletos de los poliedros, la teora de nudos, la teora de grafos, la
conjetura del mapa de los cuatro colores (que Peirce trat en vano de probar durante varias
dcadas), la banda de Mbius, son slo algunos de los temas topolgicos que us para excitar el
inters de los estudiantes. Le encantaba pedir a los profesores que le dejaran instruir grupos de
jvenes que detestaban las matemticas y parecan incapaces de aprenderlas. Para ensear
aritmtica, Peirce recomendaba el uso constante de cuentas, la introduccin temprana de la notacin
binaria, el uso de tarjetas numeradas y otros dispositivos que son ahora comunes en la instruccin
escolar. Tambin recomendaba usar barajas de cartas. As contaba en una ocasin a una de sus
personajes: "Si logras hacerte, querida Brbara, con un mazo completo de naipes, te har tragar una
leccioncita de matemticas tan fcilmente como una cucharada de aceite de ricino con un vaso de
leche."
Recientemente, durante una entrevista a Don Albers (Albers y Gardner, 2005), comenta lasnuevas reformas de la enseanza de las matemticas. No se siente conforme con algunas nuevas
tendencias sobre la enseanza de las matemticas, las cuales se definen como matemticas difusas.
Afirma que la idea de esos mtodos consiste en organizar a los estudiantes en pequeos grupos quetrabajan en cooperacin para descubrir teoremas. Y contina diciendo:
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
26/180
Magia y Matemticas de la Mano de MartinP. Alegra Ezquerra
28
M
O
N
O
G
R
F
I
C
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R
NNMMEERROOSSVol. 76 marzo de 2011
Habra entonces grupos a quienes, en lugar de ensearles el teorema de Pitgoras, dejaramos
cortando tringulos para que trataran de descubrirlo por s mismos. De esta manera, los profesores
no tendran mucho que hacer, salvo dejar a los estudiantes perder el tiempo tratando de descubrir
teoremas. Lo que ocurre normalmente es que hay en el grupo un estudiante ms brillante que hacetodo el trabajo y los dems le siguen. O podran tardar una semana en descubrir el teorema de
Pitgoras. Pienso que es una gran prdida de tiempo, a pesar de que la teora afirma que, en el
mundo real, siempre estamos formando parte de un equipo, de modo que lo realmente necesario sera
aprender a trabajar juntos y resolver los problemas de forma colectiva. Lo importante a estas edades
es lograr la motivacin de los estudiantes para aprender los nuevos conceptos.
Para terminar, as como Martin Gardner se consideraba seguidor de las doctrinas y enseanzas
de grandes maestros de la filosofa y la ciencia, muchos de los que hemos seguido con avidez sus
chanzas, pasatiempos, trucos, problemas, rompecabezas y cuentos, hemos podido aprovechar todo su
conocimiento, sus ideas y maestra narrativa. Gracias!
Bibliografa
Albers, D. y Gardner, M. (2005). Mathematical Games and Beyond: Part II of an Interview with
Martin Gardner, The College Mathematics Journal 36 (4), 301314.Alegra, P. (2008).Magia por principios. Publidisa.
Behrends, E. (1997). On the mathematical background of Gilbreath's card trick. Disponible en
ftp://ftp.math.fu-berlin.de/pub/math/publ/pre/1997
De Bruijn, N.G. (1987). A Riffle Shuffle Card Trick and Its Relation to Quasicrystal Theory. Nieuw
Archief Wiskunde (4) 5, 285-301.Gardner, M. (1956).Mathematics, Magic and Mystery. New York: Dover.
Gardner, M. (1988a). Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions: The First Scientific
American Book of Puzzles and Games. Chicago: The University of Chicago Press. Primera edicin
de 1959 titulada The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
Gardner, M. (1987a). The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions .
Chicago: The University of Chicago Press. Primera edicin de 1961.
Gardner, M. (1995). New Mathematical Diversions from Scientific American. Washington: The
Mathematical Association of America. Primera edicin de 1966.
Gardner, M. (1991). The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. Chicago: The
University of Chicago Press. Primera edicin de 1968.Gardner, M. (1985). The Magic Numbers of Dr. Matrix. Prometheus Books. Reimpresin de los libros
The numerology of Dr. Matrix (1967) y The incredible Dr. Matrix (1976).
Gardner, M. (1984). Sixth Book of Mathematical Diversions from Scientific American. Chicago: The
University of Chicago Press. Primera edicin de 1971.
Gardner, M. (1989a). Mathematical Carnival. Washington: The Mathematical Association of
America. Primera edicin de 1975.
Gardner, M. (1989b). Mathematical Magic Show. Washington: The Mathematical Association of
America. Primera edicin de 1977.
Gardner, M. (1992a).Mathematical Circus. Washington: The Mathematical Association of America.
Primera edicin de 1981.
Gardner, M. (1983). Wheels, Life, and Other Mathematical Amusements. New York: W. H. Freeman& Co.
Gardner, M. (1986). Knotted Doughnuts and Other Mathematical Entertainments. New York: W. H.
Freeman & Co.
Gardner, M. (1987b).Riddles of The Sphinx. Washington: The Mathematical Association of America.
Gardner, M. (1988b). Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H.
Freeman & Co.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
27/180
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
28/180
Sociedad CanariaIsaac Newton
de Profesores de Matemticas
http://www.sinewton.org/numeros
Volumen 76, marzo de 2011, pginas 3146
ISSN: 1887-1984M
O
N
O
G
R
F
I
C
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
DN
E
R
MatemGicas1
Carlos Vinuesa del Ro (Universidad de Cambridge2)
Artculo solicitado al autor por la revista
Resumen Motivados por la aficin de Martin Gardner a la magia matemtica, mostramos cmoalgunos principios matemticos pueden emplearse para hacer juegos de magia. Enparticular nos detenemos en el principio de paridad, el principio de Gilbreath ycoincidencias del estilo de la paradoja de los cumpleaos.
Palabras clave Martin, Gardner, magia, matemagia, paridad, Gilbreath, paradoja, cumpleaos.
Abstract Motivated by Martin Gardner's liking for mathematical magic, we show how somemathematical principles can be employed in magic tricks. In particular we go over theparity principle, Gilbreath's principle and coincidences with the flavour of the birthdayparadox.
Keywords Martin, Gardner, magic, mathemagic, parity, Gilbreath, paradox, birthday.
1. IntroduccinAntes de nada, una pregunta para ir pensando en algo: Puede un caballo de ajedrez ir de una
esquina del tablero a la diagonalmente opuesta pasando por cada casilla exactamente una vez?
Martin Gardner tuvo tantas inquietudes que sera muy difcil resumirlas aqu. Pero para dar unaidea del tipo de cosas que le gustaba hacer, nada mejor que las palabras de Ronald Graham: Martin
ha transformado a miles de nios en matemticos y a miles de matemticos en nios. Escribi ms de70 libros y ha sido posiblemente el divulgador matemtico ms famoso de la historia. Sus puzles yproblemas favoritos eran aquellos que requeran de una inspiracin repentina que a l le gustaballamar el momento aj! Otra cosa que sin duda le apasionaba era la magia matemtica; de hechopodramos parafrasear la cita anterior y asegurar sin miedo a equivocarnos que Martin interes amuchos magos en las matemticas y a muchos matemticos en la magia.
En las pginas siguientes trataremos de dar una visin variada y amena de este mundo del quetantas veces nos habl Martin donde conviven las matemticas y la magia.
1 Las letras maysculas MG son las iniciales de Martin Gardner.
2 El autor agradece a la Fundacin Ramn Areces la concesin de la beca postdoctoral de la que disfruta en laactualidad.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
29/180
MatemGicasC. Vinuesa del Ro
32 NNMMEERROOSSVol. 76 marzo de 2011
M
O
N
O
G
R
F
I
C
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R 2. ParidasdTodos sabemos que existen nmeros pares e impares. Aparentemente es una idea sencilla. Sin
embargo hay literalmente cientos de excelentes y engaossimos juegos de magia basados en esteinocente principio.
2.1. Las monedas
Tenemos cuatro monedas3
sobre la mesa. Pedimos a un espectador que, mientrasestamos vueltos de espaldas, realice 7 volteos (un volteo es coger una moneda que est caraarriba y ponerla cara abajo o viceversa) y despus tape una de las monedas con su mano.Al girarnos, adivinamos si la moneda tapada muestra su cara o su dorso.
Introducimos una nueva moneda. Decimos al espectador que ahora puede realizartantos volteos como quiera, con la nica condicin de decir vuelta cada vez que hagauno, y que tape una moneda al final. Pese a ello y a que hemos estado girados durante losvolteos, adivinamos de nuevo si la moneda tapada muestra su cara o su dorso.
Un nuevo espectador entra en juego. Ahora, un espectador realiza un volteo y el otro leresponde con otro volteo, como si estuvieran jugando una partida, hasta que finalmente,tras mover el segundo jugador, tapan una moneda. Pese a que no dicen cuntosmovimientos realizan y a que estamos vueltos durante todo el proceso, de nuevoadivinamos si la moneda tapada muestra su cara o su dorso.
Pese a lo difcil que pueda parecer a simple vista, el juego anterior es muy sencillo de realizar.La clave para explicrnoslo es la siguiente observacin: un volteo altera la paridad del nmero demonedas que muestran su cara. Imaginemos que hay unas cuantas monedas sobre la mesa (el nmerono es muy importante). Supongamos que el nmero de monedas cara arriba es par. Si se realiza unvolteo slo hay dos posibilidades:
O bien volteamos una moneda que estaba cara arriba, teniendo una cara menos tras elvolteo.
O bien volteamos una moneda que estaba cara abajo, teniendo una cara ms tras el volteo.As, en cualquier caso, tras el volteo el nmero de caras ser impar. Y tras un nuevo volteo
volver a ser par. Y as sucesivamente: impar, par, impar, par, impar, par...
Ya sabemos cmo realizar el juego! Para la primera fase basta con que observemos la paridaddel nmero de monedas cara arriba antes de girarnos. Como el espectador realiza 7 volteos, la paridaddel nmero de caras cambiar tras los mismos. As, si haba un nmero par de caras ahora habr unnmero impar y viceversa. Mirando las monedas que han quedado a la vista podremos saber si la quese oculta bajo la mano del espectador muestra su cara o su dorso.
En cuanto a la segunda fase, como ya sabemos, introducir una nueva moneda no complica las
cosas aunque a ojos del espectador pueda hacerlo ms difcil. Basta con que nos fijemos en la paridaddel nmero de caras antes de girarnos, paridad que ir cambiando con cada vuelta que diga el
3 Si realizas este juego para pocas personas que estn muy cerca puedes usar monedas cualesquiera. Sinembargo, si vas a realizar este juego para bastantes espectadores (por ejemplo en una clase) y dado que a ciertadistancia es muy difcil distinguir si una moneda muestra su cara, te recomiendo que construyas pequeos discosde cartn que por un lado sean de un color y por el contrario de otro.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
30/180
MatemGicasC. Vinuesa del Ro
33Sociedad CanariaIsaac Newtonde Profesores de Matemticas Vol. 76 marzo de 2011
MO
N
O
G
R
F
IC
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R
espectador. Una sencilla forma de no perdernos a la hora de controlar la paridad consiste en que nosgiremos con el puo cerrado si el nmero de caras es par o bien con el pulgar extendido (gesto deOK) si es impar. Con cada vuelta cambiamos de una posicin a otra y al final slo tenemos que
mirar nuestro dedo...
Por ltimo, la introduccin de un nuevo espectador y el hecho de plantear los volteos por pares(el segundo espectador responde siempre al movimiento del primero) hace que todo sea facilsimo,pues sabemos que el nmero de volteos ser par y por lo tanto la paridad del nmero de monedas quemuestran su cara no variar. Pese a que a ojos de los espectadores podra parecer ms difcil que lasegunda fase en realidad es mucho ms fcil. Dicho sea de paso, esto es algo que ocurre confrecuencia en magia.
2.2. Los vasos
Este juego de las monedas recuerda a una curiosa apuesta con vasos que nos puede hacer ganaralguna que otra invitacin4.
Se colocan tres vasos en lnea, de manera que quedan alternados boca arriba y bocaabajo. El movimiento permitido es coger dos vasos adyacentes y voltearlos sin cambiarlosde sitio. Mostramos cmo se pueden dejar los 3 vasos boca arriba y decimos que no es tansencillo, retando al espectador a que haga lo mismo. El espectador es incapaz de hacerlo.
El secreto es tan simple que puede incluso que no engae a nadie y te toque invitar a ti5. Al
comienzo t colocas los vasos como muestra la figura de la izquierda: boca abajo, boca arriba y bocaabajo. Por supuesto, pondras poner todos boca arriba en dos movimientos, pero conviene alargarlo unpoco y no dejar los tres vasos boca arriba hasta que llevemos ya unos cuantos movimientos.
Despus colocas los vasos como muestra la figura de la derecha: boca arriba, boca abajo y bocaarriba. Es suficientemente parecido como para que pueda colar que estaban as al principio (aqucuentan mucho tus dotes de actor para hacerlo con convencimiento y sin sentirte culpable). Como elmovimiento permitido no cambia la paridad del nmero de vasos boca arriba (si se voltean dos vasos obien habr dos vasos ms boca arriba si los dos estaban boca abajo, o bien dos menos si los dos
estaban boca arriba, o bien los mismos si uno estaba boca abajo y otro boca arriba), el espectador noconseguir poner todos los vasos boca arriba.
4 De hecho, si te fijas, tanto el juego anterior de las monedas como la mayora del resto de los juegos de magia sepueden presentar tambin como apuestas. Si decides hacerlo as recuerda mandar siempre un 10% de lo queganes a quienquiera que sea el autor del artculo donde lo leste.5 En este caso no es necesario que mandes el 10% de la factura a nadie.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
31/180
MatemGicasC. Vinuesa del Ro
34 NNMMEERROOSSVol. 76 marzo de 2011
M
O
N
O
G
R
F
I
C
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R Observa que tanto el hecho de que los vasos que se voltean tengan que ser adyacentes como elde que no se cambien de sitio son condiciones que no afectan a nada de lo que hemos dicho. Pero elhecho de poner esas condiciones despista un poco ms al primo que pagar la siguiente ronda...
2.3. La mansin embrujada
Colocamos sobre la mesa 9 cartas cara arriba formando un cuadrado de 3 x 3 cartas.
Sacamos un sobre, explicando al espectador que dentro del mismo hay una tarjeta coninstrucciones que hemos escrito basndonos en las decisiones que creemos que va a tomaren un momento. Le pedimos que coloque un vaso (o cualquier otro objeto, pero es bonito
que sea un objeto transparente) sobre la carta que ms le guste de todas. Cuando lo hace(imaginemos que coloca el vaso sobre el 4 como en la figura) le decimos Ya lo saba. Ledecimos que un movimiento consiste en desplazar el vaso de una carta a otra contiguaen vertical o en horizontal (en diagonal no vale!) y le entregamos la tarjeta coninstrucciones que hay dentro del sobre, donde puede leer:
1. Retira el 3 y mueve 3 veces.2. Retira el 6 y el 8 y mueve 5 veces.3. Retira el 7 y el 9 y mueve o bien 7 veces o bien 9 veces.4. Retira el 2 y mueve tantas veces como el nmero que prefieras de los que quedan
sobre la mesa.
5. Mueve tantas veces como el nmero sobre el que te encuentras y retira el 5 y el 1.Ests sobre el 4.
El nombre de este juego procede de que a veces se presenta diciendo que las nueve cartas sonlas estancias de una mansin embrujada en la que las habitaciones desaparecen. Aunque, como estarspensando (el ttulo de la seccin ayuda bastante), este juego est basando en la paridad, seguro que hayalgo que todava no te cuadra... Y si hubieras puesto el vaso sobre el 3 en lugar de sobre el 4?Bueno... digamos que hay una parte del secreto no tan matemtica... La tarjeta donde estn escritaslas instrucciones tiene dos caras y en la otra cara pone:
1.
Retira el 6 y mueve 5 veces.2. Retira el 7 y el 9 y mueve 8 veces.3. Retira el 5 y mueve 5 veces.4. Retira el 8 y el 2 y mueve tantas veces como el nmero que prefieras de los que quedan
sobre la mesa.5. Mueve tantas veces como el nmero sobre el que te encuentras y retira el 1 y el 3. Ests
sobre el 4.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
32/180
MatemGicasC. Vinuesa del Ro
35Sociedad CanariaIsaac Newtonde Profesores de Matemticas Vol. 76 marzo de 2011
MO
N
O
G
R
F
IC
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R
As que si el espectador comienza sobre una carta par sacamos y le ofreceremos la tarjetamostrando las otras instrucciones y si comienza sobre una carta impar se la ofreceremos mostrandoestas ltimas. Vaya argucias tienen estos magos! Poco ms hay que explicar. Como las cartas pares e
impares estn alternadas como las casillas blancas y negras de un tablero de ajedrez6, en cadamovimiento se cambia de paridad. Las instrucciones siempre dicen que se retire una carta de laparidad contraria a aquella en la que se encuentra el espectador. Adems, y esto es lo que utilizamos alfinal, si el espectador mueve tantas veces como el nmero sobre el que se encuentra entonces siempreterminar en una carta par (par + par = par e impar + impar = par).
En realidad, si cambiamos un poquito el inicio, el juego se presta a que muchos espectadores lorealicen a la vez, movindose mentalmente sobre las cartas, lo que har que el efecto sea distinto ymucho ms fuerte. La primera instruccin podra ser, por ejemplo, que cada espectador se site sobrela carta que quiera y mueva tantas veces como indica su valor. As, sabemos que todo el mundo est
sobre una carta par y podemos seguir nuestra lista de instrucciones (ahora slo hay una lista para todoel mundo), o bien con las primeras que hemos escrito o bien con otras de nuestra invencin, puesahora que entendemos el secreto podemos jugar y hacer nuevas versiones del juego. De hecho, paraque veas que se puede hacer, el conocido ilusionista David Copperfield present una versin de este
juego por televisin7, invitando a los espectadores a participar desde sus casas.
2.4. El tapiz del seor Kolo
El siguiente juego est basado en una idea antigua de la que no se conoce al autor original.Richard Vollmer (Vollmer, 1991, pp. 53 y siguientes) lo llamaLa tapisserie de Mr. King y en espaol
(Giobbi, 2004, pp. 77-81) se conoce comoEl tapiz del seor Kolo. La historia es la siguiente:
Se explica que el millonario seor Kolo mand realizar un carsimo tapiz de vivoscolores, que se representa con las doce figuras y los cuatro dieces de la baraja (pues son las
cartas con ms color), formando un cuadrado de 4 x 4 cartas. En la figura de la pginasiguiente se muestra el tapiz desde el punto de vista del mago, el pblico estara situado enfrente.
Dado el desorbitado precio del tapiz, el seor Kolo decidi que sera buena ideamarcar el mismo con su inicial, la letra K, pues as en caso de robo podra reconocerlo de
nuevo. La marca se realiza volteando algunas de las cartas, como muestra la figura(recurdese que la figura muestra el punto de vista del mago, as que los espectadoresvern algo parecido a una letra K mayscula.
6 Recuerda que todava tenemos pendiente una pregunta sobre un caballo de ajedrez...7 Puedes verla aqu: http://www.youtube.com/watch?v=OZ1WTRkTjcA.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
33/180
MatemGicasC. Vinuesa del Ro
36 NNMMEERROOSSVol. 76 marzo de 2011
M
O
N
O
G
R
F
I
C
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R Cierto da, el seor Kolo se fue de viaje y unos ladrones entraron a robar el tapiz. Parallevrselo tuvieron que doblarlo. El tapiz de cartas se va doblando por las lneashorizontales o verticales que los espectadores deseen, hasta que ocupa slo el tamao de
una carta (todas las cartas terminan en un montn).
Se cuenta cmo el Seor Kolo, tiempo despus, crey reconocer su tapiz en una tiendade antigedades. Mand que lo extendieran y se pudo comprobar que era el suyo, pues suinicial estaba all por cuadruplicado: al extender las cartas sobre la mesa, todas estn caraabajo, excepto los cuatro reyes, que estn cara arriba.
El juego se basa de nuevo en la paridad, concretamente en el que es conocido como principio deplegado de Henry Dudeney. Para entenderlo, pensemos en la siguiente situacin: si disponemos lascartas cara arriba y cara abajo alternndolas como si fueran las casillas blancas y negras de un tablerode ajedrez, cualquier plegado terminar dejando todas las cartas en el mismo sentido (todas cara arribasi terminan sobre una de las cartas que estaba cara arriba originalmente y todas cara abajo si lo hacensobre una de las cartas que estaba cara abajo originalmente). Pinsalo, es muy sencillo.
Una vez entendido eso, si queremos que una carta termine tras el plegado en sentido contrario alresto, partiendo de la configuracin de tablero de ajedrez, bastar con que volteemos la cartadeseada. Si lo que queremos es que los cuatro reyes terminen en sentido contrario al resto de las cartas,bastar con colocar todas las cartas en la configuracin de tablero de ajedrez y voltear ahora loscuatro reyes. Coloquemos los reyes (desde nuestra perspectiva) en las dos posiciones situadas ms a laderecha de la fila ms cercana al pblico y en las dos posiciones situadas ms a la izquierda y ms a la
derecha respectivamente de la segunda fila ms cercana a nosotros, como mostraba la primera figura.Pues bien, si ahora volteamos las cartas necesarias para llegar a la configuracin de tablero deajedrez comenzando por la carta situada ms a la izquierda de la fila ms cercana al pblico, y acontinuacin cambiamos de sentido los cuatro reyes (independientemente del sentido en que sehayen), obtendremos la configuracin de K del seor Kolo. As, al principio, las posiciones en quecolocamos los reyes son cruciales, pero como las posiciones de todas las cartas restantes no importanes muy fcil colocar los reyes sin levantar sospechas. Por cierto, si te ests preguntando qu hacer encaso de que tras el plegado queden todas las cartas cara arriba y los cuatro reyes cara abajo, es muysencillo: cuando se termine el plegado del tapiz, coge el montn de cartas (como para mostrarlo) yvoltalo sin dar ms explicaciones. Si no le das importancia, nadie se la dar.
El principio de plegado es muy flexible y podrs crear nuevos juegos basados en l (coloca lascartas de manera que las que muestran su dorso formen tu dibujo favorito y mira a ver cuntas cartastienes que voltear para llegar a la disposicin en tablero de ajedrez). De hecho, la forma de plegar notiene por qu imitar a la de una tela real, podemos coger por ejemplo una sola carta y doblarla hacia ellado que queramos. Las posibilidades son muchas juega con ellas!
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
34/180
MatemGicasC. Vinuesa del Ro
37Sociedad CanariaIsaac Newtonde Profesores de Matemticas Vol. 76 marzo de 2011
MO
N
O
G
R
F
IC
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R
2.5. El caballo
Para terminar esta seccin, retomemos la pregunta del comienzo del artculo: Puede un caballode ajedrez ir de una esquina del tablero a la diagonalmente opuesta pasando por cada casillaexactamente una vez? El ataque ms directo quiz sera tratar de encontrar uno de esos caminos(infructuosamente). Sin embargo, podemos dar una respuesta negativa de modo mucho ms elegante,basndonos de nuevo en la paridad.
Aj! Cuando un caballo de ajedrez realiza un movimiento, siempre cambia de color (o bienpasa de una casilla negra a una blanca como en la figura, o bien al contrario). Es decir, si un caballoparte de una esquina blanca, los colores de las casillas que pisar sern blanco (B), negro (N), B, N, B,N, B... Si queremos que el caballo termine en la esquina diagonalmente opuesta, la lista tendr quecomenzar y terminar en B. Pero el caballo tiene que dar exactamente 63 saltos para pisar las 64casillas, una cada vez. Y por lo tanto, si empieza en una casilla B, tras los 63 saltos terminar en unacasilla N, lo cual es una contradiccin.
3. Orden en el caosMezclar la baraja en una partida de cartas es la garanta que tienen los jugadores de que nadie
posee informacin sobre las cartas que se reparten. Y si pese a la mezcla pudiramos saber mucho delas cartas? Bienvenidos al mundo del principio de Gilbreath.
3.1. El principio de Gilbreath
Lo primero que hay que decir es que, pese a la sugerente introduccin, es difcil que puedassacar provecho de todo lo que sigue en una partida de cartas. Sin embargo s que podrs realizaralgunos sorprendentes juegos de magia. Por ejemplo:
Entregamos una baraja8 a un espectador que va repartiendo cartas sobre la mesahasta que l desea para formar dos montones (el que queda sobre la mesa y el que queda
8 Al igual que en el juego del tapiz del seor Kolo y en todos los dems que aparecern en el artculo, siempreque nos refiramos a una baraja ser una baraja de pquer sin comodines, es decir las 52 cartas: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, J, Q y K de picas, corazones, trboles y diamantes.
-
8/3/2019 Revista Matematica-Volumen 76 Nx
35/180
MatemGicasC. Vinuesa del Ro
38 NNMMEERROOSSVol. 76 marzo de 2011
M
O
N
O
G
R
F
I
C
O:
MA
R
T
I
N
G
A
R
D
N
E
R en su mano). El propio espectador mezcla a la americana9 los dos paquetes formados.
Cogemos la baraja recin mezclada por el espectador y sin mirar ninguna carta la
llevamos a nuestra espalda o debajo de la mesa. Utilizando tan slo nuestro tacto
podremos encontrar tantos pares de cartas de diferente color como se nos pida.
Como has adivinado, el juego funciona por el principio de Gilbreath. Ahora slo falta saber ques el principio de Gilbreath. Antes de nada coge una baraja y ordena sus cartas
top related