rotation pythagoricienne les valeurs a 2 + b 2 = (b+1) 2 correspondent aux triplets pythagoricien...

Rotation Pythagoricienne

Les valeurs a2 + b2 = (b+1)2 correspondent aux triplets

Pythagoricien (2k+1, 2k(k+1), 2k(k+1)+1).

Ces valeurs ne couvrent toutefois pas tous les angles.

Rotation discrète bijective

Rot-1(k)= Rot(-k-1)

Quasi-shear rotation

R = o o

Quasi-Shear Rotation

The formulas are rewritten as :

With :

Quasi-shear rotations

Quasi-shear Horizontal and Vertical

Goal : find (t,u,v) so that QTH is the best possible approximation of TH

Same for QTV and TV.

=t au b

We have:

TH transforms

x = i in -bx+ay+bi-ayo= 0

The naive discrete line (= b) that best

approaches this line is :

thus :

Quasi-shear rotations

QTH transforme the discrete line x=i in the discrete line :

This is the previous line :

Which leads to :

Quasi-shear rotations

We replace : By :

Quasi-shear rotations

The quasi-shear rotation of center (xo,yo) and angle

is defined by :

With :

Quasi-shear rotations

Properties of the quasi-shear rotation

The quasi-shear rotation is one-to-one

and

RQT(xo, yo, )-1 = RQT(xo, yo, -)

Properties of the Quasi-shear rotation

Maximal distance

Average distance

A propos des AQAs

- Les AQAs donnent une idée de la dynamique de certains calculs en informatique.

- Les AQAs permettent de construire des transformations avec certaines propriétés (rotations bijectives par exemple).

- Les AQAs sont liées aux systèmes de numérations.

- Les AQAs permettent de construire des pavages.

- Les AQAs sont liées aux intersections de droites discrètes.

Changement d’échelle vu par les transformations discrètes/continues

L’idée c’est de faire une opération dans le continu ou dans le discret en se servant des particularités de l’autre monde.

Dans ce qui suit on s’est intéressé à l’homothétie comme opération de transition en étudiant une transformation discrète et une transformation continue.

Homothétie discrète douce

Zn Zn

Rn

Reconstruction Discré

tisatio

n

Travail réalisé par Gaëlle Largeteau-Skapin

Implémentation

reconstruction

Homothétie discrétisation

Homothétie discrète douce

Exemple

reconstruction

Homothétie discrétisation

reconstruction

Homothétie

discrétisation

Exemple

Simplification discrète

Rn Rn

Zn

discrétisation reco

nstructi

on

Travail réalisé par Gaëlle Largeteau-Skapin

Niveaux de détails

Implémentation

homothétie

discrétisation reconstruction

homothétie

Simplification discrète

Exemple

Exemple

Instabilité :

discrétisation reconstruction

On peut étudier les équivalences topologique à niveau de détail près

et

M. Tajine, M. Ronse. Preservation of topolgy by Hausdorff discretization and comparison to other discretization schemes. Theoretical Computer Science, Elsevier, Vol. 283,  N° 1,  pp 243-268 (June 2002).

Questions ?