rrr inversa

5/11/2018 rrr inversa - slidepdf.com

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Cinemática de losmanipuladores

Robótica

Introducción

• Cinemática: Estudio del movimiento sin considerar

las fuerzas que lo producenPropiedades geométricas y temporalesPosición, velocidad, aceleración, derivadas superiores de

la posición, etc.

• Cinemática de los manipuladores: Propiedades

geométricas y temporales del movimiento.

Aspecto a resolver

• Problema:

A partir de los parámetrosgeométricos del manipulador.Especificar: Posición y orientación

del manipulador.

• Solución:

Definir sistemas de referenciaen el manipulador y objetos del entorno siguiendo laNotación de Denavit-Hartenberg (1955).

Los términos enlace/articulación

• Articulación: Conexión de dos

cuerpos rígidos caracterizadospor el movimiento de un sólidosobre otro.Grado de libertad: Circular o prismático

• Enlace: Cuerpo rígido que une dos ejesarticulares adyacentes del manipulador. Posee muchos atributos: Peso, material, inercia,etc.

Parámetros de un enlace

• Eje articular: Línea en el espacioalrededor de la cual el enlace i rota

referido al enlace i -1• Longitud del enlace (a i-1): Distanciaentre los ejes articulares i e i -1Número de líneas que definen la

longitud:Ejes paralelos:Ejes no paralelos: 1

Signo: positivo• Ángulo del enlace ( α i-1): Ángulomedido entre los ejes articulares i ei -1. Proyección sobre planoSigno: Regla de la mano derecha

∞perpendicular común

Ejemplo de parámetros

1.- Se colocan losejes articulares

2.- Longitud del

enlace: 73.- Ángulo del

enlace: 450

Longituddel enlace

Variables articulares• Desplazamiento del enlace (di):

Distancia medida a lo largo del ejede la articulación i desde el puntodonde a i-1 intersecta el eje hasta elpunto donde a i intersecta el eje. d i es variable si la articulación es

prismática

d i posee signo

• Ángulo de la articulación (θi):Ángulo entre las perpendiculares comunes a i-1 y a i medido sobre el eje del enlace i . θi es variable si la articulación es

de rotación θi posee signo definido por la regla de la mano

derecha

Definición de Sistemas de Referencia:

Enlaces primero y último• Sistema de referencia {0}: Sistema

que se adjunta a la base del robot.

No se mueve.• El Sistema de referencia {1}

coincide con la base.

Enlace(i ) a 0 y a n α0 y αn d i θi

Prismática (d i ) 01 y n 0 0 Rotacional (0) θ

Definición de Sistemas de Referencia:

Enlaces intermedios• Origen del sistema de referencia

{ i }: Se ubica en el punto creado

por la perpendicular de a i y el ejearticular i .• Eje Z: El eje del sistema de

referencia { i } se hará coincidir

con el eje articular i .• Eje X: El eje se hace coincidir

con la distancia a i desde laarticulación i hacia i +1.

• Eje Y: Se define a partir del eje ,tomando como referencia la reglade la mano derecha.

1−iY )

Procedimiento general para la

definición de sistemas de referencia1. Identificar los ejes articulares: De los pasos 2 a 5 utilice dos ejes

consecutivos i e i-1.2. Identifique la perpendicular común: Identifique la línea que se

intersecta, perpendicularmente, al eje articular i . Defina el sistemade referencia sobre el punto de intersección.

3. Asigne el eje al eje articular i .4. Asigne el eje a la perpendicular común que definió el origen del

sistema de referencia i .

5. Termine de asignar el sistema de referencia, definiendo el ejesegún la ley de la mano derecha.

6. Haga coincidir los sistemas de referencia {0} y {1} cuando laprimera variable articular sea cero.

Significado de los parámetros de

Denavit-HartenbergLos parámetros de DH tienen el siguiente

significado: El parámetro es la distancia entre y medida

a lo largo de .

El parámetro es el ángulo entre y referido a.

El parámetro es la distancia de a ´ medida a lo

largo de . El parámetro es el ángulo entre y referido a

Nota: es la única magnitud positiva, las demás tienensigno.

i ai Z

1−i Z )

1−i Z

i d i X )

1−i X )

i 1−i X )

Transformación homogénea

de un enlaceEs el resultado de

Al definir t res sistemas de referenciaIntermedios {R} , {Q} y { P} , se tiene:

{R} difiere de i-1 en la rotación

{Q} difiere de {R} por la traslación

{P} difiere de {Q} por la rotación

{i} difiere de {P} por la traslación

1−iα

1−ia

de un enlace (II)Un punto definido en el sistema de

referencia {i } proyectado en elsistema de referencia {i -1}responde a

La transformación del sistema dereferencia {i } en {i -1} responde a

de un enlace (III)

Matriz DH

Concatenar transformaciones

homogéneas de enlaces• Definir el sistema de referencia de los enlaces• Definir los parámetros DH de cada enlace• Calcular la matriz de transformación de cada enlace• Relacionar el sistema {N} sobre el sistema {0}

• Después de medir la posición, usando sensores, de losenlaces; se calcula la posición del efector final

Transformación resultante de todos los enlaces

Ejemplo RRR (3R)

Ejemplo RRR (II)

• Identificar laperpendicular

común entre losejes de lasarticulaciones

• Asignar el eje

en los ejesarticulares

10 Z Z ) )

≡2 Z )

• Identificar el

eje de lasarticulaciones

Ejemplo RRR (III)

• Asignar el eje

en la perpendicularcomún.

• Utilizando la regla de

la mano derecha,asignar el eje .iY

Ejemplo RRR (IV)

i α i-1 a i-1 d i θi

1 0 0 0 θ1

2 0 L1 0θ2

3 0 L2 0 θ3

Ejemplo RRR (V)i α i-1 a i-1 d i θi

1 0 0 0 θ1

2 0 L1 0 θ2

3 0 L2 0 θ3

Ejemplo RRR (Final)

PT P30

Ejemplo RPR

1.- Identificar el eje de las articulaciones

2.- Identificar la perpendicular común al eje de las articulaciones: Ninguna

Ejemplo RPR (II)

• Asignar el ejeen los ejes articulares

• Si los ejes se intersectan,

ubicar de forma que seanormal al plano que contengalos dos ejes, considereademás que la variablearticular {i} proyectada en {i-1}sea cero en el origen

Ejemplo RPR (III)

• Completar el sistema dereferencia colocando

aplicando la regla de lamano derecha

Ejemplo RPR (IV)

Parámetros DH

1 0 0 0 θ1

2 900 0 d 2 0

3 0 0 L2 θ3

Ejemplo RPR (Final)

1 0 0 0 θ1

2 900 0 d 2 0

3 0 0 L2 θ3

PT P30

Puma 560-6R

Asignación del sistema

de referencia 1• Posición del robot cuando todas lasvariables articulares son cero. Hacer

coincidir los sistemas de referencia {0}y {1}.• Asignar el eje en el primer eje

articular.

• Asignar el eje a la perpendicularcomún al eje . Si los ejes seintersectan, asignar a la normal delplano conteniendo los dos ejes.

• Completar el sistema de coordenadasasignando por la regla de la manoderecha

de referencia 2• Asignar el eje en el segundo eje

articular.

• Asignar el eje a la perpendicularcomún a los ejes articulares 2 y 3.

• Completar el sistema de coordenadasasignando por la regla de la mano

derecha

de referencia 3• Asignar el eje en el tercer eje

articular.

• Asignar el eje a la perpendicular

común a los ejes articulares 3 y 4 onormal al plano.

• Completar el sistema asignandopor la regla de la mano derecha

de referencia 4• Asignar el eje en el cuarto eje

articular.

• Completar el sistemaasignando por laregla de la mano derecha

de referencia 5• Asignar el eje en el quinto eje

articular.

de referencia 6 {N }• Asignar el eje en el sexto eje

articular.

• Seleccione libremente el eje

considerando que sean cero lamayor cantidad de parámetros DH.

Parámetros DH

Transformaciones de los enlaces

Simulador PUMA 560Toolbox RobóticaPeter I. Corke

>> puma560>> plot(560,qz)>> drivebot(p560)

Sistemas de referencias con

nombres estándar

Cinemática directa

• Cinemática directa: Se conocen las variables articulares de una cadena de

enlaces de un brazo articulado Cálculo sencillo (multiplicación matricial) Una única solución: PT P

N N 00 =

Ci á i i

Cinemática inversa

• Cinemática inversa:Problema difícil de resolver: Obtener los valores de las

variables articulares para que el órgano terminal tengauna determinada posición y orientación

Se deben resolver un conjunto de ecuacionesalgebraicas no lineales simultáneas

Problemas fundamentales: Ecuaciones no lineales (sen, cos en matrices de rotación) Existen múltiples soluciones Es posible que no exista una solución Singularidades.

E i l bl

Espacio alcanzable

EsféricoCilíndricoCartesiano

Espacio alcanzable:Volumen delespacio que el robotpuede alcanzar

con al menos unaorientación Antropomórfico

E i i d úl i l l i

Existencia de múltiple soluciones

Deben atenderse las múltiples

soluciones:

Elección que minimice losmovimientos desde la posiciónactualConcepto de solución másCercana Mover los eslabones de menor

pesoConsiderar obstáculos (evitar

colisiones)

Obstáculo

Mét d d l ió

Método de resolución

• Manipulador resoluble: Existe un algoritmo quepermite determinar todas las soluciones del

modelo inverso (variables articulares) asociadasa una determinada posición y orientación.

• Teóricamente es resoluble: todo sistema R y Pcon 6 grados de libertad.

• Métodos numéricos iterativos: lentitud.

• Se prefieren expresiones analíticas (solucionescerradas):Métodos algebraicos

Métodos geométricos

P é l i áti i ?

¿Porqué la cinemática inversa?

• Métodos de programación:

Programación por guiado: Desplazamientodel efector final para que se alcancen lasconfiguraciones deseadas, registrándose los

valores (digitalización de posiciones).Programación textual: Programa de

ordenador donde existen órdenes paraespecificar los movimientos del robot,acceder a información de sensores, etc.

Ci áti di t i

Cinemática directa vs inversa

• Cinemática directa Conocidos: Ángulos articulares y

geometría de los eslabones Determinar: Posición y orientación

del elemento terminal referido a la base

• Cinemática inversa Conocidos: Posición y orientación

del elemento terminal referido a la base Determinar: Ángulos articulares y

geometría de los eslabones para alcanzarla orientación y posición de la herramienta

T T f N

)()( 011 T f T f

−− ==θ

{Herramienta}

{Base}

Número de sol ciones

Número de soluciones

• Se desea: Posicionar el elementoterminal en un punto del plano

• Número de GDL del manipulador

= Número de GDL que requiere la tarea

Dos soluciones

• Número de GDL del manipulador

> Número de GDL que requiere la tarea Infinitas soluciones

Tipos de solución

• Solución: Conjunto de variables articulares que permitenposicionar el elemento terminal en una determinada

posición y orientación

• No existen algoritmos generales de solución al

problema de cinemática inversa

• Tipos de solución: Soluciones cerradas:

Solución algebraica: Ecuaciones no lineales trigonométricas Solución geométrica: Conjunto de subproblemas geométricos en el

plano Soluciones numéricas (iterativas): No aplicables en tiempo real

Ejemplo de solución geométrica (I)

• Se conoce:Geometría del manipuladorPunto objetivo: Posición (x e y ) y orientación del

elemento terminal en el espacio

• Problema:Determinar las variables

articulares ( )

1θ 2θ 3θ

Algunas identidades

trigonométricas• Ley de los cosenos para un triángulo general

• Suma de ángulos:

• Identidades: )cos()cos( θ θ −=)cos()cos( θ θ +=− pi pi

Ejemplo de solución geométrica (II)

• La orientación del último eslabón es la suma delas variables articulares

321 θ θ θ θ ++=

Ejemplo de solución geométrica (III)

• Cálculo de :

• Aplicando la ley de los cosenos:

• Debido a que

• Resulta:

Ejemplo de solución geométrica (IV)

• Se debe verificar la solución del algoritmo, elcual debe cumplir:

• Espacio alcanzable

• Intervalo de la solución

Espacioalcanzable

Ejemplo de solución geométrica (V)

• Si se definen dos ángulos se cumple

El ángulo se calcula:

Y aplicando ley de los cosenos

β θ −=1

22)( y x

sen+= β

Ejemplo de solución geométrica (VI)

• Finalmente213 θ θ θ θ −−=

Control basado en cinemática

inversa (I)Sección de código de la función invsurf.m:

for i = 1:length(r),for j = 1:length(theta),xx = r(i)*cos(theta(j)); Cinemática directayy = r(i)*sin(theta(j));c2 = (xx^2 + yy^2 - l1^2 - l2^2)/(2*l1*l2);c2 = min(max(c2, -1), 1);s2 = sqrt(1 - c2^2);th2(i, j) = atan2(s2, c2);

k1 = l1 + l2*c2;k2 = l2*s2;th1(i, j) = atan2(yy, xx) - atan2(k2, k1);

Condiciones iniciales:

l1 = 10;

l2 = 7;point = 21;

r = linspace(l1-l2, l1+l2, point);

theta = linspace(0, 2*pi, 2*point);

inversa (II)Resultado de ejecutar la función invsurf.m:

inversa (III)

Modelo del brazo articulado

de dos grados de libertad

inversa (IV)

Modelo del brazo articuladode dos grados de libertad

Modelo inverso del brazo

articulado

inversa (V)for i = 1:length(x),for j = 1:length(y),

xx = x(i);

yy = y(j);c2 = (xx^2 + yy^2 - l1^2 - l2^2)/(2*l1*l2);s2 = sqrt(1 - c2^2);th2(i, j) = atan2(s2, c2);k1 = l1 + l2*c2;k2 = l2*s2;th1(i, j) = atan2(yy, xx) - atan2(k2, k1);if abs(c2) < 1;

data1(data_n, :) = [xx yy th1(i, j)];

data2(data_n, :) = [xx yy th2(i, j)];data_n = data_n + 1;

endend

endinvkine1 = data1(1:data_n, :);invkine2 = data2(1:data_n, :);

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

n n n y x

invkine1

invkine2

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

n n n y x

Matrices inversas

inversa (VI)Obtención del modelo inverso

Sistema borroso 1: fismat1• [fismat1, error1] = anfis(invkine1, 3, [50, 0, 0.2]);

• writefis(fismat1, 'invkine1.fis');% WRITEFIS (FISMAT,'filename')

Sistema borroso 2: fismat2• [fismat2, error2] = anfis(invkine2, 3, [50, 0, 0.2]);• writefis(fismat2, 'invkine2.fis');

1 y x f −=

2 y x f

Control basado en cinemáticainversa (VI)

inversa (VI)

En el programa invkine.m:fismat1 = readfis('invkine1');

fismat2 = readfis('invkine2');

Modelo del brazo articuladode dos grados de libertad

theta1 = evalfis([x, y], fismat1);

theta2 = evalfis([x, y], fismat2);

Control basado en cinemáticainversa (VII)

inversa (VII)Resultado de ejecutar invkine.m:

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