rumus cauchy-binet untuk mencari determinan hasil kali dua matriks

RUMUS CAUCHY-BINET UNTUK MENCARI DETERMINAN HASIL

KALI DUA BUAH MATRIKS

Oleh:  Nama : Puteri ApriliantiNIM : 06101008036Dosen Pembimbing : Dra.Cecil Hiltrimartin, M.Si. 

TEOREMA PERKALIAN DETERMINAN MATRIKS

Jika A dan B adalah matriks

kuadrat yang ukurannya

sama, maka:

MATERI PENUNJANG

MATRIKS

PERKALIAN DUA MATRIKS

A matriks B matriks, hasil kali AB misalnya C

adalah matriks , dimana .

PERMUTASI

DETERMINAN

Menurut Leibniz , determinan matriks A kuadrat

SIFAT – SIFAT DETERMINAN

Determinan matriks bersifat linear pada operasi

penjumlahan dan operasi perkalian di tiap barisnya.

MINOR MATRIKS

MATERI POKOK

RUMUS CAUCHY BINET

BUKTI RUMUS CAUCHY BINET

CONTOH PENGGUNAAN RUMUS CAUCHY

BINET

RUMUS CAUCHY BINET

Jika A matriks dan B matriks , maka determinan hasil

kali keduanya sama dengan jumlah perkalian minor

determinan A dan minor determinan B berorde yang

bersesuaian sebanyak .

BUKTI RUMUS CAUCHY BINET

Jika A matriks dan B matriks , maka hasil kali AB adalah,

Maka , determinan AB :

Karena determinan matriks bersifat multilinier untuk tiap kolomnya pada operasi penjumlahan, maka :

sesuai dengan teorema determinan terhadap

operasi kolom elementer dengan operasi

perkalian, maka kita dapatkan,

merupakan minor determinan dari A berorde . Ketika

ada dua atau lebih nilai yang sama misalkan , maka

minor determinan A :

Dengan adalah permutasi dari himpunan . Menurut

penjabaran rumus Leibniz, determinan matriks

kuadrat A :

dengan ,

maka didapatkan

Karena

Maka,

Karena menurut rumus Leibniz,

Yang merupakan minor determinan dari B berorde .

Maka kita dapatkan :

Yang merupakan teorema perkalian dari

determinan matriks.

,

Contoh soal : , ?

KESIMPULAN

Determinan dari hasil kali dua

matriks dapat dicari dengan

menjumlahkan semua hasil kali

minor-minor determinan kedua

matriks yang bersesuaian.