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Schémas volumes finis positifs pour le modèle de Keller-Segeldégénéré et anisotrope
Mazen SAAD
Ecole Centrale de NantesLaboratoire de Mathématiques Jean Leray
Journée Nantes-Rennes d’Analyse
Rennes 28 janvier 2016
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Outline
1 Modèles en BiomathématiquesLes bactériesLe modèle de Keller-SegelCicatrisation osseuseTraitement de cancer par Biochimiothérapie
2 Volumes Finis vs Eléments finis
3 Schéma monotone pour l’équation de Poisson
4 Schéma monotone pour Keller-Segel
5 Schéma positif pour une équation parabolique dégénérée
6 Schéma CVFE pour Keller-Segel
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Modèles en Biomathématiques
Table of Contents
1 Modèles en BiomathématiquesLes bactériesLe modèle de Keller-SegelCicatrisation osseuseTraitement de cancer par Biochimiothérapie
2 Volumes Finis vs Eléments finis
3 Schéma monotone pour l’équation de Poisson
4 Schéma monotone pour Keller-Segel
5 Schéma positif pour une équation parabolique dégénérée
6 Schéma CVFE pour Keller-Segel
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Modèles en Biomathématiques
Chimiotaxie
Chimiotaxie: Mouvement dirigé d’organismes vivants en réponse à des signauxchimiques.
Capacité des organismes vivants, tels que les cellules, à détecter des signaux dansl’environnement et d’adapter en conséquence leur mouvement.
Ce comportement leur permet de localiser les nutriments, éviter les prédateurs ... Il peuts’agir d’attraction ou de répulsion.
Rôle important dans de nombreux domaines de la biologie tels que l’immunologie, lacroissance du cancer et la cicatrisation des plaies.
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Modèles en Biomathématiques Les bactéries
Exemple 1. Les bactéries
Les bactéries ”Bacillus subtilis”setrouvent dans le sol.
Le chimio-attractant est l’oxygèneconsommé par les organismes vivants.
C’est un transport des bactéries vers lesnutriments.
organisme ”Dictyostelium Discoideum”
se trouvant dans un milieu humide
cette amibe secrète un chimio-attractantpour s’agglomérer
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Modèles en Biomathématiques Le modèle de Keller-Segel
Modélisation
Le modèle de Keller-Segel est le plus populaire pour le contrôle chimique des mouvementscellulaires.
E.F. Keller and L.A. Segel. Te Keller-Segel model of chemotaxis (1970).
• Evolution de la densité cellulaire (u) :
∂t u −
Terme diffusif︷ ︸︸ ︷div(Λ(x)a(u)∇u) +
Terme chimiotaxie︷ ︸︸ ︷div(Λ(x)χ(u)∇v) = 0
• Evolution de la concentration du chimio-attractant (v):
∂t v − div(M(x)∇v) = αu − βv︸ ︷︷ ︸production et mortalité
a(u) : coefficient de diffusion.
χ(u) : sensitivité des cellules envers le chimio-attractant.
Λ(x) et M(x) : tenseurs anisotropes et hétérogènes.
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Modèles en Biomathématiques Le modèle de Keller-Segel
Modélisation
Le modèle de Keller-Segel est le plus populaire pour le contrôle chimique des mouvementscellulaires.
E.F. Keller and L.A. Segel. Te Keller-Segel model of chemotaxis (1970).
• Evolution de la densité cellulaire (u) :
∂t u −
Terme diffusif︷ ︸︸ ︷div(Λ(x)a(u)∇u) +
Terme chimiotaxie︷ ︸︸ ︷div(Λ(x)χ(u)∇v) = 0
• Evolution de la concentration du chimio-attractant (v):∂t v − div(M(x)∇v) = αu − βv︸ ︷︷ ︸
production et mortalité
Diffusion et sensitivite dégénérées.
a(u) = a0u(1− u), χ(u) = χ0u2(1− u)2.
Volume-Filling Effect
u
a χ
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Modèles en Biomathématiques Cicatrisation osseuse
Croissance osseuse
Schéma d’un os non fracturé.
Les différentes phases de la cicatrisation.
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Modèles en Biomathématiques Cicatrisation osseuse
La modélisation de la cicatrisation osseuse
Lors d’une fracture, la rupture des vaisseaux sanguins et de la matrice osseuse va entrâıner lalibération de signaux chimiques appelés facteurs de croissance qui vont attirer les cellulesavoisinantes vers la zone fracturée : cellules souches, macrophages ...
• Les cellules souches mésenchymateuses (s)présentes dans la moelle osseuse et le périoste.Elles migrent vers la fracture par diffusion etchimiotaxie puis elles se différencient en b
• Les ostéoblastes b. Elles sont obtenues pardifférenciation.
m La matrice osseuse est obtenue par synthèse des b.
g Le facteur de croissance ostéogénique.
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Modèles en Biomathématiques Cicatrisation osseuse
Modèle mathématique
Modèle proposé par Bailon-Plaza et Van der Meulen (2001).Cellules souches mésenchymateuses (s).
∂t s − ∇ ·(
Λ(m)∇s︸ ︷︷ ︸diffusion
−V (m)χ(s)∇m︸ ︷︷ ︸haptotaxie
)=
α1
β12 + m2
ms (1− s)︸ ︷︷ ︸mitose
−γ1
η1 + ggs︸ ︷︷ ︸
différentiation
Ostéoblastes (b).
∂t b =α2
β22 + m2
mb (1− b)︸ ︷︷ ︸mitose
+ ργ1
η1 + ggs︸ ︷︷ ︸
différentiation
− δ1b︸︷︷︸mort
Matrice osseuse (m).∂t m = λ (1−m) b︸ ︷︷ ︸
synthèse et dégradation
Facteur de croissance ostéogénique (g). Production du facteur de croissance par lesostéoblastes
∂t g −∇ · (Λg∇g)︸ ︷︷ ︸diffusion
=γ2
(η2 + g)2
gb︸ ︷︷ ︸production
− δ2g︸︷︷︸mort
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Modèles en Biomathématiques Cicatrisation osseuse
Géométrie et maillage.
0 0.14 0.1750
0.105
0.175
x (cm)
y (cm)
cellules souches,
facteur de croissance
matrice osseuse
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Modèles en Biomathématiques Traitement de cancer par Biochimiothérapie
Traitement de cancer par Biochimiothérapie
Cancer = Croissance incontrôlée de cellules anormales.
Biochimiothérapie = Immunothérapie + Chimiothérapie
Immunothérapie = Renforcer les capacités naturelles du corps humain à combattre lecancer.
Cytokine = Substances chimiques synthétisées par des cellules du système immunitaire
NK = Cellules NK (Natural Killer)(cellules tueuses naturelles),
Lymphocytes-T =Cellules tueuses qui s’attaquent aux cellules marquées (par les moléculesCMH.)
Chimiothérapie = une drogue afin de tuer les cellules tumorales qui ont un taux decroissance plus rapide que les cellules normales.
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Modèles en Biomathématiques Traitement de cancer par Biochimiothérapie
Traitement de cancer par Biochemothérapie : Modèle
Evolution de la tumeur.
dT
dt−div (a(T )∇T )︸ ︷︷ ︸
diffusion
+ div (χ(T )∇f )︸ ︷︷ ︸Haptotaxie vers
les cellules saines
= aT (1− bT )︸ ︷︷ ︸la croissance
logistique
− cNT︸ ︷︷ ︸la mort induitepar les cellules
NK
− d(L)T︸ ︷︷ ︸la mort induite
par les CD8+-T
− K(M)T︸ ︷︷ ︸mort de la tumeur
suite à lachimiothérapie
Evolution des cellules : NK, Lymphocytes T et Circulants, Médicament, Citokine ...
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Volumes Finis vs Eléments finis
Table of Contents
1 Modèles en Biomathématiques
2 Volumes Finis vs Eléments finis
3 Schéma monotone pour l’équation de Poisson
4 Schéma monotone pour Keller-Segel
5 Schéma positif pour une équation parabolique dégénérée
6 Schéma CVFE pour Keller-Segel
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Volumes Finis vs Eléments finis
Volumes Finis vs Eléments finis
Soit l’équation de diffusion-transport :
−div(Λ∇u) + div(cu) = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω.
Eléments finis. Chercher uh ∈ Vh ⊂ H10 (Ω) telle que∫Ω
Λ∇uh · ∇φh −∫
Ωcuh · ∇φh =
∫Ω
f φh, ∀φh ∈ Vh√
Pas de restriction sur le maillage; discrétisation du tenseur de diffusion.� Instabilités numériques pour le transport dominant.
Volume finis. Soit Th une partition de Ω, pour tout K ∈ Th,
−∫∂K
Λ∇u · n +∫∂K
uc · n =∫∂K
f .
Le maillage satisfait la condition d’orthogonalité (Eymard–Gallouët–Herbin) et Λ = Id
K L
xK xLσKL
∫σK,L
∇u · nK ,L ≈|σK ,L|dK ,L
(uL − uK )∫σK,L
u c · nK ,L ≈ uK (c · nK ,L)+ + uL(c · nK ,L)−
� Perte d’admissibilité du maillage =⇒ Perte de convergence.√Schéma décentré =⇒ pas d’oscillations dans le cas d’une convection dominante.
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Volumes Finis vs Eléments finis
Méthode combinée VF/EF
Schéma combiné.−div(Λ∇u)︸ ︷︷ ︸Elément Finis
+ div(cu)︸ ︷︷ ︸Volume Finis
= f
L
EDK
Maillage primal. Ω̄ = ∪K∈Th K̄Maillage dual. Ω̄ = ∪D∈Dh D̄Diamond D associé à σD = σK ,L
L
ED QD
•QEK•
•
•
• ••
••
•
•
•
•• •• •
•
σ
• Les inconnues
σ := σD,E : l’interface entre D et E
|D| = mes(D) et |σ| = mes(σ).
QD : le milieu du segment σD .
N (D) : l’ensemble de voisins de D.
dD,E := |QE − QD |
ηD,E : la normale à σD,E dirigée de Dvers E
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Volumes Finis vs Eléments finis
Méthode combinée VF/EF
Espace éléments finis P1 non conformes :
Xh := {ϕh ∈ L2(Ω);ϕh|K linéaire , ϕh continue aux points QD}
(ϕD )D∈Dh la base de Xh telle que ϕD (QE ) = δDE , E ∈ Dh.
•••
Schéma combiné ;
−∑
E∈N (D)ΛD,E (UE − UD ) +
∑E∈N (D)
G(UD ,UE ; CD,E ) = 0,
où la matrice de rigidité est
ΛD,E = −∑
K∈Th
∫K
Λ(x)∇ϕE · ∇ϕD dx (EF non conformes)
et le flux numérique G est défini par
G(UD ,UE ; CD,E ) = UD C+D,E + UE C
−D,E (schéma upwind)
avec CD,E =∫σD,E
c · nD,E dσ.
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Volumes Finis vs Eléments finis
Méthode combinée VF/EF
−∑
E∈N (D)ΛD,E (UE − UD ) +
∑E∈N (D)
G(UD ,UE ; CD,E ) = 0
P. Angot, V. Dolejsi, M. Feistauer and J. Felcman,Analysis of a combined barycentric finite volume-nonconforming finite element methodfor nonlinear convection-diffusion problems. Appl.Math.,43(4), p. 263-310, 1998.
R. Eymard, D. Hilhorst and M. Vohralik,A combined finite volume-nonconforming/mixed hybrid finite element scheme fordegenerate parabolic problems. Numer.Math., 105 : p. 73-131, 2006.
Le schéma combiné assure-t-il le principe du maximum?√
Si Λ = Id et tous les angles des triangles sont aigus, alors ΛD,E ≥ 0 =⇒ principe dumaximum.
� En général, ΛD,E ∈ R.
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Schéma monotone pour l’équation de Poisson
Table of Contents
1 Modèles en Biomathématiques
2 Volumes Finis vs Eléments finis
3 Schéma monotone pour l’équation de Poisson
4 Schéma monotone pour Keller-Segel
5 Schéma positif pour une équation parabolique dégénérée
6 Schéma CVFE pour Keller-Segel
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Schéma monotone pour l’équation de Poisson
Schéma monotone pour l’équation de Poisson
Soit Th un maillage de Ω. Soit uh = (uK )K∈Th telle que
SK (uh) = |K |fK , ∀K ∈ Th.
Un schéma est monotone s’il existe τh(uh) ≥ 0
SK (uh) =∑
L∈Th
τK ,L(uh) (uK − uL) +∑σ∈∂Th
τK ,σ(uh)uK
et τK ,L(uh) > 0 pour L ∈ N (K), τK ,σ(uh) > 0.
Positivité
Tout schéma monotone est positif (c-à-d si fh ≥ 0 alors uh ≥ 0).
En effet, on suppose m = minK∈Th
uK = uK0 < 0∑L∈Th
τK0,L︸ ︷︷ ︸≥0
(m − uL)︸ ︷︷ ︸≤0
+∑σ∈∂Th
τK0,σ︸ ︷︷ ︸≥0
m︸︷︷︸ 0, (K0 touche le bord), alors m = 0
Si τK0,L > 0, (K0 ∈◦Th), alors uL = m, ∀L ∈ Th et donc m = 0.
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Schéma monotone pour l’équation de Poisson
Correction non linéaire monotone (Le Potier (2010))
Soit un schéma conservatif : Ah(uh) = fh tel que
AK (uh) =∑
L∈V (K)αK ,L (uK − uL), et αK ,L ∈ R.
Soit γh(uh) = (γK ,L(uh)) une famille telle que∑L∈V (K)
γK ,L|uK − uL| = 1.
AlorsAK (uh) =
∑L∈V (K)
γK ,LAK |uK − uL|.
Correction monotone. On choisit une famille βh(uh) = (βK ,L(uh)) telle que
SK (uh) =∑
L∈V (K){γK ,Lsigne(uK − uL)AK + βK ,L}︸ ︷︷ ︸
=τK,L>0
(uK − uL) soit monotone.
Il suffit de prendre βK ,L > γK ,L|AK |.
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Schéma monotone pour l’équation de Poisson
Correction non linéaire monotone (Le Potier (2010)
Choix de γK ,L tel que∑
L∈V (K) γK ,L|uK − uL| = 1.
γK ,L =1∑
Z∈V (K) |uK − uZ |:= γK (choix global).
V (K)? = {Z ∈ V (K); uZ 6= uK} et γK ,L =1
cardV (K)?|uK − uL|(choix local).
Propriétés du schéma corrigé monotone
Si βK ,L = βL,K et Ah est conservatif, alors Sh est conservatif.
Si Ah est coercif alors Sh est coercif.
Si∑
K∈Th diam(K)∑
L∈V (K) βK ,L|uK − uL| −−−→h→00, alors le schéma corrigé est
convergent.
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Schéma monotone pour Keller-Segel
Table of Contents
1 Modèles en Biomathématiques
2 Volumes Finis vs Eléments finis
3 Schéma monotone pour l’équation de Poisson
4 Schéma monotone pour Keller-Segel
5 Schéma positif pour une équation parabolique dégénérée
6 Schéma CVFE pour Keller-Segel
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Schéma monotone pour Keller-Segel
Schéma monotone pour Keller-Segel, avec G. Chamoun, R. Talhouk
∂t u −Terme diffusif︷ ︸︸ ︷
div(Λ(x)a(u)∇u) +
Terme convectif︷ ︸︸ ︷div(χ(u)Λ(x)∇v) = 0
∂t v − div(M(x)∇v) = h(u, v).
Schéma d’Euler implicite en temps et combiné en espace.
Diffusion : A(u) =
∫ u0
a(z) dz
∫σD,E
Λ(x)∇A(u) · ηD,E ≈ ΛD,E(A(un+1E )− A(u
n+1D )
)ΛD,E = −
∑K∈Th
(Λ(x)∇ϕE ,∇ϕD )0,K KL
ED •QD
•QEσEσD,E
Transport. Schéma décentré selon Λ∇v · η
∫σD,E
χ(u)Λ(x)∇v · ηD,E ≈ G(un+1D , un+1E ; v
n+1D,E )
vn+1D,E = ΛD,E (vn+1E − v
n+1D ) ≈
∫σD,E
Λ(x)∇v · ηD,E ED
QD
QEσD,E
•QD
•QE
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Schéma monotone pour Keller-Segel
Schéma combiné corrigé
|D|un+1D − u
nD
δt−
∑E∈N (D)
τn+1D,E(A(un+1E )− A(u
n+1D )
)+
∑E∈N (D)
G(un+1D , un+1E ; v
n+1D,E ) = 0
|D|vn+1D − v
nD
δt−
∑E∈N (D)
Mn+1D,E(vn+1E − v
n+1D
)= |D|f (unD , v
n+1D ) .
La correction monotone sur les flux diffusifs :
τn+1D,E = γD,E (A(uh))signe(A(uD )− A(uE ))BD + βD,E (A(uh)) > 0
associée au flux diffusif initial: BD =∑
E∈N (D) ΛD,E (A(uD )− A(uE )).De même pour Mn+1D,E .
Les propriétés du flux numérique G
Monotonie : a 7→ G(a, ·, ·) est croissante, b 7→ G(·, b, ·) est décroissante.Consistance: G(a, a, c) = −χ(a)cConservation: G(a, b, c) = −G(b, a,−c).
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Schéma monotone pour Keller-Segel
Principe du maximum
Problème dégénéré : χ(0) = χ(1) = 0, par exemple χ(u) = χ0u(1− u)2.
Prolongement par continuité de χ. Alors χ(u) = 0 pour u ≤ 0 et u ≥ 1.
Proposition (Principe du Maximum)
On suppose u0 ∈ [0, 1] et v0 ≥ 1., alors
0 ≤ un+1D ≤ 1 et vn+1D ≥ 0, D ∈ Dh, n ∈ {1, . . . ,N}.
Preuve par récurrence sur n. On suppose unD ≥ 0 pour tout D. Soit un+1D0
= minD un+1D . On
multiplie l’équation de D0 par w = −(un+1D0 )− :
−|D0|un+1D0
− unD0δt
(un+1D0)−︸ ︷︷ ︸
J1
+∑
E
τn+1D,E
(A(un+1E )− A(u
n+1D0
))
(un+1D0)−
︸ ︷︷ ︸J2
−∑
E
G(un+1D0, un+1E ; C
n+1D,E )(u
n+1D0
)−
︸ ︷︷ ︸J3
= 0
J1 =|D0|δt|(un+1D0 )
−|2 +|D0|δt
unD0(un+1D0
)−, J2 ≥ 0 car A est croissante
J3 ≥ −G(un+1D0 , un+1D0
; C n+1D,E )(un+1D0
)− = −χ(un+1D0 )Cn+1D,E (u
n+1D0
)− = 0
Alors |(un+1D0 )−| = 0 =⇒ un+1D0 ≥ 0.
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Schéma monotone pour Keller-Segel
Estimates et convergence
Proposition (Estimation d’énergie)
N−1∑n=0
δt∑σD,E
SD,E |A(unE )− A(unD )|
2 ≤ C , → Ah(uh) ∈ L2(0,T ; H1(Ω))
N−1∑n=0
δt∑σD,E
MD,E |vnE − vnD |
2 ≤ C , → vh ∈ L2(0,T ; H1(Ω))
Translatés en temps et en espace:∫∫Ω×[0,T−τ ]
(Ah(uh(t + τ, x))− Ah(uh(t, x))
)2dxdt ≤ C(τ + δt).∫∫
Ω×[0,T ](Ah(uh(t, x + ξ))− Ah(uh(t, x))
)2dxdt ≤ c ′|ξ|(|ξ|+ h).
Conséquences :Convergence forte: A(uh) −→ Γ = A(u) dans L2(QT ) car A est monotone.(uh, vh) converge vers (u, v) solution faible du problème continu.
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Schéma monotone pour Keller-Segel
Tests numériques
Test 1. On considère Λ =
[1, 5 11 2
], θ = 51◦, M = Id , χ(u) = u(1− u)2,
Densité cellulaire u0=1, 620 triangles Chimio-attractant v0 = 5
Avant correction:−1.23×10−2 ≤ u(t = 0.4) ≤ 0.1918
Après correction:0 ≤ u(t = 0.4) ≤ 0.1885
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Schéma monotone pour Keller-Segel
Test 1 ...
Avant correction:−2.47× 10−2 ≤ u(t = 1) ≤ 0.4829
Après correction:0 ≤ u(t = 1) ≤ 0.4792
Avant correction:−2.81× 10−2 ≤ u(t = 4) ≤ 0.6862
Après correction:0. ≤ u(t = 4) ≤ 0.6727
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Schéma monotone pour Keller-Segel
Test 2. aléatoire
Densité cellulaire0 ≤ u0 ≤ 1.Triangles(1563)
Concentration du chimio-attractantv0 = 10
u(t = 0.02) u(t = 1) u(t = 10)
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Schéma monotone pour Keller-Segel
Correction monotone
Correction monotone :√
Assure le principe du maximum√
Stabilité numérique
� Convergence sous une certaine condition sur les termes additionnels� Correction fortement non linéaire
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Schéma positif pour une équation parabolique dégénérée
Table of Contents
1 Modèles en Biomathématiques
2 Volumes Finis vs Eléments finis
3 Schéma monotone pour l’équation de Poisson
4 Schéma monotone pour Keller-Segel
5 Schéma positif pour une équation parabolique dégénérée
6 Schéma CVFE pour Keller-Segel
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Schéma positif pour une équation parabolique dégénérée
Schéma positif pour une équation dégénérée, avec C. Cancès, M. Ibrahim.
Trouver un schéma positif pour l’équation dégénérée
∂t u − div(a(u)Λ∇u) = 0 dans QT
avec les conditions : a(u)Λ∇u · η = 0 sur ∂QT , et u(0, x) = u0(x) pour x ∈ Ω.
Hypothèse
a(u) > 0 pour u ∈ (0, 1) et a(0) = a(1) = 0. Le tenseur Λ est coercif.
Schéma de Godnuov pour ∂t u + ∂x f (u) = 0, f convexe
un+1i − uni
δt+
1
δx
(f (un+1i , u
n+1i+1 )− f (u
n+1i−1 , u
n+1i )
)= 0
avec
f (ug , ud ) =
min
ug≤u≤udf (u) si ug ≤ ud
maxud≤u≤ug
f (u) si ud ≤ ug
Idée : Traiter l’équation comme une équation de transport :
∂t u + div(a(u)V) = 0, et V(u) = −Λ(x)∇u
sur un maillage triangulaire.
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Schéma positif pour une équation parabolique dégénérée
Maillage CVFE
KL
σKL
Maillage primal T ∈ T
KL
xT
xσ
Maillage dual (Cell Vertex) K ∈ MωK volume de contrôle du sommet K
• HT espace d’éléments finis P1 conforme
HT = {φ ∈ C0 (Ω) ;φ|T ∈ P1 (R) , ∀T ∈ T } ⊂ H1 (Ω)
avec (ϕK )K∈V la base canonique (ϕK (xL) = δKL).
• XM l’espace volumes finis constant par maille dual
XM = {φ ∈ L∞ (Ω) ;φ|ωK ∈ R est constant, ∀K ∈M}Mazen Saad (ECN) Schémas volumes finis positifs Rennes 28 janvier 2016 33 / 45
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Schéma positif pour une équation parabolique dégénérée
Discrétisation CVFE
On intègre sur ωK × (tn, tn+1),
|ωK |un+1K − u
nK
δt+
∑σKL⊂∂ωK
F (un+1K , un+1L ) = 0
où F (un+1K , un+1L ) ≈
∫σK,L
a(u)V · η|KL est approché par le flux de Godunov associé à
f (u) = a(u)V · η|KL ≈ ΛKL(uK − uL)a(u) avec ΛKL = −∫
Ω Λ(x)∇φK · ∇φL
F (uK , uL) =
min
uK≤u≤uL
(ΛKL(uK − uL)a(u)
)si uK ≤ uL
maxuL≤u≤uK
(ΛKL(uK − uL)a(u)) si uK ≥ uL
On note IKL = [min(uK , uL),max(uK , uL)] et aKL =
minIKL
a(u) si ΛKL < 0,
maxIKL
a(u) si ΛKL ≥ 0,
Schéma CVFE-Godunov-Diffusion
|ωK |un+1K − u
nK
δt+
∑σKL⊂∂ωK
ΛKLan+1KL (u
n+1K − u
n+1L ) = 0.
Mazen Saad (ECN) Schémas volumes finis positifs Rennes 28 janvier 2016 34 / 45
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Schéma positif pour une équation parabolique dégénérée
Principe du Maximum pour CVFE–Godunov-Diffusion
Proposition (Principe du Maximum )
Soit u0 ∈ [0, 1], alors 0 ≤ un+1K ≤ 1, K ∈M, n ∈ {1, . . . ,N}.
Preuve par récurrence sur n. On suppose unK ≥ 0 pour tout K . Soit un+1K0
= minL un+1L . On
écrit ΛKL = Λ+KL − Λ
−KL. On multiplie l’équation de K0 par w = −(u
n+1K0
)− ≤ 0
−|ωK0 |un+1K0
− unK0δt
(un+1K0)−︸ ︷︷ ︸
J1
−∑σK0L
Λ+K0Lan+1K0L
(un+1K0− un+1L )(u
n+1K0
)−
︸ ︷︷ ︸J2≥0
+∑σK0L
Λ−K0Lan+1K0L
(un+1K0− un+1L )(u
n+1K0
)−
︸ ︷︷ ︸J3=0
= 0
J1 =|ωK0 |δt|(un+1K0 )
−|2 +|ωK0 |δt
unK0 (un+1K0
)−, J2 ≥ 0 car un+1K0 ≤ uL
Si ΛK0L ≤ 0, alors an+1K0L
= minuK0≤u≤uL
a(u) et an+1K0L(un+1K0
)− = 0 car a(u) = 0 pour u ≤ 0, alors
J3 = 0.Alors |(un+1K0 )
−| = 0 =⇒ un+1K0 ≥ 0 .
Mazen Saad (ECN) Schémas volumes finis positifs Rennes 28 janvier 2016 35 / 45
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Schéma positif pour une équation parabolique dégénérée
Estimation d’énergie
Cas continue. On multiplie par u et on intègre l’équation en temps et en espace :
1
2
∫Ω
|u(t, x)|2 dx −1
2
∫Ω
|u0(x)|2 dx +∫
Qt
a(u)Λ∇u · ∇u dtdx = 0
donc√
a(u)∇u est bornée dans L2(Qt ) et ∇u /∈ L2(Qt ).
∇ξ(u) est bornée dans L2(Qt ) et ξ(u) =∫ u
0
√a(z) dz.
Cas discret. On multiplie par un+1K et on somme en n et K
1
2
∑K∈M
|ωK |(|uNK |2 − |u0K |
2) +
N−1∑n=0
δt∑σKL∈E
ΛKLan+1KL (u
n+1K − u
n+1L )
2 = 0.
Estimation sur ∇ξh,δt
N−1∑n=0
δt∑σKL∈E
ΛKL(ξ(un+1K )− ξ(u
n+1L ))
2 ≤N−1∑n=0
δt∑σKL∈E
ΛKLan+1KL (u
n+1K − u
n+1L )
2.
Donc ∫Qt
Λ∇ξh,δt · ∇ξh,δt dtdx ≤ C .
=⇒ Convergence vers une solution faible.Mazen Saad (ECN) Schémas volumes finis positifs Rennes 28 janvier 2016 36 / 45
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Schéma CVFE pour Keller-Segel
Table of Contents
1 Modèles en Biomathématiques
2 Volumes Finis vs Eléments finis
3 Schéma monotone pour l’équation de Poisson
4 Schéma monotone pour Keller-Segel
5 Schéma positif pour une équation parabolique dégénérée
6 Schéma CVFE pour Keller-Segel
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Schéma CVFE pour Keller-Segel
Schéma CVFE pour Keller-Segel
Modèle de Keller-Segel hétérogène. Equation de la densité cellulaire
∂t u−div (Λ (x) a (u)∇u)︸ ︷︷ ︸CVFE−Godunov
+div (Λ (x)χ (u)∇v) = f (u)
Hypothèse : χ(u) dégénère plus vite que a(u)
χ (u) = µ (u)× a (u) avec µ (0) = µ (1) = 0, µ(u) > 0 pour u ∈ (0, 1).
La discrétisation des termes convectifs∫ tn+1tn
∫ωK
div (Λχ (u)∇v) ≈ −∑
σKL∈EK
ΛKL µn+1KL︸ ︷︷ ︸
upwind
Godunov︷︸︸︷an+1KL
(vn+1K − v
n+1L
)Schéma CFVE non linéaire pour la densité cellulaire :
|ωK |un+1K − u
nK
δt+
∑σKL∈EK
ΛKLan+1KL
(un+1K − u
n+1L
)−
∑σKL∈EK
ΛKLµn+1KL a
n+1KL
(vn+1K − v
n+1L
)= |ωK |f
(un+1K
)Le choix de an+1KL assure les estimations d’énergie.
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Schéma CVFE pour Keller-Segel
Schéma positif pour l’équation de la concentration chimique
Equation du chimio-attractant :
∂t v − div (M (x)∇v) = νu − δv
Pour assurer la positivité de la concentration, on fait dégénérer l’équation : ∇v = v∇ln(v).
η (v) = max (0,min (v , 1)) , p (v) =
∫ v1
1
η (s)ds
on applique le schéma CVFE-Godunov sur : ∂t v − div (M η(v)∇p(v)) = νu − δv
Schéma CVFE-Godunov pour le chimio-attractant
ωKvn+1K − v
nK
∆t+
∑σKL∈EK
MKLηn+1KL
(p(vn+1K
)− p
(vn+1L
))= ωK
(νunK − δv
n+1K
)
ηn+1KL =
max
s∈I n+1KL
η(s) if MKL ≥ 0
mins∈I n+1
KL
η(s) if MKL < 0
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Schéma CVFE pour Keller-Segel
Estimations et convergence
Proposition
(Principe du maximum) Soient u0M ∈ [0, 1] et v0M ≥ 0. alors
0 ≤ unK ≤ 1 et vnK ≥ 0 ∀K ∈ M, ∀n ∈ {0, . . . ,N + 1}
(Esimation sur vM,∆t )
∫∫Qtf
M∇vT ,∆t · ∇vT ,δtdx dt =N∑
n=0
∆t∑σKL∈E
MKL(vn+1K − v
n+1L )
2 ≤ C .
(Esimation sur uM,∆t )∑K∈M
mK |un+1K |2 + δt
∑σKL∈E
ΛKL(ξ(un+1K )− ξ(u
n+1L )
)2≤∑
K∈MmK |un+1K |
2 + δt∑σKL∈E
ΛKLan+1KL
(un+1K − u
n+1L
)2≤ C .
Esimation sur les translatés en temps et en espace sur vM,∆t et ξ(uM,∆t ).
Convergence du schéma CVFE non linéaire
La suite (uM,∆tm , vMm,∆tm )m converge vers (u, v) quand m →∞:
0 ≤ u(t, x) ≤ 1, v(t, x) ≥ 0 p.p.; (ξ (u) , v) ∈ (L2(0,T ; H1(Ω)))2;
telle que ∀ϕ ∈ D(Ω× [0, t))
−∫
Ω
u0 (x)ϕ (x, 0)−∫
Qt
u∂tϕ dx dt +
∫Qt
a (u) Λ∇u · ∇ϕ−∫
Qt
Λ (x)χ (u)∇v · ∇ϕ = 0.
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Schéma CVFE pour Keller-Segel
Tests numériques
Tenseurs anisotropes
Λ = d1
(7 22 10
), M = d2
(1 00 3
). d1 = 0.0005, d2 = 0.0001.
Les données :χ(u) = 0.05u2(1− u)2, a(u) = u (1− u). ν = 0.01, δ = 0.005∆t = 0.002
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Schéma CVFE pour Keller-Segel
Maillages primal et dual
Maillage primal, 5193 triangles Maillage dual, 2665 volumes
u0(x, y) = 1 v0(x, y) = 5
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Schéma CVFE pour Keller-Segel
Evolution de la densité cellulaire (cas anisotrope)
t = 0 0≤u≤ 1 t = 0.28 0≤u≤ 0.772 t = 0.88 0≤u≤ 0.535
t = 1.52 0≤u≤ 0.97 t = 3.4 0≤u≤ 0.983 t = 4 0≤u≤ 0.981
Mazen Saad (ECN) Schémas volumes finis positifs Rennes 28 janvier 2016 43 / 45
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Schéma CVFE pour Keller-Segel
Mazen Saad (ECN) Schémas volumes finis positifs Rennes 28 janvier 2016 44 / 45
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Schéma CVFE pour Keller-Segel
Mazen Saad (ECN) Schémas volumes finis positifs Rennes 28 janvier 2016 45 / 45
Modèles en BiomathématiquesLes bactériesLe modèle de Keller-SegelCicatrisation osseuseTraitement de cancer par Biochimiothérapie
Volumes Finis vs Eléments finisSchéma monotone pour l'équation de Poisson Schéma monotone pour Keller-SegelSchéma positif pour une équation parabolique dégénéréeSchéma CVFE pour Keller-Segel
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