sistem jaringan antrian fix
Post on 24-Jan-2016
237 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
M A T A K U L I A H J A R T E L
BAB II
PENDAHULUAN KE ANTRIAN
2.1. Umum
SISTEM ANTRIAN : SISTEM KOMODITI MENGALIR /
BERGERAK / DIPINDAHKAN DARI SATU TITIK MELALUI
SEBUAH KANAL / BEBERAPA KANAL YANG MEMPUNYAI
KAPASITAS TERBATAS KE TITIK YANG LAIN.
KOMODITI KANAL
Kendaraan Jalan Raya
Barang Kereta api, kapal, dan lain-lain
Air Bendungan
Data Jaringan data
Sinyal Jaringan Telekomunikasi
Panggilan telepon Jaringan Telepon, sentral telepon
KAPASITAS KANAL TERBATAS :
DALAM MENYALURKAN KOMODITI, KANAL MEMPUNYAI
KAPASITAS MENYALURKAN SEJUMLAH KOMODITI PER
SATUAN WAKTU (RATE) TERBATAS.
TEORI ANTRIAN :
SALAH SATU TEORI UNTUK MENGANALISIS SISTEM
ANTRIAN.
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 1
M A T A K U L I A H J A R T E L
JENIS-JENIS SISTEM ALIRAN :
1. ALIRAN KONSTAN/DETERMINISTIK
2. ALIRAN TIDAK KONSTAN/STOKASTIK
1) S I S T E M A L I R A N K O N S T A N
ALIRAN BERJALAN DENGAN SIFAT YANG DAPAT
DIRAMALKAN (PREDICTABLE).
- KUANTITAS ALIRAN DIKETAHUI DAN KONSTAN
TERHADAP WAKTU.
- WAKTU SAAT ALIRAN MASUK (DATANG) KE KANAL
DAN BERAPA BESAR KEBUTUHAN ALIRAN ADALAH
DIKETAHUI DAN KONSTAN.
Contoh: Sistem produksi dengan ban berjalan.
Asumsi: - komoditi bergerak dengan rate yang konstan
R = Rate Kedatangan
- Waktu proses (lamanya waktu pelayanan) untuk setiap
komoditi : L (satuan waktu)
Predefinisi : C = Kapasitas = rata pelayanan (maks)
= R/L
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 2
Selesai dilayani
Permintaan
Pelayanan
M A T A K U L I A H J A R T E L
DIINGINKAN : R < C
Harga rata-rata Kapasitas sistem harus lebih besar dari pada
harga rata-rata rate kedatangan.
2) SISTEM ALIRAN TIDAK KONSTAN ( STOKASTIK /
RANDOM )
Waktu kedatangan komoditi ( permintaan untuk
dilayani ) tak dapat diramalkan / ditentukan.
Besarnya komoditi tak dapat diramalkan / ditentukan.
Contoh :
Dalam sistem antrian ini terdapat kemungkinan bahwa
permintaan pelayanan datang pada waktu pelayan masih
melayani permintaan, jadi permintaan yang dating pada waktu
tersebut terpaksa harus menunggu.
PERTANYAAN :
Berapa lama sebuah permintaan akan menunggu
sebelum dapat dilayani ?
Berapa prosen dari permintaan yang terpaksa harus
menunggu ?
Berapa prosen dari waktu bahwa pelayan sibuk ?
Dll.
JAWABAN : Teori probabilitas dan Statistik digunakan untuk
menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut.
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 3
Pelayan
M A T A K U L I A H J A R T E L
S I S T E M Y A N G P A L I N G S E D E R H A N A
Sistem Antrian
PARAMETER UNTUK MENDISKRIPSIKAN SISTEM ANTRIAN
P R O S E S M A S U K A N.
D I S I P L I N P E L A Y A N A N.
D I S I P L I N A N T R I A N.
NOTASI KENDALL
M / M / n
Contoh :
Proses Masukan : ProsesPelayanan :
( Waktu Pelayanan )
M : Markovian. M : Markovian.
D : Deterministic. D : Deterministic.
E : Erlangian. E : Erlangian.
G : General. G : General.
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P
Proses Masukan / Proses Pelayanan / Jumlah Pelayan
4
Masukan Keluaran
M A T A K U L I A H J A R T E L
*DISIPLIN PELAYANAN (ANTRIAN)
- First In First Out (FIFO atau FCFS)
- RANDOM (ACAK)
- Last In First Out (LIFO)
- Prioritas :
a. Pre-emptive (Prioritas tinggi mendesak prioritas
yang lebih rendah)
b. Non pre-emptive (Prioritas tinggi yang tidak
mendesak prioritas yang lebih rendah)
- Dll.
Kembali ke notasi Kendall:
A / B / C
A : Distribusi waktu antar kedatangan/permintaan.
B : Distribusi waktu pelayanan (service time/holding time).
C : Jumlah pelayanan.
Selain itu masih dapat ditambah keterangan :
- Kapasitas sistem atau jumlah permintaan/pelanggan yang
dapat diantrikan atau kapasitas buffer atau panjang
antrian maksimum (tak termasuk yang sedang dalam
pelayanan).
- Jumlah populasi yang ada dalam sistem.
Catatan : Ada yang memberi notasi A/B/C/D/E.
Ini dapat memberikan pengertian yang salah karena
ada yang memberi arti bahwa D termasuk pelanggan
yang sedang dalam pelayanan.
Jadi notasinya lebih baik A/B/C ditambah keterangan.
Kalau tanpa keterangan berarti D dan E tak terhingga.
2.2. J A R I N G AN A N T R I A N
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 5
M A T A K U L I A H J A R T E L
Banyak sistem telekomunikasi dan komputer dapat
dimodelkan sebagai J a r i n g a n dari A n t r i a n.
Dua macam jaringan antrian :
J A R I N G A N T E R B U K A :
Pelanggan dapat masuk ( ke ) dan keluar ( dari ) sistem
berasal dari dunia luar sistemnya. Dalam hal ini, jumlah
pelanggan ( panggilan atau paket data ) dapat berubah
dengan waktu.
J A R I N G A N T E R T U T U P :
Jumlah pelanggan dalam sistem tetap dan berputar
( circulate ) didalam sistem
( jaringan ) terus menerus. Jaringan ini tak berhubungan
dengan dunia luar sistemnya.
Contoh Jaringan Tertutup :
Gambar 2.1. Jaringan Tertutup
Jaringan yang sebelumnya dapat digambarkan pula sbb :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 6
M A T A K U L I A H J A R T E L
Gambar 2.2. Jaringan Tertutup
Pendiskripsian sederhana untuk sistem antrian : Vektor yang
menunjukkan jumlah total pelanggan didalam tiap antrian
pada saat tertentu.
2.2.1.STATISTIK MARKOV
Sering digunakan dalam memodelkan sistem antrian dan
pendiskripsian kondisi ini pada umumnya sudah cukup lengkap
untuk mendiskripsian jaringan pada saat tertentu tanpa
memasukkan waktu kapan kedatangan terakhir atau lamanya
waktu didalam pelayanan.
Bila jumlah pelayan bertambah, jumlah kondisi akan bertambah
dengan cepat. Oleh karena itu teknik khusus harus
dikembangkan untuk mengatasi masalah ini.
Mengurangi ANTRIAN dengan PELAYANAN TUNGGAL
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 7
Terminal-terminal pelayan
Sistem antrianCPU
M A T A K U L I A H J A R T E L
DIAGRAM KONDISI
TRANSISI
Kedatangan = Kelahiran
Kepergian = Kematian
KOEFISIEN TRANSISI
bn
bn = koefisien kelahiran
( pola kedatangan )
dn
dn = koefisien kematian
( pola kepergian )
2.2.2.DIAGRAM PERUBAHAN KONDISI(State Transition
Diagram)
Definisi :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P
0
8
0 1 2 3
321
n n+1
n-1 n
M A T A K U L I A H J A R T E L
P (i (i + 1) selama waktu dt) = bi dt + 0(dt)
P (i (i - 1) selama waktu dt) = bi dt + 0(dt)
P (Lebih dari satu transisi) = o(dt)
Dimana
PERSAMAAN KONDISI
Kondisi
pada t
Kondisi
pada t +
dt
P(Transisi dalam dt / kondisi pada waktu t)
i i
i -1 i
i + 1 i
Lainnya i
PERSAMAAN KESETIMBANGAN
Jumlah semua pengaruh yang membawa sistem masuk ke
kondisi harus seimbang (sama) dengan semua pengaruh yang
membawa sistem keluar dari kondisi.
HASIL DASAR:
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 9
M A T A K U L I A H J A R T E L
atau
2.3. A N T R I A N M/M/1
Gambar 2.3. Diagram State sistem Antrian M/M/1
Asumsi:
1. Panggilan datang secara acak ke antrian dari suatu
sumber trafik yang jumlah sumbernya tak terhingga
2. Terdapat tempat tunggu yang tak terhingga bagi
panggilan yang menunggu
3. Waktu pelayanan (waktu pendudukan pelayan)
mempunyai Distribusi Exponensial Negatip
PEMISAHAN (splitting) dan PENGGABUNGAN (merging) dari
PROSES POISSON
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 10
M A T A K U L I A H J A R T E L
Gambar 2.4. Pemisahan secara acak(random)
Proses Poisson
Pemisahan Proses Proisson dari masukan ke (tiga) antrian
keluaran secara acak dengan probabilitas yang tak bergantung
bebas:
P1 P2 P3
akan memberikan Proses Poisson di masing-masing antrian
keluaran.
Gambar 2.4 Proses Penggabungan Proses Poisson
Tiga masukan proses Poisson yang saling tak bergantungan
(bebas secara statistik) bila digabungkan akan memberikan:
Proses Poisson.
2.3.1.A N A L I S I S A N T R I A N M/M/1
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 11
M A T A K U L I A H J A R T E L
Dari . (dari hasil kuliah mk sebelumnya)
didapat
Sehingga didapat hasil sederhana:
Dengan
didapat:
Untuk mencari nilai P(0) digunakan relasi: Jumlah semua
probabilitas kondisi sama dengan satu, jadi
Bagaimana deret tersebut dijumlah ?
Untuk itu digunakan ”trick” sebagai berikut:
Bila S = jumlah deret yang dicari maka,
S = 1 + + 2 + 3 + ...
Dikalikan dengan : S = 0 + + 2 + 3 + ...
Dikurangi: S - S = 1
Jadi , ini berlaku bila || < 1
Jadi
Distribusi ini dikenal dengan:
D i s t r i b u s i G e o m e t r i s
(Geometric Distribution)
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 12
M A T A K U L I A H J A R T E L
Setelah didapat rumus probabilitas kondisi dari sistem antrian
ini, perlu diturunkan rumus untuk
”P e r f o r m a n c e C h a r a c t e r i s t i c”
dari sistem antrian M/M/1 ini:
Pertama: PROBABILITAS TUNGGU :
Karena panggilan yang datang pada waktu
pelayanan sibuk akan terpaksa harus menunggu
maka
P[Tunggu] = P(1) + P(2) + P(3) + . . .
Hal ini dapat dicari dengan mudah karena jumlah
semua probabilitas kondisi sama dengan satu
maka:
P[Tunggu] = 1 - P(0) =
Variabel dikenal sebagai “ U t i l i s a t i o n ”
atau Faktor Pemakaian.
Untuk sistem antrian M/M/1 ini dapat dimengerti karena
pemakaian dari antrian adalah probabilitas bahwa sistem
antrian tidak kosong.
Dari tabel tersebut dapat dilihat bahwa untuk beban sistem
yang ringan, pada umumnya terdapat jumlah yang antri lebih
kecil dari 4.
Sedangkan untuk beban sistem yang besar ( = 0,9), terdapat
probabilitas sebesar 28% menjumpai panjang antrian lebih
besar atau sama dengan 12.
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 13
M A T A K U L I A H J A R T E L
Kedua : Harga rata-rata panggilan (atau pelanggan) yang
berada dalam sistem
Fungsi ini sering
digunakan sebagai
fungsi penalti
pada algoritma
optimasi jaringan
komputer.
VARIANSI JUMLAH PELANGGAN DALAM SISTEM
Pertanyaan:Hitung besarnya variansi jumlah pelanggan
didalam sistem dengan memakai rumus berikut dan teknik
sebelum ini untuk mendapatkan jumlah dari deret :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 14
1.00
30
15
)-(1n
M A T A K U L I A H J A R T E L
Tunjukkan bahwa
2.4. RUMUS LITTLE
Salah satu hasil yang paling menarik di dalam teori antrian
adalah rumus yang dibuat oleh J.D.C. Little. Rumusnya dapat
dinyatakan sebagai berikut:
dimana:
= harga rata-rata jumlah pelanggan didalam sistem.
= harga rata-rata ”rate” datangnya panggilan ke dalam
sistem.
= harga rata-rata waktu lamanya pelanggan berada
didalam sistem.
Rumus Little ini biasanya ditulis dengan:
PENURUNAN RUMUS LITTLE
NOTASI :
= Jumlah yang datang ke dalam sistem di dalam
selang waktu (0,t) (atau fungsi jumlah yang datang
terhadap waktu).
=Jumlah yang berakhir/meninggalkan sistem di dalam
selang waktu (0,t) atau fungsi jumlah fungsi yg berakhir
tehadap waktu
Jumlah pelanggan
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 15
M A T A K U L I A H J A R T E L
Gambar 2.5 Mekanisme kedatangan Pelanggan dalam sistem
Luas total antara kedua kurva sampai dengan suatu waktu t
dinyatakan dengan
Ini merupakan jumlah total waktu semua
pelanggan berada dalam sistem sampai
dengan waktu t (dalam pelanggan/detik).
Dengan = harga rata-rata rate datangnya panggilan
(pelanggan/detik ) dalam selang waktu (0,t),
maka
Dengan = harga rata-rata waktu lamanya setiap pelanggan
berada dalam selang waktu (0,t)
maka
Harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam sistem antrian
selama waktu (0,t) adalah sebesar :
Jadi :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P
)(0t
)(0t
16
M A T A K U L I A H J A R T E L
Dengan asumsi bahwa sistem mencapai keadaan stabil
(setimbang) pada waktu
Maka dan
sehingga
Ini berarti bahwa : Harga rata-rata jumlah pelanggan didalam
sistem antrian = harga rata-rata rate datangnya panggilan x
harga rata-rata
lamanya waktu pelanggan dalam sistem.
2.4.1 BUKTI RUMUS LITTLE SECARA INTUISI
Suatu pelanggan yang datang akan mendapatkan harga
rata- rata jumlah pelanggan N di dalam system sama dengan
ketika pelanggan tersebut meninggalkan system dan ini sama
dengan λ (rate kedatangan ) x T (waktu rata – rata di dalam
sistem)
Jadi : = λ x T
C A T A T A N :
(1) Distribusi kedatangan dan waktu pelayanan adalah
sembarang
(2) Jumlah pelayan adalah sembarang
(3) Dapat diterapkannya hanya terhadap yang antri
saja atau yang dalam pelayanan saja atau kedua –
duanya,
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 17
M A T A K U L I A H J A R T E L
Yaitu sbb :
= W ;
= Harga rata – rata jumlah pelanggan di dalam
antrian.
W = Harga rata – rata waktu tunggu di dalam antrian
= ;
= Harga rata – rata jumlah pelanggan di dalam
fasilitas pelayanan
= Harga rata – rata waktu lamanya pelanggan di
dalam fasilitas pelayanan
2.4.2. PEMAKAIAN RUMUS LITTLE
Ingin dihitung harga rata-rata waktu pelanggan di dalam
sistem antrian dan di dalam antrian itu sendiri.
Sedemikian jauh, telah diketahui harga rata-rata jumlah
pelanggan di dalam sistem dan di dalam antrian.
Telah diketahui :
maka dengan memakai rumus Little didapat :
Jadi
Harga rata-rata waktu pelanggan berada dalam antrian :
Yang dinamakan “sistem” dalam rumus Little sangat fleksibel
Dengan demikian dapat ditulis relasi sbb :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 18
M A T A K U L I A H J A R T E L
Dimana T adalah harga rata-rata waktu pelanggan dalam
sistem
Sehingga :
P R O S E S S T O K A S T I K
SUATU PROSES STOKASTIK X ( t ), adalah suatu kumpulan
variabel acak yang ditentukan(“defined”)pada suatu waktu t є T.
T disebut SET INDEKS dari proses stokastik.
T dapat merupakan suatu set harga integer : T=1, 2, ……
dalam kasus mana MERUPAKAN suatu PROSES STOKASTIK
WAKTU DISKRIT, atau dapat merupakan suatu set harga yang
kontinyu :
T = ( - ~ < t < ~ ) dalam kasus mana merupakan suatu
PROSES STOKASTIK WAKTU KONTINYU.
Dari harga tertentu dari X ( t ) pada waktu t disebut KONDISI
DARI PROSES.
Berarti terdapat KONDISI PROSES DISKRIT atau KONTINYU.
Suatu kurva dari proses stokastik X ( t ) disebut suatu
REALISASI.
X ( t )
Gambar 2.6 Tegangan noise yang acak
t
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 19
M A T A K U L I A H J A R T E L
Gambar * * * *
Tulisan * * *
Gambar 2.7 Urutan lemparan mata uang
X ( t )
t
Gambar 2.8 Jumlah saluran yang diduduki dalam suatu berkas
saluran telekomunikasi
Pada umumnya X ( t ) merupakan proses stokastik dimensi-r.
Dengan demikian, pada suatu waktu t1 , X ( t ) merupakan
vektor dengan bentuk :
Dalam hal ini, hanya difokuskan pada dimensi – l dan X ( t )
adalah nyata.
PROSES MARKOV DENGAN KONDISI DAN WAKTU DISKRIT
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 20
M A T A K U L I A H J A R T E L
MARKOV CHAINS
Dalam proses ini dianggap bahwa waktu antara transisi
adalah konstan. Dianggap waktu antara transisi merupakan
satu unit waktu, misalnya :
tn – t n-1 = 1
set indeks T = 0,1,2,…….
dan kondisi awal dimulai dari waktu t = 0
Probabilitas transisi dapat digambarkan dengan bentuk matriks
dimensi matriks : n untuk proses Markov kondisi n.
Matriks transisi tersebut diatas mempunyai sifat khusus yaitu
bahwa dalam baris sama dengan satu :
untuk semua harga i
Sekarang dimungkinkan untuk mendefinisikan : “MARKOV
CHAIN”. Suatu proses stokastik {X(t)} -1,0,1, ... dikatakan
sebagai suatu “MARKOV CHAIN” KONDISI TERBATAS (Finite
Slave Markov Chain) bila ia mempunyai butir-butir berikut :
Jumlah kondisinya terbatas
Sifat Markov (Markovian Property)
Probabilitas-probabilitas transisi yang stasioner
Suatu set probabilitas awal P {X(0)=i}untuk semua i
TEORI BURKE
Masukan kepada sistem antrian M/M/1 adalah suatu proses
POISSON, tetapi bagaimana dengan keluarannya ?
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 21
M A T A K U L I A H J A R T E L
Masukan Pelayan
Keluaran
Antrian
Suatu hasil yang penting dari teori Burke, yang diterbitkan pada
tahun 1956, menunjukkan bahwa keluaran yang ditunjukkan di
gambar di atas adalah juga POISSON
Cara untuk membuktikan teori Burke ini lebih dari satu.
1). Kedatangan adalah proses Poisson dengan rate rata-rata
kedatangan : λ
Sistem punya 1 pelayan dengan distribusi waktu pelayanan
exponensial negatip dan dengan waktu pelayanan rata-rata :
Ingin dilihat waktu antara panggilan dari keluaran.
Misalkan d(t) : pdf waktu antara panggilan dan
D(s) : Laplace transformnya.
Terdapat 2 kemungkinan :
a) . Antrian penuh.
Pada saat suatu panggilan selesai dilayani, panggilan
berikutnya selesai dilayani, panggilan berikutnya selalu siap
diambil untuk dilayani oleh pelayan.
b) . Antrian kosong.
Untuk kasus a), keluarnya panggilan dari system antrian
menurut distribusi waktu pelayanan, sehingga :
D* (s) / antrian penuh = B* (s)
Untuk kasus b), keluarnya panggilan berikutnya terdiri dari :
- waktu antara panggilan datang dan
- waktu pelayanan
karena interval dari masing-masing waktu tersebut saling tak
bergantungan (bebas/independent), maka pdf dari jumlahnya
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 22
M A T A K U L I A H J A R T E L
merupakan konvulosi dari masing-masing pdf.
Laplace transform dari pdf jumlah merupakan hasil kali (produk)
transform masing-masing pdf, jadi :
D* (s) / antrian kosong = dan
Sekarang dalam suatu sistem antrian yang terdiri dari satu
pelayanan (M/M/1):
Probabilitas sibuk (=tunggu) = dan
Probabilitas panggilan meninggalkan sistem dalam
keadaan kosong sama dengan probabilitas
panggilan datang akan mendapatkan sistem dalam
keadaan kosong adalah sebesar :
Jadi transform tak bersyarat dari waktu antara
meninggalkannya panggilan dari sistem antrian adalah :
sehingga setelah disederhanakan menjadi :
Dari ini dapat disimpulkan bahwa distribusi waktu antara
meninggalkan sistem adalah :
Jadi dalam hal ini :
DISTRIBUSI WAKTU ANTARA MENINGGALKAN
SISTEM SAMA DENGAN DISTRIBUSI WAKTU ANTARA
DATANGNYA PANGGILAN YAITU DISTRIBUSI
EXPONENSIAL DAN MEMPUNYAI PARAMETER YANG
SAMA PULA (ini hasil yang penting dari Teori Burke).
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 23
M A T A K U L I A H J A R T E L
Teori Burke menunjukkan bahwa keluaran pada keadaan
setimbang dari suatu sistem antrian M/M/n yang stabil dengan :
Parameter masukan dan parameter waktu pelayanan
untuk tiap pelayan (kanal) dari n pelayan (kanal) pada
kenyataannya merupakan proses POISSON dengan
rate yang sama yaitu .
Teori Burke juga menyatakan bahwa bila terdapat sistem
antrian lebih dari satu yang dihubungkan secara serie dan
bekerja secara beruntun kedepan (dan setiap pelayan
mempunyai pdf yang eksponensial), maka setiap node dapat
diperlakukan secara bebas ( terpisah / tak bergantungan ).
2). Cara pembuktian yang lain (kedua).
Dipakai konsep “REVERSIBILITY” ( pembalikan )
Definisi : Suatu proses stokastik, X(t) dikatakan “reversible” bila
sampel : (X(t1), X(t2),……,X(tm)) mempunyai distribusi yang
sama dengan :
untuk setiap yang nyata dan untuk setiap t1………,tm.
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 24
“Reversibility” (Pembalikan) untuk suatu proses stokastik berarti bahwa bila arah dari waktu dibalik, statistik dari proses sama dengan kasus dalam waktu normal.
M A T A K U L I A H J A R T E L
definisi ni menyatakan bahwa untuk suatu proses “reversible”,
sample dalam waktu yang dibalikkan dari proses X(t) sama
dengan sample dalam waktu yang normal.
DEFINISI RATE TRANSISI DARI i KE j :
Sekarang dicari relasi suatu proses “reversible” yang memenuhi
suatu set persamaan kesetimbangan.
Rate transisi dari kondisi i ke kondisi j :
untuk i ≠ j dan qij = 0
KEADAAN KESETIMBANGAN :
Kesetimbangan tercapai bila:
atau
dimana pj adalah probabilitas kesetimbangan pada kondisi ke j
dan S merupakan set dari kondisi dari proses
Persamaan yang terakhir adalah persamaan kesetimbangan
global (global balance condition).
TEORI 1:
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P
i j
25
M A T A K U L I A H J A R T E L
Suatu Markov Chain Stasioner adalah “reversible” jika dan
hanya jika terdapat kumpulan bilangan positip pi,iS yang
jumlahnya satu dan memenuhi persamaan kesetimbangan
detail:
piqij = pjqji
untuk I, jS. pi adalah probabilitas kondisi kesetimbangan.
BUKTI:
Bila proses “reversible”, maka akan mengikuti persamaan sbb:
P(X(t)=i, X(t + )=j) = P(X(t)=j, X(t + )=i)
Tetapi ini dapat ditulis sbb:
P(X(t)=i)P(X(t + )=j| X(t)=i) = P(X(t)=j)P(X(t + )=i| X(t)=j)
Catatan: P(A/B) = P(AB)/P(B).
Dibagi kedua sisi dengan dan dengan 0 menghasilkan:
piqij = pjqji
dimana merupakan hasil yang dicari.
Selanjutnya dengan anggapan bahwa terdapat probabilitas
yang memenuhi persamaan kesetimbangan detail:
piqij = pjqji dan
Sekarang dilihat interval t ε [-T,T].
Anggap bahwa proses pada kondisi i1, pada waktu –T dan tetap
dalam kondisi tersebut sealma waktu k1. Kemudian proses
bergerak (berpindah) ke kondisi i2 dan tetap dalam kondisi
tersebut selama k2, dst. Sampai mencapai kondisi im dan tetap
dalam kondisi tersebut untuk selama waktu km.
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 26
M A T A K U L I A H J A R T E L
Dengan fungsi kerapatan probabilitas (pdf) tertentu untuk ki
akan didapat probabilitas transisi tertentu q
Catatan:
Dari pi qij = pj qji dapat dikembangkan
Pi1 qi1i2 qi2i3 qi3i4 . . . qim-1im = pim qimim-1 qim-1im-2
qim-2im-3
Dengan mengamati sisi kiri (SKI) dengan sisi kanan (SKA)
akan didapat pengertian seolah-olah proses yang dimulai dari –
T pada kondisi im dan tetap dalam kondisi tsb selama km dan
kemudian berpindah ke kondisi im-1 dan tetap dalam kondisi tsb
selama km-1, dst.
Jadi didapat hasil sbb :
1. X(t) dan X(-t) secara karakteristik adalah sama.
2. Ini berarti bahwa [ X(t1), X(t2), . . . , X(tm) ] dan
[ X(-t1), X(-t2), . . . , X(-tm) ] mempunyai
distribusi yang sama.
3. Dengan X(t) adalah stasioner :
[ X(-t1), X(-t2), . . . , X(-tm) ] mempunyai distribusi yang
sama dengan [ X(τ-t1), X(τ -t2), . . . , X(τ -tm) ]
Sehingga proses adalah “reversible”
Ditinjau M/M/1
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 27
M A T A K U L I A H J A R T E L
Teori Burke : Proses meninggalkan system pada system
antrian M/M/1 dalam keadaan setimbang adalah :
Proses Poisson.
Bukti : Suatu realisasi dari n(t) dari sejumlah pelanggan dari
antrian M/M/1 dapat dilihat sbb :
Titik titik dalam mana sistem meloncat keatas merupakan
proses kedatangan Poisson dengan rate : .
Dengan n(t) adalah “reversible”, titik titik dalam mana n(-t)
meloncat harus juga sebagai suatu proses Poisson dengan rate
Tetapi titik titik ini juga merupakan saat meninggalikan system
antrian untuk n(t). Jadi keluaran adalah proses Poisson dengan
rate .
2.5. RUMUS TUNGGU ERLANG
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P
waktu
N(t)Jumlah pelanggan dalam antrian sebagai fungsi dari waktu.
28
M A T A K U L I A H J A R T E L
ASUMSI :
1. Panggilan datang secara random kepada antrian dari
suatu sumber trafik yang jumlahnya tak hingga.
2. Terdapat tempat tunggu “buffer“ tak hingga bagi
panggilan yang menunggu.
3. Distribusi waktu pelayanan adalah Distribusi exponensial
negatif.
4. Berkas adalah berkas sempurna kepada pelayan.
Penyelesaian atas persamaan kondisi :
untuk i ≤ n
P(i) =
untuk i > n
Catatan : Hasil khusus :
P ( i + n ) = ρi P ( n ) untuk i ≥ 0
dimana ρ = merupakan trafik yang ditawarkan per sirkuit.
Penyelesaian untuk P(0) :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P
0 1 n n+1
Panggilan mulai menunggu dari
kondisi ini
2 n n n
29
M A T A K U L I A H J A R T E L
Dengan kondisi normal :
Sehingga ,
R U M U S P R O B A B I L I T A S T U N G G U
Berapa besar Probabilitas Tunggu dinyatakan dengan P(i) ?
P(tunggu) =
Sehingga :
P(tunggu) = P(W>0)
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 30
M A T A K U L I A H J A R T E L
Pada penyebut ditambah dan dikurangi ,
kemudian pembilang dan penyebut dibagi dengan tidak
akan merubah harga :
( Erlang - C)
Simbol : atau
PANJANG ANTRIAN RATA – RATA :
Dengan Dn (A) = maka
WAKTU TUNGGU RATA-RATA DALAM ANTRIAN :
Sehingga catatan :
Contoh : A = 2 Erlang dari tabel Erlang : En (A) = 0.095238
n = 4 Erlang
pemakaian rumus tunggu : P (tunggu) = 0.174
Jadi, 17.4 % dari panggilan akan menunggu.
Waktu tunggu rata-rata terhadap seluruh panggilan di
dalam antrian :
2.6. SISTEM ANTRIAN TERBATAS :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 31
M A T A K U L I A H J A R T E L
μ 2μ nμ nμ nμ nμ
ASUMSI :
1. Panggilan datang ke antrian secara acak (“random”) dari
suatu sumber panggilan yang jumlahnya tak terhingga.
2. Terdapat tempat tunggu sebanyak Q untuk panggilan
yang panggilan menunggu.
3. Waktu pelayanan punya distribusi Exponensial (negatif).
4. Berkas sempurna untuk fasilitas pelayanan.
PENYELESAIAN TERHADAP PERSAMAAN KONDISI
UNTUK ANTRIAN TERBATAS :
P(i) =
P(0) dapat diselesaikan dengan cara yang sudah biasa
dilakukan
RUMUS TUNGGU :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 32
Panggilan menunggu mulai dari kondisi ini
n+1n10 n+Q
M A T A K U L I A H J A R T E L
Suatu panggilan yang datang akan menunggu bila ia
mendapatkan semua pelayan sibuk dan paling sedikit terdapat
satu tempat tunggu didalam antrian.
Probabilitas tunggu tersebut:
Dalam rumus tersebut dapat disubtitusikan rumus Rugi Erlang.
RUMUS RUGINYA :
Suatu panggilan akan hilang pada system antrian yang terbatas
ini bila semua pelayan sibuk dan semua tempat tunggu juga
penuh jadi :
Dimana
Catatan : Dalam hal ini, dimana system dapat menolak
traffic(traffic dapat dihilangkan), maka traffic yang
ditawarkan per pelayan dapat lebih besar dari satu.
DISTRIBUSI WAKTU TUNGGU :
Waktu tunggu rata-rata :
Ini terlihat pada Formula Little.
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 33
TAK TERGANTUNG atas DISIPLIN ANTRIAN
M A T A K U L I A H J A R T E L
Probabilitas waktu tunggu lebih besar dari suatu harga
tertentu : P (tunggu > waktu tertentu) = P (W>t). Sering
dipakai sebagai GOS baku dalam sistem tunggu.
Probabilitas tunggu lebih besar harga tetentu t :
Bila : P{W>t} = Perilaku{W>0}P{W>t | W>0}
Dimana,
P{W>0t | W>0} adalah probabilitas bersyarat bahwa
waktu tunggu melebihi harga t bila
diketahui bahwa panggilan tersebut harus
menuggu (W>0).
P{W>0} adalah probabilitas tunggu :
Catatan : P{W>0} TAK TERGANTUNG atas DISIPLIN
ANTRIAN jadi probabilitas waktu tunggu
bersyarat HARUS TERGANTUNG atas disiplin
antrian.
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 34
TERGANTUNG atas DISIPLIN ANTRIAN
M A T A K U L I A H J A R T E L
SUATU RELASI YANG PENTING
Dari P{W>t} = P{W>0}P{W>t | W>0}
Sehingga :
2.7. ANALISIS SISTEM M/M/n DENGAN DISIPLIN ANTRI
FIFO
ASUMSI:
a. Jumlah tempat tunggu tak terbatas.
b. Disiplinnya FIFO.
c. Kedatangan Acak.
d. Waktu pelayanan: Distribusi exponensial negatif.
CARA:
Ambil suatu panggilan untuk tes yang datang pada waktu T dan
tulis perubahan kondisi yang mempengaruhi waktu tunggu dari
panggilan tes tsb.
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 35
M A T A K U L I A H J A R T E L
Cari probabilitasnya dan turunkan suatu set persamaan
probabilitasnya.
ANALISIS ANTRIAN FIFO
Kondisi pada T Kondisi pada T+dt Probabilitas Transisi
i i (1-ndt + o (dt))
i i - 1 (ndt + o (dt))
Ini adalah tabel perubahan kondisi yang mempengaruhi waktu
tunggu dari panggilan tes.
Catatan: Panggilan yang datang setelah panggilan tes tidak
mempengaruhi waktu tunggu (Ini untuk FIFO !).
A. PROBABILITAS WAKTU TUNGGU MELEBIHI t BILA
TERDAPAT i PANGGILAN DIMUKANYA PANGGILAN TES
:
maka,
Pindahkan kekiri dan bagi dengan dt. Ambil limit dt 0
untuk menurunkan penurunan.
dan
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 36
M A T A K U L I A H J A R T E L
Ini dapat diselesaikan dengan Transformasi Laplace atau
langsung dengan persamaan deferensial dengan cara
berturutan.
Syarat batasnya: =1 untuk semua i.
Hasilnya :
Menghitung waktu tunggu:
Substitusi hasil tsb terhadap P(W>t)
dimana
P(i+n) = i P(n)
Menukar urutan penjumlahan dari deret tsb diatas:
maka:
Harga rata-rata waktu tunggu untuk panjang panggilan yang
menunggu:
B. WAKTU TUNGGU UNTUK ANTRIAN M/M/n FIFO
TERBATAS Q :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 37
M A T A K U L I A H J A R T E L
<1 cek: Q
UNTUK DISIPLIN ANTRI YANG RANDOM (PELAYANANNYA
RANDOM) :
METODE : Ambil panggilan tes yang datang pada waktu T dan dilihat perubahan
kondisi yang mempengaruhi waktu tunggu dari panggilan tes.
Kondisi pada T Kondisi pada T+dt Probabilitas Transisi
i i (1-nμdt+0(dt))x
(1-λdt+0(dt))
i i+1 (λdt+0(dt))x
(1-nμdt+0(dt))
i i -1 (nμdt+0(dt))x
(1- λdt+0(dt))
WAKTU TUNGGU UNTUK SISTEM M/M/n dan DISIPLIN
ANTRI ACAK ( PELAYANANNYA ACAK ) :
P { W > (t+dt) I i panggilan di muka }
= P { W>t I i panggilan di muka } x P { tak ada kedatangan
dalam dt } x P { tak ada yang berakhir dalam dt }
P { W>t I ( i – 1) panggilan di muka } x P { satu berakhir
dalam dt } x P { tak ada kedatangan dalam dt } x P
{ panggilan tes tak dilayani }
P { W>t I ( i + 1) panggilan di muka } x P { tak ada yang
berakhir dalam dt } x P { satu kedatangan dalam dt }
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 38
M A T A K U L I A H J A R T E L
(*)
Persamaan tersebut didapat (diturunkan) secara terpisah
oleh Vaulot [1946] dan Palm [1957]. (Menurut Syski [1960],
pekerjaan dilakukan pada tahun 1938 tetapi tidak
dipublikasikan sampai 1946. Terjemahan dalam bahasa
inggris diterbitkan pada tahun 1957). Pollaczek [1946]
mendapatkan solusinya dalam bentuk tertutup untuk
probabilitas bersyarat waktu tunggunya dalam bentuk
pendekatan.
Riodan [1953] mendapatkan solusi dengan deret Maclaurin
untuk probabilitas bersyarat waktu tunggu sbb:
Catatan: (*):Hasil tersebut dikutip dari buku :Introduction to QUEUEING THEORYOleh Robert B. Cooper(Georgia Institute of Technology)Kedatangan yang acak : RANDOM ARRIVAL atau POISONIAN
ARRIVALS
Definisi :
1. TIME CONGESTION adalah bagian waktu bahwa semua
saluran sibuk.
2. CALL CONGESTION adalah bagian panggilan yang
ditolak karena kongesti (misal : pada waktu semua semua
saluran sibuk)
JUGA :
P(k) = Prob (sistem dalam kondisi k)
dan
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 39
M A T A K U L I A H J A R T E L
R(k) = Prob (Suatu panggilan yang datang mendapatkan sistem
dalam kondisi k)
KAPAN P(k) = R(k) ?
Contoh : Untuk memperlihatkan bahwa P(k) R(k)
lihat antrian D/D/1
D = Distribusi Deterministik
Dalam hal ini kedatanagn terjadi secara teratur setiap
detik.
Waktu pelayanan tetap yaitu setiap detik ( < ).
Karena tidak ada panggilan yang harus menunggu :
R(0) = 1 dan R(k) = 0, k > 0
BAGIAN WAKTU suatu panggilan dalam system (1 Pelayan
sibuk) adalah : dan waktu sisanya dimana sistem
dalam keadaan kosong adalah :
P(0) = 2 – ρ , P(1) = ρ
P(k) = 0 untuk k = 2, 3, ...
Jadi P(k) ≠ R (k)
KAPAN P(k) = R(k) ?
AKAN DITUNJUKKAN BAHWA PERSAMAAN TSB TERJADI
BILA KEDATANGANNYA ADALAH ACAK
(POISSONIAN ARRIVALS)
Bila : A(t,t+Δt) adalah event bahwa suatu kedatangan terjadi
dalam (t,t+Δt)
Pk(t) = Prob (Sistem dalam kondisi k pada waktu t)
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 40
M A T A K U L I A H J A R T E L
Rk(t) = Prob (Suatu kedatangan pada waktu t
mendapatkan sistem dalam kondisi k)
N(t) = Jumlah dalam sistem pada waktu t
Maka : Rk(t) = P( N(t) = k ¦ A(t,t+Δt) )
Memakai definisi probabilitas bersyarat :
Rk(t) =
=
Untuk kedatangan yang memenuhi distribusi Poisson (karena
sifatnya “Memoryless Property”),
A(t,t+Δt) adalah tak tergantung atas jumlah yang berada dalam
sistem pada waktu t (dan atas t-nya sendiri)
Karena itu :
P(A(t,t+Δt) Ι N(t)=k) = P(A(t,t+Δt))
Sehingga :
Rk(t) = P(N(t) = k) = Pk(t) → R(k) = P(k)
Untuk kedatangan Poisson : Probabilitas suatu panggilan
datang mendapatkan sistem dalam kondisi k tepat sama
dengan probabilitas sistem dalam kondisi k.
Catatan : P(k) = P[ N(t) = k] dan R(k) = P (suatu
panggilan datang mendapatkan sistem dalam kondisi
k)
Jadi P(k) = R(k)
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 41
M A T A K U L I A H J A R T E L
2,8. SISTEM ANTRIAN M / G / 1 DAN FORMULA
POLLACZEK-KHINCHIN :
Sistem ini adalah sistem dengan :
- Distribusi waktu antara kedatangan : Distribusi Poisson
- Distribusi waktu pelayanan : Umum (General :
G)
- Jumlah pelayan : 1
Penurunan rumus Pollaczek-Khinchin yang terkenal :
Tulis persamaan beda antara jumlah panggilan dalam
system segera setelah berakhirnya panggilan ke-i.
Dengan menghitung harga rata-rata dari kuadrat
jumlah panggilan dalam system, akan dapat diturunkan
rumus P-K tsb.
Kuncinya: Probabilitas kondisi pada saat berakhirnya panggilan
pada hakekatnya sama dengan probabilitas kondisi
setiap saat.
Misalkan : Jumlah panggilan dalam system segera setelah
kepergian (panggilan) ke i+1 adalah ni+1.
Jumlah tsb termasuk baik panggilan dalam antrian maupun
dalam pelayanan.
Jumlah tsb sama dengan jumlah panggilan segera setelah
kepergian ke i dikurangi 1 (karena kepergian ke i+1 dari suatu
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P
Kedatangan
Antrian
Pelayan
Saat kepergian
42
M A T A K U L I A H J A R T E L
panggilan) ditambah sejumlah panggilan yang datang selama
waktu pelayanan panggilan yang ke i+1.
Jumlah yang datang selama waktu tsb : ai+1
Gambar proses kedatangan :
Maka :
Bila:
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P
Pelayan
Antri
Pi Pi+1
ai+1 datang
WaktuPi
ni
Pi
hi+1
Pi+1
Pi+1
ni+1
43
ni > 0
ni+1 = ni – 1+ ai+1 untuk ni > 0
ni = 0
M A T A K U L I A H J A R T E L
Jadi :
ni > 0
n i+1 =
ni = 0
1 ni > 0
Bila u (ni) =
0 ni = 0
Maka dapat ditulis dalam 1 persamaan :
REKURSIF
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P
Pelayan
Antri
Pi Pi+1
ai+1 datang
Pi
ni=o
Pi
hi+1
Pi+1
Pi+1
ni+1
ygtinggal
ni+1 = hi+1 untuk ni = 0
44
n i+1= ni - u (ni) +
M A T A K U L I A H J A R T E L
Bila dikuadratkan kedua sisi dan ambil harga rata-ratanya :
E [(n i+1)2 ] = E[(ni - u (ni) + )2]
= E[ni 2] + E[(u (ni))2] +E[ )2]
(A) (B) (C)
-2E [ni u (ni)] + 2E[ni ] – 2E[u (ni) ]
D E F
Untuk mendapatkan rumus P-K, evaluasi atas tiap-tiap suku
tersebut diatas {(A), (B),...} diperlukan
Suku E [n i+12]. E[ni
2]
Dalam keadaan sesetimbang, kedua suku tersebut sama,
sehingga saling menghilangkan.
Suku (B) : E[(u (ni))2]
Dari u (ni)2 = u (ni), maka (B) = E[u (ni)]
Perhitungan E[u (ni)] :
E[u (ni)] =
0 n=0 E[u (ni)] =
Karena u (ni) = 1 n>0 = (1-p(0))
= Prob tunggu
E[u (ni)]= P (sibuk)
Sangat beruntung karena P (sibuk) dapat dihitung secara
mudah untuk setiap sistem antrian.
Caranya sbb :
Dilihat suatu interval I. Pelayan akan sibuk selama waktu
sebesar : I – I (1-P(0)).
Jumlah panggilan yang dilayani :I - IP(0) µ dimana µ adalah
rate wajtu peleyanan rata-ra dari sistem antrian. Dalam
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 45
M A T A K U L I A H J A R T E L
keadaan setimbang jumlah tersebut harus sama denga jumlah
panggilan yang datang : λi
Jadi :
Hasil dikombinasikan :
Suku (D) : 2E[ ni u ( ni ) ] :
Jelas bahwa ni u ( ni ) = ni sehingga didapat :
Suku ( F ) : 2E[ u ( ni ) ai+1 ] :
Jumlah panggilan yang datang ke dalam sistem selama waktu
pelayanan untuk panggilan ke i+1, ai+1 adalah tak tergantung
atas jumlah panggilan di dalam sistem antrian segera setelah
kepergian ke i, ni . Jadi :
E [ u ( ni ) ai+1 ] = E [ u ( ni ) ] E [ ai+1 ]
Yang sudah diketahui : E[ u ( ni ) ]
Tinggal menghitung E [ ai+1 ]
Kembali kepada :
ni+1 = ni – u ( ni ) + ai+1
ambil harga rata-rata kedua sisi :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 46
Catatan : tidak ada asumsi tentang proses kedatangan maupun waktu pelayanan. Jadi hasil ini adalah sangat umum.
2E[ ni u ( ni ) ] = 2E[ ni ]
M A T A K U L I A H J A R T E L
E [ ni+1 ] = E [ r i ] – E [ u ( ni ) ] + E [ ai+1 ]
Dalam keadaan setimbang : E [ ni+1 ] = E [ ni ]
Jadi
E [ u ( ni ) ] = E [ ai+1 ] = ρ
Sehingga :
Suku ( E ) : 2E [ ni ai+1 ]
Dengan cara yang sama, kedua besaran tsb saling tak
bergantungan :
AKHIRNYA DIKUMPULKAN HASIL-HASIL YG TELAH
DIDAPAT :
0 = 0 + ρ + E [ ai+1 ]2 - 2E [ ( ni ) ] + 2E [ ni ] ρ – 2 ρ2
Penyelesaian untuk E(ni):
Dalam keadaan seimbang :
Harga rata-rata jumlah panggilan dalam sistem antrian pada
waktu kepergian adalah sama dengan harga rata-rata jumlah
panggilan pada yiap saat dari waktu :
E(ni) = E(n)
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P
)1(2
2]E[z)E(n
221i
i
47
E [ u ( ni ) ai+1 ] = 2E [ u ( ni ) ]E [ ai+1 ] = 2 ρ2
2E [ ni ai+1 ] = 2E [ ( ni ) ]E [ ai+1 ] = 2E [ ( ni ) ] ρ
M A T A K U L I A H J A R T E L
Juga karena proses kedatangan adalah proses Poisson maka
harga rata-rata jumlah panggilan yang datang selama waktu
pelayanan juga tak tergantung waktu, jadi :
Sehingga :
ini merupakan jumlah panggilan rata-rata dalam sistem antrian
M/G/1 pada kondisi setimbang.
Harga E( ):
=======
Dicari harga var[a] :
Bila s adalah waktu pelayanan maka dapat dipakai hasil dari
Gross dan Harris y ; menyatakan relasi variabel acak X dan Y
Sbb
Sehingga :
Hal ini dapat diseleseikan :
Dimana adalah variabel waktu pelayanan
Jadi :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P
)]|(var[)],[var(]var[ XYECYEY
48
M A T A K U L I A H J A R T E L
dan
Subtitusi pada hasil sebelumnya :
Disederhanakan sedikit:
Ini rumus P-K yang terkenal !
* Hitung harga waktu rata-rata panggilan dalam system antrian
M/G/I.
(Pakai rumus Little).
Suatu contoh yang penting adalah system M/D/I :
Jadi :
1). Isi table E[n] untuk M/M/I dan M/D/I yang berikut :
M/M/I M/D/I
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P
2222 ][ saE
49
M A T A K U L I A H J A R T E L
0,8
0,9
0,99
DISTRIBUSI JUMLAH PANGGILAN DI DALAM SISTEM
ANTRIAN :
Jumlah panggilan rata-rata di dalam sistem sudah didapat
Dicari distribusi probabilitas jumlah panggilan di dalam
sistem
Dilihat matriks probabilitas transisi saat panggilan
meninggalkan sistem untuk sistem :
M/G/I
Disini adalah panggilan di dalam sistem segera setelah saat
panggilan meninggalkan system yang ke-i.
Untuk mendapatkan dari ke harus ada kedatangan
sebesar antara peninggalan system ke-i dan ke-i+1.
Dengan kedatangan
Maka didapat matriks transisi kondisi :
Matriks transisi kondisi :
i i+1 0 1 2 3 .........
0 K0 K1 K2 K3
1 K0 K1 K2 K3
2 0 K0 K1 K2
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 50
Jumlah kedatangan antara saat peninggalan sistem ke i dan ke i+1
M A T A K U L I A H J A R T E L
3 0 0 K0 K1
...........
Catatan : jumlah semua elemen dalam baris sama dengan satu
Bagaimana masukan pada elemen matriks dipilih ?
Baris paling atas : dari 0 pada saat peninggalan ke 1
ke 0,1,2,... panggilan pada saat peninggalan ke i+1.
Jadi diperlukan k0, k1, k2 ........ kedatangan.
Baris kedua : dari 1 panggilan pada saat peninggalan
ke i ke 3 panggilan pada saat peniggalan ke i+1 :
Berarti harus aada 3 kedatangan, sedangkan 1 panggilan
meniggalkan sistem dalam interval waktu tsb.
Jadi :
Dimana s adalah waktu antara saat ke i dan ke i+1 dan b(s)
adalah fungsi kerapatan probabilitas dari waktu pelayanan.
Karena pola kedatangan adlah Poisson maka :
Ide dasarnya adalah memasukkan fungsi kerapatan dari waktu
pelayanan ( setelah diketahui ) ke dalam rumus kj tersebut.
Diagramnya :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 51
M A T A K U L I A H J A R T E L
(IMBEDDED MARKOV CHAIN UNTUK SISTEM M/G/1)
Diagram tsb berbeda dengan diagram transisi kondisi.
A. PROBABILITAS BAHWA ADA j PANGGILAN PADA SAAT
MENINGGALKAN SISTEM :
Dari (Pada keadaan setimbang)
Dimana adalah probabilitas kondisi
Persamaan untuk q:
Dengan r dan s integer:
Ganti dengan memberikan:
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P
n-2 n-1
n
n+1 n+2
K0
K1
K2
K3
52
M A T A K U L I A H J A R T E L
Transformasi z pada probabilitas kondisi:
Transformasi z pada probabilitas :
PENYELESAIAN PERSAMAAN PROBABILITAS DENGAN
FUNGSI GENERASI
Fungsi generasi probabilitas :
dimana
Sifat-sifat fungsi generasi:
Bila :
G(0) = P(0)….
- Pada umumnya :
- Harga rata-rata :
- Variansi :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 53
M A T A K U L I A H J A R T E L
Var = F2 + F1 – F12
Dengan :
B. MENYELESAIKAN P(i) DARI FUNGSI GENERASI :
Sekali fungsi generasi didapatkan, P(i) dapat dihitung :
Misalnya :
Harga rata-rata :
Kembali ke masalah semula :
Dikalikan sisi kiri dan sisi kanan dari persamaan dengan zr
Sekarang perkalian Q(z).K(z)
Koefisian z j =
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 54
Latihan :Bila a(x) = a2 x2 + a1 x2 + a0
b(x) = b2 x2 + b1 x2 + b0
berapa koefisien perkalian : a(x).b(x) ?koefisien perkalian untuk bentuk polynomial yang umum ?
M A T A K U L I A H J A R T E L
Maka :
Dijumlahkan persamaan tsb dari r=0, 1, ... s/d ... ~
MENDAPATKAN PROBABILITAS KONDISI :
S0 dapat didapat dengan kondisi normal ( jumlah total
probabilitas = 1 ) dengan cara menge-set z = 1
Sayangnya pembilang dan penyebut menjadi 0 untuk harga z =
1 ( K(1) = 1 )
Solusinya dengan aturan l’Hopital :
Sekarang perlu dicari K’ (z) :
Karena proses kedatangan adalah proses Poisson dengan rate
rata-rata kedatangannya = λ , maka :
Dengan memasukkan harga z = 1
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 55
M A T A K U L I A H J A R T E L
Jadi (sesuatu yang telah diketahui)
Sehingga
Untuk mencari harga P(j) : Probabilitas kondisi j
Dapat dilakukan seperti biasa dengan menurunkan ke j dan
memasukkan z = 0 didapat relasi sbb :
CONTOH :
Suatu message datang secara random pada suatu sentral
( node ) penyambungan paket dengan rate rata-rata
kedatangannya 1 paket tiap 5 μdetik. Setiap message
menduduki pelayan rata-rata selama 4.5 μdetik dan variansinya
1 μdetik. Hanya satu messsage yang dapat menduduki pelayan
tiap saatnya. Bila suatu message datang mendapatkan pelayan
sedang sibuk, mesdsage akan menunggu di “buffer” sampai ia
dilayani.
HITUNG :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 56
M A T A K U L I A H J A R T E L
a. Panjang antrian rata-rata pada saat message
meninggalkan fasilitas pelayanan.
b. Panjang antrian rata-rata spt pada soal a bila dengan
cara merubah software sedemikian hingga waktu
pelayanan rata-rata menjadi 1 μdetik.
SOLUSI :
a. Waktu antara datangnya panggilan = 5 μdetik, jadi rate
rata-rata datangnya panggilan = = 0.2 per μdetik.
b. Distribusi waktu pelayanan adalah umum ( General )
dan
Ini adalah sistem antrian M/G/1 dan didapat :
Harga rata-rata : Q’(1)
Dari =
dimana : K(1) = 1 dan K’(1) = .
Maka penurunan terhadap z akan didapat :
=
=
Bila dimasukkan harga z = 1, pembilang dan penyebut = 0
pakai l’Hospital lagi :
=
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 57
M A T A K U L I A H J A R T E L
Ini , jadi dapat dicoret sisi kiri dan kanan.
Diperlukan l’Hospital lagi :
=
Setelah penyederhanaan :
=
=
Tetapi juga : =
=
=
Sehingga :
Kembali ke soalnya :
b) Waktu pelayanan diperpendek sampai dengan 4 µ detik.
Dengan demikikan harga ρ=0,8, sedangkan harga besaran-
besaran lainnya tetap.
Hasilnya :
Panjang antrian dapat juga diperpendek dengan cara
memperkecil variansi waktu pelayanan.
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 58
M A T A K U L I A H J A R T E L
2.9. MODEL CPU PELAYANAN TERPUSAT
Sebelum menyelidiki Jaringan antrian secara lengkap,
terlebih dulu dilihat jaringan yang sederhana yang dimodelkan
dengan menggunakan proses kelahiran dan kematian.
Sistem dapat digambarkan sebagai berikut :
Model terdiri dari :
- Suatu kelompok terminal yang dapat mengakses ke
pelayan pusat (CPU).
- Kontrol berputar antara tiap terminal dari CPU.
- Terminal dianggap mempunyai distribusi exponensial
untuk sumber panggilan/pelayan dengan rate : λ tiap
terminal.
- CPU dimodelkan sebagai sistem antrian dengan satu
pelayan dengan rate : µ .
Meskipun sebenarnya ada 2 sistem antrian terlibat, yaitu :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 59
Fasilitas Pelayanan File
Terminal
CPU
1
3
2
M A T A K U L I A H J A R T E L
CPU dan terminal, tetapi diagram transisi kondisinya hanya 1
dimensi karena sistemnya adalah : JARINGAN TERTUTUP
JARINGAN ANTRIAN :
- Solusi bentuk produk untuk probabilitas dalam keadaan
setimbang.
Solusi bentuk ini melibatkan ”kesetimbangan lokal” untuk
aliran pada sepasang kondisi di diagram transisi kondisi,
bila hal tersebut ada.
2.10. MODEL ANTRIAN TANDEM :
Hasil dari teori Burke menyatakan bahwa bila pelayan lebih dari
satu dihubungkan secara seri (”feedforward fashion”), (tiap
pelayan dengan pdf exponensial) maka tiap ”node” (pelayan)
dapat diperlakukan secara tak bergantungan (bebas).
Maka : P(i,j) = P(i panggilan terdapat dalam antrian pertama
dan j panggilan terdapat dalam antrian ke dua).
Dianggap tiap antrian mempunyai ”buffer” yang tak terhingga
untuk panggilan yang menunggu dalam antrian.
Rate pelayanan dari antrian dapat ditulis sbb :
i μ1 untuk i = 0,1,...S1
μ1(i) =
S1 μ1 untuk i = S1...~ dan
j μ1 untuk j = 0,1,..,s2
μ2(i) =
S2 μ1 untuk j = s2,.....,
Persamaan umumnya dapat ditulis sbb:
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 60
M A T A K U L I A H J A R T E L
Dalam menyelesaikan ini dipakai : Sistem tunggu Erlang di
sistem antrian pertama, maka:
Solusi bentuk produk:
P( i , j ) = P1( i )P2( j )
dimana P( , ) dikenal dengan PROBABILITAS MARGINAL
dari distribusi dan memenuhi persyaratan:
untuk i = 1,2
Untuk menurunkan distribusi marginal tsb lihat P ( i ) :
c1
!1
i
i
i s1
P1( i ) =
c1 i s1 dimana c1 konstanta yg
nilainya ditentukan dari
kondisi normal.
Dari diagram transisi kondisi tsb, rate kedatangan berkurang
bila makin banyak terminal memerlukan pelayanan.
λn = λ(m - n) untuk 0 ≤ n ≤ m
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 61
M A T A K U L I A H J A R T E L
Dari ini dapat diturunkan : Probabilitas kondisi n = P(n)
Dengan kondisi normal dapat dicari P(0) :
Substitusi solusi bentuk produk untuk P ( i , j ), didapat
Lalu substitusi P ( i , j ) ini untuk persamaan utama: didapat
(setelah mencoret suku-suku yang saling meniadakan)
Ini ERLANG !
Persamaan ini sama dengan persamaan yang dipakai untuk
sistem antrian M/M/n -(Rumus tunggu Erlang).
Maka :
c2
P2( j ) =
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 62
M A T A K U L I A H J A R T E L
c2
Pakai kondisi normal :
ci =
Ini untuk : < s1 dan < s2
JARINGAN TERBUKA – PERSAMAAN KESETIMBANGAN
GLOBAL :
Asumsi :
Terdapat M antrian, satu sumber dan satu tujuan.
Routing di jaringan adalah random.
Probabilitas suatu pelanggan meninggalkan antrian I ke j
adalah :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P
r1iri1
µ1
ridrsi
riM
rMi
1
i
M
TujuanSumb
er
µi
63
µM
M A T A K U L I A H J A R T E L
Probabilitas pelanggan mninggalkan sumber ke antrian I
adalah :
Probabilias suatu pelanggan meninggalkan antrian I ke
tujuan :
Sumber memberikan pelanggan dengan distribusi Poisson
dengan rate rata-rata
Distribusi waktu pelayanan adalah eksponensial negative
dengan rate rata-rata
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 64
M A T A K U L I A H J A R T E L
Jaringan asli
Pemakaian Teori Norton
Model ekivalen
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P
Jaringan Antrian
BA
N
λ
N
Jaringan Antrian
A
n
λ
u (n)
λ
BA
N
u (n)
n
65
M A T A K U L I A H J A R T E L
Dalam model : n pelanggan memutar dalam jaringan :
throughput=u(n).
Throughput dapat dicari dengan cara MVA seperti cara
sebelumnya.
Bila N : jumlah paket total dalam jaringan tertutup.
n : kondisi antrian yang diatas,
maka : kondisi di antrian bawah : N – n , jadi hanya perlu
melihat probabilitas kondisi di antrian atas saja yaitu :
dengan rate kedatangan : dan
rate pelayanan : u(n)
Jadi, probabilitas bahwa antrian diatas dalam kondisi n :
dan po dapat dicari dengan persamaan kondisi normal :
untuk menyelesaikannya diasumsikan :
μ1= μ2=........= μM = μ
Hasil dari MVA yang lalu :
Dengan :
Jadi : dengan ini semua besaran dapat
diperoleh.
Throughput
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 66
M A T A K U L I A H J A R T E L
Dengan rumus Little : “ time delay” dari ujung ke ujung yang
melalui VC :
Sekarang dimungkinkan untuk melihat rumus diatas sebagai
fungsi dari N atau γ dengan membuat besaran lainnya tetap.
Analisis yang lain :
Anggap dan λ → ~ , maka E(n) = N
Dalam hal ini, batas throuhgput :
dengan λ → ~
Dari rumus Little juga :
E(T) = N / γ = [ N+ ( M-1) ] / μ dengan λ → ~
Dan delay minimum E(T) = M / μ ini terjadi pada N = 1
Dengan N = 1 paket dalam jaringan → tidak ada delay dan
throughput rata-rata : μ / M.
s
Tetapi, meskipun tidak dapat dipakai teori Norton, sebagai
pendekatan dapat dilakukan.
Simulasi yang dilakukan oleh Schwartz dalam tahun 1982
diperoleh bahwa pemakaian teori Norton pada model ini cukup
tepat untuk M ≤ 3 untuk Mobile station 3 tidak tepat lagi.
| VC |
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 67
Teori NORTON tidak dapat dipakai untuk kasus yang bukan bentuk produk.
Bukan bentuk produk hanya dapat diselesaikan dengan REKURSIF.
M A T A K U L I A H J A R T E L
Tingkat 1 Tingkat M
I j
Penghitung C Kotak W
Pendekatan dengan Norton
U (n,M) = μ
n W paket berputar
C – count w – box I j
(model antrian ekivalen)
Kondisi dua dimensi : 1 dan 2 pij
Kasus trafik besar : (λ —> ∞ ) atau λ = μ
Kondisi dua dimensi menjadi satu dimensi hanya j.
Dapat dilihat dalam gambar :
Bila λ —> ∞, C – count akan segera kosong setelah mendapat
paket dari box w. bila antrian C dihilangkan, persamaan
kesetimbangan menjadi :
u (w) po = u (1) p w-1
u (w-1) p1 = u (w) po
. . . . . .
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 68
μ1
μ1
λ
λ
M A T A K U L I A H J A R T E L
u (1) p w-1 = u (2) p w-2
JELASKAN !
Disini :
U (n,M) = μ
Penyelesaian persamaan kondisi tersebut diatas :
TURUNKAN !
LATIHAN : Penjumlahan seluruh probabilitas kondisi = 1 akan
didapat :
Pj =
Dimana : Tw =
Throughput :- Merata-ratakan u(n) untuk semua harga n = w - j,
dan dari persamaan kesetimbangan bahwa :
u(j)pw-j adalah konstan atau
- bila box w kosong, w paket dimasukkan ke VC
-----> throughput :
Untuk mencari waktu delay melalui VC : pakai rumus Little :
Dengan p(n) = probabilitas kondisi di VC ekivalen Norton,
diperoleh pendudukan paket rata-rata dari VC :
Ini diperoleh dengan : n = w - j, p(n) = pw-n
(pakai rumus probabilitas sebelumnya).
Pakai Little :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 69
M A T A K U L I A H J A R T E L
Bentuk ini sama dengan bentuk pada kasus "sliding window",
bedanya :
N diganti dengan (1 + w)/2.
Dalam trafik yang besar : jumlah paket berkisar antara : 1 s/d w,
jumlah rata-rata : (1 + w)/2, dimana dapat dibandingkan dengan
jumlah tetap N yang berpindah sepanjang window dalam
keadaan trafik besar.
Untuk N = (1 + w)/2 -----> time delay rata-rata akan sama.
Karena jumlah paket dalam VC bervariasi dari 1 s/d w (tak
tetap) tidak seperti pada "sliding window", throughputnya akan
lebih kecil.
2.11 ALGORITMA BUZEN
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 70
M A T A K U L I A H J A R T E L
Tujuan dari model model analisis jaringan antrian adalah untuk
mendapatkan hasil hasil unjuk kerja suatu set kondisi kondisi
tertentu.
Telah diperoleh cara cara mendapatkan hasil unjuk kerja
tersebut dengan memakai solusi persamaan kondisi dengan
asumsi asumsi tertentu.
Teknik pendekatan dapat digunakan untuk jaringan antrian
tertutup dengan cara ”Mean Value Analisis”.
Pendekatan lainnya yang mungkin adalah cara simulasi dari
suatu bentuk pendekatan baru.
Biaya untuk memori computer dan waktu proses sangat
menentukan dalam menyelesaikan masalah masalah jaringan
antrian ini.
Karena itu dicari suatu model dan algoritma yang dapat dipakai
untuk mengatasi /menyelesaikan masalah masalah yang
sensitive tersebut.
Untuk ini dilihat : CARA PENDEKATAN LAIN UNTUK
MENYELESAIKAN JARINGAN ANTRIAN BENTUK
TERTUTUP yang didapatkan oleh BUZEN dan REISER dan
KOBAYASI secara tertpisah dan dinamakan :
ALGORITMA BUZEN atau ALGORITMA KONVOLUSI
Untuk jaringan bentuk produk dan tertutup, telah diperoleh :
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 71
M A T A K U L I A H J A R T E L
dimana :
bila untuk rate pelayanan tak tergantung kondisi :
throughput : unique !
untuk rate pelayanan tergantung kondisi :
trhroughput : tidak unique !
ingat bahwa merupakan solusi non unique dari persamaan
trafik :
i= 1,2,...,M
Masalah utama adalah menentukan P(n) yaitu dalam
menghitung G(N) dimana tidak mengeluarkan P(0) seperti pada
jaringan terbuka.
Ruang Kondisi untuk sistem tertutup yang terdiri dari N
pelanggan dan M antrian adalah:
Persamaan kondisi normal:
Untuk jaringan terbuka jumlah kondisi besar sekali.
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 72
M A T A K U L I A H J A R T E L
Untuk jaringan tertutup dibatasi oleh:
, ini mengurangi jumlah kondisi, tetapi masih
sangat besar.
Dengan N pelanggan dan M antrian, jumlah kondisi =
Untuk M = 10 dan N = 25 : harga tersebut =
kondisi
Setiap suku memerlukan perkalian konstanta sejumlah 10, jadi
kira-kira 520 juta perkalian.
Selain itu juga harus hati-hati bila perkalian ini dilakukan karena
dapat kehilangan ketepatan seperti yang telah di kemukakan
dalam soal latihan sebelumnya.
Terlihat bahwa sekalipun dengan jumlah pelanggan dan antrian
yang tak besarpun jumlah kondisi sudah sangat besar.
Sekarang dikemukakan cara BUZEN yang menentukan
konstanta normal tanpa penjumlahan yang besar.
Cara ini disebut:
Sebut g(m,n) konstanta normal untuk n pelanggan dan m
antrian.
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 73
ALGORITMA KONVOLUSI atau ALGORITMA BUZEN
M A T A K U L I A H J A R T E L
(Di sini dipakai huruf kecil n dan m karena akan dipakai untuk
interasi sampai mencapai harga yang diperlukan: N dan M)
Dari definisi:
Dapat dikembangkan sebagai berikut:
Menjadi faktor:
Bila dilihat yang di dalam kurung :
Ini mirip bentuk konvolusi, dari sini algoritma ”konvolusi”.
Dari definisi g(n,m), kondisi permulaan diberikan oleh :
g (n,1) = f1 (n) ; n = 0,1,.....,N
g (0,m) = 1 ; m = 1,2,.....,M
A. OPERASI DARI ALGORITMA :
1 2 m-1 m M
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 74G (n-1)
G (N)
012...
n-1
n
M A T A K U L I A H J A R T E L
Diagram ini menunjukkan bahwa kolom terakhir adalah g (n,m)
dan ini sama dengan G (n). Sehingga konstanta normal untuk
penambahan jumlah pelanggandihitung selama proses
algoritma ini.
Antrian dengan Kondisi Bebas
dimana,
Suku pertama, merupakan konstanta normal unuk jaringan tanpa antrian ke m : g (n,m-1)
Suku kedua, bila suatu suku dikeluarkan :
Terlihant bahwa yang tinggal adalah konmstanta normal g (n-1,m)Jadi :
Kompleksitas perhitungan dalam algoritma ini, Diperlikan MN penjumlahan dan MN perkalian, untuk rekursif kondisi bebas terdapat kira-kira:
N2/2 penjumlahan dan N2/perkalian
tiap kolom pada diagram
kembali ke contoh semula dengan N=25 dan M=10 akan
diperoleh operasi sebesar : MN, kira-kira=3125 perkalian. Ini
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 75
M A T A K U L I A H J A R T E L
sangat sedikit bila dibandingkan dengan jumlah semula
sebesar: 500 juta.
UKURAN UNJUK KERJA
Ukuran unjuk kerja dapat diturunkan dari: Kesetimbangan
Probabilitas Kondisi. Hal ini juga akan memerlukan operasi
perhitungan yang sangat besar. Ternyata sejumlah unjuk kerja
yang penting dapat dihitung sebagai fungsi dari berbagai
konstanta normal di mana merupakan produk dari algoritma
konvolusi.
"MARGINAL DISTRIBUTION" DARI PANJANG ANTRIAN
Sebut
Dilihat: pelayan bebas kondisi
Perhitungan dimulai dengan:
Substitusi memberikan:
di mana
dan dari persamaan trafik digunakan untuk menghitung
jadi semua suku mengandung faktor dan bila ini
dikeluarkan,
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 76
M A T A K U L I A H J A R T E L
maka:
Jumlah di atas adalah konstanta normal dengan N-n
pelanggan.
Sekarang pakai "trick":
dengan definisi:
maka
sekali G(1), G(2), ..., G(N) dapat dihitung, Marginal Distribution
dapat diperoleh. Catatan: tergantung atas non-unique .
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 77
M A T A K U L I A H J A R T E L
SISTEM ANTRIAN W A H Y U A D I P 78
top related