sistem persamaan linier homogen - devi sipil...
Post on 05-Feb-2018
302 Views
Preview:
TRANSCRIPT
SISTEM PERSAMAAN
LINIER homogen
JURUSAN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
2013
DEFINISI…….
Sistem Persamaan Linier Homogen
Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada salah satu elemen bi tidak sama dengan nol, maka disebut sistem persamaan linier non homogen.
PENDAHULUAN
Bentuk umum:
Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial. Solusi non trivial didapatkan dengan menentukan nilai dari variabel X sampai dengan persamaan yang ada dapat digunakan untuk menyelesaikan atau mendapatkan nilai X yang lain.
0xxxx
0xxxx
0xxxx
0xxxx
nmnjmj2m21m1
nn ijj i22 i11 i
nn2jj2222121
nn1jj1212111
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
PERSAMAAN GERAK SISTEM DENGAN DUA DERAJAT KEBEBASAN
Persamaan Kesetimbangan Massa 1:
0211
2112
1
2
1
xxkdt
xxdc
dt
xdm .…(85)
Persamaan Kesetimbangan Massa 2:
0211
21122
222
2
2
2
xxkdt
xxdcxk
dt
dxc
dt
xdm (86)
Kedua persamaan tersebut disusun dalam bentuk matriks:
0
0
0
0
2
1
211
11
2
1
211
11
2
2
2
2
1
2
2
1
dt
dxdt
dx
ccc
cc
x
x
kkk
kk
dt
xddt
xd
m
m
(87)
02
2
dt
dxCxK
dt
xdM (88)
Untuk redaman = 0
02
2
xKdt
xdM (89)
Solusi persamaan homogen tersebut adalah: xdt
xd 2
2
2
Dengan ω adalah frekuensi alami getaran. Substitusi persamaan (90) ke dalam persamaan (89):
(90)
02 xKxM (91)
Atau: 0
12
xIxMK (92)
2
1 1dan DMK
Maka diperoleh persamaan homogen:
0 xID
Yang menghasilkan nilai eigen λ dan eigen vektor (x) melalui persamaan penentu:
0 IDDet
(93)
(94)
[D] adalah matriks dinamis
Contoh:
Tentukan bentuk ragam (mode-shape) dari struktur disamping
Jawab
Matriks kekakuan:
kk
kkKkk
kkK
3
1
3
13
1
3
4
4
1
Matriks massa:
m
mM
0
0
Matriks dinamik:
k
m
k
mk
m
k
m
MKD
33
33
4
1
k
m
k
mk
m
k
m
ID
33
33
4
0333
40
2
k
m
k
m
k
mIDDet
k
m
k
m
mkmkm
mkmkm
kk
m
k
m
k
m
51,0833,0
09154
0334
30333
4
2,1
2222
2
2
m
k
k
m
m
k
k
m
,0903 323,0
,7440 343,1
2
2
2
1
Ragam getaran diperoleh dengan memasukkan nilai frekuensi alami ke dalam persamaan gerak:
012
xIxMK
k
m
k
mk
m
k
m
MKD
33
33
4
1
Ragam 1 m
k,7440 2
0
0
10
01
33
33
4
744,02
1
2
1
x
x
x
x
k
m
k
mk
m
k
m
m
k
00,1
07,3
0
0
10
01
248,0248,0
248,0992,0
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
Ragam 2 m
k,0903 2
0
0
10
01
33
33
4
090,32
1
2
1
x
x
x
x
k
m
k
mk
m
k
m
m
k
00,1
33,0
0
0
10
01
03,103,1
03,112,4
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
Latihan Soal:
Selesaikan sistem persamaan linier homogen di bawah ini dengan menggunakan variabel x3 sebagai pengali…
Tugas: Suatu bangunan mempunyai persamaan ragam struktur dalam bentuk sistem persamaan linier sebagai berikut:
Tentukan penyelesaian dari persamaan ragam tersebut.
036,103000030000
03000054,157000040000
04000091,2590000
64,833
036,103000030000
03000054,157000040000
04000091,2590000
96,562
036,103000030000
03000054,157000040000
04000091,2590000
17,251
33
2
323
3323
2
313
2313
2
3
3
32
2
222
3222
2
212
2212
2
2
2
31
2
121
3121
2
111
2111
2
1
1
xx
xxx
xx
dtkradRagam
xx
xxx
xx
dtkradRagam
xx
xxx
xx
dtkradRagam
Main menu
top related