sistemas de ecuaciones

Doña Florinda compró tres kilos de manzanas rojas y cinco kilos de manzanas verdes y gastó $3.400

Por otro lado, la bruja del 71 compró seis kilos de manzanas rojas y cuatro kilos de manzanas verdes y gastó $3.800

¿Cuánto cuesta cada kilo de fruta

?

3x+5y=34006x+4y=3800

En donde, X= precio del kilo de manzana roja

Y= precio del kilo de manzana verde

Ahora escribamos esto

en lenguaje algebraico:

Para dar respuesta a este problema utilizaremos los distintos métodos de resolución, que veremos a continuación:

Método por reducción

Método por igualación

Método de sustitución

A continuación veremos los pasos a seguir:

1. Debemos “igualar” una de las variables, ya sea “X” ó “Y”,solo en su coeficiente numérico y NO en su signo, de este modo quedará una variable positiva y otra negativa, para poder eliminar una de las variables.

Resolvamos el problema inicial: 3x+5y=3400

6x+4y=3800

Si queremos eliminar “X”, ¿Qué valor debemos utilizar? a) 2 b) (-2)

La alternativa correcta es la alternativa “b”, ya que nuestro sistema quedará de la siguiente forma:

3x+5y=3400 *(-2) 6x+4y=3800 (-6)x+ (-10)y =6800*(-2) 6x+ 4y =3800

-6x-10y=-6800 6x+4y=3800

2. Ahora debemos sumar nuestras ecuaciones en forma vertical.

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-6x -10y=-6800 6x +4y=3800

-6y =-3000

Y= -3000/-6 Y=500

3.Luego despejamos la variable “Y”:

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4. Finalmente para obtener el valor de nuestra segunda variable “X”, debemos reemplazar “y” en unas de las ecuaciones.

3x+5y=34003x+ 5*(500) =34003x+2500=34003x=3400-25003x=900 x=900/3 x=300

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Los pasos a seguir son:1. Debemos despejar la misma variable en ambas ecuaciones,

es decir:Veamos nuestro ejemplo, entonces:

3x+5y= 34006x+4y= 3800

La primera ecuación nos resulta:x= 3400-5y

3

La segunda ecuación nos resulta:6x+4y= 3800X= 3800-4y

6

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2.Igualar las ecuaciones resultantes del paso 1:

3400-5y = 3800-4y3 6

3. Despejar la nuestra incógnita: 6*(3400-5y) = 3*(3800-4y)

20400-30y =11400-12y20400-11400=-12y+30y

9000=18y 9000/18=y

500=y

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4. Para poder encontrar el valor de la variable “X” debemos reemplazar en una de las ecuaciones iniciales:

Por ejemplo:

3x+5y= 3400 y= 5003x+ 5*(500) =34003x+ 2500 =34003x=3400-2500x=900/3x= 300

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A continuación veremos los pasos a seguir:1. Despejar una variable y luego reemplazar

esta en la otra ecuación:3x+5y=34006x+4y=3800

Despejemos en 1, la variable “x”:X= 3400-5y , luego reemplazamos esto en 2. 36*(3400-5y) +4y= 3800 3

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2.Resolver la ecuación resultante del paso 1:

6*(3400-5y) +4y= 38003

2*(3400-5y) +4y= 3800 6800-10y +4y=3800 6800-6y=3800

-6y=3800-6800 -6y=-3000

y=-3000 6 y=500

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3. Como en los pasos anteriores debemos reemplazar nuestro valor de “Y” en una de las ecuaciones iniciales, de este modo obtendremos el valor de “X”:

3x+5y= 3400 y= 5003x+5*(500)=3400 3x+ 2500 =3400 3x=3400-2500 x=900/3 x= 300

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X = 300

Por lo tanto, el valor de las manzanas rojas es de $300 el kilo.

Y = 500

Por lo tanto, el valor de las manzanas es de $500 el kilo

Respuesta:

Finalmente podemos darnos cuenta de que los sistemas de ecuaciones nos servirán muchísimo para nuestra vida diaria sobre todo cuando tenemos que encontrar dos resultados para una sola pregunta como veremos en las próximas clases también podremos encontrarle aplicación en otras áreas como la minería, agricultura, en una compra de supermercado, etc.