sistemas no lineales, caos organización - 2003 y...
Post on 05-Oct-2018
224 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 1
Sistemas no lineales, caos y fractales
Sistemas no lineales, caos y fractalesy fractalesy fractales
Modelización de Sistemas Biológicos por Computadora
Bioinformática - FIUNER
Dra. María Eugenia Torres
Organización - 2003Motivación e Introducción.E t bilid d CEstabilidad y Caos.Caos en sistemas discretos:
Transformarciones iteradas (Sistemas Iterados de Funciones - IFS).Exponentes de Lyapunov.La ecuación logística
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 2
La ecuación logística.
Fractales.
ContenidoSistemas caóticos.
Existencia de comportamiento caótico.
Bifurcaciones.
Diferencias con el caso aleatorio.
Simulación de la ecuación logística, diagrama de
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 3
g , g
bifurcaciones.
Relación con los fractales y ejemplos biomédicos.
Objetivos GeneralesComprender el concepto de sistema caótico.
Diferenciar sistemas caóticos de aleatorios.
Comprender la relación que une el caos con los
fractales.
Conocer sistemas biológicos no lineales caóticos y
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 4
fractales.
Analizar la aparición de estructuras fractales en la
naturaleza.
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 2
ComplejidadEl problema de la complejidad aparece
ligado a muchas disciplinasligado a muchas disciplinasNegociosEconomíaFísicaSociología (managment, leadership)FilosofíaSustentabilidad y ecología
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 5
Sustentabilidad y ecologíaNetworksArquitectura del softwareBiología (Evolución emergente)
Complejidad y caosTodos los sistemas complejos tienen cosas en común
Muchos agentes independientes interactúan entre ellos en una gran diversidad de maneras.
La riqueza de interacciones permite que el sistema como un todo someterse a una auto-organización espontánea
Estos sistemas complejos, auto-organizativos son adaptivos.
En cierto modo han adquirido la habilidad de ofrecer orden y caos
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 6
q yen un modo especial de balance.
M. Mitchell Waldrop "Complexity: The Emerging Science at the Edge of Order and Chaos“, pp. 11−12, Simon & Schuster, 1992.
¿Quién creo el caos?Un médico, un ingeniero civil y una informática estaban discutiendo acerca de cuál
era la profesión más antigua del mundo.
- El médico señaló: “Bueno, en la Biblia dice que Dios creó a Eva de una costilla quele quitó a Adán. Evidentemente, esto requirió cirugía, y por eso bien puedo afirmar quela mía es la profesión más antigua de mundo.”
- El ingeniero civil interrumpió y dijo: “Pero incluso antes, en el Génesis, se diceque Dios creó el orden de los cielos y la tierra a partir de caos. Esta fue la primera ydesde luego la más espectacular aplicación de la ingeniería civil. Por lo tanto, queridodoctor, está usted equivocado: la mía es la más antigua de las profesiones.”
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 7
doctor, está usted equivocado: la mía es la más antigua de las profesiones.
- La informática se reclinó en su silla, sonrió, y dijo tranquilamente: “Pero bueno,¿quién piensan que creó el caos?”
Grady Booch, Complexitywww.booch.com/architecture/blog/artifacts/Complexity.ppt
Orígenes de la Teoría de caos.Henri Poincaré (Matemático francés, 1854 –1912).
En el campo de las ecuaciones diferenciales, realizó contribuciones claves para la t í lit ti d i dif i l j l l E f d P i éteoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, como por ejemplo la Esfera de Poincaréy el Mapa de Poincaré (1890).
La noción de caos desapareció por cerca de un siglo.
Edward Lorenz(meteorólogo y matemático americano, 1917 - 2008 )
Noción de atractor extraño y el efecto mariposa (Butterfly effect)
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 8
Edward N. Lorenz (1996) The Essence of ChaosJames Gleick (1988) Chaos: Making a New Science
1970-1980 la teoría de caos finalmente tuvo impacto sobre la comunidad científica:Robert May (Ecologista. Australia, 1936)
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 3
Robert MayDinámica de poblaciones animales
R l i t l jid d t bilid d id d Relaciones entre complejidad y estabilidad en comunidades
naturales.
Importantes avances en el campo de las poblaciones biológicas
aplicando técnicas matemáticas. Simple mathematical models with very complicated dynamics,Nature 261, 459 - 467 (10 June 1976);
doi:10.1038/261459a0
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 9
Desarrolló la teoría ecológica (1970-1980)
Estudios de enfermedades y de la diversidad.
Introducción: estabilidad
Generalmente tendemos a tratar con situaciones estables.
En caso contrario:
Si los cambios duran muy poco tiempo en relación a los
períodos estables los ignoramos (transitorios).
Si los cambios duran un cierto tiempo tratamos de
encontrar alguna regularidad en ellos y de no encontrar
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 10
ningún patrón estable los encasillamos dentro de los ruidos o
la física tradicional los trata como fenómenos aleatorios.
Introducción: caos
La teoría del caos retoma estos últimos casos:
Ciertos sistemas no lineales muestran un comportamiento
impredecible a pesar de:
no tener ninguna influencia del azar y
ser enteramente determinísticos.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 11
Esto puede suceder en sistemas extremadamente simples.
Introducción: orden
En estos sistemas no lineales puede identificarse un parámetro del
cual depende su comportamiento.
Al cambiar este parámetro, podemos encontrarnos con un
comportamiento:
Ordenado: puntos fijos o ciclos límite en el espacio de fase
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 12
Ordenado: puntos fijos o ciclos límite en el espacio de fase.
Desordenado: atractores extraños en el espacio de fase.
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 4
Del orden al caos: Bifurcaciones
Cuando variamos este parámetro encontramos que existe un
rango de valores del mismo en el cual el sistema pasa de la
estabilidad al caos.
Las bifurcaciones por duplicación de período consisten en
una pérdida de la estabilidad de una solución atractiva
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 13
dando lugar a otra de periodicidad doble.
Caos en sistemas discretosCaos en sistemas discretos
La ecuación logística(R. May, 1976)
Ecuaciones en recurrencia
áUn sistema dinámico discreto es descripto mediante una función (o transformación) iterada:
donde k es algún parámetro de la función F
x F xn k n+ =1 ( )
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 15
donde k es algún parámetro de la función F.
Con la calculadora...Ponga el modo radianes para la unidad angular.Elija un número inicial cualquiera.Pulse una y otra vez el botón de la función coseno.La serie de números que aparece en la pantalla oscilará y al cabo de un cierto número de pasos se aproximará a un valor estable y no habrá más cambios:
3.00000000000000000000000000000000 -0.989992496600445457271572794731260.5486961336030970385166415749089310.85320531150574707016222532057684
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 16
Dicha serie de números recibe el nombre de órbita, y el punto final se llama punto fijo estable.
...0.739085128310922996144139146959862
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 5
IteracionesSistemas Lineales
La iteración sólo puede dar lugar a:una sucesión creciente, ouna sucesión que converge a cero.
Sistema No Lineal
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 17
La dinámica iterativa de ecuaciones no lineales puede dar lugar a comportamientos “extraños ”.
Transformaciones iteradasUna forma de representar la evolución de
un sistema dinámico discreto es a través su diagrama de recurrencia(transformaciones iteradas).
1. Colocamos en:
Abscisas: los valores de xn+1
(=y)
Ordenadas los valores de xn
(=x).
L dib j l f ió
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 18
2. Luego dibujamos la función
yA=g(x)=F(xn)
y la recta yB=x que representa
xn+1= xn.
Atractor o punto fijo estable
)(sistema del fijo puntoun es ;1
xfxxxxx nn
===+
En el diagrama de la transformación iterada se encuentra un punto fijo estable o atractor para la salida del sistema.
Para t → ∞ la salida del
)(xfx =
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 19
sistema se aproxima a la intersección de la recta yB=x con la función yA=g(x).
En este caso, el punto fijo del diagrama de recurrencia se corresponde con un punto crítico estable en el plano de fase del sistema dinámico equivalente.
Puntos fijos inestables
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 20
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 6
Condición de estabilidad
sistema del fijo puntoun es )( xxfx =
Encontrado un punto fijo del sistema, ¿es éste estable o inestable?
¿ Dados valores xn cercanos a , xn evolucionará hacia
valores cercanos o alejados de ?
xx
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 21
Condición de estabilidad
La condición de estabilidad de un punto fijo es:
La derivada F’ puede calcularse derivando F o por mediode:
F xF x F xn n' ( ) = lím
( ) ( )ε+ −
x
1][' <xF
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 22
F xn( ) = lím0ε ε→
Ejercicio propuesto Nº 1Considere la siguiente ecuación en diferencias no lineal de crecimiento poblacional.
0,,1 >+
=+ kbxb
bxxn
nn
• ¿ Tiene puntos críticos?
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 23
• En caso afirmativo, ¿ son estados estacionarios estables?
• ¿ De qué dependen estos puntos críticos? ¿ Y su estabilidad?
Ejercicio propuesto Nº 2Realice un análisis equivalente para la ecuación logística:
0,),(1 >−=+ drydryy nnn
Redefiniendo las variables como nn yrdx ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 24
se tiene la ecuación:
10 osrestringim si 41),1(1 <<<<−=+ xrxxrx nnn
( Robert May, 1976.)
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 7
Mas allá de r =3¿Existirán soluciones de la ecuación logística que oscilen de manera estables de período 2? A este tipo de soluciones se las denomina ciclos de dos puntos.Deberán satisfacer:
⎩⎨⎧
==
+
+
nn
nn
xxxfx
2
1 )(
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 25
Demuestre que la condición para que xi sea un punto crítico de dos ciclos es que
121
<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
xx dxdf
dxdf
Y mas allá?
Realizando el análisis anterior podrá encontrarse que la ecuación logística tiene soluciones estables de período dos
siempre que 3< r < r2, para r2=3.3.
¿Y que pasa más allá de r2 ?Ayuda !!!!
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 26
Ayuda !!!!
De quien?
Métodos gráficos
Un modelo de epilepsia (EDO)
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 27
a ≠ 0, μ = 0.65, ε = 0.55 y b = 0.65, simula el comportamiento esencial del cerebro
Complejidad en EEG: Caos tipo Sil’nikov
• Las señales de EEG cumplen con la condición de Sil' nikov
• Para a ≠ 0, μ = 0.65, ε = 0.55 y b = 0.65,
genera el comportamiento esencial del cerebro con una transición del parámetro a desde el valor
durante una crisis de epilepsia del tipo petit- mal.
transición del parámetro a desde el valor
a1 = 0.008 hasta el valor a2 = 0.2217
( Kelso and Fuchs, 1995)
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 8
Modelo de Sil’ nikov (Atractor extraño)
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 29
Retrato de fase o Espacio de Fase
Definiciones (I)Sea f(t, •) una función que especifica la dinámica del sistema.
Esto es si a es cierto punto en el espacio de fase de modo tal que Esto es, si a es cierto punto en el espacio de fase, de modo tal que es el estado del sistema en cierto tiempo considerado el instante inicial, entonces
f(0, a) = a
Y para cualquier valor positivo t, f(t, a) es el resultado de la evolución de dicho estado después de t unidades de tiempo.
Ejemplo:Si es sistema corresponde a la dinámica una partícula libre en una
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 30
Si es sistema corresponde a la dinámica una partícula libre en una dimensión, entonces el espacio de fase será el plano R2, con coordenadas (x,v), donde x es la posición de la partícula y v es su velocidad y la evolucion esta dada por
f(t,(x,v)) = (x + tv,v).
Definiciones (II)Un atractor es un subconjunto A del espacio de fase, caracterizado
por las siguientes condiciones:p g
1. A es invariante hacia delante bajo f: si a es un elemento de A
entonces también lo es f(t,a), para todo t > 0.
2. Existe un entorno de A, denominado base de atracción de A,
indicado B(A), que consiste en todos los puntos b que "entran en
A en el limite t → ∞". Formalmente: B(A) es el conjunto de todos
los punto b en el espacio de fase con la siguiente propiedad:
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 31
Para cualquier entorno abierto N en A, existe una constante
positiva T tal que f(t,b) є N para todo real t > T.
3. No existe ningún subconjunto propio de A que tenga las dos
propiedades anteriores.
Observaciones (Atractor)Como la base de atracción contiene un conjunto abierto que contiene a A, todo punto suficientemente próximo a A será atraido , p phacia A.
La definición de un atractor utiliza una métrica en el espacio de fase, pero la noción resultante habitualmente depende solamente de la topología del espacio de fase. En el caso de Rn, se usa la norma Euclidea.
Existen otras definiciones de atractor en la literatura.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 32
Por ejemplo algunos autores piden que un atractor tenga una medida positiva (con lo cual un punto fijo no puede ser un atractor)
Otros piden que B(A) sea un entorno abierto.
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 9
Tipos de atractorHasta 1960 se pensaba a los atractores como subconjuntos geométricos del plano de fase: puntos, líneas, superficies, volúmenes.
Las formas extrañas (topológicamente) se pensaban que eran anomalías.
Stephen Smale (1967) mostró que su transformación de herradura (horseshoe map) era robusta y que su atractor tenia la estructura de un conjunto de Cantor Cantor set (1883).
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 33
Atractores simples: punto fijo y el ciclo límite
Existen muchos otros conjuntos geométricos que son atractores.
Cuando estos conjuntos o los movimientos en ellos, son difíciles de describir se dice que estos atractores son extraños
Conjunto de Cantor
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 34
Transformación HorseshoeSmale (1967)
R it d
Estudios del comportamiento de las orbitas del oscilador de Van der Pol.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 35
http://en.wikipedia.org/wiki/Horseshoe_map
Reiterando …
Atractor extrañoInformalmente un atractor se dice extraño si tiene una dimensión no entera o la dinámica del sistema es caótica en él.o e te a o a d á ca de s ste a es caót ca e é
El término fue propuesto por David Ruelle y Floris Takens para describir atractores que resultan de una serie de bifurcaciones de un sistema que describe el flujo de fluidos.
Los atractores extraños son generalmente diferenciables en varias direcciones, pero algunos no lo son, como por ejemplo el conjunto de Cantor (Cantor Dust).
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 36
Se pueden obtener atractores extraños en sistemas discretos o continuos.
Examplos de atractores extraños: atractor de Henón, atractor de , Rössler, atractor de Lorenz.
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 10
Movimientos caóticos y su identificación
En las dinámicas caóticas encontramos existe una gran dependencia de las condiciones iniciales.
La separación de órbitas originalmente vecinas está dada en promedio por una función exponencial (no necesariamente exacta).
Es por esto que en la práctica se hace imposible predecir el comportamiento futuro.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 37
Las trayectorias se circunscriben a una región acotada en el espacio de fases.
Exponentes de LyapunovEstas ideas pueden ser cuantificadas mediante la utilización
de los exponentes de Lyapunov (σ )de los exponentes de Lyapunov (σi )
Los σi de una trayectoria miden el tasa promedio de divergencia a largo término de todos los movimientos
adyacentes basados en:
0)]ió(t)/iól [()/1( tli
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 38
0)].en separación(en t)/separaciónln[()/1( tlimt ∞→
=σ
Este limite debe tomarse sólo entre aquellas trayectorias cuya separación final se mantiene pequeña
Exponentes de Lyapunov (cont)Caso mas sencillo:
La trayectoria fundamental es un punto fijo trivial de un La trayectoria fundamental es un punto fijo trivial de un flujo tridimensional linealizado
)3 2, 1,(.xi == ix ii λ&
Los autovalores ordenados (λ1>λ2 >λ3) que inicialmente se ubican en una esfera unitaria serán transportados por el flujo a un elipsoide
con semi-ejes principales de longitud exp(λi t)
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 39
con semi ejes principales de longitud exp(λi t).
En este caso los exponentes de Lyapunov son simplemente los valores característicos σi = λi y su suma σ1 + σ2 +σ3 será la
divergencia del campo.
Exponentes de Lyapunov: Sistemas discipativos.
En los sistemas totalmente discipativos, la divergencia es negativa y entonces la suma de todos los exponentes de Lyapunov será negativa, sin restricción a ningún exponente.Si el máximo exponente σ1 >0, entonces algunas trayectorias divergirán de la fundamental, y existirá unasensible dependencia con las condiciones iniciales.
Un exponente de Lyapunov positivo en un atractor
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 40
p y p pextraño acotado es símbolo de movimiento caótico.
Un test que permite determinar la existencia de un atractor caótico se basa en analizar sus propiedades fractales (mas adelante)
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 11
Exponentes de Lyapunov :Sistemas discretos
La iteración de una ecuación de recurrencia a partir de losvalores iniciales x0 y x0 + ε da como resultado:
Supongamos que existe un λ tal que:
F x F xkn
kn( ) y ( + )0 0 ε
F Fn n n( + ) ( ) .ε ε λ
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 41
F x F x ekn
kn( + ) ( ) .0 0ε ε− ≈
Exponentes de LyapunovA medida que ε → 0 y n → ∞ siempre que también
, tendremos:, tendremos:
que expresa la separación exponencial promedio entre laórbita partiendo de x0 y la órbita partiendo de x0 + ε.De aquí resulta:
.0( ) n
nnkdF x e
dx≈ λ
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 42
( )01 ln
n
nkdF
xn dx
⎛ ⎞λ ≈ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Exponentes de Lyapunov
Luego podemos escribir:g p
01 2 0
0
( )1 1lím ln lím ln '( ). '( )... '( )n
kk k n k n knn n
dF x F x F x F xn dx n − −→∞ →∞
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪λ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
1
0
1lím ln '( )n
k k mn m
F xn
−
→∞=
⎧ ⎫λ = ⎨ ⎬
⎩ ⎭∑
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 43
Si este límite existe, λk es una medida de la separación exponencial promedio de las órbitas vecinas a todos los puntos
de una órbita alrededor de un atractor.
Exponentes de Lyapunov
Para ciclos estables λk<0 y las órbitas convergen. Para ciclos estables λk<0 y las órbitas convergen.
Para atractores extraños encontramos que λk>0 y las órbitas no convergen.
Siendo cuando ocurre una bifurcación tenemos entonces λk=0.
F xk N' ( ) =1
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 44
Se llaman ciclos superestables cuando λk→ -∞ ya que en estos casos y la velocidad de convergencia a la estabilidad es máxima.
F xk N' ( ) = 0
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 12
Ejemplo: la ecuación logística
Una de las ecuaciones más sencillas que describen sistemascaóticos.Está inspirada en un modelo poblacional (Lotka-Verhulst):
dNdt
r NN
N= −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
∞ 1
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 45
Población de Nt individuos y recursos limitados dados por r
Ejemplo: la ecuación logísticaSi discretizamos esta ecuación utilizando el método deEuler podemos llegar a:
Nn +1 = k Nn (1- Nn ), 0 < N < 1,
donde k juega el papel de r.Esta ecuación de recurrencia se denomina ecuaciónlogística.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 46
Ejemplo: la ecuación logísticaObservación:
Este modelo demográfico simple de tiempo discretopodemos considerarlo basado en generaciones.
Puede considerarse que cada 20 años aparece unanueva generación, por lo que no es necesario considerarlos instantes de tiempo intermedios.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 47
¿Que pasa cuando cambiamos k?cambiamos k?
Ejemplo: la ecuación logística
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 13
Ejemplo: la ecuación logísticaEn la notación anterior:
En este caso tendremos puntos fijos de la recurrenciacuando:
F N k N Nk t t t( ) ( )= −. 1
F N N k N kN( ) ( ) +⇒ 21 0
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 49
F N N k N kNk t t t t( ) ( - ) ++ = ⇒ =121 0
Ejemplo: la ecuación logísticaPara k < 1 (mortandad mayor que natalidad) la ecuación anterior posee una única solución Nt
(1) = 0.
Para k >1 encontramos dos soluciones:
(1) (2) 10 y = kN N −
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 50
( ) ( )0 y =t tN Nk
=
Para k = 2.9
Ejemplo: la ecuación logística
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 51
Ejemplo: la ecuación logística
En el contexto demográfico:
la vida no aparece espontáneamente de la nada, pero si hay una cantidad de individuos, por pequeña que sea, la especie no desaparecerá (en este modelo simple), sino que tenderá a un valor estacionario no nulo que dependerá de la cantidad de alimento disponible
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 52
dependerá de la cantidad de alimento disponible.
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 14
Ejemplo: la ecuación logísticaPara llegar a un punto fijo en la recurrencia debe cumplirse que:
Entonces: F N k Nk t t'( *) ( *)= − <1 2 1.
< <1 1F N k'( )(1)
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 53
− < = <1 1F N kk t'( )(1)
− < = − <1 2 1F N kk t'( )(2)
Ejemplo: la ecuación logística
Para k > 3 ambos puntos pfijos son inestables.
La desestabilización de Nt
(1) cuando k=1 se produce porque F1’(0)=1.
Para Nt(2) en k=3 tenemos
F1’(0)= -1
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 54
F1 (0)= 1.
Así en k=3 se produce la bifurcación o duplicación de período.
Para k = 3.1 se produce la bifurcación:
Ejemplo: la ecuación logística
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 55
Ahora la comida ha aumentado hasta el punto en que una generación pequeña dispone de tanto alimento que tiene un rápido crecimiento de forma súbita mientras que en la
Ejemplo: la ecuación logística
rápido crecimiento de forma súbita, mientras que en la siguiente generación hay demasiados individuos pero una cantidad insuficiente de comida, por lo que la población vuelve a bajar en la siguiente generación, y así sucesivamente.
Este comportamiento estable puede observarse en algunas colonias de bacterias.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 56
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 15
Si seguimos aumentando k, este ciclo de periodo 2 se
Ejemplo: la ecuación logística
convierte en un ciclo de periodo 4, después en uno de periodo 8, y así sucesivamente.
En cada bifurcación, el sistema sufre un cambio drástico en su comportamiento a largo plazo.
Para k > 3.5699 el sistema ya no sigue un ciclo periódico, sino que siempre varía sin repetirse a sí mismo
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 57
sino que siempre varía sin repetirse a sí mismo.
Este comportamiento recibe el nombre de caos.
Para k = 3.9 tenemos:
Ejemplo: la ecuación logística
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 58
Si representamos los puntos fijos estables, o los puntos pertencientes a ciclos estables, en función de k, se puede
Ejemplo: la ecuación logística
ver que cada uno de los ciclos se bifurca en otro de periodo doble que el original.
N∞ k
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 59
∞,k
kDiagrama de bifurcación
Por encima de k=3.5699 el comportamiento es caótico, por lo que un continuo puntos corresponden a un mismo valor
Ejemplo: la ecuación logística
de k (la órbita ya no es periódica, y toma infinitos valores de Nt).Se puede apreciar la “autosemejanza” típica de lasestructuras fractales.
N∞ k
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 60
∞,k
kDiagrama de bifurcación
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 16
Ejemplo: la ecuación logísticaExisten ventanas de comportamiento periódico en la zona caótica. El exponente de Lyapunov predice éstas
N∞,k
haciéndose repentinamente negativo. Las bifurcaciones se corresponden con los λk=0.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 61
k
λk
Ejemplo: la ecuación logísticaConclusión:
Un sistema tan sencillo como el descripto por la ecuación logística puede presentar, bajo ciertas condiciones, comportamiento caótico y estructura fractal.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 62
Aplicaciones fisiológicas
1978- Mackey y Glass describieron varios desordenes respiratorios en los cuales los patrones de respiración eran “irregulares”. (Cheney-Stokes breathing, biot breathing and infant apnea parecen indicar algun tipo de problema en el sistema de control que gobierna la ventilación)
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 63
Glass L. And Mackey, MC. Pathological conditions resulting from instabilities in physiological control systems, Ann. NY Acad. Sci., 316, 214-235, 1979.
Aplicaciones fisiológicasDesordenes cardiológicos y neurológicos también han sido modelizados con ecuaciones discretas Keener sido modelizados con ecuaciones discretas. Keener (1981) e Ikeda et al (1983) presentan modelos de arritmia basado en la interación del nodo sinoatrial con un marcapasos secundario en el ventrículo.
Ìkeda N., Yoshizawa S and Sato T. Difference equation model of ventricular parsystole as an interaction between cardiac
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 64
p ypacemakers based on the phase response curve. J. Theor. Biol., 103, 439-465. (1983)
Keener JP. Chaotic cardiac dynamics. Pp 299-325 in FC Hoppenstaedt, ed. In Mathematical aspects of physiology. AMS, 1981.
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 17
Aplicaciones fisiológicas (Cont.)
Colectivamente los desordenes fisiológicos en los cuales un Colectivamente, los desordenes fisiológicos en los cuales un adecuado sistema de control se vuelve inestable han sido denominados “enfermedades dinámicas”.
Modelos muy sencillos han demostrado que estos fenómenos pueden surgir espontáneamente cuando uno o varios parámetros del sistema son apenas sacados del umbral de los puntos de bifurcación
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 65
umbral de los puntos de bifurcación.
EEG epiléptico
EEG epiléptico. Atractores extraños
Retrato de Fase
Caos en sistemas continuosLas ecuaciones de Lorenz
σ : número de Prandtl number
Sensible dependencia con las condiciones iniciales
σ : número de Prandtl numberr: número de Rayleigh number. σ, r, b > 0, Usualmente: σ = 10, b = 8/3 y r cambia.Comportamiento caótico para r = 28 Pero posee orbitas periodicas para otros valores de r (Ejemplo: r = 99.96 es un T(3,2) torus knot).
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 68
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 18
Datos caóticos vs. aleatoriosDificultad:Los datos reales (series temporales o series de datos) no consisten
en señal pura sino que están contaminadas con cierto grado de
Cómo distinguir procesos determinísticos de estocásticos?
Los procesos determinísticos siempre evolucionan de la misma forma a partir de un punto inicial dato
en señal pura, sino que están contaminadas con cierto grado de ruido, aun cuando tan solo sea por errores de redondeo o de truncamiento.
Las series reales siempre contienen cierto grado de aleatoriedad o ruido.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 69
a partir de un punto inicial dato.
Para testear determinismo:1. Elegir un estado para testear; 2. Elegir una serie temporal para un estado similar o cercano; 3. Comparar sus evoluciones temporales respectivas.
Datos caóticos vs. aleatorios
4. Calcular el error como la diferencia entre las evoluciones ótemporales del estado “test”y la del estado próximo.
Sistema determinístico:Error se mantiene acotado y pequeño (estable o solución regular)Error aumenta exponencialmente con el tiempo (caos).
Sistema estocástico:
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 70
Sistema estocástico:Error distribuido aleatoriamente.
Casdagli, Martin. "Chaos and Deterministic versus Stochastic Non-linear Modelling", in: Journal Royal Statistics Society: Series B, 54, nr. 2, 303-28, 1991.
FractalesFractalesIntroducción
Fractales en la naturaleza“Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, y la luz no viaja en línea recta. La conos, y la luz no viaja en línea recta. La complejidad de las estructuras de la naturaleza difiere en tipo, no meramente en grado, de aquella proveniente de las formas de la geometría ordinaria”.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 72
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 19
Geometría Fractal
Benoit MandelbrotBenoit Mandelbrot
19821982
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 73
Geometría FractalMandelbrot, B. B., "How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension," Science156 (1967), 636-638.
Mandelbrot, B., and Wallis, J., "Noah, Joseph and operational hydrology," Water Resources Research 4 (1968), 909-918.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 74
Mandelbrot, B. B.,Mandelbrot, B. B.,The Fractal Geometry of NatureThe Fractal Geometry of Nature,,W. H. Freeman, San Francisco, 1982 W. H. Freeman, San Francisco, 1982
La Geometría Fractal esun nuevo lenguaje
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 75
Que permite describir la estructura de objetos de Que permite describir la estructura de objetos de apariencia “compleja”apariencia “compleja”
Fractales Naturales
Hoja de helechoHoja de helecho
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 76
ArbolArbol
NieveNieve
Hoja de helechoHoja de helecho
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 20
Otros Fractales Naturales
FósilesFósilesTerremotosTerremotos
HongosHongos
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 77
CostasCostasMontañas
RíosRíos
Paleontologia: Ammonite (Molusco Fósil)
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 78
MooreMoore's 's Treatise on Invertebrate PaleontologyTreatise on Invertebrate Paleontology..Geological Society of America, 1957.Geological Society of America, 1957.
Bacterias
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 79
http://classes.yale.edu/Fractals/Panorama/Biology/Bacteria/Bacteria3.htmlhttp://classes.yale.edu/Fractals/Panorama/Biology/Bacteria/Bacteria3.html
Fractales en Fisiología
Sistema respiratorio Sistema nervioso
Ofrecen instancias claras de Ofrecen instancias claras de
it t f t lit t f t l
Sistema respiratorio
Sistema circulatorio
Sistema nervioso
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 80
arquitectura fractalarquitectura fractal
Ramas que se subdividen y se subdividen y se subdividen ……
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 21
Pulmones
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 81
Zoom 1Zoom 1
++ Zoom ++ Zoom
Pulmones de MamíferosPerro 2Perro 2
Perro 1Perro 1
PezMujer (Manatee)PezMujer (Manatee)
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 82
CerdoCerdo Dr. Robert Henry Dr. Robert Henry University of Tennessee University of Tennessee
Fractales en la naturalezaMontañas “fractales”fractales
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 83
Fractales en la naturaleza
También es posibleTambién es posiblemodelizar mediantegeometría fractaldiversos procesosnaturales como, porejemplo, los procesoserosivos sobre un
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 84
erosivos sobre unterreno.
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 22
Hojas Fractales
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 85
Característica común
AutosimilaresGeométricamenteGeométricamente
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 86
Qué es un fractal?Un fractal o un conjunto fractal posee detalles finos en todas las escalasdetalles finos en todas las escalas.
El término fue acuñado por Mandelbrot, del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 87
¿Definición exacta?Aún no existe acuerdo, sin embargo Falconer
(1990) sugiere que es mejor utilizar el término (1990) sugiere que es mejor utilizar el término de manera relajada, para conjuntos,
generalmente definidos por simple recursión que presentan las siguientes propiedades:
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 88
Falconer, K, Fractal Geometry, Chichester, Wiley, 1990
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 23
Propiedades de un fractalPosee
detalles en escalas arbitrariamente pequeñasirregularidades que no pueden ser descriptas por la geometría tradicionalautosimilaridad, tal vez aproximada o de índole estadísticauna dimensión fractal no entera.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 89
una dimensión fractal no entera.
Fractales en las Matemáticas
Desde principios de siglo matemáticos como Cantor , Poincaré o Julia , se interesaron por el estudio de objetos extraños (monstruos matemáticos) que no
encajaban en las ideas de la geometría clásica.
Muchos de estos objetos se construían mediante
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 90
Muchos de estos objetos se construían mediante algoritmos iterativos, partiendo de un “iniciador”y
aplicando reiterativamente un conjunto detransformaciones.
Fractales en las MatemáticasDe esta forma se pueden definir gran cantidad dedefinir gran cantidad de objetos matemáticos con propiedades comunes, como la autosemejanza .
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 91
Longitud infinita encerrada en un área finita!!!!Triángulo de Sierpinsky
Curva de von Koch
Unfolding fern o Barnsley fern(Helecho)
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 92
Veamos como se produce
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 24
Sierpinsky Gasket - Iteraciones
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 93
Chaos gameJuego de caos (Michael Barnsley, 1993)
Se refiere en su versión original a un método para construir fractels Se refiere, en su versión original a un método para construir fractels usando:
1. Un polígono
2. Y un punto elegido aleatoriamente dentro de él.
El fractal se crea encontrando un punto a una fracción dada de distancia entre los puntos anteriores y uno de los vértices, elegidos al azar, e iterando este procedimiento un gran numero de veces.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 94
, p g
Usando un triangulo y un factor ½ se tiene el triángulo de SierpinskiBarnsley, Michael (1993). Fractals Everywhere. Morgan Kaufmann
Weisstein, Eric W., "Chaos Game”
Triángulo de Sierpinsky yel juego del caos
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 95
Agreguemos ahora rotaciones
http://math.bu.edu/DYSYS/applets/chaos-game_more.html
Fractales: El conjunto de Mandelbrot
Si consideramos ahora iteraciones de la función z2+c para distintosde la función z +c, para distintos valores de c (complejo).
Y graficamos aquellos valores de cdonde la órbita está acotada.
Encontramos un objeto que posee estructura a cualquier escala ycontiene copias de sí mismo.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 96
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 25
Formalización del concepto de Fractal
La geometría fractal permite estudiar fenómenos irregulares que no pueden ser caracterizados con lasirregulares que no pueden ser caracterizados con las teorías geométricas clásicas. Invarianza a cambios de escala: Misma estructura (determinista o estadística) a cualquier escala.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 97
¿Cuál es el largo de la costa de Gran Bretaña?costa de Gran Bretaña?
Dimensión fractal
La dimensión fractal
El desarrollo de la geometría fractal ha permitido obtenerEl desarrollo de la geometría fractal ha permitido obtener parámetros cuantitativos para definir el “grado de irregularidad” de un determinado objeto.
Uno de los parámetros más representativos es el de dimensión fractal, una generalización de la dimensión
líd bj j
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 99
euclídea para objetos autosemejantes.
La dimensión fractalEl concepto de dimensión euclídea asigna un número natural a los distintos objetos geométricos que pueden definirse en un espacio dado. Este concepto de dimensión tiene diversas interpretaciones intuitivas como: el número de parámetros necesarios para definir un objeto.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 100
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 26
La dimensión fractalOtra forma: Si partimos de un segmento de longitud 1, y lo partimos en segmentos de longitud L obtendremos N(L) partes, de
N(L) L1 1 l i Lmanera que N(L).L1 = 1, cualquiera que sea L.
Si el objeto inicial es un cuadrado de superficie 1, y lo comparamos con unidades cuadradas, cuyo lado tenga de longitud L, el número de unidades que es necesario para recubrirlo N(L), cumple N(L).L2 = 1.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 101
La dimensión fractalDe todo esto podemos generalizar que la dimensión de un objeto geométrico es el número D que cumple:
N(L).LD = 1, y D = log(N(L))/log(1/L)donde N(L) es el número de objetos elementales, o de unidades, de tamaño L que recubren el objeto.
Ejemplo:Al reducir la escala de la curva deKoch a 1/3, nos encontramos con
d 4 t
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 102
que se descompone en 4 partes.D = log 4 / log 3 = 1, 2618. . .
La dimensión fractalOtros ejemplos:
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 103
EjerciciosConstruya el Triangulo de Sierpinsky estocástico y el determinísticoestocástico y el determinístico.Calcule la dimensión fractal del conjunto de Cantor.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 104
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 27
Otras dimensiones fractalesLa dimensión fractal de un conjunto infinito de puntos en Rn
es un número no entero, menor que n, de la extensión para la cual los puntos cubren el espacio.
Entre las numerosas definiciones para determinar esta medida, una de las más útiles es la dimensión de capacidad.Una medida más matemática es la dimensión de Hausdorff, que con frecuencia es igual a la dimensión de
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 105
q gcapacidad.
Otras dimensiones fractales (Cont.)
Una tercer medida es la dimensión de información, una especie de dimensión no entera en la cual puntos en un conjunto con dinámica invariante son pesados de acuerdo a sus probabilidades relativas de ocurrencia en una trayectoria típica larga.
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 106
Dimensión de capacidad (Box dimension)
• N(ε ) cubos de lado ε necesario para cubrir un objeto en R3
• N(ε )=1 para cubrir un punto => N(ε )= o( ε0)
• Para cubrir un segmento de longitud L: N(ε)= L/ ε = o(ε-1).
• Para cubrir una superficie de área A: N(ε)= A/ ε2 = o(ε-2).
Definimos la Dimensión de Capacidad, d, tal que N(ε) = o(ε-d), siendo
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 107
)/1log(/))(log(0
εεε
Nlimd→
=
¿Cómo construyo un modelo fractal o caótico?
Ejemplo:1) Detecto si el fenómeno )
posee estas características.
2) Recojo datos experimentales.
3) “Armo” mi modelo.4) Soluciono el Problema
Inverso con Algoritmos Evolutivos
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 108
Evolutivos.La complejidad de los problemashace que, en la práctica, pueda sernecesario utilizar algún tipo deestrategia híbrida para resolverlos.
Modelización de Sistemas Biologicos - Bioinformática - FI-UNER
2009
María E. Torres 28
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 109
BibliografíaCambel, A. B., “Applied Chaos Theory”. -- Washington: Academic Press, 1993.Wi i St h “I t d ti t li d li Wiggins, Stephen, “Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos”. -- New York: Springer-Verlag, 1990.Drazin, P.G., “Nonlinear systems”. -- Cambridge: Cambridge University Press, 1992. -- (Cambridge texts in applied mathematics)Verhulst, Ferdinand, “Nonlinear differential equations and dynamical systems”. -- New York : Springer-Verlag, 1990.Mandelbrot, Benoit B., “The fractal geometry of nature”. --New York : W H Freeman 1982
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 110
New York : W. H. Freeman, 1982. Peitgen, H. O. - Ritcher, P. H., “The beauty of fractals: images of complex dynamical systems”. -- New York : Springer Verlag, 1986.Thompson, J.M. And Bishop, S.R, “Nonlinearity and Chaos in Engineering dynamics” , Wiley, 1993.
Sprott's Fractal Gallery
22/09/09 Modelizacion de Sist. Biol. _M.E. Torres 111
Sprott's Fractal Gallery
top related