Ślimaki i drzewa w pitagorejskim lesie

limaki i drzewa w pitagorejskim lesie, czyli

na tropie twierdzenia Pitagorasa.

Ś

– Grecki matematyk, filozof i miłośnik astronomii.– Pochodził z Samos.– Urodził się 569. r. p.n.e.– Żył w VI i V w p.n.e.– W młodości dużo podróżował.– Walczył na pięści na Igrzyskach.– Odwiedził m.in. Indie, Egipt, Syrię i Mezopotamię.– Ukuł termin „filozof”.– Myśliciel, który stworzył pitagoreizm.

– Interesował się muzyką.– Poza matematyką pociągała go astronomia.

– Odkrył wielką prawdę o trójkącie prostokątnym.

ΠυθαγορασPitagoras

„Kto zatraca się w cierpieniu, nie może

być człowiekiem wolnym”

„Najkrótsze wyrazy - "tak" i "nie" - wymagają najdłuższego

zastanowienia.”

Pitagoras - ciekawostki

–Pitagoras zwyciężył w zawodach bokserskich na 48. igrzyskach olimpijskich w 554 r. p.n.e.

–Pitagoras miał zalecać swoim uczniom zadawanie sobie codziennie wieczorem pytań: „Jaki błąd popełniłem?” „Co zdziałałem?” „Jakiego obowiązku zaniedbałem?”.

–Pitagoras był prawdopodobnie wegetarianinem.

–Z wdzięczności dla bogów za udowodnienie twierdzenia nazywanego jego imieniem, Pitagoras miał złożyć hekatombę, czyli ofiarę ze stu byków.

–Zwany też Szkołą pitagorejską.

–Był to związek polityczno-religijny.

–Zajmowali się matematyką oraz etyką.

–Ich znak to pentagram.–Ich działalność opisana jest w dziele pt. Elementy.

–Wiele własnych odkryć nazywali imieniem swojego nauczyciela.

–Badali własności wielokątów foremnych, wielościanów foremnych, koła, kuli oraz różnych figur i brył.

–Podstawą przyjęcia był pięcioletni okres próbny.

Pentagram – znak Pitagorejczyków

Związek Pitagorejska - ciekawostki

–Cytaty :•„Wszystko jest liczbą” – motto Pitagorejczyków.•„Liczby zostawmy kupczykom” – hasło ugrupowania matematyków(jednej z grup powstałych po rozpadzie pitagoreizmu), które odwróciło się od liczb i zajęło geometrią.

–Członkowie szkoły pitagorejskiej:•nie mogli spożywać fasoli.•nie mogli podnosić upuszczonych przedmiotów.•wierzyli w reinkarnację.•mieli wspólne mienie.•przed przyjęciem w grono uczniów Pitagorasa musieli siedzieć za kotarą, skąd słuchali, jak Mistrz rozmawia z uczniami. Jednakże, nie wolno im było odezwać się!

1. Droga do Wstąpienia wiedzie przez oczyszczenie duszy, czyli naukę, ascezę i doświadczenie mistyczne.

2. Pitagorejczycy związani są więzami dozgonnej przyjaźni i lojalności, a gdy zachodzi potrzeba oddają życie jeden za drugiego.

3. Bezwzględnie należy szanować mentora i być mu zawsze posłusznym.

4. Uczniowie Pitagorasa nie składają przysiąg - każde ich słowo jest prawdziwe.

5. Swoje osiągnięcia naukowe i magiczne przedstawiać należy bez chęci wyróżnienia się, najlepiej anonimowo.

Dogmaty pitagorejczyków

Twierdzenie Pitagorasa

Trójkąt prostokątny

Twierdzenie Pitagorasa wersja algebraiczna

c2=a2+b2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Twierdzenie Pitagorasa wersja geometryczna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P1+P2=P3

P1,P2- Pola kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.P3- Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Dowód twierdzenia Pitagorasa

Animacja

Ślimak Teodorosa

Naukowcy od zawsze zastanawiali się w jaki sposób narysować odcinek o długości np.:

Na wspaniały pomysł wpadł Teodoros z Samos,grecki architekt działający w VI wieku p.n.e. Postanowił do konstrukcji takich odcinków,

wykorzystać twierdzenie Pitagorasa. Dzięki czemu powstał tzw. Ślimak Teodorosa,

który jest wykorzystywany do konstrukcji odcinków o długości , , itd.

Konstrukcja ślimaka TeodorosaKonstruujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych 1.

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa

1

1

Ślimak Teodorosa wykonany w programie C.a.R. 1 1 1 1

1 1

1

1

1

Animacja konstrukcji ślimaka w programie GIMP

Drzewa Pitagorejskie

Drzewo Pitagorejskie to konstrukcja geometryczna, która składa się z trójkątów prostokątnych i kwadratów, zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego.

Proces tworzenia drzewa pitagorejskiego

Na pierwszym z nich widać coś w rodzaju liścia lub amonita, na drugim coś na wzór liścia paproci.

Mimo różnego wyglądu, powstały na tej samej zasadzie. Tego typu konstrukcje są wykorzystywane jako narzędzia

badawcze w botanice.

Rodzaje drzew poprzez modyfikowanie typów trójkątów.

Drzewa pitagorejskie wykonane przez nas w programie C.a.R.

Drzewo pitagorejskie w innym kolorze.

a) Jakie pole ma największy kwadrat na rysunku obok,

jeśli pole żółtego kwadratu jest równe P ?

Trójkąty pomalowane na zielono są prostokątne i równoramienne .

b) Jakie pole ma żółty kwadrat, jeśli pole największego kwadratu wynosi S ?

Zadania

Mówimy, że trzy liczby naturalne a, b, c tworzą trójkę Pitagorejską, jeśli spełniają równość

a2 + b2 = c2. Przykłady trójek Pitagorejskich to :

3 4 5 ; 6 8 10 ; 5 12 13.

Odkrycie ogólnej metody znajdowania trójek Pitagorejskich przypisuje się greckiemu matematykowi Diofantosowi.

Jeśli „n” i „k” są liczbami naturalnymi i n > k, to liczby :

a = n2 - k2 b = 2nk c = n2 + k2

Spełniają zależność a2 + b2 = c2

Niech n = 2 k = 1, wówczas

a = 22 – 12 = 3

b = 2 * 2 * 1 = 4

c = 22 + 12 = 5

Otrzymaliśmy trójkę Pitagorejską 3, 4, 5.

Tabela przykładowych trójek Pitagorejskich:

n k a = n2 – k2 b = 2nk c = n2 + k2

3 1 a = 8 b = 6 c = 10

4 3 a = 7 b = 24 c = 25

3 2 a = 5 b = 12 c = 13

4 2 a = 12 b = 16 c= 20

5 4 a = 9 b = 40 c = 41

a + c = 20m b = 6m a = 20m – c a = 20m – 10,9m a = 9,1 m

Gdy wiał silny wiatr halny, drzewo o wysokości 20m złamało się w ten sposób, że jego czubek dotknął ziemi w odległości 6m od pnia. Oblicz na jakiej wysokości od ziemi drzewo zostało złamane.

(20 – c)2 + 62 = c2

202 – 2 . 20c + c2 + 36 = c2

400 – 40c + c2 + 36 = c2

436 = c2 + 40c – c2

436 = 40cc = 10,9m

a

b

c

W sali lekcyjnej układana jest podłoga z desek. Deski okazały się zbyt długie (zobacz rysunek). Oblicz, o ile cm trzeba skrócić jedną z desek, aby obie leżały na podłodze,

ściśle przylegając do siebie.

a = 30cm

b= 3m = 300cm

c = ?

a2 + b2 = c2

c2 = 302 + 3002

c2 = 900 + 90000

c =

c = 301,5cm

301,5 . 2 – 600 = 603 – 600 = 3cm

9090090900

Bibliografia

www.wikipedia.plhttp://www.math.edu.pl/zwiazek-pitagorejski http://pl.wikipedia.org/wiki/Pitagorashttp://www.matematyka.wroc.pl/poczet/pitagoras-z-samoshttp://elaf.w.interia.pl/pitagor.htmlhttp://elaf.w.interia.pl/szkola.htmlGoogle Grafikahttp://fraktale.stach.org.pl/index.php/przyklady-fraktali/drzewa-pitagorejskiewww.images.google.pl http://www-users.mat.uni.torun.pl/~monia/http://pl.wikipedia.org/wiki/Teodoros_z_Samos Podręcznik „Matematyka 2”, GWO

Prezentację wykonali:

Mateusz WocheńMarcin Wiśniewski

Piotr TerkiewiczDawid RabendaCezary Cieślak

Mariusz LizakowskiMałgorzata Cyzman

Sara GrzybowskaKarolina Kur

Agata ChlebickaNatalia Rudzka

Bartłomiej GusnarDominik LatońJakub ArabskiPiotr Kapral

Bartosz Foryś