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“Formando líderes para la construcción de un nuevo país en paz”
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SC-
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SSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEE PPRROOBBLLEEMMAASS AAPPLLIICCAADDOOSS EENN NNÚÚMMEERROOSS
RREEAALLEESS
IInnttrroodduucccciióónn
Las matemáticas se encuentran en muchos de los
aspectos de la vida cotidiana, pueden ser usados de
diferentes maneras: para cuantificar, para medir, para
expresar un orden o simplemente para llevar registro del
dinero que se posee, entre otros. Los números son
fundamentales en nuestra vida y una parte del gran
universo numérico, son los números reales. Pero,
¿cómo se analizan estas situaciones a través de estos
números?
TTeemmááttiiccaass::
Uso de las operaciones matemáticas básicas en la resolución de problemas
aplicadas en números enteros.
Uso de las operaciones matemáticas básicas en la resolución de problemas
aplicadas en números decimales y fraccionarios..
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CCoommppeetteenncciiaass::
Justifica procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de
las operaciones.
Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de
variaciones de las medidas.
NNúúmmeerrooss nnaattuurraalleess
Operaciones básicas:
Las operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división), con sus
propiedades, serán de gran utilidad en la resolución de problemas que requieren el
conocimiento de las propiedades y relaciones de los números naturales.
Ejemplo: En 2 jaulas hay 150 pollos de engorde. En una hay 20 pollos más que en la
otra. ¿Cuántos pollos hay en cada jaula?
En el enunciado podemos ver que aparte de los 20 pollos de diferencia entre las jaulas,
ambas tendrían la misma cantidad, por lo tanto si al valor total de 150 le restamos esos
20 nos daría 130, luego dividimos 130 entre ambas jaulas resultando en 65, entonces
una jaula tiene 65 y la otra 20 extra sumando 85.
Los números naturales son un conjunto de números discretos que pertenece a la recta
real y puede o no incluir el número cero (0). En otras palabras, los números naturales
son el primer conjunto de números que aprendemos cuando somos pequeños y
utilizamos para contar.
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Nuestra solución es que una jaula tiene 65 pollos y la otra 85.
PPrrooppiieeddaaddeess ddee llaass ooppeerraacciioonneess
Clausurativa: El numero solución de la operación está dentro del mismo sistema
numérico. No aplica para la resta y la división.
Conmutativa: el orden de los elementos no afecta el resultado. No aplica para la
resta y la división.
Asociativa: dos o más números se pueden sumar o multiplicar formando grupos
diferentes y el resultado no cambia.
Modulativa: un numero sumado o multiplicado por su modulo respectivo resulta en
sí mismo.
Distributiva: La propiedad distributiva relaciona la operación multiplicación y la
operación suma en el sistema de los números naturales.
150 – 20 = 130
130 / 2 = 65
65 + 20 = 85
Comprobando 65 + 85 = 150
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Tabla 1. Propiedades del sistema de los números naturales.
Propiedades del sistema de los números naturales
Dados los números a, b, c y d se cumple
Propiedades Suma Multiplicación
Clausurativa a + b = c a * b = c
Conmutativa a + b = c
b + a = c
a * b = c
b * a = c
Asociativa (a + b) + c = d
a + (b + c) = d
(a * b) * c = d
a * (b * c) = d
Modulativa a + 0 = a a * 1 = a
Distributiva a * (b + c) = d
a * b + a * c = d
NNúúmmeerrooss eenntteerrooss
El conjunto de los números enteros abarcan a los números naturales (los que se utilizan
para contar los elementos de un conjunto), incluyendo al cero y a los números
negativos (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor). Por lo tanto,
los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal y tiene las siguientes
características:
1. El número 0 es el origen del conjunto de los números enteros. El cero no es negativo
ni positivo.
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2. Los números situados a la derecha del 0, en la recta numérica, se llaman números
enteros positivos y los números ubicados a la izquierda del 0 se llaman números
enteros negativos.
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números
naturales como un subconjunto de los enteros.
Fig. 1. Conjunto de números enteros.
Origen
-+
0 Enteros negativos Enteros positivos
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OOppeerraacciioonneess bbáássiiccaass
La suma de un número entero positivo con un número entero negativo da como
resultado un número entero del mismo signo del sumando que tiene mayor valor
absoluto.
Ejemplo: Los emperadores Julio César y Augusto:
• Julio César fue un emperador romano que nació en el año 110 a. C. y murió
asesinado en el año 44 a. C.
• Augusto nació en el año 63 a. C., quien llegó a ser emperador a la edad de 36
años y murió en el año 14 d. C.
a. Representa en una recta las fechas de nacimiento y muerte de los dos personajes.
b. ¿A qué edad murió Julio César?
c. ¿Cuántos años tenía Julio César cuando nació Augusto?
d. ¿Cuál era la edad de Augusto cuando murió Julio César?
e. ¿Cuántos años duró el reinado de Augusto?
Solución
a. Teniendo en cuenta las fechas a. C. como enteros negativos y las d. C. como enteros
positivos:
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b. Para saber la edad al morir de Julio César tomamos el numero mayor (año de
muerte) y le restamos el menor (año de nacimiento)-44 - (-110) = -44 + 110 = 66, es
decir, Julio César tenía 66 años al fallecer.
c. Tomamos el numero mayor (año de nacimiento de Augusto) y le restamos el menor
(año de nacimiento de Julio César) -63 - (-110) = -63 + 110 = 47, Julio César tenía 47
años cuando nació Augusto.
d. Al número mayor (año de muerte de Julio César) le restamos el menor (año de
nacimiento de Augusto) -44 - (-63) = -44 + 63 = 20, Augusto tenía 20 años cuando
murió Julio César.
e. Primero debemos averiguar el año que empezó el reinado de Augusto, para eso
tenemos el año de nacimiento y la edad en la que se convirtió en emperador, así que
sumamos -63 + 36 = -27, el resultado siendo el año de inicio del reinado, luego al año
de muerte le restamos el número anterior 14 - (-27) = 14 + 27 = 41, entonces el reinado
de Augusto duro 41 años.
Ejemplo: Considerando un retiro bancario como negativo, una persona retira del banco
$500,000 diariamente durante seis días, ¿cuál era su estado de cuenta antes de retirar
estas cantidades?
Solución
Nótese que hace retiros diarios (–$500,000) durante 6 días ya pasados (–6), entonces:
(-6) * (-500000) = 3.000.000, la cuenta tenía $3.000.000 en dinero antes de los retiros.
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MMíínniimmoo ccoommúúnn mmúúllttiipplloo yy mmááxxiimmoo ccoommúúnn ddiivviissoorr
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor múltiplo de todos ellos,
se calcula partiendo de los números y por la descomposición de factores primos se
expresan en los factores, su mínimo común múltiplo (MCM) será el resultado de
multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia.
También se puede entender como la unión del conjunto de la descomposición factores
primos de los números a los cuales se está sacando el MCM.
El máximo común divisor de dos o más números enteros se define como el mayor
número entero que los divide sin dejar residuo. También se puede entender como la
intersección del conjunto de la descomposición factores primos de dos o más números.
50| 2 36| 2
25| 5 18| 2 𝑚𝑐𝑚 = 22 ∗ 52 ∗ 32 = 900
5| 5 9| 3 𝑚𝑐𝑑 = 2
1| 3| 3
1|
NNúúmmeerrooss ffrraacccciioonnaarriiooss
Las fracciones son la representación de las partes de un todo. Cuando dividimos
algo en partes iguales y tomamos una cierta cantidad de estas, la forma de mostrarlo
es a través de fracciones. Lo que estamos dividiendo es un entero y cada parte
es una
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fracción de un entero. Para expresar los números fraccionarios, se necesitan dos
números llamados numerador y denominador. El número que expresa en cuántas
partes iguales está dividida la unidad y se escribe debajo de la raya horizontal, es el
denominador; y el número que indica o numera las partes que se toman es el
numerador y se escribe encima de la raya horizontal.
PPrrooppiieeddaaddeess ddee llooss nnúúmmeerrooss ffrraacccciioonnaarriiooss
Los números fraccionarios tienen las siguientes propiedades:
Tabla 2. Propiedades del sistema de los números fraccionarios.
Propiedades del sistema de los números fraccionarios
Dados los números a/b, c/d, e/f se cumple
Propiedades Suma Multiplicación
Clausurativa a/b + c/d = e/f a/b * c/d = e/f
Conmutativa a/b + c/d = c/d + a/b a/b * c/d = c/d * a/b
Asociativa (a/b + c/d) + e/f =a/b + (c/d + e/f) (a/b * c/d) * e/f =a/b * (c/d * e/f)
Modulativa a/b + 0/1 = a/b a/b * 1 = a/b
Invertiva a/b + (-a/b) = 0/b a/b * b/a = 1
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Ejemplo: Para confeccionar un vestido, una modista, dispone de 8 metros de tela.
Como solo necesita las tres cuartas partes de la tela, ¿cuántos metros utiliza?
Solución
Se toman ¾ de los 8 metros, es decir: 3
4∗ 8 =
3∗8
4=
24
4= 6, entonces se utilizan 6 metros.
Ejemplo: Una persona acude a la tienda para comprar azúcar, que recibe en tres
paquetes con las siguientes cantidades: 2/4, ¾, y ¼ de kilogramo.
Sin embargo, al pagar, nota que no cuenta con el dinero suficiente y debe regresar ¼
kg de azúcar. ¿Qué cantidad de azúcar compró?
2
4+3
4+1
4−1
4=2 + 3 + 1− 1
4=5
4
Compro en total 5/4 de azúcar, también se puede decir 1 kilogramo y ¼ extra.
NNúúmmeerrooss ddeecciimmaalleess
Los números decimales son un caso particular de los fraccionarios en los que el
denominador es la unidad seguida de ceros. Por lo tanto las unidades decimales son
las que resultan de dividir la unidad en 10, 100, 1000, etc., partes iguales. De acuerdo
al número de partes de la división, reciben diferentes nombres; las unidades enteras
que se dividen en diez partes son las de primer orden y se llaman décimas, en cien de
segundo orden y se llaman centésimas, en mil de tercer orden y se llaman milésimas, y
así sucesivamente.
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AAnnáálliissiiss ddee pprroobblleemmaass
Problemas
1. José y Carmen van de compras al mercado. José escoge 2 libras de manzana de
$1,100 cada libra y Carmen escoge 3 libras de uvas de $850 cada libra. José paga las
manzanas y las uvas con un billete de $10,000. Analiza la situación y encuentra cuánto
dinero le devolvieron a José.
2. Una diseñadora de uniformes tiene 3 rollos de tela de 20 metros de largo por 1.50
metros de ancho cada uno. Va a confeccionar 26 uniformes para un grupo de
enfermeras. Por cada 3 metros de tela confecciona 2 uniformes. Con el resto de tela va
a confeccionar delantales, empleando 1 metro de tela por cada 2 delantales. ¿Cuántos
delantales pueden hacerse?
Fig. 2. Esquemas de números decimales.
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3. Se desea hacer una formación de 24 hombres y 32 mujeres, de forma que haya el
mismo número de hombres y mujeres en cada fila. ¿Cuál debe ser el número máximo
de personas que conformen cada fila?, ¿cuántas filas se utilizaran?
4. Tengo en la huerta hierbas aromáticas y plantas ornamentales. Las hierbas
aromáticas las riego cada 2 días y la ornamentales cada 5. Si hoy he regado las dos,
¿cuántos días pasarán hasta que tenga que volver a regar las dos a la vez?
5. Miguel quiere cerrar unos bultos de naranjas y para ello tiene dos madejas de
cuerda, una de 10 metros y otra de 15 metros. Parte las dos en trozos iguales de
manera que no le sobre nada. ¿Cuál es la longitud máxima de cada trozo que le queda
a Miguel?
6. Hay algunos países que tienen las 4 estaciones: primavera, invierno, otoño y verano.
Por ejemplo, un día de otoño, cuando la naturaleza verde pareció haberse secado, la
temperatura en París, capital de la República de Francia, fue de –2°C a las 8:00 a.m. Al
anochecer, en la televisión se informó que hacía el triple de frío que en la mañana,
¿qué temperatura marcó el termómetro en la noche?
7. Rodolfo compró 4 kg de mango, ¾ kg de naranja, ½ kg de manzana y 3 kg de uva.
Depositó todas sus frutas en una caja para llevarlas a casa. ¿Cuál es el peso de las
frutas compradas?
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