splines et bsplines hassan fahs & nader el khatib

Splines et Bsplines

Hassan FAHS

&

Nader EL KHATIB

Représentation des PP-Functions

Représentation des PP-Functions

Représentation des PP-Functions

> convert(If(x<1,x*x,x<2,2*x+2,x<3,3+x),piecewise);

> piecewise(x<1,x*x,x<2,2*x+2,x<3,3+x,0);

x2 x 1

2 x 2 x 2

3 x x 3

0 otherwise

Représentation des PP-Functions> diff(piecewise(x<1,x*x*x,x<2,2*x*x+2,x<3,3+x,0),x);

3 x2 x 1

undefined x 1

4 x x 2

undefined x 2

1 x 3

undefined x 3

0 3 x

Représentation des PP-Functions

> f:=x->piecewise(x<1,x*x,x<2,2*x+2,x<3,3+x,0):

> f(1.6);

> plot(f(x),x=0..7);

> g:=x->diff(convert(If(x<1,x*x,x<2,2*x+2,x<3,3+x),piecewise),x):

> plot(g(x),x=0..7);

Représentation des PP-Functions

Représentation des PP-Functions

Représentation des PP-Functions

Truncated Power Basis

o

Truncated Power Basis

)(: itt

1,, )(.,...,)(:

kkiiikitki xttttB

1,...,1 ni

Formulation de base

BsplinesBsplinesBsplinesBsplines

BsplinesBsplinesBsplinesBsplines

Deuxième formulation: récursive

)()(:)( 1,11

1,1

, tBtt

tttB

tt

tttB ki

iki

kiki

iki

iki

Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)

Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)

Cas des nœuds d’ordre multiple.

Bspline de degré 2 pour la suite des nœuds [0 1 1 3].

Le nœud 1 est d’ordre 2.

Le graphique est le suivant

Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)

Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)Bsplines (exemples)

Bsplines & MATLABBsplines & MATLABBsplines & MATLABBsplines & MATLAB

La commande MATLAB pour tracer une courbe Bspline est « Bspline » elle prend en paramètre un vecteur représentant les nœuds.

ex: bspline([0 1 1 3]) trace la courbe Bspline de degré 2 du diapo d’avant.

BsplinesBsplinesBsplinesBsplines

Une fonction spline d’ordre k avec une suite de nœuds t, est une combinaison linéaire de Bsplines d’ordre k avec la suite des nœuds t.

BsplinesBsplinesBsplinesBsplines

BsplinesBsplinesBsplinesBsplines