statistik dasar probabilitas
Post on 04-Jul-2015
2.975 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Titin Sri Martini
PROBABILITAS
1
Menjelaskan pengertian probabilitas, ruang sampel, kejadian, probabilitas suatu kejadian, operasi dan aturan menghitung, probabilitas bersyarat dan independensi
KKD II
2
Probabilitas
3Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
• PROBABILITAS menyatakan ketidakpastian dalam bentuk peluang.
ATAU• PROBABILITAS menyatakan ukuran
numerik dari kemungkinan suatu kejadian akan terjadi.
Probabilitas
4Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
Probabilitas☻Berapakah peluang mendapatkan sisi muka pada pelemparan tunggal suatu koin ? Gunakan skala dari 0 (tidak terjadi) sampai dengan 1 (pasti terjadi).
☻Pelemparan koin dua kali. Lakukan ! Apakah anda mendapatkan satu sisi muka dan satu sisi belakang ? Apakah arti semuanya ?
5Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
Percobaan (Experiment)· Proses mendapatkan suatu hasil atau kejadian
sederhana melalui pengamatan.
Titik Sampel (Sample Point)/ hasil (outcome)· Hasil percobaan paling dasar.
Ruang Sampel (S)· Kumpulan dari seluruh hasil yang mungkin.
Percobaan, Titik Sampel, ruang Sampel
6
Ruang Sampel tergantung pada Eksperimenter !Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
· Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sample.
· Kejadian Sederhana (Simple Event)Hasil dasar dari sebuah eksperimen yang tidak dapat disederhanakan lagi karena mengandung satu unsur ruang sampel.
Kejadian
7Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
· Kejadian Majemuk (Compound Event)Kejadian yang terdiri atas dua atau lebih kejadian sederhana.
8
Kejadian
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
Eksperimen : Pelemparan sebuah daduHasil : Mata dadu yang tampak di
atasRuang sampel : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Suatu Kejadian : A = titik ganjil tampak{1, 3, 5}
Contoh
9
Titik sampel
Bentuk Kejadian Majemuk Irisan (Intersection)
Hasilnya antara dua kejadian A dan BDinyatakan dengan ‘DAN’Lambang ∩ (contoh : A ∩ B)
Gabungan (Union)Hasilnya salah satu kejadian A atau B atau keduanyaDinyatakan dengan ‘ATAU’Lambang ∪ (contoh : A B)∪
Kejadian Majemuk
10Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
Irisan Kejadian : Diagram VennEksperimen : Tarik 1 Kartu. Catat Macam, Warna dan Rupa Kartu
Kejadian Majemuk (Irisan)
11Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
Irisan Kejadian : Tabel KontingensiEksperimen : Tarik 1 Kartu. Catat Macam, Warna dan Rupa Kartu
12
Kejadian Majemuk (Irisan)
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
Gabungan Kejadian : Diagram VennEksperimen : Tarik 1 Kartu. Catat Macam, Warna dan Rupa Kartu
13
Kejadian Majemuk (Gabungan)
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
Gabungan Kejadian : Tabel KontingensiEksperimen : Tarik 1 Kartu. Catat Macam, Warna dan Rupa Kartu
14
Kejadian Majemuk (Gabungan)
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
Kejadian mutually exclusive adalah kejadian saling lepas, yaitu bila suatu perstiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat/ mungkin terjadi pada saat yang bersamaan.
CONTOH :Pada percobaan melantumkan uang logam. Kejadian munculnya GAMBAR akan selalu bergantian dengan munculnya ANGKA.
15
Kejadian Mutually Exclusive
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
16
Kejadian Mutually Exclusive
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
• Contoh
• Ac dikatakan komplemen dari A bila kejadian yang muncul adalah selain kejadian A, yaitu kejadian yang terdiri atas kejadian sederhana yang tidak termasuk dalam kejadian A.
17
Kejadian Komplemen
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
CONTOH :Dalam undian dengan sebuah dadu, misalkan A = mendapat muka 6 di sebelah atas. Tentukan ruangsampel kejadian A dan Ac !
JAWAB :A={6} Ac ={1, 2, 3, 4, dan 5}.
NB : kejadian A dan Ac juga merupakan dua kejadian yang saling lepas atau mutually exclusive .
18
Kejadian Komplemen
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
· Kejadian independent adalah kejadian saling bebas, yaitu terjadinya suatu kejadian tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian lain.
CONTOH :Undian dilakukan dengan melantumkan sebuah mata uang sebanyak dua kali. Misalkan A = muncul ANGKA pada pelemparan pertama dan B = muncul ANGKA pada pelemparan kedua.
19
Kejadian Independen
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
· Kejadian A dan B merupakan kejadian independent, karena probabilitas kejadian B (terjadinya muncul ANGKA pada pelemparan kedua) tidak dipengaruhi oleh kejadian A.
20
Kejadian Independen
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
• Kejadian kosong adalah kejadian mustahil, yaitu himpunan bagian ruang sampel yang tidak mengandung unsur.
21
Kejadian Kosong
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
· Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel dapat dihitung dengan cara PERMUTASI dan KOMBINASI.
· PERMUTASIPermutasi digunakan untuk mengetahui sejumlah kemungkinan susunan (arrangement) jika terdapat sekelompok objek. Pada permutasi kita berkepentingan pada susunan atau urutan dari objek.
n : jumlah total objek yg disusunr : jumlah objek yang digunakan pada saat bersamaam
22
Menghitung Titik sampel
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
! rn
n!Prn
· Banyaknya permutasi n unsur berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!
Contoh Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 4 orang dudukmengelilingi sebuah meja bundar. Dalam berapa carakeempat orang mahasiswa tadi dapat dudukmengelilingi meja tersebut.
PenyelesaianKeempat mahasiswa tadi dapat diatur mengelilingi meja dalam (4-1)! = 3! = 6
23
Permutasi melingkar (Siklis)
• KOMBINASIKombinasi dipergunakan apabila akan dihitung berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya.
24
Menghitung Titik sampel
!rnr!n!
Crn
rn
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
Huruf A, B, C disusun berpasangan antara 2 huruf.Tentukan jumlah titik sampel yang mungkin, bila dengan memperhatikan urutan dan tidak memperhatikan urutan.· Memperhatikan urutan objek (PERMUTASI)
25
Contoh menghitung Titik sampel
6123
..1!3!
!233!
P23
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
AB CBBA ACBC CA
· Tanpa memperhatikan urutan objek (KOMBINASI)AB, BC, AC
26
Contoh menghitung Titik sampel
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
3
!232!
3!C
23
23
• Terdapat 20 pelamar untuk menduduki lowongan programmer, IT consultan dan database administrator. Berapa alternatif yang tersedia untuk menempatkan pelamar pada lowongan yang tersedia?
• Manajer personalia memutuskan untuk menerima 5 sarjana FISIKA baru dari 100 lamaran yang masuk. Berapa alternatif yang tersedia bagi manajer tersebut?
27
SOAL
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
· Ukuran numerik dari kemungkinan suatu kejadian akan terjadi•P(Kejadian)•P(A)•Prob(A)
· Terletak antara 0 & 1· Jumlah seluruh kejadian adalah 1
28
Peluang Kejadian
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
• Pendekatan klasik• Pendekatan frekuensi relatif • Pendekatan subyektif
29
Pendekatan Penetapan Peluang Kejadian
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
• Didasarkan pada asumsi bahwa kemungkinan kemunculan setiap hasil sama besar.
• Memungkinkan penentuan nilai probabilitas sebelum peristiwa sampel dilakukan.
30
Pendekatan Klasik
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
SNAN
AP
Hasil elementer yang mungkin diinginkan untk peristiwa A
Hasil yang mungkin dalam ruang sampel
Tiap hasil elementer sama – sama mungkin dan saling meniadakan (mutually exclusive)
· Contoh Pendekatan Klasik
31
Contoh Pendekatan Klasik
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
· Probabilitas ditentukan menurut dasar proporsi kejadian kemunculan hasil dalam sejumlah observasi.
· Tidak ada asumsi sebelumnya tentang kemungkinan kemunculan yang sama besar seperti pada pendekatan klasik.
32
Pendekatan Frekuensi Relatif
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
nAn
AP
Jumlah peristiwa A yang mungkin terjadi
Jumlah total percobaan
• Periode wisuda sarjana ke 100 UNS meluluskan 900 orang, 520 diantaranya lulus dengan predikat memuaskan, 295 memperoleh predikat SM, dansisanya lulus dengan predikat CL. Maka,
33
Contoh Pendekatan Frekuensi Relatif
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
1 0,09 0,33 0,58 Total
0,0990085
CL lulusP
0,33900295
SM lulusP
0,58900520
memuaskan lulusP
· Probabilitas akan terjadinya suatu peristiwa adalah derajat kepercayaan oleh seseorang bahwa peristiwa tersebut akan terjadi berdasarkan semua bukti yang dimiliki.
· Nilai probabilitas adalah penilaian pribadi.
34Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
Pendekatan Subyektif
ATURAN PENJUMLAHAN· Dipergunakan pada peristiwa yang saling lepas
(mutually exclusive) yaitu apabila suatu peritiwa terjadi maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.
· Aturan penjumlahan dinyatakan dengan :
35Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
ATURAN PERHITUNGAN PELUANGKEJADIAN MAJEMUK
nPBPAPn ... atau B atau AP
BPAPB atau AP
...
36Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
Contoh Perhitungan Aturan Penjumlahan
Saling lepasTidak mungkin terjadi pada saat bersamaan
1 0,4 0,6buruk atau baikP
0,420080
burukP
0,6200120
baikP
ATURAN PENJUMLAHAN PADA GABUNGAN KEJADIAN• Dalam keseharian jarang sekali terjadi hanya satu peristiwa
sederhana.• Pada gabungan kejadian terdapat dua jenis peristiwa yang
terjadi.• Diagram venn untuk kejadian bersama adalah :• Dilambangkan dengan P(AD)
37
ATURAN PERHITUNGAN PELUANGKEJADIAN MAJEMUK
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
• Aturan penjumlahan dinyatakan dengan :
P(A atau D) = P(A) + P(D)-P(A ∩D)
38
ATURAN PERHITUNGAN PELUANGKEJADIAN MAJEMUK
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
Pada contoh sebelumnya : probabilitas hasil inspeksi baik dari produk 1.
39
CONTOH ATURAN PERHITUNGAN PELUANGKEJADIAN MAJEMUK
0,800,15-0,350,6 P1BPP1PBPP1atau BP
150200
30P1BP
0,35200
70P1P
0,6200
120BP
,
Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
ATURAN PERKALIAN· Dipergunakan pada peristiwa yang independent,
yaitu suatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi.
· Contoh peristiwa independent adalah pelemparan mata uang dua kali, pada pelemparan pertama diperoleh ANGKA, pada pelemparan kedua bisa muncul ANGKA lagi atau GAMBAR (hasil lemparan pertama tidak mempengaruhi probabilitas kejadian kedua).
40Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
ATURAN PERHITUNGAN PELUANGKEJADIAN MAJEMUK
· Aturan perkalian dinyatakan dengan :
41Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
ATURAN PERHITUNGAN PELUANGKEJADIAN MAJEMUK
BP x APB dan AP
Pada pelemparan uang logam dua kali ke udara, berapa probabilitas kedua lemparan menghasilkan GAMBAR ?
JAWAB :• Probabilitas ANGKA = ½• Probabilitas GAMBAR = ½• Pada pelemparan pertama dan kedua probabilitas
GAMBAR sebesar ½, maka :
42Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
Contoh Perhitungan Aturan Perkalian
4
1
2
1
2
1 xBP x APB dan AP
ATURAN PERKALIAN PADA PROBABILITAS BERSYARAT· Probabilitas bersyarat adalah suatu peristiwa akan
terjadi dengan ketentuan peristiwa yang lain telah terjadi.
· Probabilitas bersyarat dilambangkan dengan: P (A B )
· Probabilitas peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi.
43Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
ATURAN PERHITUNGAN PELUANGKEJADIAN MAJEMUK
ABP x APB dan AP
Eksperimen : Tarik 1 Kartu. Catat Macam, Warna dan Rupa Kartu.Ditanya : berapa probabilitas As dengan syarat hitam
44Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
Contoh Aturan Perkalian pada Probabilitas Bersyarat
26
2
5226
522
HitamP
Hitamdan AsPHitamAsP
ABP x APBdan A P
• Tentukan berapa peluangnya ?
45Sumber : Statistika Industri –Adithya Sudiarno, ITS
SOAL
BCP
DAP
• Andaikan {B1, B2, B3, … } sekumpulan peristiwa yang membentuk partisi dari ruang Sampel S, dimana P(Bi)≠0, untuk i=1, 2, …, n. Andaikan A sebarang peristiwa dalam S sedemikian hingga P(A)≠0. Maka, untuk k = 1, 2, …,n berlaku
46
TEOREMA BAYES
n
iii
kkn
ii
kk
BAPBP
BAPBP
ABP
ABPABP
11
1. Sebuah kotak berisi 4 bola, bernomor 1, 2, 3, 4. Eksperimen terdiri dari pengambilan satu bola, mencatat nomornya, mengembalikan ke dalam kotak, mengacak bola-bola tersebut, mengambil satu bola lagi dan mencatat nomornya.a. Ruang sampel eksperimen tersebut adalahb. Elemen-elemen kejadian P(jumlah kedua nomor adl
genap), ruang sampelnya adlc. Elemen-elemen kejadian Q(jumlah kedua nomor paling
sedikit 6), ruang sampelnya adl
47
SOAL
2. Dua dadu dilempar sekaligus. A = jumlah mata titik paling sedikit 5, Tentukan P(A)
3. Seorang mempunyai 9 kemeja, 6 celana dan 3 pasang sepatu. Berapa banyak cara orang tersebut dapat berpakaian secara berbeda ?
4. Dalam sebuah kotak berisi 15 bola, 6 bola hijau, 5 bola merah dan 4 bola biru. Sembilan bola diambil sekaligus dari kotak itu. a. Berapa hasil yang mungkin dari pengambilan bota (tak
terurut) dari 15 bola tersebut
48
SOAL
b. Berapa hasil jika terambil 2 bola hijau, 4 bola merah dan 3 bola biru
c. Probabilitas terambil 2 bola hijau, 4 bola merah dan 3 bola biru
5. Sebuah dadu dilembar 2 kali. Tentukan probabilitas untuk kejadiana. Sisi bilangan prima muncul pada pelemparan pertamab. Berturut-turut muncul bilangan prima
49
SOAL
6. Probabilitas seorang mahasiswa akan mendapat nilai A, B, C, D dan E dalam mata kuliah statistika adl 0,17; 0,26; 0,40; 0,11; 0,60a. Probabilitas bahwa seorang mahasiswa akan mendapat nilai A atau B adlb. Probabilitas bahwa seorang mahasiswa tidak akan mendapat nilai E adl
7. Sebuah kotak berisi 7 buah bola hitam dan 5 bola putih. Tiga bola diambil berturut-turut secara random tanpa pengembalian. Berapa probabilitas bola pertama hitam, kedua putih dan ketiga hitam
50
SOAL
• Variabel randomadalah suatu variabel yang nilainya bisa berapa saja
• Variabel random merupakan deskripsi numerik dari hasil beberapa percobaan / eksperimen
51
DISTRIBUSI PROBABILITAS
Jenis variabel random :1. Variabel random diskrit
variabel yang hanya dimungkinkan memiliki beberapa nilai saja. Nilainya berupa bilangan bulat.
2. Variabel random kontinu variabel yang nilainya dimungkinkan bervariasi pada
rentang tertentu. Nilainya berupa bilangan riil
52
Variabel Random
• Misalkan X variabel random diskrit, suatu fungsi f disebut fungsi distribusi probabilitas X jika untuk setiap hasil x yang mungkin memenuhi :
• Karena X variabel random diskrit maka distribusi probabilitasnya disebut distribusi probabilitas diskrit
53
Distribusi probabilitas variabel random diskrit
xfxX. P
xf.
xf
3
12
0 1.
• Pada percobaan melempar sebuah dadu 2 kali, misalkan X menyatakan jumlah mata dadu pada lemparan 1 dan ke 2, maka distribusi peluang X dapat disajikan dalam tabel berikut:
• Diperiksa :
Maka f adl fungsi distribusi peluang
54
Contoh Distribusi probabilitas variabel random diskrit
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X=x)36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
12f12X3f3X 2f2X
136
1
36
2
36
1
enuhi terp0
P,,P,P
xf
xf
• Suatu variabel random kontinu X mempunyai peluang pada setiap titik X, sehingga distribusinya tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel tetapi hanya berupa rumusnya secara urut. Fungsi distribusi probabilitas variabel random kontinu disebut fungsi densitas peluang (fdp)
55
Distribusi probabilitas variabel random kontinu
• Misalkan X variabel random kontinu, suatu fungsi f disebut distribusi probabilitas X jika untuk setiap hasil x yang mungkin memenuhi :
• Karena X variabel random diskrit maka distribusi probabilitasnya disebut distribusi probabilitas diskrit
56
Distribusi probabilitas variabel random kontinu
dx xfb)X. P(a
dxxf.
xf.
b
a
Ax
3
12
0 1
Misalkan variabel random X mempunyai fdp (fungsi densitas peluang) sebagai berikut :
a. Tunjukkan f adl fungsi peluangb. Hitung P(0<X≤1)
57
Contoh Distribusi probabilitas variabel random kontinu
lain yang jika , 0
2x1- jika , 3
2
x
xf
• Akan diperiksa
58
Penyelesaian
9
1
9310P b.
19
1
9
8
90
30 (ii)
03
x sehingga 03 0 xkarena terpenuhi0 (i) a
1
0
1
0
32
2
1
32
1 2
21
Ax
22
xdx
xX
xdxdx
xdxdxxf
,xf.
• Misal variabel random X mempunyai distribusi probabilitas f(x), distribusi probabilitas kumulatif X ditulis F(x) didefinisikan:
• Akibat definisi untuk X yang kontinu
59
Distribusi Probabilitas Kumulatif
kontinu jika,
diskrit jika,
XdttfxXP
XtfxXP
xF x
xt
dx
xdFxf
aFbFbXaP
(ii)
(i)
Dalam sebuah kotak tersedia 8 bola lampu, 3 diantaranya rusak. Secara acak diambil 3 bolam. Jika X menyatakan banyaknya bolam rusak yang terambil, tentukan distribusi peluang kumulatif X
Penyelesaian :• Distribusi probabilitas X adl :
60
Contoh
X 0 1 2 3
f(x)
56
10
56
30
56
15
56
1
Maka :
61
Contoh
156
56
56
1
56
15
56
30
56
10321023
56
55
56
15
56
30
56
1021022
56
40
56
30
56
101011
56
10000
ffffXPF
fffXPF
ffXPF
fXPF
Biasa dituliskan dalam
62
Contoh
3 jika 1,
3x2 jika 56
55
2x1 jika 56
40
1x0 jika 56
10
0 x jika 0
x
,
,
,
,
xF
Misalkan variabel random X mempunyai fdp
Tentukan fungsi distribusi peluang kumulatif X
Penyelesaian :
63
Contoh
lain yang jika , 0
2x1- jika , 3
2
x
xf
9
1
9
3
3
11
32
xtdt
tdttfxF
xxx
• Misalkan X variabel random dengan fungsi distribusi probabilitas f(x)
64
Ekspektasi
kontinu X jika ,
diskrit X jika ,
dxxfx
xfxXE x
Pada percobaan melempar dua mata uang logam satu kali, X menyatakan banyaknya angka yang nampak. Tentukan ekspektasi XPenyelesaian :Fungsi distribusi peluang X
65
Contoh Ekspektasi
X 0 1 2
f(x)
4
1
4
2
4
1
1 4
12
4
21
4
10
xxfxXE
Misal X menyetakan umur bola lampu (dlm jam) dengan fdp
Hitung harga harapan untuk umur bola lampu tsbPenyelesaian :
66
Contoh Ekspektasi
lain yang x jika , 0
100 xjika , 20000
3
xxf
2002000020000
1001003
xdx
xxxE
• Misalkan X adl v.r dengan fungsi ditribusi probabilitas f(x) maka ekspektasi dari fungsi g(x) adl
67
Ekspektasi
kontinu X jika ,
diskrit X jika
dxxfxg
,xfxg
xgEx
1. Jika X menyatakan jumlah mata dadu yang nampak pada pelemparan dadu 1 kali. Tentukan ekspektasi dari 2X-3
2. Misalkan X adl v.r dgn fdp
Tentukan ekspektasi
68
SOAL
lain yang jika , 0
2x1- jika , 3
2
x
xf
23 xxg
• Sifat-sifat Ekspektasi
69
Ekspektasi
5
4
3
2
1
XhEXgEXhXgE.
aXbEabXE.
aXEaXE.
XbEbXE.
aaE.
• Misalkan X v.r dgn rata-rata , maka variansi X ditulis 2 atau VAR(X) didefinisikan
Deviasi standar
70
Variansi
222 XEXEXEXVAR
2
XVAR
• Sifat-sifat variansi dan deviasi standar
71
Variansi dan Deviasi Standar
ds ds 4 var var 4
ds ds 3 var var 3
ds ds 2 var var 2.
negatif tidak ds 1 negatif tidak var 1
2
2
XbbXa.XbbXa.
XbbX.XbbX.
XaX.XaX
X.X.
72
SOAL
1. Pada percobaan melempar dua mata uang logam satu kali, X menyatakan banyaknya angka yang nampak. Tentukan variansi X
2. Hitunglah variansi variabel random X yang mempunyai fdp
lain yang jika , 0
2x1 jika , 12
x
xf
Percobaan Bernoulli adalah percobaan yang memenuhi kondisikondisi berikut: Satu percobaan dengan percobaan yang lain independen.
Artinya, sebuah hasil tidak mempengaruhi muncul atau tidak munculnya hasil yang lain.
Setiap percobaan memberikan dua hasil yang mungkin, yaitu sukses dan gagal. Kedua hasil tersebut bersifat mutually exclusive dan exhaustive.
Probabilitas sukses, disimbolkan dengan p, adalah tetap atau konstan. Probabilitas gagal, dinyatakan dengan q, adalah q = 1 - p.
73
Distribusi Bernoulli
Beberapa distribusi yang dilandasi oleh proses Bernoulli adalah :Distribusi binomial, Distribusi geometrik, dan Distribusi hipergeometrik.
74
Proses Bernoulli
Distribusi Binomial mempunyai ciri-ciri berikut sama dengan Bernoulli : Percobaan diulang sebanyak n kali Tiap-tiap ulangan memberikan hasil yang dapat
dikelompokkan menjadi 2 kategori, sukses atau gagal Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, dan
kegagalan dengan q = 1 – p Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.
75
Distribusi Binomial
• Rumus distribusi probabilitas Binomial adalah :
76
Distribusi Binomial
pqq
p
x
n
qpx
nx;n;pb xnx
1 dimanagagal, asprobabilit
ulangan setiap dalam sukses asprobabilit
xrandom variabeldari kesuksesan banyaknya
perulangan banyaknya
• Untuk distribusi binomial dengan n percobaan dan p adl probabilitas sukses :
77
Distribusi Binomial
npqpnp
npqpnp
npμ
1 deviasistandar
1 variansi
mean 2
Menurut teori mendel ttg sifat-sifat keturunan, perkawinan silang dua jenis tanaman yg serupa, yang satu berbunga merah dan lainnya berbunga putih, menghasilkan keturunan yang 25% tumbuhan berbunga merah. Seorang ahli tanaman ingin menyilangkan lima pasang tanaman berbunga merah dan berbunga putih. Berapakah probabilitas bahwa dari 5 keturunan yang dihasilkana. Tidak terdapat tanaman berbunga merahb. Paling sedikit empat tanaman berbunga merahc. Paling banyak empat tanaman berbunga merah
78
Contoh Distribusi Binomial
Penyelesaian :
79
Contoh Distribusi Binomial
237207502500
50xP a. 50 ,,,
015600010001460
7502505
5 750250
4
5
5xP4xP4xP b.
054
,,,
,,,,
999000010017502505
51
5xP1
4xP3xP2xP1xP0xP4xP c.
05 ,,,,
80
Distribusi Poison
λσ
npλμ
xx
λexP
xλ
2 variansi
mean
0,1,2, ;!
Jika bakteri ditumbuhkan pada media dengan luas A, dan X = banyaknya koloni bakteri dalam luasan kecil a yg dipilih secara random dari media tersebut, maka X berdistribusi Poisson dengan mean (a/A). Andaikan =5,5 hitunglah probabilitas
a. Paling banyak tiga koloni ada dlm luasan tersebutb. Lebih dari delapan koloni ada dlm luasan tersebutc. Dari dua sampai sembilan koloni ada dlm luasan tersebut
81
Contoh Distribusi Poison
Penyelesaian :
82
Contoh Distribusi Poison
0,20170,11330,06180,02250,0041 3!
5,5
2!
5,5
1!
5,5
0!
5,5
x!
3xP a.
355255155055
3
0
,,,,
x
x
eeee
e
0,19060,80941123400,0041-1 7!
5,5
0!
5,5 1
7xP18xP b.755055
,
ee ,,
83
Contoh Distribusi Poison
91960051900,0618-1 9!
5,5
2!
5,5
1xP9xP9x2P c.955255
,,
ee ,,
• Berkaitan dengan percobaan Bernoulli, dimana terdapat n percobaan independen yang memberikan hasil dalam dua kelompok (sukses dan gagal), variabel random geometri mengukur jumlah percobaan sampai diperoleh sukses yang pertama kali.
84
Distribusi Geometri
• Fungsi distribusi probabilitas geometrik:
• Rata-rata dan variansi distribusi probabilitas geometrik:
85
Distribusi Geometri
gagal asprobabilit
sukses asprobabilit
321
1
q
p
,,x
qpxP x
221
p
q
p
• Distribusi binomial digunakan pada populasi yang tidak terbatas, sehingga proporsi sukses diasumsikan diketahui.
• Distribusi probabilitas hipergeometrik digunakan untuk menentukan probabilitas kemunculan sukses jika sampling dilakukan tanpa pengembalian.
• Variabel random hipergeometrik adalah jumlah sukses (x) dalam n pilihan, tanpa pengembalian, dari sebuah populasi terbatas N , dimana D diantaranya adalah sukses dan (N-D) adalah gagal.
86
Distribusi Hipergeometrik
• Penurunan fungsi distribusi hipergeometrik diturunkan dengan menghitung kombinasi-kombinasi yang terjadi.
• Kombinasi yang dapat dibentuk dari populasi berukuran N untuk sampel berukuran n adalah kombinasi C(N,n).
• Jika sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlah sukses, selanjutnya dapat dihitung kombinasi diperoleh x sukses dari sejumlah D sukses dalam populasi yang diketahui yaitu C(D,x), dan demikian pula halnya dapat dicari (n-x) kombinasi gagal dari sisanya (N-D), yaitu kombinasi C((N-D),(n-x)).
87
Distribusi Hipergeometrik
• sukses C(D,x). C((N-D),(n-x)) atau
• yang diperoleh dari total kombinasi yang mungkin C(N,n) atau
88
xn
DN
x
D
n
N
Distribusi Hipergeometrik
• Sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlah sukses dalam percobaan bernoulli dan total jumlah sukses D diketahui dari sebuah populasi berukuran N, maka dikatakan x mengikuti distribusi hipergeometrik dengan fungsi probabilitasnya :
89
lainnya untuk 0
min21
x
n,D,,,x,
n
N
xn
DN
x
D
D,n,N,xh
Distribusi Hipergeometrik
• Rata-rata dan variansi :
90
n
Dp
N
nNpnpσ
npμ
dimana
11 variansi
mean
2
Distribusi Hipergeometrik
Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 orang TI dan 5 fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyaknya orang teknik informatika yang duduk dalam panitia. Tentukan pula mean dan variansinyaPenyelesaian :
91
Contoh Distribusi Hipergeometrik
?35833 ?35811
?35822 56
135800
3210
5
8
5
53
358
,,,hx,,,hx
,,,hx,,,hx
,,,xxx
,,,xh
1. The random variable X has a binomial distribution with n=10 and p=0.5. Determine the following probabilities :
a. P(X=5) c. P(X≤2)b. P(X≥9) d. P(3 ≤X<5)
Penyelesaian :
92
SOAL
2461050505
105XP a. 55 ,,,
010730000970009760
505010
105050
9
10
10XP9XP9XP b.
01019
,,,
,,,,
93
SOAL
0546700,04394 009760000970
50502
105050
1
105050
0
10
2XP1XP0XP2XP c.
8291100
,,,
,,,,,,
32220205010117190
50504
105050
3
10
4XP3XP53P d.
6473
,,,
,,,,
X
2. Suatu yayasan mempunyai 10 anggota, empat wanita dan enam pria. Tiga anggota dipilih secara random untuk mewakili yayasan tersebut dalam suatu pertemuan dengan pemerintah. Tentukan probabilitasa. Semuanya wanitab. Semuanya priac. Paling banyak satu orang wanita
Penyelesaian :
94
SOAL
30
1
120
1 . 4
C
C. C wanita)P(semuanya a.
310
0634
95
SOAL
6
1
120
20 . 1
C
C. Cpria) P(semuanya b.
310
3604
3
2
120
15 . 4
120
20 . 1
C
C. C
C
C. C
a)satu wanitbanyak P(paling c.
310
2614
310
3604
3. Antara jam 10 sampai jam 11 pagi, rata-rata telepon yang datang pada “Switchboard” suatu kantor tiap menit adl 2,5. Maka probabilitas bahwa selama satu menit tertentu (pada jam itu) akan adaa. Tiga telepon masuk adlb. Kurang dari tiga telepon adlc. Lebih dari 6 telepon adl
Penyelesaian :Gunakan distribusi Poisson dengan =2,5
96
SOAL
97
SOAL
2140
3!
2,53xP a.
352
,e ,
0,75760,21380,25650,20520,0821 3!
2,5
2!
2,5
1!
2,5
0!
2,5
x!
4xP b.
352252152052
3
0
,,,,
x
x
eeee
e
0,01420,98581
0278006680133600,21380,25650,20520,08211
6!
2,5
1!
2,5
0!
2,5 1
x!
16P -1 8P7P6P c.
652152052
6
0
,,,
e...
ee
eX...XXX
,,,
x
x
98
SOAL
top related