stochastic flow shops, open shops, dan job shop · web viewjob 1 mempunyai waktu proses yang...
Post on 13-Feb-2020
4 Views
Preview:
TRANSCRIPT
STOCHASTIC FLOW SHOPS, OPEN SHOPS, DAN JOB SHOP
Model stochastik flow shop, open shop, dan job shop di batasi oleh
deterministik. untuk flow shop, kebijakan statis nonpreemtive, penjadwalan
permutasi menjadi perhatian yang pertama. Penjadwalan permutasi yang optimal
sering terdapat sisa optimal pada dinamis non preemptive seperti halnya pada
dinamis preemptive. Untuk open shop dan job shop hanya termasuk dinamis
nonpreemtive dan preemptive dinamis perlu dipertimbangkan.
Hasil yang diperoleh untuk stochastic flow shop dan job shop setidaknya
menyerupai deterministic flow shop dan job shop. Stochastic open shop sangat
berbeda dengan deterministiknya.
Bagian pertama mendiskusikan stochastic flow shop dengan waktu antar
mesin tidak terbatas dan antar job tidak ada hambatan. Bagian yang kedua dibahas
flow shop dengan zero antar mesin dan job ada hambatan. Di bagian terakhir
membahas stochastic open shop dan stochastic jobshop.
11.1 STOKASTIK FLOW SHOP TANPA BATASAN WAKTU ANTAR
MESIN
Anggap ada dua mesin seri, tidak ada batas antara mesin tersebut dan tidak
ada hambatan. Disana ada n job. Waktu proses job j pada mesin i adalah Xij,
distribusi eksponensial dengan rata – rata λ j. Waktu proses job j pada mesin 2
adalah X2j, distribusi eksponensial dengan dengan rata – rata μj. Tujuannya adalah
untuk menemukan kebijakan statis nonpreemtive atau penjadwalan permutasi,
yang meminimasi probabilitas makespan E(Cmax).
Catatan bahwa masalah ini adalah stokastik dengan memperhatikan
masalah deterministik F2 .Cmax ׀׀ Masalah dua mesin yang deterministik
memiliki solusi yang simpel. Akan tetapi jika menggunakan model stokastik
dengan waktu proses yang eksponensial akan memiliki solusi yang lebih baik.
Teorema 11.1.1. ” aliran job akan mengurang jumlah order ketika λ j - μj
meminimasi probabilitas makespan pada kategori kebijakan statis nonpreemtive,
kategori kebijakan dinamis nonpreemtive, dan kategori kebijakan dinamis
preemtive”.
Bukti.Bukti bahwa titik optimal pada kategori kebijakan statis
nonpreemtive adalah menyerupai dengan bukti titik optimal pada kasus
deterministik. Itu sangat bertentangan. Perkiraan aliran yang lain optimal.
Dibawah aliran ini disana ada dua job yang berurutan, katakanlah job j diikuti job
k. Terlihat bahwa λj - μj – λk – μk . itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa
pasangan perubahan dari dua job mengurangi probabilitas makespan. Asumsi job
I mendahului job j dan C1i (C2i) dinotasikan (random) completion time dari job I
mesin 1 (2) dan Di = C2i – C1i.
Performansi pada perubahan yang bersebelahan pada job j dan job k.
Notasikan C1k dan C2k untuk completion time dari job k pada dua mesin tersebut,
menurut dugaan adalah jadwal optimal dan notasikan C1j dan C2j untuk
completion time job j untuk penjadwalan yang diperoleh setelah terjadi
perubahan. Notasikan m, job yang mengikuti job k. Jelas bahwa perubahan tidak
berpengaruh pada waktu mulai job m pada mesin 1 karena waktu mulai
diformulasikan dengan C1k =C1i + X1j + X1k. Anggap sebagai variabel random
Dk = C2k – C1k
Dan
D’j = C’2j – C’1j
Jalas bahwa Cik + Dk adalah waktu mesin 2 menjadi tersedia untuk job m dibawah
jadwal aslinya. Dan Cik + Dj adalah sesuai dengan waktu setelah selesai
dekerjakan. Yang pertama, menunjukkan bahwa variabel random D’j adalah
stokastik yang lebih kecil dari pada variabel random Dk , jikan Di ≥ Xij +Xik
kemudian jelas Dk = D’j . pada Di ≤ Xij + Xik adalah kurang lengkap. Sekarang
P(Dk > t│Dt ≤ Xij + Xik) =
Ekspresi ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Karena Di ≤ Xij + Xik kemudian
ketika job j mulai pada mesin 2, job k juga dimulai atau masih diproses pada
1
mesin i. Terminologi yang pertama pada RHS bersesuaian dengan kejadian
dimana job j sedang diproses pada mesin 2, selesai sebelum job k yang sedang
diproses pada mesin i, yang mana kejadiannya memiliki probabilitas ∕( ).
Terminologi yang kedua sesuai dengan kejadian dimana job j selesai pada mesin 2
setelah job k selesai pada mesin 1; pada kasus ini distribusi Dk adalah
eksponensial dengan dengan rata – rata dan .
Sebagai ekspresi untuk P(D΄j > t│Dt ≤ Xij + Xik) dapat diperoleh dengan
cara mengubah subscrip j dengan subscrip k. Sekarang
P(D΄j > t│Dt ≤ Xij + Xik) - P(Dk > t│Di ≤ Xij + Xik)
= < 0
Maka, D΄j lebih kecil stokastiknya dari pada Dk . itu dapat ditunjukkan lebih
mudah, secara langsung dengan alur analisa yang sederhana ( misalnya perbaikan
waktu proses pada job m dan semua job yang mengikuti job m ), yang jika
direalisasikan dengan D΄j lebik kecil dari pada Dk , kemudian aktual makespan
setelah terjadi perubahan adalah lebih kecil atau sama dengan aktual makespan
pada aliran awalnya sebelum terjadi perubahan. Maka diperoleh bahwa D΄ j lebih
kecil stokastiknya dari pada Dk , probabilitas makespan berkurang dengan daanya
perubahan. Ini merupakan bukti lengkap yang optimal pada nonpreemtive statis.
Cara optimal nonpreemtive statis juga optimal untuk nondinamis
preemtive dapat disanggah sebagai berikut. Ini menjadi jelas bahwa aliran pada
mesin 2 tidak tepat, hal ini disebabkan karena waktu proses mesin 2, tersedia job.
Secara sederhana jumlah waktu proses dan job yang ada tidak mempengaruhi
makespan. Anggap bahwa keputusan yang diambil untuk setiap mesin i adalah
bebas. Keputusan akhir yang diambil ketika hanya terdapat dua job yang tersisa
diproses pada mesin i. Dari perubahan susunan yang dijelaskan diatas, dengan
seketika bahwa job dengan tertinggi akan dikerjakan lebih awal. Dengan
menganggap bahwa disana ada tiga job yang diproses pada mesin I. Dari argumen
sebelumnya dikatakan bahwa dua dari tiga job yang diproses mengurangi .
Jika tiga job yang pertama tidak bernilai yang tertinggi, perubahan susunan
2
antara job pertama dan job kedua mengurangi probabilitas makespan. Maka tiga
job yang terakhir pada urutannya akan mengurangi . Maka dengan cara ini
ditunjukkan bahwa aliran job yang mengurangi adal optimal pada
nonpreemtif dinamis.
Cara nonpreemtive akan sama optimalnya dengan preemtive dinamis akan
ditunjukkan sebagai berikut. Telah ditunjukkan diatas bahwa pada dinamis
nonpreemtive akan optimal pada saat berkurang, selam proses di mesin i.
Situasi ini pada intinya tidak berbeda dengan kondisi pada saat job telah mulai
(karena berdistribusi eksponensial). Maka, setiap waktu keputusan yang optimal
adalah memelihara aliran job pada mesin.
Dari teorema, terlihat bahwa jadwal yang optimal pada kasus eksponensial sering
lebih kecil dari pada jadwal optimal pada kasus deterministik. Contoh berikut ini
akan membuat lebih jelas.
Contoh 11.1.2
Anggap n job dengan waktu proses berdistribusi eksponensial. Satu job tidak
melalui mesin 1 dan waktu proses pada mesin 2 dengan rata – rata sangat besar.
Asumsi bahwa rata – rata lebih besar dari pada jumlah probabilitas waktu proses
untuk n-1 job pada mesin 1. berdasarkan teorema 11.1.1 n -1 job yang tersisa akan
mengurangi untuk aliran yang meminimasi probabilitas makespan.
Jika semua waktu proses adalah deterministik dengan waktu proses sama dengan
rata – rata waktu proses eksponensial, maka tidak akan cocok dengan sisa n-1 job
yang diurutkan.
Meskipun tidak terlihat, teorema 11.1.1 tidak terlihat sama dengan teorema
5.1.4 jadwal yang optimal dengan waktu proses berdistribusi optimal sedikit
banyak sama dengan jadwal optimal dengan waktu proses yang deterministik. Jika
job k mengikuti job j pada aliran yang optimal dengan waktu proses optimal,
maka
Atau
3
Atau
Yang mana, dengan waktu proses eksponensial, equivalent pada
E ( min (X1j, X2k )) ≤ E ( min (X1k,, X2j))
kondisi ini cukup sama dengan kondisi untuk job k mengikuti job j pada kasus
deterministik, yaitu
min ( Pij, P2k ) ≤ min ( Pik, P2j)
Ini juga sama dengan kasus eksponensial dan deterministik yang lain. Anggap
kasus dimana waktu proses job j pada dua mesin yang berdistribusi eksponensial
dengan rata – rata yang sama, λj, untuk masing – masing j. Berdasarkan teorema
semua aliran harus sama probabilitas makespannya. Hasilnya sama dengan
proporsi deterministik flowshop, dimana semua aliran juga menghasilkan
makespan yang sama.
Bagian ini fokus pada m mesin permutasi flowshop. Untuk flow shop ini
hanya menggunakan statis nonpreemtive karena order yang dikerjakan, terbatas
dan tidak terjadi perubahan.
Anggap sebuah permutasi flow shop m mesin dimana waktu proses job j apda m
mesin adalah sesuai dengan distribusi Fj dengan rata – rata 1/λj. Untuk kasus flow
shop lebih mudah menghasilkan lebih kecil E ( Cmax ).
Lemma 11.1.3. Dengan aliran yang banyak
E ( Cmax ) ≥
Bukti. Probabilitas waktu yang dibutuhkan dengan probabilitas waktu
proses yang terbesar, untuk flowshop sedikitnya m max (1/λ1,..., 1/λn). Pada mesin
1 dimulai oleh Job dengan waktu yang besar yang merupakan jumlah dari waktu
proses pada mesin pertama dari job yang dijadwalkan sebelum job yang
terpanjang. Setelah job yang terpanjang selesai sampai mesin terakhir, mesin ini
memiliki sisa waktu sedikit yang sama sedikitnya dengan jumlah waktu proses
pada mesin setelahnya dari sumua job yang dijadwalkan setelah job yang terbesar.
4
Satu kelas aliran memiliki perana yang sangat penting didalam permutasi
flow shop stokastik. Aliran j1,...,jn disebut aliran SEPT-LEPT jika job jk
Dan
Teorema 11.1.4. Jika F1 ≤as F2 ≤as ... ≤as Fn , maka
I. Beberapa aliran SEPT – LEPT meminimasi probabilitas makespan pada
statis nonpreemtive, yaitu
E(Cmax ) =
II. Aliran SEPT yang meminimasi probabilitas total waktu selesai pada statis
nonpreemtive, sehingga
E
Bukti,
I. Bagian pertama dari teorema merupakan observasi bahwa job pada aliran
SEPT tidak pernah menunggu mesin ketika dikerjakan didalam sistem. Ini
termasuk job yang besar yang merupakan job terakhir pada aliran SEPT.
Job pada aliran LEPT (termasuk yang pertama yang merupakan job yang
terbesar) mempunyai waktu tunggu untuk tiap – tiap mesin yang merupakan
akhir proses pada satu mesin sebelum mesin selanjutnya siap. Mesin tidak
pernagh menunggu job. Makespan sama dengan lebih rendah dari pada
batasan lemma 11.13.
II. Bagian kedua mengikuti aliran SEPT yang meminimasi probabilitas
terjadinya makespan. Untuk meminimasi probabilitas completion time dari
job ke k didalam aliran, k adalah job terkecil yang dikerjakan pertama kali
dan k job memiliki aliran yang sesuai yang sesuai dengan aliran yang
meminimasi probabilitas completion time. Maka job terkecil k mungkin
alirannya sesuai dengan aliran SEPT. Ini benar untuk setiap k. Ini jelas
bahwa pada aliran SEPT probabilitas completion time job minimum. SEPT
5
meminimasi jumlah probabilitas completion time. Nilai aktual dari total
probabilitas completion time mudah dihitung.
Mudah untuk menemukan contoh dengan F1 ≤as F2 ≤as ... ≤as Fn dimana aliran yang
tidak SEPT-LEPT juga optimal. Akan tetapi akan tetapi ada perbedaan dengan
deterministik flowshop katika waktu proses stokastik dan F1 ≤as F2 ≤as... ≤asFn tidak
semua aliran selalu optimal.
Contoh 11.1.5.
Anggap sebuah flowshop dengan 2 mesin dan 3job. Job 1 mempunyai waktu
proses yang deterministik 11 menit per unit. Job 2 memiliki waktu proses
deterministik 10 menit per unit waktu proses untuk job 3 adalah nol dengan
probabilitas 0.5 dan 10 dengan probabilitas 0.5. ini dapat dipilih dengan mudah
hanya dengan SEPT-LEPT yang meminimasi probabilitas makespan. Jika waktu
proses job 1 dirubah dari 11 menjadi 20, kemudian semua aliran memiliki
probabilitas makespan yang sama.
Model pada teorema 11.14. asumsi bahwa waktu proses pada job j pada m mesin
akan dihasilkan oleh m independen sama distribusi Fj. Jika waktu proses m pada
job j akan sama dengan variabel random dari distribusi Fj, kemudian model
disusun kembali dengan deterministik flow shop yang lebih tertutup. Maka, pada
kasus ini,
X1j = X2j = ... = Xmj = Xj
Mudah untuk melihat kasus ini, seperti pada kasus deterministik flow shop,
makespan adalah independen dari aliran job ( bukan stokastik tertentu dominan
terhadap n distribusi ).
Anggap kasus dimana waktu proses masing – masing job j pada m mesin
adalah sama dengan variabel random Xj dari distribusi Fj dan
F1 ≤ex F2 ≤ex ... ≤ex Fn
Probabilitas waktu proses adalah sama tetapi variansi mungkin berbeda. Anggap
bahwa total probabilitas completion time . Masalah ini akan ditemui
pada kasus yang variansinya kecil ( SV). Yang mana setiap waktu pada mesin
6
pertama adalah beba, kemudian pilih job yang tersisa dengan variansi yang
terkecil untuk dikerjakan berikutnya.
Teorema 11.1.6. SV meminimasi total probabilitas completion time pada kasus
statis nonpreemtive
Bukti. buktinya adalah kebalikannya. Anggap aliran yang lain optomal,
misalnya job j diikuti oleh job k seperti pada Fj ≤ex Fk . Asumsi job h mendahului
job j dan job l mengikuti job k anggap Cih merupakan notasi dari completion time
pada job h di mesin i. A adalah notasi waktu proses untuk semua job yang
mendahului dan termasu job h. B adalah maksimum waktu proses antara job yang
mendahului dan termasuk h. Maka,
Cih = A
Dan Cih = A + (i – 1) B
Performansi perubahan antar job j dan k tidak berpengaruh terhadap job l pada
sistem. Juga tidak berpengaruh pada completion time pada job l atau job yang
mengikuti l. Terjadinya perubahan hanya berpengaruh pada probabilitas jumlah
completion time job j dan job k. Completion time pada job k sebelum terjadi
perubahan adalah sama dengan completion time setelah terjadi perubahan. Untuk
menganalisa perubahan yang terjadi cukup dengan membandingkan completion
time job j sebelum terjadi perubahan dengan completion job k setelah terjadi
perubahan. Notasi Cij adalah untuk completion time job j sebelum terjadi
perubahan. Dan C’ik adalah notasi completion time job k setelah terjadi
perubahan. Jelasnya
Cmj = A +Xj + ( m - 1 ) max (B, Xj )
Dan Cmk = A +Xk + ( m - 1 ) max (B, Xk )
Probabilitas completion time job k setelah terjadi perubahan susunan adalah lebih
kecil dari pada probabilitas completion time job j sebelum terjadi perubahan jika
Integral tersebut merupakan fungsi yang meningkat dan bertambah pada t. Maka,
ketidaksamaan akn terjadi ketika Fk ≤ ex Fj. Aplikasi ini adalah aliran sebelum
7
terjadi perubahan tidak bisa optimal dan menbutuhkan bukti yang lengkap. Hasil
ini berbeda dengan hasil pada latihan 10.18 pada kasus mesin paralel LV
meminimasi probabilitas total completion time.
11.2 STOKASTIK FLOW SHOP DENGAN HAMBATAN
Anggap stokastik pada F2│block │Cmax dengan waktu proses job j pada mesin 1
(2) menjadi variabel random X1j (X2j) dari distribusi F1j (F2j). Disana tidak ada
waktu antar dua mesin ( zero intermediate storage ). Tujuannya adalah
meminimasi probabilitas makespan pada penggunaan statis nonpreemtive.
Ketika job mulai diproses pada pada mesin 1, job yang mendahului mulai
proses pada mesin 2. jika job j mengikuti job k didalam alirannya, kemudian
probabilitas waktu job j yang tersisa pada mesin 1, yang lain diproses atau akan
menjadi hambatan, yaitu sebesar E( max( X1j , 2k )). Jika job j merupakan job yang
pertama dalam aliran, kemudian job j hanya menggunaka probabilitas jumlah
waktu E( Xij ) pada mesi 1 ketika mesin 2 mulai idle. Jika job j adalah job yang
terakhir pada aliran maka akan menggunaka probabilitas jumlah waktu E ( X2k )
pada mesin 2 ketika mesin 1 idle. Dengan cara yang sama deterministik F2│block
│Cmax eqivalent dengan deterministik TSP, model stokastik ini eqivalen dengan
deterministik TSP. Akan tetapi algoritma yang efisien digambarkan dibagian 3.6,
yang mana hanya bisa diterapkan pada deterministik F2││Cmax, dan tidak bisa
diterapkan pada model stokastik. Ruang matrik TSP ditetapkan sebagai berikut :
d0k = E (X1k )
dj0 = E (X2j )
djk = E ( max (X2j, X1k) )
=
=
Jelas sudah bahwa nilai untuk djk dapat dihitung, tetapi nilai ini sekarang bukanlah
fungsi yang simpeldari kedua parameter seperti dijelaskan dibagian 3.6 dan 5.2.
8
TSP yang digambarkan diatas setidaknya bisa lebih simpel. Masalah eqivalen TSP
dengan ruang matrik yang terkecil yang mana jumlah totalnya dimaksimumkan.
Ruang matrik dimodefikasi dengan pengurangan probabilitas waktu proses dari
masing – masing job yang terlibat dan perkalian dari waktu yang tersisa dengan-1.
d0k = 0
dj0 = 0
djk = E ( min (X2j, X1k) )
=
Contoh 11.2.1
Anggap kasus Fij adalah berdistribusi eksponensial dengan rata dan F2j
berdistribusi eksponensial dengan rata – rata . Dengan ruang
Meskipun deterministik TSP memiliki susunan yang baik, ini tidak jelas apa yang
dapat dipecahkan di dalam waktu yang polynomial.
Ini adalah kasus yang menarik untuk dipelajari dengan susunan tambahan untuk
mendapatkan pengertian yang mendalam. Anggap kasus dimana F1j = F2j = Fj .
variabel random Xij dan X2j adalah independen dari distribusi Fj. Model ini
setidaknya sama dengan model deterministik flow shop karena distribusi waktu
proses tiap – tiap job pada dua mesin yang identik. Akan tetapi realisasi yang
aktual dari dua waktu proses yang tidak perlu identik.
Teorema 11.2.2. Jika F1 ≤ st F2 ≤st ... ≤st Fn kemudian aliran 1,2,3,...,n, 6, 4,
2 dan 2, 4, 6, ...,n,...,5, 3,1 minimasi probabilitas makespan pada statis
nonpreemtive.
Bukti. Anggap aliran
j1,...,jk-1, jk,...,jk+1,...,jl-1, jl, jl+1,...,jn.
Partisi aliran ke dalam sub aliran, yang pertama akan menjadi j1,...,jk-1, yang kedua
jk,..., jl, yang ketiga jl+1,...,jn. Susun aliran baru dengan membalik subaliran yang
kedua. Aliran baru adalah
9
j1,...,jk-1, jk,...,jl-1,...,jk+1, jl, jl+1,...,jn.
Jika E (Cmax ) adalah notasi probabilitas makespan aliran asli dan E (C’max ) adalah
probabilitas makespan pada aliran baru, maka
E (Cmax ) - E (C’max ) = E (max (X2,jk-1, X1,jk) ) + E(max(X2,jt, X1,jt+1))
- E (max (X2,jk-1, X1,jk) ) - E(max(X2,jk, X1,jt+1))
= - E (min (X2,jk-1, X1,jk) ) - E(max(X2,jt, X1,jt+1))
+ E (max (X2,jk-1, X1,jt) ) +E(max(X2,jk, X1,jt+1))
Maka probabilitas makespan pada aliran kedua lebih kecil dari pada probabilitas
makespan pada aliran pertama, jika
(
t)
Makespan di bawah aliran sembarang tidak berubah jika dua job
ditambahkan, keduanya dengan waktu pemrosesan nol pada kedua mesin, yang
satu dijadwalkan lebih dahulu dan yang lainnya terakhir. Distribusi waktu
pemrosesan dari kedua job ini secara stokastik kurang dari distribusi manapun
dari n job. Jadi, pada pembuktian asumsi dapat dibuat bahwa ada dua job
tambahan dengan waktu pemrosesan sama dengan nol dan bahwa salah satu job
berlangsung lebih dulu dan job lainnya terakhir. Pada situasi apakah kedua job ini
disebut sebagai job 0 dab job 0’.
Diketahui 4 distribusi waktu pemrosesan Fj ≥st Fk ≥st Fp ≥ st Fq , dapat
ditentukan bahwa:
10
Sisa bagian dari pembuktian didasarkan pada kontradiksi pendapat. Aliran
yang sembarang tidak berdasarkan teorema dapat ditingkatkan dengan
menggunakan pembalikan urutan aliran sampai aliran dari teorema didapatkan.
Tentukan aliran:
0, j1, …, 1, jk+1, …, jl, 2, jl+1, …, jn-2
dimana j1 , …, jn-2 adalah permutasi dari 3, 4,…, n . Dari pertidaksamaan diatas
maka akan mengikuti bahwa pembalikan subaliran menghasilkan aliran
0, 1, jk, …, j1, jk+1, …, jl, 2, jl+1, …, jn-2, 0’
dengan makespan harapan yang lebih kecil. Makespan dapat dikurangi bahkan
melebihi pembalikan aliran kedua yang dihasilkan dalam
0, 1, jk, …, j1, jk+1, …, jl, jl+1, …, jn-2, 2, 0’
cara kerja ini dapat terlihat secara jelas bahwa semua sequene dapat dikembalikan
dengan pembalikan subaliran sampai salah satu dari aliran diperoleh.
Secara jelas 1, 3, 5, ..., n, ..., 6, 4, 2 adalah aliran SEPT-LEPT. Yaitu aliran
optimal yang dapat diharapkan. Job-job yang pendek dapat dijadwalkan di awal
untuk memastikan bahwa mesin 2 tidak mengurangi idle secara efektif, padahal
job yang pendek seharusnya juga dijadwalkan langsung di akhir aliran untuk
menghindari kemungkinan mesin 2 yang sibuk untuk waktu yang lama setelah
mesin 1 menyelesaikan semua pemrosesannya. Aliran optimal sedikit berbeda
ketika n ganjil atau genap. Jika genap, aliran optimalnya adalah 1, 3, 5, ..., n-1, n,
n-2, ..., 6, 4, 2 , sedangkan jika n ganjil maka aliran optimalnya adalah 1, 3, 5, ...,
n-1, n, ..., 6, 4, 2.
Teorema 11.2.2 memberikan indikasi dampak dari rata-rata waktu
pemrosesan pada aliran optimal. Generalisasi hasil dari teorema 11.2.2 menjadi 2
kali lebih dari 2 mesin adalah tidak mungkin. Contoh yang bertolak belakang
telah ditemukan.
Diketahui model yang sama dengan F1j = F2j = Fj . j = 1, ..., n tapi dengan
rataan distribusi F1 , F2 ,..., Fn menjadi identik dan sama dengan 1. Bagaimanapun
variansi distribusinya yang sekarang berbeda. Diasumsikan bahwa distribusinya
memiliki fungsi padat probabilitasnya simetris dan F1 ≥sv F2 ≥sv ... ≥ sv Fn. Ini
11
menandakan bahwa variabel random terletak di antara 0 dan 2. Untuk model 2
mesin dengan tidak menggunakan perantara buffer, teorema yang sama tetap
digunakan.
Teorema 11.2.3. Jika F1 ≥sv F2 ≥sv ... ≥ sv Fn maka 1, 3, 5, ..., n, ..., 6, 4, 2
dan 6, 4, 2, ..., n, ..., 1, 3, 5 meminimasi makespan harapan pada kelas kebijakan
nonpreemptive daftar statis
Bukti. Pertama ditunjukkan bahwa sembarang aliran dapat diubah menjadi
aliran yang lebih baik (dengan makespan harapan yang lebih kecil) dari bentuk 1,
j1, ..., jn-2 dari bentuk j1, ..., jn-2 adalah permutasi dari job 3, ..., n. Bandingkan
aliran
j1, …, j1, 1, jk+1, …, jl, 2, jl+1, …, jn-2
dengan aliran
1, j1, …, j1 , jk+1, …, jl, 2, jl+1, …, jn-2
pengurangan makespan aliran kedua dari yang pertama
E (max (X1, Xjl+1)) - E (max (Xj1, Xjk+1)) = E (min (Xj1, Xjk+1)) - E (min (X1, Xjl+1))
≥ 0
Oleh karena itu lebih baik untuk menjadwalkan job 1 lebih dulu. Pendapat serupa
ditunjukkan job 2 yang telah dijadwalkan sebelumnya.
Langkah selanjutnya menunjukkan bahwa sembarang aliran dapat diubah
menjadi bentuk 1, 3, j1 , ..., jn-2 , 2 dengan makespan harapan yang lebih kecil.
Bandingkan aliran
1, j1, …, jk, 3, jk+1, …, jn-3, 2
dengan aliran
1, 3, j1, …, jk, jk+1, …, jn-3, 2
12
Makespan harapan dari aliran pertama dikurangi makespan harapan dari aliran
kedua adalah
E (max (X1, Xjl)) - E (max (X3, Xjk+1)) - E (max (X1, X3)) - E (max (Xj1, Xjk+1))
= E (min (X1, X3)) + E (min (Xj1, Xjk+1)) - E (min (X1, Xjl)) - E (max (X3, Xjk+1))
Maka aliran optimal harusnya menjadi bentuk 1, 3, j1 , ..., jn-2 , 2 . Cara kerja pola
ini merupakan optimalisasi dari 2 aliran yang telah ditetapkan pada teorema yang
dapat diverivikasi secara mudah.
Hasil ini menyatakan bahwa aliran yang optimal meletakkan job–job
dengan variansi yang lebih luas terhadap titik awal dan akhir aliran, dan
meletakkan job-job dengan variansi yang lebih kecil terhadap titik tengah dari
aliran. Aliran seperti ini dapat disebut sebagai Aliran LV-SV.
Hal tersebut tidak akan jelas jika hasil yang sama tertahan ketika ada lebih
dari 2 mesin yang seri. Hasil dari kasus dengan mesin lebih dari satu sangat susah
untuk dibuat karena kompleksitas problem meningkat secara signifikan ketika
terjadi kenaikan jumlah mesin dari 2 ke 3 mesin.
Namun, beberapa sifat dapat ditunjukkan pada m mesin seri dengan
blocking, yaitu untuk kasus stokastik yang sama Fm
block Cmax . diasumsikan bahwa F1j = F2j = ... = Fmj = Fj dengan rata-rata 1/j
dan X1j ,..., Xmj adalah independen.
Teorema 11.2.4 Jika F1 ≤as F2 ≤as ... ≤as Fn maka aliran meminimasi
makespan jika dan hanya jika merupakan aliran SEPT-LEPT.
Bukti. Karena bukti dari teorema ini sudah dijelaskan dengan gamblang,
maka hanya sedikit uraian yang diberikan. Bukti tersebut serupa dengan teorma
5.2.4 dan terdiri dari 2 bagian. Pada bagian pertama ditunjukkan tiap aliran SEPT-
13
LEPT mencapai batas bawah dari Lemma 11.1.3 dan pada bagian kedua
ditunjukkan bahwa aliran yang bukan SEPT-LEPT mencapai makespan harapan
yang lebih luas dari batas bawahnya.
11.3 STOKASTIK OPEN SHOP
Diketahui 2 mesin open shop dimana waktu pemrosesan dari job j pada
mesin 1 adalah variabel random X1j , terdistribusi sesuai F1j dan pada mesin 2
adalah variabel random X2j , terdistribusi sesuai F2j . Tujuannya adalah untuk
meminimasi makespan harapan. Seperti sebelumnya, distribusi eksponensial
dipertimbangkan lebih dahulu. Pada kasus ini, bagaimanapun, tidak diketahui
apakah kebijakan optimal ketika F1j adalah eksponensial dengan tingkat rataan j
dan F2j adalah eksponensial dengan tingkat rataan j . Ini memunculkan bahwa
kebijakan optimal tidak mungkin memiliki struktur yang sederhana dan mungkin
tergantung pada nilai s dan s . Kasus khusus dimana j = j dan waktu
pemrosesan job j pada 2 mesin adalah i.i.d. eksponensial dengan tingkat j dapat
di analisis. Berbeda dengan hasil yang didapat pada stochastic flow shops,
kebijakan yang optimal sekarang tidak dapat dianggap sebagai aliran permutasi,
tetapi cukup sebagai kebijakan yang menetapkan tindakan yang diberikan
tergantung oleh keadaan sistem.
Teorema 11.3.1 Kebijakan nonpreemtive meminimasi makespan harapan
pada kelas kebijakan nonpreemtive dinamis sebaik kelas kebijakan preemtive
dinamis sebaik: kapanpun mesin bebas, penjadwal memilih dari job-job yang
belum menjalani pemrosesan pada salah satu dari dua mesin job dengan waktu
pemrosesan harapan yang terbesar. Jika tidak ada job yang tersisa, pengambil
keputusan dapat mengambil sembarang job yang hanya membutuhkan
pemrosesan pada mesin yang bebas. Preemtif tidak menggantikan.
Bukti. Teorema pada awalnya ditunjukkan untuk kelas kebijakan
nonpreemtive dinamis. Hanya dalam kasus deterministic, 2 mesin sibuk secara
14
kontinyu dengan kemungkinan pengecualian, sebagian besar, periode idle tunggal
pada sebagian besar satu mesin. Periode idle dapat salah satu dari tipe 1 dan tipe
2. pada kasus tidak ada periode idle sama sekali atau idle tipe 2, makespan setara
dengan maksimum beban kerja pada kedua mesin, adalah:
Pada kasus periode idle tipe 1, makespan lebih luas dari RHS dari ekspresi diatas.
Sebenarnya, pada kasus ini makespan adalah:
Dimana I1 adalah panjang periode idle dan I2 adalah makespan dikurangi beban
kerja mesin yang tidak berpengalaman pada periode idle. Sangat jelas bahwa term
pertama pada RHS dari expresi diatas tidak tergantung pada kebijakan yang
digunakan. Untuk membuktikan teorema ini mencukupi untuk
menunjukkanbahwa kebijakan yang dideskripsikan meminimasi nilai harapan dari
term pada RHS, yaitu E(min(I1,I2). Term ini sangat jelas tidak tergantung pada
kebijakan yang digunakan.
Untuk mendapatkan pengertian yang lebih pada term kedua ini,
pertimbangkan hal berikut. Misal job j adalah job yang mengakibatkan periode
idle, dimana job j adalah job terakhir yang harus diselesaikan. Diketahui bahwa
job j mengakibatkan periode idle tipe 1. seperti contoh 8.13, dimana:
Jika q’j menyatakan probabilitas job j yang menyebabkan periode idle tipe 1 di
bawah kebijakan , sehingga
Dimana
Dari teori dynamic programming, sama pengertiannya bahwa untuk membuktikan
optimalitas kebijakan yang sudah ditetapkan pada teorema, katakanlah kebijakan
15
*, itu cukup untuk menunjukkan bahwa dengan memakai * dari waktu
sembarang t menuju hasil dengan makespan harapan yang lebih kecil dari yang
digerakkan secara berbeda pada waktu t dan menggunakan * dari keputusan
pergerakkan kemajuan berikutnya. Dua tipe dari gerakan pada waktu t melanggar
*. Pertama, hal tersebut mungkin untuk memulai job yang bukan job terbesar
diantara job-job yang tidak diproses pada mesin lain; kedua, tidak mungkinuntuk
memulai job yang sudah diproses pada mesin lainyaketika masih ada job yang
belum menerima pemrosesan pada mesin lainnya.
Pada bagian akhir pembuktian, notasi berikut digunakan, ditentukan J1
mewakili seperangkat job tersebut, pada waktu t, yang pemrosesan pertamanya
belum selesai dan ditentukan J2 mewakili seperangkat job tersebut, pada waktu t,
yang pemrosesan keduanya belum dimulai. Secara jelas, tentukan J2 serta
tentukan J1 J2 . Job-job yang sudah selesai tapi belum memulai proses kedua
ada di J2 tetapi tak ada di J1 .
Kasus 1. Misal π’ menyatakan kebijakan bahwa pada waktu t, meletakkan
job k pada mesin yang bebas, dengan k Є J1 ,dan k bukan job terbesar di J1, dan
kembali pada * dari keputusan saat maju yang berikutnya. Biarkan job 0 menjadi
job yang sedang diproses ,pada waktu t , pada mesin yang sibuk. Biarkan r’j (rj*)
menyatakan probabilitas bahwa job j adalah job terakhir yang diselesaikan pada
pemrosesan pertama dibawah kebijakan π’ (π*) oleh karena itu menjadi pengganti
untuk mengakibatkan periode idle. Missal job j diproses pada mesin 1. Pada job j
untuk membuat periode idle tipe 1, memiliki daur hidup pada job-job tersebut
yang masih harus menerima dari pemrosesan kedua. Pemrosesan pada mesin 2,
memiliki daya tahan lama untuk semua job yang sudah menerima pemrosesan
kedua ; pada mesin 1. Sehingga qj* = rj*
dan q’j = r’
j
juga q’0 = q*
0
16
Memperhatikan bahwa q*0 dan q’
j tidak tergantung pada mesin dimana job i, i Є
{J2 – j} menerima pemrosesan kedua: pemrosesan job i untuk kedua kalinya pada
mesin yang sama pada pemrosesan pertama, nilai hasil untuk q*j dan q’j yang sama
ketika job i diproses untuk kedua kalinya pada mesin yang tidak diproses pada
pemrosesan pertama. Untuk menunjukkan bahwa E(H*) ≤ E(H’), maka akan
ditunjukkan sebagai berikut
Memperhatikan bahwa jika λa ≤ λb , maka
Misalkan aliran dimana job-job pada J1 dimulai setelah pemrosesan pertama
dibawah π’’ adalah 0, k, 1, 2, ..., k-1, k+1, ... dimana
λ1 ≤ λ2 ≤ ...≤ λk-1 ≤ λk ≤ λk+1 ≤...
melakukan pertukaran pada aliran ini menghasilkan 0, k, 1, 2, ..., k-1, k+1, ...
Biarkan aliran baru ini menyesuaikan dengan kebijakan π’’. Sekarang Lemma
10.1.1 dapat digunakan untuk π’(π’’) menyesuaikan dengan aliran X0, X0, X0, ...,
X0 (X0, X0, X0, ..., X0) dan r’j (r’’j) mennyesuaikan dengan rj (qj) pada Lemma
10.1.1 dan pertidaksamaan di atas, hal ini ditetapkan bahwa E(H’’) ≤ E(H’).
Memproses pola ini, untuk tiap langkah pertukaran yang dapat digantikan kembali
dilakukan antara job k dan job yang mengikuti tepat di belakangnya, alirannya 1,
2, ..., k-1, k+1, ... diperoleh. Pada setiap tahap ditunjukkan bahwa makespan
harapan berkurang.
Kasus 2. Misal π’ pada kasus ini menyatakan kebijakan yang menyusun
penjadwal pada waktu t untuk memulai job l dengan rataan λ1, 1 Є {J2 – j} dan
untuk mengadopsi kebijakan π* dari keputusan saat maju yang berikutnya. Yaitu
job l mulai pada pada waktu t dengan pemrosesan keduanya ketika masih ada job
di Jl yang belum selesai melakukan pemrosesan pertamanya. Misalkan r’j, j Є Jl
pada kasus ini menyatakan probabilitas job j di bawah π’ menyelesaikan
17
pemrosesan pertama setelah semua job pada Jl selesai mengerjakan pemrosesan
pertama dan setelah job l menyelesaikan pemrosesan keduanya. Misal r’j
menyatakan probabilitas job l dibawah π’ menyesaikan pemrosesan kedua setelah
semua job pada Jl telah menyelesaikan pemrosesan pertamanya. Diasumsikan
bahwa ketika menggunakan π* dari t menuju penjadwal, setelah memulai semua
job di Jl , pilih job l sebagai job pertama yang munuju ke perosesan kedua dan
dapat melakukan hal ini pada mesin yang dapat digunakan pertama kali ( pada
kasus 1 hal tersebut menjadi jelas bahwa probabilitas job j, j ≠ l menyebabkan
periode idle tipe 1tidak tergantung pada mesin mana job l diproses untuk yang
kedua). Misal r*j sekarang dinyatakan sebagai probabilitas bahwa job j
menyelesaikan pemrosesan pertama setelah job Jl – j menyelesaikan pemrosesan
pertamanya dan setelah job j menyelesaikan pemrosesan keduanya. Misal r*j
menyatakan probabilitas bahwa job l menyelesaikan pemrosesan keduanya setelah
semua job di Jl sudah menyelesaikan pemrosesan pertamanya. Jadi,
qj* = rj*
untuk semua j pada J l , dan
q’j = r’
j
untuk semua j pada J l , Kemudian
untuk menunjukkan bahwa E(H*) ≤ E(H’), cukup akan ditunjukkan bahwa:
Dari Lemma 10.1.1, mengikuti bahwa r*l ≥ r’l dan r*l ≥ r’l , j ≤ Jl. Maka akan
mengikuti E(H*) ≤ E(H’). Pendapat standard ditunjukkan bahwa kebijakan
nonpreemptive dinamis juga optimal dalam kelas kebijakan preemptive dinamis.
Hal tersebut melengkapi bukti teorema. Bukti tersebut muncul menjadi sangat
sulit untuk generalisasi hasil ini menjadi distribusi kelas yang lebih luas.
Contoh 11.3.2
18
Misal waktu pemrosesan job j pada mesin i, i = 1, 2 menjadi campuran
eksponensial dengan rataan λj dan nol dengan probabilitas yang selalu berubah.
Kebijakan optimalnya adalah untuk memproses pada waktu 0 untuk semua job
untuk tiap periode yang pendek pada kedua mesin hanya untuk memastikan jika
waktu pemrosesan pada kedua mesin adalah nol atau positif. Setelah semua sifat
dasar dari waktu pemrosesan ditentukan , permasalahannya adalah mengurangi
pada skenario yang dicakup oleh Teorema 11.3.1
Teorema 11.3.1 menetapkan bahwa job-job yang masih harus melalui
pemrosesan pada kedua mesin memiliki prioritas semua job yang harus diproses
pada satu mesin. Secara akal sehat, kebijakan yang digambarkan pada teorema
11.3.1 memiliki kesamaan dengan aturan LAPT yang diperkenalkan pada bagian
6.1 untuk permasalahn deterministik O2 ||Cmax .
Dari teorema 11.3.1 hal tersebut mengikuti bahwa permasalahan mudah
dikerjakan serta jika waktu pemrosesan job j pada mesin 1 sebaik mesin 2
terdistribusi eksponensial dengan rataan 2. Kebijakannya untuk meminiasi
makespan harapan selalu memberikan prioritas pada job yang belum melalui
pemrosesan pada mesin lainnya. Aturan umum ini tidak membutuhkan preemptive
apapun. Pada literatur, aturan ini disamakan dengan skenario aturan Longest
Expected Remaining Processing Time First (LERPT).
Sesungguhnya, jika pada kasus dua mesin semua waktu pemrosesan
adalah eksponensial dengan rataan 1 dan jika preemptive diijinkan, maka jumlah
waktu penyelesaian harapan dapat juga dianalisa. Model ini adalah perimbangan
eksponensial dari O2 | prmp. Pij = 1 | ΣCi. Total waktu penyelesaian harapan
secara jelas membutuhkan kebijakan yang berbeda. Satu kebijakan umum adalah
menarik pada kebijakan kelas preemptive dinamis: pertimbangkan kebijakan
yang menentukan penjadwal proses, jika memungkinkan, pada setiap salah satu
dari mesin job yang sudah diproses pada mesin lainnya. Kebijakan ini mungkin
membutuhkan penjadwal pada saat itu untuk menyela pemrosesan sebuah job dan
memulai dengan pemrosesan job yang baru saja selesai dioperasi pada mesin yang
19
lain. Pada situasi tertentu kebijakan ini dikenal dengan Shortest Expected
Remaining Processing Time First (SERPT)
Teorema 11.3.3. Kebijakan preemptive SERPT meminimasi total waktu
penyelesaian harapan pada dua mesin open shop pada kebijakan kelas
preemptive dinamis.
Bukti. Misal Aij, i = 1, 2 , j = 1, …, n menyatakan waktu j job telah
menyelesaikan kebutuhan pemrosesan mereka pada mesin i. Periode idle pada
mesin 2 dapat terjadi hanya jika
A1, n-1 ≤ A2, n-1 ≤ A1, n
Dan periode idle pada mesin 1 dapat terjadi jika
A1, n-1 ≤ A1, n-1 ≤ A2, n
Misal j1, j2, ..., jn menyatakan aliran pada job yang meninggalkan sistem, adalah,
job j1 merupakan yang pertama menyelesaikan kedua operasi, job j2 yang kedua
dan seterusnya.
Kebijakan SERPT
Cji = max (A1,k , A2,k ) = k = 1,..., n-1
Ini menandakan bahwa jangka waktu dari k penyelesaian job, k = 1,..., n-1 adalah
variabel random yang memaksimumkan dua variabel independen random,
keduanya dengan distribusi Erlang (k). Distribusi penyelesain job terakhir,
makespan, adalah berbeda. Ini sangat jelas bahwa di bawah kebijakan preemptive
SERPT jumlah waktu penyelesaain harapan pada awal n-1 job yang meninggalkan
sistem diminimasi. Hal ini tidak secara langsung nyata bahwa SERPT
meminimasi jumlah harapan dari semua waktu penyelesaian. Misal
B = max (A1, n-1 ≤ A1, n-1 ≤ A2, n)
Variabel random B adalah bebas dari kebijakan. Pada waktu B, tiap mesin
memiliki paling banyak satu operasi untuk diselesaikan. Perbedaan dapat dibuat
antara 2 kasus.
Pertama, tentukan kasusnya dimana, pada B, job yang tersisa yang harus
diselesaikan pada salah satu mesin. Pada kasus ini, tidak dari probabilitas
20
penyebab maupun biaya tunggu mendatangkan job terakhir untuk meninggalkan
sistem tergantung pada kebijakan. Karena SERPT meminimaasi jumlah total
waktu penyelesaian dari semua job.
Kedua, tentukan kasusnya dimana, pada waktu B, job yang tersisa yang
harus diproses pada kedua mesin. (i) Ada 1 job yang tertinggal, dimana
membutuhkan pemrosesan pada kedua mesin atau (ii) ada 2 job yang tersisa,
masing-masing membutuhkan pemrosesan satu mesin. Dibawah (i) total waktu
penyelesaian harapan dari dua job terakhir untuk menyelesaikan proses mereka
adalah E(B) + E(B+2), mengingat dibawah (ii) adalah E(B) +1+ E(B) +1. Pada
kedua subkasus total waktu penyelesaian harapan dari dua job terakhir adalah
sama. Karena SERPT meminimasi total waktu penyelesaian harapan dari n-2 job
terakhir untuk meninggalkan sistem, maka SERPT meminimasi total waktu
penyelesaian harapan dari semua job.
Yang disayangkan, tidak ada hasil yang dilaporkan pada literatur dengan kaitan
stokastik open shop dengan jumlah mesin lebih dari 2.
11.4 STOKASTIK JOB SHOP
Ditentukan sekarang dua mesin job shop dengan job j memiliki waktu pemrosesan
pada mesin 1 adalah terdistribusi eksponensial dengan rataan λj dan pada mesin 2
terdistribusi eksponensial dengan rataan μi. Beberapa harus diproses pertama pada
mesin 1 kemudian mesin 2, selain itu job yang tersisa harus diproses pertama pada
mesin 2 kemudian meisn 1. Misal J1,2 menyatakan seperangkat job yang pertama
dan J2,1 menyatakan yang kedua. Meminimasi perubahan makespan harapan
menjadi lebih mudah untuk diperpanjang dari 2 mesin flowshop model dengan
waktu pemrosesan eksponensial.
Teorema 11.4.1. kebijakan yang ada meminimasi makespan harapan
pada kelas kebijakan nonpreemptive dinamis sebaik kelas kebijakan preemptive
21
dinamis: ketika mesin 1 menganggur, pengambil keputusan memilih dari J1,2 job
dengan λj - μi tertinggi; jika semua job dari J1,2 telah menerima pemrosesan pada
mesin 1, ia dapat mengambil job manapun J2,1. Ketika mesin 2 menganggur,
pengambil keputusan memilih dari J1,2 job dengan λj - μi tertinggi; jika semua job
dari J2,1 telah menerima pemrosesan pada mesin 2, ia dapat mengambil job
manapun J1,2.
Bukti. Bukti terdiri dari 2 bagian. Pertama ditunjukkan dengan job dari J2,1
memiliki prioritas yang lebih rendah pada mesin 1 dari job J1,2 yang dipesan pada
mesin 1 dalam pengurangan pesanan λj - μi dan job dari J2,1 yang dipesan dari
mesin 2 dalam pengurangan pesanan λj - μi.
Untuk menunjukkan bagian pertama, kondisi realisasi dari semua 2n
waktu pemrosesan. Pendapatnya kontradiksi, misal jadwal optimal dimana titik
jadwal tertentu job dari J2,1 pada mesin 1 sebelum job dari J1,2. Pertimbangkan job
terakhir dari J2,1 yang diproses pada mesin 1 sebelum job dari J1,2. Lakukan
perubahan berikut pada jadwal. Bawa job ini dari J2,1 dan tunda pemrosesannya
sampai job terakhir J1,2 selesai dikerjakan. Semua job dari J1,2 setelah perubahan
ini, diselesaikan lebih cepat pada mesin 2. Hal tersebut menandakan bahwa mesin
1 akan menyelesaikan semua pemrosesan pada saat yang sama seperti sebelum
pergantian. Bagaimanapun mesin 2 dapat selesai dengan semua proses lebih
dahulu dari sebelum pergantian karena job dari J1,2 akan dapat lebih cepat dari
mesin 2.
Untuk membuktikan bagian kedua, tahapnya sebagai berikut. Pertama
tentukan J1,2 untuk menunjukkan bahwa job dari J1,2 harus dijadwal mengurangi
pesanan λj - μi , kondisi pertama pada waktu pemrosesan pada kedua mesin dari
semua job pada J2,1. job dari J2,1 memiliki prioritas yang tinggi pada mesin 2 dan
prioritas rendah pada mesin 1. Diasumsikan dua batasan job dari J1,2 tidak
dijadwalkan mengurangi pesanan λj - μi . melakukan penggentian dengan cara
yang sama seperti yang dilakukan pada teorema 11.1.1 menghasilkan makespan
harapan yang lebih kecil. Ini menunjukan bahwa job dari J1,2 harus dijadwalkan
pada mesin 1 mengurangi pesanan λj - μi. Pendapat yang sama ditunjukkan bahwa
job dari J2,1 harus dijadwalkan pada mesin 2 mengurangi pesanan λj - μi.
22
Hasil yang digambarkan pada Teorema 11.4.1 memiliki kesamaan dengan
hasil yang digambarkan pada bagian 6.2 dengan memperhatikan J2 || Cmax. Pada
penjadwalan deterministik, penelitian lebih lanjut J2 || Cmax dihapuskan pada
prosedur / cara heuristik dan enumeratif. Pada penjadwalan stokastik belum
banyak penelitian yang telah dilakukan pada job shop dengan jumlah mesin lebih
dari 2.
23
top related