subprojeto de matemÁtica-2014 atividades...

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ – CERES

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS – DCEA

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO Á DOCÊNCIA

(PIBID)

KALINE ARAÚJO DA SILVA

LUANA GONÇALVES DE LIMA

SUBPROJETO DE MATEMÁTICA-2014

ATIVIDADES DESENVOLVIDAS

CAICÓ/RN

2014

2

KALINE ARAÚJO DA SILVA

LUANA GONÇALVES DE LIMA

SUBPROJETO DE MATEMÁTICA-2014

ATIVIDADES DESENVOLVIDAS

Relatório apresentado à coordenadora

Maroni Lopes do curso Matemática,

referente às atividades desenvolvidas no 2º

semestre pelo PIBID na turma do 8º ano do

turno vespertino da Escola Estadual Zuza

Januário.

CAICÓ/RN

2014

3

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO..........................................................................................4

2. ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NA SALA DE AULA.............................5

ANEXOS

4

INTRODUÇÃO

Neste relatório anexaremos as atividades realizadas pelo Programa de

Iniciação à Docência - PIBID de matemática durante o período de 15 de agosto

de 2014 até 5 de dezembro de 2014 na turma do 8º ano vespertino da Escola

Estadual Zuza Januário. O trabalho foi uma revisão de todo o assunto dado pela

Professora Supervisora Marcilene, tendo como conteúdos apresentados:

Produtos notáveis, fatoração, frações algébricas (simplificação, operações de

adição, subtração, multiplicação e divisão) e sistemas de equações. Com o

intuito de reforçar a aprendizagem e melhorar o rendimento escolar dos alunos.

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ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NA SALA DE AULA

PRODUTOS NOTÁVEIS

A expressão algébrica (a+b)² apresenta uma soma de dois termos, a+b, elevada

ao quadrado – por isso é denominada o quadrado da soma de dois termos.

Mas podemos formar a resposta sem precisar ficar multiplicando termo a

termo. Por isso, dizemos que é um produto notável.

Quadrado da Soma de Dois Termos

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo,

mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do

segundo termo:

Exemplos

Quadrado da Diferença de Dois Termos

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo,

menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do

segundo termo:

Exemplos

Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do

primeiro termo menos o quadrado do segundo termo:

Exemplos

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EXERCICIOS

1- Calcule:

a) (2x + 1)²

b) (a + 5)²

c) (a + 10)²

d) (2a + 5)²

e) (a + 2b)²

f) (5a + 3b)²

g) (2a + 9)²

h) (3x + 2y)²

i) (2xy + 4)²

j) (x + ½)²

k) (2a + 10)²

l) (5x -3y)²

m) (5a – 3b)²

n) (3a – 2b)²

2- Calcule os produtos:

a) (x +1)(x+1)

b) (a + 5)(a - 5)

c) (3b + 7)(3b – 7)

d) (x² + 2)(x² - 2)

e) (3 – ab)(3 + ab)

f) (3x – 2y)(3x + 2y)

j) (7x + 6)(7x – 6)

k) (3x² - 4)(3x² + 4)

7

3- Resolva as expressões algébricas:

a) (x + y)2 – 2xy =

b) (5 – 2z)2 – (25 +10z) =

c) (3x+1)2 + (3x-1)2 – 2 =

d) (2 – 2x)2 + (3 – 2x)2 – 2(x – 3) =

e) (x – 3)(x + 3) – x(x – 3y) =

f) (5a + 3)2 + (5a - 3)2 – 2(a + 5) =

g) (2x – 3)2 + (x – 5)(x + 5) – (x + 4)2 =

h) (a - 1)² + a(3a + 2) =

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FATORAÇÃO

Fatorar um número significa escrevê-lo na forma de produto de números

primos. Por exemplo, a fatoração do número 36 consiste na multiplicação entre os

números 2 * 2 * 3 * 3.

Na fatoração de polinômios devemos escrever o mesmo através do produto

entre outros polinômios. As fatorações mais conhecidas são: fator comum em

evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e

trinômio soma e produto.

Fator comum em evidência.

Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos

termos que formam o polinômio. Observe:

No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será

o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.

Exemplos:

x² + 2x → x * (x + 2)

x² : x = x

2x : x = 2

4x³ – 2x² → 2x² * (2x – 1)

4x³ : 2x² = 2x

2x : 2x = 1

16x² + 8 → 8 * (2x² + 1)

16x² : 8 = 2x²

8 : 8 = 1

Fatoração por Agrupamento

Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo

em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação.

Exemplo:

2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.

2yx – x → x * (2y – 1)

–6y + 3 → –3 * (2y – 1)

2yx – x – 6y + 3 → x * (2y – 1) – 3 * (2y – 1) → (x – 3) * (2y – 1)

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SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS

A simplificação de frações é feita dividindo o numerador e o denominador pelo

mesmo número, isto seria o mesmo que eliminar todos os fatores comuns, obtendo uma

fração mais simples e equivalente. Observe os exemplos:

Com base nesse mesmo procedimento, simplificamos frações algébricas que apresentam

fatores em comum. Veja exemplos:

24𝑥4𝑦³𝑧

18𝑥²𝑦4=

2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧

2 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦=

2 ∗ 2 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑧

3 ∗ 𝑦=

4𝑥²𝑧

3𝑦

Para serem desenvolvidas, algumas simplificações requerem, primeiramente, o

uso de técnicas de produtos notáveis e fatoração.

Fator comum em evidência

𝑥² + 𝑥

2𝑥 + 2=

𝑥(𝑥 + 1)

2(𝑥 + 1)=

𝑥

2

Diferença entre dois quadrados

10

Agrupamento e fator comum em evidência

Trinômio quadrado perfeito

Efetuando operações antes de simplifica

Exercícios

1 - Simplifique as frações algébricas:

a) 12x/15 =

b) 12m/6a =

c) 8x/10x² =

d) 4x³/10xy =

e) 4x⁴a/6x³ =

f) 6a⁵/7a³x =

g) 8ay/2xy³ =

h) 4x²y/10xy³ =

i) 8am/-4am =

j) -14x³c/2x =

k) 64a³n²/4an² =

2 – Simplifique as frações utilizando a técnica de fator comum em evidência:

a) (3a – 3b)/12 =

b) (2x + 4y)/2a =

c) (3x – 3)/(4x – 4) =

d) (3x – 3)/( 3x + 6) =

e) (5x + 10)/5x =

f) (8x – 8y)/(10x – 10y) =

g) (3a + 3b)/(6a + 6b) =

h) (15x² + 5x)/5x =

i) (6x – 6y)/(3x – 3y) =

j) (18x – 18)/(15x – 15) =

k) (x² - x)/(x – 1) =

l) (2x + 2y)/6 =

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FRAÇÕES ALGÉBRICAS são aquelas em que aparecem incógnitas no denominador.

Só podemos adicionar ou subtrair frações algébricas de mesmo denominador, caso

elas possuam denominadores diferentes, precisaremos igualá-los.

Denominadores iguais

Para adicionarmos/subtrairmos frações de mesmo denominador, conservamos o

denominador comum e adicionamos/subtrairmos os numeradores.

Exemplos:

Denominadores diferentes

Se os denominadores forem diferentes, reduzimos ao menor denominador comum,

determinando o m.m.c. e efetuamos as operações seguintes do mesmo modo quando

somamos ou subtraímos frações com denominadores diferentes.

Exemplo 1:

M.m.c. (3, a, 4a²) = 12a²

12

Exemplo3:

3/(x-2) + 5/(x + 2)

Temos m.m.c. = (x – 2) ( x + 2)

3/(x-2)+5/(x + 2) =

3(x +2) / (x – 2) ( x + 2) + 5(x - 2) / (x – 2) ( x + 2) =

3x + 6 + 5x -10 /(x – 2) ( x + 2) =

8x -4/ (x – 2) ( x + 2)

Exemplo 2:

Exercícios

1 – Resolva a soma e subtração das frações algébricas de denominadores iguais:

a) y

2x +

1

2x=

b) 12c

a+

3−5c

a=

c) 3

x²y +

2

x²y =

d) 3x

y+

2x

y=

e) 4x+1

2x−

2x+2

2x=

f) 5

x+

7

x=

g) a+b

a²b+

2a+b

a²b=

13

h) m+1

x−

4

x=

i) a−1

b−

2a−1

b=

j) a+b²

x−y−

b2−a

x−y=

k) 4

m−

1

m=

l) 9a

b²+

a

b²=

m) y−1

a+3−

y+5

a+3=

n) 3x−1

a+

3x+2

a=

o) 2x+3

b−

3x+1

b=

p) a−5

2a+

4

2a=

q) x

x+y−

3x

x+y=

2- Resolva a soma e subtração das frações algébricas de denominadores diferentes:

a) 10/x – 25/3x =

b) 5y/3x + 3y/2x =

c) 3/2x² - 8/x =

d) 5/yx – x/3y =

e) (a + 3)/4m + 1/2m =

f) (6x + 13)/2y + (x + 3) 3y =

g) 4 / (x + 1) + 2 /(x – 1) =

h) 4/x + 5/(x -2) =

i) 1/(x -3) – 6/ (x² - 9)=

j) (3x + 2) / (x² - 4) – 4 / (x + 2) =

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES NUMÉRICAS

Multiplicação

A multiplicação de frações é muito simples, basta multiplicarmos numerador por

numerador e denominador por denominador, respeitando suas posições. Observe:

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Divisão

A divisão deve ser efetuada aplicando uma regra prática e de fácil assimilação, que diz:

“repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda”.

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS

Multiplicação

Para multiplicar frações algébricas, multiplique os numeradores entre si e os

denominadores também entre si.

Exemplos:

a/b . x/y = ax/by

3a /x . 7/5y = 21a /5xy

2x/5c . 4x² /3c = 8x³/15c²

(x + y)/ 4b . (x – y)/ m = (x² - y²) / 4bm

Nos casos em que o numerador e o denominador têm fatores comuns, podemos cancelá-

los antes de efetuar a multiplicação.

Exemplos:

a/3x . 2x/5 = 2a /15

(3x – 2) / 5 . 7a / (3x -2) = 7a / 5

Divisão

15

Para dividir frações algébricas, conserve a primeira fração e divida-a pelo inverso da

segunda.

Exemplos:

2x/a : 3m/5c = 2x/a . 5c/3m = 10cx/3am

5x²/ 3a : 7b/2x = 5x²/3a . 2x/7b = 10x³/21ab

a/(x + y) : m/(x + y) = a/(x + y) . (x +y)/m = a/m

EXERCÍCIOS

1) Efetue as multiplicações de frações algébricas:

a) 3 a / x . y/2 =

b) 2x/5 . 4a/x =

c) 3/a .5y/y =

d) 2 a/x . 5b / y =

e) 7 a /m² . 2 a/5m =

f) m/x² . 6a³/7x=

g) 3x/2y . x²/4 =

h) 3xy/5 a . 2x³ / a²y =

i) 5x²/3y . 2x / y³ =

j) 4 / (x + y) . ( x + y ) / 5 =

k) 1 / (x – y) . 1 /(x + y) =

l) ( x + 1) / ( x – 5) . ( x – 1) / ( x + 5) =

m) 8m / ( m -1) . m / (m + 1) =

n) ( x² - 9) / 5 . 10/(x – 3) =

2) Calcule as divisões de frações algébricas:

a) 2a/ b : x/y =

b) 3x/4 : 5y/7 =

c) 3x/2 : 6x²/4 =

d) 2y/x : 10x/3y=

f) 2a / 3x² : 5a² / 9xy =

g) x/2 : 5x²/8 =

h) 2x³/ y² : 4x / y⁵ =

i) (x + 1) /5x : a / (x -1) =

j) am/(x + y) : m/( x + y) =

k) ( x² - 1) / (5x + 5) : ( 5x – 5)/ (x + 1) =

16

SISTEMAS DE EQUAÇÕES

Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo,

4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras

com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema.

Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de

1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo:

Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois

métodos para a sua solução.

Esses dois métodos são: Substituição e Adição.

Método da substituição

Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e

substituir na outra equação, veja como:

Dado o sistema , enumeramos as equações.

Escolhemos a equação 1 e isolamos o x:

x + y = 20

17

x = 20 – y

Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y.

3x + 4 y = 72

3 (20 – y) + 4y = 72

60-3y + 4y = 72

-3y + 4y = 72 – 60

y = 12

Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação

x = 20 – y.

x = 20 – y

x = 20 – 12

x = 8

Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12)

Método da adição

Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das

incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas

vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de

uma das incógnitas seja zero.

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Dado o sistema:

Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que

multiplicar a primeira equação por – 3.

Agora, o sistema fica assim:

Adicionando as duas equações:

- 3x – 3y = - 60

+ 3x + 4y = 72

y = 12

Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor

de y encontrado:

x + y = 20

x + 12 = 20

x = 20 – 12

19

x = 8

Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12).

Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução será

sempre o mesmo.

Exercícios

1- Encontre o conjunto solução dos sistemas de equações pelo método da adição:

a)

2372

1352

yx

yx

b)

642

94

yx

yx

c)

1316

10216

sr

sr

d)

625

627

nm

nm

e)

ab

ba

35

313

2- Encontre o conjunto solução dos sistemas de equações pelo método da

substituição:

a)

1727

2154

yx

yx

b)

3235

853

ba

ba

c)

1054

1269

nm

nm

d)

2437

5112

qp

qp

20

ANEXOS

21

Gincana realizada por todos os PIBIDs que atuam na EEZJ – 17/10/2014

22

Alunos do PIBID-Matemática resolvendo exercícios propostos em sala de aula –

07/11/2014