symposium oostende 2006 n umeriek, grafisch en symbolisch wiskunde leren 18 augustus 2006

SYMPOSIUM OOSTENDE 2006

Numeriek, grafisch en symbolisch wiskunde leren

18 augustus 2006

10 jaar zinvol gebruik van ICT-hulpmiddel geïntegreerd in wiskundelessen SO

Situeren in BREDER vakdidactisch kader : accentverschuivingen in wiskunde-onderwijs.

Meer aandacht voor GEBRUIK van wiskunde.

Visie op “maatschappelijke” verwachtingen, effecten en doelen.

Meer CONSTRUCTIEVE aanpak. Vele VAKDIDACTISCHE aspecten aan

BRUIKBAAR hulpmiddel.

Representaties Numeriek,Grafisch, Symbolisch

“Beeld” van wiskunde : getallen, grafieken, formules

Ontwikkelen van begrip en vaardigheid : werken met GETALLEN: rekenkunde werken met GRAFIEKEN:meetkunde werken met FORMULES: algebra+ onderlinge verbanden

Afstand punt P(-4,7) tot rechte r :3x+4y+9=0

1. Meten2. Berekenen :Loodlijn b, snijpunt, afstand Algemene formule afstand

punt P(x1,y1) tot rechte r ax+by+c=0 AFLEIDEN

Afstand punt-rechte : formule afleiden

Afstand punt-rechte

Aansluiting concrete berekening met betekenis,zin van veralgemeende formule Organisatie van de berekeningen met reductievan de complexiteit van de algebra(parameters, berekening afstand zonder substitutievan de opgeloste k)

Richtingsvector r : (b,-a) Richtingsvector loodlijn l :

(a,b) Parametervergelijkingen

loodlijn l, coördinaten snijpunt S (x1+ k.a, y1+ k.b)

Afstand PS

Afstand punt-rechte : formule afleiden

22222 )( bakbak k = ? : uit S ligt op r

0)()( 11 ckbybkaxa

2211

ba

cbyaxk

Afstand punt-rechte : formule gebruiken

BISSECTRICESMeetkundige Plaats van alle punten even ver van twee rechtenPARABOOLMeetkundige plaats van alle punten even ver van een punt en een rechte

Representaties Numeriek,Grafisch, Symbolisch

Gebruik van hulpmiddelen voor maken van berekeningen, vervaardigen van figuren, grafieken en diagrammen, manipulaties met formules.

ICT-hulpmiddelen : digitale, electronische representatie

ICT : electronische representatie

NUMERIEK : “Floating point” van klassieke rekenmachine.

GRAFISCH : PIXELS op scherm worden verlicht. Welke ? Berekenen met numerieke module.

SYMBOLISCH Computer Algebra Formulemanipulatie : eigen software systeem

Numeriek (Getallen)

“Floating point” voorstelling in computers, rekentoestellen

Getal = “decimaal getal” met eindig aantal decimalen, afronden

Bruikbaar voor vele situaties Numerieke wiskunde (analyse,

lineaire algebra)

Numeriek / GRAFISCH

“Floating point” voorstelling in computers, rekentoestellen.

Gebruiken voor “berekenen” van GRAFIEKEN/grafische voorstellingen. Organisatie via vectoren en matrices.

Computerscherm = Matrix van “pixels” beschreven met coördinaten.

Ontwikkeling grafische software.

SYMBOLISCH : Computer Algebra

CAS Formulemanipulatie : SOFTWARE Gehele getallen zijn rijen symbolen Breuken zijn “koppels” gehele getallen Irrationale getallen : symbolen als “letters,symbolen” worden via voorgeprogrammeerde regels

gemanipuleerd (voorbeeld SOLVE(3x+y=4,x). De variabele “x” is hier gewoon een symbool

“Informatica” standpunt Numeriek,Grafisch, Symbolisch

ICT-hulpmiddelen : digitale, electronische representatie

Vanuit “informatica”standpunt :

Bernhard Kutzler (Oostende 2005)

Numerics versus Symbolics

HULPMIDDEL : inhoudelijk integreren in wiskundeonderwijs

verschillende representaties IN COMBINATIE gebruiken

Numerics AND Symbolics

GRAFISCHE REKENMACHINE + Formules zonder ICT

GRAFISCHE REKENMACHINE + CAS-systeem

Verschillende representaties gebruiken

verschillende representaties tegelijk gebruiken.

- niet eenzijdig (verbaal)-FORMEEL. - herwaardering van getallen en

grafische voorstellingen : “eenvoudiger”, “concreter”, “haalbare” voorstellingen waarmee toch al heel wat te leren is.

NUMERIEK/GRAFISCH : integreren in wiskundeonderwijs

sluit aan bij “visie”, “beeld” wiskundeonderwijs

- CONSTRUCTIEF voorbereiding op abstractere aanpak

- meer aandacht voor GEBRUIK van wiskunde (wiskunde “Queen and servant of sciences”)

GRAFISCH Rekentoestel

Grafisch rekentoestel als didactisch hulpmiddel voor tweede en derde graad

laat toe om (decimale) getallen en grafieken meer te gebruiken

- in combinatie met leren werken met algebra (formules)

- “kijken” naar getallen en grafieken - Hulpmiddel bij uitvoeren (genereren

tabellen, grafieken ...)

GETALLEN

GETALLEN in secundair onderwijs : werken met “reële” getallen zonder formele constructie van het systeem van de reële getallen

Decimale getallen zien als “benaderingen” in tabellen, rekenbladen, vectoren, matrices Voldoende voor analyseren en begrijpen van

veel situaties Toch aandacht voor breuken, irrationale

getallen ..

FUNCTIES

FUNCTIES via tabellen, grafieken en formules (voorschrift)

Volgorde : zonder FORMEEL functiebegrip al werken met (reële) functies

Verloop van elementaire reële functies : ZONDER formele theorie ANALYSE

Ervaring opdoen met begrippen (minimum, maximum, nulpunten...)

Gegeven data-punten beschrijven met functies (regressiemodellen)

Numeriek (Getallen)

Getal = “Decimaal” getal (40.5). Gebruikt voor kwantificeren van

probleem. Daarna georganiseerde analyse van

data via berekeningen en/of grafieken en (eenvoudige) algebra.

Wiskunde gebruiken (mathematiseren, wiskundige modellen ..)

Getallen en Grafieken GEBRUIKEN

In combinatie met (eenvoudige) formules

Mogelijkheden voor wiskundig minder “sterke” leerlingen.

Zingeving voor FORMULES

Manueel opsporen van het verband Controleer of ‘alle’ waarden uit de

tabel min of meer beantwoorden aan je gevonden formule.

Opsporen van het verband met het grafisch rekentoestel

Exponentieel verband tussen de tijd en het volume

Tijd t in minuten

Resterend volume olie in liter (V)

1 27600 2 25400 4 21500 7 16700

10 13000 12 11000 16 7900

Begeleid zelfstandig leren en werken in de derde graad secundair onderwijsmet de TI-83 (84) PlusGeert Delaleeuw

HULPMIDDEL : inhoudelijk

Cahier 6 - Ontwikkeling van het functiebegrip in de tweede graad

Cahier 1 - Mathematiseren met functies in de derde graad

Cahier 2 - Elementaire functies leren gebruiken als wiskundige modellen

www.t3vlaanderen.be

HULPMIDDEL : inhoudelijk

STATISTIEK “beschrijvend” , “grafisch” : zonder FORMEEL kansbegrip toch werken met kansen en “integralen” (als oppervlakten).

REGRESSIE om verbanden tussen data te beschrijven.

HULPMIDDEL : inhoudelijk

HULPMIDDEL : inhoudelijk

HULPMIDDEL : inhoudelijk

HULPMIDDEL : inhoudelijk

Cahier 3 - Regressie, een eerste kennismaking

Cahier 8 - Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen

Cahier 7 - Modelleren vanuit experimenteel verkregen data

HULPMIDDEL : inhoudelijk

VERANDERINGEN (Dynamisch syteem) beschrijven

Eerst DISCREET “beschrijvend” : numeriek, grafisch, formules

Overstap naar “Afgeleide in een punt” om verandering op 1 moment te beschrijven.

Calculus : werken met afgeleide functies en “calculus” zonder formeel limietbegrip toch werken met limieten.

Opbouw logistisch model

0.7(1 )10

P P

P

Logistisch Model r=0.7,K=10

1

1

(1 0.7(1 ))10

tt t

t tP

P P

P

P

Logistische groei (Verhulst / Pearl&Reed)

0

0.7

.7

0.7

1( )

11 ( 1)

1( )

1

1( )

11 ( 1)

0.6

( ) 1

1 ( 1).

5

0 1

1.

t

t

t

N te

N

N t

te

N te

Symbol Sense, Algebra en CAS

Band tussen verschillende representaties is belangrijk. Alleen grafisch en numeriek is een nadeel.

HULPMIDDEL : computeralgebra

Aansluiting met FORMULES ZINVOL in te schakelen in secundair

wiskundeonderwijs ? NIET vervanging voor LEREN van de

algebraïsche REKENREGELS of van de opbouw en zin van formele systemen

HULPMIDDEL : computeralgebra

WEL Hulpmiddel voor CORRECT en

BEWUST toepassen van gekende formele rekenregels

- in complexere problemen (oplossing deelprobleem)

- om te werken met parameters - om te werken met substituties

HULPMIDDEL : computeralgebra

WEL Gebruiken als CONTROLEMIDDEL

om inzicht te krijgen in basiselementen (substitutie, equivalentie van formules)

Alternatieven proberen, overschakelen naar andere representaties

HULPMIDDEL : computeralgebra

WEL Bijdrage bij verwerven van “symbol

sense” (zinvol gebruiken van formules om oplossingen te vinden voor problemen)

P. Drijvers : “Wat “a” is kan je niet weten”

HULPMIDDEL : computeralgebra

Situaties aanbieden waarin “symbol sense” kan groeien in directe relatie met conceptuele wiskunde. Vooral uitleggen wat de ZIN en kracht is en hoe het als hulpmiddel gehanteerd (geïnstrumentaliseerd) wordt.

Symbol Sense en Algebra

Rol van “letters” als onbekenden, variabelen, parameters …

Belangrijke elementen : « Gestalt » Keuzes maken

Grafisch + Computer Algebrain wiskunde-onderwijs

- algebra, calculus ... zijn op zich formele systemen, methoden om oplossingen te vinden

Gebruiken in COMBINATIE met grafische/numerieke representatie

Meer nadruk op zingeving en opzet van het systeem

Relativeren voor ingewikkelde puur mechanische oefeningen

Formules-Symbol Sense

Experimenteren met algebra en met diverse representaties

Hulpmiddel wordt INSTRUMENT (welke formule,procedure wanneer gebruiken ?)

Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten

Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten

Parametervergelijkingen van de rechten AB en CD neem een punt P (met parameter k) op AB neem een punt Q (met parameter l) op CD.PQ loodrecht op AB : PQ loodrecht op CD :k en l bepalen (2 vergelijkingen met 2 onbekenden) zo kennen we de punten P en Q en dus ook de lengte van PQ = d(AB,CD)

0 ABPQ

0 CDPQ

Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak

Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak

Vind een cartesiaanse vergelijking voor het vlak met parametervergelijkingen

vlak door P(6,9,1) met richtingen (-4,12,5) en (1,3,5)

srz

sry

srx

551

3129

46

Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak

We gebruiken de eerste twee vergelijkingen om op te lossen naar r en s : met CAS. Je kunt een stelsel invoeren in de SOLVE-functie

door de vergelijkingen te verbinden met "and". De variabelen die we willen berekenen uit dat stelsel plaatsen we tussen accolades.

Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak

Vervolgens substitueren we deze uitdrukkingen in de derde vergelijking,met | SUBSTITUTE.TUTE Eventueel werken we ook nog de noemers weg.

Het vlak heeft dus als vergelijking 45 x+25 y – 24 z – 471 = 0.

Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak

Conceptueel duidelijker methode voor eliminatie, met CAS uit te voeren. Band meetkundige context met algebraïsche operaties.

Vergt geen “technische” algebra en kan dus snel gebruikt worden in analytische ruimtemeetkunde

Later wordt duidelijk wat het voordeel is van andere algebraïsche methoden (o.a. rijherleiden, determinant …) vooral nuttig bij het opstellen van een “algemene formule” .

Niet te snel veralgemenen.

Logistisch Model r=0.7,K=10

1

1

(1 0.7(1 ))10

tt t

t tP

P P

P

P

Logistisch Model r,K

1

1

(1 (1 ))tt

t

t

t

Kr

P

P

P

PP

Onderzoek de evenwichten en stabiliteit voor K=1 (steeds mogelijk) en verschillende waarden van de parameter r.

De Strofoïde

De Strofoïde

De meetkundige plaats ontstaat als snijpunten van geassocieerde krommen. De klassieke werkwijze bestaat erin de parameter te elimineren uit het stelsel vergelijkingen van de geassocieerde krommen. Voor leerlingen is het echter natuurlijker eerst te zoeken naar de snijpunten. Je krijgt op die manier parametervergelijkingen van de kromme. Vaak lijdt dit echter tot zware berekeningen en is het elimineren van de parameter uit de parametervergelijkingen minder eenvoudig dan het elimineren uit het oorspronkelijke stelsel. Deze bezwaren vallen weg als we het rekenwerk kunnen overlaten aan een rekentoestel met computeralgebrasysteem.

De Strofoïde

We voeren de vergelijking van de cirkel en de rechte in en lossen op naar x en y.

. 

De Strofoïde

Aangezien de rechte en de cirkel twee snijpunten hebben, vinden we twee oplossingen (verbonden met "or"). We laten dan de kromme tekenen met deze parametervergelijkingen.

. 

ICT : didactisch gebruik

Moet “beheersbaar” blijven voor de leerkracht tijdens de les.

Gebruik als illustratie : vooral GRAFISCHE illustratie.

Leerkracht kan die ZELF (gedeeltelijk) ter beschikking stellen (ook zonder dat leerling beschikt over GRM)

Vergelijking zoeken raaklijn in een punt, of raaklijn aan ellips.

ICT : didactisch gebruik

Moet “beheersbaar” blijven voor de leerkracht tijdens de les.

Wings of Change, Teaching with the TI-92 Bärbel Barzel – Marie-Curie Gymnasium Düsseldorf, Duitsland

Integratie van ICT in het wiskundeonderwijs Anne Van Streun – Universiteit van Groningen, Nederland

ICT en manueel rekenwerk in de wiskundeles en in de evaluatie

Luc Gheysens – De Pleinschool, Kortrijk

ICT : didactisch gebruik

Leren gebruiken als INSTRUMENT bij oplossen van problemen.

Leerlingen kunnen zelf ervaring opdoen, controleren, op verschillende manieren voorstellen.

Computeralgebra, van "artefact" tot instrument

Paul Drijvers – APS, Freudental Instituut, Nederland

ICT : didactisch gebruik

Er blijft natuurlijk heel wat in wiskunde dat NIET met ICT gedaan wordt.

"If it is not necessary to use a computer/calculator, it is necessary not to use a computer/calculator."

(Helmut Heugl)

ICT : didactisch gebruik

”Gematigd” inschakelen van “hand-held” ICT systeem kan wiskunde-onderwijs verrijken en ondersteunen.

De machine doet uit zichzelf NIETS : om een resultaat te bereiken moet men weten welke opdrachten hiertoe leiden. Dat vraagt kennis en inzicht van de gebruiker en dus uitleg van de LEERKRACHT

ICT : didactisch gebruik

Materiaal beschikbaar voor inschakeling van GRAFISCH REKENTOESTEL.

EVOLUTIE en experimenteren met gebruik van geïntegreerd toestel met goede keuzes voor interface

…. TI-Nspire

Didactisch HULPMIDDEL

POSITIEVE bijdrage Bredere visie op doel

wiskundeonderwijs : ook aandacht voor “gebruik” van wiskunde

Constructieve aanpak en meer gericht op ZINgeving van abstractie

Meer ZINvol onderwijs …

Naar 10de symposium

Aansluitend bij … 100 jaar Vliebergh-Sencie Centrum

K.U.Leuven

Symposium in LEUVEN op 22,23,24 augustus 2007

Dank …

Voor uw belangstelling en positieve atmosfeer

Aan de medewerkers van het hopelijk gevarieerde programma

Voor de gastvrije ontvangst door KHBO en de mensen die gezorgd hebben voor organisatie en de prima maaltijden ….