system ósemkowy i szesnastkowy

System ósemkowy i szesnastkowy

M@rek PudełkoUrządzenia Techniki Komputerowej

1

Spis treści

• System ósemkowy• System szesnastkowy

2

SYSTEM ÓSEMKOWY

3

System ósemkowy

• Ósemkowy system zapisu posiada 8 cyfr do zapisu liczb:• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

• Kiedy cyfra ma być większa niż 7 zmieniamy wartość tej i następnej pozycji.

7

+ 1

1 0

4

Oktalny system zapisu

• Liczba w systemie ósemkowym ma postać:ci ... c1 c0 gdzie ci = 0 ..7

• 164516051372501

5

Przeliczanie z dziesiętnego na ósemkowy

• Liczbę binarną z dziesiętnej obliczamy wg schematu:

Dzielna Dzielnik Reszta z dzielenia

77 :8

6

Przeliczanie z dziesiętnego na ósemkowy

• Liczbę binarną z dziesiętnej obliczamy wg schematu:

Dzielna Dzielnik Reszta z dzielenia

77 :8 5

9

7

Przeliczanie z dziesiętnego na ósemkowy

• Liczbę binarną z dziesiętnej obliczamy wg schematu:

Dzielna Dzielnik Reszta z dzielenia

77 :8 5

9 :8 1

1

8

Przeliczanie z dziesiętnego na ósemkowy

• Liczbę binarną z dziesiętnej obliczamy wg schematu:

Dzielna Dzielnik Reszta z dzielenia

77 :8 5

9 :8 1

1 :8 1

0 STOP

9

Przeliczanie z dziesiętnego na ósemkowy

• Liczbę binarną z dziesiętnej obliczamy wg schematu:

Dzielna Dzielnik Reszta z dzielenia

77 :8 5

9 :8 1

1 :8 1

0

7710=1158

10

Przeliczanie - ćwiczenia1) 452) 723) 814) 775) 196) 867) 268) 379) 8810) 54

11) 5912) 2813) 6514) 9315) 9116) 4117) 9718) 6819) 3920) 24

21) 2922) 5823) 8524) 7325) 6926) 4627) 7228) 7129) 6430) 32

11

Przeliczanie z ósemkowego na dziesiętny

• Każdą liczbę dziesiętną możemy przedstawić jako sumę liczb oktalnych.

• Liczbę dziesiętną z oktalnej obliczamy ze wzoru:• n= ci*8i + ... + c1*81 + c0*80

n= ci*8i + ... + c1*81 + c0*80

Wartość pozycji Waga pozycji12

1 2 72 1 0 waga

• Jaka liczbą dziesiętną jest 127 ósemkowe?

Przeliczanie z ósemkowego na dziesiętny

13

1 2 72 1 0 waga

1* 82+ 2* 81+ 7* 80

• Jaka liczbą dziesiętną jest 127 ósemkowe?

Przeliczanie z ósemkowego na dziesiętny

14

1 2 72 1 0 waga

1* 82+ 2* 81+ 7* 80

1 *64 + 2 *8 + 7 * 1

• Jaka liczbą dziesiętną jest 127 ósemkowe?

Przeliczanie z ósemkowego na dziesiętny

15

1 2 72 1 0 waga

1* 82+ 2* 81+ 7* 80

1 *64 + 2 *8 + 7 * 164+ 16 + 7 = 87

• Jaka liczbą dziesiętną jest 127 ósemkowe?

Przeliczanie z ósemkowego na dziesiętny

16

1 2 72 1 0 waga

1* 82+ 2* 81+ 7* 80

1 *64 + 2 *8 + 7 * 164+ 16 + 7 = 87

1278 = 8710

• Jaka liczbą dziesiętną jest 127 ósemkowe?

Przeliczanie z ósemkowego na dziesiętny

17

Przeliczanie - ćwiczenia1) 1452) 1723) 1614) 1775) 2196) 2517) 1268) 1379) 16610) 154

11) 15912) 22513) 61514) 11315) 21116) 14117) 21718) 16119) 31120) 124

21) 21922) 15623) 33524) 17325) 15126) 41627) 72128) 47129) 61430) 321

18

Porównanie liczb systemów 2,8,10System dziesiętny System binarny System ósemkowy

0 000 0

1 001 1

2 010 2

3 011 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 10

9 1001 11

10 1010 12

11 1011 13

12 1100 14

13 1101 15

14 1110 16

15 1111 1719

Przeliczanie systemu ósemkowego na binarny

• Liczbę ósemkową rozdzielamy na poszczególne cyfry.

20

1278

1 2 7

Przeliczanie systemu ósemkowego na binarny

• Każdą z nich zamieniamy oddzielnie na postać binarną.

21

1278

1 2 7

001 010 111

Przeliczanie systemu ósemkowego na binarny

• Uzyskane liczby binarne scalamy w jedną. Zera z przodu usuwamy.

22

1278

1 2 7

001 010 111

1 010 111

1278 = 10101112

Zamiana liczby binarnej na oktalną

• Liczbę binarną rozdzielamy na trójki cyfr (zaczynając od strony prawej).

• Jeśli pierwsza grupa ma mniej cyfr uzupełniamy je z przodu zerami.

23

101010012

10 101 001

010 101 001

Zamiana liczby binarnej na oktalną

• Następnie każdą z grup zamieniamy oddzielnie na liczbę ósemkową.

24

101010012

010 101 001

2 5 1

Zamiana liczby binarnej na oktalną

• Uzyskane cyfry scalamy w jedną liczbę ósemkową.

25

101010012

010 101 001

2 5 1

2518

101010012=2518

Przeliczanie - ćwiczenia1) 101010102) 100101013) 101011104) 110101005) 100001116) 100011117) 101111008) 100111019) 1001110010) 10011001

11)10111010

12) 1111111013) 1000000114) 1100110015) 1010111116) 1011111117) 1100000018) 1111000019) 1000111020) 10010100

21) 1111111122) 1101010123) 1000110024) 1010000025) 1000100026) 1001000127) 1010001028) 1110001129) 1001100130) 11111100

26

SYSTEM SZESNASTKOWY

27

System szesnastkowy

• Szesnastkowy system zapisu posiada 16 cyfr do zapisu liczb:• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, A, B, C, D, E, F

• Kiedy cyfra ma być większa niż 15 zmieniamy wartość tej i następnej pozycji.

F

+ 1

1 0

28

Porównanie liczb systemów 2,8,10,16System dziesiętny System szesnastkowy System binarny System ósemkowy

0 0 0000 00

1 1 0001 01

2 2 0010 02

3 3 0011 03

4 4 0100 04

5 5 0101 05

6 6 0110 06

7 7 0111 07

8 8 1000 10

9 9 1001 11

10 A 1010 12

11 B 1011 13

12 C 1100 14

13 D 1101 15

14 E 1110 16

15 F 1111 17 29

Heksadecymalny system zapisu

• Liczba w systemie szesnastkowym ma postać:ci ... c1 c0 gdzie ci = 0 ..F

• 1645, A605, 1F, 72, E01• Liczbom od 10 do 15 odpowiadają litery od A

do F.

30

Przeliczanie z dziesiętnego na szesnastkowy

• Liczbę szesnastkową z dziesiętnej obliczamy wg schematu:

Dzielna Dzielnik Reszta z dzielenia

134 :16

31

Przeliczanie z dziesiętnego na szesnastkowy

• Liczbę szesnastkową z dziesiętnej obliczamy wg schematu:

Dzielna Dzielnik Reszta z dzielenia

134 :16 6

8

32

Przeliczanie z dziesiętnego na szesnastkowy

• Liczbę szesnastkową z dziesiętnej obliczamy wg schematu:

Dzielna Dzielnik Reszta z dzielenia

134 :16 6

8 :16 8

0 STOP

33

Przeliczanie z dziesiętnego na szesnastkowy

• Liczbę szesnastkową z dziesiętnej obliczamy wg schematu:

Dzielna Dzielnik Reszta z dzielenia

134 :16 6

8 :16 8

0 STOP

34

13410 = 8616

Przeliczanie - ćwiczenia1) 1452) 1723) 1814) 1775) 1196) 1817) 1268) 1379) 18810) 154

11) 15912) 12813) 16514) 19315) 19116) 14117) 19718) 16819) 13920) 124

21) 12922) 15823) 18524) 17325) 16926) 14627) 17228) 17129) 16430) 132

35

Przeliczanie z szesnastkowego na dziesiętny

• Każdą liczbę dziesiętną możemy przedstawić jako sumę liczb heksadecymalnych.

• Liczbę dziesiętną z heksadecymalnej obliczamy ze wzoru:• n= ci*16i + ... + c1*161 + c0*160

n= ci*16i + ... + c1*161 + c0*160

Wartość pozycji Waga pozycji36

F 5 A2 1 0 waga

• Jaką liczbą dziesiętną jest szesnastkowe F5A?

Przeliczanie z szesnastkowego na dziesiętny

37

F 5 A2 1 0 waga

F* 162+ 5* 161+ A* 160

• Wyliczamy poszczególne liczby, jako iloczyn cyfry i odpowiedniej potęgi 16.

Przeliczanie z szesnastkowego na dziesiętny

38

F 5 A2 1 0 waga

F* 162+ 5* 161+ A* 160

15* 162+ 5* 161+ 10* 160

• Zamieniamy liczby z systemu szesnastkowego na ich postać dziesiętną,

Przeliczanie z szesnastkowego na dziesiętny

39

F 5 A2 1 0 waga

F* 162+ 5* 161+ A* 160

15* 162+ 5* 161+ 10* 160

15 *256+ 5 *16 + 10 * 1

• Zamieniamy potęgi 16 na liczbę dziesiętną,

Przeliczanie z szesnastkowego na dziesiętny

40

F 5 A2 1 0 waga

F* 162+ 5* 161+ A* 160

15* 162+ 5* 161+ 10* 160

15 *256+ 5 *16 + 10 * 13840+ 80+ 10 =3930

• Uzyskane sumy cząstkowe dodajemy do siebie.

Przeliczanie z szesnastkowego na dziesiętny

41

F 5 A2 1 0 waga

F* 162+ 5* 161+ A* 160

15* 162+ 5* 161+ 10* 160

15 *256+ 5 *8 + 10 * 13840+ 80+ 10 =3930

• Jaka liczbą dziesiętną jest F5A szesnastkowe ?

Przeliczanie z szesnastkowego na dziesiętny

42

F5A16 = 393010

Przeliczanie - ćwiczenia1) 2452) 1723) 1814) 1775) 2196) 2017) 1268) 1379) 18810) 254

11) 15912) 22813) 16514) 19315) 19116) 24117) 19718) 16819) 23920) 224

21) 22922) 15823) 18524) 17325) 16926) 24627) 17228) 17129) 16430) 232

43

Przeliczanie systemu szesnastkowego na binarny

• Liczbę szesnastkową rozdzielamy na poszczególne cyfry.

44

5FA16

5 F A

Przeliczanie systemu szesnastkowego na binarny

• Każdą z nich zamieniamy oddzielnie na postać binarną.

45

5FA16

5 F A

0101 1111 1010

Przeliczanie systemu szesnastkowego na binarny

• Uzyskane liczby binarne scalamy w jedną. Zera z przodu usuwamy.

46

5FA16

5 F A

0101 1111 1010

101 1111 1010

5FA16 = 10111111010 2

Zamiana liczby binarnej na szesnastkową

• Liczbę binarną rozdzielamy na czwórki cyfr (zaczynając od strony prawej).

• Jeśli pierwsza grupa ma mniej cyfr uzupełniamy je z przodu zerami.

47

1010111012

1 0101 1101

0001 0101 1101

Zamiana liczby binarnej na szesnastkową

• Następnie każdą z grup zamieniamy oddzielnie na liczbę szesnastkową.

48

1010111012

0001 0101 1101

1 5 D

Zamiana liczby binarnej na szesnastkową

• Uzyskane cyfry scalamy w jedną liczbę szesnastkową.

49

1010111012

0001 0101 1101

1 5 D

15D16

1010111012 = 15D16

Przeliczanie - ćwiczenia1) 101010102) 100101013) 101011104) 110101005) 100001116) 100011117) 101111008) 100111019) 1001110010) 10011001

11)10111010

12) 1111111013) 1000000114) 1100110015) 1010111116) 1011111117) 1100000018) 1111000019) 1000111020) 10010100

21) 1111111122) 1101010123) 1000110024) 1010000025) 1000100026) 1001000127) 1010001028) 1110001129) 1001100130) 11111100

50

Przeliczanie z ósemkowego na szesnastkowy i odwrotnie

• Nie ma prostego algorytmu na takie przekształcenie.

• Można zastosować przeliczenie na postać binarną jako pośrednią.

51

Przeliczanie z ósemkowego na szesnastkowy

52

13758

1 3 7 5001 011 111 101

10111111012

0010 1111 11012 F D

2FD16

• Liczbę ósemkową zamieniamy na trójki binarne.• Scalamy je w jedną liczbę binarną.• Tę liczbę zamieniamy na czwórki binarne z których uzyskujemy

liczbę szesnastkową.

Przeliczanie z szesnastkowego na ósemkowy

53

2FD16

2 F D0010 1111 1101

10111111012

001 011 111 1011 3 7 5

13758

• Liczbę szesnastkową zamieniamy na czwórki binarne.• Scalamy je w jedną liczbę binarną.• Tę liczbę zamieniamy na trójki binarne z których uzyskujemy

liczbę ósemkową.