systemes echantillonnés
Post on 01-Jun-2018
232 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/9/2019 systemes echantillonns
1/160
Dpartement de Gnie Electrique
5me Anne GE
AUTOMATIQUE
SYSTEMES ECHANTILLONNES
Edition 2008 J.M RETIF
Institut National des Sciences Appliques de Lyon
-
8/9/2019 systemes echantillonns
2/160
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
3/160
INSA 5GE JM RETIF Sommaire
i
CHAPITRE 1
STABILITE D'UN SYSTEME ASSERVI ECHANTILLONNE
1. GENERALITES
. .......................................................................................................... 1
2. STABILITE D'UNE TRANSMITTANCE EN Z. ................................................................ 12.1. Ples simples rels ............................................................... .......................................................... 1
2.2. Ples complexes........................................................... ............................................................. ..... 1
2.3. Ples multiples.............. ........................................................... ...................................................... 2
3. STABILITE D'UN PREMIER ORDRE. ........................................................................... 2
4. STABILITE D'UN SECOND ORDRE. ............................................................................. 54.1. Etude d'un second ordre en boucle ferme. ........................................................ ........................... 5
4.2. Zone de stabilit dans le plan paramtrique.............................................. ..................................... 7
5. CERCLE DE STABILITE.............................................................................................. 8
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
4/160
INSA 5GE JM RETIF Sommaire
ii
CHAPITRE 2
COMMANDE PAR MODELE INTERNE
1. INTRODUCTION...............................................................................................................11
1.1. Principe de la commande par modle interne. .........................................................................................111.2. Analyse de la commande par modle interne en prsence de perturbations. ...........................................12
2. COMPORTEMENT EN ASSERVISSEMENT ...............................................................142.1. Le numrateur du modle du processus est simplifiable..........................................................................152.2. Le numrateur du modle du processus nest pas simplifiable................................................................162.3. Le numrateur du modle du processus est partiellement simplifiable...................................................16
3. REJET DES PERTURBATIONS...................................................................................... 173.1. Rejet de la perturbation sur la sortie. .......................................................................................................173.2. Rejet dun bruit de mesure. ................................................................ ......................................................193.3. Rejet de la perturbation sur la commande................................................................................................19
4. ROBUSTESSE DUNE COMMANDE PAR MODELE INTERNE..............................194.1. Forme gnrale de la commande..............................................................................................................194.2. Robustesse................................................................................................................................................21
5. IMPLEMENTATION NUMERIQUE..............................................................................23
6. EXEMPLES.........................................................................................................................256.1. Exemple 1. ...............................................................................................................................................256.2. Exemple 2. ...............................................................................................................................................29
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
5/160
INSA 5GE JM RETIF Sommaire
iii
CHAPITRE 3.
COMMANDE RST
1. INTRODUCTION. .................................................................................................................... 331.1. Principe de la commande RST............................................................. .................................................... 331.2. Ralisation du correcteur. .............................................................. ......................................................... . 341.3. Reprsentation discrte du processus................................... ............................................................ ........ 351.4. Ides directrices pour la synthse d'un correcteur RST............................................................................ 36
2. COMMANDE POUR UN PROCESSUS A ZEROS INSTABLES....................................................... 372.1. Dynamique en asservissement. ............................................................ .................................................... 372.2. Dynamique en rgulation. ............................................................. ........................................................... 382.3. Mise en uvre de la mthode.................................................................................................................. . 39
3. COMMANDE POUR UN PROCESSUS A ZEROS STABLES. ......................................................... 413.1. Dynamique en asservissement ............................................................ ..................................................... 413.2. Dynamique en rgulation. ............................................................. ........................................................... 42
3.3. Mise en uvre de la mthode.................................................................................................................. . 43
4. PROCESSUS AVEC DES ZEROS STABLES ET INSTABLES......................................................... 444.1. Dynamique en asservissement. ............................................................ .................................................... 444.2. Dynamique en rgulation. ............................................................. ........................................................... 444.3. Mise en uvre de la mthode.................................................................................................................. . 454.4. Rsum pour la rsolution de lquation de Bezout................................................................................. 46
5. CALCUL DE LA ROBUSTESSE DUNE COMMANDE RST. ......................................................... 485.1. Influence des perturbations sur la sortie................................................................................................... 485.2. Influence des perturbations sur la commande........................................................... ............................... 495.3. Utilisation des fonctions de sensibilits pour prcaractriser R(z) et S(z)................................ ............... 50
6. RESUME POUR LA SYNTHESE DUN CORRECTEUR RST. ...................................................... 516.1. Identification du processus............................................................................... ........................................ 516.2. Prise en compte du cahier des charges de lutilisateur......... ........................................................... ......... 51
7. SYNTHESE ROBUSTE DUNE COMMANDE RST. ...................................................................... 537.1. Dfinition dun gabarit.................... ................................................................ ......................................... 537.2. Procdure de synthse................................................................ .............................................................. 54
8. EXEMPLES............................................................................................................................. 568.1. Exemple 1:commande RST d'un processus zros instables .................................................................. 568.2. Exemple 2: commande RST dun processus zros stables...................... .............................................. 63
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
6/160
INSA 5GE JM RETIF Sommaire
iv
CHAPITRE 4
REPRSENTATION DTAT DUN SYSTME CHANTILLONN
1. RAPPEL SUR LA REPRESENTATION DETAT CONTINU. ......................................................... 691.1. Solution analytique des quations dtat........... ..................................................................... .................. 701.2. Calcul de la matrice de transition................................................................. ............................................ 711.3. Rappel sur ltablissement dun systme dtat partir dun bond graph. .............................................. 71
2. ETABLISSEMENT DES EQUATIONS DETAT DISCRETES......................................................... 742.1. Echantillonnage sans lment de maintien................................................................ ............................... 742.2. Echantillonnage avec un bloqueur dordre zro....................................................... ................................ 78
3. ASSOCIATION DE SYSTEMES DISCRETS. ............................................................................... 833.1. Mise en srie de deux systmes chantillonns. ............................................................................... ....... 83
3.1.1. Etablissement des nouvelles quations dtat. 833.1.2. Application aux systmes retards. 84
3.2. Mise en parallle de deux systmes chantillonns. ................................................................................ 86
4. SOLUTION DES EQUATIONS DETAT...................................................................................... 874.1. Solution numrique......................................................... ................................................................ ......... 874.2. Solution analytique pour le vecteur dtat. ........................................................... ................................... 874.3. Solution analytique pour le vecteur de sortie. ............................................................ .............................. 88
5. REPONSE IMPULSIONNELLE. ................................................................................................ 895.1. Calcul formel...................................................................................... ...................................................... 895.2. Calcul numrique. .......................................................... ................................................................. ......... 89
5.3. Suite de pondration. ....................................................... ............................................................... ......... 91
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
7/160
INSA 5GE JM RETIF Sommaire
v
CHAPITRE 5
CHANGEMENT ENTRE LES FORMALISMES DTAT ET DETRANSMITTANCE
1. CAS MONOVARIABLE POUR UNE TRANSMITTANCE EN P..................................................... 931.1.Gnralits. ................................................... ........................................................... ........................................ 931.2.Mthode des modes. ........................................................ .............................................................. .................. 93
1.2.1. Cas de ples rels distincts. 941.2.2. Cas de ples complexes conjugus. 941.2.3. Cas dun ple multiple. 95
1.3.Dcomposition canonique............................................... ............................................................... .................. 96
2. CAS MONOVARIABLE POUR UNE TRANSMITTANCE EN Z. ................................................... 982.1.Gnralits. ................................................... ........................................................... ........................................ 98
2.2.Mthode des modes. ........................................................ .............................................................. .................. 982.2.1. Cas de ples distincts rels ou complexes. 982.2.2. Cas dun ple multiple. 101
3. SYSTEME MULTIVARIABLE DEFINI PAR UNE MATRICE DE TRANSFERT............................ 1053.1.Mthode de GILBERT.................................................................................... ............................................... 105
4. PASSAGE DES EQUATIONS DETAT A UNE MATRICE DE TRANSFERT................................. 1084.1.Prambule. ............................................................... ............................................................ .......................... 1084.2.Algorithme de LEVERRIER. .......................................................... .............................................................. 108
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
8/160
INSA 5GE JM RETIF Sommaire
vi
CHAPITRE 6
COMMANDE PAR RETOUR D'ETAT
1. GENERALITES....................................................................................................................1151.1.Notion dobservabilit dun systme. ................................................................... .........................................1161.2.Notion de gouvernabilit dun systme. ................................................................ ........................................1171.3.Principe de la commande par retour dtat. ...................................................................................................119
2. PLACEMENT DE POLES DANS LE CAS MONO VARIABLE. ...................................................1212.1.Dcomposition canonique..............................................................................................................................1212.2.Dcomposition d'tat quelconque. .......................................................... .......................................................122
2.2.1. Calcul de K via une matrice M de transformation. 1222.2.2. Calcul de K par la mthode de Bass-Gura. 124
2.2.3. Calcul de la matrice L. 1252.2.4. Etapes pour la dtermination de K et L 126
2.3.Exemple 1 : systme monovariable du troisime ordre. ................................................................ ................127
3. RETOUR DETAT POUR LES SYSTEMES MULTIVARIABLES. ............................................... 1323.1.Position du problme. ....................................................... ............................................................ .................1323.2.Etapes de calcul de la matrice de gain K. ......................................................................................................134
4. EXEMPLE:COMMANDE PAR RETOUR DETAT DUNE COLONNE A DISTILLER. ............... 1394.1.Contexte technologique. ................................................................................................................................1394.2.Modlisation de la colonne distiller. ............................................................... ............................................1404.3.Calcul du retour dtat. ..................................................................................................................................1414.4.Calcul de la matrice L....................................................................................................................................147
4.5.Simulations. ................................................................ .................................................................. .................148
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
9/160
INSA GE JM RETIF Stabilit d'un systme asservi chantillonn
1
CHAPITRE 1
STABILITE D'UN SYSTEME ASSERVI ECHANTILLONNE
1. GENERALITES.
Le concept de stabilit recouvre des domaines forts divers, nous le rencontrons aussi bien dans le
domaine des sciences humaines (stabilit d'une institution, d'une civilisation...) que dans celuides sciences physiques.Il est difficile de dfinir prcisment le concept de stabilit nanmoins il est possible d'en avoirune perception empirique. Nous pouvons en effet la caractriser par la propension qu'a unsystme garder, ou modifier lgrement son quilibre, par rapport un environnement
perturbateur. Le fait de "garder un quilibre" peut paratre floue, afin de prciser cette notion,nous prendrons l'exemple suivant.Soit une bille, reposant sur une surface et ayant une position stable au dpart.
S1 S2 S3
Selon la forme de cette surface (S1, S2 ou S3), il est simple d'admettre intuitivement, que parrapport une perturbation finie (vibration de la surface ou vent), la bille reprendra une positiond'quilibre aprs perturbation que sur les surfaces S2 et S3.
Notons que pour cet exemple :
- Dans le cas 2, la bille reprendra la mme position que prcdemment dans un tempsfini, ici la stabilit est dite asymptotique.
- Dans le cas 3, la bille se stabilise sur une autre position d'quilibre, la stabilit est ditesimple.
2. STABILITE D'UNE TRANSMITTANCE EN Z.
La stabilit d'une transmittance en z se ramne, comme dans le cas continu, l'tude des valeursprises par ses ples. Une approche naturelle est d'tudier la rponse une impulsion deKRONECKER.Trois cas sont distinguer :
2.1.Ples simples rels
Ici la dcomposition de H(z) en lments simples donne :
H z Az
z a( ) ....... .........= + + dont l'original dans le temps vaut : h(k) = + A ak+
Il est clair que H(z) sera stable si lim ( )h kk
=
0 c'est dire si a< 1
2.2.Ples complexes.
S'il existe des ples complexes ils sont conjugus puisque les coefficients du dnominateur sontrels.
( )( ) ( )( )H z B
z
z j z j( ) .......
. . ..........= +
+ +
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
10/160
INSA GE JM RETIF Stabilit d'un systme asservi chantillonn
2
En posant a et arctg= + =
2 2
l'lment simple correspondant devient :( ) ( )
H zB
j
z
z a e z a ej j( ) .......
. . . . ..........
. .= +
+
2
Dont l'original dans le temps vaut : ( )h k B a kk( ) .... . .sin .= +
Pour que h(k) tende vers 0 lorsque n tend vers l'infini il faut que a< 1dans le cas contraire H(z) est instable.
2.3.Ples multiples.
S'il apparait un ple d'ordre r
( ) ( ) ( ) ( )H z A
z
z aA
z
z aA
z
z aA
z
z ar r r r r r( ) .... .... ...= +
+
+
+ +
+ 1 1 2 2
Calculons l'original dans le temps de( )
z
z a
r
pour cela utilisons la mthodes des rsidus.soit:
( ) ( )z z
z ar sidus z
z
z ar
kr
les poles
=
1 1
Le rsidus au ple se dtermine par la relation( )
rr
d
dzza
r
rk=
1
1
1
1!.
ce qui donne pour une multiplicit d'ordre r un rsidus prenant l'expression suivante:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )r
k
kk k k k r aa
k r=
+ +1
1 2 3 1 1!. . . ..... . .
La rponse impulsionnelle aura pour expression: h k T) C ark k r
( . .= + +
1
1
et ne sera stable que si a< 1Thorme.
Nous pouvons donc conclure que quelque soit la forme du ou des ples, si ceux ci sont l'intrieur d'un cercle unit le systme sera stable.En fait ce thorme prsente d'une manire diffrente la condition de stabilit d'unetransmittance continue. Dans le plan des p la stabilit pour p = r + j c s'exprime par r < 0 ce quicorrespond avec le changement de variable z = eT.p | z | < 1.
3. STABILITE D'UN PREMIER ORDRE.
Afin d'analyser la stabilit correspondant un ple rel, nous allons illustrer notre propos en
tudiant la stabilit d'un premier ordre. Considrons un premier ordre continu dont la commandese fait par une simple action proportionnelle, conformment au schma bloc figure 3.1.
1
1 1+T p.1- -e
p
Tp.E
+
-
W UY
K
Bloqueur Processus
E
Figure 3-1.
Le comportement discret du processus est donn par: H z Y zU z
ep T pz
T p( ) ( )
( ).
..= =
+
1 11 1
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
11/160
INSA GE JM RETIF Stabilit d'un systme asservi chantillonn
3
ce qui donne en posant =
e
T
T1 ( )
H zz
( )=
1
.
La fonction de transfert en boucle ferme sera:( )
( )( )
( )( )
( )
( )
.
.
.z
Y z
W z
K
z K
K
z a= =
1
1
1
avec ( )a K= . 1
Analyser la stabilit de cette fonction revient calculer la valeur du ple z=a, s'il est comprisentre zro et un, le systme sera stable, et instable dans le cas contraire. Afin de vrifier lacondition de stabilit nous allons tudier la rponse impulsionnelle pour sept valeurs diffrentesde l'action proportionnelle K (voir figure(3-2)).
Cette rponse pour expression: ( ) ( )
y k K a k( ) . .= 1 1 Nous prendrons pour l'application numrique =0,7, pour diffrentes valeurs du gain K lesrsultats algbriques sont rsums dans le tableau ci dessous, et les rponses temporelles sur lafigure 3-2.
Cas K a (z) y(k)1 -2 1,3
0 6
1 3
,
,z
( ) 0 6 1 3 1, . , k
2 -1 1 0 3
1
,
z
( ) 0 3 1 1, . k
3 1 0,4 0 3
0 4
,
,z
( )0 3 0 4 1, . , k
4 2,333 0 0 7,
z
( )0 7 0 1, . k
5 4 -0,5 1 2
0 5
,
,z + ( )
( )1 2 0 5
1, . , k
6 5,666 -1 1 7
1
,
z + ( )( )
1 7 11
, . k
7 6 -1,1 18
11
,
,z + ( )
( )1 8 11
1, . , k
Cet exemple corrobore videment les conditions thoriques de stabilit, on peut remarquer quelorsque le ple est compris entre 0 et -1 la rponse est oscillatoire. Il faudra donc se garderlorsque l'on aura le choix des ples en boucle ferme de les placer dans cet intervalle.Remarque importante.
Dans l'intervalle 0 +1 le ple z=a correspond par exemple l'lment simplez
z a, sa dynamique
a
k
correspond au comportement discret d'un premier ordre continu prcd d'un bloqueur d'ordrezro.
En effet sachant que zp
z
z e
T
1
1
1
+
=
.
. nous voyons que la dimension du ple est a e
T
=
Lorsque a est proche de 1 la constante de temps est longue, pour la valeur limite a=1 nousobtenons un chelon. Par contre lorsque le ple a est proche de 0 la constante de temps est faible la limite elle est nulle et nous avons un comportement typerponse pile.
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
12/160
INSA GE JM RETIF Stabilit d'un systme asservi chantillonn
4
Rponse impulsionnelle.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.05
0.1
0.15
0.20.25
0.3
0.35Cas 3 a=0,4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0Cas 2 a=1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.40.5
0.6
0.7Cas 4 a=0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5-4.5
-4-3.5
-3-2.5
-2
-1.5-1
-0.5
0
Cas 1 a=1,3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Cas 5 a = -0,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Cas 6 a= -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4Cas 7 a = - 1,1
k k
y(k) y(k)
y(k)y(k)
k k
y(k) y(k)
kk
y(k)
k 1234567
1
Re
Im
Plan des ples
Figure 3-2.
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
13/160
INSA GE JM RETIF Stabilit d'un systme asservi chantillonn
5
4. STABILITE D'UN SECOND ORDRE.
4.1.Etude d'un second ordre en boucle ferme.
Notre propos est ici de montrer la relation qu'il y a entre la position d'une paire de plescomplexes dans le plan complexe et l'allure de la rponse impulsionnelle.
Nous oprerons comme dans le paragraphe prcdent en tudiant la stabilit par rapport une
action proportionnelle conformment au schma bloc figure 4.1.
+
-
W U Y
K
Processus
Figure 4.1
008 0 02
1 1 3 0 4
1 2
1 2, . , .
, . , .
.z .z
z z
- -
- -+
- +
La fonction de transfert en boucle ferme pour une priode d'chantillonnage de une secondeprend pour expression:
( )( ) ( )
( )( )
( )
. , . , .
. , . , . , , .z
Y z
W z
K z z
z K z K = =
+
+ + +
0 08 0 02
1 0 08 1 3 0 4 0 02
1 2
1 2
L'analyse de la stabilit revient tudier le polynme ( ) ( )z z K K 2 0 08 1 3 0 4 0 02+ + +. , . , , , . .Pour diffrentes valeurs du gain K nous avons calcul les ples, la pulsation propre et lecoefficient d'amortissement correspondant ainsi que la fonction de transfert en boucle ferme.Les rsultats obtenus sont reports dans le tableau suivant:
Cas Gain K ples 0 0 (z)1 0,5 0,63 +j.0,11
0,63 -j.0,110,48 0,92 0 04 0 01
1 1 26 0 41
1 2
1 2
, . , .
, . , .
z z
z z
+
+
2 1,3 0,59 +j.0,260,59 -j.0,26
0,59 0,72 0 104 0 026
1 1196 0 426
1 2
1 2
, . , .
, . , .
z z
z z
+
+
3 8 0,33 +j.0,670,33 -j.0,67
1,15 0,25 0 64 0 16
1 0 66 0 56
1 2
1 2
, . , .
, . , .
z z
z z
+
+
4 20 -0,15+j.0,88
-0,15-j.0,88
1,74 0,06 1 6 0 4
1 0 3 0 8
1 2
1 2
, . , .
, . , .
z z
z z
+
+ +
5 35 -0,75+j.0,73-0,75-j.0,73
2,36 -0,02 2 8 0 7
1 15 11
1 2
1 2
, . , .
, . , .
z z
z z
+
+ +
La position des ples ainsi que les rponses impulsionnelles correspondantes, figurent en 4.2.Nous constatons au vu de ces rponses que les oscillations sont d'autant plus importantes que lecoefficient d'amortissement est plus faible.
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
14/160
INSA GE JM RETIF Stabilit d'un systme asservi chantillonn
6
Rponse impulsionnelle.
0 5 10 15 20 25 30-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0 5 10 15 20 25 30-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0 5 10 15 20 25 30-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 5 10 15 20 25 30
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 5 10 15 20 25 30-15
-10
-5
0
5
-1
-0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Axe Rel
AxeImaginaire
Cas 1 Cas 2
Cas 3 Cas 4
Cas 5
1
2
3
45
Figure 4-2.
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
15/160
INSA GE JM RETIF Stabilit d'un systme asservi chantillonn
7
4.2.Zone de stabilit dans le plan paramtrique.
Soit une transmittance en z :
2az.1a2z
2bz1b
2z.2a1z.1a1
2z.2b1z.1b
++
+=
++
+, l'tude de la stabilit
revient tudier les deux ples de ce transfert.
Nous allons exprimer la condition de stabilit dans le plan a2 a1 et dfinir la zone l'intrieurede laquelle le systme est stable.Pour des ples rels:
Dans ce cas ( )a a12 24 0 >. ce qui implique aa
212
4< , dans le plan a2,a1 les ples se trouvent en
dessous de la parabole correspondante
za a a
11 1
224
2=
+ .
z a a a21 12 24
2= .
La stabilit s'exprime par les inquations suivantes:
< +
14
21 1
22a a a.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
16/160
INSA GE JM RETIF Stabilit d'un systme asservi chantillonn
8
Dans la zone ou la rponse est oscillatoire nous avons reprsent le rseau de courbes coefficient d'amortissement constant et pulsation fixe. La pulsation utilise est = .T .
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a2
a1
=0,9
0,8
0,7
0,6
0
,5
0,4
0,3
0,2
0,1
=9
10
8
10
7
10
6
10
5
10
4
10
3
10
2
10
1
10
PLAN DES PARAMTRES POUR UN SECOND ORDRE
Figure 4.4
5. CERCLE DE STABILITE.
Dans le cas continu pour qu'un systme soit stable, il est impratif que ses ples se trouvent dans
le demi-plan gauche. Pour les systmes discrets le changement de variable z eT.p= transformel'axe imaginaire en un cercle de rayon unit l'intrieur duquel, doivent se trouver les ples,
pour assurer la stabilit.
zneinstable Re
Im
Plan des ples cas continu
-r
c
-c
Im
Re
Plan des ples cas discret
Figure 5.1 Un ple double est associ une pulsation propre 0et un coefficient d'amortissement 0, Nousrappelons que pour les systmes continus les lieux amortissement constants se trouvent sur desdroites de mmes pentes, et le lieu de pulsation constante sur un cercle.
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
17/160
INSA GE JM RETIF Stabilit d'un systme asservi chantillonn
9
Nous allons maintenant voir comment se transforment ces lieux dans le cas discret.
Soit une paire de ples ( )( ) ( )( ) ( )p r j c p r j c p r p r c+ + + = + + +. ) . . . .2 2 22 (4-1)
= + +p2 0 022. . en identifiant on obtient les valeurs de r et de c soit:
r= . 0 et c= 021. (4-2)
Dans le domaine continu les ples de lquation (4-1) sont :
cjr1p = et cjr2p += (4-3)
Dans le cas discret nous aurons deux ples
z1=+j. et z2=-j. (4-4)
correspondant au polynme: P(z)=( ) ( )( )z z z z 1 2. ( )( ) ( )( )= + z j z j . . . (4-5)
P(z)=z z2 2 2 2 + +
. . (4-6)
Pour passer du plan des p au plan des z nous effectuerons la transformation :
z eT p= . = ( )cjrTe TcjeTre =
on obtient : ( ) ( )( )TcsinjTccosTre1z += ( ) ( )( )TcsinjTccosTre1z
= En identifiant (4-5) il vient:
( )T.ccos.T.re= et ( )T.csinT.re= soit en explicitant la pulsation propre et le coefficientd'amortissement par les relations (4-2):
= 2
01.T.0cos.
T..e 00
= 2
01.T.0sin.
T..e 00 (4-7)
Ces quations paramtriques permettent de construire dans le plan des ples les courbes
amortissement constant et pulsation constante.
-1-0.5 0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Im(z)
= 0,90,8
0,7
0,60,5
0,4
0,3
0,2
0,1
= 0
10.T
=
10.T
2.
10.T
3.
10.T
4.
10.T
5.10.T
6.
10.T
7.
10.T
8.
10.T
9.
10.T
10. Re(z)
Figure 5.2
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
18/160
INSA GE JM RETIF Stabilit d'un systme asservi chantillonn
10
Remarques sur le placement de ples.Des ples l'intrieur du cercle de rayon unitaire assurent de la stabilit du systme, cependantsi ces ples sont parties relles ngatives, ou si leurs composantes imaginaires sont tropimportantes, cela entrane des modes oscillatoires proscrire.Dans un contexte de placement de ples on limitera l'aspect oscillatoire en se fixant des bornes
pour le coefficient d'amortissement. En outre le temps de monte tant li la pulsation propre
celle-ci sera aussi limite entre une borne infrieure correspondant la vitesse la plus lentedsire et une limite haute au-del de laquelle il y a risque de saturation de la commande.
Par exemple pour une frquence d'chantillonnage de 10 Hz, si on limite le coefficientd'amortissement et la pulsation tel que:
0.7
-
8/9/2019 systemes echantillonns
19/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
11
CHAPITRE 2
COMMANDE PAR MODLE INTERNE
1. Introduction.
1.1.
Principe de la commande par modle interne.La commande par modle interne repose dans son principe sur une reprsentation explicite du
processus P(z) et de son modle )z(P
. Ainsi, pour compenser les erreurs de modlisation, la
commande traitera lcart de comportement entre le processus et son modle.Sur le schma bloc dcrit figure 1-1, le correcteur C(z) permet de dfinir la dynamique enasservissement et le filtre F(z) sera utilis pour dfinir la dynamique de rejet de la perturbationde sortie.
Ce type de commande fait partie de la classe des correcteurs qui traite sparment la consigne etla mesure, contrario, pour la commande classique (type PID) seul le signal dcart consignemesure est trait.
Dans ce cas, la commande est rgie par deux transmittances et la grandeur U(z) a pour
forme : )z(Y)z(2)z(W)z(1)z(U KK += (1-1)
Les deux transmittances )z(2et)z(1 KK permettent dobtenir des rponses diffrentes enasservissement et pour le rejet des perturbations.
Nous pouvons remarquer que lorsque )z()z(2et)z()z(1 KKKK == nous retrouvons lecorrecteur classique pour le quel la commande ( ))z(Y)z(W)z()z(U K = .Dans la structure de commande par modle interne nous avons :
P(z) Transmittance du processus.
)z(P
Modle du processus utilis pour la commande.
C(z) Correcteur pour fixer la dynamique en asservissement.F(z) Filtre de rejet des perturbations.
)z(P
)z(F
)z(P)z(C
Consigne W(z)
Sortie Y(z)
Commande U(z)
COMMANDE PAR MODELE INTERNE
+
+
-
-
)z(f
)z(
)z(
Processus
Figure 1-1
Lors de la synthse de ce type de commande, nous considrerons que les comportements du
processus P(z) et de son modle )z(P
sont identiques.
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
20/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
12
Il est immdiat de constater que lorsque )z(P)z(P =
la structure de la commande par
modle interne dcrite figure 1-1 devient :
Figure 1-2
Ainsi, dans son principe, la commande par modle interne repose sur une conception en boucleouverte. Dans ce cas le comportement dsir sera dtermin par la transmittance :
)z(P)z(C)z(W
)z(Y)z(
== (1-2)
La ncessit davoir, lquilibre, une sortie qui rejoint la valeur de consigne, impose lafonction de transfert )z( un gain statique unitaire.Ce n'est qu'une fois la commande dfinie que l'on pourra apprcier l'influence d'une erreur demodlisation sur les performances en asservissement et rgulation.
Remarque importante.
Il est clair, au vu de la structure de commande (figure 1-2), que celle-ci tant tablie en boucleouverte, le processus doit tre naturellement stable.Dans le cas contraire la commande par modle interne n'est envisageable qu'en ayant
pralablement stabilis le systme par une boucle de rgulation classique.
1.2.Analyse de la commande par modle interne en prsence de perturbations.
Dans un contexte rel, le modle )z(P
a un comportement diffrent du processus )z(P . En
outre, si celui-ci possde un capteur bruit par un signalb
W et se trouve affect dune
perturbation yW sur la sortie et dune perturbation uW sur la commande, le schma bloc est le
suivant :
)z(P
)z(F
)z(P)z(C
Consigne W(z)
Sortie Y(z)
Commande U(z)
COMMANDE PAR MODELE INTERNE
+
+
-
-
)z(f
)z(
)z(
Processus
yW
bW
uW
+
+++
+
+
Figure 1-3
)z(P)z(C
Consigne W(z) Sortie Y(z)U(z)
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
21/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
13
Nous nous retrouvons dans le cas classique o la sortie est rgie par 4 entres constitues de laconsigne et des 3 perturbations.Dans ce cas la fonction de transfert reliant la sortie Y(z) aux diffrentes entres aura la formesuivante :
( )
)z(yu)z(yb)z(yy)z(W
)z(P)z(P)z(F)z(C1
)z(P)z(C)z(Y +++
+
= (1-3)
Dans cette expression de Y(z), nous pouvons distinguer :La dynamique en asservissement.
( ))z(W
)z(P)z(P)z(F)z(C1
)z(P)z(C
+
(1-4)
Linfluence sur la sortie de la perturbation de sortie.
( ) yW
)z(P)z(P)z(F)z(C1
)z(P)z(F)z(C1)z(yy
+
+=
(1-5)
Linfluence sur la sortie dun bruit de mesure.
( ) bW
)z(P)z(P)z(F)z(C1
)z(P)z(F)z(C)z(yb
+
= (1-6)
Linfluence dune perturbation de commande.
( )( ) u
W)z(P)z(P)z(F)z(C1
)z(P)z(F)z(C1)z(P)z(yu
+
+=
(1-7)
Sachant que le modle )z(P
est imprcis, il est ncessaire de vrifier, lorsque celui-ci a un gain
statique diffrent du processus, que cela nentrane pas des erreurs rdhibitoires sur la grandeurde sortie.
Lors de la synthse de C(z), nous avons impos un gain statique unitaire au transfert )z( , ilvient donc : 1)1(P)1(C)1( ==
.
En outre le filtre F(z) doit avoir un gain statique unitaire afin de compenser sans biais, lerreurde modlisation.A partir des quations (1-4) (1-7) il vient :
Pour laspect asservissement.
)1(W)1(Y)1(W1)1(P)1(C1
)1(P)1(C)1(W
)1(P)1(F)1(C)1(P)1(F)1(C1
)1(P)1(C)1(Y =
+
=+
= (1-8)
Avec cette structure de commande, le correcteur a un gain statique gal linverse du gain dumodle. Nous pouvons ici vrifier que lorsque )1(P)1(P
, lerreur statique en asservissement
sera nulle.
Pour le rejet de perturbation sur la sortie.
( )0)1(yyyW
)1(P)1(C
)1(P)1(C1yW
)1(P)1(P)1(F)1(C1
)1(P)1(F)1(C1)1(yy =
=
+
=
Pour une perturbation permanente sur la sortie, linfluence sur celle-ci sera nulle.
Pour linfluence dun bruit de mesure.
( ) bW)1(ybbW)1(P)1(C )1(P)1(CbW)1(P)1(P)1(F)1(C1 )1(P)1(F)1(C)1(yb ==+ =
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
22/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
14Ici il est clair, et cest aussi le cas pour une commande classique, quune erreur
permanente sur le capteur conduira une erreur systmatique sur la sortie.
Pour le rejet dune perturbation sur la commande.
( )( )
( )0)1(yuuW
)1(P)1(C
11)1(PuW
)1(P)1(P)1(F)1(C1
)1(P)1(F)1(C1)1(P)1(yu =
=
+
=
Comme pour le bruit de sortie, les perturbations permanentes sur la commande sont rejetes.
Maintenant que nous avons montr la consistance de la commande par modle interne, nousallons nous attacher la synthse des diffrentes parties la constituant.Dans un premier temps, nous nous intresserons aux aspects inhrents la matrise de ladynamique en asservissement, dans un second temps nous verrons comment fixer la dynamiquede rejet des perturbations.In fine nous aborderons les aspects robustesse et montrerons la gnralit de ce type decommande.
2. Comportement en asservissementComme il a t vu prcdemment, dans le cas idal, la commande par modle interne revient auschma suivant :
)z(P)z(C
Consigne W(z) Sortie Y(z)
)z(P)z(C
Consigne W(z) Sortie Y(z)U(z)
Figure 2-1.
La dynamique dsire est rgie par )z(P)z(C)z(W
)z(Y)z(
== (2-1)
A ce niveau, s'offrent nous deux possibilits. Pour la premire on considre que la dynamiqueen asservissement est dtermine par le produit (z) C(z).P(z) = . Il sensuit, dans le cas idal,au regard de lquation (1-5) que lerreur amene par une perturbation sur la sortie
sera : ( )yy (z) 1 (z) F(z)= .La dynamique de rejet de perturbation sera donc plus lente que celle de lasservissement. Aumieux, si F(z)=1, elles seront identiques. Gnralement lutilisateur dsire un rejet de la
perturbation de sortie plus rapide que la dynamique dasservissement. Cest pour cette raisonque nous nutiliserons pas cette procdure de conception de la commande.Pour avoir des dynamiques diffrentes pour lasservissement et le rejet des perturbations, il estimpratif que le transfert )z( soit le plus rapide possible. Cette deuxime approche aura notre
prfrence et nous allons dans ce qui suit la dtailler.Dans ce cas, pour satisfaire la dynamique dsire en asservissement, on adjoint en amont de lacommande par modle interne, un modle de rfrence srie conformment au schma suivant.
)z(P)z(C
Consigne W(z) Sortie Y(z)
G(z)
U(z)W'(z)
Figure 2-2
Ainsi, si lon considre )z(P)z(C)z('W
)z(Y)z(
== trs rapide, la dynamique en asservissement
sera alors rgie par la transmittance G(z).
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
23/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
15
)z(G)z(P)z(C)z(G)z(W
)z(Y=
(2-2)
Si lon pose, pour le modle du processus, dz)z(A
)z(B)z(P =
, lexpression du correcteur pour
un comportement pile retard ( 1 d(z) z = ) est particulirement simple :
1(z) A(z)C(z) (z) zB(z)P(z)
= = (2-3)
Nous constatons que cette mthode simplifie le numrateur du modle du processus et ne doitpas conduire pour le correcteur des ples instables ou trop oscillatoires. Cette remarque vaorienter le choix du transfert )z( .
La simplification de zros instables
conduit une commande divergente.Il est cependant prudent, afin d'avoir unecommande qui noscille pas, d'viter desimplifier les zros trop oscillatoires.Si nous limitons, pour des zros doublesle coefficient damortissement
5,00= et pour un zro simple la valeur
0,4 comme limite infrieure, la zone lintrieur de laquelle doit se trouver leszros du modle est reprsente sur lafigure 2-3.
Figure 2-3.
Nous allons maintenant dcliner les diffrentes situations et voir comment choisir )z( .
2.1.Le numrateur du modle du processus est simplifiable.
Dans ce cas, on cherchera le transitoire le plus rapide du transfertY z
W z
( )
( )' , en reportant la
dynamique en asservissement sur le modle de rfrence srie G(z).
G zB z
A zm
m( )
( )
( )= (2-4)
Le transfert en asservissement est :
( )( )
( )
). ( )
( ).
'z
Y z
W z
C(z B z
A zz d= = (2-5)
Si l'on s'autorise simplifier le numrateur et le dnominateur du modle, la vlocit la plusgrande sera une rponse pile au retard prs, ce qui donne :
( )z z d= 1
Le correcteur vaut alors : C(zA z
B zz)
( )
( ).= 1 (2-6)
-1 0 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
9,00 =0,8
0,70,60,50,40,30,20,1
0.80.60.40.2-0.2-0.4-0.6-0.8
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
24/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
16Ici la dynamique d'asservissement est reporte sur le modle de rfrence srie G(z).Le transfert total en poursuite devient alors :
dz1z....2z.
2ma1z.
1ma1
....2z.2mb1z.1mb0mbdz1z
)z(mA
)z(mB
)z(W
)z(Y +++
+++== (2-7)
Afin d'viter tout retard indsirable dans le profil de la sortie, on veillera ce que G(z) soit unsystme possdant un coefficient bm0non nul.
Application. Voir exemple 1 6-1.
2.2.Le numrateur du modle du processus nest pas simplifiable.Si le numrateur B(z) nest pas simplifi par le correcteur C(z), il est vident quil se retrouveradans la fonction de transfert )z( . Sachant que pour celle-ci on dsire un gain statique unitaire,la fonction de transfert la plus rapide sera :
dzmb2b1b
nzm
b2z2
b1z1
bdz
)1(B
)z(B)z( +++
+++==
(2-8)
Dans ce cas le correcteur aura pour expression :
)1(B
)z(A)z(C = (2-9)
Application. Voir exemple 1 6-2.
2.3.Le numrateur du modle du processus est partiellement simplifiable.
Ici, il est ncessaire dans la reprsentation du modle du processus )z(P
de sparer les parties
simplifiables de celles qui ne le sont pas. La forme gnrale du modle du processus est :
dznaz.naa...
3z.3a2z.2a
1z.1a1
nbz.nbb...3z.3b
2z.2b1z.1b)z(P
+++++
++++=
(2-10)
Le numrateur peut se factoriser en deux polynmes Bi(z) et Bs(z) correspondant respectivementaux zros instables et stables du numrateur.
dz)z(A
)z(s
B).z(i
B)z(P =
(2-11)
avec : ++++= 3z.3sb2z.2sb
1z.1sb1)z(sB (2-12)
.3z.3ib2z.2ib
1z.1ib)z(iB +++= (2-13)
Le polynme )z(iB reprsente la partie du numrateur que lon ne veut pas simplifier, en
consquence il se retrouvera dans le comportement de )z( .
Soit : dz)1(iB
)z(i
B
)z('W
)z(Y)z( == (2-14)
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
25/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
17Il est normal que dans ce transfert l'on retrouve l'intgralit du retard ainsi que la partie nonsimplifiable, la prsence de Bi ( )1 assure un gain unitaire ( )z .
Ce transfert s'exprime par rapport au correcteur et au processus par :
dz)z(A
).z(sB).z(iB)z(C)z(P)z(C)z( ==
(2-15)
De ces deux dernires quations ((2-4) & (2-5) ) il est ais de dterminer le correcteur soit:
C(zA z
B z Bs i)
( )
( ). ( ).=
1 (2-16)
Ici le transfert total pour la poursuite vaut:
dz)1(iB
)z(iB.2z.2ma
1z.1ma1
.2z.2mb1z.1mb0mbdz
)1(iB
)z(iB
)z(mA
)z(mB
)z(W
)z(Y +++
+++==
Il est remarquer que le transfertB z
Bi
i
( )
( )1est rponse impulsionnelle finie, ce qui implique un
suivi relativement correct de Y par rapport W'.
3. Rejet des perturbations.
3.1.Rejet de la perturbation sur la sortie.
Nous allons analyser ici linfluence sur la sortie Y dune perturbation de sortie yW . Nous nous
placerons dans le cas idal o )z(P)z(P
= , dans ce cas lerreur sur la sortie vaut :
( ) )z(yW)z(P).z(F).z(C1)z(yy =
(3-1)
Soit en formulant cette expression avec le transfert )z(
( ) )z(yW)z().z(F1)z(yy = (3-2)
Le schma bloc en rgulation dans le cas idal est donc:
C(z)F(z)
+
-
)z(P
yW
+
)z(yy
)z(
Figure 3-1
Nous allons maintenant tudier comment caractriser F(z) afin dobtenir le rejet dsir de la
perturbation yW . Afin de ne pas alourdir lcriture nous allons considrer dans ce qui suit un
retard nul (d=0).
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
26/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
18
3.1.1. Cas de zros stables
Comme nous l'avons vu prcdemment, si lon simplifie B(z), il est facile davoir 1z)z( = .
Dans ce cas : )z(yW1z).z(F1)z(yy
= (3-3)
A titre illustratif, admettons que lon dsire un rejet de perturbation tel que :k)k(yy = , ce qui donne 1z1
1)z(yy
= .
Pour une perturbation en chelon de yW , partir de la relation (3-3) il vient :
1z)z(F11z1
1z1
)z(yW
)z(yy =
=
1z1
1)z(F
=
Nous retrouvons ici la transmittance dun premier ordre prcd dun bloqueur dordre zro dontla rponse indicielle est avance dune priode dchantillonnage.
F(z)
+
-
yW
+
)z(yy
1z
Figure 3-2
On voit apparatre clairement sur la figure 3-2, qu'au retard prs, F(z) fixe explicitement le rejetde la perturbation.
3.1.2. Cas de zros instables.
Sachant que la transmittance rapide dsire vaut ici)1(B
)z(B)z( = (relation (2-8), ici le transfert
en rgulation s'exprime, dans le cas idal par :
)z(F
)1(B
)z(B1
)z(Wy
)z(yy=
(3-4)
Nous remarquerons que le transfert)1(B
)z(Best rponse impulsionnelle finie, par consquent en
premire approximation F(z) fixera comme prcdemment la dynamique en rgulation.
3.1.3. Cas des zros partiellement instables.
Ici)1(iB
)z(iB)z( = , dans ce cas )z(F)1(iB
)z(iB1)z(Wy
)z(yy=
(3-5)
Le transfert )1(iB
)z(iB
tant rapide, nous considrerons que cest le filtre F(z) qui fixe la dynamique
de rejet de la perturbation.
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
27/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
19
3.2.Rejet dun bruit de mesure.Ici dans le cas idal la relation (1-6) devient :
bW)z(P)z(F)z(C)z(yb = (3-6)
bW)z()z(F)z(yb = bW)z(F (3-7)
Comme F(z) possde un gain statique unitaire, une erreur systmatique se rpercuteraintgralement sur la sortie.
3.3.Rejet de la perturbation sur la commande.Pour une perturbation sur la commande lquation (1-7) vaut :
( ) uW)z(P)z(F)z(C1)z(P)z(yu +=
(3-8)
( ) uW)z()z(F1)z(P)z(yu += ( ) uW)z(F1)z(P (3-9)
La dynamique de rejet correspond celle lie yW filtre par le processus.
Nota :On remarquera que dans le cas dune commande classique, il en est de mme puisque
yySPyuS = .
4. Robustesse dune commande par modle interne.La structure de la commande par modle interne est particulire et ne se prte pas directement lexpression de la robustesse et des fonctions de sensibilits.
Nous allons montrer que cette commande peut se mettre sous une forme gnrale pour laquellela grandeur de commande U est fonction de deux transmittances. La premire traite la consigneW et la seconde la mesure Y.A partir de cette formulation, nous pourrons ramener le schma de commande par modleinterne un bouclage classique.
4.1.Forme gnrale de la commande.A partir du schma gnral donn figure 1-1, nous pouvons exprimer la commande en fonction
du correcteur C(z), du filtre F(z) et du modle )z(P
.
)z(Y.)z(P).z(F).z(C1
)z(F).z(C)z('W.
)z(P).z(F).z(C1
)z(C)z(U
= (4-1)
Nous voyons ici que cette commande dpend de la consigne intermdiaire W' et de la mesure Y.Cette structure correspond un systme multivariable recevant deux entres et dlivrant unesortie U. Ainsi, la commande U peut donc se calculer partir de deux fonctions de transfert que
nous noterons )z(1K et )z(2K .
)z(S
)z(T)z(1 =K =
)z(P).z(F).z(C1
)z(C
(4-2)
)z(S
)z(R)z(2 =K
)z(P).z(F).z(C1
)z(F).z(C
= (4-3)
Avec ces notations, la commande peut se mettre sous la forme:
)z(Y).z(2)z('W).z(1)z(U KK = =
T z
S zW z
R z
S zY z
( )
( ). ( )
( )
( ). ( )' (4-4)
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
28/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
20A partir de cette formulation, le schma de commande, en prsence de perturbations,devient :
+W'
T(z)S(z)
B(z)
A(z)z-d
PROCESSUS
R(z)
S(z)
-
U Y+
Wy
+
+
+
Wb
+
+
Wu
)z(1K
)z(2K
P(z)
Figure 4-1
Pour implanter la commande par modle interne sous cette forme, il faut dterminer lespolynmes R(z), S(z) et T(z) qui sont pris sous la forme suivante :
++++= 3z.3r2z.2r
1z.1r0r)z(R (4-5)
++++= 3z.3s2z.2s
1z.1s1)z(S (4-6)
++++= 3z.3t2z.2t
1z.1t0t)z(T (4-7)
Sachant que )z(Y.)z(S
)z(R)z('W.
)z(S
)z(TU = (quation (4-1))
Les quations rcurrentes correspondantes au schma de la figure 4-1 seront :
+++=
)3k(u3s)2k(u2s)1k(u1s
)2k(y2r)1k(y1r)k(y0r
)2k('w2t)1k('w1t)k(
'w0t)k(u
Pour obtenir ces quations de commande, il nous faut donc trouver les relations liant les
polynmes R(z), S(z) et T(z) en fonction des transmittances C(z), F(z) et )z(P
.
Pour cela nous poserons :
F zN z
D zf
f( )
( )
( )= C(z
N z
D zc
c)
( )
( )= dz.
)z(A
)z(B)z(P =
(4-8)
Lidentification de la relation (4-1) aux quations (4-8) permet dobtenir pour ces troispolynmes :
R z N z N z A zc f( ) ( ). ( ). ( )= (4-9)
dfcfc z).z(B).z(N).z(N)z(A).z(D).z(D)z(S
= (4-10)
T z N z D z A zc f
( ) ( ). ( ). ( )= (4-11)
Cette nouvelle structure de la commande par modle interne peut videmment se remettre soussa forme originale.
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
29/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
21En effet si nous exprimons, daprs le schma de la figure 4-1, la sortie en fonction de laconsigne et des perturbations, nous obtenons :
Wu2P1
PbW
2P1
2PyW
2P1
1'W2P1
1PY +
++
++
+
=
KKK
KKK
(4-12)
En explicitant dans cette relation les expressions des fonctions de transfert )z(1K et )z(2K (quations (4-2) & (4-3)), on retrouve les mmes quations quen (1-3) (1-7) soit :
( ) +
+
= )z(W
)z(P)z(P)z(F)z(C1
)z(P)z(C)z(Y
( ) yW
)z(P)z(P)z(F)z(C1
)z(P)z(F)z(C1
+
( ) bW
)z(P)z(P)z(F)z(C1
)z(P)z(F)z(C
+
)( ) u
W)z(P)z(P)z(F)z(C1
)z(P)z(F)z(C1)z(P
+
+
(4-13)
Mettre la commande par modle interne sous une forme correspondante au schma de la figure4-1 permet de reformuler celle-ci, sous une forme plus gnrale faisant appel trois polynmesR(z), S(z) et T(z). Cependant le principal intrt de la formulation qui vient dtre prsente estde mettre le schma de commande sous une forme permettant dexprimer la robustesse et les
fonctions de sensibilit.4.2.Robustesse.
Ainsi pour la robustesse par rapport aux perturbations, on considre W'=0 et le schma bloc dela figure 4-1 devient :
-
U Y+
+
Wy
+
+
Wb
+-
Wu
R(z)
S(z)
)z(1K
B(z)
A(z)
z-d
PROCESSUS
rel
P(z)
Figure 4-2
Si nous comparons cette dernire figure au schma classique de la commande d'un processus
P zB z
A z( )
( )
( )= par un correcteur K z
R z
S z( )
( )
( )= , nous constatons que les schmas sont quivalents.
Nous pourrons donc, partir de cette formulation, exprimer les diffrentes marges et fonctionsde sensibilits inhrentes ltude de la robustesse dune commande.
En conclusion, pour dterminer la robustesse d'une commande par modle interne, dans unpremier temps, il faut exprimer les polynmes R(z) et S(z) partir de transmittances de lacommande par modle interne.
R z N z N z A zc f( ) ( ). ( ). ( )= (4-14)
dfcfc z).z(B).z(N).z(N)z(A).z(D).z(D)z(S
= (4-15)
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
http:///reader/full/N().N().zhttp:///reader/full/N().N().zhttp:///reader/full/N().N().zhttp:///reader/full/N().N().zhttp:///reader/full/N().N().z -
8/9/2019 systemes echantillonns
30/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
22A partir de ces polynmes les fonctions de sensibilit sexprimeront par les relationshabituelles.
Sensibilit de la sortie une perturbation sur la sortie
SK Pyy
=+
1
1 . S
A S
AS B R yy=
+.
. (4-16)
Sensibilit de la sortie une perturbation sur la mesure
SK P
K Pyb=
+.
.1 S
B R
AS B R yb=
+.
. (4-17)
Sensibilit de la sortie une perturbation sur la commande
P.K1
PSyu +
= R.BAS
S.BSyu +
= (4-18)
Sensibilit de la commande un bruit de sortie ou de mesure
P.K1
KSuy +
= R.BAS
R.ASuy +
= (4-19)
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
31/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
23
5. Implmentation numrique.La commande ncessite le calcul de quatre fonctions de transfert, l'ordre dans lequel doit sesquencer les quations rcurrentes n'est pas arbitraire. Il est tout d'abord ncessaire d'analyserles degrs respectifs de chacun des transferts ( en puissance de z positive).Deux cas sont envisager :S'il y a galit, le gain pour une pulsation infini est non nul, ou autrement formul la sortie l'instant k, dpendra de l'entre au mme instant.Si le degr du dnominateur est suprieur au degr du numrateur la sortie l'instant k dpendrad'chantillons du pass de l'entre. Ces remarques tant faites, analysons les degrs relatifs desdiffrents transferts.
Le modle du processus :
La forme utilise montre que )k(y dpend des chantillons passs de la commande U.
Le modle de rfrence G(z).
Ici les degrs sont identiques (bm00) donc w'(k) dpendra de w(k).
Le correcteur C(z) et le filtre F(z).
Ces transmittances ont le mme degr au numrateur qu'au dnominateur.
De toutes ces contraintes il est ais, partir du schma de commande rappel figure 5-1, dedterminer le squencement des quations rcurrentes :
+W'
Bm(z)
Am(z)
W
PROCESSUS
-
U Y+
Wy
+
G(z)
C(z)
+
-
P(z)
F(z)f
YP(z)
Figure 5-1
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
32/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
24Alternative de codage.
Il peut tre plus efficace de ne pas coder le modle )z(P
en remarquant que pour calculer la
sortie du modle ( )y k il est possible de lobtenir avec (z) C(z) P(z) = .
Cela peut tre plus simple si celui ci est de complexit plus rduite que )z(P
(figure (5-2)).
+
-
W'
Bm(z)
Am(z)
W
PROCESSUS
-
U Y+
Wy
+
G(z)
C(z)
+
-
P(z)
F(z)f
)z(Y
Figure 5-2.
Dans ce cas l'algorithme aura la forme suivante:
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
33/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
25
6. Exemples.
6.1.Exemple 1.Considrons un processus du deuxime ordre dont lidentification, pour une priodedchantillonnage T=0,1s, a fourni la transmittance suivante :
2z.72,01z.7,11
2z.4,01z.8,0)z(P +
+
=
.
Ce modle possde deux ples lintrieur du cercle unit (z1=0,8 et z2=0.9), nous pouvonsdonc appliquer la commande par modle interne. Son numrateur prsente un zro ngatif( 5,0z = ) ce qui va conduire des oscillations sur la grandeur de commande u(k). En effet cezro du modle conduira la prsence dun ple pour le correcteur qui fera apparatre un terme
en ( )k5,0 . Afin de juger linfluence dun zro stable ngatif, nous considrerons ici que cesoscillations seront acceptables et simplifierons le numrateur B(z).
6.1.1. Choix de la dynamique en asservissement.
6.1.1.1. Calcul de C(z)
Le numrateur B(z) du modle du processus tant simplifiable, comme le systme est sans retardpur (d = 0) nous pouvons avoir une rponse pile.
)z(P).z(C1z)z('W
)z(Y ==
1z4,08,0
2z72,01z7,111z)z(B
)z(A)z(C
+
+==
1z.5,01
2z.9375,01z.125,225,1)z(C
+
+=
L'quation rcurrente de commande sera :
)1k(u5,0)2k(9375,0)1k(125,2)k(25,1)k(u +=
6.1.1.2. Calcul du modle de
rfrence srie G(z)
Pour une consigne W en chelon on dsire que la sortieprogresse en rampe et que la valeur de la consigne soit
atteinte en m.T priodes dchantillonnages (fig 6-1).
Figure 6-1
Le transfert global en asservissement a pour expression : )z()z(G)z('W
)z(Y)z(G
)z(W
)z(Y==
Qui dans notre cas vaut : 1z)z(G)z(W
)z(Y =
Exprimons Y(z) comme la diffrence de deux rampes dcales dun retard m.T.
0 5 10 15
0.5
1
1 3 43 6 7 8 9
k
y(k)
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
34/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
26
soit ici :
( )( )
1m
21
1 T zY(z) 1 z
m T1 z
=
Ce qui conduit pour le modle de rfrence srie au transfert suivant :
= mz1
1z1
1
m
1)z(G
Soit pour m = 10 :
== 10z11z1
1
10
1
)z(W
)z('W)z(G
Lquation rcurrente vaudra :
( )' '1
w (k) . w(k) w(k 10) w (k 1)10
= +
6.1.2. Rejet des perturbations, calcul de F(z).
Nous dsirons pour la perturbation de sortiey
W , avoir une dynamique de lerreur sur la sortie
du premier ordre, k)k(yy = avec 5,0= .Conformment lquation (1-5) du 1 lerreur due une perturbation sur la sortie
vaut : )z(yW)z(F1z1)z(yy
= soit ici
1z1
1)z(yy
= .
Ce qui donne pour le filtre F(z) :
1z1
1)z(F
= et pour 5,0=
1z5,01
5,0
)z(
)z(f)z(F
==
Lquation rcurrente correspondante prend pour expression :
)1k(f5,0)k(5,0)k(f +=
6.1.3. Algorithme de commande.Il faut ici calculer les quations rcurrentes correspondantes au modle de rfrence srie G(z),
au correcteur C(z), au filtre F(z) et au modle )z(P
.
Le squencement de ces quations rcurrentes n'est pas indiffrent.Il faut reprer parmi ces 4 transmittances celles qui correspondent des systmes propres (mmedegr du numrateur et du dnominateur).En effet, dans ce cas il y a transmission directe (gain non nul pour une frquence infinie).Lorsque z
z
1)z(P
Ceci implique ( ))1k(uf)k(y = .
C(z) , 1 25 Ceci implique u(k) = f((k)).( ) 1)z(F Ceci implique f(k) = f((k))
P zm
( )1
Ceci implique w '(k) = f(w(k)).
Si toutes les transmittances taient propres, nous aurions des boucles algbriques et lesquencement des quations rcurrentes ne serait pas possible.
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
35/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
27
Forme de lalgorithme.
1. Calcul de la sortie du modle du processus )k(y
.
)2k(y72,0)1k(y7,1)2k(u4,0)1k(u8,0)k(y ++=
.
2. Calcul de la consigne intermdiaire.
[ ]' '1w (k) . w(k) w(k 10) w (k 1)10
= +
3. Calcul du signal dcart )k( entre le processus et son modle.)k(y)k(y)k(
=
4. Calcul du signal dcart filtr )k(f .)1k(f5,0)k(5,0)k(f +=
Calcul du signal dcart )k( .
)k(f)k('w
5.
Calcul de la commande u(k).
)1k(u5,0)2k(9375,0)1k(125,2)k(25,1)k(u += 6. Gestion des mmoires historiques.
u(k-2) u(k-1) u(k-1) u(k))1k(y)2k(y
)k(y)1k(y
f(k-1) f(k))8k(w)9k(w)9k(w)10k(w
)k(w)1k(w)1k(w)2k(w .
)k('w)1k('w (k-2) (k-1) (k-1) (k)
6.1.4. Simulation
Nous nous placerons ici dans le cas idal ou )z(P)z(P =
2z.72,01z.7,11
2z.4,01z.8,0
+
+=
Simulation pour une consigne en chelon.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Sortie du processus
y(t) et y(k)Commande )t(bU
Figure 6-2 Figure 6-3
Pour une consigne W en chelon, nous avons bien, aux instants dchantillonnage la rponse
pile attendue, mais il y a une lgre oscillation avec un dpassement de 20% provenant de laprsence du zro simplifi. Lallure de la commande est dailleurs bien reprsentative de laprsence de ce zro.
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
36/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
28
Simulation pour une consigne en rampe.
0 0.5 1 1. 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.5 1 1.5
-0.1
-0.05
0
0 . 0 5
0.1
0.15
Sortie du processus
y(t) et y(k)
Commande )t(bU
Figure 6-4 Figure 6-5
Le fait de solliciter la commande par une consigne en rampe rduit lamplitude de la commandedans un rapport 10. Il est clair quici les oscillations de y(t) sont tout fait acceptables.
Rejet dune perturbation sur la sortie.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
y(t) et y(k) Commande )t(bU
Figure 6-6 Figure 6-7
Pour une perturbation en chelon de 20% de la consigne, nous retrouvons bien aux instants
dchantillonnages un rejet k5,02,0)k(yy = . Entre ces instants, la sortie y(t) oscille un peu.
6.1.5. Robustesse.
Pour calculer la robustesse, il faut mettre cette commande sous une forme adquate faisant appel
dans la boucle de contre raction une transmittance)z(S
)z(R. Dans le 4-2 nous avons montr
que les polynmes sont donns par les quations (4-9) & (4-10) soit :
R z N z N z A zc f( ) ( ). ( ). ( )=
dfcfc z).z(B).z(N).z(N)z(A).z(D).z(D)z(S
= .
4z324,03z53,12z7062,21z125,2625,0)z(R ++= 4z36,03z49,02z07,11z2,21)z(S ++=
Aprs simplifications des racines communes :
2z455,01z0625,1625,0)z(R += 2z5,01z5,01)z(S =
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
37/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
29Ici le correcteur vaut :
+
+=
1z5,011z1
2z455,01z0625,1625,0
)z(S
)z(R, nous pouvons remarquer quil possde un ple pour
z=1 (aspect intgrateur), ce qui est normal, puisque la synthse par modle interne garanti uneerreur statique nulle.
A partir de cette formulation, on obtient pour la robustesse de cette commande :75,0Myy= et ms260= .
Ici la marge de module est trs correcte.Pour juger de la marge de retard, nous allons la comparer aux constantes de temps du modle du
processus.
Ici
=+= 1z.T
T
e11z.T
T
e11z.9,011z.8,012z.72,01z.7,11)z(A 21
Ce qui donne pour les constantes de temps ms4481
T = et ms9522
T = . Ici ms260=
est
assez faible et la prsence dun retard nglig de cette valeur, nest pas carter.Pour juger si cette commande est acceptable, il faut en fonction de ce que lon sait sur le
processus, savoir si un retard pur de 260 ms est physiquement possible.
6.2.Exemple 2.
Nous allons ici reprendre le mme modle que prcdemment :2z.72,01z.7,11
2z.4,01z.8,0)z(P
+
+=
pour lequel nous ne simplifierons pas le numrateur.
6.2.1. Choix de la dynamique en asservissement.
6.2.1.1. Calcul de C(z).
La dynamique le plus rapide sans simplifier le numrateur a pour fonction de transfert :
)z(P).z(C)1(B
)z(B
)z('W
)z(Y ==
)1(B
)z(A)z(C =
2z.6,01z.4167,18333,0)z(C +=
L'quation rcurrente de commande sera :
)2k(6,0)1k(4167,1)k(8333,0)k(u +=
Nota: Ce correcteur est rponse impulsionnelle finie.
6.2.1.2. Calcul du modle de rfrence srie G(z)
Nous reprendrons le mme modle que prcdemment, pour la dynamique dasservissement.
Soit pour m = 10 :
== 10z11z1
1
10
1
)z(W
)z('W)z(G
Nous allons voir comment la forme idale en rampe est altre dans ce cas.
)z()z(G
)z('
W
)z(Y).z(G
)z(W
)z(Y==
)1(B
)z(B)z(G =
+= 2z3333,01z6667,0)z(G
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
38/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
30
k 0 1 2 3 8 9 10 11W(k) 1 1 1 1 1 1 1 1
)k('w dsir0 0,1 0,2 0,3 0,8 0,9 1 1
)k('w obtenu0 0.0667 0.1667 0.2667 0.7667 0.8667 0.9667 1.0000
Nous pouvons constater un cart de comportement tout fait acceptable.
6.2.2. Rejet des perturbations, calcul de F(z).Nous prendrons le mme filtre F(z) que dans lexemple prcdent, soit :
1z1
1)z(F
= et pour 5,0=
1z5,01
5,0
)z(
)z(f)z(F
==
6.2.3. Simulation.
Simulation pour une consigne en chelon.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sortie du processusy(t) et y(k) Commande )t(bU
Figure 6-8 Figure 6-9
Il est clair en comparant les figures 6-2 et 6-8 que le fait de navoir pas simplifi le zro ngatifdu processus amliore considrablement la rponse indicielle.
Simulation pour une consigne en rampe.
0 0.5 1 1.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.5 1 1.5-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Commande )t(bUSortie du processusy(t) et y(k)
Figure 6-10 Figure 6-11
La rponse est meilleure que dans lexemple prcdent et lamplitude de la commande est plusfaible.
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
39/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
31Rejet dune perturbation sur la sortie.
0 0 . 1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0.9 1
0.8
0.85
0.9
0 . 9 5
1
1.05
1.1
1.15
1.2
0 0 .1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Commande
Sortie du processusy(t) et y(k)
Figure 6-12 Figure 6-13
La dynamique de la sortie est moins oscillatoire que pour lexemple 1, bien quaux instantsdchantillonnage lon nait pas exactement une dynamique du premier ordre.
6.2.4.
Robustesse.Aprs simplifications des racines communes
2z3,01z7083,0416,0)z(R += .2z1667,01z8333,01)z(S =
Ici le correcteur vaut :
+
+=
1z1667,011z1
2z455,01z0625,1625,0
)z(S
)z(R,
Pour les marges permettant dapprcier la robustesse on obtient : 77,0Myy= ms297=
Ici les marges de module et de retard sont un peu meilleures, mais nous pouvons faire la mmeremarque que dans lexemple 1 sur la faiblesse de la marge de retard.
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
40/160
INSA GE JM RETIF Commande par modle interne
32
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
41/160
INSA 5GE JM RETIF Commande RST
33
CHAPITRE 3.
COMMANDE RST
1. INTRODUCTION.
1.1. Principe de la commande RST.
Gnralement la commande d'un processus est constitue d'un rgulateur C(z) recevant comme
entre, le signal d'cart consigne-mesure, et fournissant la commande U au processus. Ce typede structure de commande, comme nous avons pu le souligner prcdemment, ne permet pas de
diffrencier la dynamique en asservissement de celle du rejet de perturbation.
Nous allons maintenant tudier un correcteur de forme gnrale, qui possdera comme entres,
la consigne W et la mesure Y et comme sortie la grandeur de commande U. Nous passons ainsi
d'un rgulateur monovariable dfini par une seule transmittance, un correcteur ayant deux
entres et une sortie, caractris par deux transferts. Le schma global de la commande
correspond la figure 1.1:
+ +
Commande U
Perturbation Wy
YPROCESSUS
discrtis
CORRECTEUR
RST
Consigne W
Mesure Y
Figure 1-1.
La commande prend la forme gnrale )z(Y).z(2K)z(W).z(1K)z(U = .
Le fait de traiter indpendamment la consigne et l'entre conduit, dans la synthse du correcteur, avoir deux transmittances )z(1K et )z(2K qui nous permettront de dfinir des dynamiques
diffrentes en rgulation et en asservissement.
La commande RST correspondant au schma bloc figure 1-2, ou R(z), S(z) et T(z) sont des
polynmes etBm
m
z
A z
( )
( )une fonction de transfert fixant la dynamique en asservissement.
Les diffrentes parties du correcteur ont pour forme :
R z r r z r z r znn
rr( ) . . ... .= + + + + 0 1
12
2 (1-1)
1 2 ns1 2 nsS(z) 1 s .z s .z ... s .z = + + + + (1-2)
T z t t z t z t znn
tt( ) . . ... .= + + + + 0 1
12
2 (1-3)
B z
A z
bm bm z bm z bm z
am z am z am z
m
m
nn
nn
bmbm
amam
( )
( )
. . ... .
. . ... .=
+ + + +
+ + + +
0 1
12
2
11
221
(1-4)
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
42/160
-
8/9/2019 systemes echantillonns
43/160
INSA 5GE JM RETIF Commande RST
35
1.2.1. Ralisation spare du correcteur RST et du modle dasservissement.
1.2.1.1.Modle de rfrence srie.
W z
W z
B z
A z
m
m
' ( )
( )
( )
( )=
= + + + W z bm W z bm z W z bm z W z am z W z am z W z'( ) . ( ) . . ( ) . . ( ) ... . . ' ( ) . . ' ( ) ...0 11
22
11
22
Lquation rcurrente du modle dasservissement sera :w k bm w k bm w k bm w k am w k am w k ' ( ) . ( ) . ( ) . ( ) ... . ' ( ) . ' ( ) ...= + + + 0 1 2 1 21 2 1 2
1.2.1.2.Correcteur RST.
Les quations rcurrentes du correcteur RST, reliants Y W', se dduiront de la relation (1-7)
soit :
1 21 2
1 20 1 2
1 20 1 2
U(z) s U(z) z s U(z) z
t W '(z) t W '(z) z t W '(z) z
r Y(z) r Y(z) z r Y(z) z
+ + + =
+ + + +
+
Ce qui amne l'quation rcurrente:
0 1 2
0 1 2
1 2 3
u(k) t w '(k) t w '(k 1) t w '(k 2)
r y(k) r y(k 1) r y(k 2)
s u(k 1) s u(k 2) s u(k 3)
= + + +
(1-8)
Nous voyons dans cette quation rcurrente que si les coefficients ri et ti sont gaux nous
retrouvons une commande classique ou le correcteur reoit le signal d'cart consigne-mesure.
1.2.2. Ralisation conjointe du correcteur RST et du modle dasservissement.A partir de la relation (1-7) on peut crire :
U z T z Bm zS z Am z
W z R zS z
Y z B zA z
W z R zS z
Y zrr
( ) ( ). ( )( ). ( )
. ( ) ( )( )
. ( ) ( )( )
. ( ) ( )( )
. ( )= = = U z U z1 2( ) ( ) (1-9)
Nous avons ici un correcteur multivariable deux entres une sortie, il est possible de le raliser
par des quations dtat discrte ou par deux transferts en z. Cest cette dernire solution que
nous retiendrons. En considrant la commande comme la somme de deux grandeurs U1 et U2 les
quations rcurrentes de commande seront :
u k br w k br w k br w k ar u k ar u k 1 0 1 2 1 1 2 11 2 1 2( ) . ( ) . ( ) . ( ) ... . ( ) . ( ) ....= + + + u k r y k r y k r y k s u k s u k 2 0 1 2 1 2 2 21 2 1 2( ) . ( ) . ( ) . ( ) ... . ( ) . ( ) ....= + + + u k u k u k ( ) ( ) ( )= 1 2
1.3.
Reprsentation discrte du processus.Pralablement toute commande, il est ncessaire d'identifier le processus par une mthode
d'identification paramtrique (moindre carr gnralis, simplex, gradient etc).
On mettra le processus sous la forme :
H zB z
A zz d( )
( )
( ).=
(1-10)
avec d reprsentant le retard en nombre de priodes d'chantillonnage.
b
a
nzmb
2z2b
1z1b)z(B
nzna
2z2a1z1a1)z(A
++
+
=
++++=
(1-11)
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
44/160
INSA 5GE JM RETIF Commande RST
36
Nous noterons que le numrateur B(z) a un coefficient b0 nul ce qui implique que sa rponse
indicielle vaut zro linstant initial.
La plupart du temps un modle du premier ordre ou du second ordre ventuellement retard est
suffisant pour reprsenter un processus. Nous les formulerons :
Pour le 1er ordre retard H zb z
a zz d( )
.
..=
+
1
1
1
11 (1-12)
Pour le 2e ordre retard H zb z b z
a z a zz d( )
. .
. ..=
+
+ +
1
12
2
11
221
(1-13)
1.4. Ides directrices pour la synthse d'un correcteur RST.
1.4.1. Dynamique en asservissement.En asservissement la perturbation Wy est nulle en variation et le schma de commande
correspond la figure 1.3.
Pour fixer la dynamique en asservissement il faudra essayer d'obtenir, par un calcul adquat des
polynmes R(z), S(z) et T(z), un transfert
Y z
W z
( )
' ( ) le plus vloce possible. Si ceci est ralis les
signaux Y et W' seront proches et la dynamique sera principalement dtermine par le modle de
rfrence srieB z
A z
m
m
( )
( ).
B z
A z
T z
R z
S z
m
m
( )
( )
( )
( )
( )
1 B z
A z
( )
( )
+
-
U
YW W'
B z
A z
m
m
( )
( )
W W' Transfert
le plus rapide
possible entre Y et W'
Y
SCHEMA BLOC POUR L'ASSERVISSEMENT
z-d
Figure 1-3.
1.4.2. Dynamique en rgulation.
Ici nous considrerons que le processus a atteint son rgime d'quilibre, c'est dire que la sortiea rejoint la valeur de la consigne. Celle ci est donc nulle en variation et le schma bloc de la
commande est conforme la figure 1.4.
La dynamique en rgulation (W'=0) donne par la relation (1-6) ou dtermine partir du
schma bloc donne :
Y z
Wy z
A z S z
A z S z B z z R zd
( )
( )
( ). ( )
( ). ( ) ( ). . ( )=
+ (1-14)
En calculant avec pertinences les polynmes R(z) et S(z) il est possible de dfinir une
dynamique de rejet de la perturbation Wy.
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
45/160
INSA 5GE JM RETIF Commande RST
37
R z
S z
( )
( )
1B z
A z
( )
( )
+
-
YWy SCHEMA BLOC POUR LA REGULATION
z-d
Figure 1-4.
Pour une perturbation constante, il faut que la fonction de transfertY z
W zy
( )
( )ait un gain statique
nul, cela implique que le produit A(z).S(z) possde un zro pour z=1 c'est dire que le
correcteur doit tre intgrateur.
Pour faire la synthse d'une commande RST nous allons utiliser deux approches tendant
matriser indpendamment la dynamique en rgulation (raction une perturbation) et la rponse
en asservissement (changement de consigne).
Nous allons, avant de dtailler le calcul du correcteur RST, voir quelles sont les diffrentes
approches de synthse.
2. COMMANDE POUR UN PROCESSUS A ZEROS INSTABLES.
Aucune hypothse a priori n'est faite sur le processus. Il peut possder des zros ou des ples
instables (racines de A(z) ou de B(z) en dehors du cercle unit).
2.1. Dynamique en asservissement.
Cherchons tout dabord dfinir une rponse rapide entre Y et W, sachant quil nest pas
possible de simplifier le numrateur du processus, on mettra ce transfert sous la forme :
Y z
W z
B z T z
P zz d
( )
' ( )
( ). ( )
( ).= (2-1)
Pour matriser les changements de consignes nous choisirons T(z) de faon liminer P(z) tout
en maintenant un gain unitaire pour la transmittanceY z
W z
( )
' ( )
Pour y parvenir on prendra T zP z
B( )
( )
( )=
1. (2-2)
Dans ce cas on obtient:Y z
W z
B z
B
z d( )
' ( )
( )
( )
.=
1
(2-3)
Nous pouvons noter, que cette transmittance ne possde pas de termes en z au dnominateur,
cest donc un filtre rponse impulsionnelle finie. La matrise de la dynamique en
asservissement sera assure par le modle de rfrence srieB z
A z
m
m
( )
( ) se trouvant en amont de
T(z).
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
46/160
INSA 5GE JM RETIF Commande RST
38
B z
Bz
d( )
( ).
1
-
T z( )
-
B z
A z
m
m
( )
( )
W W' YW" B z z
A z S z B z z R z
d
d
( ).
( ). ( ) ( ). . ( )
-
-+
B(z) z
P(z
d-.
)
Figure 2-1.
Dans ce type de commande il n'y aura pas une correspondance exacte en asservissement entre la
trajectoire souhaite W' et la sortie Y car aucun moment nous n'avons cherch liminer lenumrateur de la transmittance B(z).
Si l'on cherche le supprimer (voir mthode suivante) les hypothses sur le processus seront plus
restrictives, car dans ce cas B(z) devra avoir des zros stables.
2.2. Dynamique en rgulation.
Reprenons le transfert spcifiant la dynamique en rgulationY z
Wy z
( )
( )issue de la relation (1-14)
Y z
Wy z
A z S z
A z S z B z z R zd( )
( )
( ). ( )
( ). ( ) ( ). . ( )=
+
Afin de dterminer le comportement en rgulation nous fixerons les ples de cette fonction detransfert tel que P z A z S z B z z R zd( ) ( ). ( ) ( ). . ( )= + (2-4)
Cette quation polynomiale possde une solution unique qui permet de dterminer les polynmes
R z et S z( ) ( ) .
La dynamique en rgulation sera rgie par :Y z
Wy z
A z S z
P z
( )
( )
( ). ( )
( )= (2-5)
Remarque.
Comme nous pourrons le montrer ultrieurement des valeurs particulires des racines de R(z) et
S(z) conduisent des proprits spcifiques de filtrage sur les perturbations. Afin de fixer a
priori des conditions de rejets de perturbations pour des frquences bien dtermines il est
ncessaire de fixer une partie de R(z) et de S(z).
Dans ce cas nous poserons : S z S z S z et R z R z R zp p( ) ( ). ( ) ( ) ( ). .( )= =1 1 S z et R zp p( ) ( )
reprsentant les parties dites prcaractrises des polynmes S z et R z( ) ( ) .
[JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits rservs.
-
8/9/2019 systemes echantillonns
47/160
INSA 5GE JM RETIF Commande RST
39
Rsolution de l'quation de Bezout.
Dans le cas o nous avons des parties prcaractrises sur les polynmes S z et R z( ) ( ) l'quation
(2-4) devient : P z A z S z S z B z z R z R zpd
p( ) ( ). ( ). ( ) ( ). . ( ). .( )= +
1 1
Cette quation pouvant se mettre sous la forme gnrale :
P z C z D z E z F z z d( ) ( ). ( ) ( ). ( ).= + (2-6)
avecC z A z S z D z S z
E z B z R z F z R z
p
p
( ) ( ). ( ) ( ) ( )
( ) ( ). ( ) ( ) ( )
= =
= =1
1 (2- 7)
La connaissance de P(z), C(z) et E(z) assurant alors le calcul de D(z) et F(z) qui permettent
ensuite d'obtenir les polynmes de rgulation :S z D z S z
R z F z R z
p
p
( ) ( ). ( )
( ) ( ). ( )
=
=
Les degrs des polynmes inconnus sont dfinis par les galits suivantes :
( )
( )( )
n P z n n d
n D z n d
n F z n
p c e
d e
f c
= = + +
= = + = =
deg ( )
deg ( )
deg ( )
1
1
1
(2-8)
avec n et nc e les degrs respectifs de C(z) et E(z)
La rsolution pratique de l'galit de Bezout (2-6) revient rsoudre l'quation matricielle
P M X= (2-9)
avec X vecteur contenant les coefficients des polynmes D(z) et F(z)
[ ]X d d d d f f f f T n nd f= 1 1 2 3 0 1 2, , , ,..., , , , , ..., (2-10)
P vecteur des coefficients du polynme P(z) fixant le fonctionnement en rgulation
P p p p pT np=
1 1 2 3, , , , ... , (2-11)
On obtient alors D(z) et F(z) en rsolvant lidentit de Bezout (2-9 )soit :
X = M1.P. (2-12)
Une fois calcul D(z) et F(z) qui reprsentent ici respectivement S z et R z1 1( ) ( ) les polynmes
recherchs sont donn par
S z S z S z
R z R z R z
T(z
P z
B
p
p
( ) ( ). ( )
( ) ( ). ( )
)
( )
( )
==
=
1
1
1
(2-13)
2.3. Mise en uvre de la mthode.
La connaissance du cahier des charges, concernant les contraintes en asservissement et en
rgulation, permet de dfinir P(z) et le modle de rfrence srieBm z
Am z
( )
( ). Il faudra tenir le plus
grand compte de la dynamique en boucle ouverte et de la saturation des actionneurs pour la
dfinition de la commande. La rsolution de lquation de Bezout fournie les polynmes S(z) et
R(z) dont on ne matrise pas les racines. Il est poss
top related