Теоријаелектричнихколаtek.etf.bg.ac.rs/teorijaekola06_laplace.pdf ·...

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.

Теорија електричних кола

Дејан Тошић

∫∞

de)()( ttusU ts

∫∞+

∞−π

de)(2j

ts ssUtu

Користите само

материјале које вам

достави и

препоручи

предметни

наставник у текућој

школској години.

Лапласова трансформација

као алат за одређивање одзива

временски непроменљивих

линеарних електричних кола

∫∞

de)()( ttusU ts

Wilbur R. LePage, Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, McGraw-Hill, 1961.

Murray R. Spiegel, Theory and Problems of Laplace Transforms, McGraw-Hill, 1965.

Lokenath Debnath, Dambaru Bhatta, Integral Transforms and Their Applicaions, CRC Press Taylor & Francis, 2015.

Циљ, покретач (мотив), замисао (идеја)

• Одредити одзив на почетну енергију ипобуду – одредити потпун одзив.

• Решавање диференцијалних једначиназаменити решавањем алгебарских.

• Пронаћи једнозначно и линеарнопреобликовање (трансформацију) којеизвод пресликава у множење константом.

Примена

• Теорија интегро-диференцијалних једначина• Теорија линеарних оператора.• Решавање практичних проблема у физици итехници (инжењерству).

• Решавање обичних диференцијалнихједначина, парцијалних диференцијалнихједначина, интегралних једначина .

• Решавање система алгебарско-диференцијалних једначина.

Initial value problems

Операторски метод

Проблем:одређивање одзива

електричног кола

Систем једначина

(математички модел) проблема

Решење

једначина

Резултат

(одзив)

Трансформисане

једначине

Решење

трансформисаних

једначина

Трансформација Инверзна трансформација

Peter Henrici, Applied and computational complex analysis, vol. 2, Special Functions – Integral Transforms – Asymptotics – Continued Fractions, John Wiley & Sons, 1977.

L. Berg,, Introduction to the Operational Calculus. North-Holland, Amsterdam, 1967.

J. G. Mikusinski, Rachunek Operatorow, Warsaw, 1953. English edition: Operational Calculus. Pergamon Press, London 1959.

∫∞

de)()( ttusU ts

)()()( ttwtu ϑ=

))((LT)(

))(LT()(1 sUtu

tusU−=

w(t) је елементарна функцијакао што су полиноми, експоненцијална функција, синусна функција, иликосинусна функције.

∫∞+

∞−π

de)(2j

ts ssUtu

c је најмања вредност за којутрансформација постоји.

)R,(,j ∈ωσω+σ=s

Лапласов трансформат, оригинал

• Функција времена u(t) је тренутна вредност (оригинал, напон/струја).

• Комплексна функција U(s) је Лапласов трансформат(слика, комплексан напон/струја, комплексанпредставник, трансформат).

• LT(u(t)) је директна Лапласова трансформација.• LT-1(U(s)) је инверзна Лапласова трансформација.• s је Лапласова променљива (комплексна фреквенција).• u(t) и U(s) су Лапласов трансформациони пар.• Трансформација коју смо дефинисали јеунилатерална Лапласова трансформација.

Дефинише се и билатерална Лапласова трансформација али је од мањег интереса

за Теорију електричних кола зато што не узима у обзир природне почетне услове.

Кључна cвојства Лапласове транс.

• Једнозначност. Ако су два оригинала једнака, једнаке су и њихове слике, и обрнуто.

• Линеарност. Трансформација збира сепресликава у збир трансформација и константасе може изнети пред оператор трансформације.

• Претварање извода. Извод у времену сепресликава у множење константом.

• Доња граница је нула-минус да би сеобухватили дисконтинуитети оригинала у нули.

Диракови делта-импулси су примеридисконтинуитета оригинала u(t).

Кључна својства LT

)()()()( 2121 sUsUtutu =⇔=

)()())()(LT( 2121 sUbsUatubtua +=+

)0()()d

)(dLT( −−= usUs

))(LT()(

const, =ba

Постојање (егзистенција) LTНесвојствени интеграл постоји ако је реална функција реалног аргумента, u(t), део по део глатка функција у области интеграције и ако је ctKtu e)( ≤Лапласов интеграл конвергира у комплексној полуравни Re(s) > cкоја се назива област конвергенције (ROC, region of convergence).

Лапласов трансформат је аналитичка функција са својствима:

0)(lim)Re(

=∞→

потребан услов да U(s) буде трансформат

=∞→

→)(lim

ако оригинал u(t) има коначну границу ktu

∞→)(lim

t-домен, s-домен

• t-домен је област дефинисаности оригиналаu(t) (тренутне вредности), t > 0.

• s-домен је област дефинисаности слике U(s)(Лапласовог трансформата).

• Тумачењем Лапласове променљиве, s, каокомплексне фреквенције, каже се даЛапласовом трансформацијом функцију u(t) извременског домена пресликавамо у домен

комплексне фреквенције, у функцију U(s).

Основни парови LT

Елементарне функције времена у табели треба помножити са Хевисајдовом функцијом υ(t).

Савремена Лапласова трансформација користи резултате теорије генералисаних функција и дистрибуција:L. Schwartz, Mathematics for the physical sciences, Addison-Wesley, 1966. И. М. Гельфанд, Г.Е. Шилов, Обобщенные функции, Выпуск 1, 2, 3, Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, СССР, 1959. (постоји превод на енглески)L. Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann, Paris, France, 1961

Изабрани парови LT (1)

Елементарне функције времена у табели, осим сабирака који садрже Дираковуделта-функцију, треба помножити са Хевисајдовом одскочном функцијом υ(t).

Изабрани парови LT (2)

Елементарне функције времена у табели, осим сабирака који садрже Дираковуделта-функцију, треба помножити са Хевисајдовом одскочном функцијом υ(t).

функција задатих по интервалима

Трансформате одређујемо

израчунавањем дефиниционог

интеграла и/или применомсвојстава унилатералне

Лапласове трансформације.

Инверзна Лапласова

трансформација

• Радићемо само са функцијама времена чији суЛапласови трансформати рационалне функције по s.

• Инверзну Лапласову трансформацију ћемо тражитирастављањем рационалне функције на делимичне(парцијалне) разломке.

• Користићемо својства и таблицу парова унилатералнеЛапласове трансформације.

• Трансформат ћемо раставити на збир штоједноставнијих сабирака чије инверзне трансформацијепостоје у табелама парова.

• Нећемо користити Бромвичов(Bromwich) интеграл.

∫∞+

∞−

1 d)(ej2

1))((LT)(

ts ssUsUtu

Почетни тренутак у LT

• Почетни тренутак електричног кола, које решавамоЛапласовом трансформацијом, је нула.

• Природне почетне услове (почетне напонекондензатора и почетне струје калемова) електричногкола, које решавамо Лапласовом трансформацијом, задајемо у тренутку нула-минус.

• Ако је потребно анализирати коло са почетнимтренутком t0 > 0, онда се може увести смена t = τ + t0, и нова променљива времена τ, којом се транслиравременска оса тако да нови почетни тренутак колабуде τ0 = 0. Одређује се одзив по τ, па се у њему уведесмена τ = t – t0.

• Сматрамо да су побуде каузалне, једнаке нули за t < 0.

Одређивање одзива

• Обележе се чворови, приступи, напони и струјеприступа: усвоје се упоредни смерови и постави сесистем једначина кола.

• Почетни тренутак је нула, а природни почетни условисе задају у тренутку нула-минус.

• Трансформација (директна унилатерална Лапласоватрансформација) се примени на леву и десну странусваке једначине.

• Одреди се комплексан одзив, Лапласов трансформат.• Одреди се одзив (тренутна вредност) из комплексногодзива инверзном унилатералном Лапласовомтрансформацијом.

Пример решавања кола LT

��

00 =t021 =+ ii

021 =− uu

d 11 =

d 22 =

001 )( Iti =−

002 )( Utu =−

Коло решавамо за t > 0 са почетним условима у тренутку нула-минус.

Примена једнозначности LT

021 =+ ii

021 =−uu

d 11 =

d 22 =

0)LT( 21 =+ ii

0)LT( 21 =−uu

dLT()LT( 1

dLT()LT( 2

Примена линеарности LT

0)LT( 21 =+ ii

0)LT( 21 =−uu

dLT()LT( 1

dLT()LT( 2

0)LT()LT( 21 =+ ii

0)LT()LT( 21 =− uu

dLT()LT( 1

dLT()LT( 2

Примена својства извода LT

0)()( 21 =+ sIsI

0)()( 21 =− sUsU

))(()( 011 IsIsLsU −=

))(()( 022 UsUsCsI −=

0)LT()LT( 21 =+ ii

0)LT()LT( 21 =− uu

dLT()LT( 1

dLT()LT( 2

Комплексан одзив LT

Ово електрично коло је основни модел идеалног резонатора, без губитака, у коме се почетном енергијом побуђују простопериодичне осцилације.

Одзив: струја калема

))((LT)( 11

1 sIti −=

��

Ред кола је једнак броју динамичких елемената па је одзив на почетну енергију

непрекидан у почетном тренутку. Сходно томе, можемо за домен одзива писати t ≥ 0.

Појединости одређивања одзива

)((LT))((LT)(

+== −−

UIsLCsIti

(LT)11

(LT)(2

+= −−−

IsCLti

(LT)(2

= −−

sin()1

cos()( 001 tCLL

CLIti += 0≥t

Колики је напон кондензатора?

Комплексне једначине елемената

• Отпорник: U(s) = R I(s)• Кондензатор: I(s) = C (s U(s) – U0)• Калем: U(s) = L (s I(s) – I0)• Операциони појачавач: U1(s) = 0, I1(s) = 0• VCVS: U2(s) = a U1(s), I1(s) = 0• VCCS: I2(s) = g U1(s), I1(s) = 0• CCVS: U2(s) = r I1(s), U1(s) = 0• CCCS: I2(s) = a I1(s), U1(s) = 0• Идеалан трансформатор: U1(s) = m U2(s), I1(s) = –I2(s)/m • Линеаран индуктиван трансформатор: U1(s) = L1 (s I1 (s) – I01) + L12 (s I2 (s) – I02),

U2(s) = L21 (s I1 (s) – I01) + L2 (s I2 (s) – I02)• Комплексне једначине резистивног елемента се добијају тако што се у

дефиниционим једначинама елемента симболи напона и струја замене симболимакомплексних напона и струја.

• Комплексне једначине по Кирхофовим законима се добијају из једначинаКирхофових закона написаних у временском домену, тако што се симболи напонаи струја замене симболима комплексних напона и струја.

Комплексне побуде су Лапласови трансформати побуда, односно трансформатифункција времена које дефинишу напоне напонских и струје струјних извора.

Теореме и поступци важе

• Тевененова теорема, Нортон-Мајероватеорема, Принцип суперпозиције, Својстваодзива (линеарност) и друге теореме остају уважности и у области унилатералне Лапласоветрансформације.

• Поступци одређивања улазне функције суслични поступку одређивања улазнеотпорности.

• Решавање електричног кола уопштенимпоступком напона чворова (Modified Nodal Analysis, MNA)остаје у важности.

Област дефинисаности одзива на

почетне услове (zero-input response)

• Одзив на почетне услове није познат за t < 0, непознајемо предисторију кола, не знамо како су насталипочетни услови.

• Ако је ред кола једнак броју динамичких елемената, онда је одзив на почетне услове непрекидан упочетном тренутку и дефинисан је за t ≥ 0(конзистентни почетни услови, регуларна комутација).у противном, може бити прекидан у t = 0 (инконзистентни почетни услови, нерегуларнакомутација).

• Одзив на почетне услове не садржи генералисанефункције Диракову делта-функцију и Хевисајдовутета-функцију.

Лапласовом трансформацијом коло решавамо за t > 0 са почетним условима у тренутку нула-минус.

Област дефинисаности одзива на

побуду (zero-state response)• Одзив на побуду јесте познат у сваком тренуткувремена –∞ < t < ∞.

• Одзив на побуду јесте једнак нули за t < 0 зато штопосматрамо каузална ел. кола са каузалним побудама, чији одзив не може да почне пре појаве побуде.

• Сваки сабирак одзива на побуду садржигенералисану функцију као множилац: Дираковуделта-функцију δ(t) или Хевисајдову тета-функцијуυ(t).

• Одзив на побуду је дефинисан у сваком тренуткувремена, –∞ < t < ∞, и може бити прекидан у почетномтренутку кола или неким другим тренуцима времена.

Област дефинисаности потпуног

одзива

• Потпун одзив није познат за t < 0, у општем случају, не познајемо предисторију кола, не знамо како сунастали почетни услови.

• Ако је ред кола једнак броју динамичких елемената, онда је одзив на почетне услове непрекидан упочетном тренутку (конзистентни почетни услови, регуларна комутација) и потпун одзив је дефинисан заt ≥ 0.У противном, потпун одзив може бити прекиданза t = 0 (инконзистентни почетни услови, нерегуларнакомутација).

• Потпун одзив садржи генералисане функцијеДиракову делта-функцију и Хевисајдову тета-функцијусамо у сабирцима који чине одзив на побуду.

Обавезно наведите област

дефинисаности одзива

• Без обзира на поступак који користите за одређивањеодзива електричног кола (решавање диференцијалнеједначине, конволуциони интеграл, унилатералнаЛапласова трансформација, примена својствалинеарности), наведите обавезно областдефинисаности (домен) одзива по времену.

• Одзив на побуду је увек дефинисан за сваки реалантренутак времена.

• Одзив на почетну енергију није познат за t < 0.• Испитајте да ли је ред кола једнак броју динамичкихелемената за прецизирање непрекидности одзива напочетну енергију и потпуног одзива.

Корист и добит у примени

• Не решава се систем алгебарско-диференцијалних једначина већсистем алгебарских једначина.

• Довољни су природни почетни услови и нема прерачунавањапочетних услова у нула-плус и одређивања изведених почетнихуслова.

• Неконзистентност почетних услова (нерегуларна комутација) сеузима у обзир аутоматски.

• Подесно за одређивање импулсног одзива, на пример, кодпримене конволуционог интеграла.

• Подесно за одређивање одскочног одзива.• Подесно за одређивање одзива на почетну енергију (одзива напочетне услове, одзива на акумулисану енергију, одзива насакупљену енергију, одзива на нагомилану енергију).

• Добија се потпун одзив (комплетан одзив).

Тешкоће и препреке у примени

• Непостојање трансформата побуде.

• Непостојање инверзне трансформације.

• Сложеност налажења инверзне. трансформације

• Смањена делотворност и учинковитост услучају побуда ограниченог трајања и побуда

које су дефинисане са више аналитичких

израза по интервалима времена.

Важна својства

Лапласове трансформације

)()()d)()(LT(

sGsUtgut

=ττ−τ∫

TssUTtu −=− e)())(LT(

Крајње вредности

))((lim)0( sUsus ∞→

))((lim)(0

sUsus→

Користити ово својство када је познат трансформат, траже се крајње вредности, а не тражи се одзив или његов график у времену.

Померај аргумента (транслација)

TssUTtu −=− e)())(LT(

attuasU −− =+ e)())((LT 1

Користити ово својство за делотворније и учинковитије налажење директне или

инверзне унилатералне Лапласове трансформације, на пример, када су побудеописане са више аналитичких израза по интервалима времена. Такође, ово својство семоже користити у анализи електричних кола са идеалним водовима.

Конволуција

)()()d)()(LT(

sGsUtgut

=ττ−τ∫

Лапласова трансформација пресликава

конволуцију функција времена у

производ Лапласових трансформата.

Сличност (скалирање)

))(LT(a

aatu =

))((LT 1

asaU =−

Диференцирање у t-домену

)0()())(LT( −−=′ usUstu

)0()0()())(LT( 2 −− ′−−=′′ ususUstu

)0()0(

)0()0()())(LT()1()2(

−−−−

−−

−′−−=nn

sususUstu L

Диференцирање у s-домену

)(d)1())(LT( −=

Уопштена комплексна

функција

временски непроменљивоглинеарног електричног кола

без почетне енергијеса једним извором

Уопштена комплексна функција

електричног кола• Посматрајмо линеарно временски непроменљиво електрично колобез почетне енергије у коме делује само један извор (једаннезависан генератор).

• Сви природни почетни услови у тренутку нула-минус су једнакинули.

• Уопштена комплексна функција електричног кола (функцијаелектричне мреже у Лапласовој трансформацији, функцијасистема) је однос трансформата одзива и трансформата побуде.

• Ако су побуда и одзив на истом приступу, комплексна функција сеназива улазна комплексна функција (улазна имитанса).

• Ако су побуда и одзив на различитим приступима, комплекснафункција се назива преносна комплексна функција (трансферфункција, функција преноса у Лапласовој трансформцији).

• У анализи комплексних функција ел. кола Лапласова променљива, комплексна учестаност, s се посматра у целој комплексној равни.

Када посматрамо уопштену комплексну функцију кола у целој комплексној равни, и ван областиконвергенције унилатералне Лапласове трансформације, кажемо да смо урадили аналитичко проширење.

Импеданса, адмитанса, трансмитанса, појачање, слабљење• Улазна импеданса.• Улазна адмитанса.• Преносна импеданса (трансимпеданса).• Преносна адмитанса (трансадмитанса).• Трансмитанса напона (напонско појачање, voltage gain,

voltage amplification).• Трансмитанса струје (струјно појачање, current gain,

current amplification).• Функција слабљења (attenuation).• У литератури се дефинише и уопштена комплекснафункција електричног кола као количник двапроизвољна трансформата одзива.Потпуни назив би био са фразом у области унилатералне Лапласове трансформације,на пример, Улазна импеданса у области унилатералне Лапласове трансформације.

Примена уопштене комплексне

функције електричног кола

• Пројектовање електричних филтара.• Синтеза електричних мрежа: одређивањеелектричне мреже или кола за задате уопштенекомплексне функције.

• Анализа осетљивости електричних кола: испитивање промена комплексне функције, фреквенцијских карактеристика, и одзива, сапроменама параметара електричног кола.

• Анализа стабилности електричних кола.

Импулсни и одскочни одзив

))((LT)( 1 sHtg −=

(LT)( 1 sHs

tf −=

Импулсни одзив (Гринова функција) је инверзна Лапласоватрансформација одговарајуће трансфер функције*.

Одскочни одзив (индициона функција) је инверзна Лапласоватрансформација одговарајуће трансфер функције* подељене са s.

Импулсни

одзив се често

обележава са

Unit-impulse response

Unit-step response

*Прецизније, уопштене комплексне функције електричног кола у области Лапласове трансформације.

Ред електричног кола и LT

• Ред електричног кола је број диференцијалнихједначина у систему једначина стања. Подразумева се да су једначине стањанаписане у Кошијевој нормалној форми.

• То је истовремено и ред диференцијалнеједначине одзива.

• Ред електричног кола је ред уопштенекомплексне функције електричног кола уобласти унилатералне Лапласоветрансформације.

Ред рационалне функције по Лапласовој променљивој s је степен именитеља.

Који је ред кола са слике?Проверити да ли се добија исправан

резултат ако се посматра неки други одзив, осим напона напонског извора када је H = 1.

Одзив на побудуm : 1

sin()( mg ttCL

Utu ϑ=

Који је ред овог кола?

Испитајте ред овог ел. кола LT

На пример, одредите Лапласов трансформат струјенапонског извора (комплексну струју извора) ииспитајте његов ред. На колико начина можете да решите овај задатак?

Питања (1)

• Шта је Лапласова трансформација и зашто се онакористи?

• Који је мотив увођења Лапласове трансформације?• Која су кључна својства Лапласове трансформације?• Које основне парове Лапласове трансформације знате?• Како се одређује инверзна Лапласова трансформацијарационалне функције?

• Који почетни тренутак кола подразумева Лапласоватрансформација?

• У ком тренутку времена задајемо природне почетнеуслове када коло решавамо Лапласовомтрансформацијом?

Питања (2)

• Који је поступак одређивања одзива Лапласовомтрансформацијом?

• Како гласи својство крајње вредности?• Шта је својство помераја аргумента?• У шта се пресликава конволуција Лапласовомтрансформацијом?

• Шта је уопштена комплексна функција електричногкола у области Лапласове трансформације?

• Како гласи веза импулсног одзива (Гринове функције) и трансфер функције?

• Како гласи веза одскочног одзива (индиционефункције) и трансфер функције?

Питања (3)

Питања (4)

Питања (5)

Питања (6)

Питања (7)

Питања (8)

Питања (9)

Питања (10)

Задаци (1)

Задаци (2)

Задаци (3)

Задаци (4)

Задаци (5)

Задаци (6)

Задаци (7)

Задаци (8)

Задаци (9)

Задаци (10)

Задаци (11)

Задаци (12)

Задаци (13)

Задаци (14)

Задаци (15)

Задаци (16)

Задаци (17)

Задаци (18)

Задаци (19)

Задаци (20)

Задаци (21)

Задаци (22)

Задаци (23)

Задаци (24)

Задаци (25)

Задаци (26)

Задаци (27)

Pierre-Simon Laplace 1749–1827

Математичар и астроном. Докторирао код Jean d'Alembert. Биоментор за докторат Siméon Denis Poisson. Предавао у ÉcoleMilitaire. Члан Académie des sciences. Титулу маркиза добија

после Рестаурације. Рођен у Beaumont-en-Auge, Француска.

1785 ради наТрансформацији “Je n'avais pas

besoin de cette hypothèse-là.”∫

∞−

de)()( ttusU ts

∫∞+

∞−π

de)(2j

ts ssUtu

Pierre Simon (Marquis de) Laplace 1749–1827http://www.tour-eiffel.fr/

SKalem.wxmx 1 / 2

Др Дејан В. Тошић, редовни професор Теорија електричних кола, предавања

Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.

1 Једначине МНА

Испитати да ли је граф електричног кола повезан.Ако јесте, применити уопштен поступак напона чворова.

Написати једначине Кирхофовог закона за струје ( КЗС) за све чворове осим нултог ( упоредног) чвора.

Изразити струје приступа, ако је могуће, преко напона чворова.

Добијени систем једначина су комплексне једначине уопштеног поступка напона чворова, што још зовемо једначине модификоване нодалне анализе ( МНА), а на енглеском Modified Nodal Analysis (MNA).

(%i1) jednacineMNA: [ (V1 - V3)/R5 + IUg = 0, (V2 - V3)/R4 + (V2 - V5)/R3 = 0, (V3 - V1)/R5 + (V3 - V2)/R4 + IOpAmp2 = 0, (V4 - V5)*C2*s + V4/R1 = 0, (V5 - V4)*C2*s + (V5 - V2)/R3 + IOpAmp1 = 0, V1 - V2 = 0, V1 - V4 = 0, V1 = Ug];

(jednacineMNA) [V1−V3

R5+ IUg =0,

V2−V5

V2−V3

V3−V2

V3−V1

R5+ IOpAmp2=0,C2

( )V4−V5 s+V4

R1=0,C2 ( )V5−V4 s+

V5−V2

R3+ IOpAmp1=0,V1−V2=0,V1−V4=0,V1

2 Променљиве МНА

Комплексне променљиве једначина су напони чворова иструје приступа које се не могу изразити преко напона чворова, а то су струје операционих појачавача и струја напонског извора.

(%i2) promenljiveMNA: [ V1, V2, V3, V4, V5, IUg, IOpAmp1, IOpAmp2 ];

(promenljiveMNA) [V1,V2,V3,V4,V5, IUg , IOpAmp1, IOpAmp2]

SKalem.wxmx 2 / 2

3 Одзив

Решити електрично коло решавањем једначина МНА,одредити комплексан одзив електричног кола.

(%i3) odziv: linsolve(jednacineMNA, promenljiveMNA);

(odziv) [V1=Ug,V2=Ug,V3=−R4 Ug −C2 R1 R3 Ug s

C2 R1 R3 s,V4=Ug,V5=

C2 R1 Ug s+Ug

C2 R1 s

, IUg =−R4 Ug

C2 R1 R3 R5 s, IOpAmp1=−

C2 R3 Ug s+Ug

C2 R1 R3 s, IOpAmp2=

R5 Ug+R4 Ug

C2 R1 R3 R5 s]

4 Одредити улазну импедансу

Одредити улазну импедансу као количник комплексног напона извора ( генератора) и струје за стандардне смерове посматрано ка колу.

(%i4) I: -IUg;(I) −IUg

(%i5) Zin: Ug/I, odziv, ratsimp;

(Zin)C2 R1 R3 R5 s

5 Одредити заменску индуктивност

На основу улазне импедансе закључујемо да се мрежа настала уклањањем извора понаша као калем индуктивности

(%i6) L: Zin/s;

(L)C2 R1 R3 R5

Због тога је решавано коло названо синтетички калем.

Улазне струје операционих појачавача су једнаке нули. Нисмо уводили посебне симболе за њих, већ смо то уврстили у једначине модификоване нодалне анализе. Тако смо смањили број променљивих и број једначина, што неки ауториназивају сажети уопштен поступак напона чворова; енглески, Reduced MNA or Compacted MNA.

(%i7) timedate();(%o7) 2019−11−21 14:44:11+01:00

Теоријаелектричнихколаtek.etf.bg.ac.rs/teorijaekola06_laplace.pdf ·...

Documents

српскиистраживач НиколаТесла...

Користитесамо...

Др ДејанВ Тошић редовнипрофесор...

Вишефазнеелектричнесистемејепатентирао...

teorijaekola01 uvod elementi -...

Теоријаелектричнихкола на...

teorijaekola07 slozenoperiodican rezonancija -...

Теоријаелектричнихкола на...