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AREA 02 SCIENZE FISICHETematica di Ricerca 3: Interazioni fondamentali, gravitazione e particelle nel cosmo
Roberto De Leo – Assegnista di Ricerca – III anno
INFN, sez. di Cagliari, e Dip. di Fisica, U. di Cagliari
Tema 1: Un modello di dinamica torsionale del DNAin collaborazione con M. Cadoni (Dip. di Fisica, U. di Cagliari) e G. Gaeta (Dip. di Matematica, U. di Milano)
Struttura del DNA
Il DNA e’ un acido nucleico, strutturato come una
doppia catena, che contiene le informazioni nec
essarie allo sviluppo biologico di tutte le forme
di vita cellulari e della maggior parte dei virus.
Il numero di atomi in una catena di DNA e’ cosi’
grande da rendere impossibile uno studio esatto
del problema. Negli ultimi vent’anni sono stati
introdotti un buon numero di modelli meccanici
del DNA [1] che cercano di catturarne le propri
eta’ essenziali mantenendo al minimo indispens
abile la complessita’ del sistema.
Le coppie di basi
Sotto: una coppia di basi GC.
Sopra: una coppia di basi AT. Ogni base e’ col
legata al backbone – un atomo di Fosforo (aran
cione) e due di Ossigeno (rosso) per sito – da
una molecola di deossiribosio – uno zucchero
con cinque atomi di carbonio (grigio) e tre di os
sigeno.
Apertura del DNA
Alcuni importanti fenomeni, come la replicazione (a
destra) o la trascrizione, avvengono tramite l’apertura
della catena di DNA e sotto l’azioni di enzimi. Come
in una cerniera lampo, il processo si muove lungo la
catena a gran velocita’ (dell’ordine di 1Km/s) aprendo
l’elica in una direzione e richiudendola nell’altra.
Un moto di questo tipo richiede una gran concen
trazione di energie in piccoli spazi (qualche decina di
coppie di basi) capace di muoversi senza dispersione
per grandi distanze. Gli oggetti matematici piu’ adatti
a descrivere un comportamento simile sono i solitoni,
cioe’ onde solitarie che sono soluzioni di equazioni
differenziali non lineari.
Un nuovo modello didinamica torsionale nel DNA
Il nostro modello (a destra in basso) prende le mosse
da quello di Yakushevich [2] (a destra in alto), uno
dei modelli di DNA di maggior successo.
Per arricchire il modello separiamo il pentagono zuc
cherino dalle basi, che nel modello di Yakushevich
sono rappresentati da un unico disco, con una cop
pia di dischi uniti da un’asta rigida di massa nulla.
In questo modo guadagnamo gradi di liberta’ e non
siamo piu’ costretti ad utilizzare costanti di accppi
amento non fisiche come succede per il modello di
Yakushevich.
2R + a
R R
ρ
OA A′
BB′
1
2R + 2dh + ρ0
Rθ1
ϕ1
Rθ2
ϕ2
ρ
r
r
OA A′
B
B′
C
C′
dh
dh
1
Il PotenzialeCome potenziali torsionali, di stacking e di pairing usiamo:
Vt = Kt
∑
n[cos(ϑ(n+1)1 − ϑ
(n)1 ) + cos(ϑ
(n+1)2 − ϑ
(n)2 )]
Vs = 12Ks
∑
n[σ2(ϑ(n+1)1 , φ
(n+1)1 , ϑ
(n)1 , φ
(n)1 )+
+ σ2(ϑ(n+1)2 , φ
(n+1)2 , ϑ
(n)2 , φ
(n)2 )]
Vp = 12Kp
∑
n ρ2(ϑ(n)1 , ϑ
(n)2 , φ
(n)1 , φ
(n)2 )
dove σ e’ la distanza tra due basi adiacenti nella stessa catena
e ρ la distanza tra due basi affacciate.
Per le costanti di accoppiamento prendiamo i valori
Kt = 130KJ/mol Ks = 68N/m Kp = 3.5N/m
Risultati NumericiI profili solitonici che vengono dal nostro
modello [3] sono molto vicini ai corrispon
denti profili del modello di Yakushevich.
La figura a destra mostra i profili dei quat
tro relativi al solitone di tipo (1,0). Il profilo
sottile nella figura (a) e’ quello del corrispon
dente solitone nel modello di Yakushevich.
Il nostro modello dunque e’ in grado di ripro
durre gli stessi risultati di quello di Yakushe
vich; in piu’, risulta maggiormente flessibile
e tutte le costanti di accoppiamento di cui
necessita sono vicine ai valori stimati speri
mentalmente.
100 200 300 400
1
2
3
4
5
6
50 100 150 200 250 300 350 400
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
a b
50 100 150 200 250 300 350 400
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
50 100 150 200 250 300 350 400
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
c d
θ1+θ2
2
θ1−θ2
2
ϕ1+ϕ2
2ϕ1−ϕ2
2
Bibliografia:[1] L. Yakushevich, “Nonlinear Physics of DNA”, Wiley[2] L. V. Yakushevich, A. V. Savin, L. I. Manevitch, “On the nonlinear dynamics of topological solitons in DNA”, physics/0204088[3] M. Cadoni, R. De Leo, G. Gaeta, “A composite model for DNA torsion dynamics”, preprint
Tema 2: Moto semiclassico degli elettroniMoto degli Elettroni
in un potenziale periodicoNell’approssimazione semiclassica un potenziale perio
dico U(x) da luogo ad una funzione energia ε = ε(p)
periodica nei momenti (p1, p2, p3). Dopo l’applicazione
di un campo magnetico esterno B il moto degli elettroni
e’ descritto dalle equazioni{
x = ∇ε(p)p = e
c∇ε(p) × B
Se B e’ cost. allora p · B e’ const. e quindi le orbite
dei momenti dei quasielectroni sono le intersezioni tra
la superficie ε = cost. (“Superficie di Fermi”) e i piani ⊥
a B.
Mappe stereografiche
I metalli sono il luogo piu’ naturale dove appaiono
potenziali periodici.
In questo caso e’ possibile rilevare sperimentalmente
la presenza di orbite aperte dei momenti dei quasi
elettroni tramite misure di magnetoresistenza.
La figura a destra – “mappa stereografica”, ottenuta
sperimentalmente da Gaidukov nel 1961 [1] – mostra,
nel disco delle direzioni del campo megnetico, le
“isole” dei B che danno luogo ad orbite aperte nel
caso di un monocristallo di Argento. Tutte le di
rezioni esterne alle isole danno luogo solo ad orbite
chiuse. Ogni metallo nobile ha una mappa stere
ografica simile.
Risultati NumericiSotto: un particolare della Superficie di Fermi
dell’Argento (le superfici di Fermi sono infinite
e si ripetono periodicamente nelle tre direzioni
coordinate).
A destra: la mappa stereografica dell’Argento
ottenuta numericamente da noi [2,3] utilizzando
recenti risultati analitici di S.P. Novikov e della
sua scuola [4].
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
1
Un semplice “Toy Model”:l’ottaedro tronco periodico
Sotto, un particolare del poliedro che si ottiene
ripetendo all’infinito l’ottaedro tronco nelle tre
direzioni coordinate.
Si puo’ ottenere uno dei piu’ semplici poliedri periodici
a partire dall’Ottaedro Tronco (sopra).
Il vantaggio e’ che lo studio numerico delle sezioni piane
di questa superficie, di sole 8 facce, e’ molto piu’ veloce
di quella di una superficie liscia [5].
La mappa stereografica
L’Ottaedro troncato periodico e’ una superifice
speciale: il suo interno e’ uguale al suo esterno.
In questo caso la mappa stereografica risulta es
sere un frattale. Sotto mostriamo il frattale nella
sfera (l’insieme delle direzioni del campo mag
netico), a destra un particolare ingrandito.
Dim. Frattale
A destra, un particolare (a risoluzione 10 volte
superiore) del frattale di sinistra.
Sotto, il grafico mostra la valutazione della di
mensione frattale col metodo di “Box Counting”.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
log2(Nn) = 1.93n + 1.1
n
log2(Nn)
Bibliografia:[1] N.E. Alexeevskii and Yu.P. Gaidukov, “Fermi surface of Silver”, JETP (15) 1962[2] R. De Leo, “Topological effects in the magnetoresistance of Au and Ag”, Physics Letters A (332), 2004[3] R. De Leo, “Firstprinciples generation of stereographic maps for highfield magnetoresistance in normal metals: An application to Au and Ag”, Physica B (362), 2005[4] S.P. Novikov & A. Ya. Maltsev, Topological Phenomena in Normal Metals, condmat/9709007[5] R. De Leo, “Topology of plane sections of periodic polyhedra with an application to the Truncated Octahedron”, math.DG/0502219, J. of Experimental Mathematics, to appear
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