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Tema 1:Tema 1:Fundamentos Matemáticos
ánde
z
Antonio González Fernández
nzál
ez F
erná
Departamento de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla
Anto
nio
Gon Universidad de Sevilla
© 2
010,
A
Índice
IntroducciónIntroducción
I. Sistemas de coordenadas
II. Campos escalares. Gradiente
III. Campos vectoriales
ánde
z
p
IV. Flujo, divergencia y teorema de Gauss
V Ci l ió t i l t d St k
nzál
ez F
erná V. Circulación, rotacional y teorema de Stokes
VI. Otros operadores vectoriales
Anto
nio
Gon
VII. Teoremas de unicidad
© 2
010,
A
2
Introducción: el electromagnetismo se ib l j t átiescribe en lenguaje matemático
Todo el electromagnetismo se resumen en lasTodo el electromagnetismo se resumen en las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz
0
·
E q F E r v B r
ánde
z
t
BE
¿Qué tipo de entes son E(r) y B(r)?
nzál
ez F
erná t
0 B¿Qué significa ·? ¿Y ×?
Anto
nio
Gon · 0 B
E
Necesitamos dominar el lenguaje de la teoría de
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010,
A
30 0 0 t
EB J
g jcampos
Parte I
Sistemas de coordenadas
ánde
z
Sistemas de coordenadas
nzál
ez F
erná
Anto
nio
Gon
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010,
A
Para identificar los puntos del espacio it ti tnecesitamos etiquetas
Para estudiar funcionesPara estudiar funciones que dependen de la posición debemosposición debemos distinguir un punto de otro
ánde
z
otro
Las etiquetas literales
nzál
ez F
erná
qno dan idea de la proximidad entre
Anto
nio
Gon
ppuntos
Se requieren etiquetas
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A
5
Se requieren etiquetas numéricas
Un sistema de coordenadas asigna ú d t d l inúmeros a cada punto del espacio
A cada punto del espacio tridimensional se leA cada punto del espacio tridimensional se le asigna una terna de números (q1, q2, q3)
Deben identificar cada punto de forma unívoca
No puede haber dos puntos con las mismas coordenadas
ánde
z Deben ser funciones continuas
No puede haber dos puntos con las mismas coordenadas
nzál
ez F
erná A puntos vecinos le
corresponden coordenadas próximas
(1,2,-1) (1.01,1.99,-0.98)
(q q q ) ( d d d )
Anto
nio
Gon
p
Deben ser funciones derivables
(q1,q2,q3) (q1+dq1,q2+dq2,q3+dq3)
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A
6
Deben ser funciones derivables
Para poder operar con ellas
Coordenadas cartesianas (x,y,z)C ( ,y, )
Las coordenadas cartesianas o rectangularesLas coordenadas cartesianas o rectangulares(x, y, z) asignan a cada punto del espacio las distancias (con signo) a tres planos ortogonales
x: Distancia al plano YZ
distancias (con signo) a tres planos ortogonales
ánde
z
x: sta c a al pla o
y: Distancia al plano XZ
nzál
ez F
erná
L t d d ti i
z: Distancia al plano XY
Anto
nio
Gon Las tres coordenadas tienen signo
y pueden variar entre −∞ y +∞
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010,
A
7El vector de posición se escribe r = xi + yj + zk
Coordenadas cilíndricas (ρ,,z)(ρ,, )
Generalización a 3 dimensiones de las coordenadasGeneralización a 3 dimensiones de las coordenadas polares del plano
( d d di l) di i lρ (coordenada radial): distancia al eje Z
ánde
z
φ (c. acimutal): ángulo que la proyección sobre el plano XY forma con el eje X
nzál
ez F
erná con el eje X
z (c. vertical): distancia al plano XY
Anto
nio
Gon
Rangos de variación ρ es siempre positiva. Si reducimosρ hasta atravesar el eje Z, a partir 0 0 2 X
Y
φφ+πρ
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A
8
ρ j , pde ahí ρ vuelve a aumentar, pero el valor de φ pasa a ser φ ± π
0 0 2πz
XZ
φφ
ρ
Dos ejemplos de uso de coordenadas ilí d icilíndricas
CC:ρ
H:z
ánde
z
H:z
S:φ
nzál
ez F
erná
φ
Anto
nio
Gon
Grúa Disco duro
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A
9
Coordenadas esféricas (r,θ,φ)C ( , ,φ)
Otra generalización a 3 dimensiones de lasOtra generalización a 3 dimensiones de las coordenadas polares del plano
r (coordenada radial): distancia al
θ ( l ) á l l t d
r (coordenada radial): distancia al origen
ánde
z
( i t l) á l l
θ (c. polar): ángulo que el vector de posición forma con el eje Z
nzál
ez F
erná φ (c. acimutal): ángulo que la
proyección sobre el plano XY forma con el eje X
Anto
nio
Gon con el eje X
Rangos de variación θ varía desde 0 (en el polo norte) hasta π (en el polo sur). Al pasar 0 0 πr
Z
θθ = 0
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A
10
( p ) pdel polo sur θ vuelve a disminuir, pero φ pasa a ser φ ± π
0 0 π0 2πr
θ = π
Ejemplos de uso de coordenadas fé iesféricas
ánde
z nz
ález
Fer
ná
: R + altura
Anto
nio
Gon
Coordenadasgeográficas
r : RT+ altura
θ : colatitudBrazo robótico
polar
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A
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g g : longitud
p
Relación entre coordenadas esféricas, ilí d i t icilíndricas y cartesianas
De cilíndricas a De esféricas a
ánde
z
cartesianascos x
cilíndricassen r
nzál
ez F
erná sen
yz z cos
z r
Cada sistema se puede poner
Anto
nio
Gon
De esféricassen cos
x r
se puede poner en función de los otros
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A
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De esféricasa cartesianas
sen sencos
y rz r
Ejemplos de cambio de un sistema a t ( bl 1 1)otro (problema 1.1)
1 1 Exprese los siguientes campos escalares en1.1 Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas
Cartesianas Cilíndricas Esféricas
ánde
z 2 2 2 2x y z 2 2 2z 2 2r
nzál
ez F
erná
2 2 22 2z x y 2 22 2z 2 23cos 1 2r
Anto
nio
Gon
cosz 2 2xz x y cotg cos 2 2 2z x y
© 2
010,
A
13cotg tg
zz
2 2
z x yz x y
Razones para elegir un sistema t t í i t íconcreto: geometría y simetría
Los sistemas de coordenadas son arbitrarios SeLos sistemas de coordenadas son arbitrarios. Se elige el más conveniente
U i i l d l lí fi iría
Un criterio lo dan las líneas y superficies que definen el sistema físico (esferas, cilindros...)
omet
rán
dez
Conviene conocer las líneas y superficies coordenadas
Si t i ét i bi l h
Geo
nzál
ez F
erná Sistema simétrico: no cambia al hacer una
transformación
ría
Anto
nio
Gon Simetría traslacional:
invariante en un d l i t
Simetría rotacional: i iSi
met
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desplazamiento rectilíneo
invariante en una rotación
S
Líneas coordenadas: movimiento al i l d dvariar una sola coordenada
Sea un punto de coordenadas (q q q )Sea un punto de coordenadas (q10,q20,q30)
Si aumentamos el valor de q1 nos movemos sobre una curva r = r(q1)
También podemos reducir q1
ánde
z
También podemos reducir q1
Esta es la línea q1-coordenada
nzál
ez F
erná
Del mismo modo
Por cada punto pasan tres líneas.
Si las líneas son
Anto
nio
Gon Del mismo modo
podemos trazar las líneas y
Si las líneas son perpendiculares en cada punto el sistema es
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A
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líneas q2- y q3-coordenada
punto el sistema es ortogonal
Líneas coordenadas en cartesianas, ilí d i fé icilíndricas y esféricas
Cartesianas Cilíndricas EsféricasCartesianas Cilíndricas Esféricas
ánde
z nz
ález
Fer
ná
Líneas rectas paralelas a los
ρ: semirrectas
: circunferenciasr: semirrectas
θ idi
Anto
nio
Gon
pejes
: c cu e e c ashorizontales
z: rectas verticales : paralelos
θ: meridianos
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A
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z: rectas verticales
Los tres sistemas son ortogonales
Superficies coordenadas: mantenemos t t d dconstante una coordenada
Si variamos unaSi variamos una coordenadas y fijamos dos obtenemos líneasdos obtenemos líneas coordenadas
Si fij i
ánde
z
Si fijamos una y variamos dos resultan superficies
d d t
nzál
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erná coordenadas qi = cte
Por cada punto pasan tres
Anto
nio
Gon
p psuperficies coordenadas
La intersección de dos superficies
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La intersección de dos superficies coordenadas es una línea coordenada
Superficies coordenadas en cartesianas, ilí d i fé icilíndricas y esféricas
Cartesianas Cilíndricas EsféricasCartesianas Cilíndricas Esféricas
ánde
z nz
ález
Fer
ná
Planos paralelos a los
r: esferasconcéntricasρ: cilindros rectos
Anto
nio
Gon
pplanos coordenados
θ: conos
: semiplanos
ρ
: semiplanos verticales
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18
: semiplanos verticales
verticales
z: planos
Conveniencia de definir una base t i l d tvectorial en cada punto
Para describir campos vectoriales es necesario darPara describir campos vectoriales, es necesario dar un vector en cada punto del espacio.
Estos vectores pueden representarse mediante sus componentes en una determinada base.
ánde
z Una posibilidad es emplear siempre la misma base, i, j, k.
A( ) A(r )
nzál
ez F
erná
j
i k
A(r2) A(r1)
Otras veces conviene usar una base dependiente del sistema de
Anto
nio
Gon i
j
pcoordenadas empleado.
Esto puede simplificar las expresiones y
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A
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p p p ylos cálculos
Construcción de una base ortonormal a ti d l lí d dpartir de las líneas coordenadas
Por cada punto pasan tres líneasPor cada punto pasan tres líneas
Podemos construir una base vectorial tomando los vectores tangentes a las líneas
ánde
z
k q
re Es tangente a la línea qi, pero no es unitario
nzál
ez F
erná
1 r Tangente yr Factor de
kq pero no es unitario
Anto
nio
Gon 1
kk kh q
ru Tangente yunitariok
k
hq
r Factor de escala
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A
20La base depende de la posición 1 1P Qu u
Base ortonormal en cartesianas
L lí d dZzuz
Las líneas coordenadas son paralelas a los ejes
x
P
ux
uy
i j
k
uz
Los vectores de la base, ux, uy, uz, son también paralelos a los j
ánde
z X y
i j
ux
uy
ejes
La base cartesiana es la misma
nzál
ez F
erná
Y
Esta base sí es El vector de posición es
que i,j,k
Anto
nio
Gon independiente de
la posición
El vector de posición es
x y zx y z r u u u
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010,
A
21
Base ortonormal en cilíndricas: depende d l i ióde la posición
t di luρ es un vector radial horizontal
uφ es tangente a una circunferencia horizontal
ánde
z uz es vertical
nzál
ez F
erná
DEPENDE DE LA POSICIÓN
Anto
nio
Gon POSICIÓN
El vector de posición
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A
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El vector de posiciónse escribe zz r u u x yx y u u u
Base ortonormal en esféricas: depende d l i ióde la posición
ur es radial desde el origen
u es tangente a losuθ es tangente a los meridianos (va hacia “el sur”)
ánde
z
sur )
uφ es tangente a los
nzál
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erná
φparalelos (hacia “el este”)
DEPENDE DE LA El vector de posición
Anto
nio
Gon DEPENDE DE LA
POSICIÓN
El vector de posiciónse escribe
rrr u
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r
Las tres bases son ortonormales
Ortonormal: ortogonal y unitarioO to o al: o togo al y u ta o
1·
0i k
i ki k
u u1 2 1 3 2 3· · 0 u u u u u u
0i k i k
De la ortonormalidad se deduce que
1 1 2 2 3 3· · · 1 u u u u u u
ánde
z
De la ortonormalidad se deduce que1 1 2 2 3 3· A B A B A B A B
Si b dif t h lti li l
nzál
ez F
erná Si se usan bases diferentes hay que multiplicar los
vectores de las dos bases: p.ej. si A=2ux+3uy, B = uρ−uφ, entonces A·B = 2u ·u +3u ·u − 2u ·u − 3u ·u
Anto
nio
Gon
La componente Ak puede 1 1·A A u
entonces A B = 2ux uρ+3uy uρ 2ux uφ 3uy uφ
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A
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La componente Ak puede hallarse como Ak = A·uk
1 1
1cos , A u A
Las tres bases vectoriales son d t ó idextrógiras
Dextrógira: que verifica la regla de la mano derechaDextrógira: que verifica la regla de la mano derecha
x y z y x z
y z x z y x
u u u u u uu u u u u u
Igual para las otras
ánde
z z x y x z y u u u u u u dos bases
nzál
ez F
erná
El orden es importante
C t i ( )
Anto
nio
Gon
Cilíndricas: (ρ, φ, z)
Cartesianas: (x, y, z)
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A
25Esféricas: (r, θ, φ)
Relaciones entre las bases: Los 9 t d i d di tvectores no pueden ser independientes
De cilíndricas a cartesianasDe cilíndricas a cartesianas
cos senx y u u u
z zu usen cosx y u u u
ánde
z
De esféricas a cilíndricas
nzál
ez F
erná De esféricas a cilíndricas
sen cosr z u u u
Anto
nio
Gon cos sen z u u u
u u
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26
Tabla de relaciones entre las bases
cos sen sen cos cos cos sensen cos sen sen cos sen cos
x r
y r
u u u u u uu u u u u u
cos senz z r u u u u
ánde
z
cos sen sen cossen cos
x y r
x y
u u u u uu u u u
nzál
ez F
erná cos senz z r u u u u
Anto
nio
Gonsen cos sen sen cos sen cos
cos cos cos sen sen cos senx y z z r
x y z z
u u u u u uu u u u u u
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A
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sen cosx y u u u u
Problemas de relaciones entre las bases t i lvectoriales
1.2 Exprese los siguientes campos vectoriales en1.2 Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas:
Ay x
B u uA r
2 22 z z C u u
2 2 2 2x yy
x y x y
B u u
tgr D u
ánde
z
z C u u tg u
Solución
nzál
ez F
erná
1.3 Dados los vectores A = uρ – uz, B = 5ur + 12uθ, evaluados en el punto de coordenadas
Anto
nio
Gon
θ, pcartesianas x = 3, y = 4, z = 12, calcule:(a) A + B, (b) A·B, (c) A×B.
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A
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( ) , ( ) , ( )
Solución
Diferenciales de camino en coordenadas ilícurvilíneas
Un diferencial de camino es un desplazamientoUn diferencial de camino es un desplazamiento infinitesimal entre dos puntos vecinos r y r + drEl d dEl vector dr puede expresarse en la b l l i d
ánde
z
base local asociada al punto r
nzál
ez F
erná
1 1 2 2 3 3 1 2 3d d , d , d , ,q q q q q q q q q r r r1 2 31 2 3
d d d dq q qq q q
r r rr 1 1 2 2 3 3d d d dq q q r e e eDiferencial de caminod d d dh h h
Anto
nio
Gon
1 2 31 1 1 2 2 2 3 3 3d d d dh q h q h q r u u u
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010,
A
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hk: factor de escala uk: vector de la base
Factores de escala y diferenciales en los t i t i i ltres sistemas principales
Miden la proporción entreMiden la proporción entre lo que varía qi y lo que varía dr
d d
dh
r
r dφρdφ
1 ρvaría dr.P.ej. si solo varía φ
dh
ánde
z Para los tres sistemas principales
nzál
ez F
erná
Car.
Cil
d d d dx y zx y z r u u u
d d d d
1 1 1x y zh h h
1 1h h h
Anto
nio
Gon
Esf
Cil.
d d d sen dr r r r u u u
d d d d zz r u u u1 1zh h h
1 senh h r h r
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A
30
Esf. d d d sen drr r r r u u u1 senrh h r h r
Diferenciales de superficie coordenada d d ilíen coordenadas curvilíneas
Por definición, dS = dS ndS Por definición, dS dS n|dS| = dS: área del elementodS
dSn
Dirección y sentido de la normal(exterior si S es cerrada)
S
ánde
z Podemos construir dS a partir de dos diferenciales de camino tangentes a la superficie
nzál
ez F
erná de camino tangentes a la superficie
3 1 2d d d S r r Diferencial de superficie q2dSq3=cte
Anto
nio
Gon
3 1 2 1 2 1 2d d dh h q q S u u1 1 1 1d dh qr u
ppara q3= cte
d d dh hSdr2 q
q2dS3
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A
31
2 2 2 2d dh qr u 3 1 2 1 2 3d d dh h q qS udr1
q1
Diferenciales de superficie en los tres i t i i lsistemas principales
Cartesianas Cilíndricas EsféricasCartesianas Cilíndricas Esféricas
ánde
z nz
ález
Fer
ná
d d dz S ud d dx xy zS u 2 send d dr rr S u
Anto
nio
Gon
d d dy yx zS u d d dz S u
x xy r r
d sen d dr r S u
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010,
A
32
d d dz zx yS u d d dz z S u d d dr r S u
Diferenciales de volumen en d d ilícoordenadas curvilíneas
Puede construirse un diferencial dedτ Puede construirse un diferencial de volumen, dτ, extendiendo un diferencial de superficie en la
dτ
dr3 dS diferencial de superficie en la tercera dimensión
dr3 dS3
ánde
z 3 3 1 2 1 2 3 3 3 3d d ·d d d ·h h q q h dq S r u uDiferencialde volumen 3 3 1 2 3 1 2 3d d ·d d d dh h h q q q S r
nzál
ez F
erná de volumen
J = h1h2h3 es el jacobiano de la transformación
Anto
nio
Gon
Cartesianas Cilíndricas Esféricasd d d dx y z d d d dz 2d sen d d dr r
© 2
010,
A
33
d d d dx y z d d d dz d sen d d dr r
Sevilla septiembre de 2010
ánde
z
Sevilla, septiembre de 2010
nzál
ez F
erná
Anto
nio
Gon
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010,
A
107
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