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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Resolución de ecuaciones no lineales
Acotación y separación de raíces.
Ecuaciones polinómicas. Método de Sturm.
Método y algoritmo de la bisección: análisis de errores.
Método de Newton: convergencia del método.
Regla de Fourier.
Caso de raíces múltiples: aceleración de la convergencia
Tema 3:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Problema Calcular todas las raíces de xex-1=0 .
Cál
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mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Una ecuación no lineal es una ecuación del tipo f(x)=0,
donde f(x) es una función no lineal.
Solución de una ecuación no lineal
Un número es solución o raíz de la ecuación si f( )=0. A
un tal se le denomina también cero de la función f(x).
x xx
Una raíz de la ecuación f(x)=0 tiene multiplicidad n six
0)(y 0)()(')( ))1 ≠==== − xfxfxfxf nnL
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
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mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
0)(y 0)()(')( ))1 ≠==== − xfxfxfxf nnL
Cuando n=1 se habla de raíz simple, en otro caso, múltiple.
Ejemplo: La parábola y=(x-1)2 tiene un cero doble (i.e. de
multiplicidad 2) en la abscisa x=1, mientras que la recta y=x-1
tiene un cero simple en dicho punto.
Cál
culo
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mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Método gráfico: a modo de orientación
Analíticamente:
Crecimiento: signo f ’(x)
Bolzano: f continua en [a,b], f(a)·f(b)<0
Sucesiones de Sturm: caso de polinomios
A) Localización y separación de las raíces
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
B) Aproximación numérica de cada una de las raíces
Sucesiones de Sturm: caso de polinomios
Bisección: si se satisface Bolzano
�ewton: si se satisface Fourier
Cál
culo
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mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Método gráfico: a modo de orientación
xeex x
xx 1
010
=⇔=−⋅≠
A) Localización y separación de las raíces
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
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ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Cál
culo
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mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Analíticamente:
Crecimiento: signo f ’(x)
xexxf )1()(' +=
A) Localización y separación de las raíces
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
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ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
exxf )1()(' +=
010)1(0)('0
=+⇔=+⇔=>
xexxf
xex
-1
)1,(en ,01
)2('2
−−∞↓<−=− fe
f
-
),1(en ,01)0(' ∞−↑>= ff
+
Cál
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Analíticamente:
A) Localización y separación de las raíces
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
Bolzano: f continua en [a,b], f(a)·f(b)<0
Crecimiento: signo f ’(x)
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
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ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
01)(lim <−=−∞→
xfx
-
0)(lim >+∞=∞→
xfx
+
-1
011
)1( <−−−e
f
-↓ ↑
0)()1(
0)1()(
<+∞⋅−•
>−⋅−∞•
ff
ff
Por tanto:
Cál
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mér
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
A) Localización y separación de las raíces
Analíticamente:
Bolzano: f continua en [a,b], f(a)·f(b)<0
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
( )( )
Crecimiento: signo f ’(x)
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
1.- La función f(x) es continua en (-∞, ∞),
01)0( <−=f2.-
3.- 01)1( >−= ef
Conclusión: existe un cero de f(x) en (0,1)
Además, es único, pues f es continua y monótona en (0,1)
( )+∞−↑ ,1f( )1,−∞−↓f
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
A) Localización y separación de las raíces: funciones polinómicas
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
4 3 2
0 ( ) 2 4 3 1.g x x x x x= − − + +
Ejemplo: Los ceros de la función
cumplen que: 32
41||
1
41
1
5
1=+<<
+= x
por tanto:
∪
−−∈ 3,
5
1
5
1,3x
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
A) Localización y separación de las raíces: funciones polinómicas
Regla de Laguerre:
Dado un número real positivo, c, tal que
Entonces c es una cota superior para las raíces positivas.
0b,b,,b,bien o0b,b,,b,
)bb(b )()(
1-n2-n01-n2-n0
1-n2-n
1
0
≤≥
++++−= −
LL
L
rr
rxxcxxP n
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Entonces c es una cota superior para las raíces positivas.
=
xRxxP n 1
)(
Además:
• Si , c=cota superior de las raíces positivas de R(x)
entonces, 1/c = cota inferior de las raíces positivas de P(x)
• Si c=cota superior (inferior) de las raíces positivas de P(-x), entonces
-c = cota inferior (superior) de las raíces negativas de P(x).
Cál
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Definición
Una sucesión de Sturm para una función f(x) en [a,b] es un
conjunto f0(x)=f(x), f1(x), f2(x),…,fn(x) de funciones continuas en
dicho intervalo que satisfacen:
( ) 0f x ≠ cualquiera que sea [ , ]x ab∈
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
A) Localización y separación de las raíces: Método de Sturm
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
( ) 0nf x ≠ cualquiera que sea [ , ]x ab∈
•1 1( ) 0 ( ) ( ) 0i i if c f c f c− += ⇒ ⋅ <
• 00
1
( )( ) 0
( )
f xf c
f x= ⇒ Pasa de negativa a
positiva en c.
•
Cál
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Teorema de Sturm
Sea f0(x), f1(x), f2(x),…,fn(x) una sucesión de Sturm para f(x)=f0(x)
en [a,b] y consideremos las sucesiones siguientes:
1. sig[f0(a)], sig[f1(a)],…, sig[fn(a)]
2. sig[f (b)], sig[f (b)],…, sig[f (b)]
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
A) Localización y separación de las raíces: Método de Sturm
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
2. sig[f0(b)], sig[f1 (b)],…, sig[fn(b)]
Sea +1= número de cambios de signo en la sucesión 1.
Sea +2= número de cambios de signo en la sucesión 2.
Entonces, el número de raíces existentes en intervalo [a,b] de la
ecuación f(x)=0 viene dado por +1-+2.
en las que sig(d) denota el signo de d (indistintamente +/- cuando
d=0).
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Método para generar una sucesión de Sturm para
f0(x)=P(x)
,
f1(x)=P´(x),
f2(x)=-r1(x) donde r1(x) denota el resto de dividir f0(x) entre f1(x).
f (x)=-r (x) donde r (x) denota el resto de dividir f (x) entre f (x).
1
0 1 1 0( ) n n
nP x a x a x a x a−−= + + + +L o un polinomio equivalente.
Pasos:
En general:
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
A) Localización y separación de las raíces: Método de Sturm
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
fi+1(x)=-ri(x) donde ri(x) denota el resto de dividir fi-1(x) entre fi(x).
• Si rk(x)=l≠0, entonces {fk(x)}0≤i≤k+1 es una sucesión de Sturm para P(x).
• Si rk(x)=0, entonces P(x) tiene ceros múltiples y fk(x)=m.c.d(P,P´)
( )( )
( )k
P xQ x
f x= es equivalente a P(x) con todos su ceros simples.
0
( )
( )
i
k i k
f x
f x≤ ≤
es una sucesión de Sturm para Q(x).
¿Cuándo se termina?
Cál
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Paso 1:6 5 4 3 2
0 ( ) 2 6 8 4 1f x x x x x x x= − + + − − −
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
A) Localización y separación de las raíces: Método de Sturm
Ejemplo: Localizar y separar los ceros de
14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
5 4 3 2
1( ) 6 15 2 12 2f x x x x x x= − + + − −
Paso 2:
5 4 3 2
0 (́ ) 12 30 4 24 2 4f x x x x x x= − + + − −
Siempre podemos
multiplicar o dividir por
un número positivo
Cál
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Paso 3:
14862 23456 −−−++− xxxxxx 2122156 2345 −−++− xxxxx
Cálculo de f2(x)
x 1−
4 3 213 26 8 21 8x x x x= − − + +
Multiplicamos por 3
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
A) Localización y separación de las raíces: Método de Sturm
Ejemplo: Localizar y separar los ceros de
14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
6 5 4 3 26 18 3 24 3 12 3x x x x x x− + + − − −
x
6 5 4 3 26 15 2 12 2x x x x x x− + − − + +
5 4 3 23 12 2 10 3x x x x x− + + − − −
5 4 3 26 2 24 4 20 6x x x x x− + + − − −
Multiplicamos por 2
1−
5 4 3 26 15 2 12 2x x x x x− + + − −
4 3 213 26 8 21 8x x x x− + + − −
Siempre podemos
multiplicar o dividir por
un número positivo
Multiplicamos por 3
Cál
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Paso 4: Cálculo de f3(x)
Multiplicamos por 13
2122156 2345 −−++− xxxxx 4 3 213 26 8 21 8x x x x− − + +
6x 3−
3 22 3 1x x x= − − +
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
A) Localización y separación de las raíces: Método de Sturm
Ejemplo: Localizar y separar los ceros de
14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Multiplicamos por 13
5 4 3 278 195 26 156 13 26x x x x x− + + − −6x
5 4 3 278 156 48 126 48x x x x x− + + − −
4 3 239 74 30 61 26x x x x− + + − −
3−
3 24 6 2 2x x x− + + −
2463247839 234 ++−− xxxx
Cál
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Paso 5: Cálculo de f4(x)
Multiplicamos por 2
13x 13−
4 3 213 26 8 21 8x x x x− − + + 3 22 3 1x x x− − +
2 1x x= − −
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
A) Localización y separación de las raíces: Método de Sturm
Ejemplo: Localizar y separar los ceros de
14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
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ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Multiplicamos por 2
4 3 226 52 16 42 16x x x x− − + +13x
4 3 226 39 13 13x x x x− + + −
3 213 3 29 16x x x− − + +
13−
3 226 6 58 32x x x− − + +
245 45 45x x− + +
Multiplicamos por 2
3 226 39 13 13x x x− − +
Cál
culo
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ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Paso 6: Cálculo de f5(x)
3 22 3 1x x x− − + 2 1x x− −
PARAR r4(x)=0
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
A) Localización y separación de las raíces: Método de Sturm
Ejemplo: Localizar y separar los ceros de
14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
2x 1−
2 3 1x x x− − + 1x x− −3 22 2 2x x x− + +
2 1x x− + +2 1x x+ − −
0
Cál
culo
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
2
4. . ( , ') ( ) 1.m c d P P f x x x= = − −
Al ser el r4(x)=0, se tiene:
• P(x) tiene ceros múltiples.
•
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
A) Localización y separación de las raíces: Método de Sturm
Ejemplo: Localizar y separar los ceros de
14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
En consecuencia4
( )( )
( )
P xQ x
f x= tiene los mismo ceros que P(x)
pero todos simples.
Además, una sucesión de Sturm para Q(x) es: 0 ( ) ( ),g x Q x=
11
4
( )( ) ,
( )
f xg x
f x= 2
2
4
( )( ) ,
( )
f xg x
f x= 4
3
4
( )( ) ,
( )
f xg x
f x= 4
4
4
( )( ) .
( )
f xg x
f x=
Cál
culo
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mér
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Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
4 3 2( ) 2 4 3 1.g x x x x x= − − + +
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
A) Localización y separación de las raíces: Método de Sturm
Ejemplo: Localizar y separar los ceros de
14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP
Sucesión de Sturm:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
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mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
4 3 2
0 ( ) 2 4 3 1.g x x x x x= − − + +3 2
1( ) 6 9 2.g x x x x= − − +2
2 ( ) 13 13 8.g x x x= − −
3( ) 2 1.g x x= −
4 ( ) 1.g x =
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
g0(x)
g1(x)
g2(x)
∞− ∞
+
+
+++
−
0
+
−+
5.0−
−
+−
5.1
−
++
+
+−
1,2,3 −−− 3,2
+++
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
A) Localización y separación de las raíces: Método de Sturm
Ejemplo: Localizar y separar los ceros de
14862)( 23456 −−−++−= xxxxxxxP
1
+−−
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
g2(x)
g3(x)
g4(x)=1
Cambios de
signo
4 3 2
0 ( ) 2 4 3 1.g x x x x x= − − + +3 2
1( ) 6 9 2.g x x x x= − − +
2
2 ( ) 13 13 8.g x x x= − −
3( ) 2 1.g x x= −
+
+
+++
−
4 0
−
+−
2
4 ceros 2 ceros2 ceros
+
+−
3
1 cero1 cero
+
++
1
1 cero1 cero
+
+−
4
+++
0
++−
2
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
A) Localización y separación de las raíces
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
Método gráfico: a modo de orientación
Analíticamente:
Crecimiento: signo f ’(x)
Bolzano: f continua en [a,b], f(a)·f(b)<0
Sucesiones de Sturm: caso de polinomios
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
B) Aproximación numérica de cada una de las raíces
Sucesiones de Sturm: caso de polinomios
Bisección: si se satisface Bolzano
�ewton: si se satisface Fourier
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
Bisección: si f(x) continua en [a,b], f(a)·f(b)<0
y f’(x) no cambia de signo en [a,b].
f(x)= xex-1 continua y creciente en [0,1]
f(0)=-1<0, f(1)=e-1>0.
Paso 0:
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de la bisección
Entonces:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
I0=[a0,, b0] donde a0=0 y b0=1
x0=0.5
ε0=0.5
0 1
f(0)<0f(1)>0
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Paso 1:
I1=[a1,, b1] donde a1=0.5 y b1=1
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de la bisección
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
0 1
x0=0.5
f(0)<0 f(1)>0f(0.5)<0
La raíz se encuentra aquí
x1=0.75
ε1
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
•El método de bisección nos genera una sucesión en [a,b]:
x0 , x1 , x2 ,…, xn ,…
Conclusión: si f(x) continua en [a,b], f(a)·f(b)<0
y f’(x) no cambia de signo en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de la bisección
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
que converge a la raíz de la ecuación.
Una cota del error es:
Entonces: nn εε2
11 =+
12||
+
−≤−=
nnn
abxxε
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
A) Localización y separación de las raíces
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
Método gráfico: a modo de orientación
Analíticamente:
Crecimiento: signo f ’(x)
Bolzano: f continua en [a,b], f(a)·f(b)<0
Sucesiones de Sturm: caso de polinomios
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
B) Aproximación numérica de cada una de las raíces
Sucesiones de Sturm: caso de polinomios
Bisección: si se satisface Bolzano
�ewton: si se satisface Fourier
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráfica de f(x)=xex-1 en [0,1]
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Interpretación geométrica:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráfica de f(x)=xex-1 en [0,1]
Interpretación geométrica:
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
x0x1=x0-f(x0)/f’(x0)
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Gráfica de f(x)=xex-1 en [0,1]
Interpretación geométrica:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
1
0
( )
'( )
nn n
n
f xx x
f x
x
+
= −
Fórmula de Newton-Raphson
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Fórmula de N-R para f(x)=xex-1. Comenzando en x0=1.
Primera iteración:
01 0
0
( ) (1)1 0.683940...
'( ) '(1)
f x fx x
f x f= − = − =
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Fórmula de N-R para f(x)=xex-1. Comenzando en x0=1.
Segunda iteración:
( )f x= − =
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
12 1
1
( )0.577455...
'( )
f xx x
f x= − =
Tercera iteración:
23 2
2
( )0.567228...
'( )
f xx x
f x= − =
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
•¿La sucesión x0, x1, x2,… converge a la raíz de la ecuación?
Condición suficiente: Regla de Fourier
Método de �ewton
Cuestiones:
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
•¿Podemos dar una cota del error que se comete en cada iteración?
Condición suficiente: Regla de Fourier
Cota del error
•¿Importa el valor que se dé a x0? Sí
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales Regla de Fourier:
Dada una ecuación f(x)=0, f continua y derivable en [a,b].
Si cumple que:
1. En [a,b] hay una raíz. 2. f´(x) y f´´(x) no se anula en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Entonces:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
La sucesión
x0, x1,…,xn,…
generada por el método
de Newton converge a
la única raíz de f(x)=0
en [a,b]. Además
[ , ]nx a b∈ para todo n.
Si se toma x0 según la regla:
0
( ) ''( ) 0
( ) ''( ) 0
a si f a f ax
b si f b f b
⋅ >=
⋅ >
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
¿Se satisface la Regla de Fourier para xex-1=0 en [0,1]?
1. Hay una raíz en [0,1].
2. f´(x)=(x+1)ex y f´´(x)=(x+2)ex no se anulan en [0,1].
Regla de Fourier:
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
2. f´(x)=(x+1)ex y f´´(x)=(x+2)ex no se anulan en [0,1].
Como f(1)* f´´(1)>0, si tomamos x0=1 se tiene que la sucesión
x0,x1,…,xn,…
generada por la fórmula de Newton converge a la raíz de la
ecuación que se encuentra en [0,1].
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Cota del error:
Sea una raíz de la ecuación f(x)=0. Si se cumple que:x
x y [ , ]nx a b∈
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
2
1 nn C εε ⋅≤+
A partir del desarrollo de Taylor de grado 2, obtenemos que:
( convergencia cuadrática)
A partir del Teorema del Valor Medio, obtenemos que:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Análisis del error por iteración:
( )
min '( )
n
n n
f xx x
f xε = − ≤
'( ) ( 1) xf x x e= +
Cota del error:
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
[0,1]min '( )n n
x f x∈'( ) ( 1)f x x e= +
'( ) ( 1) 0[0,1]
''( ) ( 2) 0
x
x
f x x ex
f x x e
= + >∈ ⇒
= + >
[0,1]¿min '( ) ?x f x∈
Al cumplirse la regla de Fourier:
1)0(')}1('),0('min{|)('|min ]1,0[ ===∈ fffxfx
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
[0,1]
( )( )
min '( )
n
n n n
x
f xx x f x
f xε
∈
= − ≤ =
Análisis del error por iteración:
Cota del error:
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
1 0.683940...x =
2 0.577455...x =
3 0.567228...x =
1 0.35534...ε =
-3
3 0.00023...<10ε =
2 0.02874...ε =
Si tomamos 0.567 como valor aproximado de la raíz , tenemos que
-3
[0,1]
(0.567)0.567 (0.567) 0.000395...<10
min '( )x
fx f
f xε
∈
= − ≤ = =
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Para determinados valores de x0, puede ocurrir que la fórmula
de Newton-Raphson, , comenzando en x genere ( )nf x
x x= −
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
¿Converge a la raíz la sucesión x0,x1,…,xn,…?
Depende de cada caso.
de Newton-Raphson, , comenzando en x0 genere
una sucesión x0,x1,…,xn,…
1
( )
'( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
2
0xxe− = tiene a 0 como única raíz.
Veamos qué sucede si intentamos hallar su raíz tomando x0=0.5.
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Ejemplo: La ecuación
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
01 0
0
( ) (0.5)0.5 0.5,
'( ) '(0.5)
f x fx x
f x f= − = − = −
12 1
1
( )0.5
'( )
f xx x
f x= − =
Es claro que la sucesión no va a converger.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráficamente:
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Ejemplo: La ecuación2
0xxe− = tiene a 0 como única raíz.
Veamos qué sucede si intentamos hallar su raíz tomando x0=0.5.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráficamente:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráficamente:
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Ejemplo: La ecuación2
0xxe− = tiene a 0 como única raíz.
Veamos qué sucede si intentamos hallar su raíz tomando x0=0.5.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráficamente:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráficamente:
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Ejemplo: La ecuación2
0xxe− = tiene a 0 como única raíz.
Veamos qué sucede si intentamos hallar su raíz tomando x0=0.5.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráficamente:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Ejemplo: La ecuación2
0xxe− = tiene a 0 como única raíz.
Veamos qué sucede si intentamos hallar su raíz tomando x0=0.6.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
2
( ) xf x xe−=
n 1
( )
'( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −
1 -1.542857143…
2 -1.953102422…
3 -2.247722750…
4 -2.494602756…
5 -2.712546496…
… …
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Ejemplo: La ecuación2
0xxe− = tiene a 0 como única raíz.
Gráficamente:
Veamos qué sucede si intentamos hallar su raíz tomando x0=0.6.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráficamente:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Ejemplo: La ecuación2
0xxe− = tiene a 0 como única raíz.
Gráficamente:
Veamos qué sucede si intentamos hallar su raíz tomando x0=0.6.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráficamente:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Ejemplo: La ecuación2
0xxe− = tiene a 0 como única raíz.
Gráficamente:
Veamos qué sucede si intentamos hallar su raíz tomando x0=0.6.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráficamente:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Ejemplo: La ecuación2
0xxe− = tiene a 0 como única raíz.
Gráficamente:
Veamos qué sucede si intentamos hallar su raíz tomando x0=0.6.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráficamente:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Ejemplo: La ecuación2
0xxe− = tiene a 0 como única raíz.
Veamos qué sucede si intentamos hallar su raíz tomando x0=0.4.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
1 -0.1882352940…
2 0.0143566916…
3 -0.0000592069…
4 10-15
5 0
… …
n 1
( )
'( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Ejemplo: La ecuación2
0xxe− = tiene a 0 como única raíz.
Gráficamente:
Veamos qué sucede si intentamos hallar su raíz tomando x0=0.4.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráficamente:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Ejemplo: La ecuación2
0xxe− = tiene a 0 como única raíz.
Gráficamente:
Veamos qué sucede si intentamos hallar su raíz tomando x0=0.4.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráficamente:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Ejemplo: La ecuación2
0xxe− = tiene a 0 como única raíz.
Gráficamente:
Veamos qué sucede si intentamos hallar su raíz tomando x0=0.4.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráficamente:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
Ejemplo: La ecuación2
0xxe− = tiene a 0 como única raíz.
Gráficamente:
Veamos qué sucede si intentamos hallar su raíz tomando x0=0.4.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráficamente:
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
es multiple, por tanto, no cumple las hipótesis de Fourier en [a,b].
Ejemplo: La ecuación x-sen x = 0 posee una única raíz real triple, 0.x =
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
¿Cómo podremos detectar que se trata de una raíz triple,
al intentar aproximarla por el método de Newton?
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Veamos qué sucede si intentamos hallar la raíz de x - sen x = 0
por el método de Newton tomando como x0=1.
n 1
( )
'( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −
!!Extremadamente lenta la convergencia!!
Raíz de multiplicidad 3
Ejemplo: La ecuación x-sen x = 0 posee una única raíz real triple, 0.x =
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
0.000019…20
0.016822…10
0.310290…1
M M
M M
M M10
10
10
'( ) 0.0001...
''( ) 0 '016...
'''( ) 0 '9998...
f x
f x
f x
=
=
=
20
20
20
'( ) 0.00000001...
''( ) 0 '0019...
'''( ) 0 '9999...
f x
f x
f x
=
=
=
f(xn) tiende a 0
f’(xn) tiende a 0
f’’(xn) tiende a 0
f’’’(xn) no tiende a 0
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales Sea f(x)=0 una ecuación que posee una única raíz en [a,b] y que
es múltiple, con multiplicidad k.
Supongamos que la fórmula de Newton-Raphson comenzando
en un cierto valor de x0 (conocido) converge a la raíz.
1
( )nn n
f xx x+
= −
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
¿Cómo acelerar la convergencia de la fórmula de Newton
para hallar la raíz múltiple de f(x)=0 en [a,b]?
1
0
'( )n n
n
x xf x
x
+ = −
1
0
( )
'( )
nn n
n
f xx x k
f x
x
+
= −
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
( )f x
Veamos qué sucede si intentamos hallar la raíz de x-sen x=0
por el método de Newton mejorado tomando como x0=1.
Ejemplo: La ecuación x-sen x = 0 posee una única raíz real triple, 0.x =
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton mejorado
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
1 -0.034…
2 0.0000013…
3 0.00000000000009…
n1
( )3
'( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −
Podemos observar que en la tercera iteración obtenemos una aproximación
de la raíz mucho mejor que la que obteníamos antes con 20 iteraciones.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Gráficamente:
Ejemplo: La ecuación x-sen x = 0 posee una única raíz real triple, 0.x =
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton mejorado
Veamos qué sucede si intentamos hallar la raíz de x-sen x=0
por el método de Newton mejorado tomando como x0=1.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Método Newton Método Newton mejorado
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton mejorado
Veamos qué sucede si intentamos hallar la raíz de x-sen x=0
por el método de Newton mejorado tomando como x0=1.
Ejemplo: La ecuación x-sen x = 0 posee una única raíz real triple, 0.x =
Gráficamente:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Método Newton Método Newton mejorado
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Pasos a seguir para resolver f(x)=0
B) Aproximación numérica de cada raíz: método de Newton mejorado
Veamos qué sucede si intentamos hallar la raíz de x-sen x=0
por el método de Newton mejorado tomando como x0=1.
Ejemplo: La ecuación x-sen x = 0 posee una única raíz real triple, 0.x =
Gráficamente:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales
Método Newton Método Newton mejorado
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