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Tema 9: Proporcionalidad y porcentajes
9.1 Relación de proporcionalidad entre magnitudesTareas 26-02-16: todos los ejercicios de la página 154Constante de proporcionalidad para magnitudes inversamen te proporcionales .Observa que en la tabla siguiente:
nº de perros 1 2 3 5 6
nº de días 30 15 10 6 5
Al multiplicar cualquier valor de la primera magnitud por su correspondiente de la segunda magnitud, seobtiene siempre 30:1 � 30 � 2 � 15 � 3 � 10 � 5 � 6 � 6 � 5 � 30A ese valor, 30 en este caso, le llamamos constante de proporcionalidad.
En una relación de proporionalidad inversa, el producto de dos valores correspondientes essiempre el mismo, y recibe el nombre de constante de proporcionalidad.
Tareas 26-02-16: todos los ejercicios de la página 155
Ejemplo1. Señala en cada caso la opción correcta:
� D � directamente proporcionales� I � inversamente proporcionales� N � no proporcionalesa. el precio de una sandia y su peso� Db. la velocidad de un coche y el tiempo que tarda en hacer un determinado viaje� Ic. El peso de una persona y el número de calzado que gasta� Nd. El caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito� Ie. el tiempo que permanece encendida una bombilla y el consumo eléctrico que
ocasiona� Df. la altura que alcanza el agua en un depósito cilíndrico y el número de litros que
contiene� Dg. el tiempo que dura una película y el precio de la entrada� N
9.2 Problemas de proporcionalidad directaEjemplo1. Francisco ha pagado 4.25 euros por cinco entradas para el circo. ¿Cuánto págara Beatriz por
tres entradas?
magnitud 1 (nº de entradas) magnitud 2 (coste en euros)
5 � 42.5
1 � 42. 5 � 5 � 8. 5
8.5 � 8. 5 � 3 � 25. 5
2. Cuatro entradas para el cine han costado 28 euros. ¿Cuánto costarán siete entradas?
magnitud 1 (nº de entradas) magnitud 2 (coste en euros)
4 � 28
1 � 28 � 4 � 7
7 � 7 � 7 � 49
3. Construye dos proporciones diferentes a partir de la tabla del problema anterior, comprobandoque se cumple que son proporciones. Y expresa con palabras el significado de cada una deellas:
�14
� 728
1
Es una proporción pues1 � 28 � 28
4 � 7 � 28(es decir, producto de medios es igual a
producto de extremos)Se lee "uno es a cuatro como siete a veintiocho"
�17
� 749
Es una proporción pues1 � 49 � 49
7 � 7 � 49(es decir, producto de medios es igual a
producto de extremos)Se lee "uno es a siete como siete a cuarenta y nueve"
4. Carmen ha pagado 3.99 euros por un melón que pesaba 2.28 kg. ¿Cuánto pagará Rodrigo porotro melónn que pesa 3.04 kg?Tenemos la siguiente tabla:
magnitud 1 (coste en euros) magnitud 2 (peso en kg)
2.28 � 3.99
3.04 � x
Como se trata de magnitudes directamente proporcionales es cierto que:2. 283. 04
� 3. 99x � x � 3. 99 � 3. 04
2. 28� 5. 32 euros pagará
5. Un vendedor ambulante ha recaudado 122.2 euros por la venta de 52 melones. ¿Cuántoespera recaudar por la venta de los 84 melones que le quedan?
magnitud 1 (coste en euros) magnitud 2 (nº de melones)
122.2 � 52
x � 84
Como se trata de magnitudes directamente proporcionales es cierto que:122. 2
x � 5284
� x � 84 � 122. 252
� 197. 4 euros recaudará
Tareas 29-02-16: todos los ejercicios de la página 157
9.3 Problemas de proporcionalidad inversaEjemplo1. Seis obreros descargan un camión en tres horas. ¿Cuánto tiempo tardarían nueve obreros?
nº de obreros tiempo (h)
6 � 3
1 � 3 � 6 � 18
9 � 18 � 9 � 2
2. Dos obreros hacen una zanja en 6 horas. ¿Cuánto tardarían tres obreros en hacer la mismazanja?
nº de obreros tiempo (h)
2 � 6
1 � 2 � 6 � 12
3 � 12 � 3 � 4
3. Siete caballos consumen una carga de pienso en 12 días. ¿Cuánto duraría esa misma cargaen una cuadra con cuatro caballos?
2
nº de caballos tiempo (días)
7 � 12
1 � 7 � 12 � 84
4 � 84 � 4 � 21
4. Un grifo que arroja un caudal de agua de 2 litros por minuto, llena un bidón en 6 minutos.¿Cuánto tardaría en llenar ese mismo bidón otro grifo con un caudal de 3 litros por minuto?
caudal (litros/min) tiempo (min)
2 � 6
3 � x
� 23
� x6
� x � 2 � 63
� 4
Tardaría 4 minutos.5. Tres vacas comen un saco de pienso en 5 días. ¿Cuánto duraría el saco de pienso si fueran 5
vacas?
nº de vacas tiempo (días)
3 � 5
5 � x
� 35
� x5
� x � 3 � 5�5�
� 3
Duraría tres días.6. Una acequia que lleva un caudal de 140 litros por minuto, llena un pilón de riego en 2 horas 18
minutos. ¿Cuánto tardaría en llenarse el pilón si el caudarl fuera de 210 litros por minuto?
caudal (litros/min) tiempo (min)
140 � 120 � 18 � 138
210 � x
� 140�210�
� x138
� x � 138 � 1421
� 92
Tardaría 92 minutos, es decir 1h 32 min
9.4 PorcentajesEjemplo1. Calcula los siguientes porcentajes:
a. 5% de 235 � �235 � 100� � 5 � 2. 35 � 5 � 11. 75b. 17% de 1406 � �1406 � 100� � 17 � 14. 06 � 17 � 239. 02c. 35% de 12370 � �12370 � 100� � 35 � 123. 7 � 35 � 4329. 5
2. Calcula los porcentajes anteriores empleando la regla de tres directa:a. 5% de 235
Tenemos la siguiente tabla de cantidades directamente proporcionales:
Total Parte
100 � 5
235 � x
� 100235
� 5x � x � 235 � 5
100� 11. 75
b. 17% de 1406Tenemos la siguiente tabla de cantidades directamente proporcionales:
Total Parte
100 � 17
1406 � x
� 1001406
� 17x � x � 1406 � 17
100� 239. 02
c. 35% de 12370Tenemos la siguiente tabla de cantidades directamente proporcionales:
Total Parte
100 � 35
12370 � x
� 10012370
� 35x � x � 12370 � 35
100� 4329. 5
3
Tareas 02-03-15: todos los ejercicios de la página 161
Ejemplo1. Completa los huecos de la tabla siguiente:
porcentaje fracción decimal
17% 17100
0. 17
55% 55100
� 1120
0. 55
18% 18100
� 950
0. 18
93% 93100
0. 93
62% 62100
� 3150
0. 62
2. En una biblioteca hay libros de MA, FI y BG.
% libros
MA
FI 25 30
BG 35
Como ves a la izquierda, en la columna % debe figurar el Porcentaje de libros que hay de cadamateria y en la columna Libros, la cantidad de libros de cada una. Basándote en los datos queaparecen, tiene que completar todas las casillas.40 � 25 � 35 � 1002530
� 40m � m � 40 � 30
25� 48
2530
� 35b
� b � 35 � 3025
� 42
3. Idem.
% libros
MA 30
FI 5
BG 78
100 � 30 � 5 � 656578
� 5f
, Solution is: 6
6578
� 30m , Solution is: 36
4. Idem
% libros
MA
FI 30 108
BG 40
100 � 30 � 40 � 3030
108� 40
b, Solution is: 144
30108
� 30m , Solution is: 108
9.5 Aumentos y disminuciones porcentualesTareas 08-03-16: todos los ejercicios de la página 163
Ejemplo1. En la escenase dan, respecto al precio de un artículo, dos de estos tres datos: el precio inicial,
4
una subida o una bajada porcentual y el precio final. Tienes que hallar el dato que falta:
precio viejo aumento/disminución precio nuevo
a 300 �8%
b -20% 400
c 500 -25%
d 100 �3%
a. 100 � 8 � 108100300
� 108a � a � 300 � 108
100� 324
b. 100 � 20 � 80100
b� 80
400� b � 400 � 100
80� 500
c. 100 � 25 � 75100500
� 75c � c � 500 � 75
100� 375
d. 100 � 3 � 103100100
� 103d
� d � 103 � 100100
� 103
Ejercicios y problemas1.
f X, depende de donde se lanza a canasta.Tareas 11-03-16: todos los ejercicios que faltan del 12
5
I
inversa inversa
1 12
2 6
3 4
4 3
6 2
En cada fila, se cumple que el producto de sus números es 12Los pares de fracciones equivalentes son:
�34
� 34
�12
� 612
�46
� 23
Tareas 11-03-16: todos los ejercicios que faltan del 23
i 32. 4
� 35x � x � 2. 4 � 35
3� 28. 0
Tareas 11-03-16: todos los ejercicios que faltan del 34
d Tardará menos tiempo pues va más deprisa.Como la velocidad del ciclista es cinco veces la del caminante, su tiempo será laquinta parte del tiempo del caminante.El tiempo será 20 minutos �1 h 40 min � 60 � 40 � 100 min�
Tareas 11-03-16: todos los ejercicios que faltan del 45
b Es proporcionalidad inversa pues a mayor caudal, menos tiempo de llenado.Tenemos la tabla siguiente:
6
caudal (l/min) � tiempo (min)
5 � 12
1 � 12 � 5 � 60
3 � 60 � 3 � 20
Tareas 11-03-16: todos los ejercicios que faltan del 56
Se trata de proporcionalidad directa pues el grifo mantiene su caudal, por lo que si le"obligamos" a llenar un recipiente más grande, tardará más.Tenemos la tabla siguiente:
volumen (l) � tiempo (min)
20 � 5
12 � x
� 2012
� 5x � x � 12 � 5
20� 3
Tardará 3 minTareas 11-03-16: 7,89
Se trata de proporcionalidad inversa pues si mantengo la distancia, a mayor velocidad menostiempo.Tenemos la tabla siguiente:
velocidad (km/h) tiempo (min)
autobús 80 20 min� 2060
� 13
autobús 100 x
� 80100
� x13
�
� x �80 � 1
3100
� 803
� 100 � 803 � 100
� 830
� 415
horas tardaría
Tareas 14-03-16: 10,1112
Se trata de un problema de proporcionalidad directa, pues a mayor distancia real, mayordistancia en el plano, y viceversa.Tenemos la tabla siguiente:
realidad (km) plano (cm)
A y B 85 34
M y N x 12
� x � 85 � 1234
� 30
Están en la realidad a una distancia de 30 km.Tareas 14-03-16: 13,1415
Como estamos recorriendo la misma distancia, a mayor velocidad menor tiempo. Entonces se
7
trata de proporcionalidad inversa.Tenemos la tabla siguiente:
velocidad (km/h) tiempo (h)
tren 1 54 8
tren 2 180 x
� 54180
� x8
� x � 54 � 8180
� 125
� 2. 4
El tren 2 tardaría 2 horas 24 min �0. 4 � 60 � 24. 0�Tareas 14-03-16: 16,1821
e V
Pues 75%� 75100
� 34
Tareas 14-03-16: todos los ejercicios que faltan del 2122
j 80% de 50 � 40(80% es cuatro partes de cinco, entonces si dividimos 50 en cinco partes iguales, 10,tenemos que coger 4)
Tareas 14-03-16: todos los ejercicios que faltan del 2223
e (10% es la décima parte, entonces habrá que multiplicar por 10) 120 es el númeroTareas 14-03-16: todos los ejercicios que faltan del 2324
8
j 250% de 250 � 250100
� 250 � 2. 5 � 250 � 625. 0
Tareas 14-03-16: todos los ejercicios que faltan del 2425
h 120% de 751 � 1. 2 � 751 � 901. 2 � 901Tareas 14-03-16: todos los ejercicios que faltan del 2526
27
e 2% de 650 � 0. 02 � 650 � 13
Tareas 14-03-16; todos los ejercicios que faltan del 2728
b Tenemos la tabla siguiente de proporcionalidad directa:
390 100
156 x� x � 100 � 156
390� 40
Se trata del 40%Tareas 14-03-16; todos los ejercicios que faltan del 2829
9
d 100 � 2. 7 � 97. 3 � 97. 3% no ha pasado la gripeTareas 15-03-16: todos los ejercicios que faltan del 2930
25% es la cuarta parte� 284
� 7 nos hemos apuntado a atletismo
Tareas 15-03-16: 31,3233
35% de 2400 � �2400 � 100� � 35 � 24 � 35 � 840 euros es la mensualidad de la hipotecaTareas 15-03-16: 34,3536
25% de TOTAL � 7Como 25% es la cuarta parte, entonces 4 � 7 � 28 alumnos hay en clase
Tareas 15-03-16: 37,3839
Tenemos la tabla siguiente:
empate ganado perdido
nº de partidos 4 12
% 20
Entonces no hemos perdido 12 � 4 � 16 partidos que son el 100 � 20 � 80%Tenemos la tabla siguiente:
no perdido perdido
nº de partidos 16 x
% 80 20
� x � 16 � 2080
� 4
Hemos perdido cuatro partidos.Hemos disputado 12 � 4 � 4 � 20 partidos
Tareas 15-03-16: 40,41
10
42
20000 � 4000 � 16 000 kg se han perdido1600020000
� 1620
� 45
� 0. 8 �se ha perdido el 80% de la cosecha (0. 8 � 100 � 80�
Tareas 15-03-16: 43,4445
Como a 85 le tendremos que sumar su 21%, podemos realizar directamente el cálculosiguiente:121% de 85 � 1. 21 � 85 � 102. 85 euros es el importe de la factura(100 � 21 � 121�
Tareas 15-03-16: 46,47,4948
100 � 25 � 75 �hemos pagado el 75% del precio original75% de PRECIO � 150 � PRECIO � �150 � 3� � 4 � 50 � 4 � 200
Hay que tener en cuenta que 75% son las 34
partes
El precio original son 200 euros.
EXAMEN TEMA 9: 30-03-16
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