teorema celor cinci culori

Colorarea grafului. Teorema celor cinci culoriTeorem: Pentru orice graf planar (G ) 5 . Este suficient s se cerceteze grafurile planare conexe, deoarece ntre componentele izolate nu exist legturi. Demonstraia va fi realizat prin inducie, dup numrul de vrfuri. Pasul 0. dac n 5 (G ) 5 . Pasul k. Fie teorema este adevrat pentru toate grafurile planare cu k vrfuri. Pasul k+1. Se va cerceta graful G cu k +1 vrfuri. Conform corolarului din formula Euler, n G exist un vrf v : d (v ) 5 . Conform pasului precedent al induciei, (G v ) 5 . Se va colora vrful v . Dac d (v ) < 5 , atunci exist cel puin o culoare liber pentru colorarea v . Dac d (v ) = 5 , dar pentru + (v) nu sunt folosite cinci culori distincte, atunci exist o culoare liber pentru colorarea v Dac d (v ) = 5 , i pentru + (v) sunt folosite toate cinci culori, se va ncerca recolorarea vrfurilor. Fie v1 ,..., v5 - vrfurile din + (v) i vi are culoarea i . Prin G1,3 se va nota subgraful generat de vrfurile colorate n culorile 1 sau 3 pe colorarea de 5 culori a grafului G v . Dac v1 i v3 se afl n componente de conexitate diferite a G1,3 , n componenta n care se afl v1 recolorm 1 3 pe toate vrfurile. G v va rmne 5-colorat, dar culoarea 1 va fi liber pentru v . Dac v1 i v3 se afl n aceeai component de conexitate a G1,3 , exist o alt pereche de vrfuri care se afl n componente diferite de conexitate ( G este planar). Fie v 2 i v 4 se afl n componente diferite de conexitate a G 2 , 4 . n componenta n care se afl v 2 recolorm 2 4 pe toate vrfurile. G v va rmne 5-colorat, dar culoarea 2 va fi liber pentru v . Algoritmul exact de colorare. Abordare recursiv, pseudocod. Pas 0. k 0 (indicele culorii curente) Pas 1. n graful G se alege o careva mulime maximal independent S . Pas 2. k . Mulimea S se coloreaz n culoarea k . Pas 3. G G S . Dac G se revine la pasul 1. Algoritmul genereaz toate posibilitile de formare a mulimilor independente disjuncte pe vrfurile grafului G . Prin urmare va fi generat i o colorare cu numr minim de culori. Complexitatea algoritmului este una exponenial pasul 1 are o asemenea complexitate, deoarece genereaz mulimi maximal independente. Suplimentar, se formeaz i un arbore de soluii, numrul de noduri n care, n general este proporional cu n. Astfel i generarea mulimilor independente este de complexitate exponenial. Cele expuse denot ineficiena algoritmului exact pentru grafurile cu un numr mare de vrfuri.