teorijaekola01 uvod elementi - suetf.orgsuetf.org/materijali/tek/01 uvod elementi.pdf ·...

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.

Теорија електричних кола

Дејан Тошић

Користите само

материјале које

вам достави и

препоручи

предметни

наставник у

текућој школској

години.

Теорија електричних кола

• Настава се изводи према студијском програму који јеЕлектротехнички факултет акредитовао 2013. године

• Студијски програм: Електротехника и рачунарство• Изборно подручје (модул): Енергетика, Електроника, Физичкаелектроника, Сигнали и системи, Телекомуникације иинформационе технологије

• Статус предмета: обавезан• Број часова активне наставе по семестру: Предавања 45, Вежбе 30, 3 часа

предавања недељно, 2 часа рачунских вежбања недељно• Методе извођења наставе: Предавања и аудиторне вежбе• Оцена знања (максималан број поена је 100)

Предиспитне обавезе: Колоквијум 50Писмени испит 50

• Појединости акредитованог студијском програма се налазе на званичномВеб-сајту Факултета

• Шифра предмета: 13Е072ГТЕК, 13Е072ОТЕК

Циљ, исход и садржај (Г)

• Излагање темељних знања теорије електричних кола са гледиштаинжењера и истраживача електроенергетике. Стварање основа за анализумодела електроенергетских система и погона формулисаних посредствомелектричних кола. Изградња основних знања аналогне обраде сигналапомоћу електричних кола.

• Разумевање основних концепата и добијање увида у физичке процесеописане електричним колима. Решавање линеарних електричних кола увременском и фреквенцијском домену. Препознавање, формулисање имоделовање проблема, и проналажење инжењерских решења темељенихна теoрији електричних кола, у областима електроенергетике.

• Електрични елемент, коло и мрежа. Граф кола. Основни елементиелектричног кола. Диференцијално-алгебарске једначине кола иједначине стања. Конволуциони интеграл. Устаљен одзив. Фазорскатрансформација. Сложенопериодичан устаљен одзив. Резонанција ирезонантан одзив. Лапласова трансформација. Трофазна кола. Симетричне компоненте. Водови.

• 13Е072ГТЕК

Циљ, исход и садржај (О)

• Излагање темељних знања теорије електричних кола са гледиштаинжењера и истраживача електротехнике. Стварање основа за анализумодела електротехничких система и направа формулисаних посредствомелектричних кола. Изградња основних знања аналогне обраде сигналапомоћу електричних кола.

• Разумевање основних концепата и добијање увида у физичке процесеописане електричним колима. Решавање линеарних електричних кола увременском и фреквенцијском домену. Препознавање, формулисање имоделовање проблема, и проналажење инжењерских решења темељенихна теoрији електричних кола, у различитим областима електротехнике.

• Електрични елемент, коло и мрежа. Граф кола. Основни елементиелектричног кола. Диференцијално-алгебарске једначине кола иједначине стања. Конволуциони интеграл. Устаљен одзив. Фазорскатрансформација. Сложенопериодичан устаљен одзив. Резонанција ирезонантан одзив. Лапласова трансформација. Трофазна кола. Водови.

• 13Е072ОТЕК

Предметни наставници

• Др Дејан Тошић, редовни професор, соба 80, телефони 337.007.4, 3218.338

• ДрМилка Потребић, ванредни професор, соба 64, телефони 3370.143, 3218.351, 3218.352

• Саветовања (консултације) су у време наведено наознаци кабинета, после часова наставе, као и у паузамаизмеђу часова

• Препорука је да се за саветовање припреме писменосадржаји о којима ће бити речи, задаци, питања, белешке са наставе, уџбеници, и слично

• За предмет је задуженаКатедра за општу електротехнику

Како се полаже?

• Предиспитне обавезе: Колоквијумпочетком друге половине семестра, 50поена, састоји се од 2 задатка и 4 питања, ради се 2 сата

• Испит: у редовним испитним роковима, 50поена, састоји се од 2 задатка и 4 питања, ради се 2 сата

• Подсетник са математичким формулама, објављен у Збирци, се може користити

• Калкулатор се може користити

• После испита, када је број студената двоцифрен, могућ јеувид у радове и заједничко прегледање задатака

• Задатак се оцењују са 15 поена а питање са 5 • Закључна оцена: 91–100 десет (10), 81–90 девет (9), 71–80

осам (8), 61–70 седам (7), 51–60 шест (6), 0–50 пет (5)• Примери задатака и питања су у Збирци

Често постављана питања

• Да ли су врсте испитних задатака и питања обрађивани у токунаставе?

• Да. И на предавањима и на вежбама.• Да ли се прегледа и рад?• Да. Прво се прегледају резултати на формулару а затим и рад у свесци.• Да ли се оцењује рад и у случају када резултат није тачан?• Да. Рад се оцењује по процени прегледача, сходно врстама грешке. • Ако не постоји ни један тачан тражени резултат, да ли се додељујупоени?

• Да. Рад без тачних крајњих резултата се може бодовати и до трећинедодељених поена.

• Како се бодују грешке у раду?• Циљ испита је тачно урађен и образложен задатак са тачним поступком.

Не прави се правилник бодовања грешака јер је њихов комбинаторнипростор огроман. Бодују се тачни делови решења задатка и поступка.

Долазити на часове предавања?

• Сва питања наставе, поступци решавања задатака и појединостиполагања испита разматрају се на часовима предавања, вежбањаи саветовања (консултација)

• Студенти се охрабрују да редовно долазе на наставу, и напредавања и на вежбе, да би се о свему благовремено обавестили

• Да бисте приступили колоквијуму или испиту, потребна јеуписница и лична карта или пасош, и ваше име треба да буде наодговарајућем списку које доставља студентска служба Факултета

• Ако ваше име није на таквом списку, обраћате се Служби иПродекану за наставу (а не предметном наставнику)

• Часови предавања су најбољи начин да се благовременообавестите о свим појединостима наставе и полагања

• Редовно праћење наставе је проверен пут ка успешномсавлађивању градива и остваривању циљне оцене на испиту

Ванредне околности

• Студенти који због посебних потреба иливанредних околности нису у могућности дапрате наставу по акредитованом студијскомпрограму треба да се благовремено јавеПродекану за наставу и предметномнаставнику

• Доставити благовремено, што је раније могуће, писано образложење са потребним потврдама

• Сваки појединачан случај ће се одмахслужбено разматрати на састанку у комеучествују заинтересоване стране

Литература

• М. Потребић, Д. Тошић, Збирка испитних задатака изТеорије електричних кола, Академска мисао, 2012.

• В. В. Петровић, Д. В. Тошић, А. Р. Ђорђевић, Микроталасна пасивна кола, Универзитет у Београду, Електротехнички факултет, Београд, 2010. [online] http://www.etf.rs/etf_files/udzbenici/MPK_2010.pdf

• Б. Рељин, Анализа трофазних електричних кола, Академска мисао, 2004.

• Б. Рељин, Теорија електричних кола I и II, Академскамисао, 2002.

• Уџбеници и збирке из Основа електротехнике

Калкулатор са комплексном

аритметиком?• Упознајте се са радом вашег калкулатора икомплексном аритметиком

• Како бисте израчунали квадратни корен из количникадва комплексна броја, или синус-хиперболичкикомплексног броја на вашем калкулатору?

• Студенти се охрабрују да током припреме колоквијумаи испита задатке решавају помоћу савременихрачунарских (софтверских) алата

• Mathematica, MuPAD, Maxima, SymPy• MATLAB , Scilab, Octave, FreeMat• LTspice, ngspice, Xyce, QucsStudio, XCircuit• Python, MathCAD, MAPLE, SpeQMathematics…

Free/Libre Open Source Software (FLOSS)

Увод

Основни појмови

Увод

• Теорија електричних кола је област

Електротехнике у којој се проучавају

упрошћене математичке и сликовне

представе (шеме) стварних направа

• Стварање шематске представе направа ипридруживање математичких описа

назива се моделовање, а сликовно-математичка представа се назива модел

Стварне направе

Претварање

електричне енергије

у топлоту

у светло

Извор

Апстракција 3Д простора

у топлоту

у светло

Извор

Бездимензиона својства

у топлоту

у светло

Извор

Први прикључак

Други прикључак

Напон, струја

Параметар

Једначина

Параметар

Једначина

Параметри

Једначина

Повезаност

у топлоту

у светло

Извор

Параметар

Једначина

Параметар

Једначина

Параметри

Једначина

Елемент

• Елемент електричног кола је предмет

из кога су извучена два краја, или вишекрајева, на којима се јављају електричнинапон и електрична струја

• Терминал или прикључно место је крај

елемента преко кога се елемент повезује

са другим елементима

Темељна претпоставка за елемент

Претпостављамо да је електромагнетско поље стационарно

и да су напони и струје једнозначно дефинисани.

Елемент са два краја

��

+Терминале (прикључнаместа) обележавамоузастопним природним

бројевима почев од један

око којих је описан круг

Договорно, упоредни смерелектричне струје извире из

плус краја упоредног смера

за електрични напон

Договорно, упоредни смерелектричне струје извире из

плус краја упоредног смера

за електрични напон

associated reference convention, passive sign convention

Приступ

• Приступ је пар крајева елемента на

којима се јавља електрични напон, аелектричне струје крајева су исте јачине

али супротног смера

• Елемент са два краја има један приступпа се још назива и једноприступни или

једнопортни (енглески one-port)

Претпоставке

• Нема нагомилавања наелектрисања у елементу

• Нема промене флукса у области ван елемента

• Нема кашњења у преносу наелектрисања кроз

елемент од плус-краја до минус-краја: размеравременске осе је много већа од времена

простирања ЕМ таласа кроз елемент

• Eлемент који задовољава претпоставке називасе концентрисан елемент (lumped element)

Елемент са једним приступом

��

Приступ је

пар крајеваПриступ је

пар крајева

Електричне струје крајева

приступа су исте јачине али

супротног смера

WLAN RF/Microwave приступ

external antenna, antenna cabling, RG-213, LMR-400

access pointssuch as the linksys WAP11

PCI wireless cardsBelkin F5D6001 or Netgear MA311

pcmcia cards like the Buffalo WLI-PCM-L11G

N-Connector RP-TNC RP-SMA MC (Lucent) Connector

Које елементе са два краја знамо?

• Отпорник

• Кондензатор

• Калем

• Кратка веза

• Отворена веза

• Напонски генератор

• Струјни генератор

Упоредни (референтни) смер

• Електричне напоне и струје тумачимопрема договореним смеровима који се, ако се друкчије не каже, надовезују

• Надовезујуће смерове обично зовемостандардни референтни смерови, усаглашени смерови, придружени смерови, илиусклађени смерови

associated reference convention, passive sign convention

Елемент са три краја

1i 2i��

Први приступ

чине крајеви 1 и 3

Други приступ

��

21 ii +

Елемент са четири краја

1i 2i��

Први приступ

Други приступ

�� Смерови за ел. напоне сустандардни (усаглашени)Смерови за ел. напоне сустандардни (усаглашени)

Примар, Секундар, Улаз, Излаз

• Приступи елемента са четири краја сеобично именују као

• Први приступ, Примар, Улаз (input)

• Други приступ, Секундар, Излаз (output)

• Ако су крајеви 3 и 4 спојени, елемент сеназива уземљен и своди се на елемент са

три краја

Електрично коло

• Електрично коло је састав елемената

који су повезани спајањем терминала

(прикључних места) елемената

• Чвор је место споја терминала елемената

• Електрична мрежа је електрично коло

из кога су извучени крајеви преко којих

се могу прикључити други елементи

Пример електричног кола

��

Е5Е4

Е3Е2Е1

Пример електричне мреже

��

Е2Е1

Граф електричног кола

• Упрошћена сликовна представаелектричног кола у којој се сваки

приступ представља линијом а сваки

чвор кружићем назива се граф ел. кола

• Ако су усвојени смерови ел. струја, линије које представљају приступе ће

бити усмерене и такав граф се зове

усмерени граф или диграф

Пример графа ел. кола (1)

��

Е5Е4

Е3Е2Е1

��

Грана

• Грана је линија (дуж или лук) којим сепредставља приступ у графу ел. кола

• Смер гране је једнак смеру ел. струје

• Смер ел. напона је стандардан –усаглашен са смером ел. струје

• Гране се обележавају узастопнимприродним бројевима почев од један

Пример гране

��

Грана 7 јеизмеђу чвора 3 и чвора 4

Паралелне гране

��

Гране 2 и 6 су паралелне

Редне гране

��

Гране 4 и 5 су редне

Пут, Контура, Повезаност

• Пут је скуп узастопних надовезујућих

грана које се протежу између два чвора

• Пут може бити усмерен

• Контура је затворен пут

• Контура може бити усмерена

• Граф ел. кола је повезан ако постоји путизмеђу било која два чвора

Пример пута

��

Гране 2, 3 и 5 чинепут између

чворова 1 и 2. Смер пута је од

чвора 2 ка чвору 1.

Пример контуре

��

Гране 2, 3, 5 и 4 чине контуру. Смер контуре је

означен

стрелицом.

Окце или елементарна контура: контура која не обухвата гране

��

Субграф, Стабло, Спојница

• Субграф је део графа

• Стабло је повезани субграф без контуракоји садржи све чворове

• Спојница је грана која не припада стаблу

• Граф је планаран ако се може нацртатиу равни тако да се гране не секу

• Граф је неповезан ако постоје бар двачвора између којих не постоји пут

Пример стабла

��

Гране 4, 2 и 3 чине стабло

Фундаменталне контуре

• Фундаментална контура (ф-контура, главна контура) је контура образована изстабла додавањем једне спојнице

• Број фундаменталних контура једнак јеброју спојница

• Фундаменталне контуре су значајне запостављање једначина електричног кола

Пример ф-контуре

��

Гране 2 и 6 чинеф-контуру

Пресек

• Пресек је линија која пресеца гране такода се уклањањем пресечених гранадобија неповезан граф, а враћањем билокоје уклоњене гране граф постајеповезан; пресек може бити усмерен

• Сноп је скуп грана пресечених пресеком• Чворни пресек је пресек који пресеца свегране везане за један чвор

Пример пресека

��

Пример чворног пресека

��

Фундаментални пресеци

• Фундаментални пресек (ф-пресек,главни пресек) је пресек који садржисамо једну грану стабла

• Број фундаменталних пресека једнак јеброју грана стабла

• Фундаментални пресеци су значајни запостављање једначина електричног кола

Пресек – општа дефиниција

• Пресек је бипартиција чворова графа

(подела скупа чворова графа на двадисјунктна подскупа чија је унија скуп

свих чворова графа)

• Сноп је скуп грана графа које су једним

крајем у једној партицији а другим

крајем у другој партицији

Пример пресека (бипартиције)

��

• Број чворова ћемо обележити са c

• Број грана ћемо обележити са b

• Број грана стабла повезаног графа једнак је

• Број спојница повезаног графа износи

Тополошке релације

1−= cn

nbm −=

Кирхофови закони

• КЗС: Алгебарски збир ел. струја гранапресека једнак је нули

• КЗН: Алгебарски збир ел. напона гранаконтуре једнак је нули

• КЗ важе за сва електрична колау сваком тренутку времена

• КЗ су закони повезивања

Како бирамо пресеке и контуре за

постављање једначина по КЗ?

• Пресеке најчешће бирамо да буду чворнипресеци, па говоримо о КЗС за чворове

• Контуре обично бирамо као окца• Ако окца нису очигледна, или подесна, контуре можемо изабрати каофундаменталне контуре

• Избор контура постаје проблем кодсложених, разгранатих, ел. кола

Снага гране

• Снага гране је производ ел. напона и ел. струје гране према стандардним

смеровима ел. струје и ел. напона

• Овако дефинисана снага је означена каоулазна тренутна снага гране

• Снага приступа је исто што и снага гране

• Снага елемента је збир снага приступа

Снага елемента са два краја

��

iup ⋅=

Снага елемента са два приступа

1i 2i��

��

2211 iuiup ⋅+⋅=

Телегенов став (теорема)

• ТС: Збир снага свих грана једнак је нули

• Телегенов став важи за сва електричнакола у сваком тренутку времена

• Наведени став је основни Телегенов став, а постоје и сложенији искази

(које ми не помињемо у овом предмету)

• ТС је последица Кирхофових закона

Једначине елемента

• Сваки елемент одсликава физичку појаву која

се исказује математички

• Једначине елемента су математичке релације

које дефинишу везу физичких величина које

елемент одсликава

• Једначине елемента се још називају

дефиниционе једначине, карактеристикеелемента или конститутивне једначине

Параметри елемента

• Параметри елемента су коефицијенти

који се појављују у једначинама

елемента

• Параметри елемента се још називају и

вредности елемента (element values)

• Параметри елемента су реални бројевиса или без димензије

Линеаран елемент, Временски независан елемент

• Елемент је линеаран ако је описанлинеарном алгебарском једначином крозкоординатни почетак

• Елемент је нелинеаран ако није линеаран• Елемент је временски независан акоњегови параметри не зависе од времена

• Линеаран временски независан елементсе обележава са LTI (Linear Time-Invariant)

Подела елемената

• Отпорнички (резистивни): описани суалгебарском везом напона и струје

• Капацитивни: описани су алгебарскомвезом наелектрисања и напона

• Индуктивни: описани су алгебарскомвезом флукса и струје

Отпорник линеаран временски независан

iRu ⋅=

Кондензатор линеаран временски независан

uCq ⋅=

Калем линеаран временски независан

iL ⋅=φ

Кратка веза (Кратак спој)

i u 0=u

Отворена веза (прекид)

i u 0=i

Напонски извор (генератор)

i u )(g tuu =

Ел. напон је познатафункција времена

Струјни извор (генератор)

i u )(g tii =

Ел. струја је познатафункција времена

Зависни извори

• Зависни извори, који се називају иконтролисани генератори, су елементиса четири краја и два приступа

• На једном приступу се понашају каоотворена или кратка веза

• На другом приступу се понашају каонапонски или струјни извори управљаниел. напоном или ел. струјом гране

Напонски извор управљан напоном

(VCVS, Voltage Controlled Voltage Source)

Елемент се још назива

идеалан напонски појачавач

��

Напонски извор управљан струјом

(CCVS, Current Controlled Voltage Source)

Елемент се још назива идеалан

трансрезистансни појачавач

��

Струјни извор управљан струјом

(CCCS, Current Controlled Current Source)

Елемент се још назива

идеалан струјни појачавач

��

Струјни извор управљан напоном

(VCCS, Voltage Controlled Current Source)

Елемент се још назива идеалан

транскондуктансни појачавач

��

Пример електричног кола са

зависним извором

5Rgu a

Граф елемента са два приступа

1i 2i��

��

Зависни извори имају

граф као и сваки други

елемент са два приступа

Упоредни чвор

• Упоредни чвор (референтни чвор) јечвор ел. кола који се у пракси честовезује за уземљење инсталације, кућиштесклопа, оклоп уређаја, и слично

• Напон између чвора и упоредног чворазове се напон чвора или

потенцијал чвора (некада, напон у тачки)

• Упоредни чвор се обележава са�

Ознака упоредног чвора

�GND

Крај елемента који је повезан на

упоредни чвор се обично не црта.

Упоредни чвор се још назива

референтни чвор, нулти чвор, нула, маса, уземљење (GrouND)

LTspicePSpice

Изостављање крајева који су

повезани на упоредни чвор

��

Е5Е4

Е3Е2Е1

Поједностављено цртање шеме са

упоредним чвором

��

�� = ��

��

Е5Е4

Е3Е2Е1

� � �

Операциони појачавач (1)

• Посматраћемо напонски изворуправљан напоном чији параметар

(појачање) неограничено расте

• Сматраћемо да су ел. напони и струјеприступа коначни

• Једначине елементапреуредимо на облик

��

• У граничном процесу, када параметар(појачање) неограничено расте, једначине елемента постају

• Електрични напон и струјапрвог приступа су једнаки нули

• Елемент са оваквим једначинаманазива се идеалан операциони појачавач

∞→a

��

Operational amplifier, OpAmp, OA

��

Терминал

(прикључно место) који се повезује на

упоредни чвор се, договорно, не црта

Идеалан

операциони

појачавач

ћемо краће

звати само

операциони

појачавач

Пример електричног кола са

операционим појачавачем

Жиратор

⋅=⋅−=

Елемент се користи, на пример, у теорији електричних филтара

��

Конвертор и инвертор

Негативни

импедансни

конвертор

Елемент

��

kuu1i 2i

Негативни

импедансни

инверторЕлемент се користи, на пример, у синтези електричних мрежа

��

Елемент се користи у моделовању

интегрисаних аналогних направа

−i−v

−===

OTA, Operational Transconductance Amplifier

Струјни појачавачи

Елемент

��

−i−v

−===

CCII (струјни преносник)

��

}1,1{−∈a

CCII, the second generationCurrent Conveyors

Циркулатор

микроталасних направа

−=+−=

Циркулатор се примењује у

комуникационим и радарским

системима који користе једну

антену и за предају и за пријем

Mathematica

Maxima

Сингуларни елементи

Нулатор

Норатор

∀∀

Нулор

��

Мемристор

• Постулирао Leon Chua 1973.каоелемент са два краја описан једначином

која повезује наелектрисање и флукс, назвао memristor – MEMory ResISTOR

• Остварен (имплементиран) 2008, StanleyWilliams, HP Labs

• Недостајући, четврти, елемент

Radioengineering, June 2015, Volume 24, Number 2, ISSN 1210-2512, Part I: Special Issue on Memristor Theory, Modeling and Simulation.

0),( =ϕqF

Ако се појави нови елемент?

• Према шематској ознаци идокументацији треба утврдити

• број крајева (терминала)

• начин образовања приступа

• упоредне смерове

• једначине елемента (према усвојенимсмеровима, за сваки приступ по једна)

Шта је основни задатак

Теорије електричних кола?

• Одредити ел. напоне и струје грана

• Одредити снаге грана

• Извести у општим бројевима изразе заел. напоне и струје грана

• Одредити бројчане вредностиел. напона и струја грана

• Решити ел. коло значи наћи ел. напонеи струје грана, а понекад и снаге грана

Нумеричка анализа

Симболичка анализа

Изоставићемо придев ел.

• Ради бржег и једноставнијег саобраћањаизоставићу придев “електрични”

• Напон = Електрични напон

• Струја = Електрична струја

• Коло = Електрично коло

• Мрежа = Електрична мрежа

• Шема = Електрична шема

Изоставићемо математичку

строгост

• Појмовна одређења и дефиниције ћебити превасходно инжењерски тумачени

• У математичким извођењима ћемо сетрудити да посматрамо задатак са

физичког гледишта и гледишта праксе, па ће математичка строгост бити

изостављена или ублажена

• Користићемо математичко предзнање

Питања (1)

• Чиме се бави Теорија електричних кола?• Шта је моделовање а шта је модел?• Како се физичка тродимензионална направа пресликава у

апстрактно електрично коло?• Шта је елемент електричног кола?• Које су основне претпоставке за установљавање електричног

елемента?• Шта је терминал?• Шта је приступ?• Шта су стандардни референтни смерови напона и струје

приступа?• Како се образују приступи елемента са три краја?• Шта су примар и секундар?

Питања (2)

• Дефинисати електрично коло.• Шта је чвор?• Како се дефинише мрежа?• Шта је граф а шта усмерени граф кола?• Шта је грана?• Шта је пут а шта контура?• Дефинисати повезан граф.• Шта је субграф?• Дефинисати стабло.• Шта је спојница?

Питања (3)

• Шта је фундаментална контура?• Дефинисати пресек, сноп и чворни пресек.• Шта је фундаменталан пресек?• Колико грана има стабло повезаног графа?• Колико спојница има повезани граф?• Колико ф-контура има повезани граф?• Колико ф-пресека има повезани граф?• Исказати КЗС и КЗН.• Како бирамо контуре и пресеке за постављање КЗ?• Шта је снага гране, а шта снага елемента?

Питања (4)

• Шта је снага приступа?• Исказати Телегенов став.• Шта су једначине елемента (карактеристике елемента, дефиниционе/конститутивне једначине елемента)?

• Шта су вредности (параметри) елемента?• Шта су линеарни елементи?• Шта су временски независни елементи?• Шта су отпорнички елементи?• Шта су динамички елементи?• Који елементи су капацитивни а који индуктивни?• Шта су зависни извори (контролисани генератори)?

Питања (5)

• Нацртати шеме и написати једначине зависних извора.• Шта је упоредни чвор?• Шта је операциони појачавач?• Шта је мемристор?• Које елементе са два приступа знате?• Које елементе са три приступа знате?• Шта су сингуларни елементи?• Шта је концентрисан елемент?• Шта је основни задатак Теорије електричних кола?• Која је примена Теорије електричних кола?

Питања (6)

Инструментациони појачавач

WolframAlpha

WolframAlphaAndroid

Maxima online

Maxima on Android

Leonhard Euler 1707-1783

Родоначелник теорије графова. Рођен у Базелу, Швајцарска.

Gustav Kirchhoff 1824-1887

Поставио основне законе електричних кола. Рођен у Königsberg, Пруска.

Bernard D. H. Tellegen1900-1990

Исказао став о снагама електричних кола. Измислио је електронску цев пентоду и

предложио електрични елемент жиратор. Рођен у Winschoten, Холандија.

teorijaekola01 uvod elementi - suetf.orgsuetf.org/materijali/tek/01 uvod elementi.pdf ·...

Documents

uvod u politologiju uvod u politologiju

teorijaekola07 slozenoperiodican rezonancija -...

matura141op5 - uvod

hrelja - uvod

uvod u biznis, skripta dopunjena (2004) uvod u biznis

Теоријаелектричнихкола на...

rimski vrelec - os-rimsketoplice.si · rimski vrelec 3 uvod...

uvod +.docx

uvod u novi zavet - opsti uvod

uvod - kamra

uvod prolog

polimeri uvod

Теоријаелектричнихкола на...

flash uvod

uvod u programski jezik uvod u programski jezik c uvod u

biotehnologija uvod

skupovi (uvod)

uvod u web programiranje: uvod u html

uvod u termodinamiku - >

uvod u python nauČite python uvod u python dosadnih