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Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos
Estruturas Arqueadas Planas
Gonçalo José Justino Antunes
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri
Presidente: Professor José Manuel Matos Noronha da Câmara
Orientador: Professor António Manuel Candeias de Sousa Gago
Vogal: Professor Jorge Miguel Silveira Filipe Mascarenhas Proença
Dezembro de 2010
i
Aos meus Pais,
Obrigado por tudo
i
Agradecimentos
Não queria de forma alguma hierarquizar todas pessoas nomeadas abaixo que de diferentes
modos contribuíram igualmente para o desenvolvimento da presente Dissertação de Mestrado. No
entanto era-me impossível pô-las todas em primeiro lugar nesta folha de papel.
Ao Exmo. Professor Dr. António Sousa Gago por me orientar no desenvolvimento da
presente Dissertação de Mestrado.
À Nova Tacula, Dr. João Sarrazola, por todo a experiência e conhecimento disponibilizados.
Ao pessoal do Tagus pelas noites de estudo que quebravam todo o stress existente!
À família Girardi por estar sempre pronta a apoiar-me!
Aos meus irmãos Miguel e Ricardo pelas “bocas foleiras”.
Por último, mas não menos relevantes às pessoas mais importantes da minha vida:
Aos meus Pais e Avós que me proporcionaram todas as condições, mais que as necessárias,
para a realização deste projecto e pela sua incansável dedicação dia após dia!
À minha adorada Adriana pela sua inesgotável motivação e paciência.
A todos…
Obrigado!!
iii
RESUMO
O colapso de estruturas em arco deve-se sobretudo a problemas de instabilidade.
Recorrendo à Teoria da Análise Limite e ao Método dos Elementos Discretos analisaram-se diversas
estruturas arqueadas.
Pela Teoria da Análise Limite determinou-se a Espessura Mínima Admissível para um arco
sujeito apenas à acção do seu peso próprio. Alterando a geometria do arco constatou-se a sua
influência no valor da espessura mínima admissível.
Os valores para o aumento de vão crítico de uma estrutura em arco foram determinados
através da Teoria mencionada, bem como do Método dos Elementos Discretos. Os valores obtidos
através deste último foram sempre inferiores aos obtidos pela Análise Limite devido, não apenas,
mas principalmente à consideração de efeitos geometricamente não lineares que afectam a
estabilidade da estrutura.
Os métodos enunciados supra foram utilizados na verificação de segurança da abóbada da
Igreja da Matriz de Bucelas em Loures. A abóbada apresenta graves deformações, tendo-se
proposto duas soluções para o reforço da estrutura que foram estudadas recorrendo ao Método dos
Elementos Discretos que permitiu o estudo estático e dinâmico destas.
A solução de reforço transversal total não representou um ganho significativo na análise
estática (aumento de 14,6% relativamente ao reforço apenas da nave central), no entanto,
contabilizando os efeitos dinâmicos esta solução quase quadruplica a resistência da estrutura.
A verificação da segurança da estrutura em questão está condicionada pela falta de
informação disponibilizada. Foi impossível realizar ensaios que permitissem conhecer quais as
características dos materiais, qual a geometria da estrutura e o resultado de intervenções anteriores.
Palavras chave: Arco, Análise Limite, Método dos Elementos Discretos, Espessura Mínima,
Aumento de Vão, Abóboda
iv
ABSTRACT
The collapse of arched structures is mainly due to instability problems. Several arch structures
were analyzed through the Limit Analysis Theory and Discrete Element Method.
Limit Analysis allowed the determination of least thickness for an arch under its own self
weight. Changing the geometry of the arch it was possible to evaluate its influence in the least
thickness.
The critical span increase was determined using the Limit Analysis Theory as well as the
Discrete Element Method. The results obtained through the first one were, in all times, higher than the
ones obtained through the Discrete Element Method due, not only, but mainly to the non-linear
geometrical effects that affect the structure’s stability.
These methods were used in the safety evaluation of the Igreja Matriz de Bucelas vault. The
vault is very deformed and two reinforcement proposals were analyzed through static and dynamic
runs using the Discrete Element Method.
Although the proposal that considered the reinforcement along the three naves of the church
didn’t represent an increase in the static collapse load comparing to the other reinforcement solution
(14,6% higher than Proposal 2) the dynamic analysis showed that it almost quadruplicates the
structure’s resistance.
This analysis is conditioned due to the lack of existing information. It was not possible to have
the best knowledge about the material’s characteristics, structure’s geometry and previous
interventions.
Keywords: Arch, Limit Analysis, Discrete Element Method, Least Thickness, Span
Increase, Barrel Vault
v
ÍNDICE
Capítulo 1 - Introdução ......................................................................................................................... 1
1.1 - Enquadramento Geral ........................................................................................................ 1
1.2 - Objectivos ........................................................................................................................... 2
1.3 - Estrutura do trabalho .......................................................................................................... 2
Capítulo 2 - Comportamento Estrutural de Arcos ............................................................................. 5
2.1 - Introdução ........................................................................................................................... 5
2.2 - Evolução das Metodologias de Análise Estrutural de Arcos .............................................. 5
2.3 - Princípios Básicos do Funcionamento Estrutural de Arcos ............................................. 14
2.3.1 - Condições de Equilíbrio – Conceito de Linha de Pressões ...................................... 14
2.3.2 - Aplicação dos Princípios da Teoria da Análise Limite no Estudo do Equilíbrio dos
Arcos ......................................................................................................................... 17
2.3.3 - Aplicação de Métodos de Análise Computacionais no Estudo do Equilíbrio dos
Arcos ......................................................................................................................... 19
2.4 - Aplicação das Metodologias de Análise de Arcos a outras Estruturas Arqueadas ......... 24
2.5 - Conclusões ....................................................................................................................... 26
Capítulo 3 - Estudo das Condições de Estabilidade de Arcos ....................................................... 27
3.1 - Introdução ......................................................................................................................... 27
3.2 - Espessura Mínima Admissível de Arcos .......................................................................... 27
vi
3.3 - Aumento de Vão Máximo Admissível de Arcos ............................................................... 32
3.3.1 - Análise Limite ............................................................................................................ 32
3.4 - Comparação com Resultados Anteriores Obtidos pela Aplicação da Teoria da Análise
Limite e os Resultados Obtidos pelo Método dos Elementos Discretos (UDEC) ......... 39
3.5 - Cálculo da Carga de Colapso de Arcos pela Análise Limite (RING) ............................... 41
3.6 - Cálculo da Carga de Colapso de Arcos pelo Método dos Elementos Discretos (UDEC) 44
3.7 - Conclusões ....................................................................................................................... 45
Capítulo 4 - Reforço de Estruturas Arqueadas em Alvenaria ........................................................ 47
4.1 - Introdução ......................................................................................................................... 47
4.2 - Princípios de intervenção ................................................................................................. 47
4.3 - Técnicas de Reforço ......................................................................................................... 49
4.3.1 - Consolidação de alvenaria por injecção ................................................................... 50
4.3.2 - Consolidação de alvenaria por substituição do material degradado ........................ 51
4.3.3 - Reforço por refechamento de juntas com argamassa .............................................. 52
4.3.4 - Reforço por refechamento de juntas com armadura................................................. 52
4.3.5 - Reforço por refechamento de juntas com camada de resina orgânica e armadura . 54
4.3.6 - Reforço com reboco armado ..................................................................................... 55
4.3.7 - Reforço com encamisamento “Jacketing” ................................................................. 55
4.3.8 - Reforço com materiais compósitos FRP (Fiber Reinforced Polymer) ...................... 55
4.3.9 - Reforço com pregagens generalizadas..................................................................... 56
4.3.10 - Reforço com pregagens transversais...................................................................... 56
4.3.11 - Reforço com tirantes passivos ................................................................................ 57
4.3.12 - Reforço com pré-esforço ......................................................................................... 57
4.4 - Exemplos .......................................................................................................................... 58
4.4.1 - Ponte de Tavira ......................................................................................................... 58
4.4.2 - Capela de Nossa Senhora do Monte em Goa .......................................................... 61
4.4.3 - Igreja do Santo Cristo do Outeiro .............................................................................. 66
4.5 - Conclusões ....................................................................................................................... 70
Capítulo 5 - Caso de Estudo: Igreja Matriz de Bucelas ................................................................... 71
5.1 - Introdução ......................................................................................................................... 71
vii
5.2 - Descrição do Edifício ........................................................................................................ 73
5.3 - História Estrutural do Edifício ........................................................................................... 74
5.4 - Identificação e Levantamento dos Danos ........................................................................ 76
5.5 - Estudos Estruturais dos Arcos e da Abóbada da Nave Central ....................................... 82
5.6 - Solução de Reforço Proposta........................................................................................... 88
5.6.1 - Descrição das Soluções de Reforço Propostas ........................................................ 88
5.6.2 - Modelação com o UDEC ........................................................................................... 88
5.6.3 - Análise das Soluções de Reforço Propostas ............................................................ 89
5.7 - Conclusões ....................................................................................................................... 94
Capítulo 6 - Conclusões e Perspectivas de Desenvolvimentos Futuros ...................................... 97
6.1 - Conclusões ....................................................................................................................... 97
6.2 - Desenvolvimentos Futuros ............................................................................................... 99
Capítulo 7 - Bibliografia .................................................................................................................... 101
ix
ÍNDICE de FIGURAS
Figura 1.1 Basílica de São Pedro (Esq.Exterior Dta. Interior), Roma (Google, 2010). .......................... 1
Figura 2.1 Regras para a verificação da estabilidade de arcos de Leonardo da Vinci. ......................... 6
Figura 2.2 Mecanismo tipo cunha deslizante (Esq.) (La Hire, 1731) e Diagrama de corpo livre
correspondente ao mecanismo (Dta.) proposto por LaHire (Heyman, 1972)............................ 7
Figura 2.3 Determinação da espessura mínima admissível por Couplet (Heyman, 1982). ................... 7
Figura 2.4 Mecanismos de Colapso propostos por Danyzy (Danyzy, 1732). ......................................... 8
Figura 2.5 Mecanismos limite considerados por Coulomb. .................................................................... 9
Figura 2.6 Linha de resistência “verdadeira” de Moseley correspondente ao impulso horizontal
mínimo (Gago, 2004). ................................................................................................................ 9
Figura 2.7 Método Gráfico de determinação da linha de pressões (Esq.) e divisão da espessura do
arco em função da resistência do material (Dta.) (Méry, 1840). ............................................. 10
Figura 2.8 Modelos de Barlow para provar a existência de diversas linhas de pressões (Barlow,
1847). ....................................................................................................................................... 10
Figura 2.9 Arco com enchimento com indicação do vão a considerar segundo Rankine (L), raio médio
(R), espessura (t) e ângulo de abertura (α) (adaptado de Ochsendorf, 2002). ....................... 11
Figura 2.10 Linhas de pressões e de resistência num arco (Timoshenko, 1953). ............................... 14
Figura 2.11 Tensões nas secções transversais do arco em função do ponto de aplicação da sua
resultante (NC-Núcleo Central). ............................................................................................... 15
Figura 2.12 Diagrama de corpo livre de um arco sujeito apenas à acção do seu peso próprio. ......... 16
Figura 2.13 Polígono Funicular (Gago, 2004)....................................................................................... 16
Figura 2.14 Linhas de pressões correspondentes aos impulsos máximo e mínimo (Heyman, 1995). 17
Figura 2.15 Abóbada cilíndrica (Esq.), Abóbada de Aresta (Centro) e Cúpula (Dta.). ......................... 25
x
Figura 2.16 Divisão de estrutura em abóbada cilíndrica em fatias. ...................................................... 25
Figura 3.1 Geometria do arco e cargas actuantes e modelo de Corpo Rígido articulado para α=90°. 28
Figura 3.2 Geometria do arco e cargas actuantes e modelo de Corpo Rígido articulado para α≠90°. 30
Figura 3.3 Variação da espessura mínima em função do ângulo de abertura do arco (α). ................. 32
Figura 3.4 Arco com apoios móveis no estado de pressão mínimo (Ochsendorf, 2002). .................... 33
Figura 3.5 Impulso Horizontal máximo e mínimo (Ochsendorf, 2002). ................................................ 33
Figura 3.6 Diagrama de Corpo Livre do troço superior do arco. .......................................................... 34
Figura 3.7 Posição das rótulas (β0) em função de t/R para um arco com α=90º. ................................ 34
Figura 3.8 Geometria inicial do arco e geometria de colapso do arco. ................................................ 35
Figura 3.9 Aumentos de vão admissíveis para uma estrutura arqueada (com um ângulo de abertura
de 2x90°) em função da sua relação espessura-raio médio. .................................................. 36
Figura 3.10 Algoritmo de cálculo do aumento de vão máximo de um arco. ......................................... 38
Figura 3.11 Aumentos de vão admissíveis para uma estrutura arqueada com diferentes aberturas em
função da sua relação espessura-raio médio. ......................................................................... 38
Figura 3.12 Posição inicial (β0) e final (βu) das rótulas em função da espessura do arco. .................. 39
Figura 3.13 Modelo dos Elementos Discretos dos arcos em análise. .................................................. 40
Figura 3.14 Comparação entre os aumentos de vão obtidos através da análise limite para um arco
com espessura t/R=0,20 e os obtidos através do UDEC para arcos com t/R=0,20 e R=3m e
R=4m. ....................................................................................................................................... 40
Figura 3.15 Deformada do arco tipo 1 (R=3m, Esq.) e tipo 2 (R=4m, Dta.). ........................................ 41
Figura 3.16 Mecanismo de colapso de um arco submetido a uma carga concentrada (Dta: aplicada a
meio vão Esq: aplicada nos rins do arco) através do RING. ................................................... 42
Figura 3.17 Geometria inicial do arco em análise no RING. ................................................................ 42
Figura 3.18 Carga de colapso (P) em função do ponto de aplicação (x/L). ......................................... 43
Figura 3.19 Geometria de colapso do arco no RING. .......................................................................... 43
Figura 3.20 Carga de colapso em função do ponto de aplicação (x/L), raio médio (R) e espessura
(t/R) obtidos através da aplicação RING. ................................................................................ 44
Figura 3.21 Carga de colapso em função do ponto de aplicação da carga obtidos através do UDEC e
do RING. .................................................................................................................................. 44
Figura 3.22 Comparação dos valores da carga de colapso, P. ............................................................ 45
Figura 4.1 Mecanismos de colapso com deslocamento do arco (em cima) e com deslocamento dos
apoios (em baixo) (Foraboschi, 2004). .................................................................................... 49
xi
Figura 4.2 Afastamento e disposição dos furos (Roque, 2002)............................................................ 51
Figura 4.3 Técnica de consolidação por injecção (Roque, 2002)......................................................... 51
Figura 4.4 Substituição do material degradado por (Esq.) alvenaria de pedra sã e por (Dta.) outro de
melhor qualidade (Carocci, 2001). ........................................................................................... 51
Figura 4.5 Zona reconstruída (Esq.) com os mesmos materiais e (Dta.) com outros materiais (Meli,
1998). ....................................................................................................................................... 52
Figura 4.6 Refechamento de juntas com argamassa (Esq.) de um lado da parede e (Dta.) de ambos
os lados da parede (Tomazevic, 1999).................................................................................... 52
Figura 4.7 Refechamento de juntas com armadura (Binda, 1999). ...................................................... 53
Figura 4.8 Refechamento de juntas com ancoragens expansivas (ESTT, 2010). ............................... 53
Figura 4.9 Selagem de Juntas (Binda, 1999). ...................................................................................... 53
Figura 4.10 Processo de refechamento de juntas com resina orgânica e armadura (ESTT, 2010). ... 54
Figura 4.11 Fissuração e respectiva intervenção de reforço (ESTT, 2010). ........................................ 54
Figura 4.12 Aplicação da técnica de encamisamento (ESTT, 2010). .................................................. 55
Figura 4.13 Reforço de (Esq.) paredes-mestras e de (Dta.) arcos (Roque, 2002). ............................. 56
Figura 4.14 Reforço com tirantes passivos (Deshpande, 2001)........................................................... 57
Figura 4.15 (Esq.) Tirantes exteriores pré-esforçados que contrariam os impulsos do arco sobre as
paredes de suporte e (Dta.) Pré-esforço interno na compensação de arcos e seus efeitos
sobre as paredes (Meli, 1998). ................................................................................................ 58
Figura 4.16 Planta e alçado da ponte Romana de Tavira (Appleton, 1992). ....................................... 59
Figura 4.17 Danos observados na ponte de Tavira na altura da intervenção (Appleton, 1992). ......... 59
Figura 4.18 Pormenor da infraescavação de um dos talha-mares da Ponte (Appleton, 1992). .......... 60
Figura 4.19 Pormenores da Consolidação das Fundações (Appleton, 1992). ..................................... 60
Figura 4.20 Estrutura interna em Betão Armado idealizada para a reabilitação da Ponte (Appleton,
1992). ....................................................................................................................................... 61
Figura 4.21 Selagem das microestacas e ligação ao maciço de fundação (Appleton, 1992). ............. 61
Figura 4.22 Ponte após os trabalhos de reabilitação (Appleton, 1992). ............................................... 61
Figura 4.23 Capela de Nossa Senhora do Monte vista de Sudoeste. .................................................. 62
Figura 4.24 Danos visíveis na Igreja. .................................................................................................... 63
Figura 4.25 Corte transversal com identificação das patologias identificadas. .................................... 63
Figura 4.26 Sistema de escoramento aplicado..................................................................................... 64
xii
Figura 4.27 Apoios da cobertura original no fecho da abóbada. .......................................................... 64
Figura 4.28 Localização das travessas transversais e vista em obra. ................................................. 65
Figura 4.29 Corte representativo da estrutura utilizada na cobertura e execução da mesma. ............ 65
Figura 4.30 Vista geral da Igreja após a intervenção (Deshpande, 2001). .......................................... 65
Figura 4.31 Vista exterior da Igreja do Santo Cristo de Outeiro (Lourenço, 2005). ............................. 66
Figura 4.32 Igreja de Santo Cristo de Outeiro: alçado da fachada (Esq.), corte transversal (em cima)
e planta (em baixo) (Lourenço, 2005). ..................................................................................... 66
Figura 4.33 Anomalias na fachada (Esq. e em cima) (Lourenço, 2005) e corte transversal da parede
(Dta.) (Lourenço, 1999). ........................................................................................................... 67
Figura 4.34 Escoramento e danos do coro (Esq. e em cima) e pormenor da ligação abóbada-paredes
(em baixo) (Lourenço, 2005). ................................................................................................... 68
Figura 4.35 Reforço aplicado na zona do coro em planta (Esq.) e em corte transversal (Dta.)
(Lourenço, 2005). ..................................................................................................................... 69
Figura 4.36 Estrutura de reforço, travessas e equipamento de injecção de argamassa utilizado no
reforço da abóbada (Lourenço, 2005). .................................................................................... 69
Figura 4.37 Aspecto final do enchimento da abóbada do coro (Lourenço, 2005). ............................... 69
Figura 5.1 Vistas exteriores da Igreja Matriz de Bucelas ..................................................................... 71
Figura 5.2 Vista interior da Igreja Matriz de Bucelas (Fonte: arquivo DGEMN, data incerta). ............. 72
Figura 5.3 Deformação da abóbada da nave central e dos seus arcos. .............................................. 72
Figura 5.4 Planta da Igreja Matriz de Bucelas. ..................................................................................... 73
Figura 5.5 Planta da Igreja Matriz de Bucelas com representação da abóbada das naves central e
laterais. ..................................................................................................................................... 73
Figura 5.6 Corte transversal da Igreja (esquerda) e vista do extradorso da abóbada (direita), onde é
visível a viga de betão armado de apoio da laje de cobertura e um dos seus apoios sobre a
abóbada. .................................................................................................................................. 74
Figura 5.7. Vista da cobertura e da laje de vigotas pré-esforçadas e abobadilhas cerâmicas. De notar
a ausência de armadura em aço na camada de compressão da laje. .................................... 74
Figura 5.8. “Grampeamento” de aduelas de um arco de cantaria com elemento metálico e
preenchimento da junta com argamassa cimentícia. .............................................................. 75
Figura 5.9. Vistas interiores da cobertura (sob a laje de vigotas pré-esforçadas), onde é visível o
muro de apoio, localizado sobre os arcos e pilares da nave central (esquerda) e a superfície
do extradorso da abóbada, rebocada com argamassa cimentícia (direita). ............................ 76
Figura 5.10 Vista Inferior da Abóbada da Nave Central (Esq: Porta Principal Dta: Altar-Mor). ........... 77
xiii
Figura 5.11 Vista do Arco 1 localizado junto da parede fundeira e do respectivo levantamento
geométrico (os círculos representam os pontos de medição topográfica). ............................. 77
Figura 5.12 Vistas dos arcos 2 (em cima), 3, 4 e 5 (em baixo). Nota: nestas imagens os arcos estão
vistos do lado da porta principal da Igreja. .............................................................................. 78
Figura 5.13 Danos na superfície da abóbada na zona entre o arco 1 e o arco 2. ............................... 79
Figura 5.14 Mecanismo de colapso de um arco as três articulações superiores são visíveis nos arcos
2, 3, 4 e 5. As duas articulações inferiores não são visíveis, mas poderão estar em formação.
................................................................................................................................................. 80
Figura 5.15 Deformação da abóbada e dos arcos da nave lateral Norte (Esq.) e pormenor da
articulação no fecho do arco (Dta.). ......................................................................................... 81
Figura 5.16 Deformação da abóbada e dos arcos da nave lateral Sul (Dta.) e pormenor da articulação
no rim do arco (Esq.). ............................................................................................................... 82
Figura 5.17 Deformação do arco 2 da nave central e dos correspondentes arcos das naves laterais,
sendo visível que o lado Sul (lado Dto.) se apresenta mais deformado que o lado Norte
(Esq.). ....................................................................................................................................... 82
Figura 5.18 Espessura mínima admissível do arco de geometria circular, em função do ângulo de
abertura. ................................................................................................................................... 83
Figura 5.19 Aumentos de vão admissíveis para uma estrutura arqueada (com um ângulo de abertura
de 2x90°) em função da sua relação espessura-raio médio. .................................................. 85
Figura 5.20 Modelos UDEC de arcos com raio interno de 2,92 m, espessura de 43 cm (cima) e 49 cm
(baixo), com aumentos de vão de 22 (cima) e de 35 cm (baixo), que correspondem ao
colapso iminente. ..................................................................................................................... 85
Figura 5.21 Comportamento conjunto arco-abóbada. Definição da largura de abóbada mobilizada. . 86
Figura 5.22 Modelos UDEC da abóbada (com 0,60 m de espessura e 1 m de largura) isolada e
reforçada com o arco de cantaria (com 0,17 m de espessura e 0,30 m de largura). Nota: a
espessura é medida no plano da figura e a largura medida na direcção perpendicular à
figura. ....................................................................................................................................... 87
Figura 5.23 Modelos UDEC da abóbada e reforçada com o arco de cantaria. Situação de colapso
iminente correspondente ao aumento de vão de 10 cm com a carga aplicada no fecho de 60
kN (imagem superior) e colapso correspondente ao aumento de vão de 35 cm com a carga
aplicada no fecho de 12 kN. .................................................................................................... 87
Figura 5.24 Proposta 1 (Esq.) e Proposta 2 (Dta.) para o reforço da estrutura. .................................. 88
Figura 5.25 Dimensões da estrutura analisada. ................................................................................... 89
Figura 5.26 Acelerograma da direcção N/S do Sismo de 1969 na Costa de Portugal. ....................... 90
Figura 5.27 Estrutura não reforçada submetida ao acelerograma multiplicado por 0,1. ...................... 91
xiv
Figura 5.28 Propostas 1 (Esq.) e 2 (Dta.) submetidas ao acelerograma multiplicado por 1,5. ............ 91
Figura 5.29 Propostas 1 (Esq.) e 2 (Dta.) submetidas ao acelerograma multiplicado por 3. ............... 92
Figura 5.30 Propostas 1 (Esq.) e 2 (Dta.) submetidas ao acelerograma multiplicado por 4. ............... 92
Figura 5.31 Proposta 1 submetida ao acelerograma multiplicado por (Esq.) 4,5 e (Dta.) 6. ............... 92
Figura 5.32 Proposta 1 submetida ao acelerograma multiplicado por (Esq.) 8 e (Dta.) 10. ................ 93
Figura 5.33 Proposta 1 submetida ao acelerograma multiplicado por (Esq.) 12 e (Dta.) 14. .............. 93
Figura 5.34 Proposta 1 submetida ao acelerograma multiplicado por 15. ........................................... 93
Figura 5.35 Recente intervenção de reforço dos arcos da nave principal da Igreja Matriz de Bucelas.
................................................................................................................................................. 95
xv
ÍNDICE de TABELAS
Tabela 3.1 Variação da espessura mínima em função do ângulo de abertura do arco (α). ................ 31
Tabela 3.2 Geometrias dos arcos tipo. ................................................................................................. 39
Tabela 3.3 Propriedades mecânicas do arco e da abóbada. ............................................................... 40
Tabela 5.1 Parâmetros geométricos do arco tipo. ................................................................................ 83
Tabela 5.2 Propriedades mecânicas da abóbada. ............................................................................... 84
Tabela 5.3 Propriedades mecânicas do arco e da abóbada. Nota: *Este valor é multiplicado por 0,3
que é a largura efectiva do arco. ............................................................................................. 86
Tabela 5.4 Cargas de colapso dos modelos UDEC da Figura 5.22. .................................................... 87
Tabela 5.5 Aumento da carga de colapso para as propostas de reforço apresentadas. ..................... 90
1
Capítulo 1 - Introdução
1.1 - Enquadramento Geral
A conservação, reabilitação e reforço de património construído tem sido alvo de acrescido
interesse nos últimos anos. Este facto tem contribuído para o estudo e desenvolvimento das
técnicas construtivas, materiais e soluções estruturais envolvidas neste tipo de edificações. Uma
das principais soluções estruturais aplicadas no património construído é a utilização de estruturas
arqueadas.
O conhecimento deste tipo de estruturas foi herdado pelos romanos dos etruscos, e
permitiu a construção de estruturas com maiores vãos e mais resistentes. Por esta razão a
utilização de estruturas arqueadas generalizou-se na aplicação de vários monumentos históricos,
como por exemplo a Basílica de S. Pedro em Roma (Figura 1.1).
Figura 1.1 Basíl ica de São Pedro (Esq.Exterior Dta. Interior) , Roma (Google, 2010).
As intervenções em estruturas antigas, tanto para recuperação (monumentos) como para
a adaptação a novos usos (pontes), exige uma avaliação da segurança estrutural. Os métodos
de cálculo, dimensionamento e verificação mais recentes não são aplicáveis a construções
antigas.
O dimensionamento de estruturas arqueadas em alvenaria obedece a princípios de
dimensionamento completamente diferentes dos modernos. Nos conceitos modernos de
dimensionamento a resistência, deformabilidade e a estabilidade assumem um papel relevante
no dimensionamento de estruturas. No caso de estruturas arqueadas a resistência e a
Capítulo 1 - Introdução
2
deformabilidade são praticamente desprezáveis assumindo a estabilidade global um papel
preponderante no dimensionamento deste tipo de estruturas. Assim, a instabilidade é a principal
causa de colapso de estruturas em arco, sendo que o dimensionamento, para um dado
carregamento e vão, consiste num processo de identificação das proporções correctas.
Com o presente estudo pretendeu-se, recorrendo a métodos de análise inovadores e já
existentes, avaliar a estabilidade de estruturas arqueadas e analisar soluções de reforço em
estruturas existentes em estado de instabilidade. Para tal, apesar de o estudo se focar
fundamentalmente no comportamento estático de arcos, foram usadas as potencialidades do
software de Método dos Elementos Discretos para examinar o reforço idealizado sob o efeito
sísmico.
1.2 - Objectivos
Os objectivos da presente dissertação são resumidos nos seguintes pontos:
Estudo da evolução das metodologias de análise estrutural de arcos;
Avaliação das condições de estabilidade de arcos através da determinação da
espessura mínima e determinação do aumento de vão crítico para diversas
geometrias;
Levantamento de técnicas de reforço e reabilitação de estruturas arqueadas e
análise de soluções já aplicadas;
Avaliação da estabilidade estrutural da cobertura da Igreja Matriz de Bucelas e
apresentação de soluções de reforço;
1.3 - Estrutura do trabalho
O desenvolvimento dos temas supra referidos encontra-se organizado em 6 capítulos:
No presente capítulo (Introdução) foi procurado enquadrar o tema da dissertação e
explicitar os objectivos inerentes ao desenvolvimento deste trabalho.
No capítulo seguinte (Comportamento Estrutural de Arcos) procede-se ao levantamento
da evolução do estudo de estruturas arqueadas e metodologias de dimensionamento. O
conhecimento histórico da evolução do estudo deste tipo de estruturas assume um papel
importante, uma vez que, a aplicação de técnicas de reforço e/ou de reabilitação está
dependente do conhecimento das técnicas construtivas aplicadas e dos respectivos processos
de dimensionamento.
No Capítulo 3 (Estudo das Condições de Estabilidade de Arcos) recorreu-se ao estudo
das metodologias para análise de estruturas arqueadas. Considerando os princípios estudados
no capítulo anterior determinaram-se as espessuras mínimas admissíveis através da análise
limite, o aumento de vão máximo e a carga de colapso. Posteriormente foram comparando os
valores obtidos através da análise limite com os valores obtidos através do Método dos
Elementos Discretos.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas
3
No Capítulo 4 (Reforço de Estruturas Arqueadas em Alvenaria) efectuou-se um
levantamento dos princípios de intervenção em estruturas antigas, bem como a técnicas de
reforço e reabilitação já utilizadas. Analisaram-se três casos de estudos identificando as causas
que levaram à instabilização das estruturas e consequentes soluções de reforço propostas.
No Capítulo 5 (Caso de Estudo: Igreja Matriz de Bucelas) foi apresentado como caso de
estudo a análise da segurança estrutural da abóbada da nave principal de uma Igreja do Séc. XV
pertencente ao património nacional. A abóbada apresenta deformações graves resultante do
aumento de vão como, possivelmente, de sismos que afectaram Lisboa nos últimos 500 anos.
Realizaram-se análises à segurança estrutural da Igreja recorrendo aos métodos desenvolvidos
nos capítulos anteriores, apresentando uma solução possível para o reforço da estrutura. Neste
Capitulo efectuaram-se, recorrendo ao software UDEC, análises estáticas e dinâmicas às
propostas de reforço idealizadas.
Por fim no Capítulo 6 (Conclusões e Perspectivas de Desenvolvimentos Futuros)
apresentam-se as principais conclusões do estudo desenvolvido, bem como alguns aspectos que
podem ser objecto de futuros desenvolvimentos.
5
Capítulo 2 - Comportamento Estrutural de Arcos
2.1 - Introdução
Com o presente capítulo pretende-se realizar uma breve abordagem ao desenvolvimento
das várias metodologias (métodos gráficos e analíticos) de análise de estruturas em arco, que
durante séculos foram as únicas ferramentas disponíveis para o dimensionamento e verificação
da segurança de estruturas arqueadas. A modelação computacional surge mais recentemente
como uma ferramenta alternativa.
Numa segunda parte é apresentada uma revisão dos métodos e princípios aplicados na
dissertação em questão. Tais métodos permitem a compreensão do comportamento das
estruturas arqueadas a analisar, constituindo um ponto de partida para as verificações de
segurança que serão necessárias efectuar. O trabalho desenvolvido neste capítulo incide
fundamentalmente nos conhecimentos do comportamento estático das estruturas arqueadas.
2.2 - Evolução das Metodologias de Análise Estrutural de Arcos
A utilização de estruturas arqueadas é uma técnica antiga. A aplicação destas estruturas
permitiu a construção de estruturas com maiores vãos, mais duráveis e mais resistentes. O
conhecimento do funcionamento estrutural do arco foi herdado pelos romanos dos Etruscos que
desenvolveram esta técnica atingindo uma elevada mestria na sua concepção e nas técnicas de
construção. Neste período não se regia por quaisquer regras, sendo efectuado apenas pela
aplicação de regras de proporção adequadas que garantiam a estabilidade da construção. Um
exemplo desta aplicação é a cúpula do Panteão de Roma que foi reproduzida à escala em
diversos pontos do império.
Após o desmembramento do império romano as ordens religiosas foram as primeiras
instituições com condições para criar à sua volta uma estrutura logística capaz de substituir a
antiga estrutura romana na construção de grandes monumentos em alvenaria.
Na época medieval a escassez de meios obrigou à compreensão do funcionamento das
estruturas, tendo como objectivo a definição de novas regras e técnicas que garantissem
estabilidade das construções, mas com maior economia de matéria-prima e de mão-de-obra.
Capítulo 2 - Comportamento Estrutural de Arcos
6
Neste período foram elaborados alguns documentos com regras de dimensionamento e técnicas
construtivas, sendo possível identificar ainda em alguns documentos a influência da escola
romana em algumas regras de proporção. Estas regras formuladas empiricamente através da
experiência levam a admitir que os mestres teriam noção intuitiva de força e que perceberiam
quais os elementos fundamentais no equilíbrio das estruturas.
No renascimento verificou-se um interesse crescente pelos exemplos da arquitectura da
antiguidade que tinham sobrevivido ao tempo e às adaptações. Neste período foram
“descobertas” as cópias e traduções efectuadas durante a idade média, permitindo, a par do
estudo das proporções dos edifícios existentes, a formulação das leis da arquitectura
renascentista. Os primeiros estudos sobre o comportamento mecânico dos arcos de que se tem
conhecimento são de Leonardo Da Vinci e constam de um conjunto de ensaios experimentais
apresentando conceitos que só viriam a ser desenvolvidas mais tarde. Da Vinci propôs para a
verificação da estabilidade que “um arco não cairá se a corda exterior não tocar o intradorso do
arco”, um conceito que viria a ser novamente enunciado em 1730 por Couplet (Figura 2.1).
Figura 2.1 Regras para a verificação da estabilidade de arcos de Leonardo da Vinci .
No ano 1638 Galileo Galilei desenvolveu as bases da mecânica estrutural que levaram ao
desenvolvimento de condições para a substituição das regras de dimensionamento empíricas por
regras racionais (Gago, 2004).
Em 1676, Robert Hooke sem resolver a estática do problema, reconheceu que o
problema do arco poderia ser identificado com o da catenária e estabeleceu que suspendendo
uma corrente metálica se obtinha a geometria invertida de um arco equilibrado (O’Dwyer, 1999).
David Gregory, em 1697, determinou a forma da corrente metálica de Hooke publicando
a expressão matemática que a definia afirmando ainda que “quando um qualquer arco se
mantém em equilíbrio é porque contém na sua espessura uma catenária”. Gregory ainda afirmou
que “ a mesma força que a corrente exerce para dentro é exercida para fora pelo arco” (Gago,
2004).
No ano 1712, Philippe de La Hire arbitrou pela primeira vez uma forma como um arco real
poderia colapsar, por um mecanismo de cunha deslizante (desprezando o atrito), onde pela
acção do seu peso, a parte superior cairia, deslizando sobre juntas fracturadas e empurrando os
encontros para o exterior (Figura 2.2). O mecanismo funcionava pela ocorrência de juntas de
escorregamento a meia distância entre os encontros e o fecho do arco e que as três zonas entre
as descontinuidades se mantinham coesas formando corpos rígidos. Não tendo considerado o
atrito, La Hire considerou que a pressão entre aduelas consecutivas se fazia na perpendicular às
respectivas juntas e que nas juntas criticas o impulso P actuava no ponto interior (Gago, 2004).
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
7
Figura 2.2 Mecanismo tipo cunha deslizante (Esq.) (La Hire, 1731) e Diagrama de
corpo livre correspondente ao mecanismo (Dta.) proposto por LaHire (Heyman, 1972).
O estudo do arco considerando o efeito do atrito foi estudado por Pierre Couplet em 1730
introduzindo conceitos inovadores. Couplet começou por estabelecer um critério para a
verificação da segurança de um arco: “admitindo que as aduelas do arco não podem ter
deslizamentos relativos entre si, o arco não colapsará se a corda da metade do extradorso não
cortar o intradorso e permanecer dentro da espessura do arco”. Este critério parece ser
semelhante ao apresentado uns séculos antes por Da Vinci.
Para o cálculo da espessura mínima admissível para um arco circular sujeito à acção do
seu peso próprio Couplet estudou o arco seguindo as premissas: a resistência ao
escorregamento e compressão infinitas e não ocorrência de tensões de tracção na estrutura.
Através destas premissas Couplet verificou que o único mecanismo de colapso possível seria
através da formação de charneiras de rotação nas juntas entre aduelas, formando um
mecanismo de colapso composto por 4 corpos rígidos ligados entre si por rótulas localizadas no
intradorso do arco a 45º da horizontal onde a direcção do impulso não era tangente ao intradorso
do arco, analisando o seu equilíbrio neste estado (Figura 2.3). Através deste equilíbrio, obteve a
relação pretendida entre a espessura mínima admissível e o raio do arco circular (Gago, 2004).
Figura 2.3 Determinação da espessura mínima admissível por Couplet (Heyman, 1982).
A espessura mínima admissível t/R calculada por Couplet foi de 0,101. Estes estudos de
Couplet foram, mais tarde confirmados por Augustin Danyzy em 1732 através de vários ensaios
que ilustraram vários exemplos possíveis de mecanismos de colapso (Kurrer, 2008) (Figura 2.4).
Capítulo 2 - Comportamento Estrutural de Arcos
8
Figura 2.4 Mecanismos de Colapso propostos por Danyzy (Danyzy, 1732).
Na primeira metade do Séc. XVIII, Poleni realizou o que se pode considerar o primeiro
trabalho da história da arquitectura e da engenharia onde a mecânica estrutural foi aplicada com
sucesso a um problema real. A cúpula da Basílica de S. Pedro, em Roma, apresentava-se
fendilhada, levando o Papa a encomendar a Giovanni Poleni um estudo sobre os danos na
cúpula. Poleni recorreu ao método de verificação de segurança proposto por Gregory, a partir da
forma da catenária. Dividindo inicialmente a cúpula em lúnulas e posteriormente as lúnulas em
16 secções, concluiu que era possível inscrever na secção do arco um dos perfis da catenária e,
utilizando sem saber o teorema estático da análise limite, concluiu que a cúpula era estável e que
a fendilhação meridional não punha em causa a segurança do conjunto. Com base neste estudo
Poleni propôs que a intervenção na cúpula fosse feita com o refechamento das fendas existentes
e a colocação de anéis de correntes de aço. (Gago, 2004; Block, 2003; O’Dwyer, 1999).
Charles Auguste Coulomb, no ano 1773 retomou o problema do estudo do arco
praticamente do zero. Coulomb fez uma revisão da teoria das estruturas e da resistência dos
materiais do Séc. XVIII, completando não só o problema estático iniciado por Galileo como
explorou novas soluções para a teoria dos arcos de alvenaria. Coulomb concluiu que o atrito nas
juntas entre elementos adjacentes era suficiente para evitar qualquer deslizamento relativo.
Coulomb admitiu ainda que as pressões não teriam de ser necessariamente perpendiculares às
juntas entre elementos, mas que apenas deviam respeitar a condição de se manter no interior da
espessura do arco. Observando o mecanismo de colapso de uma estrutura arqueada, Coulomb
concluiu que no caso de o impulso horizontal P ser suficientemente pequeno, o corpo rígido do
arco acima da junta crítica cairá por rotação em torno de um ponto no intradorso do arco. Se o
impulso horizontal P for suficientemente alto, o corpo rígido terá um movimento ascensional por
rotação em torno de um ponto no extradorso do arco. Os valores para os impulsos horizontais
atrás referidos correspondem, respectivamente, aos limites máximo e mínimo dos impulsos para
um arco em equilíbrio (Figura 2.5). Não conseguindo identificar a localização exacta das rótulas
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
9
que dão origem ao mecanismo de colapso, Coulomb, por tentativa e erro, identificou a
localização mais desfavorável da junta critica e verificou que a correspondente espessura do
arco circular e o correspondente valor do impulso, são relativamente insensíveis à localização
dessa junta (Gago, 2004).
Figura 2.5 Mecanismos limite considerados por Coulomb.
Claude Navier em 1823 recorrendo à definição do conceito de núcleo central analisou
pela primeira vez o problema da distribuição de tensões nas secções de peças lineares.
As definições de linha de pressões e linha de resistência, respectivamente, como o lugar
geométrico das consecutivas intersecções entre as direcções das resultantes das pressões
actuantes nas juntas e o polígono que une os centros de pressões de cada junta, foram
introduzidas simultaneamente em França por Edouard Méry, na Alemanha por Franz Gerstner e
em Inglaterra por Henry Moseley.
Franz Gerstner, em 1831, determinou que a forma invertida da linha de pressões
corresponderia a um arco totalmente comprimido demonstrando ainda que existem infinitas
linhas de condições que satisfazem as condições de equilíbrio (Kurrer, 2008).
Em 1833, Moseley mostrou que as linhas de pressões e de resistência são duas curvas
diferentes e que um arco para estar em equilíbrio teria de ter a linha de resistência totalmente
incluída na sua espessura. Se esta intersectasse o extradorso ou o intradorso, o arco fendilharia
perto desse ponto. Moseley enunciou ainda que a “verdadeira” linha de resistência de entre todas
as possíveis seria aquela que corresponderia ao menor impulso horizontal no fecho do arco
(Figura 2.6) (Moseley, 1833).
Figura 2.6 Linha de resistência “verdadeira” de Moseley correspondente ao impulso
horizontal mínimo (Gago, 2004).
Capítulo 2 - Comportamento Estrutural de Arcos
10
Edouard Méry, aproveitando os trabalhos de Navier e Moseley, admitiu que o mecanismo
de colapso de um arco se iniciava através da formação de charneiras de rotação no fecho do
arco e nos seus rins. O método de Méry (Figura 2.7), definido pelo próprio como “um modo de
verificar a estabilidade dos arcos por meio de uma construção geométrica que dispensa todo o
cálculo” consistia nos seguintes procedimentos: determinação da linha de resistência
considerando a rótula a 30º com a horizontal, verificando-se posteriormente a linha determinada
está contido no terço central do arco e se a tensão normal às juntas não é superior a 1/10 da
resistência à compressão simples do material (Méry, 1840).
Figura 2.7 Método Gráfico de determinação da l inha de pressões (Esq.) e divisão da
espessura do arco em função da resistência do material (Dta.) (Méry, 1840) .
A existência de um número infinito de estados de equilíbrio, que representam a
indeterminação estática da estrutura, foi provada por Barlow através da realização de diferentes
ensaios (Figura 2.8) (Barlow, 1847).
Figura 2.8 Modelos de Barlow para provar a existência de diversas linhas de pressões
(Barlow, 1847).
Jean Victor Poncelet, foi responsável pela introdução de métodos gráficos inovadores na
análise de arcos, provando que o ponto do intradorso do arco correspondente à secção nos rins
“em rotura”, é aquele em que a tangente ao intradorso passa através do ponto de intersecção da
linha de acção do impulso e a linha de acção da força da gravidade da porção do arco entre a
secção em rotura e o fecho (Gago, 2004).
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
11
O problema da indeterminação estática da estrutura foi, no final da primeira metade do
Séc. XIX alvo de inúmeros estudos, questionando-se qual a lei da física que se deveria introduzir
para resolver essa indeterminação. Poncelet em 1852 sugeriu a determinação da “verdadeira”
curva de pressões através das técnicas de resolução de estruturas hiperstáticas, ou seja,
considerando o arco como uma barra elástica curva. Poncelet concluiu que não era possível
determinar a “verdadeira” curva de pressões recorrendo apenas às equações de equilíbrio
(Gago, 2004).
Winkler, Perrodil e outros executaram uma série de ensaios que mostravam que a
aplicação da teoria elástica podia ser aplicada com exactidão a arcos (Gago, 2004). Winkler, em
1880 aplicando o princípio do trabalho mínimo ao arco de alvenaria afirmou que a “verdadeira
linha de pressões era aquela que se desvia menos do eixo central do arco” (Kurrer, 2008).
No final do Séc. XIX, alguns autores salientaram a importância do enchimento no
extradorso do arco no comportamento global da estrutura. Rankine defendeu que o vão efectivo
do arco seria apenas a porção do arco acima das juntas de rotura, de modo a se ter em conta o
efeito favorável desse enchimento (Figura 2.9). Este factor benéfico do enchimento no
extradorso, apesar de não ser incluído nos estudos até esta época, era já do conhecimento dos
mestres construtores (Gago, 2004).
No início do Séc. XX o pré-dimensionamento da geometria e da espessura dos arcos e
abobadas era ainda feito com base em regras empíricas, sendo posteriormente realizada a
verificação da estabilidade com métodos racionais.
Figura 2.9 Arco com enchimento com indicação do vão a considerar segundo Rankine
(L), raio médio (R), espessura (t) e ângulo de abertura ( α) (adaptado de Ochsendorf,
2002).
Também no princípio do Séc. XX, em 1927, Swain criticou o uso da teoria elástica na
análise de estruturas de alvenaria, contrariando Winkler, pois “aplicar a teoria elástica até para
estruturas de betão reforçado em arco é uma ilusão, e uma procura infrutífera de exactidão onde
a exactidão é impossível” (Ochsendorf, 2002).
Mais tarde, a aplicação de vigas metálicas tornou os arcos obsoletos, deixando a
investigação e projectos de arcos de alvenaria em desuso. Esta substituição das estruturas de
alvenaria por estruturas de aço e betão levou a um gradual esquecimento das antigas técnicas
de construção.
Capítulo 2 - Comportamento Estrutural de Arcos
12
Mais recentemente verificou-se uma reanimação da técnica de construção de estruturas
em arco, que levou a uma maior economia, a uma maior facilidade de execução devido a novos
equipamento de construção e a um aumento da segurança estrutural devido à utilização de
novos materiais e a construção de arcos em Betão armado.
Durante a segunda grande guerra, o aumento das cargas actuantes a que as pontes
estavam sujeitas devido aos veículos militares, levou o governo britânico a classificar as pontes
de acordo com a sua capacidade para veículos militares. Pippard executou testes experimentais
em arcos e concluiu, que havendo imperfeições, os arcos, aparentemente hiperstáticos,
funcionavam como estruturas isostáticas. Pippard observou que embora a carga necessária para
a formação da 1ª rótula se reduza com a frequência dos ensaios, a carga de colapso mantêm-se
inalterada. Nestes ensaios Pippard abstraiu-se do efeito favorável da rigidez do enchimento na
resposta estrutural dos arcos. Pippard mostrou assim que existia uma grande reserva de
resistência relativamente à regra do terço central, propondo a regra da metade central, onde a
estrutura estaria em equilíbrio enquanto a linha de pressões estivesse contida dentro da
espessura do arco (Gago, 2004).
Anthony Kooharian, em 1953 aplicou, pela primeira vez, a teoria da plasticidade ao
estudo de alvenarias (Kooharian, 1953).
Em 1966, Jacques Heyman publica um artigo que discute profunda e rigorosamente a
aplicação do método da análise limite a qualquer estrutura de alvenaria. Heyman sistematizou as
informações das teorias das abóbadas, dos Séc. XVIII e XIX, nos seus princípios para a
aplicação do método da análise limite (Heyman, 1966). Ao aplicar a análise limite à análise de
arcos Heyman relegou para segundo plano a necessidade de determinação da “verdadeira” linha
de pressões da estrutura. Recorrendo ao teorema estático da análise limite, se uma qualquer
linha de pressões, em equilíbrio com as solicitações exteriores e que verifique em simultâneo o
critério de resistência em todas as secções, se encontrar totalmente contida na espessura do
arco a estrutura não colapsará, estando garantida a segurança da estrutura (Heyman, 1995).
Mais tarde, Heyman investigou quais as sobrecargas que podem surgir numa estrutura
tridimensional, analisando conservativamente o seu efeito dividindo a estrutura numa série de
arcos individuais, reduzindo o problema tridimensional a uma simples análise bidimensional de
um arco (Ochsendorf, 2002).
Mais recentemente, nos anos 80 a indústria da recuperação de monumentos e centros
históricos e a ocorrência de fenómenos sísmicos na Europa central levou a um crescente
interesse na verificação da segurança de estruturas de alvenaria.
Robert Mark, em 1982 utilizou métodos de foto-elasticidade, de modo a identificar as
zonas de concentração de tensões (Gago, 2004).
O’Dwyer propôs um método para a definição de uma “superfície de pressões”, uma
variante tridimensional da linha de pressões, que também deverá estar totalmente incluída na
espessura da estrutura em análise, afirmando ainda que a divisão de uma estrutura
tridimensional, para uma análise bidimensional, deve ser efectuada segundo as fissuras
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
13
apresentadas pela estrutura em causa, de modo a obter a aproximação mais exacta das tensões
existentes na estrutura (O’Dwyer, 1999).
Pierre Smars, em 2000 estudou a estabilidade dos arcos e abóbadas, considerando a
influencia dos deslocamentos nos apoios, não contabilizando contudo a possibilidade de a
posição das rótulas se alterar com o aumento da deformação. Smars desenvolveu ainda diversos
algoritmos de cálculo que procuram soluções de equilíbrio para abóbadas (Ochsendorf, 2002;
Smars, 2000).
Em 2002, Ochsendorf estudou o colapso do arco de alvenaria, circular e de espessura
constante, a partir do deslocamento dos seus apoios. Desenvolveu uma aplicação que que
calcula alguns parâmetros, como por exemplo a posição das rótulas no colapso (Ochsendorf,
2002).
As novas tecnologias computacionais tornaram mais fácil a análise das estruturas pelos
métodos dos elementos finitos, inicialmente utilizados apenas para estruturas com
comportamento linear e contínuo. Devido às características não lineares do comportamento
mecânico da alvenaria (fraca resistência à tracção e descontinuidades entre os elementos), os
modelos tradicionais de elementos finitos não representam correctamente o comportamento real
das estruturas de alvenaria. Alguns autores procuraram, assim, modelos mais adequados à
simulação destas estruturas.
A integração do comportamento não linear do material e a simulação de
descontinuidades entre elementos, só possível com a evolução das capacidades
computacionais, permitiu o desenvolvimento de diversos modelos de elemento finitos não
lineares. Estes novos modelos foram posteriormente adaptados à análise de estruturas de
alvenaria. Apesar de a análise de estruturas através destes modelos ser bastante pesada, a sua
combinação com modelos elásticos lineares permite uma avaliação suficientemente rigorosa da
segurança das estruturas.
Paralelamente a estes modelos começou a ser utilizada na modelação de estruturas de
alvenaria descontínuas a formulação de elementos discretos, inicialmente desenvolvida apenas
para a mecânica das rochas. Esta formulação permite a ocorrência de grandes deslocamentos e
rotações e difere das modelações não lineares por actualizar ao longo da análise, o
posicionamento dos contactos entre os diferentes elementos, permitindo a sua aplicação a
estruturas de alvenaria.
O estudo da segurança de estruturas arqueadas sofreu desde a época do renascimento
uma grande evolução, partindo de regras empíricas de dimensionamento, utilizadas pelos
mestres, até um conhecimento racional do funcionamento destas estruturas. A utilização de
meios computacionais facilitou o desenvolvimento e o melhoramento das técnicas de análise de
segurança.
Capítulo 2 - Comportamento Estrutural de Arcos
14
2.3 - Princípios Básicos do Funcionamento Estrutural de Arcos
2.3.1 - Condições de Equilíbrio – Conceito de Linha de Pressões
No capítulo anterior abordou-se a evolução das metodologias de análise de estruturas em
arco. Os métodos gráficos e analíticos foram durante muito tempo as únicas ferramentas
disponíveis para o dimensionamento e verificação da segurança de estruturas arqueadas,
surgindo mais recentemente a modelação computacional como uma ferramenta alternativa aos
métodos gráficos e analíticos tradicionais.
Na generalidade dos métodos considerados a fraca resistência a esforços de tracção por
parte dos elementos de alvenaria é desprezada, estando a estabilidade da estrutura dependente
das tensões de compressão entre os elementos estruturais. A ocorrência de tensões de tracção
origina a fendilhação podendo mesmo provocar o colapso da estrutura.
Neste capítulo, para além de se apresentar uma revisão dos métodos e princípios
aplicados explica-se ainda o conceito da linha de pressões, bastante importante na verificação da
estabilidade de estruturas arqueadas.
Nas estruturas arqueadas, a linha de pressões, que representa o polígono que une os
centros de pressão de cada junta entre os elementos de alvenaria, e a linha de resistência, que é
o lugar geométrico das consecutivas intersecções das resultantes das tensões actuantes nessas
juntas, (Figura 2.10) são praticamente coincidentes, sendo tanto mais próximas quantos mais
próximas forem as juntas entre aduelas (Timoshenko, 1953).
Figura 2.10 Linhas de pressões e de resistência num arco (Timoshenko, 1953).
Considerando um comportamento homogéneo (resistência à tracção nula e admitindo
que não há escorregamento entre aduelas) por parte da estrutura, ou seja, não se verificando
diferenças entre juntas e as restantes secções, e considerando um número suficientemente
grande de secções transversais, pode-se admitir que as linhas de pressões e de resistência
convergem para uma única curva contínua. Esta curva contínua única que representa o lugar
geométrico das linhas de acção resultantes das tensões actuantes nas diferentes secções
transversais é a Linha de Pressões da estrutura (Gago, 2004).
Aplicando a hipótese de Bernoulli a uma secção transversal rectangular, verifica-se que
quando o ponto de aplicação da resultante das cargas actuantes na secção se localiza fora da
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
15
secção, originar-se-ão tensões de tracção em toda a secção levando ao colapso da estrutura.
Ainda recorrendo à hipótese de Bernoulli sabe-se que a secção estará completamente
comprimida se a resultante das tensões normais tiver o seu ponto de aplicação no interior do
Núcleo Central da secção. Assim a secção estará completamente sob compressão se a
excentricidade da resultante das tensões normais for inferior a t/6. Ainda segundo a hipótese de
Bernoulli, caso o ponto de aplicação da resultante das tensões normais esteja localizado fora do
núcleo central da secção mas dentro da secção, verificar-se-á fendilhação numa das
extremidades da secção e um aumento das tensões de compressão na extremidade oposta.
Apesar da fendilhação a estrutura estará ainda em equilíbrio. A Figura 2.11 demonstra a
evolução das tensões na secção em função do ponto de aplicação da resultante.
Figura 2.11 Tensões nas secções transversais do arco em função do ponto de
aplicação da sua resultante (NC-Núcleo Central) .
Pelas definições anteriores conclui-se que uma estrutura arqueada estará em equilíbrio
quando submetida a uma determinada acção, se a linha de pressões correspondente estiver
sempre no interior da sua espessura, verificando-se a ocorrência de fissuras nas zonas onde
esta seja exterior ao núcleo central. A rotura apenas se verifica se a linha de pressões for exterior
à secção em causa ou quando a tensão limite de compressão do material for atingida.
A posição da linha de pressões pode ser determinada através do equilíbrio das forças
actuantes na estrutura. Considerando um arco sujeito apenas ao seu peso próprio e δ a distância
vertical entre o intradorso do arco e a linha de pressões (Figura 2.12).
Capítulo 2 - Comportamento Estrutural de Arcos
16
Figura 2.12 Diagrama de corpo livre de um arco sujeito apenas à acção do seu peso
próprio.
Do equilíbrio de momentos em relação ao ponto A obtém-se:
(2.1)
Através da equação, acima descrita, verifica-se que a determinação da distância δ
depende dos valores de H, V e Δ, tratando-se assim de uma estrutura hiperstática do 3º grau,
sendo possível determinar a posição da linha de pressões se for conhecida a sua posição em
pelo menos 3 pontos da estrutura.
Um outro método de determinação duma aproximação da linha de pressões é a técnica
do polígono funicular (Figura 2.13) que considera o arco como um cabo suspenso invertido,
submetido à acção de cargas concentradas representativas do peso das aduelas, obtendo-se
uma aproximação que corresponde à envolvente exterior da linha de pressões do arco.
Figura 2.13 Polígono Funicular (Gago, 2004).
O polígono funicular traduz o equilíbrio estático das forças actuantes no arco. Por o arco
se tratar de uma estrutura triplamente hiperstática, não é possível determinar a verdadeira linha
de pressões através desta técnica, sendo possível determinar apenas “uma” linha de pressões
possível do arco. Segundo a análise limite, a possibilidade de determinar “uma” linha de
pressões possível permite verificar a segurança da estrutura. Assim, a verificação da segurança
da estrutura arqueada pode ser efectuada procurando apenas uma aproximação da linha de
pressões contida na espessura do arco.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
17
A determinação das linhas de pressão pode também ser efectuada através das situações
limite, correspondentes à situação de impulso horizontal máximo e mínimo (Figura 2.14). Em
ambos os casos a linha de pressões será tangente ao intradorso e ao extradorso do arco em três
pontos onde se formam rótulas plásticas. A estrutura passará então a ser isostática, ficando a
linha de pressões e os respectivos impulsos horizontais definidos.
Figura 2.14 Linhas de pressões correspondentes aos impulsos máximo e mínim o
(Heyman, 1995).
Por análise da geometria do polígono funicular (Figura 2.13) de um arco circular sujeito à
acção de um carregamento simétrico, verifica-se que a inclinação do seu último troço é tanto
mais vertical quanto mais próximo da imposta estiver a resultante das cargas actuantes no semi-
arco. Observando a Figura 2.14 constata-se que a linha de impulso mínimo é mais inclinada que
a linha de impulso máximo. Pode-se então afirmar que às linhas de pressões mais inclinadas
correspondem impulsos horizontais menores. A existência de um carregamento nos rins do arco
(enchimento), tem uma maior intensidade de carga junto da imposta, tendo um efeito favorável
ao reduzir a intensidade do impulso horizontal, deslocando ainda a linha de pressões
correspondente ao peso próprio para o interior da sua espessura. Existe ainda a possibilidade,
caso o enchimento apresente alguma consistência e a interface entre este e o arco apresente
resistência ao corte suficiente, de a linha de pressões poder sair da espessura do arco
continuando o arco em equilíbrio. O enchimento no extradorso constitui ainda uma restrição ao
movimento horizontal dos elementos do arco. Por estes motivos o enchimento no extradorso do
arco tem um efeito favorável na verificação de segurança da estrutura (Gago, 2004).
2.3.2 - Aplicação dos Princípios da Teoria da Análise Limite no Estudo do Equilíbrio dos
Arcos
A Teoria da Análise Limite permite a avaliação da segurança de uma estrutura em
alvenaria submetida à acção de cargas estáticas.
Jacques Heyman, foi o principal dinamizador da aplicação desta teoria ao estudo de
estruturas arqueadas em alvenaria possibilitando a aplicação da análise elástica a arcos de
alvenaria, apesar de outros autores já terem apontado esta teoria como uma possibilidade para a
análise deste tipo de estruturas. Heyman nos seus trabalhos publicou a aplicação desta teoria a
várias estruturas de alvenaria, como por exemplo arcos, abóbadas e cúpulas, sistematizando
teorias aplicadas nos Séc. XVIII e XIX nos seus Princípios da Análise Limite (Heyman, 1995).
Capítulo 2 - Comportamento Estrutural de Arcos
18
Heyman considerou ainda as seguintes hipóteses para a aplicação da análise limite a estruturas
de alvenaria: (Gago, 2004; Ochsendorf, 2002; Sinopoli, 1997):
1) Os elementos apresentam resistência à tracção nula;
2) Os elementos apresentam resistência à compressão infinita;
3) Aduelas adjacentes apresentam deslocamento relativo nulo;
A primeira hipótese é ligeiramente conservativa e baseia-se na baixa resistência à
tracção que os elementos de alvenaria apresentam. A segunda hipótese, apesar de ser não-
conservativa, tem em conta que as tensões de compressão instaladas nas estruturas de
alvenaria são baixas quando comparadas com a resistência ao esmagamento do material.
Normalmente os valores das tensões de compressão são uma ordem de grandeza inferior à
resistência ao esmagamento do material. O material é assim considerado rígido. A terceira
hipótese considera que as tensões de compressão instaladas entre elementos, embora
pequenas, são suficientes para evitar o escorregamento entre aduelas. Estas são as 3 hipóteses
clássicas usadas desde os estudos de Couplet e Coulomb que vão simplificar o cálculo da
estabilidade dos elementos de alvenaria (O’Dwyer, 1999).
Segundo estas hipóteses o único movimento relativo possível entre aduelas separadas
por uma junta é a rotação em torno das arestas comuns.
A análise limite que admite para o material um comportamento rígido-perfeitamente
plástico surge então como um método disponível para avaliar a segurança de uma estrutura em
alvenaria submetida à acção de cargas estáticas. Os teoremas fundamentais da análise limite
são os seguintes:
Teorema Estático: Se para um dado carregamento for possível encontrar um campo de
tensões estática e plasticamente admissível, então a estrutura será capaz de suportar esse
carregamento.
Este teorema estabelece que de entre todas as distribuições de esforços estaticamente
admissíveis, a que equivale ao colapso é a que corresponde ao maior parâmetro de carga. No
caso de uma estrutura de alvenaria uma distribuição de esforços admissível corresponde a uma
linha de pressões totalmente incluída no interior da espessura da estrutura.
Teorema Cinemático: Se for possível encontrar um campo de velocidades de deformação
cinemática e plasticamente admissível em que o trabalho das cargas aplicadas exceda o trabalho
da dissipação, a estrutura não suportará esse carregamento.
Este teorema estabelece que de entre todos os mecanismos de colapso cinematicamente
admissíveis, o que define o colapso é aquele que corresponde ao menor parâmetro de carga.
Este parâmetro de carga é calculado de modo a que a energia dissipada pelas forças interiores
seja igual à energia dissipada pelas forças exteriores.
Assim, se para uma dado parâmetro de carga correspondente a uma distribuição de
deformações cinematicamente admissível for possível definir uma distribuição de esforços
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
19
estaticamente admissível, então esse parâmetro de carga corresponde ao parâmetro de carga de
colapso. Este é o teorema da unicidade.
Tendo em conta os teoremas enunciados anteriormente, pode-se afirmar que um arco se
encontra em equilíbrio caso seja possível encontrar uma linha de pressões totalmente inscrita na
espessura do mesmo. Ainda considerando os teoremas enunciados anteriormente, é possível
afirmar que a carga de colapso do arco corresponde ao menor valor das cargas que causam o
colapso da estrutura. Considerando as afirmações anteriores, pode-se concluir que é possível
aplicar as metodologias de análise limite (métodos cinemáticos) a estruturas arqueadas planas
recorrendo à análise plástica de estruturas metálicas. A aplicação destas metodologias a este
tipo de estruturas deu origem a softwares de análise como o software RING.
O software RING idealiza uma estrutura arqueada de alvenaria como um conjunto de
blocos rígidos recorrendo à análise limite computacional para analisar o estado limite último,
determinando o valor da carga que leva ao colapso da estrutura. A determinação da carga de
colapso de uma estrutura obedece a 3 etapas:
1º Escolha de um mecanismo de colapso;
2º Determinação da carga de colapso desse mecanismo recorrendo ao equilíbrio (ou ao
PTV);
3º Experimentar outros mecanismos até encontrar o menor valor da carga de colapso,
correspondendo à carga de colapso crítica;
A realização destas etapas poderia ser efectuada à mão, contudo até uma simples
estrutura arqueada obriga a procedimentos bastante laboriosos e passíveis de erro. O RING
torna este processo automático, recorrendo a rigorosas técnicas de optimização matemáticas,
determinando qual o mecanismo associado ao menor valor da carga de colapso.
O software RING foi utilizado neste trabalho para a determinação das cargas de colapso
de diversas estruturas arqueadas planas.
2.3.3 - Aplicação de Métodos de Análise Computacionais no Estudo do Equilíbrio dos
Arcos
As estruturas de alvenaria arqueadas apresentam um comportamento geometricamente
não linear. Por essa razão, na sua análise é necessário recorrer a modelos não lineares como o
modelo da fenda discreta e o modelo da fenda distribuída.
O modelo da fenda discreta, associado à concepção natural de fractura, modela a fenda
(ou junta, no caso de alvenarias constituídas por blocos) explicitamente através da separação
dos nós pertencentes aos elementos adjacentes, introduzindo-se assim, uma superfície de
descontinuidade na malha de elementos finitos.
Os modelos de fenda distribuída representam o sólido fendilhado como um meio contínuo
em que o efeito da fendilhação é modelado através da modificação das relações constitutivas
definidas para o material. A utilização destes modelos é particularmente vantajosa do ponto de
vista computacional, uma vez que admite a formação de fendas com localização e orientação
genéricas, preservando ao longo da análise a topologia da malha de elementos finitos original.
Capítulo 2 - Comportamento Estrutural de Arcos
20
Para além destes modelos não lineares é possível recorrer a método dos elementos
discretos que se apresenta como uma boa alternativa para a análise de estruturas arqueadas de
alvenaria.
O método dos elementos discretos foi desenvolvido explicitamente para a análise estática
e dinâmica de estruturas descontínuas, como são os arcos de alvenaria, alvo desta dissertação.
Este método foi inicialmente desenvolvido por Peter Cundall no âmbito da mecânica das rochas,
caracterizando-se principalmente por permitir a ocorrência de deslocamentos e rotações finitas
de corpos discretos e por permitir o reconhecimento de novos contactos entre corpos e a
eliminação de contactos obsoletos, permitindo assim a simulação do completo destacamento dos
corpos discretos inicialmente em contacto (Gago, 2004).
Este método é particularmente indicado para a análise de problemas em que uma parcela
significativa de deformação ocorre pelo movimento relativo entre os corpos discretos que
compõem a estrutura. Os corpos discretos podem ser modelados como rígidos ou deformáveis,
sendo a hipótese dos corpos rígidos suficientemente realista em situações em que o nível de
deformação dos blocos é baixo em comparação com a deformação das juntas.
Entre o método dos Elementos Discretos (MED) e o Método dos Elementos Finitos (MEF)
existem várias diferenças. Na simulação de estruturas com juntas devem ser incluídas
formulações de elementos finitos que incluam elementos de junta, aproximando esta formulação
do MED. Isto vai, no entanto limitar esta formulação por não permitir a alteração da topologia dos
contactos entre elementos durante a análise estrutural, impossibilitando a simulação de
mecanismos com grandes deslocamentos que alterem a geometria inicial da estrutura, que pode
resultar em novos contactos ou na eliminação de alguns existentes, contrariamente ao que
acontece no MED.
Para se obter uma solução equilibrada pelo MEF é necessário recorrer a um processo
iterativo em cada incremento de carga, ou de deslocamento. Esse processo iterativo, onde são
construídas e invertidas diversas matrizes de rigidez tangente do sistema em análise, resulta
num elevado consumo de tempo de cálculo. No MED não é necessário construir matrizes de
rigidez do sistema tratando-se de um método explícito, com incrementos de tempo, no qual os
elementos são tratados sequencialmente em vez de simultaneamente como no método dos
elementos finitos. No entanto, este procedimento de cálculo explícito conduz também a um
elevado consumo de recursos computacionais, pelo que, em relação ao tempo consumido no
cálculo, os dois métodos não apresentam grandes diferenças.
Considerando que a topologia dos contactos entre elementos permanece constante,
ambos os métodos são capazes de simular o comportamento de painéis de alvenaria regular em
regime material e geometricamente não linear. Os resultados obtidos pelo MEF, embora mais
fiáveis que os do MED, são mais difíceis de obter.
Outra vantagem do MEF relativamente ao MED, é permitir a utilização de modelos
materiais mais sofisticados, nomeadamente a inclusão do amolecimento nas leis de
comportamento do material fracturado, o que é mais realista e permite a modelação de
comportamentos do tipo “snap-back”.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
21
Apesar destas vantagens do MEF em relação ao MED, na análise de mecanismos de
colapso locais ou parciais, onde se verifiquem alterações do tipo e localizações dos contactos,
apenas é aplicável o MED pois o MEF é ineficaz, pois o MED possibilita a simulação de todo o
processo de colapso da estrutura (Gago, 2004).
Este trabalho focou-se mais na explicação e aplicação do método dos elementos
discretos que no método dos elementos finitos, pois nas estruturas a analisar considerar-se-á
que vai ocorrer uma alteração nos tipos e localizações dos contactos. O programa de cálculo do
MED utilizado no presente trabalho (UDEC) apenas permite análises bidimensionais, ao passo
que nos programas de cálculo do método dos elementos finitos utilizados são também possíveis
análises tridimensionais.
A formulação básica do programa de cálculo UDEC é a de estados planos de
deformação, isto é, com deformação nula na direcção perpendicular ao plano da estrutura,
possibilitando a simulação de estruturas tridimensionais longas, com secção transversal
constante e submetidas à acção de cargas complanares com as secções transversais. Em
alternativa, o programa de cálculo UDEC permite a simulação de estados planos de tensão, nos
quais as tensões perpendiculares ao plano da estrutura são nulas. Esta formulação, que
possibilita a simulação de estruturas planas submetidas à acção de cargas complanares com a
própria estrutura, é a indicada para a análise de estruturas de alvenaria planas, como os arcos e
paredes.
O UDEC permite ainda a análise dinâmica de estruturas planas, potencialidade que, não
sendo o objectivo do estudo a análise do comportamento sísmico de arcos, foi considerada no
estudo da solução de reforço para a Igreja Matriz de Bucelas, apresentado no Capitulo 6.
O método dos elementos discretos pertence numa classificação geral às técnicas da
análise descontínua de estruturas. Inicialmente utilizado para a modelação de solos, foi depois
desenvolvido para a análise de estruturas compostas por partículas ou blocos.
O método dos elementos discretos adequa-se especialmente para problemas onde uma
parte significativa da deformação seja devida ao deslocamento relativo entre blocos, tais como
materiais granulares e alvenarias. As juntas são vistas como interfaces entre elementos, sendo a
descontinuidade tratada como uma condição de fronteira. As juntas podem alterar a resposta do
sistema, comprometer a sua estabilidade e introduzir deslocamentos irreversíveis. Como no caso
da alvenaria as deformações e os métodos de colapso estão muito dependentes das juntas, este
material apresenta-se como um dos casos de aplicação natural deste método. Através deste
método é possível estudar a segurança de estruturas deste tipo.
Representação dos materiais sólidos
Nos modelos os materiais podem ser definidos como rígidos ou deformáveis. Um material
pode ser considerado rígido quando a deformação depende principalmente do movimento nas
descontinuidades, ou seja, escorregamento ou rotação entre blocos. Se a deformação do
material não pode ser desprezada, então os blocos devem ser considerados deformáveis. De
modo a introduzir deformabilidade nos elementos, estes devem ser divididos em elementos
Capítulo 2 - Comportamento Estrutural de Arcos
22
internos, como por exemplo numa malha de elementos finitos, para aumentar o número de graus
de liberdade. A complexidade da deformação depende assim da dimensão da malha utilizada. A
desvantagem desta técnica é, no caso de corpos com uma forma complicada, que o número de
divisões da discretização pode ser bastante grande até para um padrão de deformações
bastante simples. A formulação usada no UDEC permite a modelação do material intacto tanto
das não linearidades físicas como das geométricas.
Representação dos contactos e da interacção entre elementos
Um dos componentes mais importantes em qualquer modelo de elementos discretos é a
modelação dos contactos entre elementos. Todos os métodos permitem que se verifiquem
escorregamentos e abertura nos contactos, mas estes estão divididos em dois grupos pela
maneira como tratam o comportamento na direcção normal ao movimento nos contactos. No
primeiro grupo uma rigidez normal finita é considerada para representar a rigidez real. No caso
de forças de compressão verifica-se uma sobreposição nos elementos. Assume-se que as forças
localizadas no contacto são nulas no ponto onde os elementos se tocam, sendo necessário que
um elemento entre no outro para produzir uma força de contacto de valor finito, pois estas forças
estão relacionadas com o deslocamento nos contactos entre elementos. Trata-se de uma
aproximação do comportamento real pois o que realmente acontece é uma deformação da
superfície e não uma interpenetração entre elementos. No caso do segundo grupo a
interpenetração não é fisicamente possível, sendo usados algoritmos de modo a prevenir
qualquer interpenetração dos dois elementos que formam o contacto. Neste caso não são
necessárias quaisquer constantes das características dos materiais. Esta aproximação é
indicada especialmente para elementos que se deslocam com grande velocidade e interagem
por colisão.
A escolha das hipóteses nos contactos deve ser efectuada em função dos fenómenos
físicos reais em detrimento dos conceitos numéricos. Dependendo do caso, o comportamento de
um sistema pode ser diferente.
As sobreposições presentes no primeiro grupo representam uma maneira
matematicamente conveniente de mensurar os deslocamentos normais. Nos modelos de
elementos finitos, as juntas têm uma espessura nula, com sobreposição indicativa de tensões de
compressão e separação indicativa de tensões de tracção. Se a rigidez normal de uma junta for
incrementada, as sobreposições podem ser tão pequenas como pretendido. Por vezes as
sobreposições têm um significado físico, como por exemplo no caso de superfícies irregulares,
onde representam uma deformação local que pode ser avaliada experimentalmente.
Na maior parte dos modelos de elementos distintos a representação da interface entre
blocos é representada por um conjunto de pontos de contacto. Blocos adjacentes podem tocar-
se ao longo de uma borda ou segmento comum ou em pontos discretos onde um canto encontra
uma face ou outro canto. Não é definido qualquer elemento especial para a junta, pois estes
elementos não são utilizados nos métodos de elementos discretos, pois não se devem simular
grandes deslocamentos e vários tipos especiais de contactos envolvendo bordas e vértices
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
23
devem ser permitidos. A robustez dos resultados sob caminhos de carga complicados no ponto
de contacto torna esta simulação ideal para a análise dinâmica de sistemas de blocos onde
podem ocorrer grandes deslocamentos. O modelo mais simples de interacção mecânica entre
blocos é obtido assumindo que os blocos estão ligados na direcção normal e de corte por molas
de comportamento elástico. A cada ponto de contacto é dado um comprimento (2D) ou uma área
(3D) e as leis constitutivas são formuladas de acordo com as tensões e os deslocamentos
relativos ao longo do interface. O somatório de todos os comprimentos (ou áreas) é o
comprimento (ou área) total do contacto. Quando os blocos são discretizados numa malha muito
fina, os pontos da malha podem ser colocados ao longo das bordas. Estes pontos são tratados
como novos cantos, pois a borda pode agora deformar-se numa linha poligonal.
Actualização e detecção dos contactos
O processo de detecção de contactos é um dos principais factores consumidores de
tempo nas simulações de modelos de elementos discretos, dependendo tanto do número de
blocos simulados como da complexidade da geometria de cada bloco. O algoritmo utilizado para
detectar e actualizar os contactos deve ser eficiente, especialmente nas análises dinâmicas,
onde grandes deslocamentos podem precisar que muitos contactos sejam apagados ou
adicionados durante uma simulação dinâmica. Para alguns problemas é necessário proceder a
uma análise de um estado avançado do processo de colapso. Em algumas situações, a não
linearidade geométrica pode surgir antes de qualquer deslocamento significativo Qualquer
alteração da conectividade inicial do sistema introduz efeitos não-lineares, que não são tidos em
conta pelos códigos de modelação normais baseados na hipótese dos pequenos deslocamentos.
Os códigos baseados no MED devem incluir rotinas que sejam capazes de identificar elementos
em contacto e guardar as mudanças da estrutura dos contactos durante a análise, sem qualquer
intervenção do utilizador. A geometria da estrutura é muitas vezes especificada pela criação de
um bloco único, que representa a região física a ser analisada. Após a criação deste bloco são
introduzidos cortes que representam as juntas entre elementos. As rotinas para a detecção e
actualização de contactos deve ser capaz de identificar a configuração inicial dos contactos,
determinar quais os corpos em contacto e encontrar os parâmetros geométricos que definem o
tipo de contacto. Durante a análise, alguns contactos podem desaparecer, pois alguns blocos
afastam-se e novos contactos podem surgir, pois alguns blocos podem aproximar-se. O tipo de
contacto entre os mesmos corpos pode evoluir, como por exemplo de um contacto tipo canto-
borda para um contacto do tipo canto-canto, ou a direcção do contacto pode progressivamente
alterar-se conforme a rotação do bloco.
Em teoria, a detecção dos contactos requer cálculos geométricos simples. O maior
problema reside no tempo de cálculo. Para saber quais os elementos que estão em contacto não
é possível verificar todos os pares. Para n blocos, esta procura iria resultar num tempo de cálculo
proporcional a n2, o que não é exequível, excepto para pequenos sistemas, particularmente se
este processo tiver que ser repetido diversas vezes durante a análise. Os algoritmos de detecção
e actualização dos contactos usados nos métodos de elementos discretos são delineados de
Capítulo 2 - Comportamento Estrutural de Arcos
24
modo a reduzir o número de blocos, ou partes de blocos, que é necessário verificar sem correr o
risco de falhar alguma nova interacção. A detecção dos contactos é feita através de dois testes:
um primeiro que elimina rapidamente os blocos que não têm qualquer possibilidade de vir a estar
em contacto e o segundo verifica rigorosamente quais os blocos que passaram o primeiro teste.
Tendo em consideração que o facto dos testes de detecção de contacto podem requerer um
tempo de cálculo relativamente longo, não é aconselhável repetir estes testes em cada passo de
cálculo. Normalmente um parâmetro indicativo do movimento do bloco é definido e o teste de
detecção do contacto é efectuado periodicamente quando esse parâmetro atinge um certo valor
(p. e. quando o bloco se move uma certa distância). Como a detecção de contactos não é
efectuada em todos os passos é importante antecipar a possível formação de contactos entre
dois testes sucessivos. Assim, o conceito de contacto virtual foi introduzido. Durante o processo
de detecção de contactos, os contactos são criados quando o parâmetro acima mencionado (p.e.
distância) é excedido. As forças nos contactos virtuais são nulas. Assim que os elementos se
aproximam é efectuado um teste para detectar uma interacção física e alguns dos contactos
virtuais podem tornar-se reais. As forças de interacção começam a actuar assim que os
elementos se tocam. Por outro lado, assim que se verifica o afastamento entre blocos os
contactos que apresentam forças nulas são eliminados apenas quando o parâmetro excede uma
tolerância definida. Esta técnica permite que o teste de detecção de contacto para cada elemento
seja efectuado com uma frequência que esta dependente do seu movimento (Sincraian, 2001).
No presente trabalho utilizou-se a aplicação UDEC (Itasca, 2000) que se baseia no
método dos elementos distintos. Os métodos dos elementos distintos usam esquemas explícitos
para resolver directamente as equações de movimento dos corpos discretos, admitindo corpos
rígidos ou deformáveis e contactos deformáveis, possibilitando uma pequena interpenetração
nos contactos. Uma explicação mais detalhada do funcionamento deste método pode ser
encontrada em Gago (Gago, 2004).
2.4 - Aplicação das Metodologias de Análise de Arcos a outras Estruturas
Arqueadas
Todos os métodos de estudo anteriores referem-se a arcos, isto é, a estruturas
bidimensionais. No entanto, é possível aplicar estes métodos a estruturas tridimensionais, desde
que se considerem hipóteses simplificativas que permitam analisar estas estruturas como
estruturas de comportamento bidimensional como são os arcos.
As abóbadas, cilíndricas ou de aresta e as cúpulas são dois exemplos de estruturas
tridimensionais arqueadas (Figura 2.15). O âmbito desta dissertação apenas focou o estudo do
caso da abóbada cilíndrica.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
25
Figura 2.15 Abóbada cilíndrica (Esq.), Abóbada de Aresta (Centro) e Cúpula (Dta.) .
A abóbada cilíndrica é uma extensão tridimensional do arco. No caso de estruturas
contínuas e longas, onde os efeitos de fronteira são pouco relevantes, podem utilizar-se os
modelos planos anteriormente estudados para arcos. Esta simplificação surge do facto de as
abóbadas poderem ser consideradas como uma combinação de arcos que dividem a abóbada
em fatias (Figura 2.16) e permite a aplicação dos métodos de verificação de segurança de um
simples arco convencional a abóbadas cilíndricas (Ochsendorf, 2002; Gago, 2004).
Figura 2.16 Divisão de estrutura em abóbada cilíndrica em fatias.
Este método de análise de estruturas arqueadas tridimensionais para verificação da sua
segurança foi utlizado por Giovanni Poleni na primeira metade do Séc. XVIII para avaliar a
segurança da cúpula da Basílica de S. Pedro. Poleni dividiu a cúpulas em lúnulas que foram
posteriormente divididas em secções e utilizando, sem saber, o teorema estático da análise limite
admitiu que a estrutura era estável por ser possível inscrever na secção uma catenária. Através
deste estudo deixou de ser necessário determinar uma solução exacta, passando a ser
necessário apenas encontrar uma solução equilibrada para verificar a segurança de estruturas
arqueadas tridimensionais.
Torna-se assim necessário determinar um modo de divisão. Através da observação das
fissuras existentes nas estruturas percebe-se que estas se auto-dividem em arcos que
demonstram o caminho de cargas da estrutura. Usando as fissuras como exemplo de divisão,
pois não podem existir caminhos de carga perpendiculares às fissuras, obtém-se uma boa
aproximação para a divisão do elemento tridimensional em fatias (Block, 2003).
Este método de análise de estruturas tridimensionais é conservativo, pois não tem em
conta os efeitos tridimensionais benéficos. Assim, se a estrutura é estável para uma situação
Capítulo 2 - Comportamento Estrutural de Arcos
26
mais desfavorável, também o será para o caso real. Apesar de não ter em conta estes efeitos,
este método representa uma boa ferramenta para a avaliação da segurança de estruturas
tridimensionais, pelo baixo custo e tempo de análise.
Considerando a divisão da abóbada em arcos de igual largura, as cargas que discretizam
o carregamento de cada arco são semelhantes, coincidindo ainda as linhas de pressões.
2.5 - Conclusões
Na análise de estruturas arqueadas a verificação da estabilidade assume um papel
importante. O colapso destas estruturas ocorre principalmente devido a problemas de
estabilidade da estrutura e não por falta de resistência dos materiais.
As estruturas históricas, principal objectivo do estudo de estruturas arqueadas foram
erigidas sobretudo em alvenaria, material que apresenta resistência quase nula a esforços de
tracção. Perante este facto, quando sujeitas a esforços de tracção, verifica-se a ocorrência de
fissuração nas estruturas.
A determinação da posição da linha de pressões permite avaliar a estabilidade da
estrutura. A linha de pressões “verdadeira” é de difícil determinação, contudo, recorrendo à teoria
da análise limite, a determinação de qualquer linha de pressões em equilíbrio com as acções
actuantes e inscrita na espessura do arco indica que essa estrutura estará em equilíbrio, ou seja,
se se encontrar uma qualquer solução de equilíbrio está provado que a estrutura está em
equilíbrio, não sendo necessário encontrar a solução exacta.
A análise da estabilidade de uma estrutura arqueada tridimensional é feita desprezando
em parte a acção benéfica do comportamento tridimensional, dividindo a estrutura em fatias de
igual dimensão, transformando o problema tridimensional num simples problema de um arco
plano.
27
Capítulo 3 - Estudo das Condições de Estabilidade de Arcos
3.1 - Introdução
Neste capítulo abordaram-se os modelos de análise de estruturas em arco que serão
utilizadas na verificação da segurança estrutural da Igreja Matriz de Bucelas. Inicialmente
procurou-se determinar a espessura mínima admissível para um arco de volta perfeita com um
ângulo de abertura de 180º e posteriormente para um ângulo de abertura variável. Seguidamente
calcularam-se os valores de aumento de vão que causam o colapso dos arcos variando tanto a
espessura como o ângulo de abertura dos mesmos. Por fim analisou-se a influência da variação
dos parâmetros geométricos no valor da carga de colapso da estrutura.
3.2 - Espessura Mínima Admissível de Arcos
Um método para avaliar a segurança de uma estrutura arqueada consiste na introdução
de um factor de segurança de projecto. Este factor consiste numa relação entre a espessura do
arco em análise e a espessura mínima admissível de um arco com características semelhantes.
A espessura mínima admissível calcula-se tendo em conta apenas a acção do peso próprio do
arco e é a espessura em que o aumento de vão que causa o colapso é nulo.
A determinação deste valor mínimo admissível foi efectuada em 2 fases. Inicialmente
considerou-se um arco completo com um ângulo de abertura de 180°, adoptando-se depois um
arco com um ângulo de abertura variável e menor que 180°.
Arco de volta perfeita (α=90°)
Primeiramente determinou-se a espessura mínima de um arco circular com um ângulo
de abertura de 180° (α=90°) sujeito ao seu peso próprio. No arco, formar-se-ão articulações nas
zonas onde a linha de pressões é tangente ao intradorso ou ao extradorso do arco. A linha de
Capítulo 3 - Estudo das Condições de Estabilidade de Arcos
28
pressões corresponderá simultaneamente aos impulsos horizontais máximo e mínimo, sendo a
única catenária que se conseguirá desenhar dentro da espessura desse arco e sendo impossível
inscrever qualquer outra catenária num arco de espessura menor. O mecanismo de colapso
consiste na formação de cinco articulações localizadas no extradorso no fecho e nas impostas e
no intradorso em pontos intermédios dos rins (Ochsendorf, 2002; Gago, 2004).
Segundo Ochsendorf o valor da espessura mínima para um arco circular com α=90° é de
0,1075 (Ochsendorf, 2002). A espessura mínima (relação mínima entre a espessura (t) e o raio
médio (R)) do arco foi obtida através do Principio dos Trabalhos Virtuais onde o trabalho
realizado pelas forças é nulo, considerando ainda, por simetria da estrutura, apenas metade do
arco (Figura 3.1).
Para o cálculo da espessura mínima admitiram-se as seguintes hipóteses simplificativas:
- Na estrutura não ocorrem movimentos de deslizamento relativo nas juntas entre
aduelas, verificando-se apenas rotações;
- Os troços entre rótulas são suficientemente estáveis, movendo-se o arco como um
corpo rígido articulado;
Considerando a geometria adoptada na Figura 3.1 obtiveram-se as expressões
necessárias para a determinação do valor da espessura mínima admissível:
Figura 3.1 Geometria do arco e cargas actuantes e modelo de Corpo Rígido articulado
para α=90° .
(
* (3.1)
(
* (
) (3.2)
Nas Equações (3.1) e (3.2), Q1 e Q2 representam a força peso próprio do arco, o peso
próprio do arco por unidade de volume, t a espessura do arco em unidade de comprimento e r o
raio interno do arco em unidade de comprimento.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
29
Nas Equações (3.3) e (3.4) representadas abaixo, d1 e d2 representam, respectivamente,
as distâncias entre o CIR1e o ponto de aplicação de Q1 e o CIR2 e o ponto de aplicação de Q2.
(
* (
* ( )
(3.3)
( )
(3.4)
Na equação seguinte é representada a razão entre as rotações virtuais dos dois corpos
rígidos.
( ) (3.5)
As Equações (3.6) e (3.7) demonstram o deslocamento vertical virtual nos pontos de
aplicação de Q1 e Q2.
{ (
* (
* ( )
} (3.6)
,( )
- (3.7)
Sabendo que o trabalho das forças Q1 e Q2 é dado por:
(3.8)
E que segundo o Principio dos Trabalhos Virtuais o trabalho é nulo, tem-se:
(3.9)
Substituindo as Equações (3.1), (3.2), (3.6) e (3.7) na Equação (3.8) o valor de t/r
depende apenas do ângulo inicial, β0. O valor máximo de t/r corresponde à espessura mínima
admissível para um arco circular com α=90°. O valor de β0 para t/r mínimo é de 54,5°.
Substituindo r=R-t/2, consegue-se chegar ao valor de t/R mínimo admissível.
(
*
O valor obtido é próximo do calculado por Ochsendorf (Ochsendorf, 2002) e Milankovitch
(Foce, 2007) (t/R=0,1075), sendo um pouco diferente do obtido por Heyman (t/R=0,1060) e
anteriormente por Couplet (t/R=0,1010). Heyman, no entanto considerou que a direcção da força
entre aduelas é a mesma da tangente da linha de pressões do arco, o que não é totalmente
verdade pois entre as aduelas actuam forças de atrito tangenciais ao plano da aduela
(Ochsendorf, 2002). As soluções obtidas por Heyman e Couplet são menores que a obtida nesta
dissertação. Assim, a solução obtida apresenta uma maior segurança.
Capítulo 3 - Estudo das Condições de Estabilidade de Arcos
30
Arco de volta imperfeito (α≠90°)
A espessura mínima para um arco circular com ângulo de abertura variável é calculado
de forma análoga à dedução anterior. Neste caso, o valor da espessura mínima, obtida pelo
Principio dos Trabalhos Virtuais, irá depender de β0 e α. Considerando a geometria adoptada na
Figura 3.2 obtiveram-se as seguintes expressões para o cálculo da espessura mínima:
Figura 3.2 Geometria do arco e cargas actuantes e modelo de Corpo Rí gido articulado
para α≠90° .
(
* (3.10)
(
* ( ) (3.11)
Nas Equações (3.10) e (3.11) Q1’e Q2’ representam a força peso própria do arco, o peso
próprio do arco por unidade de volume, t a espessura do arco em unidade de comprimento e r o
raio interno do arco em unidade de comprimento.
Nas equações seguintes d1’e d2’ representam, respectivamente, as distâncias entre o
CIR1e o ponto de aplicação de Q1’e o CIR2 e o ponto de aplicação de Q2’.
(
* (
* (( ) )
( )( )
( )
( )
(3.12)
( )
( ) (3.13)
Na equação apresentada abaixo é representada a razão entre as rotações virtuais dos
dois corpos rígidos.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
31
( )
( ) (3.14)
As Equações (3.15) e (3.16) demonstram o deslocamento vertical virtual nos pontos de
aplicação de Q1 e Q2.
( )
( ) { (
* (
*
(( ) )( )( )
( ) ( ) }
(3.15)
,( )
( )- (3.16)
Sabendo que o trabalho das forças é dado por:
(3.17)
E que segundo o Principio dos Trabalhos Virtuais o trabalho é nulo, então tem-se:
(3.18)
A Tabela 3.1 bem como a Figura 3.3 apresentam os valores de β0 e t/R para os vários
valores de α.
α (º) β0 (°) t/R min
0 0 0
10 7,06 0,0000
20 14,02 0,0003
30 20,81 0,0015
40 27,36 0,0047
50 33,59 0,0113
60 39,46 0,0228
70 44,93 0,0413
80 49,96 0,0686
90 54,50 0,1074
Tabela 3.1 Variação da espessura mínima em função do ângulo de abertura do arco
(α).
Capítulo 3 - Estudo das Condições de Estabilidade de Arcos
32
Figura 3.3 Variação da espessura mínima em função do ângulo de abertura do arco
(α).
3.3 - Aumento de Vão Máximo Admissível de Arcos
3.3.1 - Análise Limite
O afastamento dos apoios constitui um problema comum nas estruturas de alvenaria em
arco. Este afastamento pode ter valores elevados (grandes igrejas), sendo a determinação do
aumento de vão máximo admissível essencial para saber qual o grau de segurança da estrutura.
Para o cálculo do valor do aumento de vão máximo considerou-se um arco circular de
espessura uniforme apoiado em apoios rígidos que vão sofrer uma translação horizontal até ao
colapso da estrutura. Os valores obtidos variam em função da espessura (t/R) e do ângulo de
abertura do arco (α) demonstrados na Figura 3.4.
Um arco com apoios rígidos resiste a um impulso horizontal máximo e mínimo (Swain
1992, Heyman 1966,1995). Contudo na sua maioria os arcos estão numa posição deformada
devido ao movimento dos apoios. Para permitir deslocamentos, um elemento de rígido de
alvenaria desenvolve fissuras nos locais onde a linha de pressões é tangente aos limites da
estrutura (Figura 3.4). Assim, com o desenvolvimento das fissuras é possível determinar como
se deslocam os esforços na estrutura tornando-a determinada. A posição das rótulas depende,
mais uma vez, da espessura (t/R) do arco, estando apenas dependentes do ângulo de abertura
(α) do arco quando este é menor que β0.
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,100
0,120
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Esp
ess
ura
mín
ima,
(t/
R) m
in
Ângulo de abertura, α(°)
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
33
Figura 3.4 Arco com apoios móveis no estado de pressão mínimo (Ochsendorf, 2002).
O aumento do vão implica uma deformação do arco de acordo com a cinemática do
corpo rígido, verificando-se ainda que o impulso vertical se mantém constante aumentando
apenas o impulso horizontal. A solução única de colapso pode ser encontrada determinando as
condições que são estática e cinematicamente admissíveis para o aumento de vão crítico (Block,
2003).
No estado de impulso mínimo, a rótula no extradorso forma-se no fecho do arco
formando-se as restantes rótulas no intradorso do arco num ângulo β0 com a vertical.
Dependendo do sentido do movimento dos apoios o arco deformar-se-á como um mecanismo e
o valor do impulso horizontal vai alterar-se substancialmente. Esta alteração está representada
qualitativamente na Figura 3.5.
Figura 3.5 Impulso Horizontal máximo e mínimo (Ochsendorf, 2002).
Um arco na sua posição indeformada é estaticamente indeterminado. Para este caso
existe uma gama de valores possíveis para o impulso horizontal correspondentes à máxima e à
mínima linha de pressões (Heyman 1967, 1996). No caso de os apoios se aproximarem o arco
move-se imediatamente para o estado de impulso máximo, mas caso o movimento se dê no
sentido contrário o arco move-se para o estado de impulso mínimo. Com o aumento do vão o
arco continua a deformar-se como um mecanismo e a linha de pressões irá mudar em função da
mudança da geometria do arco. O afastamento dos apoios implica a descida do fecho do arco e
aumento o impulso horizontal aplicado como se pode constatar na Figura 3.5. A aproximação
Capítulo 3 - Estudo das Condições de Estabilidade de Arcos
34
dos apoios causa uma subida do fecho do arco e diminui o impulso horizontal aplicado. O cálculo
do valor do impulso H apenas é possível se forem conhecidas as posições β0 das rótulas.
Os valores de β0 em função de t/R foram obtidos por equilíbrio de momentos no troço
superior do arco (Figura 3.6).
Figura 3.6 Diagrama de Corpo Livre do troço superior do arco .
Do equilíbrio de momentos no ponto A resulta a seguinte expressão:
(
) [ (
)
]
(3.19)
O valor de β0 corresponde ao local onde o valor do impulso é máximo. Coulomb foi o
primeiro a afirmar que o impulso mínimo ocorre para a posição de β0 que maximiza a equação do
impulso mínimo (Heyman, 1972). O valor de β0 que maximiza Hmin foi obtido pelo seguinte
método:
(3.20)
Os valores de β0 em função de t/R encontram-se representados na Figura 3.7.
Figura 3.7 Posição das rótulas (β0) em função de t/R para um arco com α=90º.
0
10
20
30
40
50
60
70
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
Po
siçã
o in
icia
l das
ró
ruta
s, β
0 (
°)
Espessura, t/R
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
35
Neste capítulo apenas se aborda o caso em que se verifica um afastamento dos apoios e
tem como objectivo calcular o valor do aumento de vão que causa o colapso das estrutura e a
posição final das rótulas (βu). Tal como efectuado no subcapítulo anterior o cálculo será
efectuado em 2 fases, inicialmente para um arco de volta completo com abertura de 180º e de
seguida para um arco com abertura variável menor que 180º.
Arco de Volta Perfeita (α=90°)
O aumento de vão depende, tal como dito anteriormente da geometria do arco e da
posição das rótulas. Para um arco com ângulo de abertura (α) igual a 180º a posição da rótula
não se altera (Ochsendorf, 2002), logo o valor de β0 é igual ao de βu não sendo necessário
calcular a posição da linha de pressões para saber se existe um movimento das rótulas na
direcção do fecho do arco, o que simplifica o cálculo do aumento de vão critico para um arco com
ângulo de abertura igual a 180º.
Para a determinação do aumento de vão crítico, é necessário calcular inicialmente o valor
de β0. Este valor pode ser obtido recorrendo ao método usado para obter a Figura 3.7 atrás
descrito.
Conhecido o valor de β0 é possível saber qual o valor de Htroço inferior através do equilíbrio
de momentos em A. (Figura 3.8).
Figura 3.8 Geometria inicial do arco e geometria de colapso do arco .
(
)
*(
)(
)
(
)+ (3.21)
O aumento de vão máximo admissível foi mais uma vez calculado por equilíbrio de
momentos em A e admitindo um referencial móvel que se desloca Δ para a direita em relação ao
referencial inicial (Figura 3.8).
Capítulo 3 - Estudo das Condições de Estabilidade de Arcos
36
( )
(3.22)
Recorrendo à Figura 3.8 que representa a situação inicial e a situação limite de colapso,
verificou-se que é necessário calcular o valor de l1 e l2 em função de Δ.
√( (
*
*
((
*
+
(3.23)
( ) (√ ( ) ( ) ( )
+ (3.24)
((
)
( )
, (
* (3.25)
( ) ( ) (3.26)
( ) ( ) ( ) ( ) (3.27)
Substituindo (3.26) e (3.27) em (3.22) e igualando:
Obtêm-se os valores de Δmáx para a geometria dos arcos escolhidos. O valor de Δmáx em
função da espessura (t/R) do arco para α=90º é representado na Figura 3.9.
Figura 3.9 Aumentos de vão admissíveis para uma estrutura arqueada (com um ângulo
de abertura de 2x90°) em função da sua relação espessura -raio médio.
Como esperado o valor para o qual o aumento de vão é nulo corresponde ao valor da
espessura mínima de 0,1074. Como foi referido anteriormente o valor da espessura mínima
corresponde à espessura que não sustém quaisquer movimentos dos apoios, correspondendo ao
estado limite de colapso.
0
4
8
12
16
20
24
0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2 0,24
Au
me
nto
de
vão
, ΔL
(%)
Espessura, t/R
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
37
Arco de Volta Imperfeita (α≠90°)
Segundo estudos de Ochsendorf para um arco com ângulo de abertura menor que 180º a
localização das rótulas não é fixa e pode mudar durante o deslocamento dos apoios. Este facto
condicionará os cálculos efectuados no subcapítulo anterior onde não foi considerada qualquer
alteração na posição das rótulas. Esta alteração da posição das rótulas, como vai ser possível
verificar, tem uma grande influência no valor do aumento de vão crítico, diminuindo-o.
Assim para a resolução deste problema recorreu-se à ferramenta ArchSpread
(Ochsendorf, 2002), apresentada no Anexo 1, que tem em consideração este movimento
calculando-o por um processo iterativo que impõe deslocamentos progressivamente maiores até
que não seja possível inscrever uma linha de pressões dentro dos limites do arco. Neste caso o
principal problema que se coloca é determinar a localização da rótula no colapso, que pode ser
usada para calcular o aumento de vão e a geometria da estrutura no colapso. Sem conhecer a
localização exacta da rótula no colapso existem múltiplas soluções de equilíbrio para a estrutura,
com diferentes localizações das rótulas e aumentos de vão. Tal como no caso anterior, o colapso
sucede através de um mecanismo com 5 rótulas quando a linha de pressões excede os limites
do arco no troço inferior. Para cada posição da rótula, βu, verifica-se um valor diferente para o
aumento de vão no colapso. A aplicação usada recorre, tal como referido acima, a um processo
iterativo de pequenos deslocamentos partindo dum estado de equilíbrio conhecido, calculando
com o aumento da deformação os novos estados de equilíbrio da estrutura. Na Figura 3.10 está
representado o algoritmo de cálculo do aumento de vão numa estrutura com a posição da rótula
variável.
Para além do mecanismo de colapso formado por 5 rótulas, existe ainda outro modo de
colapso apenas com 3 rótulas em estruturas com espessuras (t/R) grandes e ângulos de
abertura pequenos (α). Para se dar este tipo de colapso a linha de pressões tem que formar uma
linha horizontal tangencial ao intradorso do arco nos apoios (Ochsendorf, 2002).
Na Figura 3.11 está representado aumento de vão em função da espessura para arcos
com ângulo de abertura menor que 180º e posição das rótulas variáveis. Está também
representada a curva de para arcos com ângulos de abertura iguais a 180º.
Capítulo 3 - Estudo das Condições de Estabilidade de Arcos
38
Figura 3.10 Algoritmo de cálculo do aumento de vão máximo de um arco .
Figura 3.11 Aumentos de vão admissíveis para uma estrutura arqueada com diferentes
aberturas em função da sua relação espessura-raio médio.
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2 0,24
ΔL
(%)
t/R
α=90°
α=80°
α=70°
α=60°
α=50°
α=40°
Inserir valor de t/R, α e tamanho da aduela
Cálculo de Hmineβ0
Cálculo da posição exacta da linha de pressões a partir de β0
É aplicado um pequeno deslocamento nos apoios e o arco deforma-se de acordo com a cinemática do corpo rígido
Para a nova geometria, calcula-se a posição da nova linha de pressões
Verificação se a linha de pressão é tangente ao extradorso do arco na zona dos apoios
Sim, mecanismo de colapso com 5 rótulas
Não, é necessário continuar os cálculos
Verificação se existe algum ponto da linha de pressões fora dos limites do arco ou se esta é tangencial ao intradorso nalgum ponto
Se for tangencial, deslocar a rótula para esse ponto e
calcular o novo β
Linha de pressões dentro do arco
Responder:
Posição inicial da rótula, β0
Posição final da rótula, βu
% Aumento de vão, ΔLmáx
% do Aumento do impulso horizontal
Deformada do arco no colapso e respectiva linha de pressões
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
39
Tal como referido anteriormente, em todos os casos as rótulas começam na posição β0 e
no caso de α<90º deslocam-se em direcção do fecho para a posição no colapso, βu. Na Figura
3.12 estão representadas as localizações iniciais e finais das rótulas.
Figura 3.12 Posição inicial (β0) e final (βu) das rótulas em função da espessura do
arco.
3.4 - Comparação com Resultados Anteriores Obtidos pela Aplicação da
Teoria da Análise Limite e os Resultados Obtidos pelo Método dos
Elementos Discretos (UDEC)
Na comparação entre os valores determinados pela Análise Limite e o Método dos
Elementos Discretos, optou-se pela simulação de dois arcos, onde se impuseram deslocamentos
num dos apoios até se atingir o aumento de vão crítico que causará o colapso da estrutura, valor
que será então comparado com o determinado na Análise Limite. Será possível ainda comparar
a influência da geometria no aumento de vão que causa o colapso, uma vez que as
características dos materiais mantêm-se inalteradas. Os parâmetros geométricos do arco em
análise encontram-se representados na Tabela 3.2.
Parâmetro Arco tipo 1 Arco tipo 2
t/R 0,2
R (m) 3 4
α (º) 90º
Nº de aduelas 30
Tabela 3.2 Geometrias dos arcos tipo.
Na formulação de elementos discretos (UDEC) admitiu-se para os contactos entre
aduelas (juntas) resistência à tracção nula, resistência à compressão ilimitada e resistência ao
corte definida por um modelo de Mohr-Coulomb com as propriedades mecânicas representadas
na tabela seguinte para o arco e para a abóbada, onde: Es é o módulo de elasticidade, νs o
0
10
20
30
40
50
60
70
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
β0
(°)
t/R
β0 (°)
α=80°
α=60°
α=40°
Capítulo 3 - Estudo das Condições de Estabilidade de Arcos
40
coeficiente de Poisson, γs a densidade, kn é a rigidez de compressão da junta, ks a rigidez ao
corte da junta, c a coesão da junta e Φ o ângulo de atrito da junta.
Es (GPa) νs γs (kg/m3) kn (Gpa/m) ks (Gpa/m) C (MPa) Φ (º)
Abóbada 1 0,2 2100 1000 1000 0.5 60
Tabela 3.3 Propriedades mecânicas do arco e da abóbada.
Por análise da Figura 3.9, no caso da análise limite o aumento de vão que causa o
colapso de um arco com uma espessura t/R de 0,2 é de aproximadamente 15,3% do vão inicial
(L=2*(R-t)), correspondendo nos arcos tipo 1 e tipo 2 em análise a um aumento de vão de 0,83 m
e 1,1016 m, respectivamente. Na Figura 3.13 encontra-se representado o modelo de elementos
discretos do arco nas condições iniciais.
Figura 3.13 Modelo dos Elementos Discretos dos arcos em análise.
Através do UDEC os valores obtidos para o aumento de vão critico para o arco tipo 1 foi
de 0,80 m, aproximadamente 14,8% do vão livre inicial, um valor bastante próximo do obtido
através da análise limite. Para o arco tipo 2 o valor do aumento de vão crítico obtido é de 0,50 m,
aproximadamente 7% do vão livre inicial.
Figura 3.14 Comparação entre os aumentos de vão obtidos através da análise limite
para um arco com espessura t/R=0,20 e os obtidos através do UDEC para arcos com
t/R=0,20 e R=3m e R=4m.
0%
10%
20%
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
Au
me
nto
de
Vão
(%
)
t/R
Análise Limite UDEC (R=3m) UDEC (R=4m)
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
41
Observando a Figura 3.14 constata-se que embora mantendo a relação t/R, o valor do
aumento de vão altera-se em função do valor de R escolhido, contrariamente aos valores obtidos
na análise limite. A análise limite ao não contabilizar os efeitos geometricamente não lineares
considera que estruturas com relações t/R iguais terão aumentos de vão proporcionalmente
semelhantes. O UDEC por considerar os efeitos não lineares apresenta valores distintos para o
aumento de vão crítico em arcos com relações t/R iguais, variando o raio (R) (Figura 3.15).Nos
ensaios realizados verifica-se uma diferença bastante significativa (de 14,8% para 7%) entre o
aumento de vão crítico de um arco com raio médio (R) de 3 m e outro de 4 m. Esta diferença
confirma a importância e influência que os efeitos geometricamente não lineares assumem neste
tipo de estruturas.
Figura 3.15 Deformada do arco tipo 1 (R=3m, Esq.) e tipo 2 (R=4m, Dta.).
3.5 - Cálculo da Carga de Colapso de Arcos pela Análise Limite (RING)
A análise limite de estruturas considera que a estrutura possui um comportamento rígido-
plástico, ou seja que a deformabilidade dos elementos estruturais é desprezada e que toda a
deformação da estrutura ocorre localizadamente pela abertura das juntas entre os elementos da
estrutura. Apesar de a teoria da análise limite ter sido desenvolvida para estruturas metálica é
possível a sua aplicação para estruturas de alvenaria em arco. O cálculo da carga de colapso do
arco é então efectuado utilizando as mesmas técnicas desenvolvidas para a análise limite de
pórticos metálicos, aplicando um carregamento, para a determinação de um coeficiente
majorador que conduz ao colapso.
A aplicação RING considera as estruturas de alvenaria em arco como um conjunto de
elementos rígidos e baseia-se na teoria da análise limite para analisar o colapso da estrutura.
Para um arco circular submetido à acção de uma carga concentrada variável P (Figura
3.16), o mecanismo de colapso é formado por 4 articulações: duas junto das impostas e outras 2
nos rins do arco. A localização das rótulas, de acordo com o teorema cinemático, é a que
minimiza a carga de colapso.
Capítulo 3 - Estudo das Condições de Estabilidade de Arcos
42
Figura 3.16 Mecanismo de colapso de um arco submetido a uma carga concentrada
(Dta: aplicada a meio vão Esq: aplicada nos rins do arco) através do RING.
Considerando posições genéricas para as articulações do mecanismo cinematicamente
admissível, o correspondente parâmetro de carga, neste caso a própria Carga P, será
determinada fazendo o balanço do trabalho realizado nesse campo de deslocamentos pela
totalidade das forças aplicadas.
De acordo com o teorema cinemático, para determinar o valor da carga de colapso deve
"percorrer-se" todas as possibilidades de localização das articulações e seleccionar o mecanismo
que corresponde à menor intensidade da carga P; essa é a carga de colapso da estrutura.
Com o objectivo de determinar o valor mínimo de P que causa o colapso usando a
aplicação RING, recorreu-se a um arco tipo 1 com a geometria apresentada na Tabela 3.2, com
uma espessura t/R=0,2, com um raio médio (R) de 3 m, ângulo de abertura de 180º e dividido em
30 aduelas.
O modelo no RING foi então definido e na Figura 3.17 está representada a geometria
indeformada da estrutura.
Figura 3.17 Geometria inicial do arco em análise no RING.
Foi aplicada uma carga concentrada P igual a 1kN que “percorreu” todo o vão do arco, de
modo a obter os coeficientes majoradores. A Figura 3.18 apresenta o valor da carga que causa o
colapso da estrutura em função da sua posição calculado no RING.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
43
Figura 3.18 Carga de colapso (P) em função do ponto de aplicação (x/L) .
Nas análises efectuadas verificou-se que no mecanismo correspondente ao valor mínimo
da carga P nem sempre a rótula ocorre na secção da imposta. Como se pode verificar na Figura
3.18, a carga de colapso depende do ponto de aplicação da carga.
No caso em estudo a posição onde se verifica o menor valor de P ocorre
aproximadamente a um terço do vão (x/L=0,37) apresentando um valor de P=37,41 kN. Na
Figura 3.19 encontra-se representada a estrutura na geometria de colapso, bem como da sua
linha de pressões.
Figura 3.19 Geometria de colapso do arco no RING.
De modo a determinar o grau de afectação que uma alteração na geometria causa na
carga de colapso, efectuaram-se análises a arcos semelhantes ao inicial, se alteraram os valores
de L e da razão t/R. Na Figura 3.20 estão representados mais uma vez a carga de colapso em
função do ponto de aplicação.
Da observação da Figura 3.20 o valor da carga de colapso depende do ponto de
aplicação (x/L), da espessura (t/R) e do raio médio (R) do arco. Verifica-se por análise da figura
que a duplicação do vão (L) do arco, mantendo a mesma razão (t/R) quadruplica o valor da carga
de colapso para o arco inicial. O aumento da espessura t/R implica um aumento do valor mínimo
da carga de colapso, numa razão superior a cinco em relação ao arco inicial. Para todos os
casos, verificou-se ainda que a localização da menor carga de colapso se situa
aproximadamente a 1/3 do vão do arco.
0
200
400
600
800
1000
1200
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Pco
lap
so (
kN)
x/L
Capítulo 3 - Estudo das Condições de Estabilidade de Arcos
44
Figura 3.20 Carga de colapso em função do ponto de aplicação (x/L), raio médio ( R) e
espessura (t/R) obtidos através da aplicação RING.
Com o aumento da intensidade da carga de colapso correspondente a este mecanismo
rotacional, o mecanismo de escorregamento tornar-se-á condicionante e, obviamente, a carga de
colapso não será infinitamente grande.
3.6 - Cálculo da Carga de Colapso de Arcos pelo Método dos Elementos
Discretos (UDEC)
De modo a comparar os valores obtidos para a carga de colapso na aplicação RING com
os valores dados pelo Método dos Elementos Discretos, procedeu-se da mesma forma que no
caso do aumento de vão. Adoptaram-se as mesmas características e propriedades mecânicas
para os arcos que no Capítulo 3.3.2, utilizando a geometria do arco tipo 1 apresentada na
Tabela 3.2. Os valores são apresentados na Figura 3.21.
Figura 3.21 Carga de colapso em função do ponto de aplicação da carga obtidos
através do UDEC e do RING.
Com o objectivo de analisar o resultado dos efeitos não lineares no valor da carga de
colapso efectuaram-se ensaios ao arco variando as características materiais do arco. Assim,
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Pco
lap
so (
kN)
x/L
Inicial
L=12
t/R=0.3
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Pco
lap
so (
kN)
x/L
UDEC
RING
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
45
analisou-se uma estrutura geometricamente igual ao arco tipo 1, composta por blocos rígidos
(Esx106) com uma rigidez de compressão da junta (kn) e uma rigidez ao corte da junta (ks) cem
vezes superiores às iniciais. Seguidamente analisou-se a influência do módulo de elasticidade
(Es) determinando a carga de colapso para um arco com Es dez vezes e cem vezes inferior ao
inicial. Por fim, avaliou-se o efeito da diminuição da rigidez de compressão da junta (kn) e da
rigidez ao corte da junta (ks) dividindo-as por dez e cem, mas não considerando blocos rígidos.
Os valores obtidos para a carga de colapso a aproximadamente 1/3 do vão são apresentados na
Figura 3.22.
Figura 3.22 Comparação dos valores da carga de colapso, P.
Os valores obtidos através do Método da Análise Limite são superiores aos obtidos pelo
Método dos Elementos Discretos. Analisando a Figura 3.22, verifica-se que a alteração do
Módulo de Elasticidade (Es) afecta o valor da carga de colapso (P). Assim, o aumento ou
diminuição deste valor influencia o valor da carga de colapso, aproximando ou afastando-se do
valor obtido através da análise limite, mas sendo sempre inferior a este. Na análise efectuada a
alteração da rigidez de compressão e de corte (kn e ks, respectivamente) não afecta o valor da
carga de colapso.
Assim, como esperado os valores obtidos para a carga de colapso através da análise
pelo Método dos Elementos Discretos são, em todos os casos analisados, menores que os da
análise limite. Esta análise permitiu, tal como a realizada para a determinação do aumento de
vão critico, aferir de que modo os efeitos geometricamente não lineares influenciam o
comportamento de estruturas arqueadas. Para aproximar os valores do Método dos elementos
discretos aos do Método da Análise Limite ter-se-ia que se considerar os elementos como blocos
rígidos, ou seja, com um Es infinito.
3.7 - Conclusões
A geometria das estruturas arqueadas tem grande influência na verificação da segurança
a acções exteriores. A espessura mínima admissível (t/R) corresponde à geometria de uma
estrutura arqueada onde o aumento de vão que causa o colapso é nulo. O cálculo deste valor
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0,25 0,3 0,35
Pco
lap
so (
kN)
x/L
UDEC
RING
kn e ks x 100
Eb / 10
Eb / 100
kn e ks / 10
kn e ks / 100
Capítulo 3 - Estudo das Condições de Estabilidade de Arcos
46
teve por base o equilíbrio de forças, obtendo-se para um arco com ângulo de abertura de 180º,
uma espessura mínima admissível de 0,1074. Para arcos com menores ângulos de abertura este
valor diminui igualmente, verificando-se, por exemplo, que para um arco com ângulo de abertura
de 100º, a espessura mínima admissível é de 0,0113.
Após a determinação da espessura mínima admissível tornou-se importante determinar
qual o aumento de vão máximo correspondente a cada geometria. Em arcos com o mesmo
ângulo de abertura, mas com espessuras maiores, verifica-se um incremento do aumento de vão
que causa o colapso. Como esperado a geometria onde o aumento de vão que causa o colapso
é nula corresponde à espessura mínima admissível para essa geometria. Para um arco com
ângulo de abertura de 180º o aumento de vão crítico foi determinado através da variação da
posição do referencial. Para ângulos de abertura menores que 180º recorreu-se à aplicação
Archspread em MatLab, apresentada no Anexo 1, para a determinação do aumento de vão
crítico. Os valores obtidos para o aumento de vão crítico para as diversas geometrias
representam-se na Figura 3.11.
Analisou-se a influência dos vários parâmetros geométricos de um arco plano no valor da
carga de colapso. Verificaram-se aumentos significativos nas cargas de colapso no aumento do
vão inicial (L) e no aumento da espessura inicial (t/R).
Compararam-se ainda os valores obtidos para o aumento de vão e para a carga de
colapso obtidos através da análise limite com os valores obtidos para arcos com geometrias
semelhantes através do Método dos Elementos Discretos, fazendo variar algumas das
características dos materiais. Constatou-se que os valores obtidos através do UDEC são
menores que os valores da análise limite, devido aos efeitos não lineares não contabilizados na
análise limite. Por fim, na análise da carga de colapso verificou-se que o menor valor se encontra
aproximadamente a um terço do vão do arco.
47
Capítulo 4 - Reforço de Estruturas Arqueadas em Alvenaria
4.1 - Introdução
Com o presente capítulo pretende-se estudar alguns dos trabalhos de recuperação,
reparação e conservação efectuados em estruturas arqueadas.
Inicialmente procedeu-se à definição dos princípios de intervenção, identificando os
problemas mais comuns em estruturas arqueadas e os padrões de deformação mais habituais.
Seguidamente analisaram-se as 3 intervenções efectuadas, apontando os danos que levaram à
intervenção, as causas dos danos e as soluções adoptadas.
4.2 - Princípios de intervenção
As estruturas em arco e abóbadas estão, durante o seu tempo de vida útil, sujeitas a
efeitos do tempo (fluência nas argamassas), movimentos dos apoios, aumento das cargas
actuantes (colapso de cobertura sobre a abóbada, água no intradorso, veículos pesados em
pontes) e também a outros factores acidentais que causam danos estruturais nos arcos e
afectam a estabilidade global da estrutura. A estabilidade representa o problema dominante no
estudo do colapso de estruturas em arco.
Qualquer decisão que envolva a conservação ou restauro devem ter por base uma
cuidada avaliação e diagnóstico da segurança da estrutura no seu estado actual e deverá ser
capaz de restabelecer o seu desempenho, prevenir o seu colapso frágil ou mesmo aumentar a
sua capacidade de carga. A extensão e natureza das acções de conservação devem ser
suficientes para atingir os níveis de segurança necessários (Oliveira, 2006). O reforço de
estruturas não previne a abertura de fissuras nem o seu padrão, pois estas podem surgir,
estando apenas limitada a sua abertura. O reforço modifica o modo de colapso podendo ainda
aumentar significativamente a sua carga de colapso (Foraboschi, 2004).
Como este tipo de estruturas apresenta normalmente resistência à tracção nula, deve ser
mantida totalmente em compressão, o que sucede enquanto a linha de pressões está totalmente
contida dentro do núcleo central da secção. Quando a linha de pressões sai do núcleo central
ocorre a formação e abertura de fissuras. A ocorrência de fissuras conduz à formação de rótulas
Capítulo 4 - Reforço de Estruturas Arqueadas em Alvenaria
48
na zona comprimida do arco. A formação de sucessivas rótulas conduz ao desenvolvimento do
mecanismo de colapso do arco. Os arcos não reforçados colapsam pela ocorrência de rótulas
plásticas em número suficiente para formar um mecanismo (Oliveira, 2006). A introdução de
reforço pode causar:
- Colapso por esmagamento dos materiais;
- Colapso devido ao destacamento dos elementos;
- Colapso devido ao escorregamento ao longo de uma junta entre aduelas.
Em arcos não reforçados o colapso por esmagamento é pouco provável pois a
resistência dos materiais é sempre uma ordem de grandeza superior às cargas aplicadas. O
colapso por escorregamento em estruturas não reforçadas normalmente ocorrer em arcos muito
finos, normalmente irreais.
Um arco pode colapsar primariamente devido a um mecanismo que consiste na ligação
de várias porções de arco através de rótulas. Existem dois tipos principais de mecanismo. Os
mecanismos de deslocamento do arco (1 e 2) onde não se verificam deslocamentos nos apoios e
os mecanismos de deslocamentos dos apoios (3 e 4) representados na Figura 4.1 (Foraboschi,
2004).
Dos mecanismos apresentados dois acontecem com maior frequência. Nos
deslocamentos dos arcos o mecanismo 2 é irrealista pois as cargas e estruturas reais dificilmente
apresentam características totalmente simétricas, sucedendo mais frequentemente o colapso
através do mecanismo 1. Nos deslocamentos dos apoios o mecanismo 4 só ocorre no caso de
movimento lateral do solo ou colapso lateral de uma estrutura com arcos contíguos (Foraboschi,
2004).
Para prevenir este tipo de deslocamentos podem recorrer-se a diversas metodologias de
reforço. No caso de o reforço ser efectuado no extradorso do arco, este reforço irá prevenir o
colapso pelos mecanismos de deslocamento do arco, ou seja dos mecanismos do 1º tipo. Caso
este reforço seja efectuado no intradorso do arco, este vai prevenir o colapso pelos mecanismos
de deslocamento dos apoios, reduzindo ainda o impulso lateral imposto no arco. De modo a
prevenir a ocorrência dos mecanismos de colapso deve-se proceder a um aumento da carga de
colapso, diminuir os impulsos laterais e obrigar a estrutura a obedecer a um modo de colapso
mais previsível (Foraboschi, 2004).
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
49
Figura 4.1 Mecanismos de colapso com deslocamento do arco (em cima) e com
deslocamento dos apoios (em baixo) (Foraboschi, 2004).
4.3 - Técnicas de Reforço
As técnicas de reforço em estruturas arqueadas têm sofrido uma grande evolução ao
longo dos últimos anos, principalmente devido à crescente necessidade de reforço das estruturas
históricas. Esta necessidade deve-se obviamente à passagem do tempo, mas também ao
aumento das cargas actuantes (p.e. pontes de alvenaria). As técnicas de reforço devem ainda
ser as menos intrusivas possíveis, devem ter em consideração a possibilidade de reversibilidade
e ainda utilizar os materiais mais compatíveis com o material original. É ainda importante referir
que algumas das técnicas antigas ainda estão em uso, tais como desmontagem e remontagem
com possível substituição dos materiais originais por outros com melhor comportamento.
(Foraboschi, 2004).
Após a análise das diversas anomalias e das suas causas é necessário proceder à
intervenção mais adequada recorrendo para tal a técnicas de consolidação com o objectivo de
Capítulo 4 - Reforço de Estruturas Arqueadas em Alvenaria
50
repor a capacidade resistente inicial, ou proceder a técnicas de reforço cuja função é a de
aumentar a capacidade de carga ou a limitação da deformação da estrutura.
As técnicas de reforço e consolidação que irão ser apresentadas nos capítulos seguintes
são:
1. Consolidação de alvenaria por injecção;
2. Consolidação de alvenaria por substituição do material degradado;
3. Reforço por refechamento de juntas com argamassa;
4. Reforço por refechamento de juntas com armadura;
5. Reforço por refechamento de juntas com camada de resina orgânica e
armadura;
6. Reforço com reboco armado;
7. Reforço com encamisamento “Jacketing”
8. Reforço com materiais compósitos FRP (Fiber Reinforced Polymer);
9. Reforço com pregagens generalizadas;
10. Reforço com pregagens transversais;
11. Reforço com tirantes passivos
12. Reforço com pré-esforço;
As técnicas apresentadas não são exclusivas de estruturas arqueadas, excepto as 2
últimas, tratando-se de técnicas gerais para reforço de paredes ou outras superfícies em
alvenaria. Essas técnicas poderão ser aplicadas na consolidação das superfícies aparentes dos
arcos, aumentando a sua resistência.
4.3.1 - Consolidação de alvenaria por injecção
A técnica de consolidação de alvenarias por injecção consiste na introdução de caldas,
através de furos previamente realizados nos paramentos exteriores das alvenaria, para
preenchimento de vazios interiores e/ou selagem de fissuras, alterando as características físicas
e mecânicas do material da alvenaria.
Os tipos de caldas utilizadas são: caldas de cimento estabilizadas por bentonite ou cal,
caldas de cimento especiais, caldas de silicato de potássio ou de sódio, resinas epoxídicas e
resinas de poliéster (usadas sobretudo quando não se colocam exigências especiais de
resistência mecânica).
A injecção pode ser efectuada por gravidade ou a baixa pressão (0.1 a 0.2 MPa) de modo
a não provocar efeitos negativos na alvenaria existente.
Esta técnica aplica-se em caso de fracturas, desagregações e falta de integridade das
paredes.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
51
Figura 4.2 Afastamento e disposição dos furos (Roque, 2002).
Figura 4.3 Técnica de consolidação por injecção (Roque, 2002).
4.3.2 - Consolidação de alvenaria por substituição do material degradado
A técnica de substituição do material degradado consiste na remoção do material
constituinte da parede, na zona degradada, e na reconstituição posterior dessa zona, usando
uma alvenaria semelhante à existente, eventualmente aproveitando os elementos removidos, ou
recorrendo a materiais diferentes dos existentes. A substituição pode ser realizada recorrendo a
argamassas com baixa ou mesmo nula retracção. Esta técnica é aplicada na reparação de
degradação localizada, por exemplo de uma superfície adjacente a uma fenda. No caso de
alvenarias de pedra sã, em geral, só necessitam da colocação de pequenas pedras e do
refechamento das juntas. Nas alvenarias de fraca qualidade, pode justificar-se o desmonte e
reconstrução com elementos de melhor qualidade.
Figura 4.4 Substituição do material degradado por (Esq.) alvenaria de pedra sã e por
(Dta.) outro de melhor qualidade (Carocci, 2001) .
Capítulo 4 - Reforço de Estruturas Arqueadas em Alvenaria
52
Figura 4.5 Zona reconstruída (Esq.) com os mesmos materiais e (Dta.) com outros
materiais (Meli, 1998).
4.3.3 - Reforço por refechamento de juntas com argamassa
A técnica de refechamento de juntas com argamassa consiste na remoção parcial e
substituição da argamassa degradada por outra de melhores propriedades mecânicas e de maior
durabilidade. Aplica-se em caso de degradação das juntas de argamassa. A escolha da
argamassa de refechamento é feita em função da finalidade da intervenção e das condições de
compatibilidade com o material existente. Se a parede apresentar um aparelho com cunhas ou
calços deve proceder-se à sua reposição, de modo a restaurar as características tipológicas da
parede.
Figura 4.6 Refechamento de juntas com argamassa (Esq.) de um lado da parede e
(Dta.) de ambos os lados da parede (Tomazevic, 1999).
4.3.4 - Reforço por refechamento de juntas com armadura
A técnica de refechamento das juntas com armaduras consiste na remoção parcial da
argamassa das juntas e na colocação de armaduras de reforço, nomeadamente aço laminado ou
laminados ou barras FRP, antes de proceder ao seu refechamento com argamassas de cal
hidráulica, argamassa hidráulica aditivada ou, eventualmente resinas orgânicas (epóxi, acrílicas
ou de poliéster). Aplica-se em caso de degradação das juntas de alvenaria, em particular para
alvenarias de tijolos cerâmicos de junta regular, para controlo da dilatação transversal, associada
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
53
a elevadas tensões de compressão, e aos seus efeitos e em estruturas com fissuração
superficial difusa, devido a fenómenos de deformação ou a amplitudes térmicas ou higrométricas.
Em paredes compostas, especialmente com possibilidade de instabilização dos
paramentos, combina-se esta técnica com pregagens transversais.
Figura 4.7 Refechamento de juntas com armadura (Binda, 1999).
Figura 4.8 Refechamento de juntas com ancoragens expansivas (ESTT, 2010).
Na selagem das juntas podem ser utilizadas argamassas aditivadas para o cumprimento
tanto de requisitos estéticos (argamassa pigmentada) como funcionais (selagem de protecção).
Figura 4.9 Selagem de Juntas (Binda, 1999) .
Capítulo 4 - Reforço de Estruturas Arqueadas em Alvenaria
54
4.3.5 - Reforço por refechamento de juntas com camada de resina orgânica e armadura
A técnica de refechamento das juntas com camada de resina orgânica e armaduras
consiste na remoção parcial da argamassa das juntas, colocação de uma primeira camada de
resina orgânica, posterior colocação de armaduras de reforço em aço ou FRP, nova camada de
resina orgânica, efectuando finalmente o refechamento da junta com argamassas de cal
hidráulica, argamassa hidráulica aditivada ou, eventualmente resinas orgânicas (epóxy, acrílicas
ou de poliéster).
Esta técnica aplica-se quando ocorre a degradação das juntas de alvenaria, em particular
em alvenarias de tijolos cerâmicos de junta regular, para controlo da dilatação transversal,
associada a elevadas tensões de compressão, e aos seus efeitos, em estruturas com fissuração
superficial difusa, devido a fenómenos de deformação ou a amplitudes térmicas ou higrométricas
e em paredes compostas, com possibilidade de instabilização dos paramentos, em especial, se
combinada com pregagens transversais.
Figura 4.10 Processo de refechamento de juntas com resina orgânica e armadura
(ESTT, 2010).
Figura 4.11 Fissuração e respectiva intervenção de reforço (ESTT, 2010).
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
55
4.3.6 - Reforço com reboco armado
A técnica de reboco armado consiste na colocação de uma armadura de reforço,
nomeadamente malha electrossoldada, rede de fibra de vidro, rede de metal distendido, etc.,
fixada à parede, por pequenas pregagens, e sobre a qual é projectada ou aplicada manualmente
uma argamassa de revestimento à base de ligantes aéreos e hidráulicos. Pode ser aplicada de
um ou de ambos os lados da parede, com a armadura ligada, ou não, transversalmente. Aplica-
se em caso de dano (por exemplo fissuras) das paredes por acções correntes: variações
uniformes de temperatura; sismos de fraca intensidade; acentuada degradação superficial.
4.3.7 - Reforço com encamisamento “Jacketing”
A técnica de encamisamento “Jacketing” consiste na aplicação de uma camada de
recobrimento, em betão armado, reforçado com malha de aço, fixada à parede através de
pregagens, num ou em ambos os lados da parede existente, num processo semelhante ao dos
rebocos armados. Obtém-se um revestimento de maior espessura que um reboco convencional e
com características mecânicas superiores, às que se verificam nos rebocos armados, sobretudo
ao corte. Esta técnica aplica-se no reforço de alvenarias “pobres”, muito irregulares, com mistura
de diferentes materiais ou restos de materiais, argamassas muito deterioradas e fraca ligação
dos materiais.
É aplicável em alvenarias de pedra e alvenarias de tijolo maciço. No que se refere às
alvenarias de pedra a sua aplicação é condicionada pela execução das ligações transversais,
uma vez que a irregularidade morfológica não garante a existência de juntas que atravessem
toda a secção.
Figura 4.12 Aplicação da técnica de encamisamento (ESTT, 2010).
4.3.8 - Reforço com materiais compósitos FRP (Fiber Reinforced Polymer)
A técnica de reforço com materiais compósitos FRP consiste na aplicação de materiais
polímeros reforçados com fibras de carbono (CFRP – Carbon Fiber Reinforced Polymer), fibras
de vidro (GFRP – Glass Fiber Reinforced Polymer) ou de aramida (AFRP – Aramid Fiber
Capítulo 4 - Reforço de Estruturas Arqueadas em Alvenaria
56
Reinforced Polymer), colados ao suporte com resinas de elevado desempenho. A aplicabilidade
a paredes de alvenaria de pedra é condicionada pela irregularidade superficial que dificulta a
aderência. Esta técnica pode ser combinada com sistemas de pregagens das cintas às paredes
transversais.
A aplicação de cintas de laminados dispostas horizontal e verticalmente destina-se a
confinar as paredes e contrariar os esforços de flexão associados a acções horizontais
perpendiculares ao seu plano, por exemplo acções sísmicas.
A aplicação de mantas generalizadas ou localizadas no plano das paredes contribui para
a melhoria da resistência ao corte, evitando mecanismo de rotura da argamassa, com
deslizamento ao longo da junta ou por tracção diagonal.
4.3.9 - Reforço com pregagens generalizadas
A técnica de pregagens generalizadas consiste na colocação de barras de aço inoxidável
em furos de pequeno diâmetro, previamente abertos, que atravessam os elementos a reforçar.
Após o posicionamento dos reforços, os furos são selados com caldas de injecção apropriadas.
Esta técnica aplica-se no reforço de paredes em alvenaria de blocos cerâmicos, no reforço de
arcos, cunhais e lintéis, no reforço de paredes de alvenaria de pedra natural com espessuras de
0,50 m a 2 m.
Figura 4.13 Reforço de (Esq.) paredes-mestras e de (Dta.) arcos (Roque, 2002).
4.3.10 - Reforço com pregagens transversais
A técnica de pregagens transversais consiste na distribuição de barras de aço, com
tratamento anti-corrosão e dotadas de dispositivos nas extremidades que permitam a sua
amarração nas faces exteriores dos paramentos, transversais à parede (tirantes transversais). O
efeito de confinamento transversal depende da eficácia da ligação ou ancoragem dos tirantes. A
ancoragem/fixação das pregagens pode fazer-se por via mecânica (dispositivos de ancoragem
exterior) ou via química (selagem dos furos com argamassas apropriadas). Esta técnica é
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
57
utilizada em paredes compostas para confinar a secção, na fixação de armaduras ao suporte, no
caso de rebocos armados e como elementos complementares na execução de encamisamentos.
Os sistemas de fixação podem ser barras roscadas, com sistema de ancoragem de anilha e
porca de aperto na(s) extremidade(s) ou gatos metálicos.
4.3.11 - Reforço com tirantes passivos
A técnica de reforço com tirantes passivos consiste na introdução de cabos de aço, sem
exercer qualquer tensão sobre os elementos onde são aplicados, que apenas ficarão activos
perante um fenómeno sísmico.
Figura 4.14 Reforço com tirantes passivos (Deshpande, 2001).
4.3.12 - Reforço com pré-esforço
A técnica de pré-esforço consiste na colocação de cabos de aço de alta resistência,
efectuando o seu esticamento, de forma a introduzir na estrutura um novo sistema de forças. A
aplicação do pré-esforço pode fazer-se tanto pelo interior como pelo exterior. A aplicação do pré-
esforço permite melhorar o comportamento das paredes, sob acções no seu próprio plano e sob
acções exteriores e melhorar o comportamento em serviço, ao nível do controle de deformação e
fendilhação.
Capítulo 4 - Reforço de Estruturas Arqueadas em Alvenaria
58
Figura 4.15 (Esq.) Tirantes exteriores pré-esforçados que contrariam os impulsos do
arco sobre as paredes de suporte e (Dta.) Pré-esforço interno na compensação de
arcos e seus efeitos sobre as paredes (Meli, 1998).
4.4 - Exemplos
4.4.1 - Ponte de Tavira
Localização e Descrição da Ponte
A Ponte Romana de Tavira sobre o rio Gilão localiza-se na região do Algarve, no Sul de
Portugal tendo sido originalmente construída no Séc. III (Guia da Cidade, 2009). A ponte é
constituída por uma estrutura de alvenaria de pedra que inclui 7 arcos de cantaria. Tem um
desenvolvimento de 86 m e uma largura total de 6.45 m. A ponte é composta por duas partes
distintas: uma constituída por 3 arcos provavelmente da época romana e outra constituída por 4
arcos e talha-mares salientes que resultaram da reconstrução da ponte realizada em 1656. A
reconstrução da ponte resultou, já nessa época, do efeito das cheias do Rio Gilão. Em Fevereiro
de 1991 foi realizada uma protecção provisória da zona afectada e preenchidas com betão as
zonas infraescavadas que eram visíveis. Na Figura 4.16 estão representados a planta e alçado
da ponte Romana de Tavira (Appleton, 1992).
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
59
Figura 4.16 Planta e alçado da ponte Romana de Tavira (Appleton, 1992).
Identificação dos danos e causas
A 3 de Dezembro de 1989, uma grande cheia atingiu a cidade de Tavira sujeitando a
ponte efeitos de infraescavação e fluxo de águas transportando objectos de grandes dimensões,
levando-os a embater na estrutura da ponte. A montante, um dos talha-mares ficou praticamente
destruído e os arcos 4 e 5 ficaram muito danificados. Nas nascenças destes arcos também se
verificaram infraescavações significativas (Figura 4.18). A destruição parcial da ponte e sua
deterioração deveu-se principalmente a três aspectos. A acção da infraescavação das
fundações, pelo efeito das marés e do escoamento da água do rio Gilão, agravados pela
situação de cheia; as deficientes condições do terreno de fundação e a pouca profundidade e má
consolidação das fundações e aos efeitos do tempo no estado da alvenaria. Em Janeiro de 1991
protegeram-se provisoriamente as zonas afectadas e foram preenchidas com betão as zonas
infraescavadas que estavam visíveis (Appleton, 1992).
Alguns dos danos verificados na ponte podem ser observados na Figura 4.17.
Figura 4.17 Danos observados na ponte de Tavira na altura da intervenção (Appleton,
1992).
Capítulo 4 - Reforço de Estruturas Arqueadas em Alvenaria
60
Figura 4.18 Pormenor da infraescavação de um dos talha -mares da Ponte (Appleton,
1992).
Solução adoptada
O projecto de reforço da ponte é da autoria do atelier A2P Consult, Lda. A principal causa
da necessidade de recuperação da ponte foi a cheia que destruiu parcialmente a ponte. Assim o
objectivo da intervenção, para além da recuperação, foi dotar a ponte de capacidade de suportar
estas acções através do reforço da sua estrutura assegurando ainda capacidade resistente para
o trânsito de veículos ligeiros sem afectar o seu aspecto exterior. De modo a anular/reduzir os
efeitos das cheias na ponte efectuaram-se um conjunto de intervenções. Efectuou-se a fixação
do leito do rio a montante e a jusante da ponte; consolidação das fundações da ponte através de
injecção da alvenaria e enrocamento das fundações actuais através da introdução de
microestacas (Figura 4.19); consolidação e reforço da estrutura de alvenaria da ponte;
reconstrução do talha-mar mais afectado pelas cheias; refechamento das juntas, substituição da
cantaria, reboco e pintura da alvenaria e ainda um novo pavimento sobre a ponte. A solução
adoptada para o reforço da estrutura consistiu ainda na execução de uma estrutura de betão
armado no interior da ponte e talha-mares, forrada exteriormente com alvenaria e cantaria
interligada às microestacas através de maciços de betão armado (Figura 4.20) (Appleton, 1992).
Figura 4.19 Pormenores da Consolidação das Fundações (Appleton, 1992).
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
61
Figura 4.20 Estrutura interna em Betão Armado idealizada para a reabilitação da
Ponte (Appleton, 1992).
Figura 4.21 Selagem das microestacas e ligação ao maciço de fundação (Appleton,
1992).
Figura 4.22 Ponte após os trabalhos de reabilitação (Appleton, 1992).
4.4.2 - Capela de Nossa Senhora do Monte em Goa
Localização e Descrição da Capela
A Capela de Nossa Senhora do Monte representada na Figura 4.23 localiza-se sobre o
rio Mandovi em Goa, Índia. Foi construída no Séc. XVI e é uma das primeiras Igrejas construídas
pelos portugueses nesta zona.
A capela tem 33 m de comprimento e 14 m de largura e foi construída usando
exclusivamente laterite na sua construção. As paredes da capela têm aproximadamente 2,7 m de
espessura e apoiam uma abóbada cilíndrica com um vão de 9 m e um comprimento de 21 m. A
cobertura do Altar-Mor é outra abóbada com um vão livre de 5,5m. A cobertura das abóbadas é
Capítulo 4 - Reforço de Estruturas Arqueadas em Alvenaria
62
uma estrutura de madeira apoiada em pedestais de laterite no fecho da abóbada. A estrutura da
cobertura está coberta com telha “Mangalore”. A abóbada apresenta uma espessura de apenas
150 mm na zona do fecho. Desde a altura da sua construção até ao presente efectuaram-se
algumas adições à estrutura do edifício, sendo uma das últimas adições uma galeria de dois
andares anexa à parede norte da Igreja (Deshpande, 2001).
Figura 4.23 Capela de Nossa Senhora do Monte vista de Sudoeste .
Identificação dos danos e causas
Em 1980 formou-se uma fissura longitudinal no fecho ao longo do comprimento da
abóbada da Igreja. Esta fissura, com rótula no extradorso, com o passar do tempo aumentou de
tamanho causando o deslocamento e posterior destacamento de alguns dos seus elementos.
Para além desta fissura no fecho da abóbada, também eram visíveis outras fissuras, localizadas
a aproximadamente um quarto do vão da abóbada. Estas fissuras aparentavam ser muito finas
no intradorso, mas numa análise ao intradorso verificou-se uma clara separação entre os
elementos. O reforço e reabilitação da abóbada eram os principais objectivos desta intervenção
(Deshpande, 2001).
Para além dos problemas de estabilidade da abóbada identificaram-se ainda outros
problemas relativos à estrutura da Igreja. Estes problemas eram: o deslocamento de 100 mm na
parede Sul da Igreja; as paredes nos extremos da nave estavam separadas da estrutura; os
lintéis das paredes da fachada W estavam fissurados devido a fissuração lateral ao longo da
fachada; e galeria (loggia), construída posteriormente, mostrava indícios de separação da
estrutura principal (Figura 4.24).
As razões apontadas para os danos indicados, prendem-se principalmente com o
deslocamento nas fundações da estrutura. Este movimento nas fundações poderá ter-se devido
ao assentamento das mesmas ao longo do tempo, à deterioração dos materiais de construção
usados nas fundações ou até devido às vibrações causadas por terramotos. Assim, de modo a
não perturbar posteriormente as obras de reabilitação e reforço a efectuar na cobertura
procedeu-se ao reforço das fundações da estrutura (Deshpande, 2001).
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
63
Figura 4.24 Danos visíveis na Igreja.
Figura 4.25 Corte transversal com identificação das patologias identificadas .
Solução adoptada
O projecto de reforço da ponte é da autoria do arquitecto Luis Marreiros. Depois de
identificados os danos e problemas da estrutura foi definido um plano de intervenção que
abordou individualmente cada componente estrutural da Igreja. Este plano abordava o reforço
das fundações das paredes Norte e Sul; a consolidação estrutural da abóbada da nave e do
altar; a introdução de travessas transversais para reforço da abóbada; a consolidação estrutural
das fissuras nos lintéis, das fissuras na abóbada e nas paredes e entre a nave e a loggia; e a
execução de uma nova cobertura para a abóbada de modo a diminuir as cargas provenientes
das vibrações na abóbada.
Os trabalhos efectuados nas fundações basearam-se na reabilitação e reforço das
mesmas. A laterite das fundações apresentava-se intacta e sem sinais de deterioração ou
esmagamento. O reforço foi efectuado através da adição de massa às fundações já existentes
estando as duas massas conectadas por barras de aço inoxidável. Este reforço foi efectuado nas
paredes Norte e Sul da Igreja (Deshpande, 2001).
Capítulo 4 - Reforço de Estruturas Arqueadas em Alvenaria
64
Com a consolidação das fundações da Igreja efectuada, foi então possível avançar para
os trabalhos de reabilitação na abobada. A intervenção na abóbada obrigou ao escoramento da
mesma de modo a garantir a segurança estrutural durante a intervenção. O escoramento está
representado na Figura 4.26 (Deshpande, 2001).
Figura 4.26 Sistema de escoramento aplicado.
Com a abóbada apoiada no sistema de escoramento foi possível avançar com a
reabilitação estrutural da mesma. A cobertura da abóbada em madeira foi desmantelada
expondo o extradorso da abobada. Esta cobertura encontrava-se apoiada nas paredes laterais e
pontualmente no fecho da abóbada (Figura 4.27).
Figura 4.27 Apoios da cobertura original no fecho da abóbada .
Procedeu-se à localização das fendas e refechamento das mesmas. A fenda existente
entre a abobada e a parede fundeira foi fechada recorrendo a barras de aço inoxidável. Foi ainda
efectuado um reforço da abobada através da aplicação de argamassa no seu extradorso e
interior através de furos efectuados na abobada (Deshpande, 2001).
Ainda para o reforço estrutural da abóbada, mas de modo a prevenir eventuais aumentos
de vão foram introduzidos quatro tirantes que atravessam toda a largura da Igreja ligando a
parede Norte à parede Sul. A localização destes tirantes está representada na Figura 4.28. Após
estes reforços da abobada foi efectuada uma impermeabilização do extradorso e posteriormente
retirado o sistema de escoramento instalado no início da intervenção (Deshpande, 2001).
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
65
Figura 4.28 Localização das travessas transversais e vista em obra .
Por fim, foi executada a cobertura da abóbada. Como foi referido anteriormente, a
cobertura original estava apoiada no fecho da abóbada introduzindo esforços nesta devido a
acções exteriores, como por exemplo a acção do vento. Foram removidos os pedestais de
alvenaria existente no fecho da abobada, introduzindo-se um travessa de aço ao longo do vão.
Assim, a acção do vento passou a ser transmitida directamente às paredes laterais da igreja,
protegendo a abóbada da vibração. Um corte transversal da cobertura realizada na Igreja está
representado na Figura 4.29 (Deshpande, 2001).
Figura 4.29 Corte representativo da estrutura uti lizada na cobertura e execução da
mesma.
Na Figura 4.30 está representada a igreja após a intervenção realizada.
Figura 4.30 Vista geral da Igreja após a intervenção (Deshpande, 2001).
Capítulo 4 - Reforço de Estruturas Arqueadas em Alvenaria
66
4.4.3 - Igreja do Santo Cristo do Outeiro
Localização e Descrição da Igreja
A Igreja do Santo Cristo do Outeiro está localizada junto à estrada que liga Bragança a
Miranda do Douro tendo sido construída entre 1698 e 1738. A estrutura é realizada
maioritariamente com xisto argamassado. A estrutura tem uma área de 38x22 m2, com uma
altura de 13 m na zona das naves e de 22 m nas torres. A Igreja apresenta duas torres sineiras
de forma rectangular. Nas zonas laterais existem galerias que formam três capelas comunicantes
(Figura 4.32) (Lourenço, 1999).
A fachada é uma peça de notável valor arquitectónico devido aos arcos gémeos e
revestimento granítico, possuindo um óculo de grandes dimensões e uma balaustrada entre as
duas torres. O interior da Igreja possui uma única nave em cruz latina com abóbadas cruzadas,
dividida em três partes por dois arcos diafragma. Os arcos são suportados pelas paredes laterais
e pelos arcos transversais das capelas, que funcionam como contrafortes. O coro consiste num
pórtico de granito formado por três arcos perpendiculares à nave apoiados em duas colunas que
também suportam arcos de granito paralelos aos arcos diafragma que apoiam as abóbadas
(Figura 4.32) (Lourenço, 1999).
Figura 4.31 Vista exterior da Igreja do Santo Cristo de Outeiro (Lourenço, 2005).
Figura 4.32 Igreja de Santo Cristo de Outeiro: alçado da fachada (Esq.), corte
transversal (em cima) e planta (em baixo) (Lourenço, 2005).
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
67
As abóbadas do coro foram construídas entre 1726 e 1738 na última fase da construção
da Igreja substituindo a cobertura de madeira do coro. Não se verificam conexões entre as
abóbadas e as paredes de confinamento, excepto nos apoios dos arcos paralelos aos arcos de
diafragma. Um reconhecimento feito nas fundações permitiu verificar que nas torres ela é
constituída por blocos de granito irregulares, envoltos em argamassa de cal hidráulica. A
apreciação global indica a presença de terrenos com características mecânicas de elevada
resistência e reduzida deformabilidade, não se vislumbrando qualquer correlação entre o
comportamento geotécnico dos materiais de fundação e o deficiente comportamento da estrutura
(Lourenço, 1999).
Identificação dos danos e causas
Os danos da Igreja estão localizados principalmente na fachada e zona do coro, podendo
observar-se algumas fissuras menores noutras zonas, mas com pouca relevância ao nível da
estabilidade da estrutura. A fachada apresenta grandes deslocamentos descendentes, na
vizinhança do arco duplo da entrada e horizontais na direcção do exterior perto da abertura
central e na parte superior da fachada. A fachada apresenta deslocamentos apreciáveis no
sentido descendente, ao nível do arco geminado e deslocamentos apreciáveis na direcção para
fora do plano da fachada, ao nível do óculo e toda a zona central superior. O pano interior da
parede não apresenta deslocamentos transversais significativos, pelo que os dois panos deverão
estar parcialmente desligados por uma fissura com abertura de aproximadamente 10 cm (Figura
4.33) (Lourenço, 2005).
Figura 4.33 Anomalias na fachada (Esq. e em cima) (Lourenço, 2005) e corte
transversal da parede (Dta.) (Lourenço, 1999).
Capítulo 4 - Reforço de Estruturas Arqueadas em Alvenaria
68
Verifica-se ainda perda de verticalidade na balaustrada de granito que liga as torres
sineiras, pois dois dos blocos localizados no topo apresentam um deslocamento horizontal de 2
cm. O coro apresenta danos significativos nos arcos e abóbadas com fissuração generalizada,
estando apoiados em escoramentos provisórios de madeira. O coro está separado da fachada,
excepto nos apoios, e as colunas apresentam um deslocamento de aproximadamente 8 cm
(Figura 4.34).
Os deslocamentos não são recentes e não parecem estar a evoluir. A análise geotécnica
efectuada indicou que as características do solo e das fundações não estão correlacionadas com
os danos verificados. Existem registos de se terem dado, pelo menos, dois sismos de
intensidade VI, segundo a escala modificada de Mercalli, existindo a possibilidade de outros
sismos de maior intensidade terem afectado a estrutura sem terem sido registados, pois trata-se
de uma região com pouca importância. Assim, e após o estudo efectuado (Lourenço, 2005) para
além do efeito dos sismos como acção causadora de danos na estrutura, apontaram-se ainda
dois defeitos de concepção na construção da Igreja, na fachada e na zona do coro da Igreja.
Figura 4.34 Escoramento e danos do coro (Esq. e em cima) e pormenor da ligação
abóbada-paredes (em baixo) (Lourenço, 2005).
Solução adoptada
O projecto de reforço da ponte é da autoria do Grupo de Alvenaria do Departamento de
Engenharia Civil da Universidade do Minho. A solução adoptada teve como objectivo a correcção
dos problemas de concepção encontrados nos estudos efectuados, de modo a prevenir futuros
danos na estrutura. A intervenção consistirá na concepção de uma nova conexão dos dois panos
da fachada principal e na ligação entre o coro e as paredes exteriores de modo a prevenir o
colapso da estrutura no caso da ocorrência de um novo sismo (Lourenço, 2005).
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
69
Para a ligação entre o coro e as paredes exteriores foi executada uma moldura de aço
com perfis em U e em I, como demonstrado na Figura 4.35, ancorada às paredes vizinhas,
dentro do enchimento da abóbada do coro de modo a aumentar a rigidez da estrutura nesta
zona. As secções em I representadas funcionam como travessas. A instalação desta moldura foi
um trabalho de grande complexidade pois o espaço entre o fecho da abobada e o pavimento é
bastante pequeno (Lourenço, 2005).
Figura 4.35 Reforço aplicado na zona do coro em planta (Esq.) e em corte transversal
(Dta.) (Lourenço, 2005) .
Do lado da fachada principal as ancoragens foram quase até à parte exterior da parede,
de modo a conectar a camada de revestimento granítica na fachada ao pano interior de xisto
argamassado. De modo a melhorar a ligação entre os dois panos foi ainda injectada argamassa
nas fissuras entre os panos. A estrutura utilizada está representada na Figura 4.36. O aspecto
final do enchimento da abóbada do coro está representado na Figura 4.37 (Lourenço, 2005).
Figura 4.36 Estrutura de reforço, travessas e equipamento de injecção de argamassa
utilizado no reforço da abóbada (Lourenço, 2005).
Figura 4.37 Aspecto final do enchimento da abóbada do coro (Lourenço, 2005).
Capítulo 4 - Reforço de Estruturas Arqueadas em Alvenaria
70
4.5 - Conclusões
A reabilitação de estruturas antigas assumiu recentemente uma grande importância. A
reabilitação nas estruturas apresenta-se como um problema bastante complexo não só porque
que os materiais têm um comportamento heterogéneo, como os processos de construção e
histórico de intervenções de reabilitação são na maior parte dos casos desconhecidos.
Perante as estruturas analisadas, verificou-se a necessidade de garantir, antes de
qualquer intervenção de reabilitação na estrutura, a estabilidade das fundações. Após a
estabilização das fundações de modo a não ocorrerem deslocamentos que influenciavam a
estrutura, procedeu-se então às obras de reabilitação. As intervenções nas estruturas variaram
entre uma acção mais intrusiva, como por exemplo, na ponte romana de Tavira, onde foi
introduzida uma nova estrutura interna em betão armado forrada por alvenaria, ou uma acção
menos intrusiva, como a efectuada na Igreja de Nossa Senhora do Monte e na Igreja do Outeiro.
No caso da ponte de Tavira o objectivo principal, para além de reabilitação da ponte, passava por
precaver o aumento das cargas actuantes, devido à circulação de veículos.
Nas Igrejas de Goa e Outeiro, a finalidade passou principalmente pela correcção dos
defeitos de concepção verificados na construção original.
Note-se, que nas intervenções de reabilitação devem ter-se em consideração os
seguintes princípios: intervenção mínima, reversibilidade e respeito pela concepção original,
juntamente com a aquisição dos requisitos de estabilidade, durabilidade e compatibilidade.
71
Capítulo 5 - Caso de Estudo: Igreja Matriz de Bucelas
5.1 - Introdução
A Igreja Matriz de Bucelas, designada por Igreja de Nossa Senhora da Purificação
(Figura 5.1 e Figura 5.2), é um notável templo quinhentista de estilo barroco, edificado no Séc.
XVI, e classificado como Imóvel de Interesse Público em 15 de Maio de 1946. Não obstante
algumas intervenções de reparação realizadas nas décadas de 1960 e 1970 e outras mais
recentes, o edifício apresenta diversas patologias construtivas e estruturais, as quais merecem
uma intervenção urgente da parte das entidades responsáveis pela sua gestão.
Figura 5.1 Vistas exteriores da Igreja Matriz de Bucelas
A Igreja foi recentemente alvo de obras de restauro dos estuques e pinturas murais e das
talhas douradas na zona do Altar-Mor e, posteriormente, de restauro dos estuques e pinturas
murais nos primeiros tramos da nave central. Os trabalhos de restauro foram realizados pela
empresa Nova Tacula, Lda. e ocorreram entre 2007 e 2009. A instalação de andaimes no âmbito
dessas intervenções permitiu uma maior proximidade e uma melhor observação da superfície da
abóbada da nave central. A constatação de grandes deformações da abóbada e dos arcos da
nave principal causou preocupação aos técnicos restauradores, os quais contactaram,
informalmente, o Instituto de Engenharia de Estruturas, Território e Construção do Instituto
Superior Técnico (ICIST) para avaliação da segurança estrutural da abóbada da nave central. A
abóbada da nave central em alvenaria de tijolo, rebocada e com pintura mural, originalmente de
Capítulo 5 - Caso de Estudo: Igreja Matriz de Bucelas
72
arco perfeito, encontra-se fortemente deformada, com destacamento dos rebocos que não
acompanharam a deformação da abóbada. Os arcos em pedra, que intercalam os tramos da
nave central, apresentam, também, deformações muito significativas e são visíveis articulações e
escorregamentos relativos entre aduelas (Figura 5.3).
A presente dissertação diz respeito a estudos preliminares de avaliação da segurança
estrutural da abóbada, os quais não podem ser conclusivos em virtude do desconhecimento de
alguns parâmetros fundamentais, como a espessura da abóbada da nave e a espessura e
natureza do actual revestimento do extradorso da abóbada. Por intermédio do software UDEC de
Elementos Discretos efectuaram-se análises estáticas e dinâmicas a duas propostas de reforço
da estrutura da Igreja.
Figura 5.2 Vista interior da Igreja Matriz de Bucelas (Fonte: arquivo DGEMN, data
incerta).
Figura 5.3 Deformação da abóbada da nave central e dos seus arcos.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
73
5.2 - Descrição do Edifício
O corpo principal da Igreja, com 43,5 m de comprimento, entre o Altar-Mor e a porta
principal, apresenta planta rectangular (Figura 5.4), composta por três naves, sem transepto,
cada uma com 5 tramos limitados por arcos de cantaria de volta perfeita. A cobertura das naves
é assegurada por abóbadas de berço, em alvenaria de tijolo rebocada e cobertas por um telhado
de duas águas, em telha de aba e canudo (Figura 5.5).
Figura 5.4 Planta da Igreja Matriz de Bucelas.
A estrutura de cobertura é, actualmente, constituída por uma laje de betão armado, em
vigotas pré-esforçadas e abobadilhas cerâmicas (Figura 5.6 e Figura 5.7), que se apoia nas
paredes exteriores do edifício (em alvenaria de pedra) e nos arcos longitudinais da nave principal
(em cantaria) que, por sua vez, se apoiam nas colunas centrais da nave.
Figura 5.5 Planta da Igreja Matriz de Bucelas com representação da abóbada das
naves central e laterais.
As paredes exteriores do edifício são em alvenaria de pedra ordinária, rebocadas com
argamassas de cal, com excepção dos cunhais e guarnições dos vãos, em cantaria. Uma das
paredes laterais (sudoeste) está reforçada exteriormente por contrafortes (Figura 5.1), os quais
são identificáveis em antigas imagens fotográficas disponíveis no arquivo da ex-DGEMN, mas
não são representados na única planta (de data incerta) disponível nesse arquivo (Figura 5.4).
Exteriormente a Igreja tem características comuns às Igrejas-fortalezas medievais, como sejam a
Capítulo 5 - Caso de Estudo: Igreja Matriz de Bucelas
74
implantação em local elevado, paredes altas e com poucas aberturas e cabeceira cilíndrica
maneirista quase cega.
Todas as paredes interiores do corpo da Igreja são forradas a azulejos e as abóbadas de
berço que cobrem as naves são vistosamente decoradas com pinturas que datam do Séc. XVIII,
numa policromia que hoje se apresenta gasta e apagada. Os arcos interiores em cantaria,
transversais e longitudinais, são igualmente decorados com pinturas de motivos florais.
O edifício possui também uma torre sineira, situada à ilharga Nordeste, de dois andares
acessíveis por escada de lanços opostos, com pavimento em pedra calcária e um deambulatório,
envolvendo a Capela-Mor, que serve de zona de arrumos.
Figura 5.6 Corte transversal da Igreja (esquerda) e vista do extradorso da abóbada
(direita), onde é visível a viga de betão armado de apoio da laje de cobertura e um
dos seus apoios sobre a abóbada.
Figura 5.7. Vista da cobertura e da laje de vigotas pré-esforçadas e abobadilhas
cerâmicas. De notar a ausência de armadura em aço na camada de compressão da
laje.
5.3 - História Estrutural do Edifício
Os sismos assumem um papel importante na análise dos danos em estruturas históricas.
O sismo de 1 de Novembro de 1755, com epicentro no Atlântico e que se sentiu com grande
violência em Lisboa, afectou também a zona de Bucelas e as suas construções. Segundo
Francisco Luís de Sousa (Sousa, 1923) que cita uma memória paroquial, o sismo de 1755
arruinou “bastantemente a Igreja, mas já se acha reparada e com grandeza”, referindo também
que nas casas de toda a freguesia “ouve ruína mas todas reparáveis”. Ainda segundo Francisco
Luís de Sousa, o grau de intensidade sísmica na zona Bucelas foi de VIII, na escala de Mercalli.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
75
Excluindo a referência às reparações dos danos na Igreja produzidos pelo sismo de
1755, não há registo de intervenções até ao Séc. XX. O primeiro registo de obras diz respeito a
uma intervenção de reparação do telhado da Capela-Mor e das naves, em 1956, mas
desconhece-se a extensão dos trabalhos e o que foi realizado ao certo. No entanto, deve ter sido
uma intervenção pouco extensa, visto que em 1963 houve uma nova intervenção de reparação
do telhado da Capela-Mor e das naves. Segundo relatos do actual pároco da Igreja, que já se
encontrava na Igreja no final da década de 1960, os problemas de infiltração das águas pluviais
eram crónicos e só ficaram resolvidos na intervenção que resultou do sismo de 1969.
O sismo de Fevereiro de 1969, que causou danos no edifício da Igreja, acelerou a
necessidade de realização de obras. Assim, em 1969 e nos anos seguintes procedeu-se à
conservação, reparação e consolidação do Altar-Mor e, também, à reconstrução das coberturas
dos telhados. Nesses trabalhos foi também realizado “o concerto dos fechos dos três arcos de
cantaria da nave central da Igreja, de forma a levá-los à sua posição primitiva”, a reparação dos
rebocos da torre sineira e cortina do telhado da Capela-Mor, o levantamento e reposição dos
azulejos do Séc. XVI e consolidação de toda a estrutura do trono do Altar-Mor.
No que diz respeito à reparação efectuada após o sismo de 1969, há que referir que é
muito pouco provável que os arcos de cantaria da nave central tenham sido levados à sua
posição primitiva. No entanto, embora não se tenham encontrado documentos com a descrição
dos trabalhos efectuados nessa campanha, muito provavelmente a reparação dos rebocos da
abóbada da nave central (zonas a branco na Figura 5.5) e o enchimento de juntas entre aduelas
dos arcos de cantaria com argamassa cimentícia, com colocação de “grampos” ou “gatos” de
ligação (Figura 5.8), terão sido efectuados nas obras de 1969.
Figura 5.8 . “Grampeamento” de aduelas de um arco de cantaria com elemento
metálico e preenchimento da junta com argamassa cimentícia.
De referir ainda que segundo relatos do actual pároco da Igreja, durante a reconstrução
da cobertura da Igreja terá sido retirado o enchimento do extradorso da abóbada (“o entulho que
saiu do telhado encheu várias camionetas”) e rebocada essa superfície externa com argamassa
cimentícia (Figura 5.9). A colocação da laje de vigotas terá também sido realizada nesta
campanha de obras.
Em 1970 procedeu-se à reparação nas pinturas dos murais e em 1988, a última
intervenção documentada, a cobertura foi limpa e substituídas as telhas partidas ou deslocadas.
Capítulo 5 - Caso de Estudo: Igreja Matriz de Bucelas
76
Figura 5.9. Vistas interiores da cobertura (sob a laje de vigotas pré -esforçadas), onde
é visível o muro de apoio, localizado sobre os arcos e pilares da nave central
(esquerda) e a superfície do extradorso da abóbada, rebocada com argamassa
cimentícia (direita).
Em conclusão, pode referir-se que existiam danos na cobertura antes do sismo de 1969,
de extensão desconhecida, e que antes dessa data as abóbadas e arcos da nave já
apresentavam danos estruturais. De facto, num documento datado de 11 de Agosto de 1953 é
referido que “algumas aduelas dos arcos da nave central, se encontram deslocadas trazendo
consigo a descida da abóbada”. O sismo de 1969 danificou a Igreja e, aparentemente, agravou
os danos na abóbada e arcos. É possível que os destacamentos de reboco da abóbada,
entretanto reparados, tenham ocorrido nessa altura.
Os danos motivaram preocupação e houve nessa época uma extensa intervenção. Do
ponto de vista estrutural, embora desconhecendo a extensão dos trabalhos realizados e a
respectiva filosofia de intervenção, e tendo em conta que os danos na abóbada e arcos da nave
central permaneceram e se agravaram, tudo indica que o objectivo de estabilização da abóbada
e dos arcos não foi conseguido. Como se verá, a remoção do enchimento (“carrego”) da
abóbada, provavelmente com o intuito de aliviar a carga sobre a abóbada, foi prejudicial, assim
como o apoio da viga de cumeeira no fecho dos arcos. Desconhece-se se foram tomadas outras
medidas correctivas com efeito benéfico sobre a estrutura.
5.4 - Identificação e Levantamento dos Danos
Como referido, a Igreja é dividida em 3 naves, a central com um vão de 5,5 m e as naves
laterais com vão de 2,7 m. As abóbadas das naves central e laterais são revestidas, no seu
extradorso, por um reboco com argamassa cimentícia (aparentemente, sem qualquer adição de
armadura em aço) e a cobertura é composta por uma laje de betão armado com vigotas pré-
esforçadas e abobadilhas cerâmicas (sem armadura em aço na camada de compressão),
coberta por telha e argamassa de assentamento. A laje de cobertura apoia-se em lintéis de betão
armado sobre as paredes exteriores e sobre a parede que encima as colunas da nave (Figura
5.9) e numa viga de betão armado, apoiada pontualmente no fecho da abóbada central. A laje
apresenta um declive de, aproximadamente, 24% e a viga de cumeeira uma secção próxima de
50 cm de altura por 40 cm de largura.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
77
As principais patologias da estrutura da Igreja relacionam-se com a deformação dos
arcos e da abóbada da nave principal e, consequentemente, com as fendas e articulações
visíveis nas secções dos arcos.
Antes da colocação dos andaimes (e escoramentos nos arcos) para a realização dos
trabalhos de restauro da pintura mural, foi realizado pela empresa Nova Tacula, Lda. um rigoroso
levantamento fotográfico (Figura 5.10) e topográfico da abóbada da nave, tendo como finalidade
a localização das patologias e o conhecimento da geometria actual do edifício.
Figura 5.10 Vista Inferior da Abóbada da Nave Centra l (Esq: Porta Principal Dta: Altar-
Mor).
O Arco 1 (Figura 5.11), localizado junto da parede fundeira apresenta-se praticamente
indeformado, e foi utilizado como referência para a definição dos arcos no seu estado original
(com um vão de 5,50 m). Refira-se que esta hipótese é a única que é possível formular, não
sendo de excluir por completo a possibilidade de os restantes arcos apresentarem uma
geometria diferente resultado, eventualmente, de deficiências construtivas.
Figura 5.11 Vista do Arco 1 localizado junto da parede fundeira e do respectivo
levantamento geométrico (os círculos representam os pontos de medição
topográfica).
Os restantes arcos da nave principal, arcos 2, 3, 4 e 5, bem como os troços de abóbada
compreendidos entre eles, apresentam grandes deformações (Figura 5.12). Nesses arcos são
claramente visíveis escorregamentos entre aduelas e rótulas no fecho (extradorso) e nas
impostas (intradorso) dos arcos. Como se pode constatar nas imagens seguintes, o arco mais
deformado é o arco 2, seguido dos arcos 3 e 4, localizados na zona central da nave. O arco 5,
mais próximo do altar, é aquele que apresenta menores deformações. No arco mais deformado
m
Capítulo 5 - Caso de Estudo: Igreja Matriz de Bucelas
78
(arco 2) regista-se um aumento de vão da ordem dos 35 cm e nos outros um aumento de vão da
ordem dos 22 cm. Nas figuras seguintes apresentam-se imagens com os danos observáveis, as
quais puderam ser registadas junto dos arcos em virtude do andaime e sistema de escoramento
instalado pela empresa Nova Tacula, Lda. para efeitos do restauro da pintura mural da abóbada.
Figura 5.12 Vistas dos arcos 2 (em cima), 3, 4 e 5 (em baixo).
Nota: nestas imagens os arcos estão vistos do lado da porta principal da Igreja .
m
m
m
m
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
79
Como se pode constatar nas figuras apresentadas no Anexo 2, os arcos da nave
principal apresentam deformações muito significativas.
Arco 1
Este arco localiza-se sobre a parede fundeira (sob a entrada da Igreja) e é aquele que se
apresenta menos deformado. No entanto, na sua proximidade a abóbada apresenta grandes
deformações e fissuração (Figura 5.13). De notar que esse troço da abóbada é aquele que liga o
arco menos deformado (arco 1) ao arco mais deformado (arco 2), pelo que é uma das zonas
onde a abóbada se apresenta mais fissurada.
Figura 5.13 Danos na superfície da abóbada na zona entre o arco 1 e o arco 2.
Arco 2
Este é o arco mais deformado. Na zona do fecho do arco observa-se um significativo
escorregamento entre aduelas e a formação duma articulação, através da abertura de juntas (as
quais foram preenchidas com argamassa cimentícia e com colocação de “grampo” metálico).
Além da articulação detectada na zona do fecho do arco (com juntas abertas para o
intradorso) detectam-se também outras duas articulações (com juntas abertas para o intradorso),
uma em cada lado do arco e a aproximadamente ¼ do vão, as quais se prolongam para a
superfície da abóbada.
O padrão de deformação indica que o arco se acomodou ao aumento de vão (neste caso
de cerca de 35 cm, isto é, cerca de 6,4% do vão livre) através da geração de três articulações,
transformando-se numa estrutura isostática, capaz de se manter em equilíbrio, mas sem
Capítulo 5 - Caso de Estudo: Igreja Matriz de Bucelas
80
redundância estática. A ocorrência de uma quarta articulação (cuja existência não foi detectada
no local, mas cuja formação pode não ser visível) gerará o colapso do arco (Figura 5.14).
Figura 5.14 Mecanismo de colapso de um arco as três articulações superiores são
visíveis nos arcos 2, 3, 4 e 5. As duas articulações inferiores não são visíveis, mas
poderão estar em formação.
De referir que a interpretação anterior se baseia na hipótese de comportamento isolado
do arco. No entanto, o arco está encostado à abóbada no seu extradorso e essa ligação poderá
conferir-lhe uma restrição extra, aumentando a sua de redundância estática. Assim sendo, o grau
de segurança poderá ser ligeiramente superior ao do arco isolado*.
Arco 3 e 4
Os arcos 3 e 4 apresentam um aumento de vão de 22 cm, isto é, cerca de 4% do vão.
Não obstante algumas particularidades, o padrão de deformação destes arcos é semelhante ao
do arco 2.
Como no caso anterior, nos arcos 3 e 4 são visíveis três articulações, uma para o
extradorso, no fecho, e duas para o intradorso, nos rins do arco (uma em cada lado). Em ambos
os casos detecta-se na articulação do fecho um significativo escorregamento relativo das aduelas
e nas articulações nos rins é visível o esmagamento (por compressão) da cantaria no intradorso
do arco. Nas zonas junto das articulações a abóbada apresenta fissuras na direcção
perpendicular ao arco.
Tal como no arco 2, os arcos 3 e 4 adoptaram uma configuração isostática, sem reserva
de graus de liberdade que permitam qualquer redistribuição de esforços.
Arco 5
No arco 5 detecta-se um aumento de vão de 19 cm, correspondente a uma percentagem
da ordem dos 3,5%. Embora menos deformado, o arco 5 apresenta o mesmo padrão de
deformação dos arcos anteriores, com a formação de articulações em localizações semelhantes,
* Note-se que, como se verá, os arcos em cantaria da Igreja não têm espessura suficiente para suportarem
sozinhos o seu peso próprio, pelo que a sua estabilidade só é possível devido à interacção com a abóbada
no seu extradorso.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
81
com escorregamento da pedra de fecho e com esmagamento das arestas das articulações dos
rins do arco.
Arcos Laterais (Naves Laterais)
Observando os arcos e abóbadas das naves laterais, verifica-se que estes apresentam
deformações, fissuras e aberturas de juntas que indiciam o encurtamento dos seus vãos. De
facto, as três articulações identificadas nos arcos das naves laterais, uma no fecho, para o
extradorso, e duas nos rins, para o intradorso† (Figura 5.15 e Figura 5.16), indicam que com o
aumento de vão da nave central as naves laterais foram pressionadas contra as paredes
externas da Igreja, resultando no encurtamento dos seus vãos. De referir que estes danos são
mais evidentes na nave lateral do lado Sul.
Dada a rigidez transversal das paredes externas da Igreja, resultante da sua espessura e
da existência de contrafortes do lado Sul, é pouco provável que o aumento de vão da nave
central tenha induzido deformação nessas paredes, pelo que o aumento de vão (de 19, 22 e 35
cm) terá sido acomodado pelas deformações das duas naves laterais.
Constata-se que a abóbada e arcos da nave lateral do lado Sul se apresentam mais
danificados e deformados que a abóbada e arcos da nave do lado Norte, reflectindo a assimetria
na deformação da nave central, que tende para o lado Sul (Figura 5.17).
Figura 5.15 Deformação da abóbada e dos arcos da nave lateral Norte (Esq.) e
pormenor da articulação no fecho do arco (Dta.).
† Isto é, com aberturas inversas às das articulações dos arcos da nave central.
Capítulo 5 - Caso de Estudo: Igreja Matriz de Bucelas
82
Figura 5.16 Deformação da abóbada e dos arcos da nave lateral Sul (Dta.) e pormenor
da articulação no rim do arco (Esq.).
Figura 5.17 Deformação do arco 2 da nave central e dos correspondentes arcos das
naves laterais, sendo visível que o lado Sul (lado Dto.) se apresenta mais deformado
que o lado Norte (Esq.).
5.5 - Estudos Estruturais dos Arcos e da Abóbada da Nave Central
A abóbada da nave central e os respectivos arcos apresentam a mesma orientação,
apoiando-se na fileira de pilares e arcos que ladeiam, a Norte e a Sul, a nave central. Tendo em
conta a coincidência de orientação, pode afirmar-se que os arcos não suportam a abóbada, nem
se apoiam nela.
Não obstante os arcos não apoiarem a abóbada, eles poderão ter tido um papel estrutural
relevante na fase construtiva. Por outro lado, os arcos contribuem para o aumento da rigidez
transversal da nave, o que tem alguma influência na resistência sísmica do edifício, e
contribuem, juntamente com o troço de abóbada que lhes está sobreposto, para o apoio‡ da
estrutura da cobertura (recorde-se que a viga de cumeeira se apoia em montantes de alvenaria
executados sobre os arcos - Figura 5.6).
Assim, para além da função decorativa, os arcos têm uma função estrutural, embora não
tão decisiva como em outros edifícios de outras tipologias arquitectónicas. No presente parágrafo
pretende-se quantificar a função estrutural dos arcos e verificar o actual nível de segurança da
abóbada e da abóbada reforçada com os arcos.
Para a verificação da segurança dos arcos e da abóbada no estado actual há que
identificar, em primeiro lugar, as suas configurações não deformadas. Dado que o primeiro arco
se localiza sobre uma parede (a parede fundeira), apresentando um perfil aproximadamente
semicircular, é de esperar que a actual geometria desse arco seja próxima da geometria original
dos arcos. Assim, tendo em conta medições realizadas no local, pode admitir-se que os arcos
apresentavam no seu estado indeformado um raio interior (r) de 2,75 m, uma espessura (t) de
0,17 m e um ângulo de abertura (2α) de 180º (Tabela 5.1). Da mesma forma, pode considerar-se
‡ Esta contribuição é parcial, visto que, como se verá, o arco não consegue sozinho suportar o seu peso
próprio e (muito menos) cargas adicionais.
m m m
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
83
que a abóbada indeformada tinha um raio interno de 2,92 m (2,75 + 0,17). As espessuras da
abóbada (actual e original) permanecem desconhecidas, visto não ter sido possível fazer a sua
avaliação no local.
Parâmetros Valores
Raio interior [ r ] 2,750 m
Espessura [ t ] 0,170 m
Raio médio [ R ](= r + t/2) 2,835 m
½ Ângulo de abertura [ α ] 90º
Tabela 5.1 Parâmetros geométricos do arco tipo.
Admitindo que não ocorre o escorregamento relativo das aduelas do arco, que as aduelas
e juntas apresentam resistência infinita à compressão e nula à tracção, é possível aplicar a teoria
da análise limite ao estudo da estabilidade dos arcos (Heyman, 1969).
Através da aplicação dessa teoria (Ochsendorf, 2002; Gago, 2004) pode determinar-se a
relação mínima admissível, em condições de estabilidade, entre a espessura (t) e o raio médio
(R) do arco circular com um ângulo de abertura (2α) de 180º, a qual se estima em (t/R)min =
0,1074 (Figura 5.18).
Tendo em conta as dimensões dos arcos de cantaria da nave central da Igreja Matriz de
Bucelas (Tabela 5.1) constata-se que esses arcos apresentam uma relação (t/R) = 0,06, muito
inferior ao mínimo admissível. Esse resultado indica que o arco isoladamente é incapaz de
suportar o seu peso próprio e só permanece em equilíbrio porque funciona em simultâneo com a
abóbada. Por outras palavras, o arco pode reforçar a abóbada, mas não a apoia.
Figura 5.18 Espessura mínima admissível do arco de geometria circular, em função do
ângulo de abertura.
Constatando-se que o arco de cantaria não é capaz de suportar por si o seu peso próprio
e, muito menos, cargas adicionais (como aquela que resulta do apoio da estrutura de cobertura),
há que estudar o funcionamento conjunto do arco com a abóbada e com respectivo enchimento
do extradorso (caso exista).
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,100
0,120
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
(t/R
)min
α(°)
Capítulo 5 - Caso de Estudo: Igreja Matriz de Bucelas
84
A grande dificuldade no estudo estrutural da nave da Igreja Matriz de Bucelas reside no
desconhecimento da espessura da abóbada, em alvenaria de tijolo cerâmico, e da natureza do
enchimento no seu extradorso.
Nas visitas e inspecções realizadas não foi possível identificar a espessura da abóbada,
mas da observação do seu extradorso e dos relatos do pároco pôde concluir-se que o
enchimento foi (pelos menos parcialmente) removido. Quanto à natureza do reboco executado
sobre o extradorso da abóbada, apenas se pode afirmar tratar-se dum reboco de argamassa
cimentícia, desconhecendo-se a sua espessura e se incorpora armaduras em aço.
Tendo em conta análises estruturais baseadas na aplicação da teoria da análise limite, é
possível identificar, em função da espessura dum arco ou duma abóbada de berço (t) e do seu
raio médio (R), o aumento de vão máximo admissível para que esse arco ou abóbada de berço,
sujeitos apenas à acção do seu peso próprio, permaneçam em equilíbrio.
Na Figura 5.19 representa-se essa variação (Oschendorf, 2002), verificando-se que para
um arco ou uma abóbada de berço de raio interno de 2,92 m um aumento de vão de 35 cm
(6,0%) só é possível, em equilíbrio, caso a abóbada apresente uma relação (t/R) superior a 0,15,
isto é, uma espessura superior a 47 cm. Para um aumento de vão de 22 cm (3,8%) a relação
(t/R) mínima admissível é próxima de 0,13, o que corresponde a uma espessura mínima
admissível de 41 cm.
Estas conclusões foram confirmadas através da aplicação do software de cálculo UDEC
(método dos elementos discretos), tendo-se concluído que uma abóbada de berço com um raio
interno de 2,92 m deverá apresentar uma espessura superior a 49 cm, para que consiga
acomodar, em equilíbrio, um aumento de vão de 35 cm. Para um aumento de vão de 22 cm a
espessura mínima admissível obtida foi de 43 cm (Figura 5.20).
A obtenção de valores mínimos admissíveis da espessura da abóbada ligeiramente
superiores no caso da aplicação do software de cálculo UDEC justifica-se pelo facto de no UDEC
se considerar blocos com comportamento elástico linear e juntas com comportamento elasto-
plástico, enquanto na aplicação da teoria da análise limite se considera um comportamento rígido
dos blocos e rígido-plástico das juntas. Os valores obtidos pelas duas formulações são
suficientemente próximos, embora a simulação através do UDEC seja mais realista.
Na formulação de elementos discretos (UDEC), admitiu-se para os contactos entre
aduelas (juntas) resistência à tracção nula, resistência à compressão ilimitada e resistência ao
corte definida um modelo de Mohr-Coulomb com as propriedades mecânicas representadas na
Tabela 5.2, onde: Es é o módulo de elasticidade, νs o coeficiente de Poisson, γs a densidade, kn é
a rigidez de compressão da junta, ks a rigidez ao corte da junta, c a coesão da junta e Φ o ângulo
de atrito da junta.
Es (GPa) νs γs (kg/m3) kn (Gpa/m) ks (Gpa/m) C (MPa) Φ (º)
Abóbada 1 0,2 2100 1000 1000 0,5 60
Tabela 5.2 Propriedades mecânicas da abóbada.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
85
Figura 5.19 Aumentos de vão admissíveis para uma estrutura arqueada (com um
ângulo de abertura de 2x90°) em função da sua relação espessura -raio médio.
Figura 5.20 Modelos UDEC de arcos com raio interno de 2,92 m, espessura de 43 cm
(cima) e 49 cm (baixo), com aumentos de vão de 22 (cima) e de 35 cm (baixo), que
correspondem ao colapso iminente.
Tendo em conta os níveis de deformabilidade da abóbada da nave central, constata-se
que caso a abóbada apresente um perfil com espessura constante, esta deverá ser superior a 49
cm. Parece ser pouco provável que a abóbada, em alvenaria de tijolo cerâmico, tenha uma
espessura superior a 49 cm, mas considerando a espessura total, incluindo enchimento e reboco
do extradorso, é possível que a espessura total seja dessa ordem de grandeza. Se a espessura
da abóbada (sozinha, ou com o reboco no extradorso) for variável poderá acontecer que no
fecho a abóbada tenha uma espessura inferior ao limite de 49 cm, desde que nas zonas das
impostas apresente uma espessura superior. O estudo da abóbada de espessura variável não foi
realizado em virtude do desconhecimento da lei dessa eventual variação.
Adicionalmente ao aumento de vão (de 35 cm, 22 cm ou 19 cm, consoante o tramo) a
abóbada da nave central da Igreja Matriz de Bucelas está submetida a uma outra solicitação
importante, que é a carga concentrada resultante do apoio da viga de cumeeira em betão (carga
0
4
8
12
16
20
24
0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2 0,24
ΔL
(%)
t/R
Capítulo 5 - Caso de Estudo: Igreja Matriz de Bucelas
86
que se estima ser próxima de 60 kN, tendo em conta valores correntes de pesos próprios de
materiais de construção). Assim, mesmo tendo em consideração que o arco de cantaria poderá
contribuir para a estabilidade da estrutura, a abóbada (sozinha, ou com o reboco no extradorso)
terá de ter uma espessura ligeiramente superior aos 49 cm, correspondentes à situação de
equilíbrio limite com o aumento de vão de 35 cm.
Para efeito do estudo da estabilidade da abóbada e da contribuição do arco de cantaria
para essa estabilidade, admitiu-se que a abóbada apresenta um perfil circular de espessura
constante igual a 60 cm. A consideração dum valor inferior corresponderia a uma situação de
instabilidade numérica que inviabilizaria o estudo computacional.
Nas análises computacionais que se realizaram, utilizando modelos planos de elementos
discretos, e que se apresentam seguidamente, admitiu-se que o arco de cantaria, com 0,17 m de
espessura e 0,30 m de largura, mobiliza uma faixa de abóbada com 1 m de largura (Figura
5.21).
Na formulação de elementos discretos (UDEC) dos elementos arco e abóbada
funcionando em conjunto, admitiu-se para os contactos entre aduelas (juntas) considerou-se
resistência à tracção nula, resistência à compressão ilimitada e resistência ao corte definida por
um modelo de Mohr-Coulomb com as propriedades mecânicas representadas na tabela seguinte
para o arco e para a abóbada, onde: Es é o módulo de elasticidade, νs o coeficiente de Poisson,
γs a densidade, kn é a rigidez de compressão da junta, ks a rigidez ao corte da junta, c a coesão
da junta e Φ o ângulo de atrito da junta.
Es (GPa) νs γs (kg/m3) kn (Gpa/m) ks (Gpa/m) C (MPa) Φ (º)
Abóbada 1 0,2 2100 1000 1000 0,5 60
Arco 10 0,2 630*
1000 1000 0,5 60
Tabela 5.3 Propriedades mecânicas do arco e da abóbada . Nota: *Este valor é
multiplicado por 0,3 que é a largura efectiva do arco.
Admitiu-se para os contactos entre o arco e a abóbada um comportamento elasto-
plástico, sem resistência à tracção, com uma rigidez de compressão de 1000 GPa/m e de corte
de 1000 GPa/m. A resistência ao corte desse contacto é definida por um modelo de Mohr-
Coulomb, com uma coesão nula e um ângulo de atrito de 60º.
Figura 5.21 Comportamento conjunto arco-abóbada. Definição da largura de abóbada
mobilizada.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
87
Inicialmente analisaram-se o equilíbrio da abóbada isolada e da abóbada reforçada com
o arco de cantaria (Figura 5.22), constatando-se que para uma carga concentrada aplicada no
fecho, a abóbada reforçada com o arco de cantaria é mais resistente, correspondendo a uma
carga de colapso superior (Tabela 5.4). Por outro lado, considerando a abóbada isolada o
aumento máximo de vão pelo modelo de elementos discretos foi de 75 cm, ao passo que com o
modelo da abóbada com o arco de cantaria se obteve um aumento de vão de 43 cm até ao
colapso do arco de cantaria. Constata-se, assim, que pese embora o arco não seja capaz de se
suportar a si próprio, quando funcionado em conjunto com a abóbada resulta num aumento
significativo da resistência da abóbada.
Modelo de Elementos Discretos Carga de Colapso
Abóbada com 1 m de largura (e espessura 0,60 m) reforçada por arco com 0,30 m de largura (e espessura 0,17 m)
85 kN
Abóbada isolada com 1 m de largura (e espessura 0,60 m) 35 kN
Tabela 5.4 Cargas de colapso dos modelos UDEC da Figura 5.22.
Figura 5.22 Modelos UDEC da abóbada (com 0 ,60 m de espessura e 1 m de largura)
isolada e reforçada com o arco de cantaria (com 0 ,17 m de espessura e 0,30 m de
largura). Nota: a espessura é medida no plano da figura e a largura medida na
direcção perpendicular à figura.
Figura 5.23 Modelos UDEC da abóbada e reforçada com o arco de cantaria. Situação
de colapso iminente correspondente ao aumento de vão de 10 cm com a carga
aplicada no fecho de 60 kN (imagem superior) e colapso correspondente ao aumento
de vão de 35 cm com a carga aplicada no fecho de 12 kN.
Capítulo 5 - Caso de Estudo: Igreja Matriz de Bucelas
88
Seguidamente estudou-se o comportamento da abóbada reforçada com o arco de
cantaria, submetidos aos seus pesos próprios e à carga concentrada no fecho, que corresponde
ao apoio da viga de cumeeira. Dos estudos numéricos conduzidos com o UDEC concluiu-se que
a abóbada reforçada com o arco de cantaria submetida a uma carga concentrada de 60 kN
(estimativa da carga realmente aplicada) apenas suporta um aumento de vão de cerca de 10 cm
e nunca a amplitude de 35 cm que se observa no local. Com 35 cm de aumento de vão apenas
se consegue aplicar no fecho uma carga máxima de 12 kN. Na Figura 5.23 representam-se as
configurações deformadas da abóbada reforçada com o arco de cantaria, correspondentes às
duas situações limite: iminência do colapso no caso do aumento de vão de 10 cm, com a carga
de 60 kN no fecho; e colapso do arco no caso dum aumento de vão 35 cm com uma carga
aplicada no fecho de 12 kN. De notar a semelhança entre a situação actual e a situação
representada no colapso iminente representado na Figura 5.23.
5.6 - Solução de Reforço Proposta
5.6.1 - Descrição das Soluções de Reforço Propostas
A principal causa para a fendilhação verificada na abóbada da Igreja prende-se com o
aumento de vão desta, provocado, tanto por acções sísmicas como pela carga aplicada no fecho
da abóbada pela cobertura. A escolha das soluções propostas passou pela restrição do
movimento horizontal junto dos apoios recorrendo a tirantes transversais que impedem o
deslocamento horizontal dos apoios e previnem a ocorrência de mais fendilhação. Foram
estudadas duas propostas de reforço, uma (Proposta 1) considerando que os tirantes
atravessam transversalmente as três naves da Igreja e outra (Proposta 2) considerando o tirante
apenas na nave central da Igreja (Figura 5.24). O tirante ensaiado tem um diâmetro (Ø) de
25mm.
Figura 5.24 Proposta 1 (Esq.) e Proposta 2 (Dta.) para o reforço da estrutura.
5.6.2 - Modelação com o UDEC
Na Figura 5.25 apresenta-se o modelo analisado, bem como as dimensões
consideradas. A geometria do modelo baseia-se no levantamento topográfico referido no início
do presente capítulo.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
89
Figura 5.25 Dimensões da estrutura analisada.
Como mencionado anteriormente, a análise foi realizada de modo sequencial.
Inicialmente, o modelo (não reforçado) foi levado a um ponto de equilíbrio sob o seu peso
próprio. Para a estrutura em equilíbrio realizou-se uma análise estática determinando-se as
cargas de colapso no fecho, das duas propostas apresentadas. Após a análise estática realizou-
se uma análise dinâmica aplicando um movimento sísmico na base da estrutura através de uma
velocidade de onda correspondendo a um acelerograma representativo do sismo ocorrido no ano
1969 a cerca de 300 km da costa de Portugal.
De modo a simplificar a análise do modelo, consideraram as seguintes hipóteses: O
conjunto arco+abóbada estudado no capítulo anterior (com as propriedades mecânicas
apresentadas na Tabela 5.3) foi substituído por um único arco com uma espessura de 0,72m.
Esta é a menor espessura que suporta um aumento de vão superior ao crítico do conjunto
arco+abóbada, bem como uma resistência a uma carga aplicada no fecho superior a 85kN
(carga de colapso determinada para o conjunto arco+abóbada).
Para os arcos laterais a espessura utilizada foi de 0,75 m pois é a menor que garante a
estabilidade do modelo da Figura 5.25, tendo em conta as acções actuantes.
As propriedades dos materiais são semelhantes às apresentadas na Tabela 5.3 para a
abóbada, acrescentando-se alguns elementos representativos do carregamento da cobertura e
elementos longitudinais na estrutura.
5.6.3 - Análise das Soluções de Reforço Propostas
5.6.3.1 Análise Estática
As duas propostas de reforço foram inicialmente comparadas através do aumento da
carga aplicada no fecho do arco central que causa o colapso. Os valores obtidos para as cargas
de colapso foram os apresentados na Tabela 5.5.
Capítulo 5 - Caso de Estudo: Igreja Matriz de Bucelas
90
Propostas Carga de Colapso
1 447 kN
2 390 kN
Tabela 5.5 Aumento da carga de colapso para as propostas de reforço apresentadas.
Analisando os resultados, verifica-se que a introdução de tirantes nas naves da Igreja
teve um efeito benéfico, aumentando consideravelmente o valor da carga de colapso.
Comparando as duas propostas de reforço constata-se que a Proposta 1 apresenta uma carga
de colapso cerca de 14,6% maior que a carga de colapso obtida para a Proposta 2.
Constatou-se, então, que pela análise estática efectuada, a Proposta 1 é melhor que a
Proposta 2 não se verificando contudo uma diferença significativa entre as mesmas.
5.6.3.2 Análise Sísmica
O sismo ocorrido em 1969 no Oceano Atlântico, a cerca de 300 km da costa de Portugal
obtido no site The European Strong-Motion Database (ISESD, 2010) foi a base do estudo
realizado. A Figura 5.26 representa o acelerograma do sismo. De referir que o acelerograma
considerado apresenta uma aceleração de pico relativamente reduzida (0,3 m.s-2
).
Figura 5.26 Acelerograma da direcção N/S do Sismo de 1969 na Costa de Portugal .
As propostas de reforço apresentadas foram submetidas ao movimento sísmico causado
pelo acelerograma acima indicado. De modo a comparar a resistência sísmica de cada uma das
propostas, aplicou-se um factor ao acelerograma até causar o colapso da estrutura. Nas figuras
seguintes estão representados os estados finais da estrutura inicial, Proposta 1 e 2 depois de
submetidas ao movimento sísmico.
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 5 10 15 20 25
Ace
lera
ção
(m
/s2)
Tempo (s)
Acelerograma (N/S)
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
91
Estrutura Não Reforçada
Figura 5.27 Estrutura não reforçada submetida ao acelerograma multiplicado por 0,1.
O ensaio dinâmico realizado com a estrutura não reforçada revela que esta apresenta
uma resistência relativamente baixa a movimentos sísmicos aplicados na sua base. Contudo,
neste ensaio não se simula a verdadeira resistência sísmica da Igreja não reforçada, pois no
modelo da Igreja assumiram-se diversas hipóteses simplificativas (substituição do conjunto
arco+abóboda por um arco único; modelo plano, que não considera os efeitos tridimensionais da
estrutura) e outras que se assumiram por se desconhecer a geometria real e os materiais
existentes (cargas aplicadas pela cobertura na estrutura; revestimento no extradorso da
abóboda; espessuras das abóbadas laterais; espessura das paredes exteriores; características
dos materiais em questão).
Todas estas hipóteses, que se distanciam da realidade, influenciaram certamente os
resultados da análise efectuada. De referir que a estrutura, em 1969, resistiu ao sismo
considerado pelo que, não obstante exista uma laje de betão sobre a abóbada, considerada no
modelo, constata-se alguma divergência entre o modelo e a realidade.
Estrutura Reforçada
Figura 5.28 Propostas 1 (Esq.) e 2 (Dta.) submetidas ao acelerograma multiplicado por
1,5.
Capítulo 5 - Caso de Estudo: Igreja Matriz de Bucelas
92
Figura 5.29 Propostas 1 (Esq.) e 2 (Dta.) submetidas ao acelerograma multiplicado por
3.
Figura 5.30 Propostas 1 (Esq.) e 2 (Dta.) submetidas ao acelerograma multiplicado por
4.
Como se pode observar na Figura 5.30 a Proposta 2 apresenta a destruição das naves
laterais, notando-se ainda que as colunas onde se apoia o arco central apresentam-se já
inclinadas, indicando que o colapso é iminente. Pelo contrário a Proposta 1 não apresenta
quaisquer deformações graves.
Figura 5.31 Proposta 1 submetida ao acelerograma multiplicado por (Esq.) 4,5 e (Dta.)
6.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
93
Figura 5.32 Proposta 1 submetida ao acelerograma multiplicado por (Esq.) 8 e (Dta.)
10.
Figura 5.33 Proposta 1 submetida ao acelerograma multiplicado por (Esq.) 12 e (Dta.)
14.
Figura 5.34 Proposta 1 submetida ao acelerograma multiplicado por 15.
Analisando as figuras anteriores é possível avaliar as propostas de reforço quanto à sua
resposta aos movimentos sísmicos. Estes resultados, apesar de serem úteis na comparação
entre as soluções de reforço propostas, são bastante elevados, mesmo tratando-se de um sismo
com pequena aceleração de pico (Figura 5.26)§. Estes valores serão apenas, e tal como já
referido, usados na comparação das duas propostas de reforço apresentadas.
§ É possível verificar na Figura 5.33 que a estrutura se apresenta já com deformações significativas mas,
devido a limitações do software utilizado, não foi possível determinar se a estrutura estaria realmente em
colapso.
Capítulo 5 - Caso de Estudo: Igreja Matriz de Bucelas
94
A Proposta 1 colapsou quando submetida a um movimento sísmico sujeito a um factor de
amplificação de 15. Assim, e comparando com o resultado obtido em relação à Proposta 2,
verifica-se que a resistência ao movimento sísmico quase quadruplicou.
5.7 - Conclusões
Tendo em conta a coincidência de orientação, pode afirmar-se que os arcos em cantaria
da nave central da Igreja Matriz de Bucelas não suportam a abóbada em alvenaria de tijolo, nem
se apoiam nela. Por outro lado, os arcos apresentam espessura insuficiente para que,
funcionando isoladamente, se mantenham estáveis sob acção do seu peso próprio, sendo o seu
equilíbrio resultante da acção conjunta do arco com a abóbada adjacente. Verificou-se que o
elemento composto “arco-abóbada” apresenta uma resistência última, para comportamento no
seu plano, superior à da abóbada isolada, pelo que os arcos em cantaria podem ser entendidos
como elementos de reforço da abóbada. Esses reforços são eficazes para carregamentos
verticais (mas não para deslocamentos impostos) e para a rigidificação transversal da nave, o
que tem efeitos favoráveis do ponto de vista da acção sísmica.
A abóbada da nave central da Igreja Matriz de Bucelas apresenta patologias estruturais
muito graves, sendo de salientar as grandes deformações resultantes dos aumentos de vão (de
19 a 35 cm). Da análise histórica não foi possível identificar a origem destas patologias, sendo
provável que algumas existissem antes do sismo de 1969 (pelo menos, em 1953 são
referenciados deslocamentos das aduelas e deformações na abóbada). É conhecido que o sismo
de 1969 danificou a abóbada da nave central da Igreja, agravando os danos existentes, o que
conduziu a uma intervenção de reparação. Do ponto de vista estrutural, embora desconhecendo
a extensão e filosofia dos trabalhos realizados tudo indica que o objectivo de estabilização da
abóbada e dos arcos não foi conseguido (os danos na abóbada e nos arcos permanecem e
agravaram-se). Embora se desconheça se foram tomadas outras medidas correctivas com efeito
benéfico sobre a estrutura, pode afirmar-se que a remoção do “carrego” da abóbada, realizada
nessa obra, e o apoio da viga de cumeeira no fecho dos arcos foram prejudiciais para a abóbada.
É possível que os danos na abóbada e nos arcos tenham aumentado após essa intervenção,
tendo estabilizado na situação actual, a qual se pode considerar de equilíbrio precário (de notar a
semelhança entre a situação actual e a situação representada na Figura 5.23).
Os danos visíveis na abóbada e arcos, em particular as deformações e os aumentos de
vão dos primeiros tramos, as articulações nos arcos, as roturas por esmagamento de aduelas e a
confirmação, através de estudos numéricos e analíticos, de que a situação actual é de grande
instabilidade recomendam a consideração de medidas de escoramento e de reforço da abóbada,
bem como de rectificação do actual sistema estrutural da cobertura com apoio sobre o fecho dos
arcos. É de referir que esta necessidade de reforço da estrutura actual assenta nas análises
realizadas a um modelo considerando as diversas hipóteses simplificativas apontadas ao longo
deste trabalho. Estas poderão ter causado uma divergência entre o comportamento do modelo e
o real.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
95
As análises estáticas e dinâmicas efectuadas permitiram avaliar duas propostas de
reforço possíveis. Na primeira a diferença entre a Proposta 1 e 2 é de 14,6% (de 390 kN para
447kN). Na segunda constatou-se que esta diferença entre as propostas é maior, sendo que a
resistência ao movimento sísmico quase quadruplica. Pode-se então concluir que apesar de
estaticamente as duas propostas apresentarem resultados para a carga de colapso bastante
próximos, na análise sísmica a Proposta 1 apresenta um comportamento muito melhor que o da
Proposta 2.
De salientar que durante a execução do presente estudo foi efectuada um reforço
estrutural dos arcos da nave principal de Igreja, através do preenchimento de juntas com
argamassa e da execução de “gateamentos” de aduelas (Figura 5.35). Essa operação, não
obstante poder apresentar benefícios do ponto de vista estrutural, não parece solucionar o
problema e poderá induzir uma sensação de segurança estrutural inexistente.
Figura 5.35 Recente intervenção de reforço dos arcos da nave principal da Igreja
Matriz de Bucelas.
97
Capítulo 6 - Conclusões e Perspectivas de Desenvolvimentos
Futuros
6.1 - Conclusões
O principal avanço na verificação da estabilidade do arco de alvenaria consistiu na
determinação do conceito da linha de pressões. Esta permite avaliar a estabilidade do arco
através do conhecimento da sua localização. Se esta estiver totalmente contida dentro da
espessura total do arco, então conclui-se que o arco está em equilíbrio, pois garante que apenas
se verificariam tensões de compressão na estrutura.
Recorrendo ao conceito de linha de pressões, à Teoria da Análise Limite foi possível
determinar a espessura mínima admissível (t/Rmin) para estruturas arqueadas planas com
diferentes ângulos de abertura. Para um arco circular com um ângulo de abertura de 180º a
espessura mínima admissível determinada através de métodos analíticos apresentados no
Capítulo 3 foi de 0,1074. Estes valores possibilitaram uma avaliação da estabilidade da estrutura
conhecendo apenas a geometria dos arcos da Igreja Matriz de Bucelas se estes se encontravam
ou não em equilíbrio.
A determinação do aumento de vão crítico é também um factor essencial na verificação
da estabilidade de uma estrutura arqueada. Na sua grande maioria, as estruturas arqueadas
apresentam-se já deformadas, pelo que o conhecimento do aumento de vão que vai causar o
colapso da estrutura é também um elemento essencial na avaliação da estabilidade destas
estruturas. Na presente dissertação recorreu-se mais uma vez ao conceito da linha de pressões
à Teoria da Análise Limite para determinar qual o aumento de vão que causará o colapso para
diversas geometrias. Os valores obtidos através destes cálculos foram confrontados com valores
obtidos através do Método dos Elementos Discretos, recorrendo-se ao software UDEC. Os
valores alcançados através do UDEC foram nalguns casos bastante inferiores aos obtidos
através da Teoria da Análise Limite, possibilitando constatar que as estruturas em arco não
apresentam o comportamento indicado no parágrafo anterior (compressão ilimitada e
escorregamento relativo nulo).
Capítulo 6 - Conclusões e Perspectivas de Desenvolvimentos Futuros
98
A capacidade resistente de uma estrutura arqueada é também um factor bastante
importante na avaliação da sua segurança estrutural. Para determinar a carga de colapso de
uma estrutura arqueada recorreu-se ao software RING, e mais uma vez ao UDEC, de maneira a
comparar os valores entre os dois métodos. Os valores obtidos pelo RING foram em todos os
casos superiores aos obtidos através do UDEC, permitindo mais uma vez comprovar que as
assumpções dos capítulos anteriores influenciam o valor da carga de colapso da estrutura.
É de notar que o Método dos Elementos Discretos foi seleccionado nesta dissertação por
ser mais adequado à simulação de estruturas em blocos ou onde a fendilhação é mais
localizada. Noutros métodos (p.e. Método dos Elementos Finitos), apesar de serem mais fiáveis,
a obtenção de resultados é mais difícil.
A análise de estruturas arqueadas tridimensionais foi realizada através a divisão destas
em arcos planos. Esta simplificação permitiu a análise da abóbada da Igreja Matriz de Bucelas,
resultando ainda na apresentação de duas propostas de reforço, pela introdução de tirantes
transversais ao longo das naves da Igreja. O processo de análise da estrutura e propostas de
reforço consistiu nos seguintes passos:
1. Estudo histórico da estrutura;
2. Levantamento fotográfico dos elementos da estrutura, focando-se nas deformações
principais;
3. Levantamento topográfico da geometria da estrutura;
4. Definição das características materiais da estrutura;
5. Modelação da estrutura no software UDEC;
6. Avaliação da capacidade resistente da estrutura não reforçada;
7. Apresentação de Propostas de Reforço;
8. Avaliação estática e dinâmica das propostas apresentadas;
As soluções, estudadas através do software UDEC, melhoraram o comportamento
estático e dinâmico da estrutura em questão. A introdução destes tirantes no modelo UDEC
resultou, num dos casos, no aumento da carga de colapso de 60 kN para um valor 7,45 vezes
maior (introdução de tirantes transversais ao longo das três naves da Igreja). Embora este estudo
se tenha focado essencialmente no comportamento estático de estruturas arqueadas, as
Propostas de reforço foram ainda comparadas através da introdução de um movimento sísmico
no modelo. Esta avaliação foi realizada recorrendo ao registo de um sismo, cuja intensidade foi
gradualmente amplificada até causar o colapso da estrutura. A Proposta 1 apresentou um
comportamento sísmico superior, tendo suportado o sismo amplificado quinze vezes, enquanto a
Proposta 2 suportou o sismo amplificado apenas quatro vezes. Assim, pela análise efectuada a
Proposta 1 apresenta-se como uma melhor solução para garantir a segurança estrutural da
Igreja.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
99
6.2 - Desenvolvimentos Futuros
Relativamente aos desenvolvimentos futuros para a presente dissertação, estes
assentam principalmente na realização de análises dinâmicas considerando:
1) O arco como um elemento isolado;
2) O arco com enchimento no extradorso;
No que ao caso de estudo diz respeito, os desenvolvimentos previstos assentam nas
seguintes frentes principais:
1) Melhor caracterização dos elementos constituintes das estruturas analisadas, através
de ensaios aos materiais in-situ;
2) Melhor definição da geometria da estrutura, nomeadamente da cobertura e da
espessura da abóbada, de maneira a obter resultados mais fiáveis para as diversas análises a
efectuar;
3) Aplicação de modelos tridimensionais, em substituição dos tradicionais modelos planos
de análise que consideram estas estruturas como uma sucessão de arcos com funcionamento
bidimensional;
Ainda respeitante ao caso de estudo apresentado a obtenção de informação sobre a
intervenção efectuada após o sismo de 1969 e de mais informações do extra-dorso (apenas se
encontram disponíveis algumas fotografias disponibilizadas pelo orientador deste trabalho)
permitiriam uma melhor avaliação do estado actual e capacidade resistente da estrutura.
101
Capítulo 7 - Bibliografia
[1] Appleton, J.; Nunes da Silva, J.; 1992; Reabilitação e Reforço da Ponte de Tavira; Textos
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Capítulo 7 - Bibliografia
102
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Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
103
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[45] Tomazevic, M.; 1999; Repair and strengthening of masonry buildings; Earthquake-
Resistent Design of Masonry Buildings ; Slovenian National and Civil Engineering
Institute; Ljubljana; Slovenia
I-1
ANEXO 1
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
I-3
I. Programa ArchSpread (adaptado de Ochsendorf, 2002)
% Qual a Geometria do Arco?
anguloarco = input('Qual o ângulo de abertura do arco (graus)?');
alpha = (pi/180)*(anguloarco);
t_over_R = input('Qual a relação t/R?');
v = input('Qual o tamanho de cada aduela (graus)?');
% Variáveis
impulsomin = [0];
afastamento = [0];
afastamentomax= [10];
impulsomax = [1];
fail = [0];
variacaoimpulso = [0];
acrit=[0];
vrads=v*(pi/180);
% Coordenadas do Ponto O - Origem
X_O=[0];
Y_O=[0];
phi=[0];
% Considerando o raio interior igual a 1, obtém-se o valor de R
% Cálculo de t e h, em função de t/R
R = t_over_R/2+1;
t = R*t_over_R;
h = t/2;
L = (2*R-t)*sin(alpha);
% Cálculo do raio interior e raio exterior
r1 = R-h;
r2 = R+h;
ap=1+t^2/(12*R^2);
% Coordenadas do ponto C no fecho do arco
XC = [0];
YC = R+h;
% Coordenadas do ponto D no extradorso do arco no apoio
XD = (r1+t)*sin(alpha);
YD = (r1+t)*cos(alpha);
% Ângulo a é um número inteiro entre o fecho e o apoio
amin = [0];
amax = amin + (anguloarco);
bmax=anguloarco/v;
for b = 1 : bmax
a = amin + b*(amax-amin)/bmax;
% Ângulo a em radianos e coordenadas da rótula A nas impostas
Anexo 1
I-4
arads = (pi/180)*a;
XA = (R-h)*sin(arads);
YA = (R-h)*cos(arads);
% Coordenadas do CM do troço superior
XM = 2*R*(sin(arads/2))^2*ap/arads;
M = arads*R*t;
% Valor do Impulso horizontal
rise = (YC-YA);
impulso = (M*(XA-XM))/(rise);
if impulso > impulsomin
impulsomin=impulso;
ainit=a;
end
end
% Valor inicial da localização da rótula e do impulso mínimo.
ainit
impulsomin
%-----------------------------------------------------------
% Começar a impor deslocamentos e encontrar nova posição e impulso
% Deslocamentos Horizontais
% Encontrar rótulas possíveis
% Coordenadas do fecho após deslocamento
XC = [0];
YC = r1+t;
% Ângulo em radianos e posição da rótula no intradorso
% Posição da rótula correspondente à aduela mais próxima
n=(ainit/v);
o=(anguloarco/v);
q=[0];
p=(n-q)*v;
prads = (pi/180)*p;
XA = (R-h)*sin(prads);
YA = (R-h)*cos(prads);
% CM e Peso do troço superior
XM1 = 2*R*(sin(prads/2))^2*ap/prads;
YM1 = 2*R*(sin(prads/2)*cos(prads/2))*ap/prads;
M1 = prads*R*t;
% Hmax para a posição da rótula
% Coordenadas do CM do troço inferior
alfa=alpha-prads;
XM2 = 2*R*sin((alfa)/2)*sin((prads+alpha)/2)/alfa*ap;
M2 = (alfa)*R*t;
% Impulso Máximo no troço inferior
Hmax = (M2*(XD-XM2) + M1*(XD-XA))/(YA-YD);
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
I-5
% Comprimento e orientação inicial do segmento AC
LAC = (((XA-XC)^2+(YC-YA)^2)^.5);
phiac = atan((YC-YA)/(XA));
% Aumento de vão máximo até ao “snapthrough”
XCMAX=LAC-XA;
% Iniciar o deslocamento do fecho
for c=1:1000
% Responder com o valor variacaoimpulso=100 se não houver convergência
if c>999
impulsomax=100*impulsomin;
acrit=p;
break
break
end
% Posição crítica do ponto C no colapso
XC = -XCMAX*c/1000;
% “snap-through” SIM ou NÃO?
if LAC^2>(XA-XC)^2
YC = ((LAC^2-(XA-XC)^2)^.5)+YA;
end
% Ângulo rodado até agora é phiac-phic
phic=asin((YC-YA)/LAC);
phi=phiac-phic;
% Nova Origem O'
X_O=XA-r1*sin(prads-phi);
Y_O=YA-r1*cos(prads-phi);
% Novo CM do Troço Superior
ang1= pi/2-prads/2+phi;
XM1 = X_O+2*R*sin(prads/2)*ap/prads*cos(ang1);
YM1 = Y_O+2*R*sin(prads/2)*ap/prads*sin(ang1);
% Cálculo do impulso
rise = (YC-YA);
impulso = (M1*(XA-XM1))/(rise);
aumento=impulso/impulsomin;
% Resultados do impulso e aumento de vão para mostrar no fim results(c)=increase;
xvalue(c,1)=-200*XC/L;
% “snap-through” SIM ou NÃO?
if YC<YA
if YA<YD
impulsomax=1000*impulsomin;
acrit=p;
break
Anexo 1
I-6
break
break
end
end
% Ver se a condição de colapso é satisfeita e a LP atinge o extradorso
if YA>YD
if impulso>Hmax
impulsomax=Hmax;
acrit=p;
break
break
break
end
end
% Verificar se há movimento da rótula
% Verificação da existência de rótulas até ao fecho
Rd=r1;
f=[1];
angv=pi/2-prads+f*vrads+phi;
Xv=X_O+2*R*sin(f*vrads/2)/(f*vrads)*ap*cos(angv);
Yv=Y_O+2*R*sin(f*vrads/2)/(f*vrads)*ap*sin(angv);
m = f*vrads*R*t;
% Orientação da aduela a partir do plano horizontal
sum=pi/2-prads+f*vrads+phi;
% Raio do ponto de pressão 1 aduela à esquerda da rótula na imposta
Rf=((M1-f*m)*(XA-X_O)+impulso*(YA-Y_O)-f*m*(Xv-A))/(impulso*sin(sum)+(M1-f*m)*cos(sum));
% Verificação da localização da LP em relação ao arco
% No caso de movimentaçao da rótula, calcular nova geometria
% Ponto referente à localização da rótula
% Para considerar rótula fixa, alterar (<r1) por (>1000)
if Rf<r1;
% Aumento de vão quando a rótula se move a 1ª vez
if q<1
movimentodevao=-200*XC/L;
dipmove=(r2-YC)/t;
mudancaimpulso=impulso/impulsomin;
end
q=q+1;
aumentovao=-200*XC/L;
p=(n-q)*v;
prads = (pi/180)*p;
XA = (R-h)*sin(prads);
YA = (R-h)*cos(prads);
% Hmax para a nova localização da rótula
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
I-7
alfa=alpha-prads;
XM2 = 2*R*(sin(alfa/2)*sin(prads+alfa/2))/alfa*ap;
YM2 = 2*R*(sin(alfa/2)*cos(prads+alfa/2))/alfa*ap;
M2 = (alfa)*R*t;
Hmax = (M2*(XD-XM2) + M1*(XD-XA))/(YA-YD);
% Comprimento e orientação de AC
LAC = (((XA)^2+(r2-YA)^2)^.5);
phiac = atan((r2-YA)/(XA));
% Nova posição do fecho do arco --- “snap-through” SIM ou NÃO?
if (XA-XC)>LAC
impulsomax=Hmax;
acrit=p;
break
break
break
end
YC = ((LAC^2-(XA-XC)^2)^.5)+YA;
phic=asin((YC-YA)/LAC);
% Ângulo rodado até aqui é phiac-phic
phi=phiac-phic;
% Nova Origem O'
X_O=XA-r1*sin(prads-phi);
Y_O=YA-r1*cos(prads-phi);
% Peso do troço superior
M1 = prads*R*t;
% Novo CM do troço superior
ang1=pi/2-prads/2+phi;
XM1 = X_O+2*R*sin(prads/2)*ap/prads*cos(ang1);
YM1 = Y_O+2*R*sin(prads/2)*ap/prads*sin(ang1);
rise = (YC-YA);
impulso = (M1*(XA-XM1))/(rise);
% Guardar resultados para mostrar no fim
% “snap-through” SIM ou NÃO?
if YC<YA
impulsomax=1000*impulsomin;
acrit=p;
break
break
break
break
end
% Verificar se LP está dentro dos limites do arco no apoio
Anexo 1
I-8
if YA>YD
if impulso>Hmax
impulsomax=Hmax;
acrit=p;
break
break
break
break
end
end
end
end
% Calculo dos pontos da LP no colapso:
% Orientação da aduela a partir do plano horizontal
for i = 1 : (n-q+1)
% CM da aduela a partir da rótula
angi=pi/2-prads+i*vrads/2+phi;
Xvi=X_O+2*R*sin(i*vrads/2)*cos(angi)/(i*vrads)*ap;
Yvi=Y_O+2*R*sin(i*vrads/2)*sin(angi)/(i*vrads)*ap;
mi = i*vrads*R*t;
sumi=pi/2-prads+(i-1)*vrads+phi;
Ri=((M1-mi)*(XA-X_O)+impulsomax*(YA-Y_O)-mi*(Xvi-XA))/(impulsomax*sin(sumi)+(M1-
mi)*cos(sumi));
pressao=(Ri-r1)/t;
press(i)=pressao;
% Pontos y da LP para o gráfico
loc(i)=Ri*sin(sumi)+Y_O;
iv(i)=X_O+(Ri*cos(sumi));
radi(i)=r1*sin(sumi)+Y_O;
r1i(i)=X_O+(r1*cos(sumi));
radi2(i)=r2*sin(sumi)+Y_O;
r2i(i)=X_O+(r2*cos(sumi));
end
% Limites do troço inferior
for j = 1 : (o-n+q+1)
sumj=pi/2-alpha+(j-1)*vrads;
radb(j)=r1*sin(sumj);
r1j(j)=(r1*cos(sumj));
rad2b(j)=r2*sin(sumj);
r2j(j)=(r2*cos(sumj));
end
% Pontos da LP no troço inferior
for k = 1 : (o-n+q+1)
% CM da aduela a seguir à rótula
Xvk=2*R*sin((k-1)*vrads/2)*cos(pi/2-alpha+(k-)*vrads/2)/((k-1)*vrads)*ap;
sumk=pi/2-alpha+(k-1)*vrads;
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
I-9
Rk=(m*o*XD+m*XD-m*k*Xvk+impulsomax*YD)/(impulsomax*sin(sumk)+m*(o-+1)*cos(sumk));
ylocus=Rk*sin(sumk);
xlocus=Rk*cos(sumk);
if k>(o-n+q)
ylocus=r1*sin(sumk);
xlocus=r1*cos(sumk);
end
if k<2
ylocus=r2*sin(sumk);
xlocus=r2*cos(sumk);
end
% Guardar valores da LP, para imprimir no gráfico final
locb(k)=ylocus;
kv(k)=xlocus;
end
% Linhas do Gráfico
for x=1:round(XD+2)
lined(x)=(x-1)/tan(alpha);
xval(x)=x-1;
end
for z=1:round(r2+1)
lino(z)=z-1;
zval(z)=0;
end
beta=atan(XA/YA);
for y=1:round(XA+t+1)
lina(y)=(y-1)/tan(beta);
yval(y)=y-1;
end
beta2=atan((XA-X_O)/(YA-Y_O));
wmax=round(r2*sin(beta2)+.5);
for w=1:wmax+1
lina2(w)=Y_O+(w-1)/tan(beta2);
wval(w)=X_O+w-1;
end
smax=round(r2*sin(prads-beta2)+.5);
for s=1:smax+1
linc(s)=Y_O+(s-1)/tan(prads-beta2);
sval(s)=X_O-s+1;
end
for wr=1:2
linm1(wr)=Y_O;
wrval(wr)=X_O;
if wr>1
linm1(wr)=YM1;
wrval(wr)=XM1;
end
end
Anexo 1
I-10
% Valores finais como output
aumentovao=-200*XC/L;
aumentoimpulso=impulsomax/impulsomin;
dip=(r2-YC)/t;
acrit
aumentovao
aumentoimpulso
dip
grid on
plot(wrval,linm1,iv,loc,kv,locb,r1i,radi,r2i,radi2,r1j,radb,r2j,rad2b,xval,lined,zval,lino,yval,lina,wval,lina2,sva
l,linc)
axis([Y_O,r2,Y_O,r2])
xlabel('Coordenada X, cm'),ylabel('Coordenada Y, cm')
Comportamento estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas
II-1
ANEXO 2
Anexo 2
II-2
Arco 2: vista do lado do altar.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
II-3
Arco 3: vista do lado da entrada principal.
Anexo 2
II-4
Arco 3: vista do lado do altar.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
II-5
Arco 4: vista do lado da entrada principal.
Anexo 2
II-6
Arco 4: vista do lado do altar
.
Comportamento Estrutural de Edifícios Antigos – Estruturas Arqueadas Planas
II-7
Arco 5: vista do lado da entrada principal.
Anexo 2
II-8
Arco 5: vista do lado do altar.
III-1
ANEXO 3
Anexo 3
III-2
Sismo de 28 de Fevereiro de 1969
Registo: European Strong-Motion Database
Date Time
[UTC] Name Magnitude Station
Local
Geology
Δ
[km]
PHA
[m/s²]
PVA
[m/s²]
28/02/1969 02:40:31 Off coast of
Portugal 7.8Mw
Lisbon-
Tejo alluvium 332 0,258 0,116
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 5 10 15 20 25
Ace
lera
ção
(m
/s2)
Tempo (s)
Acelerograma (N/S)
-0,05
-0,025
0
0,025
0,05
0 5 10 15 20 25
Ve
loci
dad
e (
m/s
)
Tempo (s)
Registo de Velocidades
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