tesis de licenciatura modelado matemático de la
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UNIVERSIDAD DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRES
Facultad de Ciencias Exactas
Tesis de Licenciatura
Modelado matemático de la Leptospirosis considerando crecimiento logístico en
la población de ratones
Gallego, María Alejandra
Directora: Simoy, Verónica
Agradecimientos
A Verónica Simoy por haberme propuesto trabajar en el área de la matemática aplicada con
el fin de desarrollar mi tesis de grado a partir de una problemática biológica, la Leptospirosis.
Gracias por haberme acompañado durante todo el proceso de formación con paciencia, dedicación
y siempre con alegría.
Al grupo de Ecosistemas por hacerme recibido y hecho sentir muy cómoda en su lugar de
trabajo.
A mis amigos y compañeros de la facultad Emiliana, Valeria, Marcela, Isis, Victoria, Agustín,
Franco y Pablo.
Quiero en especial agradecer a las personas más importantes en vida, los que siempre
estuvieron y van a estar, y que no alcanzan las palabras para decir cuánto los amo, que son mi
mamá Lidia, mi papá Juan José, mi hermana Fernanda y mi novio Pedro.
Finalmente, a todos los profesores que me formaron durante la carrera de la Licenciatura en
Matemática.
Prefacio
El objetivo de este trabajo de tesis es construir un modelo matemático para el estudio de la
dinámica de la enfermedad de leptospirosis cuando se considera que hay interacción entre dos
especies diferentes, humanos-roedores y además cuando la población de roedores presenta un
crecimiento logístico.
Con este fin se estructuró a la población de humanos, con respecto a la infección, en tres
estados: humanos susceptibles, infectados y recuperados y a la población de roedores en
susceptibles e infectados y se desarrolló un modelo basado en un sistema de ecuaciones
diferenciales no lineales acopladas para describir la dinámica de cada uno de los estados, antes
mencionados.
Finalmente, se utilizó el modelo para analizar cuándo la infección tenderá a desaparecer en
la población y se propusieron algunas medidas de control.
Para llevar a cabo este objetivo se estructuró el trabajo de tesis de la siguiente manera. En el
Capítulo I se estudiarán los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con
dimensión y nos enfocaremos en su resolución analítica. En el Capítulo II se estudiarán
algunas de las herramientas matemáticas que permiten describir las soluciones de los sistemas
de ecuaciones diferenciales de primer orden sin necesidad de explicitarlas. Tales son los puntos
de equilibrio, sus clasificaciones y su estabilidad. En el Capítulo III veremos la resolución
numérica de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, es decir, nos enfocaremos
en los métodos numéricos que nos permitirán aproximar la solución de dicho sistema. Estos
tres primeros capítulos son la base matemática para el desarrollo de los capítulos posteriores.
En los capítulos IV y V estudiaremos algunos de los modelos matemáticos epidemiológicos
basados en sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden cuando se estructura la población
en relación al estado de la infección. En el capítulo IV nos enfocaremos en aquellos que modelan la
dinámica de la enfermedad cuando esta solo afecta a una población homogénea, mientras que en el
capítulo V la enfermedad afecta a poblaciones heterogéneas y/o a especies distintas que
interactúan entre sí. En ambos capítulos daremos sus principales características y propiedades y
definiremos conceptos fundamentales de la epidemiología, como por ejemplo el número
reproductivo básico, . Estos capítulos son la base de este trabajo de tesis ya que a partir de ellos
se podrá desarrollar el capítulo VII, nuestro objetivo.
En el capítulo VI describiremos la enfermedad de la leptospirosis y haremos una síntesis de
los modelos existentes sobre la propagación de la misma.
Finalmente, en el capítulo VII formularemos un modelo matemático epidemiológico de la
leptospirosis cuando consideramos que hay interacción entre dos especies distintas, humanos -
roedores. En nuestro modelo, a diferencia de los preexistentes, la dinámica poblacional de los
roedores presenta un crecimiento logístico. Además buscaremos cuáles son los parámetros que
hacen que la enfermedad prospere o no y por último propondremos medidas de control basadas en
los parámetros antes mencionados.
Índice general
1. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.
1.1. Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.
1.1.1. Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.
1.2. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.
1.2.1. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden homogéneo . . . . . . . . . . 3.
1.2.2. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no homogéneo . . . . . . .6.
1.2.3. Método de variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.
1.3. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.
1.4. Sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18.
2. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.
2.1. Sistemas autónomos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.
2.1.1. Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.
2.2. Puntos de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23.
2.2.1. Descripción geométrica de los puntos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23.
2.2.2. Estabilidad de los puntos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.
2.2.3. Análisis cualitativo de los sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.
2.2.4. Análisis cualitativo de los sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.
2.2.4.1. Método directo de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.
3. Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden . . . . . . . . . . . 38.
3.1. Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38.
3.2. Métodos de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40.
3.3. Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.
3.3.2. Runge Kutta orden 2 o Euler mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42.
3.3.3. Runge Kutta orden 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.
3.3.3. Runge Kutta orden 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.
3.4. Errores en la aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.
3.5. Método numérico para sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46.
3.5.1. Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46.
3.5.2. Método de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47.
4. Modelos Epidemiológicos Clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49.
4.1 Formulación matemática del modelo SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.
4.1.1. Modelo SI sin demografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50.
4.2.1.1 Estudio de los puntos críticos y su estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53.
4.1.2. Modelo SI con demografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53.
4.1.2.1. Tiempo medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso . . . 54.
4.1.2.2. Número reproductivo básico, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.
4.1.2.3. Estudio de los puntos críticos y su estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56.
4.2 Formulación matemática del modelo SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.
4.2.1. Modelo SIS sin demografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56.
4.2.1.1. Tiempo medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso. . . .58.
4.2.1.2. Número reproductivo básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58.
4.2.1.3. Estudio de los puntos críticos y su estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58.
4.2.2. Modelo SIS con demografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58.
4.2.2.1. Tiempo medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso . . . 59.
4.2.2.2. Número reproductivo básico, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..60.
4.2.2.3. Estudio de los puntos críticos y su estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60.
4.3 Formulación matemática del modelo SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.
4.3.1 Modelo SIR sin demografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.
4.3.1.1 Tiempo medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso . . . .62.
4.3.1.2 Número reproductivo básico, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63.
4.3.1.3 Número máximo de infecciosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.
4.3.1.4. Causa de la desaparición de la infección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64.
4.3.1.5. Estudio de los puntos críticos y su estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65.
4.3.2. Modelo SIR con demografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 66.
4.3.2.1. Número máximo de infecciosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.
4.3.2.2. Tiempo medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso . . . 68.
4.3.2.3. Número reproductivo básico, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68.
4.3.2.4. Estudio de los puntos críticos y su estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68.
5. Modelos epidemiológicos para poblaciones estructuradas y/o comunidades . . . . . . . . . . . . . . . .71.
5.1. Modelo epidemiológico para poblaciones heterogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.
5.1.1. Tiempo medio que un individuo permanece infectado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73.
5.1.2. Formulación del . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74.
6. Modelos preexistentes de la propagación de leptospirosis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77.
6.1. Descripción de la leptospirosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.
6.2. Revisión de los modelos para la leptospirosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78.
6.2.1. Modelado de la leptospirosis en la rata africana, Mastomys natalensis, para
determinar el riesgo en humanos: Fluctuaciones estacionales y el impacto del control del
roedor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78.
6.2.2. Un modelo determinista para la propagación de la leptospirosis en Tailandia . . .80.
6.2.3. Modelo matemático para la transmisión de leptospirosis en humanos jóvenes y
adultos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.
6.2.4. Modelando las interacciones entre el vector infectado y la población humana . .82.
6.2.5. Un modelo matemático para la leptospirosis humana y animal . . . . . . . . . . . . . . 83.
7. Modelado matemático de la leptospirosis considerando crecimiento logístico en la población
de ratones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85.
7.1. Formulación del modelo matemático epidemiológico para la leptospirosis . . . . . . . . . . 85.
7.2. Análisis de los equilibrios del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88.
7.3. Formulación del . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92.
7.4. Simulaciones numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94.
7.5. Medidas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98.
Biografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99.
1
CAPÍTULO I
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales de
Primer Orden
En el estudio de un problema de Matemática Aplicada pueden distinguirse esencialmente tres
etapas: la formulación matemática del problema, la resolución del problema matemático y
finalmente la interpretación de los resultados obtenidos. En este capítulo, nos enfocaremos en la
segunda etapa, más específicamente en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales de
primer orden.
1.1. Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden
Definición 1.1. Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con dimensión n (SEDPOn)
es un conjunto de n ecuaciones diferenciales de primer orden con n funciones incógnitas
𝑥1(𝑡)… , 𝑥𝑛(𝑡) que dependen de una sola variable independiente t y su representación viene dada
por
{
𝑑𝑥1(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑓1(𝑡, 𝑥1(𝑡)… , 𝑥𝑛(𝑡))
⋮𝑑𝑥𝑛(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑓𝑛(𝑡, 𝑥1(𝑡)… , 𝑥𝑛(𝑡))
donde 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 son las funciones de las 𝑛 + 1 variables 𝑡, 𝑥1, … , 𝑥𝑛.
Este sistema puede ser escrito en su forma equivalente
𝑋′ = 𝐹(𝑡, 𝑋)
donde 𝑋: 𝐼 ⊆ ℝ → ℝ𝑛 es la función vectorial 𝑋(𝑡) = (𝑥1(𝑡), … , 𝑥𝑛(𝑡))𝑡 cuya derivada es
𝑋′(𝑡) = (𝑑𝑥1(𝑡)
𝑑𝑡, … ,
𝑑𝑥𝑛(𝑡)
𝑑𝑡)
𝑡
y 𝐹(𝑡, 𝑋): 𝐼 × ℝ𝑛 → ℝ𝑛 es la función vectorial 𝐹(𝑡, 𝑋) = (𝑓1(𝑡, 𝑥1, … , 𝑥𝑛), … , 𝑓𝑛(𝑡, 𝑥1, … , 𝑥𝑛))𝑡 .
Ejemplo 1.1. El siguiente es un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑥𝑦 + 2𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 4𝑥2 + 𝑦
donde 𝑓1(𝑡, 𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 2𝑦2 y 𝑓2(𝑡, 𝑥, 𝑦) = 4𝑥
2 + 𝑦.
2
Definición 1.2. Una solución de SEDPOn es toda función vectorial 𝑋: 𝐼 ⊆ ℝ → ℝ𝑛 cuyas
componentes son las funciones 𝑥1(𝑡), … , 𝑥𝑛(𝑡) que satisfacen dicho sistema, es decir, a todas y
cada una de las ecuaciones del mismo.
Definición 1.3. Un SEDPOn con condición inicial 𝑋(𝑡0) = 𝑋0 ∈ ℝ
𝑛 con 𝑡0 ∈ 𝐼 tiene la siguiente
formulación
{𝑋′ = 𝐹(𝑡, 𝑋)
𝑋(𝑡0) = 𝑋0.
1.1.1. Teoremas de existencia y unicidad
Al estudiar los sistemas de ecuaciones diferenciales, lo primero que analizamos, como es
habitual, es la existencia y unicidad de soluciones. A continuación enunciamos los teoremas que nos
garantizan la existencia y unicidad de las soluciones.
Teorema 1.1. Considérese el SEDPOn con condiciones iniciales
{𝑋′(𝑡) = 𝐹(𝑡, 𝑋)
𝑋(𝑡0) = 𝑋0.
Si 𝐹(𝑡, 𝑋) es continua y acotada en 𝐼 × ℝ𝑛 entonces el problema de valor inicial tiene al menos una
solución en 𝐼.
Teorema 1.2. Considérese el sistema de ecuaciones de primer orden {𝑋′(𝑡) = 𝐹(𝑡, 𝑋)
𝑋(𝑡0) = 𝑋0 𝑡 ∈ 𝐼 ⊆ ℝ.
Si se verifican las condiciones
1. 𝐹(𝑡, 𝑋) es continua en 𝐼 × ℝ𝑛
2. Se verifica la condición de Lipschitz respecto de la segunda variable en 𝐼 × ℝ𝑛, es decir
existe una constante 𝐿 > 0 tal que para todo 𝑡 ∈ 𝐼 y todo 𝑋 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛), 𝑌 = (𝑦1, … , 𝑦𝑛) ∈ ℝ𝑛
se verifica que |𝐹(𝑡, 𝑋) − 𝐹(𝑡, 𝑌) | ≤ 𝐿|𝑋 − 𝑌|.
Entonces el problema de valor inicial tiene una única solución en 𝐼.
Corolario 1.1. Considérese el sistema de ecuaciones de primer orden {𝑋′(𝑡) = 𝐹(𝑡, 𝑋)
𝑋(𝑡0) = 𝑋0 𝑡 ∈ 𝐼 ⊆ ℝ.
Si 𝐹(𝑡, 𝑋) es continua en 𝐼 × ℝ𝑛 y para cada 𝑖 = 1,… , 𝑛 existen 𝜕𝑓1
𝜕𝑥𝑖, … ,
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥𝑖 y son continuas en
𝐼 × ℝ𝑛. Entonces el problema de valor inicial tiene una única solución en 𝐼.
1.2. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Definición 1.4. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (SEDPOL) es aquel
SEDPOn en donde las funciones 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 son lineales, es decir, que aparecen relacionadas de
3
forma lineal la variable independiente t, las variables dependientes 𝑥1, … , 𝑥𝑛 y sus primeras
derivadas. Su representación viene dada por
{
𝑑𝑥1(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑎11(𝑡)𝑥1(𝑡) + ⋯+ 𝑎1𝑛(𝑡)𝑥𝑛(𝑡) + 𝑏1(𝑡)
𝑑𝑥2(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑎21(𝑡)𝑥1(𝑡) + ⋯+ 𝑎2𝑛(𝑡)𝑥𝑛(𝑡) + 𝑏2(𝑡)
⋮𝑑𝑥𝑛(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑎𝑛1(𝑡)𝑥1(𝑡) + ⋯+ 𝑎𝑛𝑛(𝑡)𝑥𝑛(𝑡) + 𝑏𝑛(𝑡)
donde 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖: 𝐼 ⊆ ℝ → ℝ son funciones continuas para todo 𝑖, 𝑗.
Este sistema puede escribirse en su forma matricial
𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡)
donde 𝐴(𝑡) = (𝑎11(𝑡) … 𝑎1𝑛(𝑡)⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1(𝑡) … 𝑎𝑛𝑛(𝑡)) y 𝑏(𝑡) = (
𝑏1(𝑡)⋮
𝑏𝑛(𝑡)).
Nuevamente el SEDPOL con condición inicial está dado por
{𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡)
𝑋(𝑡0) = 𝑋0.
El teorema de existencia y unidad de las soluciones de un problema de valor inicial para
sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de primer orden se puede enunciar de forma similar al
obtenido para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Teorema 1.3. Sean 𝐴(𝑡) una función matricial cuadrada de orden n, 𝑏(𝑡) una función vectorial,
continuas en 𝐼 ⊆ ℝ y sea el problema de valor inicial {𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡)
𝑋(𝑡0) = 𝑋0 con 𝑡0 ∈ 𝐼.
Entonces existe una única función vectorial que es solución del problema.
1.2.1. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden homogéneo
Definición 1.5. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden homogéneo es un
SEDPOL donde la función 𝑏(𝑡) = 0.
Ejemplo1.2. El siguiente es un sistema homogéneo de dos ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden
{
𝑑𝑥1𝑑𝑡
= 𝑥1 + 2𝑥2
𝑑𝑥2𝑑𝑡
= 4𝑥1 + 𝑥2
4
Definición 1.6. Se define 𝑆(𝐴) al conjunto de soluciones del SEDPOL homogéneo con condición
inicial dado por
{𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡)
𝑋(𝑡0) = 𝑋0
donde 𝐴(𝑡) es una función continua sobre el intervalo I.
Definición 1.7. Sean 𝑋𝑘(𝑡) = (𝑥𝑘1(𝑡), … , 𝑥𝑘𝑛(𝑡))𝑡, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, funciones vectoriales, se denomina
el wronskiano de dichas funciones y se denota por 𝑊[𝑋1, … , 𝑋𝑛] a la función definida por el
siguiente determinante:
𝑊[𝑋1, … , 𝑋𝑛](𝑡) = det (𝑥11(𝑡) … 𝑥𝑛1(𝑡)⋮ ⋱ ⋮
𝑥1𝑛(𝑡) … 𝑥𝑛𝑛(𝑡)) = det [𝑋1, … , 𝑋𝑛](𝑡).
La siguiente proposición permite deducir que dado un conjunto de funciones vectoriales el
wronskiano nos brinda información respecto a la relación que hay entre ellas.
Proposición 1.1. Si las funciones 𝑋1, … , 𝑋𝑛 son linealmente dependientes en el intervalo 𝐼 entonces
𝑊[𝑋1, … , 𝑋𝑛](𝑡) = 0.
Demostración. Como 𝑋1, … , 𝑋𝑛 son linealmente dependientes existen 𝑛 constantes 𝛽1, … , 𝛽𝑛 no
todas nulas, tales que 𝛽1𝑋1(𝑡) + ⋯+ 𝛽𝑛𝑋𝑛(𝑡) = 0, para todo 𝑡 ∈ 𝐼. Supongamos que 𝛽𝑘 ≠ 0
entonces 𝑋𝑘(𝑡) =𝛽1
𝛽𝑘𝑋1(𝑡) + ⋯+
𝛽𝑘−1
𝛽𝑘𝑋𝑘−1(𝑡) +
𝛽𝑘+1
𝛽𝑘𝑋𝑘+1(𝑡) + ⋯+
𝛽𝑛
𝛽𝑘𝑋𝑛(𝑡).
Luego
𝑊[𝑋1, … , 𝑋𝑛](𝑡) = det (𝑋1, . . , 𝑋𝑘−1,𝛽1
𝛽𝑘𝑋1 +⋯+
𝛽𝑘−1
𝛽𝑘𝑋𝑘−1 +
𝛽𝑘+1
𝛽𝑘𝑋𝑘+1 +⋯+
𝛽𝑛
𝛽𝑘𝑋𝑛, 𝑋𝑘+1, … , 𝑋𝑛) = 0.
Teorema 1.4. 𝑆(𝐴) tiene estructura de espacio vectorial de dimensión n.
Demostración. Sean 𝜑1(𝑡) y 𝜑2(𝑡) dos soluciones particulares cualesquiera de 𝑋′ = 𝐴(𝑡)𝑋. Veamos
que 𝜑1(𝑡) + 𝜑2(𝑡) y 𝛼. 𝜑1(𝑡) con 𝛼 ∈ ℝ son también soluciones, en efecto:
[𝜑1(𝑡) + 𝜑2(𝑡)] ′ − 𝐴(𝑡)[𝜑1(𝑡) + 𝜑2(𝑡)] = 𝜑1(𝑡)´ + 𝜑2(𝑡)
′ − 𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡) − 𝐴(𝑡) 𝜑2(𝑡)
= 𝜑1(𝑡)´ − 𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡) + 𝜑2(𝑡)´ − 𝐴(𝑡) 𝜑2(𝑡) = 0
[𝛼. 𝜑1(𝑡)] ′ − 𝐴(𝑡)[𝛼. 𝜑1(𝑡)] = 𝛼. 𝜑1(𝑡)
′ − 𝛼𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡) = 𝛼. [𝜑1(𝑡) ′ − 𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡)] = 0.
Luego (𝑆(𝐴),+, . ) tiene estructura de espacio vectorial.
Por último veamos que 𝑆(𝐴) tiene dimensión n, para ello consideremos la base canónica de
ℝ𝑛. Por el Teorema 1.3 existen y son únicas 𝜑1(𝑡) , 𝜑2(𝑡), … , 𝜑𝑛(𝑡) soluciones particulares del
sistema que verifican 𝜑𝑖(𝑡0) = 𝑒𝑖. Como {𝑒𝑖: 𝑖 = 1,… , 𝑛} son linealmente independientes como
vectores de ℝ𝑛 entonces son {𝜑𝑖(𝑡): 𝑖 = 1,… , 𝑛} linealmente independientes como funciones
de 𝑆(𝐴). Como hay n soluciones linealmente independientes la dimensión de 𝑆(𝐴) es al menos n.
5
Supongamos que 𝜑(𝑡) es otra solución del problema tal que 𝜑(𝑡0) = (𝑎1, … , 𝑎𝑛)𝑡, como
𝑆(𝐴) tiene estructura de espacio vectorial entonces 𝑎1𝜑1(𝑡) + a2𝜑2(𝑡) + ⋯+ 𝑎𝑛𝜑𝑛(𝑡) = 𝑋(𝑡) es
también solución y además cumple que:
𝑋(𝑡0) = 𝑎1𝜑1(𝑡0) + a2𝜑2(𝑡0) + ⋯+ 𝑎𝑛𝜑𝑛(𝑡0) = 𝑎1(1,0, … ,0)𝑡 + a2(0,1,0, … ,0)
𝑡 +⋯+
𝑎𝑛(0, … ,0,1)𝑡 = (𝑎1, … , 𝑎𝑛)
𝑡 = 𝜑(𝑡0).
Pero por el Teorema 1.3. 𝑋(𝑡) = 𝜑(𝑡). Luego cualquier otra solución del problema puede ser
escrita como combinación lineal de n funciones soluciones linealmente independientes. Así, esas n
funciones vectoriales 𝜑1(𝑡) , 𝜑2(𝑡),… , 𝜑𝑛(𝑡) constituyen una base del espacio vectorial de
soluciones 𝑆(𝐴) y por lo tanto la dimensión de 𝑆(𝐴) es n.
Definición 1.8. Una matriz solución de un SEDPOL homogéneo es aquella matriz Φ en la que cada
columna es solución al sistema, es decir que cumpla
Φ′(t) = A(t)Φ(t).
Definición 1.9. Una matriz fundamental es una matriz solución cuyas columnas forman un conjunto
de soluciones linealmente independientes.
Proposición 1.2. Una matriz solución Φ = [φ1(t), … , φn(t)] definida en el intervalo I es matriz
fundamental si y sólo si det(Φ) ≠ 0, ∀t ∈ I.
Demostración. Sea Φ = [φ1(t), … ,φn(t)] la matriz fundamental y supongamos ∃t0 ∈ 𝐼 tal que
0 = det(Φ(t0)) = 𝑑𝑒𝑡[φ1(t0), … ,φn(t0)] entonces alguna columna de dicho determinante es
combinación lineal de las otras, supongamos sin pérdida de generalidad que
φ1(t0) = 𝑎2φ2(t0) + ⋯+ 𝑎𝑛φn(t0).
Sea φ(t) = −φ1(t) + 𝑎2φ2(t) + ⋯+ 𝑎𝑛φn(t) definida en todo el intervalo I entonces es
solución al sistema de ecuaciones por ser combinación lineal de las soluciones linealmente
independientes y además φ(t0) = 0 luego por el Teorema 1.3 para todo 𝑡 ∈ 𝐼, φ(t) = 0 pues la
función nula verifica las ecuaciones del sistema y cumple con la condición que en t0 sea cero.
Entonces si 0 = φ(t) = −φ1(t) + 𝑎2φ2(t) + ⋯+ 𝑎𝑛φn(t) implica que φ1(t) = 𝑎2φ2(t) + ⋯+
𝑎𝑛φn(t) pero esto contradice el hecho que φ1(t), … , φn(t) sean linealmente independientes. Luego
det(Φ) ≠ 0, ∀𝑡 ∈ 𝐼.
Recíprocamente supongamos Φ(t) = [φ1(t), … , φn(t)] es la matriz solución y el det(Φ) ≠ 0
busquemos 𝛽1, … , 𝛽𝑛 valores reales, tales que ∀𝑡 ∈ 𝐼, 𝛽1φ1(𝑡) + ⋯+ 𝛽𝑛φ𝑛(𝑡) = 0. Como el
determinante es distinto del cero este sistema es compatible determinado, es decir, hay una única
solución y como 𝛽1 = ⋯ = 𝛽𝑛 = 0 cumple dicha igualdad entonces φ1(t), … , φn(t) son linealmente
independientes y así Φ es una matriz fundamental.
Definición 1.10. Un conjunto fundamental del sistema 𝑋´(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) es el conjunto
{φ1(t), … , φn(t)} de n soluciones linealmente independientes.
6
Teorema 1.5. Dado un conjunto fundamental {φ1(t), … , φn(t)}, cualquier solución del
sistema X´(t) = A(t)X(t) es combinación lineal de él, es decir la solución general del problema será
X(t) = C1φ1(t) + ⋯+ Cnφn(t) = Φ(t)K
donde K = (C1, … , Cn)t ∶ Ci ∈ ℝ.
Demostración. Sea {φ1(t), … , φn(t)} el sistema fundamental del sistema 𝑋´(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡)
entonces φi(t) ∈ 𝑆(𝐴) para cada 𝑖 = 1, … , 𝑛. Como 𝑆(𝐴) tiene una estructura de espacio vectorial
entonces 𝐶1φ1(t) + ⋯+ 𝐶𝑛φn(t) = 𝑋(𝑡) con 𝐶𝑖 ∈ ℝ es solución al problema. Si escribimos
Φ(t) = [φ1(t), … , φn(t)] y K = (C1, … , Cn)t ∶ 𝐶𝑖 ∈ ℝ se tiene que 𝑋(𝑡) = Φ(t)K.
1.2.2. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no homogéneo
Definición 1.11. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no homogéneo es
un SEDPOL donde la función 𝑏(𝑡) ≠ 0.
Ejemplo1.3. El siguiente es un sistema homogéneo de dos ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden
{
𝑑𝑥1𝑑𝑡
= 2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑡
𝑑𝑥2𝑑𝑡
= −7𝑥1 + 𝑥2 − 4𝑡2
Definición 1.12. Se define 𝑇(𝐴) al conjunto de soluciones del SEDPOL no homogéneo con condición
inicial dado por
{𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡)
𝑋(𝑡0) = 𝑋0
donde 𝐴(𝑡) y 𝑏(𝑡) son funciones continuas sobre el intervalo I.
Teorema 1.6. 𝑇(𝐴) tiene estructura de espacio afín asociado al espacio vectorial 𝑆(𝐴).
Demostración. Sean 𝜑1(𝑡), 𝜑2(𝑡) ∈ 𝑇(𝐴) y 𝜑0(𝑡) ∈ 𝑆(𝐴) veamos que 𝜑1(𝑡) − 𝜑2(𝑡) ∈ 𝑆(𝐴) y que
𝜑1(𝑡) − 𝜑0(𝑡) ∈ 𝑇(𝐴), en efecto:
[𝜑1(𝑡) − 𝜑2(𝑡)]′ − 𝐴(𝑡)[𝜑1(𝑡) − 𝜑2(𝑡)] = 𝜑1(𝑡)
′ − 𝜑2(𝑡)′ − 𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡) + 𝐴(𝑡)𝜑2(𝑡)
= 𝜑1(𝑡)′ − 𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡) − [𝜑2(𝑡)
′ − 𝐴(𝑡)𝜑2(𝑡)]
= 𝑏(𝑡) − 𝑏(𝑡) = 0.
Luego 𝜑1(𝑡) − 𝜑2(𝑡) ∈ 𝑆(𝐴).
[𝜑1(𝑡) − 𝜑0(𝑡)]′ − 𝐴(𝑡)[𝜑1(𝑡) − 𝜑0(𝑡)] = 𝜑1(𝑡)
′ − 𝜑0(𝑡)′ − 𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡) + 𝐴(𝑡)𝜑0(𝑡)
= 𝜑1(𝑡)′ − 𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡) − [𝜑0(𝑡)
′ − 𝐴(𝑡)𝜑0(𝑡)]
= 𝑏(𝑡) − 0 = 𝑏(𝑡).
Luego 𝜑1(𝑡) − 𝜑0(𝑡) ∈ 𝑇(𝐴).
7
Teorema 1.7. Dado el sistema no homogéneo 𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡) con 𝐴(𝑡) y 𝑏(𝑡) funciones
continuas sobre el intervalo I, si 𝜑𝑝(𝑡) es una solución particular de dicho sistema
y Φ(t) una matriz fundamental del sistema homogeneizado, es decir, 𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) entonces la
solución general del sistema completo es
𝜑(𝑡) = 𝜑𝑝(𝑡) + Φ(t)𝐾
con K una matriz columna de constantes reales arbitrarias.
Demostración. Probemos primero que 𝜑(𝑡) = 𝜑𝑝(𝑡) + Φ(t)𝐾 es solución del sistema completo; en
efecto,
𝜑′(𝑡) = 𝜑𝑝′(𝑡) + Φ′(t)𝐾 = 𝐴(𝑡)𝜑𝑝(𝑡) + 𝑏(𝑡) + 𝐴(𝑡)Φ(t)𝐾 = 𝐴(𝑡)[𝜑𝑝(𝑡) + Φ(t)𝐾] + 𝑏(𝑡)
= 𝐴(𝑡)𝜑(𝑡) + 𝑏(𝑡).
Luego todas las funciones vectoriales de la forma 𝜑(𝑡) = 𝜑𝑝(𝑡) + Φ(t)𝐾 son solución del
sistema no homogéneo. Probemos que cualquier solución es de esta forma.
Supongamos que 𝛽(𝑡) es una solución arbitraria de 𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡) entonces
𝛽(𝑡) − 𝜑𝑝(𝑡) es solución del sistema 𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) pues 𝛽(𝑡) , 𝜑𝑝(𝑡) ∈ 𝑇(𝐴) y 𝑇(𝐴) es espacio
afín asociado a 𝑆(𝐴) entonces 𝛽(𝑡) − 𝜑𝑝(𝑡) ∈ 𝑆(𝐴). Luego si {𝜑1(𝑡), … , 𝜑𝑛(𝑡)} forman un
conjunto fundamental para el sistema homogéneo por Teorema 1.5, existen constantes arbitrarias
C1, … , 𝐶𝑛 ∈ ℝ: 𝛽(𝑡) − 𝜑𝑝(𝑡) = 𝐶1𝜑1(t) + ⋯+ 𝐶𝑛𝜑𝑛(t) = Φ(t)K donde K = (C1, … , Cn)t ∶ 𝐶𝑖 ∈ ℝ.
Así 𝛽(𝑡) = 𝜑𝑝(𝑡) + Φ(t)K .
Esto significa que cualquier solución del sistema completo es suma de una solución particular
de éste y de una solución del sistema homogéneo que era lo que queríamos demostrar.
1.2.3. Método de variación de parámetros
Utilizaremos el método de variación de parámetros para obtener una solución particular del
sistema no homogéneo. Éste consiste en proponer una solución para el sistema 𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) +
𝑏(𝑡) de la siguiente forma 𝜑𝑝(𝑡) = Φ(t)𝐾(𝑡) donde Φ(t) es la matriz fundamental de soluciones
del sistema homogéneo asociado y 𝐾(𝑡) un vector cuyas componentes dependen de la variable 𝑡.
Para que 𝜑𝑝(𝑡) = Φ(t)𝐾(𝑡) sea solución debe satisfacer
𝜑𝑝′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝜑𝑝(𝑡) + 𝑏(𝑡).
Sustituyendo por la expresión propuesta:
Φ′(𝑡)𝐾(𝑡) + Φ(t)𝐾′(𝑡) = 𝐴(𝑡)Φ(t)𝐾(𝑡) + 𝑏(𝑡)
Φ′(𝑡)𝐾(𝑡) − 𝐴(𝑡)Φ(𝑡)𝐾(𝑡) + Φ(𝑡)𝐾′(𝑡) = 𝑏(𝑡)
[Φ′(𝑡) − 𝐴(𝑡)Φ(𝑡)]𝐾(𝑡) + Φ(𝑡)𝐾′(𝑡) = 𝑏(𝑡)
0. 𝐾(𝑡) + Φ(𝑡)𝐾′(𝑡) = 𝑏(𝑡).
Luego para que 𝜑𝑝(𝑡) sea solución particular del sistema no homogéneo debe ocurrir que
8
Φ(𝑡)𝐾′(𝑡) = 𝑏(𝑡)
al ser Φ(𝑡) es una matriz inversible se tiene que
𝐾′(𝑡) = Φ−1(𝑡)𝑏(𝑡).
Integrando obtenemos
∫𝐾′(𝑡)𝑑𝑡 = ∫Φ−1(𝑡)𝑏(𝑡)𝑑𝑡
𝐾(𝑡) = ∫Φ−1(𝑡)𝑏(𝑡)𝑑𝑡.
Luego 𝜑𝑝(𝑡) tiene la siguiente expresión general:
𝜑𝑝(𝑡) = Φ(𝑡)∫Φ−1(𝑡)𝑏(𝑡)𝑑𝑡
siendo la solución general del sistema no homogéneo:
𝜑(𝑡) = Φ(t)K + Φ(𝑡)∫Φ−1(𝑡)𝑏(𝑡)𝑑𝑡.
1.3. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes
En esta sección se desarrollará una forma de obtener analíticamente las soluciones de los
sistemas lineales homogéneos de primer orden y de coeficientes constantes, es decir, buscar un
sistema fundamental de soluciones de dicho sistema o equivalentemente, una matriz fundamental
de soluciones.
Definición 1.13. Un SEDPOL con coeficientes constantes es un sistema cuya forma está dada por
𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) donde los coeficientes de A son números reales, es decir, no depende de la variable
independiente t.
Cuando trabajábamos con una ecuación diferencial de primer orden lineal homogénea es
decir, x′(t) = ax(t) con x: I ⊆ ℝ → ℝ y a ∈ ℝ, la solución general de dicha ecuación es la función
x(t) = ceat siendo c una constante arbitraria. Luego cualquier solución de esta ecuación se obtiene
como combinación lineal de la solución eat. Como eat ≠ 0, ∀t ∈ ℝ entonces {eat} es el conjunto
fundamental de soluciones y la matriz fundamental es Φ(t) = [eat] de tamaño 1 × 1.
Generalizando este resultado para el caso de sistemas lineales homogéneos de dimensión n
con coeficientes constantes X′(t) = AX(t) la solución general del sistema sería X(t) = CetA con C
un vector arbitrario y la matriz fundamental de soluciones sería
Φ(t) = etA
donde 𝑒𝑡𝐴 puede ser expresada mediante la siguiente serie de potencias
𝑒𝑡𝐴 =∑𝑡𝑖𝐴𝑖
𝑖!
∞
𝑖=0
9
La siguiente proposición nos dice que X(t) = etA es una matriz de soluciones del sistema
X′(t) = AX(t). Además nos da una expresión para la solución del problema de condiciones iniciales.
Proposición 1.3. Sea 𝐴 una 𝑛 × 𝑛 matriz. Entonces
1. 𝑑𝑒𝑡𝐴
𝑑𝑡= 𝐴𝑒𝑡𝐴.
2. La función vectorial 𝑋(𝑡) = 𝑒(𝑡−𝑡0)𝐴𝑋0 es la única solución del problema de
condiciones iniciales {𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡)
𝑋(𝑡0) = 𝑋0.
Demostración. Para probar la primera parte derivamos la serie de potencias 𝑒𝑡𝐴 = ∑𝑡𝑖𝐴𝑖
𝑖!
∞𝑖=0 , es
decir,
𝑑𝑒𝑡𝐴
𝑑𝑡=∑
𝑖𝑡𝑖−1𝐴𝑖
𝑖!
∞
𝑖=1
=∑(𝑘 + 1)𝑡𝑘𝐴𝑘+1
(𝑘 + 1)!
∞
𝑘=0
= 𝐴∑𝑡𝑘𝐴𝑘
𝑘!
∞
𝑘=0
= 𝐴𝑒𝑡𝐴.
Y para probar la segunda parte derivamos 𝑋(𝑡) = 𝑒(𝑡−𝑡0)𝐴𝑋0, es decir,
𝑑𝑒(𝑡−𝑡0)𝐴𝑋0𝑑𝑡
= 𝑋0𝑑𝑒𝑡𝐴. 𝑒−𝐴𝑡0
𝑑𝑡= 𝑋0𝑒
−𝐴𝑡0𝐴𝑒𝑡𝐴 = 𝑋0𝐴𝑒𝐴(𝑡−𝑡0) = 𝐴𝑋(𝑡).
Además 𝑋(𝑡0) = 𝑒0𝐴𝑋0 = 𝑋0, con lo cual se cumple la condición inicial.
Proposición 1.4. Sean 𝐴 y 𝐵 dos matrices de dimensión 𝑛 × 𝑛. Entonces:
a. A conmuta con 𝑒𝐴.
b. Si 𝐴 y 𝐵 conmutan entonces 𝑒𝐴+𝐵 = 𝑒𝐴. 𝑒𝐵 .
c. 𝑒𝐴 es no singular y su inversa es 𝑒−𝐴.
Teorema 1.8. Si 𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) es un sistema homogéneo de coeficientes constantes entonces la
solución general de este sistema es 𝑋(𝑡) = 𝐶Φ(𝑡)donde Φ(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴 es su matriz fundamental y
𝐶 ∈ ℝ𝑛 un vector arbitrario de n componentes.
Demostración. Por Proposición 1.3 la matriz 𝑋(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴 es una matriz de soluciones del sistema
𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡). Bastará probar que sus columnas son linealmente independientes, es decir,
𝑑𝑒𝑡(𝑒𝑡𝐴) ≠ 0, ∀𝑡 ∈ ℝ.
Por Proposición 1.4.c ∀𝑡 ∈ ℝ la matriz 𝑋(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴 tiene inversa, y ésta es 𝑋(𝑡)−1 = 𝑒−𝑡𝐴.
En efecto,
𝑋(𝑡). 𝑋(𝑡)−1 = 𝑒𝑡𝐴. 𝑒−𝑡𝐴 = 𝑒𝑡𝐴−𝑡𝐴 = 𝑒𝐼 = 𝐼𝑛.
Teniendo en cuenta que
𝑑𝑒𝑡(𝑋(𝑡). 𝑋(𝑡)−1) = 𝑑𝑒𝑡(𝑋(𝑡)) . 𝑑𝑒𝑡(𝑋(𝑡)−1) = 𝑑𝑒𝑡(𝐼𝑛) = 1
entonces 𝑑𝑒𝑡(𝑒𝑡𝐴) ≠ 0, ∀𝑡 ∈ ℝ .
A continuación se mostrará la forma que toma la matriz fundamental de soluciones del
sistema homogéneo de coeficientes constantes en relación a los valores propios de la matriz 𝐴.
10
Caso 1. La matriz 𝐴 tiene un único valor propio
Proposición 1.5. Sea 𝐴𝑛×𝑛 una matriz que tiene un único valor propio 𝜆. Entonces hay un número
entero 𝑘 ≤ 𝑛 tal que la matriz fundamental de soluciones es
𝑒𝑡𝐴 = 𝑒𝑡𝜆 (𝐼𝑛 + 𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛) +𝑡2
2!(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)
2 +⋯+𝑡𝑘
𝑘!(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)
𝑘).
Y la solución general del problema de condiciones iniciales {𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡)
𝑋(𝑡0) = 𝑋0está dada por
𝑋(𝑡) = 𝑒(𝑡−𝑡0)𝜆 (𝐼𝑛 + (𝑡 − 𝑡0)(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛) +(𝑡 − 𝑡0)
2
2!(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)
2 +⋯+(𝑡 − 𝑡0)
𝑘
𝑘!(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)
𝑘)𝑋0.
Demostración. Supongamos que 𝜆 es el único valor propio que la matriz 𝐴 tiene entonces escribimos
𝐴 = 𝜆𝐼𝑛 + 𝐴 − 𝜆𝐼𝑛
por Proposición 1.4.b
𝑒𝑡𝐴 = 𝑒𝑡(𝜆𝐼𝑛+𝐴−𝜆𝐼𝑛) = 𝑒𝑡𝜆𝐼𝑛𝑒𝑡(𝐴−𝜆𝐼𝑛).
Además:
𝑒𝑡𝜆𝐼𝑛 =∑(𝑡𝜆)𝑖𝐼𝑛
𝑖
𝑖!=
∞
𝑖=0
∑(𝑡𝜆)𝑖𝐼𝑛𝑖!
∞
𝑖=0
= 𝑒𝑡𝜆𝐼𝑛
𝑒𝑡(𝐴−𝜆𝐼𝑛) =∑𝑡𝑖(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)
𝑖
𝑖!
∞
𝑖=0
= 1 + 𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛) +𝑡2
2(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)
2 +⋯
Volviendo a la igualdad anterior
𝑒𝑡𝐴 = 𝑒𝑡𝜆𝐼𝑛 (1 + 𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛) +𝑡2
2(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)
2 +⋯)
= 𝑒𝑡𝜆 (𝐼𝑛 + 𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛) +𝑡2
2(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)
2 +⋯).
Por el Teorema de Hamilton-Cayley si en el polinomio característico de 𝐴 es 𝜌(𝑥) sustituimos 𝑥 por
𝐴 obtenemos siempre la matriz cero. Como nuestra matriz tiene un único valor propio su polinomio
característico es 𝜌(𝑥) = (𝑥 − 𝜆)𝑛 entonces 𝜌(𝐴) = (𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)𝑛 = 0. Luego la serie 𝑒𝑡𝐴 tiene todos
sus sumandos igual a cero a partir del n-ésimo. De hecho, puede suceder que los sumandos sean
ceros antes del n-ésimo, pero con seguridad, a partir de éste, todos los sumandos son cero.
Entonces hay un número entero 𝑘 ≤ 𝑛 tal que
𝑒𝑡𝐴 = 𝑒𝜆𝑡(𝐼𝑛 + 𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛) +𝑡2
2!(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)
2 +⋯+𝑡𝑘
𝑘!(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)
𝑘)
Por proposición 1.3 la solución general del problema de condiciones iniciales {𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡)
𝑋(𝑡0) = 𝑋0 está
dada por 𝑋(𝑡) = 𝑒(𝑡−𝑡0)𝐴𝑋0 y su expresión viene dada por
11
𝑒(𝑡−𝑡0)𝐴𝑋0 = 𝑒𝜆(𝑡−𝑡0) (𝐼𝑛 + (𝑡 − 𝑡0)(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛) +
(𝑡 − 𝑡0)2
2!(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)
2 +⋯
+(𝑡 − 𝑡0)
𝑘
𝑘!(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)
𝑘)𝑋0
donde 𝑘 ≤ 𝑛 por lo expuesto anteriormente.
Ejemplo 1.4. Dado el siguiente sistema
(
𝑥1′(𝑡)
𝑥2′ (𝑡)
𝑥3′ (𝑡)
) = (0 −1 04 4 0−1 −1 2
)(
𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)𝑥3(𝑡)
),
encontrar la matriz fundamental de soluciones y la solución general.
Lo primero que hacemos es buscar los valores propios:
|𝐴 − 𝜆𝐼| = |(0 −1 04 4 0−1 −1 2
) − 𝜆 (1 0 00 1 00 0 1
)| = (𝜆 − 2)3 = 0.
La proposición 1.5 nos asegura que hay un valor 𝑘 ≤ 3 tal que (𝐴 − 2𝐼3)𝑘 = 0 y haciendo las
cuentas resulta que en 𝑘 = 3 ocurre esa igualdad.
Por lo tanto la matriz fundamental de soluciones es
𝑒𝑡𝐴 = 𝑒2𝑡(𝐼3 + 𝑡(𝐴 − 2𝐼3) +𝑡2
2(𝐴 − 2𝐼3)
2 = 𝑒2𝑡(
1 − 2𝑡 −𝑡 04𝑡 1 + 2𝑡 0
−𝑡 − 𝑡2 −𝑡 −𝑡2
21
).
La solución general del sistema será
𝑋(𝑡) = 𝑐1𝑒2𝑡 (
1 − 2𝑡4𝑡
−𝑡 − 𝑡2) + 𝑐2𝑒
2𝑡 (
𝑡1 + 2𝑡
−𝑡 −𝑡2
2
) + 𝑐2 𝑒2𝑡 (
001).
Caso 2. La matriz 𝐴 tiene múltiples valores propios todos distintos
De la Proposición 1.5 obtenemos la matriz fundamental de soluciones cuando la matriz del
sistema tiene un solo valor propio, pero falla cuando tiene varios valores propios distintos, entonces
buscamos obtener un resultado similar, es decir, algo que nos permita que los sumandos de la serie
de potencias de et(A−λIn)sean cero a partir de uno dado.
Hasta ahora vimos que una matriz fundamental de soluciones del sistema X′(t) = AX(t) es
Φ(t) = etA. Pero hay muchas otras posibles.
En realidad para conseguir una matriz fundamental de soluciones lo que necesitamos es un
sistema fundamental de soluciones. Una forma de obtenerlo es a partir de n vectores v1, … , vn que
sean linealmente independientes. En efecto, probemos que la matriz X(t) = etAV con V =
[v1…vn]n×n también es una matriz fundamental de soluciones.
Como v1, … , vn son linealmente independientes entonces det (V) ≠ 0 y luego det(X(t)) =
det(etA) det (V) ≠ 0.
12
A demás X′(t) = AetAV = AX(t). Es decir, X(t) = etAV es una matriz de soluciones y su
determinante es distinto de cero para todo t ∈ ℝ. Esto es, es una matriz fundamental de soluciones.
Ahora bien, entre todos los posibles sistemas de n vectores linealmente independientes, que
son infinitos, nos interesan aquellos que hagan que etAv sea expresable analíticamente de forma
sencilla. Resulta que los vectores propios asociados a los valores propios cumplen esta condición.
Proposición 1.6. Sean 𝐴 una 𝑛 × 𝑛 matriz, 𝜆1, … , 𝜆𝑛 sus valores propios todos distintos y 𝑣1, … , 𝑣𝑛
los vectores propios asociados a cada autovalor respectivamente. Entonces 𝑣1, … , 𝑣𝑛 son
linealmente independientes y {𝑥1(𝑡) = 𝑣1𝑒𝜆1𝑡, … , 𝑥𝑛(𝑡) = 𝑣𝑛𝑒
𝜆𝑛𝑡} es el sistema fundamental de
soluciones del sistema 𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) y por lo tanto la solución general de dicho sistema es
𝑋(𝑡) = 𝑐1𝑣1𝑒𝜆1𝑡 +⋯+ 𝑐𝑛𝑣𝑛𝑒
𝜆𝑛𝑡
donde 𝑐1, … , 𝑐𝑛 son constantes arbitrarias.
Demostración. Sean 𝐴 una 𝑛 × 𝑛 matriz, 𝜆1, … , 𝜆𝑛 sus valores propios todos distintos y 𝑣1, … , 𝑣𝑛 los
vectores propios asociados a cada autovalor respectivamente, entonces usando un resultado
general de Álgebra lineal que nos asegura que a valores propios distintos les corresponde vectores
propios linealmente independientes probamos que 𝑣1, … , 𝑣𝑛 son linealmente independientes.
Además, si 𝜆1 es un valor propio de A y 𝑣1 uno cualquiera de sus vectores propios asociados
entonces
𝑒𝑡𝐴𝑣1 = 𝑒𝑡𝜆1 (𝐼𝑛 + 𝑡(𝐴 − 𝜆1𝐼𝑛) +
𝑡2
2(𝐴 − 𝜆1𝐼𝑛)
2 +⋯)𝑣1
= 𝑒𝑡𝜆1 (𝑣1 + 𝑡(𝐴 − 𝜆1𝐼𝑛)𝑣1 +𝑡2
2(𝐴 − 𝜆1𝐼𝑛)
2𝑣1 +⋯) = 𝑒𝜆1𝑡𝑣1.
Esta última igualdad se da pues 𝑣1 es un vector propio de 𝐴 asociado a 𝜆1, y cumple que (𝐴 −
𝜆1𝐼𝑛)𝑣1 = 0.
Pero entonces (𝐴 − 𝜆1𝐼𝑛)2𝑣1 = (𝐴 − 𝜆1𝐼𝑛)(𝐴 − 𝜆1𝐼𝑛)𝑣1 = 0 y así sucesivamente en esa suma
infinita sólo sobrevive el término 𝑒𝜆1𝑡𝑣1.
Dado que 𝑋(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴𝑉 es la matriz fundamental de soluciones del sistema, con 𝑉 =
[𝑣1, … , 𝑣𝑛] la matriz cuyas columnas son los vectores propios de 𝐴, por lo recién probado
𝑋(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴𝑉 = [𝑒𝑡𝐴𝑣1, … , 𝑒𝑡𝐴𝑣𝑛] = [𝑒
𝜆1𝑡𝑣1, … , 𝑒𝜆𝑛𝑡𝑣𝑛].
El sistema fundamental de soluciones son las columnas de dicha matriz así
{𝑥1(𝑡) = 𝑣1𝑒𝜆1𝑡, … , 𝑥𝑛(𝑡) = 𝑣𝑛𝑒
𝜆𝑛𝑡}.
La solución general del sistema es
𝑋(𝑡) = 𝑐1𝑣1𝑒𝜆1𝑡 +⋯+ 𝑐𝑛𝑣𝑛𝑒
𝜆𝑛𝑡
donde 𝑐1, … , 𝑐𝑛 son constantes arbitrarias.
13
Ejemplo 1.5. Dado el siguiente sistema
(
𝑥1′(𝑡)
𝑥2′ (𝑡)
𝑥3′ (𝑡)
) = (−1 2 10 −1 0−1 −3 −3
)(
𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)𝑥3(𝑡)
),
encontrar la matriz fundamental de soluciones y la solución general correspondiente.
Lo primero que hacemos es buscar los valores propios y sus correspondientes vectores propios:
|𝐴 − 𝜆𝐼| = |(−1 2 10 −1 0−1 −3 −3
) − 𝜆 (1 0 00 1 00 0 1
)| = −(𝜆 − 2)(𝜆 − 5)(𝜆 − 7) = 0.
Luego, el vector asociado al autovalor:
𝜆1 = 2 es 𝑣1 = (7,−5,−5)𝑡
𝜆2 = 5 es 𝑣2 = (7,−3, −5)𝑡
𝜆3 = 7 es 𝑣3 = (4, 0, −5)𝑡 .
Por lo cual, la matriz fundamental de soluciones está dada por:
Φ(𝑡) = (7𝑒2𝑡 7𝑒5𝑡 4𝑒7𝑡
−5𝑒2𝑡 −3𝑒5𝑡 0−5𝑒2𝑡 −5𝑒5𝑡 −5𝑒7𝑡
)
y la solución general es:
X(𝑡) = 𝑐1𝑒2𝑡 (
7−5−5) + 𝑐2𝑒
5𝑡 ( 7−3−5) + 𝑐3𝑒
7𝑡 ( 4 0−5).
Caso 3. La matriz 𝐴 tiene múltiples valores propios algunos repetidos.
Sea 𝜌(𝑥) = (𝑥 − 𝜆1)𝑚(𝑥 − 𝜆2)
𝑘(𝑥 − 𝜆3)ℎ el polinomio característico de la matriz 𝐴𝑛×𝑛,
donde 𝑚+ 𝑘 + ℎ = 𝑛 entonces puede ocurrir:
A) La multiplicidad algebraica (𝑚𝑎) de cada autovalor es igual a su multiplicidad geométrica (𝑚𝑔),
es decir, 𝑚𝑎(𝜆𝑖) = 𝑚𝑔(𝜆𝑖)∀𝑖.
Luego para el autovalor 𝜆𝑖 tengo 𝑚𝑔(𝜆𝑖) vectores propios y entonces existen 𝑚𝑔(𝜆𝑖) soluciones
linealmente independientes como las propuestas por la proposición 1.5. para 𝜆𝑖.
B) Supongamos sin pérdida de la generalidad que 𝑚𝑎(𝜆1) = 𝑚 > 𝑚𝑔(𝜆1) = 𝑟 y que los restantes
satisfacen A).
Luego para el autovalor 𝜆1 tengo 𝑣1, … , 𝑣𝑟 vectores propios y
𝑥1(𝑡) = 𝑣1𝑒𝜆1𝑡, … , 𝑥𝑟(𝑡) = 𝑣𝑟𝑒
𝜆1𝑡 son soluciones linealmente independientes. Por otro lado, estos
vectores propios se caracterizan por anular los coeficientes de la serie de potencias 𝑒𝑡(𝐴−𝜆1𝐼𝑛) a
partir del segundo sumando.
14
Los 𝑚 − 𝑟 vectores linealmente independientes restantes que producen el truncamiento a
partir de algún otro sumando son los vectores propios generalizados de A. Éstos son las soluciones
linealmente independientes del siguiente sistema
(𝜆1𝐼𝑛 − 𝐴)𝑝𝑣 = 0
donde 𝑝 > 1 y 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝜆𝐼𝑛 − 𝐴)𝑝 = 𝑛 −𝑚𝑎(𝜆1). Así obtenemos los m vectores linealmente
independientes asociados a 𝜆1.
En base a este desarrollo se puede enunciar la siguiente proposición.
Proposición 1.7. Sean 𝐴𝑛×𝑛 una matriz y 𝜆1, … , 𝜆𝑠 sus valores propios donde 𝑠 < 𝑛 . Sean 𝑞1, … , 𝑞𝑠
sus multiplicidades algebraicas respectivamente, 𝑣𝑖1, … , 𝑣𝑖𝑞𝑖 vectores linealmente independientes
asociados de 𝜆𝑖 y 𝑥𝑖𝑗(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴𝑣𝑖𝑗 satisface el sistema 𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) . Entonces la solución general
del sistema 𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) es:
𝑋(𝑡) = 𝑐11𝑥11(𝑡) + ⋯+ 𝑐1𝑞1𝑥1𝑞1(𝑡)+⋯+ 𝑐𝑠1𝑥𝑠1(𝑡) + ⋯+ 𝑐𝑠𝑞𝑠𝑥𝑠𝑞𝑠(𝑡)
donde 𝑐𝑖𝑗 son constantes arbitrarias.
Ejemplo 1.6. Dado el siguiente sistema
(
𝑥1′(𝑡)
𝑥2′ (𝑡)
𝑥3′ (𝑡)
) = (3 2 42 0 24 2 3
)(
𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)𝑥3(𝑡)
),
encontrar la matriz fundamental de soluciones y la solución general.
Lo primero que hacemos es buscar los valores propios y sus correspondientes vectores propios:
|𝐴 − 𝜆𝐼| = |(3 2 42 0 24 2 3
) − 𝜆 (1 0 00 1 00 0 1
)| = −(𝜆 + 1)2(𝜆 − 8) = 0.
Para el autovalor 𝜆1 = −1 se cumple que 𝑚𝑔(𝜆1) = 𝑚𝑎(𝜆1) = 2 y sus autovectores son 𝑣1 =
(2,1,2)𝑡 y 𝑣2 = (1,0,−1)𝑡.
Para el autovalor 𝜆2 = 8 su autovector es 𝑣3 = (0,2,−1)𝑡.
Luego la matriz fundamental de soluciones está dada por:
Φ(𝑡) = (2𝑒−𝑡 𝑒−𝑡 0𝑒−𝑡 0 2𝑒8𝑡
2𝑒−𝑡 −𝑒−𝑡 −𝑒8𝑡)
y la solución general es:
X(𝑡) = 𝑐1𝑒−𝑡 (
212) + 𝑐2𝑒
−𝑡 ( 1 0−1) + 𝑐3𝑒
8𝑡 ( 0 2−1).
15
Ejemplo 1.7. Dado el siguiente sistema
(
𝑥1′(𝑡)
𝑥2′ (𝑡)
𝑥3′ (𝑡)
) = (−1 2 10 −1 0−1 −3 −3
)(
𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)𝑥3(𝑡)
),
encontrar la matriz fundamental de soluciones y la solución general.
Lo primero que hacemos es buscar los valores propios y sus correspondientes vectores propios:
|𝐴 − 𝜆𝐼| = |(−1 2 10 −1 0−1 −3 −3
) − 𝜆 (1 0 00 1 00 0 1
)| = (𝜆 + 2)2(𝜆 + 1) = 0.
Para el autovalor:
𝜆1 = −1 su autovector es 𝑣1 = (1,1,−2)𝑡 y se tiene que 𝑚𝑎(𝜆1) = 1 = 𝑚𝑔(𝜆1).
𝜆2 = −2 su autovector es 𝑣2 = (1,0,−1)𝑡 siendo 𝑚𝑔(𝜆1) = 1 < 𝑚𝑎(𝜆1) = 2.Dado que el
subespacio propio debe tener dimensión 2 nos está faltando encontrar uno de los vectores
generadores. Para hallarlo debemos resolver el sistema:
(𝜆1𝐼𝑛 − 𝐴)𝑝𝑣 = 0
determinando previamente el valor de 𝑝 tal que 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝜆1𝐼𝑛 − 𝐴)𝑝 = 3 − 2 = 1.
Dado que la condición se cumple con 𝑝 = 2 el sistema a resolver es:
(−2𝐼𝑛 − 𝐴)2𝑣 = (
0 1 00 1 00 −2 0
)(
𝑎1𝑎2𝑎3) = 0.
Luego 𝑎2 = 0 y 𝑎1, 𝑎3 son libres, es decir
𝑣 = (
𝑎10𝑎3).
Si 𝑎1 = 1 y 𝑎3 = −1 obtenemos el autovector 𝑣2. Para el restante vector linealmente
independiente tenemos muchas posibles elecciones. Siempre es una buena idea escoger una muy
simple; por ejemplo 𝑎1 = 1, 𝑎3 = 0, luego a𝑣3 = (1,0,0)𝑡.
Ya tenemos los tres vectores, lo que resta en construir las soluciones a partir de ellos. En el
caso de los dos primeros vectores, como ellos anulan todos los términos de la serie de potencias a
partir del término de primer grado la soluciones son inmediatas siendo:
𝑥1(𝑡) = (𝑒−𝑡
𝑒−𝑡
−2𝑒−𝑡) = 𝑒−𝑡 (
11−2) y 𝑥2(𝑡) = (
𝑒−2𝑡
0−𝑒−2𝑡
) = 𝑒−2𝑡 (10−1).
El tercer vector, cumple (𝐴 + 2𝐼3)2𝑣3 = 0 luego la serie se reduce a:
𝑒−𝑡𝐴𝑣3 = 𝑒−2𝑡(𝑣3 + 𝑡(𝐴 + 2𝐼3)𝑣3)
obteniéndose:
𝑒−𝑡𝐴𝑣3 = 𝑒−2𝑡(𝑣3 + 𝑡(𝐴 + 2𝐼3)𝑣3) = 𝑒
−2𝑡 (1 + 𝑡0−𝑡
).
Luego la matriz fundamental de soluciones está dada por
16
Φ(𝑡) = (𝑒−𝑡 𝑒−2𝑡 𝑒−2𝑡(1 + 𝑡)
𝑒−𝑡 0 0−2𝑒−𝑡 −𝑒−2𝑡 −𝑡𝑒−2𝑡
)
y la solución general es:
X(𝑡) = 𝑐1𝑒−𝑡 (
11−2) + 𝑐2𝑒
−2𝑡 (10−1) + 𝑐3𝑒
−2𝑡 ((1 + 𝑡)0−𝑡
).
Caso 4. La matriz 𝐴 tiene valores propios complejos.
Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones
X′(t) = AX(t)
donde A es una matriz de valores reales que tiene algunos valores propios complejos.
Antes de abocarnos a la resoluciones del sistema de ecuaciones diferenciales es importante
recordar que si 𝜆 = 𝛼 + 𝛽𝑖 es un valor propio de 𝐴 entonces también su conjugado �̅� = 𝛼 − 𝛽𝑖 lo es
y además si 𝑣 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es un vector propio asociado a 𝜆 entonces �̅� = 𝑎 − 𝑏𝑖 es un vector propio
asociado a �̅�.
Para encontrar las soluciones del sistema X′(𝑡) = 𝐴X(𝑡) procedemos a realizar los siguientes
pasos:
1. Encontrar los autovalores de 𝐴 y estudiar de cada uno su multiplicidad algebraica y
geométrica.
2. Encontrar el número entero más pequeño tal que 𝑟𝑎𝑛𝑔(λIn − 𝐴)𝑝 = 𝑛 − 𝑞, donde
𝑞 = 𝑚𝑎(λ).
3. Hallar 𝑞 vectores 𝑤1, … ,𝑤𝑞 linealmente independientes que sean solución del
sistema (𝜆𝐼𝑛 − 𝐴)𝑝𝑤 = 0. Estos vectores serán, en general, complejos.
4. Para cada vector 𝑤𝑗 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑞 tenemos la solución compleja
𝑧𝑗(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴𝑤𝑗 = 𝑒
𝑡λ(𝑤𝑗 + 𝑡(𝐴 − λIn)𝑤𝑗 +⋯+𝑡𝑝−1
(𝑝 − 1)!(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)
𝑝−1wj
dado que λ y 𝑤𝑗son complejos.
5. Para obtener soluciones reales hacemos 𝑥𝑗(𝑡) = 𝑅𝑒[𝑧𝑗(𝑡)] y 𝑦𝑗(𝑡) = 𝐼𝑚[𝑧𝑗(𝑡)] para
1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑞. Obtenemos así 2𝑞 soluciones para los valores propios conjugados λ y λ̅. Empleando la
fórmula de Euler cada una de las soluciones 𝑥𝑗(𝑡), 𝑦𝑗(𝑡) tiene la siguiente forma:
𝑒𝛼𝑡[𝑃(𝑡) cos(𝛽𝑡) + 𝑄(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑡)] siendo P y Q polinomios de grado menor que 𝑞.
Ejemplo 1.8. Dado el siguiente sistema
(
𝑥1′(𝑡)
𝑥2′ (𝑡)
𝑥3′ (𝑡)
𝑥4′ (𝑡))
= (
6 6 −3−4 −4 281
70
−4−1
204−2
)(
𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)𝑥3(𝑡)𝑥4(𝑡)
),
encontrar la matriz fundamental de soluciones y la solución general.
17
Lo primero que hacemos es buscar los valores propios y sus correspondientes vectores propios:
|𝐴 − 𝜆𝐼| = |(
6 6 −3−4 −4 281
70
−4−1
204−2
) − 𝜆(
1 0 00 1 000
00
10
0001
)| = (𝜆 + 1 + 𝑖)2(𝜆 + 1 − 𝑖)2 = 0.
Para el autovalor:
𝜆1 = −1 − 𝑖 con 𝑚𝑎(λ1) = 2 y su autovector es 𝑣1 = (1,0,2, −𝑖+1
2)𝑡
.
𝜆2 = −1 + 𝑖 con 𝑚𝑎(λ2) = 2 y su autovector es 𝑣2 = (1,0,2,𝑖−1
2)𝑡
.
Se puede apreciar que los autovalores son conjugados. Además como sólo obtenemos un
vector propio para cada uno de ellos (también podemos ver que son conjugados), su multiplicidad
geométrica es 1. Necesitamos un vector propio generalizado.
Como 𝑟𝑎𝑛𝑔(2𝐼𝑛 − 𝐴)2 = 2 = 4 − 2 luego 𝑝 = 2 y entonces (𝜆2𝐼𝑛 − 𝐴)
2𝑣 = 0 tiene dos soluciones
linealmente independientes veamos cuales son:
(𝜆2𝐼𝑛 − 𝐴)2𝑣 = (
2 − 14𝑖 3 − 12𝑖 −2 + 6𝑖8𝑖 −2 + 6𝑖 −4𝑖
8 − 16𝑖−2 − 2𝑖
6 − 14𝑖−1
−6 + 6𝑖1 + 2𝑖
−4𝑖0−8𝑖
−2 + 2𝑖
)(
𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4
) = 0.
Hallamos la solución general de este sistema:
𝑣 =
(
𝑖(𝑎3 + 8𝑎4) + 7𝑎3 + 4𝑎48
−𝑎3 + 2𝑖𝑎4 + 2𝑎4
2𝑎3𝑎4 )
.
Si 𝑎3 = 2, 𝑎4 = 𝑖 − 1 tenemos el autovector asociado a 𝜆2 calculado. Para el restante vector
linealmente independiente tenemos muchas posibles elecciones; por ejemplo 𝑎3 = 0, 𝑎4 = 2. Así
un vector propio generalizado asociado al valor propio 𝜆2 es 𝑣3 = (1 + 2𝑖,−2 − 2𝑖, 0,2)𝑡 .
Estos dos vectores 𝑣2, 𝑣3 nos proporcionan dos soluciones complejas:
𝑧1(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴𝑣2 = 𝑒
𝑡(−1+𝑖)(2,0,4, 𝑖 − 1)𝑡
𝑧2(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴𝑣3 = 𝑒
𝑡(−1+𝑖)𝑣3
= 𝑒𝑡(−1+𝑖)(𝑣2 + 𝑡(𝐴—1 + 𝑖)𝐼4)𝑣2
= 𝑒𝑡(−1+𝑖)((1 + 𝑡) + (2 + 𝑡)𝑖, −2 − 2𝑖, 2𝑡 + 2𝑡𝑖, 2 − 𝑡)𝑡.
Las partes reales y complejas de estas dos soluciones nos proporcionan las 4 soluciones que forman
un sistema fundamental de soluciones del sistema 𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡). Para ello utilizamos la fórmula de
Euler en 𝑧1(𝑡):
18
𝑧1(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴𝑣2 = 𝑒
𝑡(−1+𝑖)𝑣2 = 𝑒−𝑡[cos(t) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑡)] (
204
𝑖 − 1
)
= 𝑒−𝑡[cos(t) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑡)] [(
204−1
) + 𝑖 (
0001
)]
= 𝑒−𝑡 [cos(t) (
204−1
) − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) (
0001
)] + 𝑒−𝑡𝑖 [𝑠𝑒𝑛(𝑡) (
204−1
) + cos(t) (
0001
)].
Obteniendo dos soluciones reales:
𝑥1(𝑡) = 𝑒−𝑡 [cos(t) (
204−1
) − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) (
0001
)]
𝑥2(𝑡) = 𝑒−𝑡 [𝑠𝑒𝑛(𝑡) (
−2 − 𝑡2−2𝑡0
) + cos(t) (
1 + 𝑡−22𝑡2 − 𝑡
)].
Para obtener las otras dos calculamos las partes reales e imaginarias de 𝑧2(𝑡) y obtener:
𝑥3(𝑡) = 𝑒−𝑡 [cos(t) (
2 + 𝑡−𝑡−2𝑡0
) − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) (
1 + 𝑡−22𝑡2 − 𝑡
)]
𝑥4(𝑡) = 𝑒−𝑡 [𝑠𝑒𝑛(𝑡) (
204−1
) + cos(t) (
0001
)].
Notemos de nuevo que no se utiliza la información acerca del valor propio 𝜆1 = −1 − 𝑖 sino
que se saca provecho del hecho de que éste sea el conjugado de 𝜆2 = −1 + 𝑖. Y observemos
finalmente que todas las soluciones son de la forma:
𝑋(𝑡) = 𝑒−𝛼𝑡[𝑃(𝑡) cos(𝛽𝑡) + 𝑄(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑡)].
Donde 𝛼 𝑦 𝛽 es la parte real e imaginaria del autovalor 𝜆2 respectivamente y 𝑃(𝑡), 𝑄(𝑡) son
polinomios de grado menor que 𝑞 = 𝑚𝑎(𝜆2).
1.4. Sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes
En esta sección se desarrollará una forma de obtener analíticamente las soluciones de los
sistemas lineales no homogéneos de primer orden y de coeficientes constantes.
Definición 1.14. Un sistema de ecuaciones lineales de primer orden no homogéneo con coeficientes
constante es un sistema cuya forma está dada por
19
𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡)
donde la matriz A es de números reales, es decir, no depende de la variable independiente t y 𝑏(𝑡)
es un vector columna de funciones continuas.
Por Teorema 1.7, la solución general del sistema 𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡) es la suma de la
solución general del sistema homogéneo asociado 𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) y de una solución particular del
sistema no homogéneo. Luego usando lo desarrollado en la sección 1.3 obtenemos la solución
general del sistema homogéneo asociado y aplicando el método de variación de parámetro
obtenemos la solución particular del sistema de ecuaciones lineales de primer orden no
homogéneo.
Cuando las funciones que componen el vector 𝑏(𝑡) son del tipo polinómicas, exponenciales,
senos y cosenos o combinaciones de ellas suele usarse el método de coeficientes indeterminados
que permite determinar los coeficientes de la solución particular a partir de una solución propuesta.
La propuesta de solución se realiza en base a las componentes de 𝑏(𝑡). No desarrollaremos esta
metodología ya que sólo es aplicable en algunos casos.
20
CAPÍTULO II
Estabilidad en Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Los sistemas de ecuaciones diferenciales permiten modelar fenómenos de la vida real como
por ejemplo la dinámica de las epidemias. Sin embargo, muchas veces, las soluciones de éstos no se
pueden determinar explícitamente. En esta sección se mostrará que podemos obtener información
cualitativa sobre el comportamiento de las soluciones sin la necesidad de tener que conocerlas. Para
desarrollar esta teoría necesitamos tener presente las siguientes definiciones.
2.1. Sistemas autónomos planos
Definición 2.1. Un sistema autónomo plano es un sistema de dos ecuaciones diferenciales de la
forma
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑓1(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑓2(𝑥, 𝑦)
(1)
donde 𝑓1, 𝑓2 ∈ 𝐶1(ℝ2), es decir, son funciones continuas y con derivadas parciales de primer orden
continuas. El sistema se denomina autónomo porque la variable independiente 𝑡 no aparece
explícitamente en los segundos miembros de las ecuaciones dadas.
Las condiciones sobre 𝑓1 𝑦 𝑓2 garantizan la existencia y unicidad de la solución al problema
de valor inicial definido para todo 𝑡 ∈ ℝ dado por
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑓1(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑓2(𝑥, 𝑦)
𝑥(𝑡0) = 𝑥0𝑦(𝑡0) = 𝑦0
donde 𝑡0, 𝑥0, 𝑦0 ∈ ℝ.
2.1.1. Trayectorias
Muchas veces es posible obtener las trayectorias descritas por las soluciones de un sistema
autónomo, sin necesidad de obtener explícitamente dichas soluciones.
21
Definición 2.2. Una trayectoria u órbita es la curva 𝐶 ≡ [𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)] sobre el plano de fase, plano
formado por los pares de valores (𝑥, 𝑦), definida por el par de soluciones 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) del sistema (1).
Definición 2.3. Un vector tangente de la trayectoria en el punto (𝑥, 𝑦) es el vector dado por
(𝑓1(𝑥, 𝑦), 𝑓2(𝑥, 𝑦)) y al conjunto de estos vectores se denomina campo de direcciones.
Definición 2.4. Una solución en la que 𝑥(𝑡) = 𝑥0, 𝑦(𝑡) = 𝑦0 para todo 𝑡 ∈ ℝ define únicamente un
punto (𝑥0, 𝑦0) en el plano de fases y verifica que 𝑓1(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓2(𝑥0, 𝑦0) = 0 entonces (𝑥0, 𝑦0) es un
punto crítico o un equilibrio del sistema.
Observación 2.1. Cada punto del plano de fase o bien es un punto crítico o bien por él pasa una
única trayectoria.
Ejemplo 2.1. El siguiente es un sistema autónomo
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 1 − 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑥3 + 𝑦
cuyo único punto crítico es (−1,1) ya que es la única solución del sistema
{1 − 𝑦 = 0
𝑥3 + 𝑦 = 0.
Luego, (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (−1,1) es la única solución que permanece constante en el tiempo.
Cálculo de las trayectorias
Sea (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) una solución del sistema (1) que no permanece constante en el tiempo y sea
derivada 𝑑𝑥
𝑑𝑡≠ 0 en 𝑡 = 𝑡1 entonces en un entorno del punto 𝑥(𝑡1) = 𝑥1 se verifica que
𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑥=𝑓2(𝑥, 𝑦)
𝑓1(𝑥, 𝑦).
Por tanto, la trayectoria de esa solución verifica la ecuación diferencial de primer orden
𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑓2(𝑥, 𝑦)
𝑓1(𝑥, 𝑦).
Si 𝑑𝑥
𝑑𝑡= 0 para todo t, se tendrá que verificar que
𝑑𝑦
𝑑𝑡≠ 0 para todo t, por lo que la trayectoria de
esa solución verifica, análogamente, la ecuación diferencial
𝑑𝑥
𝑑𝑦=𝑓1(𝑥, 𝑦)
𝑓2(𝑥, 𝑦).
En cualquier caso, las trayectorias se podrán determinar resolviendo una ecuación diferencial de
primer orden.
22
Ejemplo 2.2. El sistema autónomo
{𝑥′ = 2𝑥𝑦
𝑦′ = 𝑦2 − 𝑥2
tiene un único punto crítico es el punto (0, 0) y las demás trayectorias se pueden obtener
resolviendo la ecuación homogénea
𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑦2 − 𝑥2
2𝑥𝑦
que es reducible a exacta con factor de integración 𝑢(𝑥) = 𝑥−2 y la solución es
𝜑(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑎)2 + 𝑦2 = 𝑎2.
Luego las trayectorias son todas las circunferencias de centro (𝑎, 0) y radio |a|, excluyendo
de ellas el punto (0, 0) como se muestra en la Figura 3.
Figura 3. Trayectorias del sistema dado por el Ejemplo 2.2.
A continuación se enunciaran las propiedades cualitativas de las trayectorias, estas nos
permiten obtener información sobre el comportamiento de las soluciones.
Propiedad 2.1. Cada trayectoria del plano de fases representa infinitas soluciones del sistema
autónomo, es decir, si (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) es una solución del sistema (1) entonces para cada 𝑐 ∈ ℝ se
tiene que (𝑥∗(𝑡), 𝑦∗(𝑡)) = (𝑥(𝑡 + 𝑐), 𝑦(𝑡 + 𝑐)) es otra solución de (1).
Propiedad 2.2. Dos trayectorias carecen de puntos comunes, es decir, si
(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) y (𝑥∗(𝑡), 𝑦∗(𝑡)) son soluciones del sistema (1), tales que la primera solución en 𝑡0 vale
(𝑥0, 𝑦0) y la segunda en 𝑡1 toma los mismos valores (𝑥0, 𝑦0), entonces existe un valor 𝑐 ∈ ℝ tal que
(𝑥∗(𝑡), 𝑦∗(𝑡)) = (𝑥(𝑡 + 𝑐), 𝑦(𝑡 + 𝑐)).
23
Propiedad 2.3. Las trayectorias cerradas corresponden a soluciones periódicas, es decir, si
(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) es una solución del sistema (1) que en dos instantes 𝑡0 y 𝑡0 + 𝑇 toma el mismo valor,
entonces (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (𝑥(𝑡 + 𝑇), 𝑦(𝑡 + 𝑇)) para todo t, es decir (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) es periódica.
2.2. Puntos de equilibrio
Supondremos en lo que sigue que los puntos críticos de los sistemas autónomos que
consideremos están aislados, esto es, existe un entorno del punto crítico donde no hay otro punto
crítico. Además, supondremos que el punto crítico aislado a estudiar es el (0,0), lo cual no supone
ningún tipo de restricción pues de no ser así bastará hacer un cambio de coordenadas adecuado,
esto es, si (𝑥0, 𝑦0) es un punto de equilibrio del sistema (1), el cambio de variable
𝑋 = 𝑥 − 𝑥0, 𝑌 = 𝑦 − 𝑦0
transforma dicho sistema en
{
𝑑𝑋
𝑑𝑡= 𝑓1(𝑋 + 𝑥0, 𝑌 + 𝑦0)
𝑑𝑌
𝑑𝑡= 𝑓2(𝑋 + 𝑥0, 𝑌 + 𝑦0)
(2)
y (0,0) es un punto de equilibrio de (2).
2.2.1. Descripción geométrica de los puntos críticos
Definición 2.5. Un punto crítico aislado es denominado nodo cuando todas las trayectorias se
dirigen hacia el punto crítico o se alejan del mismo.
Definición 2.6. Un punto crítico aislado es llamado punto silla cuando las cuatro trayectorias en
forma de semirrecta, que determinan dos rectas que pasan por el punto crítico cumplen que si
𝑡 → +∞, dos de esas trayectorias se recorren hacia el origen; las otras dos, salen del punto crítico y
entre estas semirrectas hay cuatro regiones, cada una de las cuales contiene trayectorias que son
ramas de hipérbolas. Cuando 𝑡 → +∞, estas trayectorias no tienden hacia el punto crítico, sino que
son asintóticas a algunas de las semirrectas que pasan por el punto.
Definición 2.7. Un punto crítico es considerado un centro cuando las trayectorias son curvas
cerradas que rodean al punto crítico de modo que ninguna trayectoria tiende a él cuando 𝑡 → +∞ o
𝑡 → −∞.
Definición 2.8. A un punto crítico aislado se lo conoce como un foco o espiral si las trayectorias son
curvas en forma de espiral que, conforme 𝑡 → +∞, pueden presentar dos situaciones, o bien todas
se acercan al punto crítico, o bien, todas se separan de él.
24
En la Figura 1 y Figura 2 se representan gráficamente los cuatro tipos de puntos críticos:
Figura 1. Representación de un punto de equilibrio que es un nodo
Figura 2. Representación de un punto de equilibrio que es: a) punto silla, b) espiral o foco y c) centro.
2.2.2. Estabilidad de los puntos críticos
Definición 2.9. El punto crítico (0,0) del sistema (1) es estable si para todo número 𝑅 > 0, existe
algún 𝑟 > 0, 𝑟 ≤ 𝑅, tal que cada trayectoria que está dentro del círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 en algún
momento 𝑡 = 𝑡0, permanezca dentro del círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 para todos los 𝑡 > 𝑡0, esto es, si una
trayectoria está cerca del punto de equilibrio, se mantendrá cerca a lo largo del tiempo.
Definición 2.10. El punto crítico (0,0) del sistema (1) es asintóticamente estable, cuando es estable
y existe algún número 𝑟0 > 0, tal que para toda trayectoria que está dentro del círculo 𝑥2 + 𝑦2 =
𝑟02 en algún momento 𝑡 = 𝑡0, se aproxime al origen cuando 𝑡 → +∞, es decir, las trayectorias
cercanas no sólo se mantienen cerca, sino que se aproximan al punto de equilibrio a lo largo del
tiempo.
Definición 2.11. El punto crítico (0,0) del sistema (1) es inestable cuando no es estable, es decir, las
trayectorias que empiezan cerca del punto de equilibrio se alejan de este punto a lo largo del
tiempo.
-5 0 5
-10
-50
51
0
x
y
-5 0 5
-10
-50
51
0
x
y
25
2.2.3. Análisis cualitativo de los sistemas lineales
En este apartado veremos que en el caso de los sistemas autónomos lineales, la clasificación
y la estabilidad del punto crítico están dadas por los autovalores de la matriz asociada al sistema.
Consideremos un sistema autónomo lineal:
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦
cuyo único punto crítico es el (0,0). Esto equivale a que la matriz 𝐴 = (𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2
) tenga determinante
no nulo, y por lo tanto sus autovalores son distintos de cero. En función del comportamiento de las
trayectorias en relación con el punto crítico aislado (0, 0), éste se denominará: nodo, punto de silla,
centro, o foco.
Teorema 2.1. Dado el sistema
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦
donde el det (𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2
) ≠ 0, por lo cual existe un único punto crítico, el (0,0). Entonces si 𝜆1, 𝜆2 son
los autovalores de la matriz (𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2
) se cumple que:
a) Si 𝜆1, 𝜆2 son reales distintos y del mismo signo entonces el punto crítico (0,0) es un nodo.
b) Si 𝜆1, 𝜆2son reales distintos y de signos opuestos entonces el punto crítico (0,0) es un punto silla.
c) Si 𝜆1, 𝜆2son complejos conjugados pero no imaginarios puros entonces el punto crítico (0,0) es un
espiral.
d) Si 𝜆1, 𝜆2son imaginarios puros entonces el punto crítico (0,0) es un centro.
e) Si 𝜆1, 𝜆2son reales e iguales entonces el punto crítico (0,0) es un nodo (también llamado nodo
impropio).
Demostración.
a) Dado que 𝜆1, 𝜆2 son los autovalores asociados al sistema y que ellos son reales distintos se
tienen las siguientes soluciones del sistema:
{𝑥(𝑡) = 𝑐1𝐴1𝑒
𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐴2𝑒𝜆2𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑐1𝐵1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐵2𝑒
𝜆2𝑡
donde 𝐴1, 𝐵1 son las componentes del autovector asociado al autovalor 𝜆1 y 𝐴2, 𝐵2 son las
componentes del autovector asociado al autovalor 𝜆2. Sin pérdida de generalidad supongamos que
𝜆1 < 𝜆2 < 0 y analicemos el comportamiento de las trayectorias en función de los coeficientes 𝑐1 y
𝑐2.
26
Cuando 𝑐2 = 0 obtenemos las soluciones
{𝑥(𝑡) = 𝑐1𝐴1𝑒
𝜆1𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑐1𝐵1𝑒𝜆1𝑡.
Luego si 𝑐1 > 0 la solución representa una trayectoria consistente en la semirrecta 𝐴1𝑦 = 𝐵1𝑥
mientras que si 𝑐1 < 0 representa una trayectoria que consta de la semirrecta complementaria a la
anterior. Como 𝜆1 < 0, ambas trayectorias en forma de semirrecta tienden al origen cuando 𝑡 → ∞
y ambas alcanzan el origen porque 𝑒𝜆1𝑡 disminuye cuando 𝑡 aumenta.
Cuando 𝑐1 = 0 obtenemos las soluciones
{𝑥(𝑡) = 𝑐2𝐴2𝑒
𝜆2𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑐2𝐵2𝑒𝜆2𝑡.
Como en el caso anterior, las soluciones representan semirrectas sobre la recta 𝐴2𝑦 = 𝐵2𝑥 . Igual
que en el caso anterior, como 𝜆2 < 0 ambas trayectorias en forma de semirrecta tienden al origen
cuando 𝑡 → ∞ y ambas alcanzan el origen porque 𝑒𝜆2𝑡 disminuye cuando 𝑡 aumenta.
Cuando c1 ≠ 0, c2 ≠ 0 la solución representa trayectorias curvas. Dado que λ1 < λ2 < 0,
entonces estas trayectorias tienden a (0, 0) cuando 𝑡 → ∞ ycomo 𝜆1 − 𝜆2 < 0 e
𝑦(𝑡)
𝑥(𝑡)=𝑐1𝐵1𝑒
𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐵2𝑒𝜆2𝑡
𝑐1𝐴1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐴2𝑒𝜆2𝑡=
𝑐1𝐵1𝑐2
𝑒(𝜆1−𝜆2)𝑡 + 𝐵2
𝑐1𝐴1𝑐2
𝑒(𝜆1−𝜆2)𝑡 + 𝐴2
se tiene que 𝑦(𝑡)
𝑥(𝑡)→
𝐵2
𝐴2 cuando 𝑡 → ∞ así que las trayectorias alcanzan al punto (0, 0) con pendiente
𝐵2
𝐴2.
De acuerdo a lo analizado el (0, 0) es un nodo que es asintóticamente estable como se
muestra en la Figura 3.
Figura 3. Representación de las soluciones del sistema cuando 𝜆1 < 𝜆2 < 0
Si 𝜆1 > 𝜆2 > 0, la situación es exactamente la misma, excepto que las trayectorias salen de (0, 0)
cuando 𝑡 → ∞, las flechas son al contrario del caso anterior, de este modo (0, 0) es un nodo
inestable.
b) Dado que 𝜆1, 𝜆2son los autovalores asociados al sistema y que son reales distintos con signos
opuestos, las soluciones del sistema son las mismas que en caso anterior.
27
Sin pérdida de generalidad supongamos que 𝜆1 < 0 < 𝜆2 y analicemos el comportamiento de las
trayectorias en función de los coeficientes 𝑐1 y 𝑐2
Cuando 𝑐2 = 0, se tiene la misma situación que en el caso a) semirrectas complementarias
sobre la recta 𝐴1𝑦 = 𝐵1𝑥 donde ambas trayectorias tienden al origen cuando 𝑡 → ∞.
Cuando 𝑐1 = 0, nuevamente como en el caso a) las trayectorias consisten en las semirrectas
complementarias de la recta 𝐴2𝑦 = 𝐵2𝑥 pero en este caso como 𝜆2 > 0 ambas trayectorias en
forma de semirrecta salen del origen y se alejan del mismo cuando 𝑡 → ∞.
Cuando 𝑐1 ≠ 0, 𝑐2 ≠ 0 las soluciones representan trayectorias curvas; como 𝜆1 < 0 < 𝜆2,
entonces
lim𝑡→∞
𝑦(𝑡)
𝑥(𝑡)= lim𝑡→∞
𝑐1𝐵1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐵2𝑒
𝜆2𝑡
𝑐1𝐴1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐴2𝑒𝜆2𝑡= lim𝑡→∞
𝑐1𝐵1𝑐2
𝑒(𝜆1−𝜆2)𝑡 + 𝐵2
𝑐1𝐴1𝑐2
𝑒(𝜆1−𝜆2)𝑡 + 𝐴2
=𝐵2𝐴2
lim𝑡→−∞
𝑦(𝑡)
𝑥(𝑡)= lim𝑡→−∞
𝑐1𝐵1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐵2𝑒
𝜆2𝑡
𝑐1𝐴1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐴2𝑒𝜆2𝑡= lim𝑡→−∞
𝐵1 +𝑐2𝐵2𝑐1
𝑒(𝜆2−𝜆1)𝑡 +
𝐴1 +𝑐2𝐴2𝑐1
𝑒(𝜆2−𝜆1)𝑡=𝐵1𝐴1.
Luego una trayectoria curva es asintótica a una de las semirrectas generadas por 𝑐1 = 0 cuando
𝑡 → ∞ y asintótica a una de las semirrectas generadas por 𝑐2 = 0 cuando 𝑡 → −∞.
De acuerdo a lo analizado el (0, 0) es un punto de silla como se muestra en la Figura 4.
Figura 4. Representación de las soluciones del sistema cuando 𝜆1 < 0 < 𝜆2
c) Dados 𝜆1 = 𝑎 + 𝑖𝑏 y 𝜆2 = 𝑎 − 𝑖𝑏 con 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 los autovalores asociados al sistema, la
solución general a valores reales es:
{𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑒
𝑎𝑡(𝐴1 cos(𝑏𝑡) − 𝐴2𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡)) + 𝑐2𝑒𝑎𝑡(𝐴1𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) + 𝐴2 cos(𝑏𝑡))
𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒𝑎𝑡(𝐵1 cos(𝑏𝑡) − 𝐵2𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡)) + 𝑐2𝑒
𝑎𝑡(𝐵1𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) + 𝐵2 cos(𝑏𝑡))
donde 𝐴𝑖, 𝐵𝑖 son las componentes del autovector asociado al autovalor 𝜆𝑖 y 𝑐𝑖.constantes
arbitrarias.
Si 𝑎 < 0 entonces 𝑥 → 0 e 𝑦 → 0 cuando 𝑡 → ∞ por lo que todas las trayectorias tienden a
(0,0) cuando 𝑡 → ∞ y el punto (0,0) es asintóticamente estable. Probemos que las trayectorias
28
tienden a (0,0) cuando 𝑡 → ∞ en forma de espirales. Para ello trabajamos en coordenadas polares y
mostramos que a lo largo de cualquier trayectoria, el signo de 𝑑𝜃
𝑑𝑡 , donde 𝜃 = tan−1
𝑦
𝑥, no cambia
para todo 𝑡.
Derivando 𝜃 y sustituyendo por las ecuaciones del sistema se tiene:
𝑑𝜃
𝑑𝑡=𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡− 𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑡
𝑥2 + 𝑦2=𝑥(𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦) − 𝑦(𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦)
𝑥2 + 𝑦2=𝑎2𝑥
2 + (𝑏2 − 𝑎1)𝑥𝑦 − 𝑏1𝑦2
𝑥2 + 𝑦2.
Como estamos interesados sólo en soluciones que representan trayectorias, suponemos 𝑥2 + 𝑦2 ≠
0. Al ser 𝜆1, 𝜆2 imaginarios, el discriminante de la ecuación característica, ∆= (𝑎1 + 𝑏2)2 −
4(𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1), es negativo, luego (𝑎1 − 𝑏2)2 + 4𝑎2𝑏1 < 0 entonces 𝑎2 𝑦 𝑏1 deben tener signos
opuestos.
Supongamos que 𝑎2 > 0, 𝑏1 < 0 y analicemos como es entonces 𝑑𝜃
𝑑𝑡.
Si 𝑦 = 0 entonces 𝑑𝜃
𝑑𝑡= 𝑎2 > 0
Si 𝑦 ≠ 0 entonces 𝑑𝜃
𝑑𝑡≠ 0 pues de lo contrario 0 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡=𝑎2𝑥
2+(𝑏2−𝑎1)𝑥𝑦−𝑏1𝑦2
𝑥2+𝑦2 implicaría que
0 = 𝑎2𝑥2 + (𝑏2 − 𝑎1)𝑥𝑦 − 𝑏1𝑦
2 , luego 𝑎2 (𝑥
𝑦)2
+ (𝑏2 − 𝑎1)𝑥
𝑦− 𝑏1 = 0 para algún número real
𝑥
𝑦
pero esto no es cierto ya que el discriminante de esta última ecuación es (𝑏2 − 𝑎1)2 + 4𝑎2𝑏1 < 0.
Dado que 𝑑𝜃
𝑑𝑡 es continua, que si 𝑦 = 0 entonces
𝑑𝜃
𝑑𝑡= 𝑎2 > 0 y que si 𝑦 ≠ 0 entonces
𝑑𝜃
𝑑𝑡≠ 0
se concluye que 𝑑𝜃
𝑑𝑡> 0 cuando 𝑎2 > 0, 𝑏1 < 0.Un análisis similar se realiza al considerar
𝑎2 < 0, 𝑏1 > 0 obteniéndose que 𝑑𝜃
𝑑𝑡< 0. En conclusión 𝜃(𝑡) es una función siempre creciente para
todo 𝑡 o siempre decreciente para todo 𝑡, luego las trayectorias llegan o parten del origen.
Por la forma que presenta la solución de este sistema, 𝑥 e 𝑦 cambian de signo infinitas veces
cuando 𝑡 → ∞,es decir, todas las trayectorias giran en espiral alrededor del origen en sentido
contrario a las agujas del reloj si 𝑎2 > 0 y en sentido horario si 𝑎2 < 0. Luego el punto crítico es
espiral como se muestra en la Figura 5.
Figura 5. Representación de las soluciones del sistema
cuando 𝜆1 y 𝜆2 son complejos conjugados no puros.
29
Si 𝑎 > 0, la situación es la misma pero en este caso las trayectorias tienden a (0,0) cuando
𝑡 → −∞ y el punto crítico es inestable.
d) Dados λ1 = bi y λ2 = −bi los autovalores asociados al sistema, la solución general es
{𝑥(𝑡) = 𝑐1(𝐴1 cos(𝑏𝑡) − 𝐴2𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡)) + 𝑐2(𝐴1𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) + 𝐴2 cos(𝑏𝑡))
𝑦(𝑡) = 𝑐1(𝐵1 cos(𝑏𝑡) − 𝐵2𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡)) + 𝑐2(𝐵1𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) + 𝐵2 cos(𝑏𝑡))
donde 𝐴𝑖, 𝐵𝑖 son las componentes del autovector asociado al autovalor 𝜆𝑖 y 𝑐𝑖 constantes
arbitrarias.
Luego 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) son periódicas y cada trayectoria es una curva cerrada que rodea al origen, en
forma general tiene forma de elipse. Luego (0,0) es un centro como se muestra en la Figura 6.
Figura 6. Representación de las soluciones del sistema
cuando 𝜆1 y 𝜆2 son complejos conjugados puros.
e) Dados λ1 y λ2 los autovalores reales e iguales, consideremos λ1 = λ2 < 0. Hay dos casos
que requieren análisis por separado: i) a1 = b2 ≠ 0 y a2 = b1 = 0 y ii) todas las demás
posibilidades que conducen a una raíz doble de la ecuación característica asociada al sistema.
Caso i): Al considerar 𝑎1 = 𝑏2 ≠ 0 y 𝑎2 = 𝑏1 = 0 y llamando𝑎 = 𝑎1 = 𝑏2 ≠ 0 , el sistema de
ecuaciones que se obteien es:
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑎𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑎𝑦
cuya solución general es 𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑒𝜆1𝑡 = 𝑐1𝑒
𝑎𝑡 e 𝑦(𝑡) = 𝑐2𝑒𝜆1𝑡 = 𝑐2𝑒
𝑎𝑡 donde 𝑐𝑖.son constantes
arbitrarias.
Las trayectorias 𝑦 =𝐶2
𝑐1𝑥 son semirrectas de todas las pendientes posibles pues 𝑐1 y 𝑐2 son
constantes arbitrarias. Además como 𝜆1 < 0, entonces estas trayectorias tienden y alcanzan al
punto (0, 0) cuando 𝑡 → ∞, de donde (0, 0) es un nodo asintóticamente estable como se muestra
en la Figura 7.
30
Figura 7. Representación de las soluciones del sistema
cuando 𝜆1 = 𝜆2 < 0 y 𝑎1 = 𝑏2 ≠ 0 y 𝑎2 = 𝑏1 = 0.
Si 𝜆1 = 𝜆2 > 0, tenemos la misma situación, excepto que las trayectorias alcanzan al punto
(0, 0) cuando 𝑡 → ∞. Las flechas tienen el sentido contrario, pero el (0,0) sigue siendo un nodo
pero inestable.
Caso ii) Sabemos que la solución general para cuando las raíces son dobles presenta la siguiente forma
{𝑥(𝑡) = 𝑐1𝐴𝑒
𝜆1𝑡 + 𝑐2(𝐴1 + 𝐴𝑡)𝑒𝜆1𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑐1𝐵𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2(𝐵1 + 𝐵𝑡)𝑒
𝜆1𝑡
donde los coeficientes son constantes definidas (𝐴, 𝐴1, 𝐵 y 𝐵1) y 𝑐1, 𝑐2 son arbitrarias.
Cuando 𝑐2 = 0 entonces
{𝑥(𝑡) = 𝑐1𝐴𝑒
𝜆1𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑐1𝐵𝑒𝜆1𝑡
con lo cual las trayectorias son las semirrectas de la recta 𝐴𝑦 = 𝐵𝑥 con pendiente 𝐵
𝐴 y como 𝜆1 < 0
ambas trayectorias tienden a (0,0) cuando 𝑡 → ∞.
Cuando 𝑐2 ≠ 0 entonces las soluciones representan trayectorias curvas y como 𝜆1 < 0
entonces las trayectorias tienden a (0,0) cuando 𝑡 → ∞. Además:
𝑦
𝑥=𝑐1𝐵𝑒
𝜆1𝑡 + 𝑐2(𝐵1 + 𝐵𝑡)𝑒𝜆1𝑡
𝑐1𝐴𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2(𝐴1 + 𝐴𝑡)𝑒𝜆1𝑡=
𝑐1𝑐2𝐵 + 𝐵1 + 𝐵𝑡
𝑐1𝑐2𝐴 + 𝐴1 + 𝐴𝑡
→𝐵
𝐴
cuando 𝑡 → ∞. Luego estas trayectorias curvas llegan a (0,0) con pendiente 𝐵
𝐴, la pendiente de las
trayectorias cuando 𝑐2 = 0 . Entonces (0,0) es un nodo asintóticamente estable como se observa
en la Figura 8.
En la demostración del teorema anterior hemos hecho afirmaciones relativas a la estabilidad
del punto crítico del sistema que se pueden resumir en el siguiente teorema:
Teorema 2.2. El punto crítico (0,0) del sistema lineal
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦
31
es estable si y sólo si ambas raíces de la ecuación característica tienen partes reales no positivas, y
es asintóticamente estable si y sólo si ambas raíces tienen partes reales negativas.
Figura 8. Representación de las soluciones del sistema
cuando 𝜆1 = 𝜆2 < 0 y no estamos en la situación 𝑎1 = 𝑏2 ≠ 0 y 𝑎2 = 𝑏1 = 0
La estabilidad del punto crítico en los sistemas lineales también puede analizarse a partir de
los coeficientes de la ecuación característica del sistema.
Sea 𝜆2 + (𝑎1 + 𝑏2)𝜆 + 𝑎1𝑏2 − 𝑏1𝑎2 la ecuación característica del sistema lineal donde 𝜆1, 𝜆2
son las raíces de dicha ecuación, entonces podemos escribirla en forma factorizada, es decir,
(𝜆 − 𝜆1)(𝜆 − 𝜆2) = 𝜆2 − 𝜆(𝜆1 − 𝜆2) + 𝜆1𝜆2 = 𝜆
2 + 𝑝𝜆 + 𝑞
donde −(𝜆1 − 𝜆2) = 𝑝 y 𝜆1𝜆2 = 𝑞.
Veamos que los cinco casos anteriores se pueden describir en términos de 𝑝 y 𝑞 ya que el
tipo de raíces de la ecuación característica depende de 𝑝 y 𝑞 dado que ellas están dadas por:
𝜆1,2 =−𝑝 ± √𝑝2 − 4𝑞
2.
Es importante notar que 𝑞 ≠ 0 pues 𝜆1𝜆2 es el determinante del sistema y este es distinto
de cero, luego 𝑞 < 0 o 𝑞 > 0. Analicemos como son los autovalores en estos casos:
Si 𝑞 < 0, 𝑝2 − 4𝑞 > 0, luego los autovalores son reales y serán distintos, además de signos
opuestos. Este es el caso del punto silla.
Si 𝑞 > 0 puede ocurrir:
𝑝2 − 4𝑞 < 0, luego 𝜆1, 𝜆2 son números complejos que serán imaginarios puros si y sólo si 𝑝 = 0.
Estos son los casos donde el punto crítico es un espiral o un centro, según el caso. La estabilidad
en el caso del espiral depende del signo de 𝑝, cuando 𝑝 > 0 el punto será inestable mientras que
si 𝑝 < 0 será estable.
𝑝2 − 4𝑞 ≥ 0, luego 𝜆1, 𝜆2 son números reales siendo 𝜆1 ≠ 𝜆2 y de igual signo cuando
𝑝2 − 4𝑞 > 0 y 𝜆1 = 𝜆2 cuando 𝑝2 − 4𝑞 = 0. Estos son los casos donde el punto crítico es un
nodo, siendo asintóticamente estable cuando 𝑝 > 0 e inestable cuando 𝑝 < 0.
Lo expresado anteriormente puede representarse en el plano 𝑝𝑞, obteniéndose el siguiente
diagrama (Figura 9) donde se puede observar el primer cuadrante excluyendo los ejes, es una región
32
con estabilidad asintótica; el eje positivo q corresponde a centros y por tanto es estable; el segundo,
tercero y cuarto cuadrante son regiones inestables.
Figura 9. Representación de la solución del sistema lineal en función de sus coeficientes.
Como se puede observar existe una única región de estabilidad asintótica, el primer
cuadrante, esto es cuando 𝑝 > 0 y 𝑞 > 0. Esto lo expresamos más formalmente en el siguiente
teorema:
Teorema 2.3. El punto crítico (0,0) del sistema lineal
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦
es asintóticamente estable si y sólo si los coeficientes −(𝜆1 − 𝜆2) = 𝑝 y 𝜆1𝜆2 = 𝑞, de la ecuación
auxiliar son ambos positivos.
Ejemplo 2.3. Utilizando los distintos métodos desarrollados, analizamos la estabilidad del punto
crítico de los sistemas:
a) {
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −𝑥 + 2𝑦
b){
𝑑𝑥
𝑑𝑡= −𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑥
a) El único punto crítico del sistema es el (0,0). Independientemente del método a utilizar para
analizar su estabilidad debemos calcular la ecuación característica del sistema que es:
|𝐴 − 𝜆𝐼| = |(1 − 𝜆 0−1 2 − 𝜆
)| = (2 − 𝜆)(1 − 𝜆) = 𝜆2 − 3𝜆 + 2.
Debido a que los autovalores del sistema son 𝜆1 = 1 y 𝜆2 = 2, valores reales distintos y positivos, el
punto crítico es un nodo inestable.
Si miramos los coeficientes de la ecuación característica tenemos que p=-3 y q=2, además 𝑝2 −
4𝑞 = 9 − 4.2 = 1 ≥ 0 luego estamos en el segundo cuadrante lo que nos indica que el punto
33
crítico es inestable y como el punto (-3,2) está por debajo de la parábola el punto crítico es un nodo,
luego el punto crítico es un nodo inestable.
b) El único punto crítico del sistema es el (0,0) y su ecuación característica es:
|𝐴 − 𝜆𝐼| = |(−𝜆 −11 −𝜆
)| = 𝜆2 + 1 = (𝜆 + 𝑖)(𝜆 − 𝑖).
Luego los autovalores del sistema son 𝜆1 = 𝑖 y 𝜆2 = −𝑖, valores complejos puros, luego el punto
crítico es un centro estable.
Por otra parte, los coeficientes de la ecuación característica son p=0 y q=1, esto indica que estamos
sobre el eje q por lo cual el punto crítico es un centro estable.
Estos ejemplos, muestran como trabajar con cada una de las metodologías para analizar la
estabilidad del punto crítico.
2.2.4. Análisis cualitativo de los sistemas no lineales
Consideremos el sistema autónomo
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑓1(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑓2(𝑥, 𝑦)
(1)
tal que las funciones 𝑓1(𝑥, 𝑦)y 𝑓2(𝑥, 𝑦) sean de clase 𝐶1(ℝ2). Supongamos que tal sistema tiene un
punto crítico en (𝑥0, 𝑦0) entonces aproximando𝑓1(𝑥, 𝑦)y 𝑓2(𝑥, 𝑦) en un entorno del punto
(𝑥0, 𝑦0)por sus respectivos planos tangentes en dicho punto, se tiene:
𝑓1(𝑥, 𝑦) ≈𝜕𝑓1𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) +
𝜕𝑓1𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)
𝑓2(𝑥, 𝑦) ≈𝜕𝑓2𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) +
𝜕𝑓2𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)
que cuando (𝑥, 𝑦) ≈ (𝑥0, 𝑦0) podemos escribirlo en forma matricial como
𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓1(𝑥, 𝑦)
𝑓2(𝑥, 𝑦)) ≈ 𝐴. (
(𝑥 − 𝑥0)
(𝑦 − 𝑦0))
donde 𝐴 es la matriz jacobiana del campo (𝑓1(𝑥, 𝑦)
𝑓2(𝑥, 𝑦)) en el punto (𝑥0, 𝑦0), es decir,
𝐴 =
(
𝜕𝑓1𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0)
𝜕𝑓1𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0)
𝜕𝑓2𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0)
𝜕𝑓2𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0)
)
.
De esta manera, podemos pensar que el sistema no lineal (1) se encuentra próximo al sistema
lineal
34
(
𝑑𝑥
𝑑𝑡𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = 𝐴. ((𝑥 − 𝑥0)
(𝑦 − 𝑦0)) (2)
cuando (𝑥, 𝑦) permanece en un entorno de (𝑥0, 𝑦0), y por consiguiente es esperable que el
comportamiento de las trayectorias de (1) cerca del punto crítico (𝑥0, 𝑦0) sea similar al de las
trayectorias del sistema linealizado (2). Este proceso se denomina linealización.
Si realizamos el cambio de variable 𝑋 = 𝑥 − 𝑥0, 𝑌 = 𝑦 − 𝑦0 entonces tenemos
(
𝑑𝑋
𝑑𝑡𝑑𝑌
𝑑𝑡
) = 𝐴. (𝑋𝑌) (3)
cuyo punto de equilibrio es (0,0).
A continuación veremos que, en general, el punto de equilibrio (𝑥0, 𝑦0) del sistema
autónomo (1) hereda la estabilidad, y en algunos casos la naturaleza, del punto de equilibrio (0,0)
del sistema lineal (3). Pero antes es importante notar que si el punto crítico (0,0) del sistema (3) es
aislado entonces el punto crítico (𝑥0, 𝑦0) del sistema (1) también lo es, es decir, existe un círculo
centrado en (𝑥0, 𝑦0) que no contiene ningún otro punto crítico.
Teorema 2.4. Linealización de Liapunov y Poincaré.
1- El punto crítico (𝑥0, 𝑦0) del sistema (1) es asintóticamente estable si y sólo si todos los
autovalores de la matriz A poseen parte real negativa; esto es, si el punto crítico (0,0) del sistema
(3) es asintóticamente estable.
2- El punto crítico (𝑥0, 𝑦0) del sistema (1) es inestable si y sólo la matriz A del sistema posee
un autovalor con parte real positiva; es decir, el punto crítico (0,0) es inestable para el sistema (3).
Más aún si (x0, y0) es el punto crítico del sistema (1) y λ1, λ2 los autovalores de A tal que
λ1 ≠ λ2 y no nulos entonces se tiene la siguiente clasificación de (x0, y0):
Si 𝜆1 < 𝜆2 < 0 entonces (𝑥0, 𝑦0) es un nodo asintóticamente estable.
Si 𝜆1 > 𝜆2 > 0 entonces (𝑥0, 𝑦0) es un nodo inestable.
Si 𝜆1 < 0 < 𝜆2 entonces (𝑥0, 𝑦0) es un punto silla.
Si 𝜆1 no es real y 𝑅𝑒(𝜆1) < 0 entonces (𝑥0, 𝑦0) es un foco asintóticamente estable.
Si 𝜆1 no es real y 𝑅𝑒(𝜆1) > 0 entonces (𝑥0, 𝑦0) es un foco inestable.
Como hemos visto, a partir de la linealización de 𝑓 es posible, a veces, determinar la
estabilidad del punto crítico (𝑥0, 𝑦0) de la misma forma que se hacía en el caso de un sistema
lineal. Sin embargo, cuando el punto (0,0) del sistema lineal (3) es estable, pero no
asintóticamente estable, es decir, cuando la matriz jacobiana A posee un par de autovalores
complejos puros (en este caso el punto se llama hiperbólico), o cuando 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 0 y A no posee un
autovalor real positivo, el proceso de linealización no proporciona información sobre la estabilidad
del punto crítico (𝑥0, 𝑦0) para el sistema (1).
35
Ejemplo 2.4. Dado el sistema
{𝑥′ = 𝑦 + 𝜇𝑥(𝑥2 + 𝑦2)
𝑦′ = −𝑥 + 𝜇𝑦(𝑥2 + 𝑦2).
Ilustraremos que el proceso de linealización en este caso no proporciona información sobre la
estabilidad del punto de equilibrio (0,0). Esto se debe a que todos los autoavalores del jacobiano
evaluado en el equilibrio son imaginarios puros.
Al considerar el sistema linealizado, en este caso, 𝜇 = 0 el punto de equilibrio es estable (Figura 10
c)) mientras que en el sistema original, la estabilidad depende del signo de 𝜇. Siendo
asintóticamente estable cuando 𝜇 < 0 (Figura 10 b) ) e inestable cuando 𝜇 > 0 (Figura 10 a) ).
Figura 10. Representación de la estabilidad del sistema cuando a) 𝜇 > 0,b) 𝜇 < 0, c) 𝜇 = 0.
2.2.4.1. Método directo de Lyapunov
Este método permite estudiar la estabilidad de un punto crítico aislado de un sistema
autónomo, si bien se puede aplicar también en las situaciones contempladas en el teorema de
linealización en la práctica su uso se limita a las situaciones no contempladas en éste.
36
Antes de formular el teorema y aplicarlo se mencionan algunas definiciones que serán
utilizadas luego. Además es importarte mencionar que en lo que sigue supondremos, sin pérdida de
generalidad, que el punto crítico aislado del sistema (1) es (0,0).
Definición 2.12. Se dice que la función real de dos variables 𝐸(𝑥, 𝑦) es definida positiva cuando
𝐸(0,0) = 0 y 𝐸(𝑥, 𝑦) > 0∀(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0).
Definición 2.13. Se dice que la función real de dos variables 𝐸(𝑥, 𝑦) es semidefinida positiva cuando
𝐸(0,0) = 0 y 𝐸(𝑥, 𝑦) ≥ 0∀(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0).
Definición 2.14. Se dice que la función real de dos variables 𝐸(𝑥, 𝑦) es definida negativa cuando
𝐸(0,0) = 0 y 𝐸(𝑥, 𝑦) < 0∀(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0).
Definición 2.15. Se dice que la función real de dos variables 𝐸(𝑥, 𝑦) es semidefinida negativa
cuando 𝐸(0,0) = 0 y 𝐸(𝑥, 𝑦) ≤ 0∀(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0).
Definición 2.16. Se dice que la función 𝐸(𝑥, 𝑦) definida en alguna región que contiene al origen,
continua y con derivadas parciales de primer orden continuas, es una función de Liapunov para el
sistema (1) cuando 𝐸(𝑥, 𝑦) es definida positiva y 𝐸′(𝑥, 𝑦) =𝜕𝐸
𝜕𝑥𝑓1 +
𝜕𝐸
𝜕𝑦𝑓2 es semidefinida positiva.
Teorema 2.5. Dado el sistema no lineal (1)
1) Si existe una función de Liapunov 𝐸(𝑥, 𝑦) para el sistema (1), entonces el punto crítico
(0,0) es estable. Además, si esa función verifica que 𝐸′(𝑥, 𝑦) =𝜕𝐸
𝜕𝑥𝑓1 +
𝜕𝐸
𝜕𝑦𝑓2 es definida negativa
entonces el punto crítico (0,0) es asintóticamente estable.
2) Si existe una función 𝐸(𝑥, 𝑦) con las siguientes propiedades:
i) 𝐸(𝑥, 𝑦) continua con derivadas parciales de primer orden en alguna región que contiene al
origen,
ii) 𝐸(0,0) = 0, y cada círculo centrado en (0,0) contiene al menos un punto en el que 𝐸(𝑥, 𝑦) es
positiva, y
iii) 𝐸′(𝑥, 𝑦) =𝜕𝐸
𝜕𝑥𝑓1 +
𝜕𝐸
𝜕𝑦𝑓2 es definida positiva,
entonces el punto crítico (0,0) del sistema (1) es inestable.
Ejemplo 2.5. Sea el sistema autónomo dado por:
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= −3𝑥3 − 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑥5 − 2𝑦3
.
Busquemos los puntos críticos
37
{0 = −3𝑥3 − 𝑦 (𝑎)
0 = 𝑥5 − 2𝑦3 (𝑏).
De (a) se obtiene que −3𝑥3 = 𝑦 reemplazandolo en (b) 𝑥5 − 2(−3𝑥3)3 = 𝑥5(1 + 54𝑥4) = 0 ↔
𝑥 = 0. Luego el sistema tiene un único punto crítico que es el (0, 0).
Una vez linealizado el sistema, se obtiene el jacobiano (−9𝑥2 −15𝑥4 −6𝑦2
)(0,0)
= (0 −10 0
) cuyo
determinante es cero, por lo que el proceso de linealización no brinda información.
Trataremos de buscar una función del tipo 𝐸(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥2𝑚 + 𝑏𝑦2𝑛 con 𝑎, 𝑏 > 0 y 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ya que
𝐸(𝑥, 𝑦) > 0, ∀(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)y 𝐸(0,0) = 0 es decir, es definida positiva. Además, considerando por
ejemplo: 𝑎 = 1, 𝑏 = 3, 𝑛 = 1,𝑚 = 3 se tiene
𝐸′(𝑥, 𝑦) = 𝑎2𝑚𝑥2𝑚−1(−3𝑥3 − 𝑦) + 𝑏2𝑛𝑦2𝑛−1(𝑥5 − 2𝑦3)
𝐸′(𝑥, 𝑦) = −18𝑥7 − 6𝑥5𝑦 + 6𝑦𝑥5 − 24𝑦4
𝐸′(𝑥, 𝑦) = −18𝑥7 − 24𝑦4.
Luego 𝐸′(𝑥, 𝑦) < 0, ∀(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) y 𝐸′(0,0) = 0.
Tomando entonces la función de Liapunov 𝐸(𝑥, 𝑦) = 𝑥6 + 3𝑦2, nos permite
asegurar que el punto crítico (0,0) de este sistema es asintóticamente estable.
38
CAPÍTULO III
Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
de Primer Orden
Muchas ecuaciones diferenciales carecen de solución analítica y aún si la tienen, no siempre
se la puede expresar en forma explícita o implícita. Para afrontar este problema se recurre a los
métodos numéricos que nos brindan de forma aproximada una solución de la ecuación diferencial
ordinaria para lo cual es necesario conocer el valor de la curva solución en un punto (PVI).
Estos métodos, en lugar de dar una formulación para y(t) producen una serie de pares
ordenados (tn, y(tn)) donde la primer componente se corresponde con el valor de la variable
independiente (tn) y la segunda es una aproximación de la solución en el punto tn. La serie de
puntos que se obtiene comienza con el punto (t0, y(t0))que es la condición inicial del problema a
resolver. Los demás tn ∈ [a, b], intervalo en el cual se desea aproximar la solución, y los valores
de y(tn) se obtienen de aplicar el método numérico.
En este capítulo desarrollamos una serie de métodos numéricos de paso simple, es decir,
métodos que permiten calcular el valor aproximado de y(tn) sólo utilizando el valor aproximado
obtenido para y(tn−1) que nos permiten aproximar la solución del problema de valor inicial
{
dy
dt= f(t, y)
y(t0) = y0
en el intervalo [a, b]. Suponiendo que f(t, y) cumple con las condiciones del teorema de existencia y
unicidad de soluciones podemos afirmar que esta ecuación diferencial tiene solución y es única en
[a, b].
Los métodos numéricos para las ecuaciones diferenciales de primer orden se pueden
adaptar para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.
3.1. Método de Euler
En el problema a valores iniaciales, 𝑓(𝑡, 𝑦) se interpreta como un campo de direcciones en el plano
𝑡𝑦 y la condición inicial 𝑦(𝑡0) = 𝑦0 como un punto (𝑡0, 𝑦0) de dicho plano, entonces podemos
aproximar la función solución 𝑦(𝑡) por medio de la recta tangente a la misma que pasa por ese
punto. Luego se tiene que
𝑦(𝑡) ≈ 𝑦0 + 𝑓(𝑡0, 𝑦0)(𝑡 − 𝑡0).
Calculamos así de manera aproximada el valor de la solución 𝑦(𝑡) en el punto de abscisa 𝑡1como:
39
𝑦(𝑡1) ≈ 𝑦1 = 𝑦0 + 𝑓(𝑡0, 𝑦0)(𝑡1 − 𝑡0)
y con esta aproximación, podemos repetir el método para obtener la aproximación de 𝑦(𝑡2)de la
misma forma, esto es:
𝑦(𝑡2) ≈ 𝑦2 = 𝑦1 + 𝑓(𝑡1, 𝑦1)(𝑡2 − 𝑡1)
y así sucesivamente.
Para facilitar el cálculo computacional, es habitual tomar abscisas equiespaciadas, es decir,
dividir el intervalo [𝑎, 𝑏] en N subintervalos de tamaño ℎ y calcular la solución aproximada en todos
los puntos de la forma: 𝑡𝑛 = 𝑡0 + 𝑛ℎ con 𝑛 = 1,… ,𝑁 , donde 𝑡0 = 𝑎, 𝑡𝑁 = 𝑏 y ℎ el paso del
método.
Luego los puntos, (𝑡𝑛, 𝑦𝑛), que aproximan la solución están dados por:
𝑡𝑛 = 𝑡0 + 𝑛ℎ
𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + 𝑓(𝑡𝑛−1, 𝑦𝑛−1)ℎ.
De esta forma el Método de Euler aproxima a la función solución por medio de una línea poligonal,
como se muestra en la siguiente figura.
Ejemplo 3.1. Dado el problema de valor inicial, 𝑦′ = 𝑦, 𝑦(0) = 1 aproximamos el valor de 𝑦(1)
mediante el método de Euler.
Tomemos 𝑁 = 2, entonces ℎ = 0.5, luego 𝑡0 = 0, 𝑡1 = 0.5 y 𝑡2 = 1. Según el método de Euler:
𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + 𝑓(𝑡𝑛−1, 𝑦𝑛−1)ℎ.
Por lo tanto:
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 1 + 0.5 ∙ 1 = 1.5
𝑦2 = 𝑦1 + ℎ𝑓(𝑥1, 𝑦1) = 1.5 + 0.5 ∙ 1.5 = 2.25
o sea 25.2)1( y . Dado que la solución exacta es 2.71828, el error cometido al aproximar con este
método es: |2.25 − 2.71828| = 0.468282.
40
3.2. Métodos de Taylor
El método de Euler lo hemos deducido a partir de la definición de la derivada, pero también
podríamos haberlo obtenido a partir del desarrollo de Taylor de orden n = 1 de la función solución,
y(t). Luego podemos encontrar mejores soluciones del problema a valores iniciales si el desarrollo
de Taylor se extiende hasta un orden 𝑛 > 1. Dado que el método de Taylor consiste en aproximar la
solución del problema de valor inicial por su polinomio de Taylor de orden n, es necesario suponer
que dicha solución es n veces derivable en un entorno de 𝑡0. Luego la función solución es
aproximada por:
𝑦(𝑡) ≅ 𝑦(𝑡0) + 𝑦′(𝑡0)(𝑡 − 𝑡0) +
1
2𝑦′′(𝑡0)(𝑡 − 𝑡0)
2+. .+𝑦(𝑁)(𝑡0)
𝑁!(𝑡 − 𝑡0)
𝑁
cuando 𝑛 = 𝑁 y el error de aproximación está dado por
𝑦(𝑁+1)(𝜉0)
(𝑁 + 1)!(𝑡 − 𝑡0)
𝑁+1, 𝜉0 ∈ (𝑡0, 𝑡).
Si fijamos una sucesión de puntos equiespaciados, 𝑡𝑛 = 𝑡0 + 𝑛ℎ, como en el caso anterior,
podemos obtener los pares (𝑡𝑛, 𝑦𝑛) aproximando la función solución en cada uno de los valores de
abscisa 𝑡𝑛 de la siguiente forma:
𝑦(𝑡𝑛) ≈ 𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + 𝑦′(𝑡𝑛−1)ℎ +
1
2𝑦′′(𝑡𝑛−1)ℎ
2 +⋯+𝑦(𝑁)(𝑡𝑛−1)
𝑁!ℎ𝑁.
Para calcular las derivadas de la solución en los distintos valores de abscisas contamos con la
primer derivada siendo, por ejemplo:
𝑦′′(𝑡) =𝑑𝑓(𝑡,𝑦)
𝑑𝑡= 𝑓′ =
𝜕𝑓
𝑑𝑡+𝜕𝑓
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡=𝜕𝑓
𝑑𝑡+𝜕𝑓
𝑑𝑦𝑓(𝑡, 𝑦) = 𝑓𝑡 + 𝑓𝑦𝑓.
𝑦′′′(𝑡) = 𝑓′′ = 𝑓𝑡𝑡 + 𝑓𝑡𝑦𝑓 + 𝑓𝑦𝑡𝑓 + 𝑓𝑦𝑦𝑓2 + 𝑓𝑦𝑓𝑡 + 𝑓𝑦
2𝑓
que pueden ser muy complejas si 𝑓 no es sencilla.
De este modo se obtienen las fórmulas que nos determinan la solución aproximada en la
forma:
𝑡𝑛 = 𝑡0 + 𝑛ℎ
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑇𝑁(𝑡𝑛, 𝑦(𝑡𝑛))
donde 𝑇𝑁 es el operador definido por
𝑇𝑁(𝑡, 𝑦) = 𝑓(𝑡, 𝑦) +ℎ
2𝑓′(𝑡, 𝑦) +
ℎ2
3!𝑓′′(𝑡, 𝑦) + ⋯+ 𝑓(𝑁−1)(𝑡, 𝑦)
ℎ𝑁−1
𝑁!.
Ejemplo 3.2. Dado el problema de valor inicial, 𝑦′ = 𝑦, 𝑦(0) = 1 aproximamos el valor de 𝑦(1)
mediante el método de Taylor de orden 2.
Tomamos N=2, siendo h=0.5, luego en dos pasos obtenemos la estimación. En el método de
Taylor de orden 2 se tiene:
𝑦(𝑡𝑛) ≈ 𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + 𝑦′(𝑡𝑛−1)ℎ +
1
2𝑦′′(𝑡𝑛−1)ℎ
2.
Como 𝑦’ = 𝑦, 𝑓 = 𝑦 :
41
𝑦′′(𝑡) =𝑑𝑓(𝑡, 𝑦)
𝑑𝑡= 𝑓′ =
𝜕𝑓
𝑑𝑡+𝜕𝑓
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡=𝜕𝑦
𝑑𝑡+𝜕𝑦
𝑑𝑦𝑦 = 𝑦 + 𝑦 = 2𝑦
𝑦(𝑡𝑛) ≈ 𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛−1 ℎ +1
22𝑦𝑛−1ℎ
2 = 𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛−1 ℎ + 𝑦𝑛−1ℎ2.
Luego en 𝑡1 = 0.5,
𝑦1 = 𝑦0 + 𝑦0ℎ + 𝑦0ℎ2 = 1 + 0.5 + 0.52 = 1.75
y en 𝑡2 = 1,
𝑦2 = 𝑦1 + 𝑦1ℎ + 𝑦1ℎ2 = 1.75 + 1.75 ∙ 0.5 + 1.75 ∙ 0.52 = 3.0625
o sea 𝑦(1) ≈ 3.0615. Dado que la solución exacta es 2.71828 el error cometido al aproximar con
este método es: |3.0615 − 2.71828| = 0.344218, menor al obtenido por el método de Euler.
3.3. Métodos de Runge-Kutta
En el método de Taylor el error disminuye al aumentar el orden del polinomio obteniéndose
muy buenas aproximaciones. Sin embargo, esto requiere mayor cantidad de cálculos haciendo que
el procedimiento sea lento por lo cual rara vez se emplea este método en la práctica.
El método de Runge Kutta permite prescindir del cálculo y evaluación de las derivadas de
𝑓(𝑡, 𝑦) dado que este método se basa en sustituir el problema a valor inicial por la ecuación integral
equivalente:
∫𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)𝑡
𝑡0
𝑑𝑡
𝑦(𝑡) − 𝑦(𝑡0) = ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)𝑡
𝑡0
𝑑𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡0) + ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)𝑡
𝑡0
𝑑𝑡
aproximando la última integral mediante un método numérico adecuado.
Si fijamos una sucesión de puntos equiespaciados, 𝑡𝑛 = 𝑡0 + 𝑛ℎ, como en los casos
anteriores, que dividen el intervalo [a,b] en subintervalos [𝑡𝑛−1, 𝑡𝑛], podemos obtener los pares
(𝑡𝑛, 𝑦𝑛) aproximando la función solución en cada uno de los valores de abscisa 𝑡𝑛 de la siguiente
forma:
𝑦(𝑡𝑛) ≈ 𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 +∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)𝑡𝑛
𝑡𝑛−1
𝑑𝑡.
El orden del método se debe a la cantidad de sumandos con los cuales se aproxima la
integral.
42
3.3.2. Runge Kutta orden 2 o Euler mejorado
En esta primera instancia utilizamos el método del trapecio para aproximar la integral en
cada uno de los subintervalos en los que se dividió el intervalo [𝑎, 𝑏]. Este método aproxima a la
integral mediante el promedio de los valores extremos, por ejemplo, en el caso del primer
intervalo, [𝑡0, 𝑡1] .
∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)𝑡1
𝑡0
𝑑𝑡 ≈ℎ
2 (𝑓(𝑡0, 𝑦(𝑡0)) + 𝑓(𝑡1, 𝑦(𝑡1))).
Luego
𝑦(𝑡1) ≈ 𝑦1 = 𝑦(𝑡0) +ℎ
2 (𝑓(𝑡0, 𝑦(𝑡0)) + 𝑓(𝑡1, 𝑦(𝑡1)))
donde ℎ = 𝑡1 − 𝑡0.
Dado que 𝑦(𝑡1), que es el término que queremos aproximar, aparece en la expresión de la
aproximación aplicamos el método de Euler para aproximarlo y luego calcular 𝑓(𝑡1, 𝑦(𝑡1)), así
obtenemos que:
𝑦(𝑡1) ≈ 𝑦1 = 𝑦0 +ℎ
2 (𝑓(𝑡0, 𝑦0) + 𝑓(𝑡1, 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑡0, 𝑦0))).
Repitiendo este procedimiento en cada intervalo [𝑡𝑛, 𝑡𝑛+1], esto es, usando el método de
Euler para aproximar el valor que queremos estimar y luego utilizando la regla del trapecio con el
objeto de corregir la estimación, se obtiene 𝑦𝑘+1 que es la aproximación de 𝑦(𝑡𝑛+1).
De esta forma el término general del método de Runge Kutta de orden 2 también llamado
método de Euler mejorado está dado por:
𝑦(𝑡𝑛+1) ≈ 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +ℎ
2 (𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛) + 𝑓(𝑡𝑛+1, 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛))).
Usualmente el método se presenta con las siguientes expresiones:
𝑘𝑛1 = ℎ 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)
𝑘𝑛2 = ℎ 𝑓(𝑡𝑛+1, 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛))
𝑦(𝑡𝑛+1) ≈ 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +1
2 (𝑘1 + 𝑘2).
Ejemplo 3.3. Dado el problema de valor inicial, 𝑦′ = 𝑦, 𝑦(0) = 1 aproximamos el valor de 𝑦(1)
mediante el método de Runge Kutta de orden 2.
En este caso también tomamos h=0.5, obteniendo las siguientes estimaciones:
𝑘01 = ℎ 𝑓(𝑡0, 𝑦0) = 0.5 ∙ 𝑦(0) = 0.5
𝑘02 = ℎ 𝑓(𝑡1, 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑡0, 𝑦0)) = 0.5 ∙ 𝑓(0.5,1 + 0.5 ∙ 1) = 0.5 ∙ 1.5 = 0.75
𝑦(𝑡1) ≈ 𝑦1 = 𝑦0 +1
2 (𝑘01 + 𝑘02) = 1 +
1
2 (0.5 + 0.75) = 1.625
𝑘11 = ℎ 𝑓(𝑡1, 𝑦1) = 0.5 ∙ 𝑓(0.5,1.625) = 0.5 ∙ 1.625 = 0.8125
𝑘12 = ℎ 𝑓(𝑡2, 𝑦1 + ℎ𝑓(𝑡1, 𝑦1)) = 0.5 ∙ 𝑓(1,1.625 + 0.5 ∙ 1.625) = 1.21875
43
𝑦(𝑡2) ≈ 𝑦2 = 𝑦1 +1
2 (𝑘11 + 𝑘12) = 1.625 +
1
2 (0.8125 + 1.21875) = 2.640625
o sea 𝑦(1) ≈ 2.640625. Dado que la solución exacta es 2.71828 el error cometido al aproximar con
este método es: |2.640625 − 2.71828| = 0.07766 siendo éste el menor error obtenido.
3.3.3. Runge Kutta orden 3
En este caso utilizamos el método de Simpson para aproximar la integral en el
intervalo [𝑡𝑘, 𝑡𝑘+1] . Sea 𝑡𝑘+
1
2
=𝑡𝑘+𝑡𝑘+1
2, entonces
∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)𝑡𝑘+1
𝑡𝑘
𝑑𝑡 ≈
ℎ23 (𝑓(𝑡𝑘, 𝑦(𝑡𝑘)) + 4𝑓 (𝑡𝑘+1
2, 𝑦(𝑡
𝑘+12)) + 𝑓(𝑡𝑘+1, 𝑦(𝑡𝑘+1))).
Luego
𝑦(𝑡𝑘+1) ≈ 𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 +ℎ
6 (𝑓(𝑡𝑘, 𝑦(𝑡𝑘)) + 4𝑓 (𝑡𝑘+1
2
, 𝑦(𝑡𝑘+
1
2
)) + 𝑓(𝑡𝑘+1, 𝑦(𝑡𝑘+1))).
En este caso tenemos dos cuestiones a resolver, ya que no conocemos 𝑦(𝑡𝑘+1/2) ni 𝑦(𝑡𝑘+1),
que es el término que queremos aproximar.
Podemos estimar 𝑦𝑛+1/2 mediante el método de Euler, siendo:
𝑦𝑛+1/2 = 𝑦𝑛 +ℎ
2 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛).
En el caso de 𝑦𝑛+1 tenemos más opciones siempre aplicando el método de Euler, algunas
son:
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ 𝑓 (𝑡𝑛+12, 𝑦𝑛+12)
donde la diferencia radica en la pendiente de la recta tangente, tomándose en el segundo caso en el
punto medio del intervalo en vez de hacerlo en el punto inicial como se hace habitualmente.
Usualmente se toma una combinación de las dos opciones:
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ (2𝑓 (𝑡𝑛+12, 𝑦𝑛+12) − 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)).
Remplazando 𝑦𝑛+1 y 𝑦𝑛+1/2 en la aproximación de la integral se la siguiente expresión para el
método de Runge Kutta de orden 3:
𝑘𝑛1 = ℎ 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)
𝑘𝑛2 = ℎ 𝑓 (𝑡𝑛 +ℎ
2, 𝑦𝑛 +
1
2𝑘𝑛1)
𝑘𝑛3 = ℎ 𝑓(𝑡𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 − 𝑘𝑛1 + 2𝑘𝑛2)
𝑦(𝑡𝑛+1) ≈ 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +1
6 (𝑘𝑛1 + 4𝑘𝑛2 + 𝑘𝑛3).
44
Ejemplo 3.4. Dado el problema de valor inicial, 𝑦′ = 𝑦, 𝑦(0) = 1 aproximamos el valor de 𝑦(1)
mediante el método de Runge Kutta de orden 3.
En este caso también tomamos h=1, obteniendo las siguientes estimaciones:
𝑘01 = ℎ 𝑓(𝑡0, 𝑦0) = 1 ∙ 𝑓(0,0) = 1
𝑘02 = ℎ 𝑓 (𝑡0 +1
2, 𝑦0 +
1
2𝑘01) = 1 ∙ 𝑓(0.5,1 + 0.5 ∙ 1) = 1 ∙ 1.5 = 1.5
𝑘03 = ℎ 𝑓(𝑡0 + ℎ, 𝑦0 − 𝑘01 + 2𝑘02) = 1 ∙ 𝑓(1,1 − 1 + 2 ∙ 1.5) = 3
𝑦(𝑡1) ≈ 𝑦1 = 𝑦0 +1
6 (𝑘01 + 4𝑘02 + 𝑘3) = 1 +
1
6 (1 + 4 ∙ 1.5 + 3) = 2.6666
o sea 𝑦(1) ≈ 2.666. Dado que la solución exacta es 2.71828 el error cometido al aproximar con
este método es: |2.6666 − 2.71828| = 0.05161 siendo éste el menor de los errores obtenidos
hasta ahora a pesar que en este caso la aproximación se realizó con un paso más grande.
3.3.4. Runge Kutta orden 4
Dado que este método se deduce de una manera similar a la expuesta en la sección anterior
para el caso de tercer orden introduciendo un nuevo paso intermedio en la evaluación de la
derivada sólo mostramos su formulación que está dada por:
𝑘𝑛1 = 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)
𝑘𝑛2 = 𝑓 (𝑡𝑛 +1
2ℎ, 𝑦𝑛 +
1
2𝑘𝑛1)
𝑘𝑛3=𝑓 (𝑡𝑛 +1
2ℎ, 𝑦𝑛 +
1
2𝑘𝑛2)
𝑘𝑛4=𝑓(𝑡𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑘𝑛3)
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +ℎ
6 (𝑘𝑛1 + 2𝑘𝑛2 + 2𝑘𝑛3 + 𝑘𝑛4).
Ejemplo 3.5. Dado el problema de valor inicial, 𝑦′ = 𝑦, 𝑦(0) = 1 aproximamos el valor de 𝑦(1)
mediante el método de Runge Kutta de orden 4.
En este caso también tomamos ℎ = 1, obteniendo las siguientes estimaciones:
𝑘01 = ℎ 𝑓(𝑡0, 𝑦0) = 1 ∙ 𝑓(0,0) = 1
𝑘02 = ℎ 𝑓 (𝑡0 +1
2ℎ, 𝑦0 +
1
2𝑘01) = 1 ∙ 𝑓(0.5,1 + 0.5 ∙ 1) = 1 ∙ 1.5 = 1.5
𝑘03 = ℎ 𝑓 (𝑡0 +1
2ℎ, 𝑦0 +
1
2𝑘02) = 1 ∙ 𝑓 (0.5,1 +
1
21.5) = 1.75
𝑘04 = ℎ 𝑓(𝑡0 + ℎ, 𝑦0 + 𝑘03) = 1 ∙ 𝑓(1,1 + 1.75) = 2.75
𝑦(𝑡1) ≈ 𝑦1 = 𝑦0 +1
6 (𝑘01 + 2𝑘02 + 2𝑘03 + 𝑘04) = 1 +
1
6 (1 + 3 + 3.5 + 2.75) = 2.70833
o sea 𝑦(1) ≈ 2.70833 . Dado que la solución exacta es 2.71828 el error cometido al aproximar con
este método es: |2.70833 − 2.71828| = 0.009948 siendo éste el menor de los errores obtenidos.
45
3.4. Errores en la aproximación
Al deducir la fórmula de Euler para aproximar la solución de un problema de valor inicial se
descartó en cada iteración la expresión del error dado por ℎ2
2𝑦′′(𝜉𝑖) pues cuando a la solución se la
desarrolla como el polinomio de Taylor de orden 1 alrededor del punto 𝑡𝑖 ∈ [𝑎, 𝑏] se tiene que
𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡𝑖) + 𝑦′(𝑡𝑖)(𝑡 − 𝑡𝑖) +
(𝑡 − 𝑡𝑖)2
2𝑦′′(𝜉𝑖), 𝜉𝑖 ∈ (𝑡, 𝑡𝑖).
Evaluando esta expresión en 𝑡𝑖+1, para cualquier i, se tiene:
𝑦(𝑡𝑖+1) = 𝑦(𝑡𝑖) + 𝑦′(𝑡𝑖)(𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) +
(𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖)2
2𝑦′′(𝜉𝑖), 𝜉𝑖 ∈ (𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1)
= 𝑦(𝑡𝑖) + 𝑦′(𝑡𝑖)ℎ +
ℎ2
2𝑦′′(𝜉𝑖).
Pero por el método de Euler podemos aproximar 𝑦(𝑡𝑖+1) ≈ 𝑦(𝑡𝑖) + 𝑦′(𝑡𝑖)ℎ luego el error local por
cada iteración es 𝐸𝑖+1 = 𝑦(𝑡𝑖+1) − 𝑦𝑖+1 =ℎ2
2𝑦′′(𝜉𝑖).
Teniendo en cuenta que, por ser 𝑦(𝑡) continua, el error acumulado tras N pasos (error
global) será
ℎ2
2𝑦′′(𝜉0) +
ℎ2
2𝑦′′(𝜉1) +
ℎ2
2𝑦′′(𝜉2) + ⋯+
ℎ2
2𝑦′′(𝜉𝑁−1), 𝜉𝑖 ∈ (𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1).
Tomando algún 𝜉 ∈ (𝑡0, 𝑡𝑁) y teniendo en cuenta que ℎ =𝑡𝑁−𝑡0
𝑁 se tiene que
ℎ2
2𝑦′′(𝜉0) +
ℎ2
2𝑦′′(𝜉1) +
ℎ2
2𝑦′′(𝜉2) + ⋯+
ℎ2
2𝑦′′(𝜉𝑁−1) =
𝑁ℎ2
2𝑦′′(𝜉) =
𝑁 (𝑡𝑁 − 𝑡0𝑁 )
2
2𝑦′′(𝜉)
=1
2ℎ𝑦′′(𝜉).
Este procedimiento puede aplicarse cuando se aproxima la solución tomando como
polinomio de Taylor de grado p mayor que 1, y se concluye que el error local es ℎ𝑝+1
(𝑝+1)!𝑦(𝑝+1)(𝜉𝑖)
con 𝜉𝑖 ∈ (𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1) y el error global es ℎ𝑝
(𝑝+1)!𝑦(𝑝+1)(𝜉) para algún 𝜉 ∈ (𝑡0, 𝑡𝑁).
Luego comparando el método de Runge-Kutta de orden 2 con el método de Taylor de
segundo orden, el error local es proporcional a ℎ3 y, por tanto, el global lo es a ℎ2.
Análogamente comparando el método de Runge-Kutta de orden 3 con el método de Taylor
de orden tres, el error local es proporcional a ℎ4 y, por tanto, el global lo es a ℎ3 y así
sucesivamente.
Observación 3.1. Si el grado en el polinomio de Taylor es muy grande y ℎ muy pequeño el error será
muy bajo. Es por esto que el método de Runge-Kutta de orden 4 da una aproximación mucho más
precisa respecto a los demás métodos.
46
3.5. Método numérico para sistemas
Los métodos numéricos de un paso planteados para una ecuación diferencial se aplican de
manera sencilla a sistemas de ecuaciones de primer orden, y, en consecuencia, a ecuaciones de
orden superior.
En los apartados siguientes se mostrarán las expresiones que permiten aproximar las
soluciones del problema de valor inicial de dos ecuaciones de primer orden:
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑓1(𝑡, 𝑥, 𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑓2(𝑡, 𝑥, 𝑦)
𝑥(0) = 𝑥0𝑦(0) = 𝑦0
para dos de los métodos desarrollados anteriormente.
3.5.1. Método de Euler
De la extensión natural del método de Euler desarrollado para una ecuación diferencial
resultan las siguientes expresiones que permiten aproximar la solución del sistema:
𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + ℎ
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ𝑓1(𝑡𝑛, 𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓2(𝑡𝑛, 𝑥𝑛, 𝑦𝑛).
Ejemplo 3.6. Dado el problema de valor inicial
{
𝑦′ = 𝑧
𝑧′ = 0.05𝑧 − 0.15𝑦
𝑦(0) = 1
𝑧(0) = 0
estimamos la solución en 𝑡 = 1 utilizando el método de Euler con ℎ = 0.5.
A partir del sistema se tiene que 𝑓1(𝑡, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 y 𝑓2(𝑡, 𝑦, 𝑧) = 0.05𝑧 − 0.15𝑦, luego las expresiones
de las aproximaciones son:
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓1(𝑡𝑛, 𝑦𝑛, 𝑧𝑛) = 𝑦𝑛 + ℎ𝑧𝑛
𝑧𝑛+1 = 𝑧𝑛 + ℎ𝑓2(𝑡𝑛, 𝑦𝑛, 𝑧𝑛) = 𝑦𝑛 + ℎ(0.05𝑧𝑛 − 0.15𝑦𝑛).
Calculando ara 𝑡1 = 𝑡0 + ℎ = 0 + 0.5 𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑧0 = 1
𝑧1 = 𝑧0 + ℎ(0.05𝑧0 − 0.15𝑦0) = −0.075.
Y para 𝑡2 = 𝑡1 + ℎ = 0.5 + 0.5 = 1
𝑦2 = 𝑦1 + ℎ𝑧1 = 0.96250
𝑧2 = 𝑧1 + ℎ(0.05𝑧1 − 0.15𝑦1) = −0.15187.
Luego 𝑦(1) = 0.96250 y 𝑧(1) = −0.15187.
47
3.5.2. Método de Runge-Kutta
Al extender el método de Runge Kutta que hemos desarrollado anteriormente resultan las
siguientes expresiones que permiten aproximar la solución del sistema:
𝑘1 = 𝑓1(𝑡𝑛, 𝑥𝑛, 𝑦𝑛) 𝑙1 = 𝑓2(𝑡𝑛, 𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝑘2 = 𝑓1 (𝑡𝑛 +ℎ
2, 𝑥𝑛 +
ℎ
2𝑘1, 𝑦𝑛 +
ℎ
2𝑙1) 𝑙2 = 𝑓2 (𝑡𝑛 +
ℎ
2, 𝑥𝑛 +
ℎ
2𝑘1, 𝑦𝑛 +
ℎ
2𝑙1)
𝑘3 = 𝑓1 (𝑡𝑛 +ℎ
2, 𝑥𝑛 +
ℎ
2𝑘2, 𝑦𝑛 +
ℎ
2𝑙2) 𝑙3 = 𝑓2 (𝑡𝑛 +
ℎ
2, 𝑥𝑛 +
ℎ
2𝑘2, 𝑦𝑛 +
ℎ
2𝑙2)
𝑘4 = 𝑓1(𝑡𝑛 + ℎ, 𝑥𝑛 + ℎ𝑘3, 𝑦𝑛 + ℎ𝑙3) 𝑙4 = 𝑓2(𝑡𝑛 + ℎ, 𝑥𝑛 + ℎ𝑘3, 𝑦𝑛 + ℎ𝑙3)
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 +ℎ
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4) 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +
ℎ
6(𝑙1 + 2𝑙2 + 2𝑙3 + 𝑙4).
Es importante notar que por cada ecuación que se agregue al sistema serán cinco
expresiones que hay que incorporar a la estimación de las aproximaciones.
Ejemplo 3.7. Dado el problema de valor inicial
{
𝑥′ = −4𝑥 + 3𝑦 + 6 = 𝑓1(𝑡𝑛, 𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝑦′ = −2𝑥 + 𝑦 + 3 = 𝑓2(𝑡𝑛, 𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝑦(0) = 0𝑥(0) = 0
estimamos la solución en 𝑡 = 0.5 utilizando el método de Runge Kutta de orden cuatro con ℎ = 0.5.
A partir del sistema se tiene que 𝑓1(𝑡, 𝑥, 𝑦) = −4𝑥 + 3𝑦 + 6 y 𝑓2(𝑡, 𝑥, 𝑦) = −2𝑥 + 𝑦 + 3,
luego las expresiones de las aproximaciones son:
Usando el método de Runge-Kutta de orden cuatro se tiene que
𝑥1 = 𝑥0 +ℎ
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
𝑦1 = 𝑦0 +ℎ
6(𝑙1 + 2𝑙2 + 2𝑙3 + 𝑙4)
donde
𝑘1 = 𝑓1(𝑡0, 𝑥0, 𝑦0) = −4𝑥0 + 3𝑦0 + 6 = 6
𝑘2 = 𝑓1 (𝑡0 +ℎ
2, 𝑥0 +
ℎ
2𝑘1, 𝑦0 +
ℎ
2𝑙1) = 𝑓1 (
1
4,3
2,3
4) = −4
3
2+ 3
3
4+ 6 =
9
4
𝑘3 = 𝑓1 (𝑡0 +ℎ
2, 𝑥0 +
ℎ
2𝑘2, 𝑦0 +
ℎ
2𝑙2) = 𝑓1 (
1
4,9
16,3
16) = −4
9
16+ 3
3
16+ 6 =
69
16
𝑘4 = 𝑓1(𝑡0 + ℎ, 𝑥0 + ℎ𝑘3, 𝑦0 + ℎ𝑙3) = 𝑓1 (1
2,69
32,33
32) = −4
69
32+ 3
33
32+ 6 =
15
32
𝑙1 = 𝑓2(𝑡0, 𝑥0, 𝑦0) = −2𝑥0 + 𝑦0 + 3 = 3
𝑙2 = 𝑓2 (𝑡0 +ℎ
2, 𝑥0 +
ℎ
2𝑘1, 𝑦0 +
ℎ
2𝑙1) = 𝑓2 (
1
4,3
2,3
4) = −2
3
2+3
4+ 3 =
3
4
48
𝑙3 = 𝑓2 (𝑡0 +ℎ
2, 𝑥0 +
ℎ
2𝑘2, 𝑦0 +
ℎ
2𝑙2) = 𝑓2 (
1
4,9
16,3
16) = −2
9
16+3
16+ 3 =
33
16
𝑙4 = 𝑓2(𝑡0 + ℎ, 𝑥0 + ℎ𝑘3, 𝑦0 + ℎ𝑙3) = 𝑓2 (1
2,69
32,33
32) = −2
69
32+33
32+ 3 = −
9
32.
Luego
𝑥1 = 0 +1
12(6 + 2
9
4+ 2
69
16+15
32) =
209
128
𝑦1 = 0 +1
12(3 + 2
3
4+ 2
33
16−9
32) =
89
128.
49
CAPÍTULO IV
Modelos Epidemiológicos Clásicos
La epidemiología, es una disciplina científica en el área de la biología y de la medicina que
estudia la distribución, frecuencia, factores determinantes, predicciones y control de los factores
relacionados con la salud y las enfermedades existentes en diferentes poblaciones.
Los modelos matemáticos son una de las herramientas utilizadas hoy en día para el estudio
de problemas en epidemiología ya que permiten describir, explicar y predecir fenómenos y procesos
en dicha área. Son muy importantes para el estudio de enfermedades pues en la mayor parte de los
problemas de enfermedades infecciosas no es factible la experimentación ya que puede ser muy
costoso, peligroso, y/o incluso imposible. Por lo tanto, es natural intentar superar esta dificultad con
la construcción de un modelo que describa de manera adecuada las características básicas de la
enfermedad y entonces usarlo para analizar las consecuencias de introducir cambios específicos.
Además, los modelos permiten entender la dispersión de una enfermedad infecciosa bajo diferentes
escenarios.
El primer artículo conocido que incluye un modelo explícito para una enfermedad infecciosa
fue publicado en 1760 por D. Bernoulli. El hecho que las enfermedades infecciosas se transmiten
por contacto entre un individuo susceptible y otro infeccioso fue expresado en términos
cuantitativos recién en 1906 por W.H. Hamer, quien formuló la ley de acción de masas que
establece que:
“el número de contactos infecciosos, es decir que producen enfermedad, por unidad de
tiempo es proporcional al número total de contactos entre individuos infecciosos y sanos”.
Luego, Sir. Ronald Ross en 1911, desarrolló un modelo en ecuaciones diferenciales para la
malaria como una enfermedad huésped- vector que posteriormente fue utilizado para el control de
esta enfermedad en varias regiones.
Más tarde, en 1927, Kermack y Mc Kendrick formularon un modelo matemático bastante
general y complejo para describir la epidemia de peste que sufriera la India en 1906. Ellos
plantearon el modelo SIR que divide a la población en clases según sea el estado de los individuos
frente a la infección, a saber: susceptible, infectado y recuperado. Este modelo básico se ha ido
complejizando, para incorporar factores que intervienen en diferentes procesos infecciosos. Estos
modelos evolucionan en el tiempo según un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales
acopladas. Dado además que estos sistemas no son resolubles analíticamente, para conocer la
50
evolución de la epidemia a largo plazo, es necesario utilizar métodos de aproximación numérica o
hacer un análisis cualitativo
En este capítulo describiremos algunos modelos matemáticos epidemiológicos en que
suponen que los individuos se encuentran en solo uno de los estados posibles. En función de dichos
estados, la población puede estructurarse en clases, siendo estas susceptible, S, formada por los
individuos que pueden infectarse; infectado, I, es la que reúne a los individuos infecciosos y
recuperado, R, la integran los individuos que han alcanzado inmunidad. Los modelos que se
presentaran son: SI, SIS y SIR y en todos ellos se asume que la interacción entre los individuos es
aleatoria, es decir, la probabilidad de contacto entre individuos es independiente del estado de ellos
en relación a la infección.
Además haremos referencia a “modelo sin demografía” cuando en la dinámica poblacional no se
consideran los nacimientos ni las muertes.
4.1 Formulación matemática del modelo SI
4.1.1. Modelo SI sin demografía
Estos modelos estructuran a la población en dos estados: SUSCEPTIBLE e INFECCIOSO,
además los individuos susceptibles que se infectan son parte de la clase de infectados y se
mantendrán en ella.
Este modelo resulta útil para describir la dinámica de enfermedades en la que la infección es
de por vida. Un ejemplo de enfermedad que puede describirse adecuadamente mediante el modelo
SI es el VIH.
El siguiente diagrama de flujo esquematiza la interacción entre las dos clases en la que se
estructura la población:
Sea 𝑁(𝑡) el número total de individuos de una población en el tiempo 𝑡, dado que la población es
constate escribiremos 𝑁(𝑡) = 𝑁. Definiendo a 𝑋(𝑡) como cantidad de individuos susceptibles de la
población en el tiempo 𝑡 e 𝑌(𝑡) la cantidad de individuos infectados de la población en el tiempo 𝑡,
tenemos que:
𝑁 = 𝑋(𝑡) + 𝑌(𝑡).
Con el fin de poder modelar la dinámica tanto de 𝑋(𝑡) como de 𝑌(𝑡) definimos los siguientes
parámetros:
51
𝛽: tasa de transmisión de la enfermedad per cápita. Esto es, la probabilidad de que un
individuo susceptible se infecte al contactarse con un individuo infectado. Ésta se calcula
como el producto entre las tasas de contacto y la probabilidad de transmisión.
𝜆: fuerza de infección. Es decir, es el resultado de sumar la probabilidad de transmisión de
cada individuo infectado dividido por el tamaño de la población. Dado que estas
probabilidades son las mismas para todos los individuos infectados se tiene la siguiente
fórmula:
𝜆(𝑡) =𝛽𝑌(𝑡)
𝑁.
Debido a que la población es cerrada y constante, no es posible el ingreso de individuos a la
clase susceptible y los que salen de ella son los que se infectan que pasan a formar parte de la clase
infeccioso. Luego, la velocidad a la que disminuye el número de individuos susceptibles está dada
por:
𝑑𝑋(𝑡)
𝑑𝑡= −𝜆(𝑡)𝑋(𝑡)
= −𝛽𝑌(𝑡)𝑋(𝑡)
𝑁.
Además, en función de los supuestos del modelo, al aumentar la cantidad de individuos
infectados disminuye la de susceptibles y como la tasa de infección determina el número de
individuos por unidad de tiempo que se transfieren del compartimiento de susceptibles a
infecciosos entonces la tasa a la cual crece la población infectada está dada por
𝑑𝑌(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜆(𝑡)𝑋(𝑡).
Ahora bien, si en vez de considerar las variables como número de individuos que pertenecen
a una clase específica, consideramos las proporciones de los mismos, se tienen los siguientes
cambios de variables;
𝑋(𝑡)
𝑁= 𝑆(𝑡)
𝑌(𝑡)
𝑁= 𝐼(𝑡).
Donde 𝑆(𝑡) es la proporción de individuos susceptibles en el tiempo 𝑡, e 𝐼(𝑡) la proporción de
individuos infectados en el tiempo 𝑡.
Dada la expresión de la variación de X(t) y que estamos bajo el supuesto que la población es
constante (𝑑𝑁(𝑡)
𝑑𝑡= 0) deducimos la expresión para la velocidad a la que disminuye la proporción de
susceptibles de la siguiente forma:
𝑑𝑋(𝑡)
𝑑𝑡=𝑑𝑆(𝑡)𝑁
𝑑𝑡=𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡𝑁 + 𝑆(𝑡)
𝑑𝑁
𝑑𝑡=𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡𝑁
−𝛽𝑌(𝑡)𝑋(𝑡)
𝑁=𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡𝑁
52
−𝛽𝐼(𝑡)𝑆(𝑡) =𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡.
De manera similar se deduce la velocidad a la que aumenta la proporción de infectados,
siendo:
𝑑𝑌(𝑡)
𝑑𝑡=𝑑𝐼(𝑡)𝑁
𝑑𝑡=𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡𝑁 + 𝐼(𝑡)
𝑑𝑁
𝑑𝑡=𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡𝑁
𝛽𝑌(𝑡)𝑋(𝑡)
𝑁=𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡𝑁
𝛽𝐼(𝑡)𝑆(𝑡) =𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡.
Entonces se postula la formulación del modelo SI sin demografía de la siguiente forma:
Dada una población de N individuos y sean S(t), I(t) la proporción de individuos susceptibles e
infecciosos respectivamente de dicha población en el instante t, entonces la dinámica de la
infección es modelada por el siguiente sistema:
{
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡= −𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)
𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) = 1.
(1)
En la Figura 4.1 se muestra el resultado de dos simulaciones numéricas de la dinámica del
sistema considerando una población de 1000 individuos donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1 y el
parámetro 𝛽 toma dos valores distintos para poder apreciar como éste afecta el comportamiento a
largo plazo del sistema.
Figura 4.1. Simulación numérica de un modelo SI con condición inicial 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1
donde los valores de 𝛽 son: a) 𝛽 = 1 y b) 𝛽 = 0.25.
53
Observando el gráfico podemos concluir que en un modelo SI sin demografía, cuando se
produce una infección la misma alcanza a toda la población incluso cuando el número inicial de
individuos infectados es muy bajo. En el apartado donde se analizan los equilibrios se mostrará
analíticamente esta conclusión. Si bien en ambos casos, a largo plazo se tiene una población
totalmente infectada el tiempo que necesario depende del valor del parámetro 𝛽 siendo menor
cuando éste es mayor.
4.1.1.1 Estudio de los puntos críticos y su estabilidad
En el capítulo 2 del presente trabajo, hablamos acerca de la dificultad en determinar
explícitamente las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales desarrollando la
teoría cualitativa que permite describir el comportamiento del fenómeno a estudiar cerca de los
puntos de equilibrio. Mediante este estudio, dentro de un contexto epidemiológico, se podrá
conocer si el patógeno se extingue o no y de qué forma lo hace.
Como 𝑆(𝑡) = 1 − 𝐼(𝑡) se puede reducir (1) a la ecuación diferencial
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= 𝛽(1 − 𝐼(𝑡))𝐼(𝑡) (2)
y obtener a partir de ella los puntos de equilibrio del sistema:
Un equilibrio es el (𝑆∗, 𝐼∗) = (1,0), denominado equilibrio libre de enfermedad ya que en
este caso no hay infectados en la población. Sin embargo, si introducimos un individuo infeccioso la
proporción de infectados crece pues la derivada entorno a 𝐼 = 0 –considerando valores positivos ya
que 0 < 𝐼(𝑡) - es positiva. Luego el equilibrio es inestable.
El otro punto de equilibrio es el (𝑆∗, 𝐼∗) = (0,1), denominado equilibrio endémico en este
caso toda la población está infectada. Este punto de equilibrio es estable porque la derivada
entorno a 𝐼 = 1 - considerando valores de 𝐼(𝑡) < 1- es positiva., luego 𝐼(𝑡) crece hasta el valor
máximo que puede alcanzar que es 𝐼 = 1.
4.1.2. Modelo SI con demografía
En el modelo anterior, la escala de tiempo de propagación de la enfermedad es
suficientemente pequeña comparada con la de la dinámica demográfica de la población, lo que
permitió despreciar los eventos de nacimiento y muerte. Una manera de modificar dicho modelo,
para que incorpore la dinámica demográfica, es suponer que los nacimientos y muertes están
balanceados de tal forma que la población total, N, siga siendo constante pero en forma dinámica.
Además, supondremos que todos los individuos nacen siendo susceptibles. Para incorporar esta
situación en el modelo introducimos el parámetro μ que es la tasa de mortalidad y natalidad.
En este caso entonces se postula la formulación del modelo SI con demografía de la siguiente
forma:
54
Dada una población de N individuos y sean S(t) e I(t) la proporción de individuos susceptibles e
infecciosos respectivamente de dicha población en el instante t, donde todos los individuos que
nacen son susceptibles entonces la dinámica de la infección es modelada por el siguiente sistema:
{
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜇 − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡)
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝐼(𝑡).
(3)
En la Figura 4.2 se muestra el resultado de dos simulaciones de la dinámica del sistema
considerando una población de 1000 individuos donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1, 𝜇 = 0.25 y el
parámetro 𝛽 toma dos valores distintos 𝛽 = 1 y 𝛽 = 0.2.
Figura 4.2. Simulaciones de un modelo SI con demografía donde
𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1, 𝜇 = 0.25, siendo a) 𝛽 = 1 y b) 𝛽 = 0.2.
A partir del gráfico podemos concluir que en un modelo SI con demografía, la dinámica de la
proporción de infectados presenta el mismo comportamiento que en un modelo SI sin demografía,
es decir se observa un crecimiento asintótico en la cantidad de individuos de la clase infectada. Sin
embargo, a largo plazo no llega a infectarse todo la población como ocurría en el caso sin
demografía. Cabe notarse que a menor valor de 𝛽 se tiene menor valor de asíntota, esto es
esperable ya que si la tasa de transmisión es menor, menos individuos serán alcanzados por la
infección. En el apartado donde se analizan los equilibrios se mostrará analíticamente esta
conclusión.
4.1.2.1. Tiempo medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso
En este modelo, a diferencia del anterior, los individuos permanecerán en la clase infectados
hasta que mueren. Determinar el tiempo de permanencia en esta clase es el objetivo de este
apartado.
Consideremos una población con 𝐼(0) individuos infectados a la cual no se incorporan
nuevos individuos y que decrece debido a la mortalidad. Luego, la siguiente ecuación modela su
dinámica:
55
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= −𝜇𝐼(𝑡).
Al resolverla obtenemos una expresión para 𝐼(𝑡) que indica la proporción de individuos que
queda en el estado 𝐼 después de t unidades de tiempo, habiéndose considerado que no hay
ingresos desde el estado susceptible, como se muestra a continuación:
1
𝐼(𝑡).𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= −𝜇
∫𝑑𝑙𝑛(𝐼(𝑠))
𝑑𝑠𝑑𝑠
𝑡
0
= ∫ −𝜇𝑑𝑠𝑡
0
𝑙𝑛(𝐼(𝑡)) − ln(𝐼(0)) = −𝜇𝑡
𝑙𝑛(𝐼(𝑡)) = −𝜇𝑡 + ln(𝐼(0))
𝐼(𝑡) = 𝐼(0)𝑒−𝜇𝑡.
Luego 𝐼(𝑡) es una variable aleatoria que presenta una distribución Poisson ya que expresa
con una tasa 𝜇, la probabilidad de que una determinada proporción de individuos persista en el
estado infeccioso durante cierto período de tiempo. Luego la duración del período de infección se
distribuye de manera exponencial con media 1
𝜇 , que es el período de permanencia en la clase
infecciosa.
4.1.2.2. Número reproductivo básico, 𝑹𝟎
Uno de los factores más importantes a estudiar es si la enfermedad desaparecerá
paulatinamente ó perdurará en la población durante un largo periodo de tiempo. Y si esto último
ocurre cómo es su evolución temporal y cuándo empieza a decaer. Se dice que una enfermedad es
una epidemia cuando afecta a un número de individuos superior al esperado en una población
durante un tiempo determinado. En caso de que la epidemia se extendiera por varias regiones
geográficas extensas de varios continentes o incluso de todo el mundo, se dice que es
una pandemia. Mientras que si la enfermedad infecciosa persiste en el tiempo en una región
determinada y con un número bajo de infectados se habla de endemia.
Para poder determinar si una endemia se convertirá en una epidemia debemos ver en qué
puntos la función que describe la proporción de infectados por unidad de tiempo es creciente. Es
decir, cuando:
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= (𝛽𝑆(𝑡) − 𝜇)𝐼(𝑡) > 0.
Dado que siempre 𝐼(𝑡) > 0, entonces 𝛽𝑆(𝑡) − 𝜇 > 0 y así 𝑆(𝑡) >𝜇
𝛽. De este modo, una
enfermedad puede propagarse sólo si hay una fracción umbral de susceptibles mayor que 𝜇
𝛽.
Cuando en una población que es completamente susceptible, es decir 𝑆(0) = 1, se introduce
un individuo infectado que infecta a 𝛽 individuos susceptibles por unidad de tiempo y que
56
permanece infectado durante 1
𝜇 unidades de tiempo, éste producirá 𝛽.
1
𝜇 individuos infectados. A tal
número se lo llama número reproductivo básico y se lo denota por 𝑅0 .
Luego una enfermedad sólo puede propagarse si 𝑆(0) = 1 >1
𝑅0 , esto es, si 𝑅0 > 1. Esta
desigualdad tiene sentido ya que si la infección no se puede transmitir con éxito a más de un nuevo
huésped ésta no va a poder propagarse.
4.1.2.3. Estudio de los puntos críticos y su estabilidad
Dado que 𝑆(𝑡) = 1 − 𝐼(𝑡) se puede reducir (3) a la ecuación diferencial:
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= [𝛽(1 − 𝐼(𝑡)) − 𝜇]𝐼(𝑡) (4)
y obtener a partir de ella los puntos de equilibrio del sistema.
Nuevamente en este caso, uno de los equilibrios es el (𝑆∗, 𝐼∗) = (1,0), denominado
equilibrio libre de enfermedad que vuelve a ser inestable dado que si introducimos un individuo
infeccioso la proporción de infectados crece pues la derivada entorno a 𝐼 = 0 –considerando
valores en el intervalo 0 < 𝐼(𝑡) < 1 −𝜇
𝛽 - es positiva.
El otro punto de equilibrio es (𝑆∗, 𝐼∗) = (𝜇
𝛽, 1 −
𝜇
𝛽), el equilibrio endémico. Este punto de
equilibrio es estable porque la derivada entorno a 𝐼 = 1 −𝜇
𝛽 es negativa - considerando valores
entre 1 −𝜇
𝛽< 𝐼(𝑡) ≤ 1 - y es positiva - considerando valores entre 0 < 𝐼(𝑡) < 1 −
𝜇
𝛽. Notemos que
en un modelo SI con demografía, 𝜇 ≠ 0, la proporción de infectados nunca puede ser toda la
población pues 1 −𝜇
𝛽< 1 y a la vez 1 −
𝜇
𝛽> 0 lo que pone en evidencia que 𝑅0 > 1 por lo cual la
enfermedad persiste.
4.2 Formulación matemática del modelo SIS
4.2.1. Modelo SIS sin demografía
En estos modelos la infección no es permanente, es decir, los individuos que se infectan
pueden volver al estado susceptible, sin inmunidad. El siguiente diagrama de flujo esquematiza la
interacción entre las dos clases en la que se estructura la población:
Con el fin de incorporar en el modelo el efecto de que un individuo infectado vuelva a ser
susceptible, esto es, la transición del estado 𝐼(𝑡) a 𝑆(𝑡) introducimos el parámetro 𝛾 que es la tasa
de recuperación per cápita.
57
Entonces se postula la formulación del modelo SIS sin demografía de la siguiente forma:
Dada una población de N individuos y sean 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡) la proporción de individuos
susceptibles e infecciosos respectivamente de dicha población en el instante t, entonces la
dinámica de la infección es modelada por el siguiente sistema:
{
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡= 𝛾𝐼(𝑡) − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛾𝐼(𝑡)
𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) = 1.
(5)
En la Figura 4.3 se muestra el resultado de simulaciones de la dinámica del sistema
considerando una población de 1000 individuos donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1,y se asignan distintos
valores para los parámetros 𝛽 y 𝛾.
Figura 4.3. Simulaciones de un modelo SIS sin demografía donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1 siendo
a) 𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.15, b) 𝛽 = 0.8, 𝛾 = 0.15,c) 𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.6 y d) 𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.45.
Lo primero que se puede apreciar en la Figura 4.3 es que en ningún momento toda la
población está infectada, que no excluye la posibilidad que todos los individuos hayan estado en la
clase infecciosa en algún momento. En el apartado donde se analizan los equilibrios se mostrará
analíticamente esta conclusión. Además, vemos que al mantener fija la tasa de contagio, los valores
de asíntotas decrecen para la cantidad de susceptibles cuando la tasa de recuperación decrece y
que si mantenemos fijar la tasa de recuperación los valores de asíntotas crecen para la cantidad de
susceptibles cuando la tasa de contagio decrece.
58
4.2.1.1. Tiempo medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso
Procediendo de forma análoga a como se dedujo el tiempo medio que permanecen los
individuos en la clase infeccioso para el modelo SI en el apartado 4.1.2.1 obtenemos que el tiempo
medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso antes de pasar a la clase susceptible en
un modelo SIS sin demografía es 1
𝛾.
4.2.1.2. Número reproductivo básico, 𝑹𝟎
El número reproductivo básico para el modelo SIS sin demográfica se calculó siguiendo el
mismo razonamiento que en un modelo SI como se mostró en el apartado 4.1.2.2 obteniéndose que
𝑅0 =𝛽
𝛾, luego la enfermedad persiste si
𝛽
𝛾= 𝑅0 > 1.
4.2.1.3. Estudio de los puntos críticos y su estabilidad
Al reducir el sistema (5) a la ecuación diferencial:
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= [𝛽(1 − 𝐼(𝑡)) − 𝛾]𝐼(𝑡) (6)
se tiene que los puntos de equilibrio son: (𝑆∗, 𝐼∗) = (1,0) y (𝑆∗, 𝐼∗) = (𝛾
𝛽, 1 −
𝛾
𝛽). Al analizar la
estabilidad, de la misma forma que en los modelos anteriores, se tiene que el equilibrio libre de
infección es inestable mientras que el endémico es estable.
Nuevamente notemos que en un modelo SIS sin demografía, 𝛾 ≠ 0, la proporción de
infectados nunca puede ser toda la población pues 1 −𝛾
𝛽< 1. Del mismo modo al ser 1 −
𝛾
𝛽> 0 se
pone en evidencia que 𝑅0 > 1 por lo cual la enfermedad persiste.
4.2.2. Modelo SIS con demografía
En este caso suponemos nuevamente que todos los individuos nacen siendo susceptibles y
que los nacimientos y muertes están balanceados de tal forma que la población total, N, siga siendo
constante pero en forma dinámica Para esto introducimos el parámetro 𝜇 que es la tasa de
mortalidad y natalidad y entonces se postula la formulación del modelo SIS con demografía de la
siguiente forma:
Dada una población de N individuos y sean 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡) la proporción de individuos
susceptibles e infecciosos respectivamente de dicha población en el instante t, entonces la
dinámica de la infección es modelada por el siguiente sistema:
59
{
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜇 + 𝛾𝐼(𝑡) − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡)
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − (𝛾 + 𝜇)𝐼(𝑡)
𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) = 1.
(7)
En la Figura 4.4 se muestra el resultado de simulaciones de la dinámica del sistema
considerando una población de 1000 individuos donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1, 𝜇 = 0.25 y se
asignan distintos valores para los parámetros 𝛽 y 𝛾.
Figura 4.4. Simulaciones de un modelo SIS con demografía donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1 siendo
a) 𝛽 = 0.8, 𝛾 = 0.15, b) 𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.15,c) 𝛽 = 0.8, 𝛾 = 0.45 y d) 𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.45.
Al analizar los gráficos podemos concluir que en un modelo SIS con demografía, la
proporción de infectados presenta el mismo comportamiento que en un modelo SIS sin demografía,
la diferencia radica en la cantidad de infectados que alcanza a largo plazo siendo menor al
considerar la demografía. En el apartado donde se analizan los equilibrios se mostrará
analíticamente esta conclusión.
4.2.2.1. Tiempo medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso
En este modelo, los individuos infecciosos permanecerán en el estado infeccioso durante un
período determinado, ya sea porque se vuelven susceptibles o mueren siendo la proporción de
individuos infectados que pasan al estado susceptible 𝛾𝐼(𝑡) y la proporción de infectados que
60
mueren 𝜇𝐼(𝑡). Con el fin de calcular el tiempo medio que permanecen los individuos en la clase
infeccioso consideramos una población inicial 𝐼(0) y en base a la ecuación diferencial que modela la
dinámica de la población infectada determinamos la proporción de individuos infectados que
permanece en dicho estadio después de t unidades de tiempo, 𝐼(𝑡). Considerando que la velocidad
a la que disminuye la proporción de infectados se debe su recuperan, esto es que vuelven al estadio
susceptibles, o muerte y procediendo como en el apartado 4.1.2.1 se obtiene la siguiente función
que permite conocer la proporción de individuos que permanecen en el estadio 𝐼 después de x
unidades de tiempo cuando la población inicial fue 𝐼(0):
𝐼(𝑥) = 𝐼(0)𝑒(−𝛾−𝜇)𝑥.
Nuevamente, 𝐼(𝑥) es una variable aleatoria que se distribuye Poisson con parámetro 𝛾 + 𝜇
que es la tasa a la cual los infecciosos dejan el estadio, esto es, la suma de la tasa de mortalidad y de
recuperación. Luego la duración del período de infección se distribuye de manera exponencial con
media 1
𝛾+𝜇, que es el período de permanencia en la clase infecciosa.
Notemos que el tiempo medio de permanencia en el estadio infeccioso es menor en este
modelo que en el que no se consideró la demografía. Esto se debe a que en este caso los individuos
infectados pueden dejar de permanecer en este estadio debido a que se recuperan o a que mueren
mientras que en el modelo sin demografía la única forma es mediante la transición al estadio
susceptible.
4.2.2.2. Número reproductivo básico, 𝑹𝟎
El número reproductivo básico para el modelo SIS con demográfica se calculó siguiendo el
mismo razonamiento que en el apartado 4.1.2.2 obteniéndose en este caso que 𝑅0 =𝛽
𝛾+𝜇, siendo
menor que en el caso sin demografía ya que el tiempo de permanencia en el estadio es menor.
4.2.2.3. Estudio de los puntos críticos y su estabilidad
Reduciendo el sistema (7) a la ecuación diferencial
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= [𝛽(1 − 𝐼(𝑡)) − 𝛾 − 𝜇]𝐼(𝑡) (8)
obtenemos los siguientes puntos de equilibrio: 𝐼∗ = 0, 𝐼∗ = 1 −𝛾+𝜇
𝛽.
Luego los equilibrios del sistema son el equilibrio libre de infección que es inestable y el
equilibrio endémico dado (𝑆∗, 𝐼∗) = (𝛾
𝛽, 1 −
𝛾+𝜇
𝛽) que es estable.
Nuevamente notemos que en un modelo SIS con demografía, 𝛾 ≠ 0, 𝜇 ≠ 0, luego la
proporción de infectados nunca puede ser toda la población pues 1 −𝛾+𝜇
𝛽< 1. Del mismo modo al
ser 1 −𝛾+𝜇
𝛽> 0 se pone en evidencia que 𝑅0 > 1 por lo cual la enfermedad persiste.
61
4.3 Formulación matemática del modelo SIR
4.3.1 Modelo SIR sin demografía
Estos modelos estructuran la población en tres estados: SUSCEPTIBLE, INFECCIOSO y
RECUPERADO, siendo útil esta estructuración para describir la dinámica de enfermedades en las que
la infección conlleva una inmunidad vitalicia para el individuo como ocurre en el caso del sarampión
o la rubeola, entre otros.
Comparte con los modelos SIS y SI sin demografía el supuesto que la escala de tiempo de
propagación de la enfermedad es suficientemente pequeña en relación a la dinámica demográfica
de la población
El siguiente diagrama de flujo esquematiza la interacción entre las tres clases en la que se
estructura la población:
Con el objetivo de introducir al modelo la transición del estadio infeccioso al recuperado
redefinimos el parámetro 𝛾 como la tasa de recuperación y entonces se puede postular el sistema
de ecuaciones diferenciales que rige el modelo SIR sin demografía de la siguiente forma:
Dada una población de N individuos y sean 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡) la proporción de individuos susceptibles,
infecciosos y recuperados respectivamente de dicha población en el instante t, entonces la
dinámica de la infección es modelada por el siguiente sistema:
{
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡= −𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛾𝐼(𝑡)
𝑑𝑅(𝑡)
𝑑𝑡= 𝛾𝐼(𝑡)
𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡) = 1𝑆(0) > 0, 𝐼(0) > 0 𝑦 𝑅(0) = 0.
(9)
En la Figura 4.5 se muestra el resultado de simulaciones de la dinámica del sistema
considerando una población de 1000 individuos donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1 y se asignan
distintos valores para los parámetros 𝛽 y 𝛾.
62
Figura 4.5. Simulaciones de un modelo SIR sin demografía donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1 siendo a)
𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.15, b) 𝛽 = 0.8, 𝛾 = 0.6,c) 𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.6 y d) 𝛽 = 0.8, 𝛾 = 0.15.
Observando el gráfico podemos apreciar que en el modelo SIR sin demografía, la cantidad de
infectados alcanza un máximo y luego decrece tendiendo a desaparecer. Por lo cual, la cantidad de
recuperados aumenta y se estabiliza. Si bien, en todos los gráficos se observa una dinámica en
común, el segundo gráfico presenta una proporción máxima de infectados baja y lo mismo ocurre
con los recuperados, esto es debido a que la tasa de contacto entre susceptibles e infecciosos es
muy baja y a su vez la tasa de recuperación es alta.
4.3.1.1 Tiempo medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso
Procediendo de forma análoga a como se dedujo el tiempo medio que permanecen los
individuos en la clase infeccioso para el modelo SI en el apartado 4.1.2.1 obtenemos que el tiempo
medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso antes de pasar a la clase recuperados en
un modelo SIR sin demografía es 1
𝛾.
63
4.3.1.2 Número reproductivo básico, 𝑹𝟎
El número reproductivo básico para el modelo SIR sin demográfica se calculó siguiendo el
mismo razonamiento que en un modelo SI como se mostró en el apartado 4.1.2.2 obteniéndose que
𝑅0 =𝛽
𝛾, luego la enfermedad persiste si
𝛽
𝛾= 𝑅0 > 1.
4.3.1.3 Número máximo de infecciosos
En las simulaciones se observa que el número de infecciosos alcanza un valor máximo y
luego decrece. En este aparado nos ocupamos de determinar analíticamente dicho valor.
El instante en que se alcanza el número máximo de infecciosos será cuando no hay cambios
en la población infecciosa, esto es cuando:
0 =𝑑𝐼(𝑡0)
𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡0)𝐼(𝑡0) − 𝛾𝐼(𝑡0)
0 = (𝛽𝑆(𝑡0) − 𝛾)𝐼(𝑡0)
es decir, en el instante 𝑡0 donde 𝐼(𝑡0) = 0 ó 𝑆(𝑡0) =𝛾
𝛽 .
El hecho que 𝐼(𝑡0) = 0 puede ocurrir en dos momentos distintos, cuando 𝑡0 = 0, teniéndose
en este caso una población completamente susceptible, o cuando 𝑡0 ≠ 0 ,y en este caso la
población está compuesta sólo por susceptibles y recuperados. Dado que en ambos casos 𝐼(𝑡) toma
valores entre 0 y 1, se trata de un mínimo.
Analicemos ahora si 𝐼(𝑡) alcanza su máximo valor en el instante 𝑡0 en el cual 𝑆(𝑡0) =𝛾
𝛽
utilizando la segunda derivada:
𝑑2𝐼(𝑡0)
𝑑𝑡2= 𝛽
𝑑𝑆(𝑡0)
𝑑𝑡𝐼(𝑡0) + 𝛽𝑆(𝑡0)
𝑑𝐼(𝑡0)
𝑑𝑡− 𝛾
𝑑𝐼(𝑡0)
𝑑𝑡
𝑑2𝐼(𝑡0)
𝑑𝑡2= −𝛽2𝑆(𝑡0)𝐼
2(𝑡0) + (𝛽𝑆(𝑡0) − 𝛾)(𝛽𝑆(𝑡0)𝐼(𝑡0) − 𝛾𝐼(𝑡0))
𝑑2𝐼(𝑡0)
𝑑𝑡2= −𝛽2
𝛾
𝛽𝐼2(𝑡0) + (𝛽
𝛾
𝛽− 𝛾) (𝛽
𝛾
𝛽𝐼(𝑡0) − 𝛾𝐼(𝑡0))
𝑑2𝐼(𝑡0)
𝑑𝑡2== −𝛽2
𝛾
𝛽𝐼2(𝑡0) < 0.
Luego probamos que el número máximo de infecciosos se haya en el tiempo 𝑡0 para el cual
𝑆(𝑡0) =𝛾
𝛽. Para determinara 𝐼(𝑡0) planteamos la variación de la población infecciosa en función de
la susceptible, esto es:
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑆(𝑡)=𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛾𝐼(𝑡)
−𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= (−1 +
𝛾
𝛽𝑆(𝑡))𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡
64
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= −
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡+𝛾
𝛽
𝑑𝑙𝑛[𝑆(𝑡)]
𝑑𝑡
∫𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡𝑑𝑡 = ∫−
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡+𝛾
𝛽
𝑑𝑙𝑛[𝑆(𝑡)]
𝑑𝑡𝑑𝑡
𝐼(𝑡) = −𝑆(𝑡) +𝛾
𝛽ln[𝑆(𝑡)] + 𝐶(𝑆(𝑡′), 𝐼(𝑡′)).
Dado que la integral que se resolvió es indefinida, se tiene en la fórmula obtenida para
𝐼(𝑡)una constante 𝐶(𝑆(𝑡′), 𝐼(𝑡′)) donde 𝑡′ es un instante dado en [0, 𝑡]. De esta forma para cada
constante tenemos una curva solución diferente.
Por otro lado como en 𝑡 = 0, no hay individuos recuperados se considera que 𝑆(0) + 𝐼(0) =
𝑁. Luego, se tiene una familia de curvas solución, que pueden representarse en un diagrama de fase
como se muestra en la siguiente figura.
Dado que nuestro objetivo es determinar 𝐼(𝑡0), trabajamos con la curva solución que pasa por
(𝑆(𝑡0), 𝐼(𝑡0)), es decir:
𝐶(𝑆(𝑡0), 𝐼(𝑡0)) = 𝐼(𝑡) + 𝑆(𝑡) −𝛾
𝛽ln[𝑆(𝑡)]
pero como también esta curva solución pasa por (𝑆(0), 𝐼(0)) entonces
𝐶(𝑆(𝑡0), 𝐼(𝑡0)) = 𝐶(𝑆(0), 𝐼(0)) = 𝐼(0) + 𝑆(0) −𝛾
𝛽ln[𝑆(0)]
siendo
𝐼(𝑡) = −𝑆(𝑡) +𝛾
𝛽ln[𝑆(𝑡)] + 𝐼(0) + 𝑆(0) −
𝛾
𝛽ln[𝑆(0)].
Luego el número máximo de individuos infecciosos está dado por:
𝐼(𝑡0) = −𝑆(𝑡0) +𝛾
𝛽ln[𝑆(𝑡0)] + 𝐼(0) + 𝑆(0) −
𝛾
𝛽ln[𝑆(0)]
𝐼(𝑡0) = −𝛾
𝛽+𝛾
𝛽(𝛾 − 𝛽) + 𝐼(0) + 𝑆(0) −
𝛾
𝛽ln[𝑆(0)].
4.3.1.4. Causa de la desaparición de la infección
Una de las razones que podría ser la causa que la infección desaparezca es que no haya más
individuos capaces de contagiarse, es decir que a partir de algún momento 𝑆(𝑡) = 0. Analicemos si
65
esto es posible, para ello determinamos analíticamente el número mínimo de susceptible en la
población planteando la variación de la población susceptible en función de la población
recuperada, esto es:
𝑑𝑆
𝑑𝑅= −
𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)
𝛾𝐼(𝑡)
𝑑𝑆
𝑑𝑅= −𝑅0𝑆(𝑡)
1
𝑆(𝑡) 𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡= −𝑅0
𝑑𝑅(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑙𝑛[𝑆(𝑡)]
𝑑𝑡= −𝑅0
𝑑𝑅(𝑡)
𝑑𝑡
∫𝑑𝑙𝑛[𝑆(𝑡)]
𝑑𝑡𝑑𝑡
𝑥
0
= ∫ −𝑅0𝑑𝑅(𝑡)
𝑑𝑡𝑑𝑡
𝑥
0
𝑙𝑛[𝑆(𝑥)] − 𝑙𝑛[𝑆(0)] = −𝑅0𝑅(𝑥) + 𝑅0𝑅(0)
𝑙𝑛[𝑆(𝑥)] = 𝑙𝑛[𝑆(0)] − 𝑅0𝑅(𝑥) + 0
𝑆(𝑥) = 𝑆(0)𝑒−𝑅0𝑅(𝑥).
Dado que la epidemia se desarrolla si 𝑅0 > 1 entonces 𝑆(𝑥) disminuye a medida que 𝑅(𝑥)
aumenta. Además como 𝑅(𝑥) ≤ 1 entonces −𝑅0𝑅(𝑥) ≥ −𝑅0 y por ser la función exponencial
monótona la desigualdad se mantiene, esto es, 𝑒−𝑅0𝑅(𝑥) ≥ 𝑒−𝑅0 y como 𝑆(0) > 0 entonces
𝑆(𝑥) = 𝑆(0)𝑒−𝑅0𝑅(𝑥) ≥ 𝑆(0)𝑒−𝑅0 .
Esta última desigualdad nos está diciendo que siempre habrá algunos susceptibles en la
población que se escapan de la infección pues 𝑆(0)𝑒−𝑅0 > 0. Luego, la cadena de transmisión se
rompe con el tiempo debido a la disminución de los infecciosos y no por falta de individuos
susceptibles.
4.3.1.5. Estudio de los puntos críticos y su estabilidad.
En este caso como 𝑅(𝑡) = 1 − 𝑆(𝑡) − 𝐼(𝑡) entonces el sistema (9) se reduce a dos ecuaciones
diferenciales
{
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡= 𝛽𝐼(𝑡)𝑆(𝑡)
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= (𝛽𝑆(𝑡) − 𝛾)𝐼(𝑡)
(10)
y obtenemos los siguientes puntos de equilibrio libres de enfermedad (𝑆∗, 𝐼∗, 𝑅∗) = (𝑆∗, 0,1 − 𝑆∗),
𝑆∗ ∈ [0,1].
Antes de analizar la estabilidad del punto crítico lo trasladamos al origen realizando el
siguiente cambio de variables: 𝑆̅ = 𝑆 − 𝑆∗, 𝐼 ̅ = 𝐼 − 𝐼∗. Luego como 𝐸(𝑆̅, 𝐼)̅ = 𝑆̅ + 𝐼 ̅ es una función
de Liapunov para el sistema (10), y además 𝐸′(𝑆̅, 𝐼)̅ = −𝛾𝐼 ̅ < 0 entonces por el Teorema 2.5 el
66
punto crítico (0,0) es asintóticamente estable. Luego (𝑆∗, 𝐼∗, 𝑅∗) = (𝑆∗, 0,1 − 𝑆∗), 𝑆∗ ∈ [0,1] son
asintóticamente estables.
4.4.2. Modelo SIR con demografía
Considerando los mismos supuestos que en los casos anteriores incorporamos la demografía
al modelo SIR anteriormente descripto, entonces se puede postular el sistema de ecuaciones
diferenciales que rige un modelo SIR con demografía de la siguiente forma:
Dada una población constante de N individuos y sean 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡) la proporción de
individuos susceptibles, infecciosos y recuperados respectivamente de dicha población en el
instante t, entonces la dinámica de la infección es modelada por el siguiente sistema:
{
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜇 − 𝜇𝑆(𝑡) − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛾𝐼(𝑡) − 𝜇𝐼(𝑡)
𝑑𝑅(𝑡)
𝑑𝑡= 𝛾𝐼(𝑡) − 𝜇𝑅(𝑡)
𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡) = 1𝑆(0) > 0, 𝐼(0) > 0 𝑦 𝑅(0) = 0.
(11)
En la Figura 4.6 se muestra el resultado de simulaciones de la dinámica del sistema considerando
una población de 1000 individuos donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1, 𝑍(0) = 0 –ningún individuo
recuperado-y se asignan distintos valores para los parámetros 𝛽 y 𝛾.
La Figura 4.6 nos permite observar que en el modelo SIR con demografía, la cantidad de
infectados alcanza un máximo y luego decrece tendiendo a un valor, no necesariamente cero, esto
demuestra que en este modelo a diferencia del SIR sin demografía la infección no tiende a
desaparecer sino que persiste en la población. Por otro lado, la cantidad de recuperados aumenta
hasta estabilizarse.
Si bien, en todos los gráficos se observa una dinámica en común, el primer gráfico presenta
una cantidad máxima de infectados baja y lo mismo ocurre con los recuperados, esto es debido a
que la tasa de infección es muy baja y a su vez la tasa de recuperación es alta.
67
Figura 4.6. Simulaciones de un modelo SIR con demografía donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1 siendo a)
𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.52, b) 𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.15,c) 𝛽 = 0.8, 𝛾 = 0.15 y d) 𝛽 = 0.8, 𝛾 = 0.52.
4.4.2.1. Número máximo de infecciosos
Nuevamente como en el caso sin demografía, en las simulaciones se observa que el número
de infecciosos alcanza un valor máximo y luego decrece. En este aparado nos ocuparemos de
determinar analíticamente dicho valor para lo cual primero determinaremos el instante, 𝑡0, donde
I(t) no cambia procediendo como en 4.3.1.3, esto es:
0 =𝑑𝐼(𝑡0)
𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡0)𝐼(𝑡0) − 𝛾𝐼(𝑡0) − 𝜇𝐼(𝑡0)
0 = (𝛽𝑆(𝑡0) − 𝜇 − 𝛾)𝐼(𝑡0)
Luego se tiene que 𝑡0 satisface𝐼(𝑡0) = 0 ó 𝑆(𝑡0) =𝜇+𝛾
𝛽.
Siguiendo el mismo razonamiento que en el apartado 4.3.1.3, se tienen que 𝐼(𝑡0) = 0 es un
mínimo.
Analicemos ahora si 𝐼(𝑡) alcanza su máximo valor en el instante 𝑡0 en el cual 𝑆(𝑡0) =𝜇+𝛾
𝛽
utilizando la segunda derivada:
68
𝑑2𝐼(𝑡0)
𝑑𝑡2= 𝛽
𝑑𝑆(𝑡0)
𝑑𝑡𝐼(𝑡0) + (𝛽𝑆(𝑡0) − 𝜇 − 𝛾)
𝑑𝐼(𝑡0)
𝑑𝑡
𝑑2𝐼(𝑡0)
𝑑𝑡2= −𝛽2𝑆(𝑡0)𝐼
2(𝑡0) + (𝛽𝑆(𝑡0) − 𝜇 − 𝛾))(𝛽𝑆(𝑡0)𝐼(𝑡0) − 𝜇𝐼(𝑡0) − 𝛾𝐼(𝑡0))
𝑑2𝐼(𝑡0)
𝑑𝑡2= −𝛽2
𝜇 + 𝛾
𝛽𝐼2(𝑡0) + (𝛽
𝜇 + 𝛾
𝛽− 𝜇 − 𝛾))(𝛽
𝜇 + 𝛾
𝛽𝐼(𝑡0) − 𝜇𝐼(𝑡0) − 𝛾𝐼(𝑡0))
𝑑2𝐼(𝑡0)
𝑑𝑡2
𝑑2𝐼(𝑡0)
𝑑𝑡2= −𝛽2
𝜇 + 𝛾
𝛽𝐼2(𝑡0) < 0.
Luego probamos que el número máximo de infecciosos se tiene en el tiempo 𝑡0 para el cual
𝑆(𝑡0) =𝜇+𝛾
𝛽. Para determinara 𝐼(𝑡0) planteamos la variación de la población infecciosa en función
de la susceptible y procediendo como en 4.3.1.3 obtenemos que el número máximo de individuos
infecciosos está dado por:
𝐼(𝑡0) = −𝛾 + 𝜇
𝛽+𝛾 + 𝜇
𝛽(𝛾 + 𝜇 − 𝛽) + 𝐼(0) + 𝑆(0) −
𝛾 + 𝜇
𝛽ln[𝑆(0)].
4.4.2.2. Tiempo medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso
Procediendo como en el apartado 4.1.2.1 se tiene que el período de permanencia en la clase
infecciosa es 1
𝛾+𝜇.
4.4.2.3. Número reproductivo básico, 𝑹𝟎
Procediendo como se procedió en 4.1.2.2 el número reproductivo básico es 𝑅0 = 𝛽.1
𝛾+𝜇 .
4.4.2.4. Estudio de los puntos críticos y su estabilidad
Nuevamente, como 𝑅(𝑡) = 1 − 𝑆(𝑡) − 𝐼(𝑡) entonces el sistema (11) se reduce a dos
ecuaciones diferenciales
{
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜇 − (𝜇 + 𝛽𝐼(𝑡))𝑆(𝑡)
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= (𝛽𝑆(𝑡) − 𝛾 − 𝜇)𝐼(𝑡. )
Cuyo equilibrio libre de infección es (𝑆∗, 𝐼∗, 𝑅∗) = (1,0,0) y el equilibrio endémico es (𝑆∗, 𝐼∗, 𝑅∗) =
(1
𝑅0,𝜇(𝑅0−1)
𝛽, 1 −
1
𝑅0−𝜇(𝑅0−1)
𝛽).
Analizamos la estabilidad local de cada punto de equilibrio trabajando con el sistema (12) y
como este es no lineal para llevar a cabo tal análisis utilizamos el proceso de lineación desarrollado
69
en el capítulo 2 que nos asegura que el comportamiento de las trayectorias de (12) cerca del punto
crítico será similar al de las trayectorias del sistema linealizado:
𝐽 (𝑆 − 𝑆∗
𝐼 − 𝐼∗) = (
−(𝜇 + 𝛽𝐼) −𝛽𝑆𝛽𝐼 𝛽𝑆 − 𝛾 − 𝜇
)(𝑆 − 𝑆∗
𝐼 − 𝐼∗)
donde J es el jacobiano del sistema (12).
Para poder aplicar el teorema de Linealizacion de Liapunov y Poincaré (Teorema 2.4.)
realizamos el cambio de variable 𝑆̅ = 𝑆 − 𝑆∗, 𝐼 ̅ = 𝐼 − 𝐼∗ y de este modo trasladamos el punto de
equilibrio al (0,0).
Análisis de la estabilidad local del equilibrio libre (1,0).
Al evaluar el jacobiano en dicho punto se tiene la siguiente matriz:
(−𝜇 −𝛽0 𝛽 − 𝛾 − 𝜇
)
cuyos autovalores son 𝜆1 = −𝜇 y 𝜆2 = 𝛽 − 𝛾 − 𝜇. Luego, como son números reales por el Teorema
2.4. el punto crítico (1,0) del sistema (12) es asintóticamente estable si 𝛽 − 𝛾 − 𝜇 < 0, es decir,
𝛾 + 𝜇 > 𝛽 o bien, 1 >𝛽
𝛾+𝜇= 𝑅0. Entonces podemos concluir que si el sistema sufre algún tipo de
perturbación siempre se vuelve al equilibrio ya que 𝑅0 < 1 por lo cual la infección no logra
expandirse. En caso contrario, esto es cuando 𝛽 − 𝛾 − 𝜇 > 0 cualquier perturbación conduce a que
la infección se propague ya que 𝑅0 > 1.
Análisis de la estabilidad local del equilibrio endémico (1
𝑅0,𝜇(𝑅0−1)
𝛽).
Al evaluar el jacobiano en dicho punto de equilibrio se tiene la siguiente matriz:
(−𝜇𝑅0 −𝛽
1
𝑅0𝜇(𝑅0 − 1) 0
)
cuyos autovalores son 𝜆1, 𝜆2 = −𝜇𝑅0
2±1
2√(𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) .
Si 𝑅0 < 1 entonces √(𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) = √(𝜇𝑅0)2 + 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(1 − 𝑅0) > 𝜇𝑅0
y así √(𝜇𝑅0)2 + 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(1 − 𝑅0) − 𝜇𝑅0 > 0 y −√(𝜇𝑅0)2 + 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(1 − 𝑅0) − 𝜇𝑅0 < 0,
luego los autovalores son reales de distinto signo obteniendo así un equilibrio inestable.
Si 𝑅0 > 1 entonces pueden ocurrir dos casos:
i) (𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) > 0
ii) (𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) < 0
En cada caso analizamos como son los autovalores para luego determinar si el punto de
equilibrio es estable o inestable.
i) Cuando (𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) > 0 tendremos dos autovalores reales. Siendo uno de
los autovalores −𝜇𝑅0
2−1
2√(𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) < 0. Para analizar el signo del otro
70
autovalor veamos que (𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) < (𝜇𝑅0)
2, luego
−√(𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) > −𝜇𝑅0 siendo −𝜇𝑅0 +√(𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) < 0 con
lo cual probamos que ambos autovalores son negativos con lo cual el punto crítico es
asintóticamente estable.
ii) Cuando (𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) < 0 entonces los autovalores son imaginarios con
parte real negativa, 𝜆1, 𝜆2 = −𝜇𝑅0
2± 𝑖
1
2√−(𝜇𝑅0)2 + 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1), luego el equilibrio es
asintóticamente estable.
Luego si 𝑅0 < 1 el equilibrio endémico es inestable mientras que si 𝑅0 > 1 es
asintóticamente estable.
71
Capítulo V
Modelos Epidemiológicos para Poblaciones Estructuradas y/o
Comunidades
Una de las preocupaciones más importantes sobre cualquier enfermedad infecciosa es su
capacidad de invadir una población. Muchos modelos epidemiológicos tienen un equilibrio libre de
enfermedad (DFE) en el que la población permanece en ausencia de esta. Estos modelos
generalmente tienen un parámetro umbral, conocido como número de reproducción básico, R0, de
modo que si R0 < 1, entonces el DFE es asintóticamente estable, y la enfermedad no puede
prevalecer en la población, si R0 > 1, el DFE es inestable y la propagación siempre es posible pero si
R0 = 1 la enfermedad persiste en la población pero ni desaparecer ni se propaga.
En el capítulo anterior se calculó el R0 cuando una población se estructura en términos del
estado del individuo respecto a la infección, esto es: susceptibles, infectados o recuperados,
calculándose R0 como el producto entre el tiempo de vida del individuo infeccioso y la tasa de
transmisión de la infección.
En este capítulo se modela la dinámica de la infección cuando la población puede
estructurarse en subpoblaciones o cuando se trabaja en comunidades donde poblaciones de
distintas especies interactúan.
5.1. Modelo epidemiológico para poblaciones heterogéneas
Supongamos que una población puede dividirse en subpoblaciones homogéneas, de modo
que los individuos en una subpoblación determinada no se distingan entre sí. Es decir, los
parámetros pueden variar de una subpoblación a otra, pero son idénticos para todos los individuos
dentro de una subpoblación determinada.
Sea 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛) con cada 𝑥𝑖 ≥ 0 el número de individuos en cada compartimento donde
los primeros m compartimentos correspondan a individuos infectados y sea 𝑋𝑠 el conjunto de todos
los estados libres de enfermedad, es decir: 𝑋𝑠 = {𝑥 ≥ 0: 𝑥𝑖 = 0, 𝑖 = 1,… ,𝑚}.
Sean ℱ𝑖(𝑥) la tasa de aparición de nuevas infecciones en el compartimento 𝑖, 𝒱𝑖+(𝑥) sea la
tasa de transferencia de individuos al compartimento 𝑖 por todos los demás medios, 𝒱𝑖−(𝑥) sea la
tasa de transferencia de individuos que salen del compartimento 𝑖.
Luego el sistema de ecuaciones diferenciales, que rige en el modelo de transmisión de la
enfermedad en poblaciones heterogéneas y con condiciones iniciales no negativas, está dado por:
72
𝑥𝑖′ = 𝑓𝑖(𝑥) = ℱ𝑖(𝑥) − [𝒱𝑖
−(𝑥) − 𝒱𝑖+(𝑥)]⏟
𝒱𝑖(𝑥)
, 𝑖 = 1,… , 𝑛 (1)
donde se considera que cada función ℱ𝑖, 𝒱𝑖−, 𝒱𝑖
+ es continuamente diferenciable al menos dos veces
en cada variable y satisfacen las siguientes condiciones:
1) Si 𝑥 ≥ 0 entonces ℱ𝑖, 𝒱𝑖+, 𝒱𝑖
− ≥ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑛
2) Si 𝑥𝑖 = 0 entonces 𝒱𝑖− = 0.
3) Si 𝑖 > 𝑚 entonces ℱ𝑖 = 0
4) Si 𝑥0 ∈ 𝑋𝑠 entonces ℱ𝑖(𝑥0) = 0, 𝒱𝑖+(𝑥0) = 𝒱𝑖
−(𝑥0) = 0 para 𝑖 = 1,… ,𝑚
5) Si 𝑥0 ∈ 𝑋𝑠 y si ∀𝑖, ℱ𝑖(𝑥) = 0 entonces todos los valores propios de 𝐷𝑓(𝑥0) tienen
partes reales negativas donde 𝐷𝑓(𝑥0) es el jacobiano del campo [𝑓1(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥)] en el
punto 𝑥0,
Definición 5.1. Una matriz A es M- matriz cuando todos sus elementos menores o iguales a cero
excepto en su diagonal, es decir A tiene un patrón Z signo, y todos sus autovalores tienen parte real
no negativa. Equivalentemente, una matriz A es M-matriz cuando A tiene un patrón Z signo y si
𝐴 = 𝑎𝐼 − 𝑃 con I la identidad, P no negativa y 𝑎 ≥ 𝜌(𝑃) con 𝜌(𝑃) el radio espectral de 𝑃.
Lema 5.1. Sea 𝑥0 ∈ 𝑋𝑠, 𝑓𝑖 satisfacen las condiciones del 1) al 5) y 𝑥′ = 𝐷𝑓(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) el sistema
linealizado de (1) entonces
𝐷𝑓(𝑥0) = (𝐹 00 0
) − (𝑉 0𝐽3 𝐽4
)
donde 𝐹 = {𝜕ℱ𝑖(𝑥0)
𝜕𝑥𝑗}𝑖,𝑗
y 𝑉 = {𝜕𝒱𝑖(𝑥0)
𝜕𝑥𝑗}𝑖,𝑗
con 𝑖, 𝑗 ∈ {1, …𝑚} con F no negativa, V es M-matriz no
singular y todos los autovalores de 𝐽4 tienen parte real positiva.
Demostración. Sea 𝑥0 ∈ 𝑋𝑠 por 3) y 4) 𝜕ℱ𝑖(𝑥0)
𝜕𝑥𝑗= 0 para 𝑖 > 𝑚 o 𝑗 > 𝑚 . Luego 𝐷𝑓(𝑥0) tiene en su
primer sumando esos bloques de ceros y por 1) y 4) 𝐹 es no negativa. Por 4), 𝜕𝒱𝑖(𝑥0)
𝜕𝑥𝑗= 0 para
𝑖 ≤ 𝑚 y 𝑗 > 𝑚. Luego 𝐷𝑓(𝑥0) tiene en su segundo sumando un bloque de ceros lo que permite
describirla como una matriz triangular en bloques. Probemos que V es M-matriz no singular, es decir
trabajemos con los índices 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑚. Dado el conjunto de n vectores canónicos, {𝑒𝑖} para
𝑗 = 1,… ,𝑚 tenemos:
𝜕𝒱𝑖(𝑥0)
𝜕𝑥𝑗= limℎ→0
𝒱𝑖(𝑥0 + ℎ𝑒𝑗) − 𝒱𝑖(𝑥0)
ℎ.
Por 2) y 4) 𝒱𝑖(𝑥0) = 0 para 𝑖 ≤ 𝑚 y si 𝑖 ≠ 𝑗 la i-ésima componente del vector 𝑥0 + ℎ𝑒𝑗 es 0 entonces
por 1) y 2) 𝒱𝑖(𝑥0 + ℎ𝑒𝑗) = 𝒱𝑖−(𝑥0 + ℎ𝑒𝑗) − 𝒱𝑖
+(𝑥0 + ℎ𝑒𝑗) = −𝒱𝑖+(𝑥0 + ℎ𝑒𝑗) ≤ 0. Así para 𝑖 ≤ 𝑚 y
𝑖 ≠ 𝑗 con 𝑗 = 1, … ,𝑚
73
𝜕𝒱𝑖(𝑥0)
𝜕𝑥𝑗= limℎ→0
𝒱𝑖(𝑥0 + ℎ𝑒𝑗) − 𝒱𝑖(𝑥0)
ℎ= limℎ→0
−𝒱𝑖+(𝑥0 + ℎ𝑒𝑗) − 0
ℎ≤ 0.
Luego V es M matriz no singular porque tiene todos sus elementos menores o iguales que cero
excepto en su diagonal, es decir, es Z signo y por propiedad 5) todos sus autovalores tienen parte
real positiva. Finalmente por 5), el bloque 𝐽4 tiene todos los autovalores con parte real positiva.
Observación 5.1. Cada coordenada (𝑖, 𝑗) de la matriz F representa la tasa por la cual nuevas
infecciones son generadas en 𝑖 por un individuo de j, mientras que cada coordenada (𝑖, 𝑗) de la
matriz V representa la tasa de transición desde 𝑗 a 𝑖.
5.1.1. Tiempo medio que un individuo permanece infectado
Supongamos que un individuo del compartimento infectado 𝑖0 ∈ {1,…𝑚} es introducido a una
población libre de enfermedad y en la cual no hay nuevas infecciones secundarias, es decir, 𝐹 = 0.
En este apartado determinamos el tiempo medio de permanencia de éste en cada uno de los
compartimentos infecciosos. Debido a que nos interesa lo que ocurre en los compartimentos
infecciosos trabajamos con las ecuaciones que describen la dinámica de los compartimentos
infecciosos del sistema linealizado (2) y por Lema 5.1 el sistema será
(𝑥1(𝑡) ⋮
𝑥𝑚(𝑡))
′
= −𝑉(𝑥1(𝑡) ⋮
𝑥𝑚(𝑡))
con la condición inicial
𝑥(0) = (0,…0, 1⏟𝑖0
, 0, . . ,0)
𝑡
.
Por la Proposición 1.3 la única solución del sistema anterior con condiciones iniciales es
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑉𝑡𝑥(0)
donde la j-ésima coordenada de 𝑥(𝑡) es interpretada como la probabilidad que tiene el individuo
infeccioso del compartimento 𝑖0 en encontrarse en el compartimento 𝑗 al tiempo 𝑡.
Luego la esperanza de permanencia del individuo infeccioso del compartimento 𝑖0 en el
compartimento infeccioso 𝑗 está dada por la j-esima coordenada del siguiente vector:
∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡∞
0
= 𝑉−1𝑥(0).
Dado que 𝑥(0) es el vector que tiene un uno en la coordenada 𝑖0 y 0 en las restantes, el tiempo
esperado de permanencia del individuo del compartimento 𝑖0 en el j-ésimo compartimento está
dada por la coordenada (𝑗, 𝑖0) de la matriz 𝑉−1. Luego la coordenada (𝑗, 𝑘) de la matriz 𝑉−1 se
interpreta como el tiempo esperado que un individuo inicialmente introducido en el compartimento
infeccioso k permanece en el compartimento infeccioso 𝑗.
74
Observación 5.2. La integral antes mencionada está bien definida porque la serie exponencial
converge para todo 𝑡 y 𝑉 es M-matriz no singular.
5.1.2. Formulación del 𝑹𝟎
Del capítulo anterior el número de infecciones secundarias producidas por un único
individuo se lo expresó como el producto del período de infección de este individuo y la tasa de
transmisión de la enfermedad por este individuo. Pero ahora estudiaremos la cantidad de
infecciones secundarias producidas por un índice hipotético, es decir, vamos a cuantificar la
cantidad de infecciones secundarias producidas por el individuo infeccioso del compartimento 𝑖0 en
cada compartimento infeccioso cuando es introducido en una población totalmente susceptible.
Por Observación 5.1. la coordenada (𝑖, 𝑗) de la matriz F representa la tasa por la cual nuevas
infecciones son generadas en 𝑖 por un individuo infeccioso en 𝑗 mientras la coordenada (𝑗, 𝑖0) de la
matriz 𝑉−1 se interpreta como el tiempo esperado que un individuo inicialmente introducido en el
compartimento infeccioso 𝑖0 permanece en el compartimento infeccioso 𝑗. Entonces cuando
hacemos 𝐹 𝑉−1 cada coordenada (𝑖, 𝑖0) es el número esperado de casos secundarios en el
compartimento infeccioso i durante el período de infección del individuo del compartimento 𝑖0. A
este producto 𝐾 = 𝐹 𝑉−1 se lo llama matriz de la siguiente generación.
Dado que ahora tenemos una matriz, en la que cada coordenada (𝑖, 𝑗) nos indica la cantidad
de casos secundarios en 𝑖 por un individuo de 𝑗, necesitamos un número que aproxime a la cantidad
de casos secundarios en una población totalmente susceptible cuando se introduce un individuo
infeccioso (sin importar de qué compartimento infeccioso provenga) y que represente el
comportamiento global de la enfermedad.
Como 𝐾 es no negativa (ver Proposición 5.1.c), por el teorema de Perron-Frobenius, el radio
espectral de K, es decir, 𝜌 = 𝜌(𝐾) es un autovalor real positivo de K y además tiene asociado un
autovector no negativo por derecha.
Luego 𝜌(𝐾) será el número reproductivo básico buscado, es decir:
𝑅0 = 𝜌(𝐾) (2)
y 𝑤0 ,el autovector asociado a 𝑅0 por derecha, es interpretado como la distribución de individuos
infectados que produce el mayor número de infecciones secundarias cuando se introduce un
individuo infeccioso (sin importar de qué compartimento infeccioso provenga) en una población
totalmente susceptible.
El Teorema 5.1 establece que 𝑅0 = 𝜌(𝐾) es un parámetro umbral para la estabilidad del
equilibrio libre de la enfermedad. Antes de enunciarlo mencionamos algunas propiedades y lemas
que utilizaremos para su demostración.
75
Proposición 5.1. Sea A una M matriz
a) A es no singular si y sólo si 𝐴 = 𝑎𝐼 − 𝑃 y 𝑎 > 𝜌(𝑃)
b) A es singular si y sólo si 𝐴 = 𝑎𝐼 − 𝑃 y 𝑎 = 𝜌(𝑃)
c) 𝐴−1 ≥ 0 si y sólo si A es M matriz no singular
Lema 5.2. Sea H una M matriz no singular y supongamos que B y 𝐵𝐻−1 tienen un patrón Z signo
entonces B es M matriz no singular si y sólo si 𝐵𝐻−1es M matriz no singular.
Lema 5.3. Sea H una M-matriz no singular y supongamos 𝐾 ≥ 0 entonces
a) (𝐻 − 𝐾) es una M-matriz no singular si y sólo si (𝐻 − 𝐾)𝐻−1 es una M-matriz no singular.
b) (𝐻 − 𝐾) es una M-matriz singular si y sólo si (𝐻 − 𝐾)𝐻−1 es una M-matriz singular.
Ahora estamos en condiciones de enunciar y probar el teorema antes mencionado.
Teorema 5.1. Consideremos el modelo de transmisión de enfermedad dado por (1) donde cada
𝑓𝑖(𝑥) satisfacen las condiciones de la 1 a la 5. Si 𝑥0 ∈ 𝑋𝑠 entonces 𝑥0 es asintóticamente estable si
𝑅0 < 1, pero es inestable si 𝑅0 > 1, donde 𝑅0 es definido en (2).
Demostración. La estabilidad de 𝑥0 estará determinada por los signos de la parte real de los
autovalores de 𝐷𝑓(𝑥0) = (𝐹 − 𝑉 0−𝐽3 −𝐽4
). Por Lema 5.1 −𝐽4 tiene autovalores con parte real
negativa luego para analizar la estabilidad de 𝑥0 estudiamos los signos de la parte real de los
autovalores de 𝐹 − 𝑉.
Como 𝑉 es una M-matriz no singular por Proposición 5.1.c) 𝑉−1 ≥ 0 luego 𝐹𝑉−1 ≥ 0 y así
𝐼 − 𝐹𝑉−1 tiene un patrón Z-signo. Probemos que (𝐼 − 𝐹𝑉−1)−1 ≥ 0 si y sólo si (𝑉 − 𝐹)−1 ≥ 0, en
efecto, como (𝑉 − 𝐹)−1 = 𝑉−1(𝐼 − 𝐹𝑉−1) y 𝑉(𝑉 − 𝐹)−1 = 𝐼 + 𝐹(𝑉 − 𝐹)−1 entonces (𝐼 −
𝐹𝑉−1)−1 = 𝐼 + 𝐹(𝑉 − 𝐹)−1 resultando que (𝐼 − 𝐹𝑉−1)−1 ≥ 0 si y sólo si 𝐼 + 𝐹(𝑉 − 𝐹)−1 ≥ 0 si y
sólo si (𝑉 − 𝐹)−1 ≥ 0 ya que 𝐹 ≥ 0 . Además como 𝑉 − 𝐹 tiene un patrón Z-signo y (𝑉 − 𝐹)−1 ≥ 0
por Proposición 5.1.c) 𝑉 − 𝐹 es una M matriz no singular, es decir, todos sus autovalores tienen
parte real positiva. Resultando así que 𝐹 − 𝑉 tiene todos sus autovalores con parte real negativa.
Dado que se probó que (𝐼 − 𝐹𝑉−1)−1 ≥ 0 y 𝐼 − 𝐹𝑉−1tiene un patrón Z-signo por Proposición
5.1.c) 𝐼 − 𝐹𝑉−1 es M-matriz no singular y esto es equivalente por definición 5.2 que 𝜌(𝐹𝑉−1) < 1
ya que 𝐹𝑉−1 ≥ 0. Finalmente hemos probado que 𝜌(𝐹𝑉−1) < 1 si y sólo si 𝐹 − 𝑉 tiene todos sus
autovalores con parte real negativa. De esto último deducimos que todos los autovalores de 𝐹 − 𝑉
tienen parte real no negativa si y sólo si 𝑅0 ≥ 1. Bastará sólo probar que 𝑅0 = 1 sí y sólo 𝐹 − 𝑉 es
singular, en efecto, por Lema 5.3.b 𝑉 − 𝐹 es M matriz singular si y sólo si (𝑉 − 𝐹) 𝑉−1 es M matriz
singular. Por proposición 5.1. b) (𝑉 − 𝐹) 𝑉−1 = 𝐼 − 𝐹𝑉−1 es M matriz singular si y sólo si 1 = 𝑅0.
Luego 𝐹 − 𝑉es M matriz singular si y sólo si 𝑉 − 𝐹 es M matriz singular si y sólo si 1 = 𝑅0.
76
Ejemplo 5.1. Consideremos el modelo SEIR descripto por el sistema:
𝑆′ = −𝛽𝑆(𝐼 + 휀𝐸)
𝐸′ = 𝛽𝑆(𝐼 + 휀𝐸) − 𝑘𝐸
𝐼′ = 𝑘𝐸 − 𝛼𝐼
𝑅′ = 𝛼𝐼
y hallemos el 𝑅0.
Este sistema tiene como equilibrio libre de infección al vector (𝐸∗, 𝐼∗, 𝑆∗, 𝑅∗) = (0,0, 𝑁, 0) y los
estados infecciosos son 𝐸 e 𝐼 por lo que:
𝐹 = (𝛽휀𝑁 𝛽𝑁0 0
) 𝑦 𝑉 = (𝑘 0−𝑘 𝛼
)
Luego
𝐹𝑉−1 = (𝛽휀𝑁 𝛽𝑁0 0
) .(
1
𝑘0
1
𝛼
1
𝛼
) =. (𝛽휀𝑁
𝑘+𝛽𝑁
𝛼
𝛽𝑁
𝛼0 0
)
obteniéndose que
𝑅0 =𝛽휀𝑁
𝑘+𝛽𝑁
𝛼
77
CAPÍTULO VI
Modelos Preexistentes de la Propagación de Leptospirosis.
La leptospirosis es un problema de salud pública a nivel mundial, en particular en áreas
tropicales y subtropicales y en países en vías de desarrollo. La magnitud del problema es atribuido a
las condiciones climáticas y ambientales, pero también al contacto que se tiene con ambientes
contaminados por Leptospiras, esto se observa en las actividades agrícolas, ganadera, minera,
recreacionales, deportivas y condiciones de salubridad en la vivienda.
En los últimos años se ha comenzado a trabajar en el modelado de esta infección
especialmente en Tailandia donde la leptospirosis es una preocupación importante de los
funcionarios de salud pública. Los modelos epidemiológicos desarrollados se basan en sistemas de
ecuaciones diferenciales que combinan los modelos desarrollados en los capítulos IV y V.
En el presente capítulo describimos brevemente la enfermedad de la leptospirosis y
analizamos los diferentes modelos matemáticos que se han publicado para esta enfermedad.
6.1. Descripción de la leptospirosis
La leptospirosis es una zoonosis, es decir, enfermedad propia de los animales que es
transmitida a los humanos. Se caracteriza por ser febril aguda causada por la espiroqueta patógena
del género Leptospira. Existen 7 cepas de leptospirosis, como Leptospira interrogans, Leptospira
kirschneri, Leptospira noguchii, Leptospira borgpetersenii, Leptospira santarosai, Leptospira weilii y
Leptospira inadai. La misma ocurre en todo el mundo siendo mayor su ocurrencia en países
tropicales. Los brotes de leptospirosis se producen principalmente después de las inundaciones, lo
que hace que se convierta en un riesgo ocupacional para los trabajadores sanitarios y agrícolas.
Esta enfermedad es transmitida por muchos animales como ratas, zorrillos, zarigüeyas,
mapaches, zorros, ganado entre otros que actúan como vectores de la infección. Se ha encontrado
que algunas Leptospiras patógenas están asociadas con animales domésticos como por ejemplo, el
serovar canicola (L.canicola) que se ha adaptado a los caninos. Esto último la ha llevado a ser una
enfermedad común en muchas comunidades humanas.
El hombre contrae la leptospirosis por estar en contacto con orina infectada de mamíferos
portadores, ya sea directamente o en forma indirecta al estar en contacto con tierra o agua
contaminada. Las leptospiras pueden ingresar al cuerpo por las abrasiones, cortes en la piel y por vía
conjuntival. También lo pueden hacer por la piel cuando se ha permanecido un prolongado tiempo
78
en aguas contaminadas y por su inhalación, ya sea que se encuentren en agua o en aire. Raramente
se presentan casos donde la infección se da por mordeduras de animales.
Las características de los pacientes con leptospirosis son fiebre alta, dolor de cabeza,
escalofríos, dolores musculares, conjuntivitis (ojos rojos), diarrea, vómitos y problemas renales o
hepáticos (que pueden incluir ictericia), anemia y a veces erupción cutánea. La duración de los
síntomas debidos a esta enfermedad puede durar de unos días a varias semanas. Después de
infectados, algunos pacientes pueden no tener síntomas evidentes, tener síntomas leves, y en
algunos casos extremos síntomas graves ocasionando la muerte ya sea por hemorragias renales y/o
hepáticas.
6.2. Revisión de los modelos para la leptospirosis
En este apartado presentamos los diferentes modelos que se han construido para la
leptospirosis. Debido a que esta enfermedad afecta a la población humana, diferentes instituciones
intentan describir mediante modelos matemáticos su dinámica y analizar el efecto que tendrían
diferentes medidas de control.
Todos los modelos son planteados mediante sistemas de ecuaciones diferenciales y
consideran que un vector infectado es capaz de transmitir la infección inmediatamente después de
haberla adquirido. Además se asume en todos los casos que los individuos que nacen e ingresan al
estadio susceptible no están inmunizados, siendo vulnerables inmediatamente.
6.2.1. Modelado de la leptospirosis en la rata africana, Mastomys natalensis, para
determinar el riesgo en humanos: Fluctuaciones estacionales y el impacto del
control del roedor.
En el trabajo publicado por J. Holt, S. Davisb, H. Leirsen en el año 2006 se modela la
propagación de la leptospirosis en la población del roedor Mastomys natalensis en campos de maíz
en Tanzania, África. En este caso la población de roedores es divida en tres clases de edad- jóvenes,
sub-adultos y adultos- que a la vez se dividen en dos clases en base al estado de los individuos en
relación a la infección: susceptible e infectada. Luego, los autores plantean un modelo SI-SI-SI donde
la población queda estructurada en seis clases, tres susceptibles -𝐽𝑆, 𝑈𝑆,𝐴𝑆- y tres infecciosas - 𝐽𝐼 , 𝑈𝐼 ,
𝐴𝐼. Además estudian la dinámica de la población de bacterias en vida libre y su efecto sobre los
roedores.
Los supuestos que se consideran en este trabajo son:
La población de roedores no es cerrada y la tasa de natalidad per cápita es 𝐵.
Los individuos infectados no se recuperan.
La tasa de mortalidad en roedores jóvenes es 𝑠0 y en sub-adultos y adultos es 𝑠1.
79
La tasa de maduración de juveniles a subadultos es 𝜓0 .
La tasa de maduración de los sub-adultos 𝜓1 depende de la abundancia de adultos.
Hay tres posibles vías de transmisión; de la madre a la cría, contacto directo (sexual) y
por el ambiente cuyas tasas son 𝜈1, 𝜈2 y 𝜈3, respectivamente.
La transmisión por contacto sexual sólo ocurre en la clase adulta y su tasa no
depende del tamaño de la población.
Los infectados jóvenes no eliminan Leptospiras al ambiente
Los susceptibles jóvenes no están expuestos a las Leptospiras del ambiente.
El tiempo medio de supervivencia de las Leptospiras en el ambiente es el mismo
tanto en agua como en tierra seca.
Cada individuo infectado elimina 𝐾 Leptospiras por día.
Las Leptospiras en el medio ambiente, 𝐿, tienen una tasa de mortalidad 𝜇.
Basándose en los supuestos antes mencionados se propone un sistema de ecuaciones
diferenciales:
𝑑𝐽𝑆𝑑𝑡
= 𝐵(𝐴𝑆 + (1 − 𝑣1)𝐴𝐼) − 𝜓0𝐽𝑆 − 𝑠0𝐽𝑆
𝑑𝐽𝐼𝑑𝑡= 𝐵𝑣1𝐴𝐼 − 𝜓0𝐽𝐼 − 𝑠0𝐽𝐼
𝑑𝑈𝑆𝑑𝑡
= 𝜓0𝐽𝑆 − 𝜓1 exp(−𝑐(𝐴𝑆 + 𝐴𝐼)) 𝑈𝑆 − 𝑠1𝑈𝑆 −𝑣3𝐿
𝐿 + ℎ𝑈𝑆
𝑑𝑈𝐼𝑑𝑡
= 𝜓0𝐽𝐼 +𝑣3𝐿
𝐿 + ℎ𝑈𝑆 − 𝜓1 exp(−𝑐(𝐴𝑆 + 𝐴𝐼))𝑈𝐼 − 𝑠1𝑈𝐼
𝑑𝐴𝑆𝑑𝑡
= 𝜓1 exp(−𝑐(𝐴𝑆 + 𝐴𝐼))𝑈𝑆 − 𝑠1𝐴𝑆 −𝑣2𝐴𝑆𝐴𝐼𝐴𝐼 + 𝐴𝐼
−𝑣3𝐿
𝐿 + ℎ𝐴𝑆
𝑑𝐴𝑆𝑑𝑡
= 𝜓1 exp(−𝑐(𝐴𝑆 + 𝐴𝐼))𝑈𝐼 − 𝑠1𝐴𝐼 +𝑣2𝐴𝑆𝐴𝐼𝐴𝐼 + 𝐴𝐼
+𝑣3𝐿
𝐿 + ℎ𝐴𝑆
𝑑𝐿
𝑑𝑡= 𝑘(𝑈𝐼 − 𝐴𝐼) − 𝜇𝐿
El modelo se parametrizó de dos formas diferentes y en ambos casos se realizó un análisis de
sensibilidad de los parámetros. Primero se consideraron constantes todos los parámetros y debido a
la falta de datos para los parámetros epidemiológicos se eligieron estimaciones de orden de
magnitud. Luego se consideraron las fluctuaciones estacionales en la supervivencia de las
Leptospiras y en la reproducción de los roedores ya que la tasa de supervivencia de las Leptospiras
depende de la estación de lluvias siendo mayor cuando hay más humedad y el período de
reproducción de los roedores es de Junio a Octubre que es cuando hay mayor cantidad de alimento
disponible. En ambos casos se realizó un análisis de sensibilidad de las variables abundancia de
Leptospiras en el ambiente, abundancia de roedores y prevalencia de leptospirosis en roedores y se
80
realizaron simulaciones numéricas variando los parámetros asociados con la reproducción del
roedor y la supervivencia de las Leptospiras en el ambiente y dejando constante el resto de los
parámetros.
A partir de los resultados del análisis de sensibilidad se observa que la supervivencia de los
sub-adultos y adultos es el parámetro que más fuerza tiene en la dinámica de la infección. Sobre
esta base ellos proponen como alternativas de control de la enfermedad la captura de roedores y en
segundo lugar la disminución del hábitat ya que ésta reduce la reproducción y posteriormente la
abundancia.
6.2.2. Un modelo determinista para la propagación de la leptospirosis en
Tailandia
En el trabajo publicado por W. Triampo, D. Baowan, I.M. Tang, N. Nuttavut, J. Wong-Ekkabut,
and G. Doungchawee en el año 2007 se modela la propagación de la leptospirosis en la población
tailandesa a partir de datos reportados por el Ministerio de Salud Pública de Tailandia entre los años
2000 y 2001. En este caso se modela la infección en los humanos y en el vector, las ratas. La
población humana se estructura en tres clases: susceptibles, SH∗ , infectados, IH
∗ , y recuperados, RH∗
mientras que el vector en dos: susceptible, SA∗ , e infectado, IA
∗ . Luego, los autores plantean un
modelo SIR-SI.
Los supuestos que se consideran en este trabajo son:
La población humana no es cerrada pero es constante, 𝑁𝐻.
La tasa de mortalidad en los humanos es constante, 𝜆𝐻, e igual para todas las clases.
Los humanos y los vectores se distribuyen homogéneamente en el espacio.
Los humanos susceptibles sólo pueden ser infectados por un vector infectado.
Los humanos infectados no infectan ni a vectores ni a humanos susceptibles.
Todos los vectores recién nacidos tienen el mismo estado que sus padres en relación a la
infección.
Un humano infectado puede curarse con antibióticos, volviéndose inmune a una tasa 𝑟1.
Los individuos inmunes vuelven a ser susceptibles a una tasa constante 𝑟2.
La tasa de transmisión de la leptospirosis de un vector infectado a un ser humano susceptible
varía con la cantidad de lluvia según una distribución gaussiana ajustada al conjunto de datos
reportados por el Ministerio de Salud Pública de Tailandia entre los años 2000 y 2001.
Basándose en los supuestos antes mencionados se propone un sistema de ecuaciones
diferenciales que describe la dinámica representada por el siguiente grafo:
81
A partir de la base de datos han podido parametrizar el modelo y a partir de esto establecer
que en dos provincias de Tanzania el aumento de casos de infecciones por leptospirosis se da en los
meses en los que la cantidad de lluvia ha sido abundante.
6.2.3. Modelo matemático para la transmisión de leptospirosis en humanos jóvenes
y adultos
En el trabajo publicado por Pongsumpun en el año 2012 se modela la propagación de la
leptospirosis en la población tailandesa durante los años 2002 y 2009. En este trabajo se modela la
dinámica de la infección en la población humana y en el vector, estructurando la población humana
en dos clases: jóvenes y adultos. En base al estado de los individuos en relación a la infección la
población humana se estructura en tres clases: susceptibles, infectados y recuperados y la del
vector en dos: susceptibles e infectados. Luego plantean un modelo SIR-SIR-SI, considerando la
diferencia en la tasa de transmisión de la enfermedad entre humanos jóvenes y adultos.
Los supuestos que se consideran en este trabajo son:
Ninguna de las dos poblaciones son cerradas pero ambas son constantes.
Todos los individuos, humanos y vector, ingresan a la población siendo susceptibles.
El vector nunca se recupera de la infección
La infección la transmite el vector hacia el humano y a otros vectores.
La tasas de transmisión de la infección es distinta en humanos jóvenes y adultos.
Basándose en los supuestos antes mencionados se propone un sistema de ecuaciones
diferenciales que describe la dinámica representada por el siguiente grafo:
82
En este artículo se analiza la dinámica de la infección a partir del análisis de los equilibrios del
sistema y simulaciones numéricas. Calcula el 𝑅0 considerando sólo el subsistema del vector y a
partir de éste, analiza la estabilidad de los equilibrios.
6.2.4. Modelando las interacciones entre el vector infectado y la población humana
En el trabajo publicado por Gul Zaman, Muhammad Altaf Khan, Saeed Islam en el año 2012 se
modela la propagación de la leptospirosis considerando la misma estructura poblacional para la
población humana y del vector que en el trabajo de Triampo et al (2007). Los autores representan la
dinámica de la infección mediante el siguiente grafo y su sistema de ecuaciones diferenciales
asociado:
83
Basándonos en el sistema de ecuaciones diferenciales hemos observado que los supuestos que
los autores han considerado son:
Ninguna de las poblaciones es cerrada.
Los individuos de ambas poblaciones nacen susceptibles.
Se consideran en ambas poblaciones dos tasas de mortalidad, la natural y la debida a
la infección siendo 𝛾𝑉, 𝜇𝐻 𝛿𝑉 y 𝛿𝐻 respectivamente.
La transmisión de la infección en humanos puede darse por contactos con humanos
infectados o con vectores infectados siendo 𝛽1 y 𝛽2, respectivamente.
La transmisión de la infección a los vectores es únicamente por contacto con
humanos infectados con tasa 𝛽3. No se considera la transmisión directa entre
vectores.
El vector infectado sigue contribuyendo a la clase de infectado luego de su muerte
con una tasa 𝜇𝑉
Los autores definen el 𝑅0 como la cantidad de casos secundarios humanos a partir del
ingreso de un humano infectado en una población totalmente susceptible de humanos y vectores.
En su definición se consideran los contagios tanto directos o indirectos, luego 𝑅0 es la suma de
humanos infectados directamente por un humano infectado y los humanos infectados por un vector
que fue infectado por un humano infectado siendo su formulación
𝑅0 =𝑏1𝜇𝐻(𝛽2𝛽3𝑏2𝛾𝑉𝑄1𝑄2
+𝛽1𝑄2)
donde 𝑄1 = 𝛿𝑉 + 𝛾𝑉 + 𝜇𝑉, 𝑄2 = 𝛿𝐻 + 𝛾𝐻 + 𝜇𝐻, 𝑄3 = 𝜆ℎ + 𝜇𝐻
Luego se estudia la estabilidad del sistema en función del 𝑅0 y se realizan algunas simulación
numérica.
6.2.5. Un modelo matemático para la leptospirosis humana y animal
En el trabajo publicado por D. Baca Carrasco, D. Olmos, I. Barradas en el año 2015 se modela la
dinámica de la leptospirosis considerando que los humanos pueden infectarse no solo por el
contacto con roedores infectados sino también por estar en contacto con otros animales que son
reservorio de la bacteria. Además pueden contraer la infección por contacto directo con bacterias
que viven en el ambiente. Ellos plantean un modelo SI-SI ya que ambas poblaciones, la humana y la
animal, las estructuran en dos clases; susceptible, 𝑆𝐻 , 𝑆𝐴, e infectada, 𝐼𝐻, 𝐼𝐴..Además se incluye en el
modelo la dinámica de la población de bacterias que vive en el ambiente.
Los supuestos que se consideran en este trabajo son:
La población humana y animal son constantes.
Todos los animales ingresan a la población siendo susceptibles con tasa 𝛽 .
84
La población humana es cerrada.
El humano se recupera de la infección con tasa 𝛼1 siendo inmediatamente susceptibles y
el vector no se recupera.
Las nuevas infecciones en animales y humanos se deben al contacto con animales
infectados con tasas 𝑐1, 𝑐3 o a través de bacterias presentes en el ambiente con tasas
𝑐2, 𝑐4.
La población de bacterias aumenta debido a las bacterias liberadas por humanos
infectados (𝑐6 ) y animales infectados (𝑐5) a través de la orina.
Basándose en los supuestos antes mencionados se propone el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales:
𝑆�̇� = −(𝑐1𝐼𝐴 − 𝑐2𝐵)𝑆𝐴 + 𝛽𝑁𝐴 − 𝛼2𝑆𝐴
𝐼�̇� = (𝑐1𝐼𝐴 − 𝑐2𝐵)𝑆𝐴 + 𝛼2𝑆𝐴
𝑆�̇� = −(𝑐3𝐼𝐴 − 𝑐4𝐵)𝑆𝐻 + 𝛼1𝐼𝐻
𝐼�̇� = (𝑐3𝐼𝐴 − 𝑐4𝐵)𝑆𝐻 − 𝛼1𝐼𝐻
�̇� = 𝑐5𝐼𝐴 + 𝑐6𝐼𝐻 − 𝑘𝐵
En este artículo los autores calculan el 𝑅0 del sistema a partir de los 𝑅0 de algunos
subsistemas del sistema original. Los subsistemas con los que trabajan son: 1) no hay autoinfección
ni infección de animales a humanos, 2) no hay interacción con los humanos y 3) no hay
autoinfección.
Luego calculan el 𝑅0 del sistema original como el radio espectral de la matriz de próxima
generación y concluyen que 𝑅0 está formado por los 𝑅0’s de los subsistemas antes mencionados.
Además presentan como técnica para controlar la propagación de la enfermedad dividir a la
población de los animales en el mayor número de subpoblaciones posible ya que de esta manera el
𝑅0 disminuye.
85
CAPÍTULO VII
Modelado Matemático de la Leptospirosis Considerando
Crecimiento Logístico en la Población de Roedores
En el capítulo anterior hemos presentado los modelos que han sido publicados para esta
zoonosis. En cada uno se aborda el problema considerando diferentes supuestos, pero todos tienen
en común que la población de roedores presenta un crecimiento exponencial, es decir la tasa de
crecimiento de la población es proporcional al tamaño de la misma. En este modelo se supone que
los recursos son ilimitados y que estos no limitan el crecimiento de la población por lo cual es sólo
aplicable cuando las poblaciones son pequeñas y los recursos son abundantes. Por ejemplo, cuando
una especie es reintroducida en algún sitio donde ha habitado anteriormente, esto garantiza que allí
se encuentran los recursos necesarios, durante el primer tiempo el crecimiento poblacional será del
tipo exponencial pero, luego de un tiempo, cuando el número de individuos sea suficientemente
grande, los recursos empiezan a agotarse y esto impacta directamente en la tasa de crecimiento
poblacional que comienza a decrecer, siendo ésta no constante por lo cual el modelo exponencial ya
no permite describir la dinámica de la población
En este capítulo construimos un modelo matemático epidemiológico para la leptospirosis
basado en un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas no lineales que incorpora al modelado
mayor realismo modelando la dinámica de la población de los roedores mediante un crecimiento
logístico. Una vez planteado el modelo, determinamos la formulación del R0 y analizamos las
condiciones en las cuales la enfermedad prospera y qué medidas de control podrían implementarse
para evitarlo.
7.1. Formulación del modelo matemático epidemiológico para la
leptospirosis
Debido a que la leptospirosis es una zoonosis importante, especialmente en zonas
periurbanas y rurales que afecta principalmente en nuestra región a trabajadores rurales
planteamos un modelo en el cual se modela la dinámica de la leptospirosis en humanos y roedores
ya que ellos son el principal vector.
Los humanos pueden recuperarse de la leptospirosis al ser tratados con antibióticos, por este
motivo hemos estructurado a la población humana en tres clases en relación a la infección:
86
SUSCEPTIBLE, INFECCIOSO y RECUPERADO y a la población de roedores en dos clases: SUSCEPTIBLE
e INFECCIOSO.
Los supuestos que hemos considerado para el modelado de la dinámica de la población de
roedores y los parámetros vinculados son:
El tamaño de la población de roedores, 𝑁𝑟, no es cerrada ni constante siendo la tasa de
natalidad 𝑛𝑟 y de mortalidad 𝑚𝑟. No diferenciamos muerte natural de muerte por la
infección.
Los recursos no son ilimitados por lo cual los roedores compiten por ellos siendo 𝐾 la
capacidad de carga del ambiente por unidad de tiempo.
Una vez infectado, el roedor susceptible se convierte inmediatamente en infectado sin
necesitar un tiempo de incubación para desarrollar los agentes infecciosos (Leptospiras).
Los roedores infectados puede transmitir la infección al hombre y a otro roedor con tasa 𝑡ℎ y
𝑡𝑟, respectivamente.
Los roedores infectados no se recuperan de la infección.
Todos los roedores nacen siendo susceptibles.
𝑆𝑟 e 𝐼𝑟 son la cantidad de roedores susceptibles e infectados respectivamente.
Todas las tasas antes mencionadas son positivas y constantes.
Teniendo en cuenta los supuestos y parámetros antes mencionados la dinámica de
transmisión de leptospirosis en la población de roedores puede representarse mediante el grafo
que se muestra en la Figura 1. Luego el sistema de ecuaciones diferenciales que modela la dinámica
de la leptospirosis en la población de roedores es:
Figura 1. Diagrama de la dinámica de la transmisión de
leptospirosis en la población de roedores.
En el grafo se no ha representado la competencia intraespecífica, es decir, la competencia
que existe entre los roedores. Es habitual considerar que el efecto de la competencia es
proporcional a la tasa de encuentro de roedores. Dado que queremos poder incorporar esta
competencia en cada una de las clases es importante mencionar que independientemente del
estado del individuo en relación a la infección él tendrá que competir por recursos con todos los
87
individuos, no sólo con los de su clase por lo cual se incorporan las expresiones 𝑆𝑟𝑁𝑟
𝐾y𝐼𝑟𝑁𝑟
𝐾 a las
ecuaciones que modelan la dinámica de roedores susceptibles e infectados, respectivamente. Este
término representa una limitación en el proceso de crecimiento de la población y por eso su signo
será negativo.
El sistema de ecuaciones diferenciales que proponemos para modelar la dinámica de la
leptospirosis en la población de roedores teniendo en cuenta los supuestos y parámetros antes
mencionados es:
{
𝑑𝑆𝑟𝑑𝑡
= 𝑛𝑟𝑁𝑟 −𝑚𝑟𝑆𝑟 −𝑆𝑟𝑁𝑟𝐾
− 𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟
𝑑𝐼𝑟𝑑𝑡
= −𝑚𝑟𝐼𝑟 −𝐼𝑟𝑁𝑟𝐾
+ 𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟
𝑁𝑟 = 𝑆𝑟 + 𝐼𝑟.
La población de roedores fue estructurada en dos clases, luego la variación de la población
total, 𝑑𝑁𝑟
𝑑𝑡, es la suma de las variaciones de las dos clases, esto es
𝑑𝑆𝑟
𝑑𝑡 y 𝑑𝐼𝑟
𝑑𝑡 , siendo:
𝑑𝑁𝑟𝑑𝑡
=𝑑𝑆𝑟𝑑𝑡
+𝑑𝐼𝑟𝑑𝑡
= (𝑛𝑟 −𝑚𝑟)𝑁𝑟 −𝑁𝑟2
𝐾.
Luego hemos obtenido un modelo de crecimiento logístico para la población total de
roedores.
Los supuestos y parámetros que hemos considerado para el modelado de la dinámica de la
leptospirosis en la población humana considerando su interacción con los roedores son los
siguientes:
El tamaño de la población humana, 𝑁ℎ, es constante y cerrada siendo las tasa de mortalidad,
𝑚ℎ, y de natalidad, 𝑛ℎ, iguales. No diferenciamos muerte natural de muerte por la infección.
La población humana se estructura en tres clases: 𝑆ℎ, 𝐼ℎ y 𝑅ℎ siendo la cantidad de humanos
susceptibles, infectados y recuperados, respectivamente.
Una vez infectado, el humano susceptible se convierte inmediatamente en infectado sin
necesitar un tiempo de incubación para desarrollar los agentes infecciosos (Leptospira).
El humano infectado no contagia la enfermedad.
El humano infectado puede recuperarse de la infección con tasa 𝑟ℎ.
Los humanos recuperados son nuevamente susceptibles con tasa 𝑎ℎ .
El roedor infectado contagia al humano susceptible con tasa 𝑡ℎ.
Todas las tasas antes mencionadas son positivas y constantes.
88
Observación 7.1. Dado que la tasa de crecimiento de la población de roedores es mucho más alta
que la de la población humana se considera que 𝑁ℎ es constante durante el período de tiempo
considerado en el modelo.
Teniendo en cuenta los supuestos y parámetros antes mencionados la dinámica de transmisión
de leptospirosis cuando se considera la interacción entre humanos y roedores puede representarse
mediante el grafo que se muestra en la Figura 2.
Figura 2. Dinámica de la transmisión de
leptospirosis cuando hay interacción entre humanos y roedores
Luego el modelo que proponemos para modelar la dinámica de leptospirosis cuando hay
interacción entre humanos y roedores está dado por el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales:
{
𝑑𝑆𝑟𝑑𝑡
= 𝑛𝑟𝑁𝑟 −𝑚𝑟𝑆𝑟 −𝑆𝑟𝑁𝑟𝐾
− 𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟
𝑑𝐼𝑟𝑑𝑡
= −𝑚𝑟𝐼𝑟 −𝐼𝑟𝑁𝑟𝐾
+ 𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟
𝑑𝑆ℎ𝑑𝑡
= 𝑛ℎ𝑁ℎ − 𝑡ℎ𝐼𝑟𝑆ℎ + 𝑎ℎ𝑅ℎ −𝑚ℎ𝑆ℎ
𝑑𝐼ℎ𝑑𝑡
= 𝑡ℎ𝐼𝑟𝑆ℎ − 𝑟ℎ𝐼ℎ −𝑚ℎ𝐼ℎ
𝑑𝑅ℎ𝑑𝑡
= 𝑟ℎ𝐼ℎ − 𝑎ℎ𝑅ℎ −𝑚ℎ𝑅ℎ
𝑁𝑟 = 𝑆𝑟 + 𝐼𝑟𝑁ℎ = 𝑆ℎ + 𝐼ℎ + 𝑅ℎ
7.2. Análisis de los equilibrios del modelo
Con el fin de poder conocer la dinámica de la infección a largo plazo determinamos los
puntos de equilibrio del sistema, los caracterizamos y analizamos su estabilidad.
89
Los puntos de equilibrio son los puntos (𝑆ℎ∗, 𝐼ℎ
∗, 𝑅ℎ∗ , 𝑆𝑟
∗, 𝐼𝑟∗) donde no hay variación en la
cantidad de individuos de cada clase, es decir, los puntos donde todas las ecuaciones del sistema,
esto es todas las tasas de cambio, se anulan simultáneamente. En efecto:
{
𝑑𝑆𝑟𝑑𝑡
= 𝑛𝑟𝑁𝑟 −𝑚𝑟𝑆𝑟 −𝑆𝑟𝑁𝑟𝐾
− 𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟 = 0
𝑑𝐼𝑟𝑑𝑡
= −𝑚𝑟𝐼𝑟 −𝐼𝑟𝑁𝑟𝐾
+ 𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟 = 0
𝑑𝑆ℎ𝑑𝑡
= 𝑛ℎ𝑁ℎ − 𝑡ℎ𝐼𝑟𝑆ℎ + 𝑎ℎ𝑅ℎ −𝑚ℎ𝑆ℎ = 0
𝑑𝐼ℎ𝑑𝑡
= 𝑡ℎ𝐼𝑟𝑆ℎ − 𝑟ℎ𝐼ℎ −𝑚ℎ𝐼ℎ = 0
𝑑𝑅ℎ𝑑𝑡
= 𝑟ℎ𝐼ℎ − 𝑎ℎ𝑅ℎ −𝑚ℎ𝑅ℎ = 0.
Al analizar el subsistema de la población de roedores, esto es:
{
𝑑𝑆𝑟𝑑𝑡
= 𝑛𝑟𝑁𝑟 −𝑚𝑟𝑆𝑟 −𝑆𝑟𝑁𝑟𝐾
− 𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟
𝑑𝐼𝑟𝑑𝑡
= −𝑚𝑟𝐼𝑟 −𝐼𝑟𝑁𝑟𝐾
+ 𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟.
Observamos que si 𝑑𝑆𝑟
𝑑𝑡= 0 y
𝑑𝐼𝑟
𝑑𝑡= 0, se tiene que:
𝑑𝑁𝑟𝑑𝑡
=𝑑𝑆𝑟𝑑𝑡
+𝑑𝐼𝑟𝑑𝑡
= 0.
Luego la suma de las componentes del equilibrio para los roedores es el equilibrio de la
ecuación logística que modela la dinámica de toda la población. Para hallar este último equilibrio
planteamos que:
𝑑𝑁𝑟𝑑𝑡
= (𝑛𝑟 −𝑚𝑟)𝑁𝑟 −𝑁𝑟2
𝐾= 0
siendo los equilibrios 𝑁𝑟∗ = 0 y 𝑁𝑟
∗ = 𝐾(𝑛𝑟 −𝑚𝑟).
No tiene sentido plantear ningún análisis con el equilibrio 𝑁𝑟∗ = 0 ya que en este caso no
habría roedores y dado que son los únicos que pueden contagiar la infección, aun estando presente
en algunos humanos, ésta no podría propagarse. Además, estaríamos trabajando sólo con la
población humana que no es el objetivo del trabajo.
El equilibrio que nos interesa analizar es 𝑁𝑟∗ = 𝐾(𝑛𝑟 −𝑚𝑟). Dado que 𝑁𝑟 = 𝑆𝑟 + 𝐼𝑟 y
𝑆ℎ + 𝐼ℎ + 𝑅ℎ = 𝑁ℎ podemos reducir el sistema de ecuaciones original al siguiente sistema de tres
ecuaciones:
90
{
𝑑𝐼𝑟𝑑𝑡
= 𝐼𝑟 (−𝑚𝑟 −𝑁𝑟𝐾+ 𝑡𝑟(𝑁𝑟 − 𝐼𝑟))
𝑑𝐼ℎ𝑑𝑡
= 𝑡ℎ𝐼𝑟(𝑁ℎ − 𝐼ℎ − 𝑅ℎ) − (𝑟ℎ +𝑚ℎ)𝐼ℎ
𝑑𝑅ℎ𝑑𝑡
= 𝑟ℎ𝐼ℎ − (𝑎ℎ +𝑚ℎ)𝑅ℎ.
Teniendo en cuenta que los puntos de equilibrio que encontremos deben cumplir que
𝑁𝑟∗ = 𝐼𝑟
∗ + 𝑆𝑟∗ y 𝑁ℎ = 𝑆ℎ
∗ + 𝐼ℎ∗ + 𝑅ℎ
∗ entonces los puntos de equilibrios para el sistema original
cumplen (𝑆ℎ∗, 𝐼ℎ
∗ , 𝑅ℎ∗ , 𝑆𝑟
∗, 𝐼𝑟∗) = (𝑁ℎ − 𝐼ℎ
∗ − 𝑅ℎ∗ , 𝐼ℎ
∗, 𝑅ℎ∗ , 𝑁𝑟
∗ − 𝐼𝑟∗, 𝐼𝑟
∗).
Para determinar los puntos de equilibrio realizamos el siguiente análisis:
A partir de la ecuación logística que modela la dinámica de la población de roedores teníamos que
𝑁𝑟∗ = 𝐾(𝑛𝑟 −𝑚𝑟), luego sustituyendo en la primera ecuación del sistema reducido e igualándola a
cero tenemos:
𝑑𝐼𝑟𝑑𝑡
= 𝐼𝑟(−𝑛𝑟 + 𝑡𝑟(𝐾(𝑛𝑟 −𝑚𝑟) − 𝐼𝑟)) = 0.
Luego 𝐼𝑟 = 0 o 𝐼𝑟 =−𝑛𝑟+𝐾𝑡𝑟(𝑛𝑟−𝑚𝑟)
𝑡𝑟. Como 𝑁𝑟
∗ = 𝐾(𝑛𝑟 − 𝑚𝑟) y 𝑁𝑟∗ = 𝑆𝑟
∗ + 𝐼𝑟∗ tenemos que en el
primer caso 𝑆𝑟∗ = 𝑁𝑟
∗ y en el segundo 𝑆𝑟∗ =
𝑛𝑟
𝑡𝑟.
Calculemos ahora las demás componentes de los equilibrios:
En el caso que 𝐼𝑟 = 0 la segunda ecuación se anula sólo si 𝐼ℎ = 0 y dado esto la tercera se anula
cuando 𝑅ℎ = 0. Luego 𝑆ℎ∗ = 𝑁ℎ. Por lo tanto uno de los equilibrios del sistema original es
𝑃1 = (𝑁ℎ, 0,0, 𝑁𝑟∗, 0) siendo éste el equilibrio libre de infección.
En el otro caso 𝐼𝑟 =−𝑛𝑟+𝐾𝑡𝑟(𝑛𝑟−𝑚𝑟)
𝑡𝑟 la segunda ecuación se anula cuando
𝐼ℎ =(−
𝑚𝑟𝑡𝑟𝑡ℎ+
𝑁𝑟∗
𝑡𝑟𝑡ℎ(𝑡𝑟−
1
𝐾))(𝑁ℎ−𝑅ℎ)
(𝑟ℎ+𝑚ℎ+−𝑚𝑟𝑡𝑟𝑡ℎ+
𝑁𝑟∗
𝑡𝑟𝑡ℎ(𝑡𝑟−
1
𝐾))
y reemplazándolo en la tercer ecuación obtenemos
𝑟ℎ
(−𝑚𝑟𝑡𝑟𝑡ℎ+
𝑁𝑟∗
𝑡𝑟𝑡ℎ(𝑡𝑟−
1
𝐾))(𝑁ℎ−𝑅ℎ)
(𝑟ℎ+𝑚ℎ+−𝑚𝑟𝑡𝑟𝑡ℎ+
𝑁𝑟∗
𝑡𝑟𝑡ℎ(𝑡𝑟−
1
𝐾))− (𝑎ℎ +𝑚ℎ)𝑅ℎ = 0, luego al sustituir 𝑁𝑟
∗ por 𝐾(𝑛𝑟 −𝑚𝑟) resulta
𝑅ℎ =𝑡ℎ𝐼𝑟
∗𝑁ℎ
𝑡ℎ𝐼𝑟∗+
𝑡ℎ𝑟ℎ(𝑟ℎ+𝑚ℎ𝑡ℎ
+𝐼𝑟∗)(𝑎ℎ+𝑚ℎ)
. Al reemplazar 𝑅ℎ en la expresión de 𝐼ℎ se obtiene
𝐼ℎ = 𝑡ℎ𝐼𝑟∗𝑁ℎ
1
𝑡ℎ𝐼𝑟∗(
𝑟ℎ(𝑎ℎ+𝑚ℎ)
+1)𝑟ℎ+𝑚ℎ. Finalmente, el equilibrio endémico del sistema original es
𝑃2 = (𝑁ℎ − 𝑅ℎ∗ − 𝐼ℎ
∗,𝑡ℎ𝐼𝑟
∗𝑁ℎ
𝑡ℎ𝐼𝑟∗(1+
𝑟ℎ𝑎ℎ+𝑚ℎ
)+𝑟ℎ+𝑚ℎ
,𝑟ℎ𝐼ℎ
∗
𝑎ℎ+𝑚ℎ,𝑛𝑟
𝑡𝑟,−𝑛𝑟+𝐾𝑡𝑟(𝑛𝑟−𝑚𝑟)
𝑡𝑟).
91
Analizaremos la estabilidad local de cada punto de equilibrio trabajando con el sistema
reducido previamente linealizado, en efecto:
(
𝑑𝐼𝑟𝑑𝑡𝑑𝐼ℎ𝑑𝑡𝑑𝑅ℎ𝑑𝑡 )
= (−𝑚𝑟 −
𝑁𝑟 + 𝐼𝑟𝐾
+ 𝑡𝑟(𝑁𝑟 − 𝐼𝑟) 0 0
𝑡ℎ(𝑁ℎ − 𝐼ℎ − 𝑅ℎ) −𝑡ℎ𝐼𝑟 − (𝑟ℎ +𝑚ℎ) −𝑡ℎ𝐼𝑟0 𝑟ℎ −(𝑎ℎ +𝑚ℎ)
)(
𝐼𝑟 − 𝐼𝑟∗
𝐼ℎ − 𝐼ℎ∗
𝑅ℎ − 𝑅ℎ∗).
Análisis de la estabilidad local del equilibrio libre de infección, 𝑃1.
Al evaluar el jacobiano en dicho punto se tiene:
(
−𝑚𝑟 + (𝑛𝑟 −𝑚𝑟)(𝑡𝑟𝐾 − 1) 0 0
𝑡ℎ𝑁ℎ −(𝑟ℎ +𝑚ℎ) 0
0 𝑟ℎ −(𝑎ℎ + 𝑚ℎ))
cuyos autovalores son
𝜆1 = −𝑚𝑟 + (𝑛𝑟 −𝑚𝑟)(𝑡𝑟𝐾 − 1)
𝜆2 = −(𝑟ℎ +𝑚ℎ)
𝜆3 = −(𝑎ℎ +𝑚ℎ).
Dado que todas las tasas son positivas se puede garantizar que 𝜆2 < 0 y 𝜆3 < 0, luego el
punto crítico (0,0,0) del sistema reducido es asintóticamente estable si
−𝑚𝑟 + (𝑛𝑟 −𝑚𝑟)(𝑡𝑟𝐾 − 1) < 0 ↔ 𝐾 <𝑛𝑟
(𝑛𝑟 −𝑚𝑟)𝑡𝑟.
Análisis de la estabilidad local del equilibrio libre endémico, 𝑃2.
Al evaluar el jacobiano en dicho punto se tiene:
(
𝑚𝑟 +
𝑛𝑟𝐾𝑡𝑟
− 𝑛𝑟 0 0
𝑡ℎ(𝑁ℎ − 𝐼ℎ∗ − 𝑅ℎ
∗) 𝑡ℎ(𝑚𝑟 +𝑛𝑟𝐾𝑡𝑟
− 𝑛𝑟) − (𝑟ℎ +𝑚ℎ) −𝑡ℎ𝐼𝑟∗
0 𝑟ℎ −(𝑎ℎ +𝑚ℎ))
cuyos autovalores son
𝜆1 = 𝑚𝑟 +𝑛𝑟𝐾𝑡𝑟
− 𝑛𝑟
𝜆2 = 𝑡ℎ(𝑚𝑟 +𝑛𝑟𝐾𝑡𝑟
− 𝑛𝑟) − (𝑟ℎ +𝑚ℎ)
𝜆3 = −(𝑎ℎ +𝑚ℎ).
En este caso, se tiene nuevamente que 𝜆3 < 0. Para que el punto de equilibrio 𝑃2 del sistema
reducido sea asintóticamente estable basta que 𝜆1 = 𝑚𝑟 +𝑛𝑟
𝐾𝑡𝑟− 𝑛𝑟 < 0 ya que esto garantiza que
𝜆2 < 0. Luego 𝑃2 será asintóticamente estable si
𝐾 >𝑛𝑟
(𝑛𝑟 −𝑚𝑟)𝑡𝑟.
92
A partir del análisis de los equilibrios se pudo ver que la prevalencia de la infección está
relacionada con el valor K, la capacidad de carga del ambiente. Para valores de K por debajo del
umbral 𝑛𝑟
(𝑛𝑟−𝑚𝑟)𝑡𝑟 la enfermedad tiende a desaparecer, mientras que si los valores de K están por
encima del umbral, la enfermedad tiene a persistir.
Es importante recordar que K es un parámetro relacionado con la población de roedores, sin
embargo la dinámica global de la leptospirosis es determinada por este parámetro que está
asociado a las características del ambiente siendo los valores de K mayores en ambientes más
propicios para la cría de roedores.
7.3. Formulación del 𝑹𝟎
El objetivo de este apartado es obtener una expresión para el 𝑅0 del modelo propuesto. Para
esto utilizaremos la matriz de la próxima generación desarrollada en el capítulo V.
Sea (𝐼𝑟, 𝐼ℎ , 𝑆𝑟, 𝑆ℎ, 𝑅ℎ) el número de individuos en cada compartimento donde en este caso
los dos primeros compartimentos corresponden a individuos infectados. Luego el sistema de
ecuaciones que propusimos para modelar la dinámica de la leptospirosis puede escribirse como la
resta de dos vectores, esto es:
(
𝐼𝑟′
𝐼ℎ′
𝑆𝑟′
𝑆ℎ′
𝑅ℎ′)
=
(
𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟𝑡ℎ𝐼𝑟𝑆ℎ000 )
−
(
𝑚𝑟𝐼𝑟 +𝐼𝑟𝑁𝑟𝐾
𝑟ℎ𝐼ℎ +𝑚ℎ𝐼ℎ
−𝑛𝑟𝑁𝑟 +𝑚𝑟𝑆𝑟 +𝑆𝑟𝑁𝑟𝐾
+ 𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟
−𝑛ℎ𝑁ℎ + 𝑡ℎ𝐼𝑟𝑆ℎ − 𝑎ℎ𝑅ℎ +𝑚ℎ𝑆ℎ−𝑟ℎ𝐼ℎ + 𝑎ℎ𝑅ℎ −𝑚ℎ𝑅ℎ )
donde los coeficientes del primer vector son las tasas de aparición de nuevas infecciones en cada
compartimento y los del segundo vector son las tasas de transición en cada compartimento.
Para determinar el número reproductivo básico, 𝑅0, procedemos como en el capítulo 5, esto
es, linealizando el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias alrededor del equilibrio libre de
enfermedad, 𝑃1 = (𝑁𝑟∗, 0, 𝑁ℎ0, ,0), considerando sólo los compartimentos infecciosos. Luego al
linealizar el modelo original alrededor del equilibrio 𝑃1 tenemos el siguiente modelo:
(𝐼𝑟′
𝐼ℎ′ ) = [(
𝑡𝑟𝑁𝑟∗
0
𝑡ℎ𝑁ℎ 0) − (𝑚𝑟 +
𝑁𝑟∗
𝐾0
0 𝑟ℎ +𝑚ℎ
)](𝐼𝑟 −𝑁𝑟
∗
𝐼ℎ)
donde 𝐹 = (𝑡𝑟𝑁𝑟
∗ 0𝑡ℎ𝑁ℎ 0
) y 𝑉 = (𝑚𝑟 +
𝑁𝑟∗
𝐾0
0 𝑟ℎ +𝑚ℎ).
Para calcular el 𝑅0 debemos conocer la matriz 𝐹𝑉−1 ya que 𝑅0 fue definido, en el Capítulo 5,
como el radio espectral de 𝐹𝑉−1, esto es 𝑅0 = 𝜌(𝐹𝑉−1).
93
Luego como
𝐹𝑉−1 = (𝑡𝑟𝑁𝑟
∗ 0
𝑡ℎ𝑁ℎ 0)
(
1
𝑚𝑟 +𝑁𝑟∗
𝐾
0
01
𝑟ℎ + 𝑚ℎ)
=
(
𝑡𝑟𝑁𝑟∗
𝑚𝑟 +𝑁𝑟∗
𝐾
0
𝑡ℎ𝑁ℎ
𝑚𝑟 +𝑁𝑟∗
𝐾
0
)
obtenemos
𝑅0 = 𝜌(𝐹𝑉−1) =
𝑡𝑟𝑁𝑟∗
𝑚𝑟 +𝑁𝑟∗
𝐾
=𝑡𝑟𝐾(𝑛𝑟 −𝑚𝑟)
𝑛𝑟.
Como era de esperarse en la formulación de 𝑅0 aparece la capacidad de carga de los
roedores, K. Al realizar el análisis de los equilibrios encontramos un valor umbral de K que para
valores inferiores a él la infección desaparece y para valores por encima el sistema tiende al
equilibrio endémico. Ahora veamos que a partir de la formulación que encontramos para 𝑅0
también podemos determinar un valor umbral para K.
Dado que la infección se propaga cuando 𝑅0 > 1 tenemos que
𝑅0 =𝑡𝑟𝐾(𝑛𝑟 −𝑚𝑟)
𝑛𝑟> 1
y esto ocurre sólo si
𝐾 >𝑛𝑟
𝑡𝑟(𝑛𝑟 −𝑚𝑟) .
Nuevamente obtuvimos el mismo umbral y dado que el equilibrio endémico es
asintóticamente estable resulta que cuando 𝐾 >𝑛𝑟
𝑡𝑟(𝑛𝑟−𝑚𝑟) la infección se propaga tendiendo a
largo plazo al equilibrio endémico.
Observación 7.2. Cada coordenada (𝑖, 𝑗) de la matriz 𝐹 = (𝑡𝑟𝑁𝑟
∗ 0𝑡ℎ𝑁ℎ 0
) representa la tasa a la cual
nuevas infecciones son generadas en 𝐼𝑖 por un individuo de 𝐼𝑗 donde 𝑖, 𝑗 ∈ {𝑟, ℎ}. Por ejemplo:
𝐹(1,2) = 0 representa la tasa a la cual nuevas infecciones son generadas en 𝐼𝑟 por un individuo de
𝐼ℎ pero como hemos supuesto que los roedores no pueden ser infectados por contacto con un
humano infectado esa tasa es cero. Por otro lado cada coordenada (𝑖, 𝑗) de la matriz 𝑉 =
(𝑚𝑟 +
𝑁𝑟∗
𝐾0
0 𝑟ℎ +𝑚ℎ) representa la tasa de transición del 𝑗-compartimento al i-compartimento,
muerte o recuperación donde 𝑖, 𝑗 ∈ {𝑟, ℎ} Por ejemplo: 𝑉(1,2) = 0 representa la tasa de transición
de 𝐼ℎ a 𝐼𝑟 dado que esto no ocurre se tiene que el coeficiente es cero. En el caso 𝑉(2,2) lo que se
tiene es la tasa a la cual salen los individuos de la clase 𝐼ℎ en este caso es por muerte y por
recuperación de la infección.
94
Observación 7.3. Cada coordenada (𝑖, 𝑗) de la matriz 𝐹𝑉−1 representa la cantidad de casos
secundarios en 𝐼𝑖 por un individuo de 𝐼𝑗 cuando este individuo es introducido en una población
totalmente susceptible. Por ejemplo, 𝐹𝑉−1(1,1) representa la cantidad de casos secundarios en 𝐼𝑟
por un individuo de𝐼𝑟 y ésta se la calcula como el producto entre la tasa de contagio entre los
roedores y el tiempo medio de vida del roedor infectado. Era esperable que los coeficientes de la
segunda columna fueran nulos dado que el humano no contagia la infección.
7.4. Simulaciones numéricas
En las secciones anteriores realizamos un estudio analítico del comportamiento del sistema,
donde se observó que la dinámica global de la infección está determinada por la capacidad de carga
de los roedores, K, y encontramos una formulación del valor umbral de K.
En esta sección realizaremos simulaciones de la dinámica de la leptospirosis considerando los
parámetros descriptos en la Tabla 7.1.
Notación Descripción Valores Unidades
𝑡ℎ Tasa de infección de
roedores a humanos
5 × 10−3 ∈ [3 × 10−3, 6 × 10−3] (𝑟𝑜𝑒𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 ∙ 𝐷í𝑎𝑠)−1
𝑡𝑟 Tasa de infección
entre roedores
[5 × 10−7, 2 × 10−6] (𝑟𝑜𝑒𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 ∙ 𝐷í𝑎𝑠)−1
𝑚ℎ = 𝑛ℎ Tasa de mortalidad/
natalidad del
humano
1
360 × 70
(𝐷í𝑎𝑠)−1
𝑚𝑟 Tasa de mortalidad
del roedor
1
360 × 1,5
(𝐷í𝑎𝑠)−1
𝑛𝑟 Tasa de natalidad
del roedor
0.01 (𝐷í𝑎𝑠)−1
𝑟ℎ Tasa de recuperación
del humano
1
15
(𝐷í𝑎𝑠)−1
𝑎ℎ Tasa de pérdida de
inmunidad del
humano
1
30
(𝐷í𝑎𝑠)−1
𝑁ℎ Total de humanos en
la población
2000000 ℎ𝑢𝑚𝑎𝑛𝑜𝑠
Los valores 𝑡ℎ , 𝑡𝑟 fueron extraídos de D. Baca Carrasco, et al. (2015) y 𝑚ℎ , 𝑟ℎ , 𝑚𝑟 de Pongsumpun (2012).
Tabla 7.1. Valores de los parámetros utilizados en la simulación numérica.
95
El objetivo de esta sección es poder visualizar el comportamiento de la enfermedad de
leptospirosis a partir del cálculo del 𝑅0 en función de K y 𝑡𝑟 . Al considerar 𝑡𝑟 = 10−6 obtuvimos
analíticamente que para 𝐾 ≥ 1227273 resulta 𝑅0 > 1 mientras que cuando 𝑡𝑟 = 5 × 10−7 la
infección se propaga cuando 𝐾 ≥ 2454546. Luego al disminuir 𝑡𝑟 aumenta el valor umbral de K
para el cual la infección se propaga. Esto último también puede observarse en la Figura 7.1 donde
mostramos el comportamiento del 𝑅0 en función del parámetro K para los valores de 𝑡𝑟 antes
mencionados.
Figura 7.1 Comportamiento del 𝑅0 en función del parámetro K cuando a) 𝑡𝑟 = 10−6, b) 𝑡𝑟 = 5 × 10
−7.
Con el objetivo de analizar la dinámica de la infección realizamos simulaciones fijando
𝑡𝑟 = 10−6 luego el K umbral para la cual la enfermedad puede o no propagarse es 𝐾𝑢 = 1227273.
Además tomamos un 𝐾1 = 1000000 < 𝐾𝑢 < 𝐾2 = 1400000. Antes de computarlas determinamos
el punto de equilibrio de la población de roedores dado por (𝑛𝑟 −𝑚𝑟)𝐾 = 0.0082 ∙ 𝐾 para luego
compararlo con el tamaño de la población inicial y así saber si la población de roedores crece o
decrece.
Para las dos primeras simulaciones hemos supuesto la siguiente condición inicial 𝑆ℎ(0) =
2000000, 𝐼ℎ(0) = 0, 𝑅ℎ(0) = 0, 𝑆𝑟(0) = 1270000, 𝐼𝑟(0) = 30000,𝑁𝑟(0) = 1300000.
Al trabajar con 𝐾1 el punto de equilibrio de la población de roedores es 8200 y dado que la
población inicial es 1300000 ésta decrecerá tendiendo al equilibrio poblacional (Figura 7.2a). La
Figura 7.3 a) nos permite observar que el haber considerado 𝐾1 < 𝐾𝑢 la infección tiende al
equilibrio libre.
Cuando tomamos 𝐾2 el punto de equilibrio de la población de roedores es 11480 y dado que
la población inicial es 1300000 ésta decrecerá tendiendo al equilibrio poblacional (Figura 7.2.b). La
Figura 7.3 b) nos permite observar que el haber considerado 𝐾𝑢 < 𝐾2 la infección tiende al
equilibrio endémico.
Para las dos últimas simulaciones hemos supuesto la siguiente condición inicial 𝑆ℎ(0) =
2000000, 𝐼ℎ(0) = 0, 𝑅ℎ(0) = 0, 𝑆𝑟(0) = 5000, 𝐼𝑟(0) = 3000,𝑁𝑟(0) = 8000.
Dado que la población inicial de roedores es 8000 y que esta es inferior al equilibrio de la
población de roedores, ya sea considerante 𝐾1 o 𝐾2, la población crecerá tendiendo al equilibrio
poblacional correspondiente (Figura 7.4 a y b).
96
Figura 7.2 Simulaciones de la dinámica de la población de roedores con 𝑁𝑟(0) = 1300000
a) 𝐾 = 1000000, b) 𝐾 = 1400000.
Figura 7.3 Simulaciones de la dinámica del sistema considerando 𝑁𝑟(0) = 1300000 a) 𝐾 = 1000000,
b) 𝐾 = 1400000.
97
Figura 7.4 Simulaciones de la dinámica de la población de roedores con 𝑁𝑟(0) = 8000
a)𝐾 = 1000000, b) 𝐾 = 1400000.
Figura 7.5 Simulaciones de la dinámica del sistema considerando 𝑁𝑟(0) = 8000
a)𝐾 = 1000000, b) 𝐾 = 1400000.
98
Como se puede observar en la Figura 7.5 independientemente si la población de roedores
crece o decrece la dinámica global de la infección tiende al equilibrio libre cuando la capacidad de
carga se encuentra por debajo del valor umbral (𝐾1 < 𝐾𝑢) mientras que tiende al equilibrio
endémico cuando 𝐾𝑢 < 𝐾2 .
7.5. Medidas de control
Con lo analizado anteriormente pudimos observar la dinámica global de la leptospirosis
depende de la capacidad de carga del ambiente para la población de roedores. Luego, si se logra
mantener una baja capacidad de carga, esto es que K sea lo más pequeño posible, no estamos
brindándole a los roedores un ambiente óptimo para que la leptospirosis prospere. Toda acción que
sea capaz de reducir la capacidad de carga será adecuada para reducir el éxito de la infección.
Algunas medidas de control podrían ser: reducir- eliminar basureros a cielo abierto, desratizar
galpones de acopio de cereales como así también sitios donde se acopia leña, entre otras.
99
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