tim olimpiade sains ipb tosi-ipb.blogspot · pdf filea. integral parsial aturan = − ,...
Post on 24-Feb-2018
251 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 1
KALKULUS
MATERI UAS TPB IPB
Pokok Bahasan:
BAB I INTEGRAL
BAB II FUNGSI TRANSENDEN
BAB III TEKNIK PENGINTEGRALAN
BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
BAB I INTEGRAL
A. Integral Tak Tentu
Aturan
1. 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶, dengan a adalah konstanta
2. 𝑥𝑟 𝑑𝑥 =𝑥𝑟+1
𝑟+1+ 𝐶, dengan 𝑟 ≠ −1
3. [𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ] 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
4. sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
5. cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶
6. sec2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶
7. csc2 𝑥 𝑑𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶
Contoh 1.1:
3𝑥5 −1
2𝑥4 + 7𝑥2 + 𝑥 − 3 𝑑𝑥 = 3
𝑥6
6 −
1
2 𝑥5
5 + 7
𝑥3
3 +
𝑥2
2− 3𝑥 + 𝐶
=𝑥6
2−
𝑥5
10+
7
3𝑥3 +
𝑥2
2− 3𝑥 + 𝐶
Latihan 1.1
1. 𝑥3
− 5𝑥2 𝑑𝑥
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 2
2. 4𝑦 + 5𝑦 − 2 𝑑𝑦
3. 2 𝑡+3𝑡2
𝑡𝑑𝑡
4. 𝑢2 − sec2𝑢 𝑑𝑢
Latihan 1.2
Gunakan metode substitusi untuk menyelesaikan soal-soal berikut.
1. sin 𝑥
𝑥𝑑𝑥 , misalkan u= 𝑥
2. 𝑧 sec2(3𝑧2 − 1) 𝑑𝑥 , misalkan u=3𝑧2 − 1
3. 𝑟2 − 2𝑟 + 13
𝑑𝑟
4. cos 3𝜃
sin 2 3𝜃𝑑𝜃
5. sin(
1𝛾) cos(
1𝛾)
𝛾2𝑑𝛾
B. Integral Tentu
Aturan
1. Jika f kontinu pada [a,b], maka f terintegralkan pada [a,b]
2. 𝑓(𝑥)𝑎
𝑎𝑑𝑥 = 0
3. 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎𝑑𝑥 = − 𝑓(𝑥)
𝑎
𝑏𝑑𝑥
4. 𝑘𝑓(𝑥)𝑏
𝑎𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎𝑑𝑥, dengan k adalah konstanta
5. [𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ]𝑏
𝑎𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎𝑑𝑥 ± 𝑔(𝑥)
𝑏
𝑎𝑑𝑥
6. 𝑓 𝑥 𝑏
𝑎𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)
𝑐
𝑎𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑐𝑑𝑥, dengan a < c < b
7. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑓 𝑥 𝑏
𝑎𝑑𝑥 ≥ 0
8. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑓 𝑥 𝑏
𝑎𝑑𝑥 ≥ 𝑔 𝑥
𝑏
𝑎𝑑𝑥
9. Jika 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓 𝑥 𝑏
𝑎𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
10. 𝑓(𝑥)𝑎
−𝑎𝑑𝑥 = 2 𝑓(𝑥)
𝑎
0𝑑𝑥, untuk f fungsi genap [𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)]
11. 𝑓(𝑥)𝑎
−𝑎𝑑𝑥 = 0, untuk f fungsi ganjil [𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)]
12. 𝑓(𝑥)𝑏+𝑝
𝑎+𝑝𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎𝑑𝑥, jika f periodik dengan periode p
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 3
Latihan 1.3
1. (3𝑥 + 1)33
0
𝑑𝑥
2. 𝑥 + 2
(𝑥2 + 4𝑥 + 1)2
1
0
𝑑𝑥
3. sin 𝜃
cos3 𝜃
𝜋/6
0
𝑑𝜃
4. 1 +1
𝑦
2
1
𝑦2
2
1
𝑑𝑦
5. sin 𝜃 + cos 𝜃 𝑑𝜃𝜋
−𝜋
6. 𝑥3
(1 + 𝑥2)4𝑑𝑥
1
−1
7. Hitung tiap integral berikut.
a) 𝑥 − 1 4
0𝑑𝑥
b) 𝑥 4
0𝑑𝑥
c) (𝑥 − 𝑥 )4
0𝑑𝑥
Petunjuk: pertama sketsa grafiknya
8. Andaikan 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥), 𝑓(𝑥) ≤ 0, 𝑔 −𝑥 = −𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥)2
0𝑑𝑥 = −4 dan
𝑔(𝑥)2
0𝑑𝑥 = 5. Hitung tiap integral berikut.
a) 𝑓(𝑥)2
−2𝑑𝑥
b) 𝑓(𝑥) 2
−2𝑑𝑥
c) 𝑔(𝑥)2
−2𝑑𝑥
d) [𝑓 𝑥 − 𝑓 −𝑥 ]2
−2𝑑𝑥
e) [2𝑔 𝑥 + 3𝑓 𝑥 ]2
0𝑑𝑥
f) 𝑔(𝑥)0
−2𝑑𝑥
9. Jika f kontinu dan 𝑓 𝑥 𝑑𝑥4
0= 10, carilah 𝑓 2𝑥 𝑑𝑥
2
0.
10. Jika f kontinu dan 𝑓 𝑥 𝑑𝑥9
0= 4, carilah 𝑥𝑓 𝑥2 𝑑𝑥
3
0.
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 4
Aturan (Lanjutan)
13. (Pendiferensialan suatu Integral Tentu / TDK 1). Andaikan f kontinu pada selang
tertutup [a,b] dan andaikan x sebuah (peubah) titik dalam [a,b], maka
𝐷𝑥 𝑓(𝑡)𝑥
𝑎
𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)
Latihan 1.4
Untuk soal no.1 s/d 4, carilah G’(x)
1. 𝐺 𝑥 = (2𝑡 + 1)𝑥
−6𝑑𝑡
2. 𝐺 𝑥 = 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢𝜋/4
𝑥, −𝜋/2 < 𝑥 < 𝜋/2
3. 𝐺 𝑥 = 2 + sin 𝑣𝑥2+1
1𝑑𝑣
4. 𝐺 𝑥 = 1 + 𝑡4𝑥3
𝑥𝑑𝑡
5. Carilah 𝑑2
𝑑𝑥2 1 + 𝑧4𝑑𝑧sin 𝑦
1 𝑑𝑦
𝑥
0
C. Penggunaan Integral (Luas Daerah Bidang Rata dan Nilai Rata-rata fungsi )
1. Luas Daerah Bidang Rata
(i) Daerah di atas sumbu x
𝐴 = 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎𝑑𝑥
, missal u=
(ii) Daerah di kanan sumbu y
Jika 𝑔(𝑦) berada di kanan sumbu y untuk selang [a,b], maka luas antara 𝑔(𝑦) dan
sumbu y
𝐴 = 𝑔(𝑦)𝑏
𝑎
𝑑𝑦
(iii) Daerah antara dua kurva
𝐴 = [𝑓(𝑥)𝑏
𝑎− 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
y = f(x)
y = f(x)
y = g(x)
y
x b a
a b x
y
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 5
𝐴 = [𝑓(𝑦)𝑑
𝑐− 𝑔(𝑦)]𝑑𝑦
Latihan 1.5
1. Carilah luas daerah yang di batasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥3, 𝑦 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 2
2. Dengan menggunakan integral, tentukan luas segitiga yang titik-titik sudutya
adalah (-1, 4), (2, -2), dan (5, 1)
3. Carilah bilangan a sedemikian sehingga garis 𝑦 = 𝑎 membagi daerah yang
dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2 dan 𝑦 = 4 menjadi 2 daerah dengan luas sama.
2. Nilai Rata-rata fungsi
(i) Nilai rata-rata f pada interval [a,b] diberika oleh,
𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 =1
𝑏 − 𝑎 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
(ii) Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral.
Jika f kontinu pada, maka terdapat suatu bilangan c antara a dan b sedemikian
sehingga
𝑓 𝑡 𝑏
𝑎
𝑑𝑡 = 𝑓 𝑐 (𝑏 − 𝑎)
Latihan 1.6
1. Tentukan nilai rata-rata fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥2, pada selang [0,2]
2. Cari c dari Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral untuk 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 pada [-4,-1]
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 6
D. Jumlah Riemann (definisi integral tentu)
Pandang sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. untuk menghitung
integralnya, dapat dihampiri dengan memilah luasan di bawah kurva menjadi poligon-
poligon. Terdapat tiga cara untuk menghitung luasan tersebut.
(i) Menggunakan titik ujung kanan pada tiap poligon
𝐴 = lim𝑛→∞
𝑓(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
∆𝑥, dengan ∆𝑥 =𝑏 − 𝑎
𝑛 dan 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥
(ii) Menggunakan titik ujung kiri pada tiap poligon
𝐴 = lim𝑛→∞
𝑓(𝑥𝑖−1)
𝑛
𝑖=1
∆𝑥
(iii) Menggunakan titik tengah pada tiap poligon
𝐴 = lim𝑛→∞
𝑓(𝑥𝑖∗)
𝑛
𝑖=1
∆𝑥, dengan 𝑥𝑖∗ =
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
2
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 7
Beberapa jumlah khusus:
𝑐
𝑛
𝑖=1
= 𝑛𝑐
𝑖
𝑛
𝑖=1
=𝑛(𝑛 + 1)
2
𝑖2
𝑛
𝑖=1
=𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)
6
𝑖3
𝑛
𝑖=1
= 𝑛(𝑛 + 1)
2
2
𝑖4
𝑛
𝑖=1
=𝑛 𝑛 + 1 (6𝑛3 + 9𝑛2 + 𝑛 − 1)
30
Latihan 1.7
1. Gunakan definisi integral tentu untuk menghitung nilai integral berikut.
𝑎) (𝑥2 − 𝑥)2
0
𝑑𝑥
𝑏) (2𝑥2 + 1)2
−1
𝑑𝑥
2. Hitung tiap limit berikut dengan mengenalinya sebagai integral tentu.
𝑎) lim𝑛→∞
4𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
∙4
𝑛
𝑏) lim𝑛→∞
1 +2𝑖
𝑛
2𝑛
𝑖=1
2
𝑛
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 8
BAB II FUNGSI TRANSENDEN
A. Logaritma Natural danEksponen
Aturan
1) ln 𝑥 = 1
𝑡
𝑥
1
𝑑𝑡, 𝑥 > 0
2) 𝑑
𝑑𝑥 ln 𝑥 =
1
𝑥 , atau
𝑑
𝑑𝑥 ln 𝑓(𝑥) =
𝑓′ (𝑥)
𝑓(𝑥)
3) sifat logaritma:
a) ln 𝑥𝑦 = ln 𝑥 + ln 𝑦
b) ln𝑥
𝑦= ln 𝑥 − ln 𝑦
c) ln 𝑥𝑟 = 𝑟 ln 𝑥
4) ln e = 1, dengan e adalah bilangan riil positif
5) 𝑒 ln 𝑥 = 𝑥, 𝑥 > 0
6) 𝑑
𝑑𝑥 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 , atau
𝑑
𝑑𝑥 𝑒𝑓(𝑥) = 𝑒𝑓(𝑥) ∙ 𝑓′ (𝑥)
7) fungsi eksponen umum
𝑎) 𝑎𝑥 = 𝑒𝑥 ln 𝑎
𝑏) 𝑑
𝑑𝑥 𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 ln 𝑎
𝑐) 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =𝑎𝑥
ln 𝑥+ 𝐶
Latihan 2.1
1. Hitunglah:
a) 𝐷𝑥 ln(𝑥3 − 2𝑥)
b) 𝐷𝑥 ln sin 𝑥
c) 𝐷𝑥𝑦 untuk 𝑦 = 𝑥𝑥2,dan 𝑒𝑥𝑦 + 𝑦 = 2
2. Hitunglah :
𝑎) 1
3𝑥𝑑𝑥
𝑏) 1
7𝑥 − 2𝑑𝑥
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 9
𝑐) 𝑡3
𝑡4 − 1𝑑𝑡
𝑑) 1
𝑦(1 − 𝑦)𝑑𝑦
B. Invers Trigonometri
Aturan
1. 𝐷𝑥 sin−1 𝑥 =1
1 − 𝑥2, atau
1
1 − 𝑥2𝑑𝑥 = sin−1 𝑥 + 𝐶
2. 𝐷𝑥 cos−1 𝑥 = −1
1 − 𝑥2, atau
1
1 − 𝑥2𝑑𝑥 = − cos−1 𝑥 + 𝐶
3. 𝐷𝑥 tan−1 𝑥 =1
1 + 𝑥2, atau
1
1 + 𝑥2𝑑𝑥 = tan−1 𝑥 + 𝐶
Latihan 2.2
1. Carilah dy/dx untuk soal-soal berikut.
a) 𝑦 = sin−1(𝑥2)
b) 𝑦 =1
2tan−1(𝑒𝑥)
2. Hitung integral berikut.
𝑎) sin 𝑥
1 + cos2 𝑥
𝜋/2
0
𝑑𝑥
𝑏) 1
1 + 4𝑥2𝑑𝑥
𝑐) 𝑒𝑥
1 + 𝑒2𝑥𝑑𝑥
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 10
BAB III TEKNIK PENGINTEGRALAN
A. Integral Parsial
Aturan
𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢, pengintegralan parsial integral taktentu
𝑢𝑏
𝑎
𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 𝑎𝑏 − 𝑣
𝑏
𝑎
𝑑𝑢, pengintegralan parsial integral tentu
Contoh 3.1:
Tentukan 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥.
Penyelesaian Missal 𝑢 = 𝑥 dan 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥. Jadi 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 dan 𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥,
sehingga
𝑥 𝑢
cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣
= 𝑥 𝑢
sin 𝑥 𝑣
− sin 𝑥 𝑣
𝑑𝑥 𝑑𝑢
= 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶
Latihan 3.1
1. 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
2. 𝑥 𝑒2𝑥𝑑𝑥
3. sin−1 𝑥 𝑑𝑥
B. Substitusi Trigonometri
Bentuk Substitusi Kesamaan
𝑎2 − 𝑥2 𝑥 = 𝑎 sin 𝜃 , − 𝜋
2≤ 𝜃 ≤
𝜋
2 1 − sin2 𝜃 = cos2 𝜃
𝑎2 + 𝑥2 𝑥 = 𝑎 tan 𝜃 , − 𝜋
2< 𝜃 <
𝜋
2 1 + tan2 𝜃 = sec2 𝜃
𝑥2 − 𝑎2 𝑥 = 𝑎 sec 𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋
2
atau 𝜋 ≤ 𝜃 ≤3𝜋
2
sec2 𝜃 − 1 = tan2 𝜃
Latihan 3.2
Dengan menggunakan substitusi trigonometri, selesaikan integral berikut.
1. 1
𝑥2 𝑥2 − 9𝑑𝑥
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 11
2. 𝑥3 9 − 𝑥2𝑑𝑥
3. 𝑥3
𝑥2 + 9𝑑𝑥
C. Pengintegralan Fungsi Rasional
(i) Jika 𝑓 𝑥 = 𝑝(𝑥)/𝑞(𝑥) dan derajat 𝑝(𝑥) ≥ derajat 𝑞(𝑥), maka bagilah terlebih
dahulu 𝑝(𝑥) dengan 𝑞(𝑥), sehingga
𝑓 𝑥 =𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)= 𝑠 𝑥 +
𝑟(𝑥)
𝑞(𝑥)
dengan p, q, s dan r adalah polinom.
Contoh 3.2:
𝑥3 + 𝑥
𝑥 − 1𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 2 +
2
𝑥 − 1 𝑑𝑥
=𝑥3
3+
𝑥2
2+ 2𝑥 + 2 ln 𝑥 − 1 + 𝐶
(ii) Jika 𝑞(𝑥) hasil kali faktor linier yang berdeda tanpa ada faktor yang berulang
𝑞 𝑥 = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 𝑎2𝑥 + 𝑏2 ⋯ (𝑎𝑘𝑥 + 𝑏𝑘 )
maka
𝑟(𝑥)
𝑞(𝑥)=
𝐴1
𝑎1𝑥 + 𝑏1+
𝐴2
𝑎2𝑥 + 𝑏2+ ⋯ +
𝐴𝑘
𝑎𝑘𝑥 + 𝑏𝑘
Contoh 3.3:
Carilah 5𝑥 + 3
𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥𝑑𝑥
Penyelesaian Uraikan penyebut 𝑥 𝑥 + 1 (𝑥 − 3), sehingga
5𝑥 + 3
𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥=
𝐴
𝑥+
𝐵
𝑥 + 1+
𝐶
𝑥 − 3
Kita berusaha menemukan A, B, C. kita hilangkan pecahan
5𝑥 + 3 = 𝐴 𝑥 + 1 𝑥 − 3 + 𝐵 𝑥 𝑥 + 1 + 𝐶 𝑥 (𝑥 + 1)
Substitusi nilai x = 0, x = -1, x = 3, kita peroleh
3 = 𝐴 −3 , − 2 = 𝐵 4 , 18 = 𝐶(12)
atau A = -1, B = -1/2, C = 3/2, sehingga
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 12
5𝑥 + 3
𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥𝑑𝑥 = −
1
𝑥𝑑𝑥 −
1
2
1
𝑥 + 1𝑑𝑥 +
3
2
1
𝑥 − 3𝑑𝑥
= − ln 𝑥 −1
2ln 𝑥 + 1 +
3
2ln 𝑥 − 3 + 𝐶
(iii) Penyebut 𝑞(𝑥) adalah hasil kali faktor linier, beberapa diantaranya berulang
Untuk tiap faktor 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑘 dalam penyebut, penjabarannya adalah
𝐴1
𝑎𝑥 + 𝑏+
𝐴2
𝑎𝑥 + 𝑏 2+
𝐴3
𝑎𝑥 + 𝑏 3+ ⋯ +
𝐴𝑘
𝑎𝑥 + 𝑏 𝑘
Contoh 3.4 :
Hitunglah 𝑥
𝑥 − 3 2𝑑𝑥
Penyelesaian Penjabaran pecahan parsialnya
𝑥
𝑥 − 3 2=
𝐴
𝑥 − 3+
𝐵
𝑥 − 3 2
Setelah penyebut-penyebut dihilangkan
𝑥 = 𝐴 𝑥 − 3 + 𝐵
Jika kitta substitusi dengan nilai x = 3 dan nilai x lain sebarangg, misal x = 0, kita
peroleh B = 3 dan A = 1 sehingga
𝑥
𝑥 − 3 2𝑑𝑥 =
1
𝑥 − 3𝑑𝑥 + 3
1
𝑥 − 3 2𝑑𝑥
= ln 𝑥 − 3 −3
𝑥+3+ 𝐶
Contoh 3.5:
Hitunglah integral berikut.
3𝑥2 − 8𝑥 + 13
𝑥 + 3 (𝑥 − 1)2𝑑𝑥
Penyelesaian Kita jabarkan
3𝑥2 − 8𝑥 + 13
𝑥 + 3 (𝑥 − 1)2=
𝐴
𝑥 + 3+
𝐵
𝑥 − 1+
𝐶
𝑥 − 1 2
Setelah pecahan-pecahan dihilangkan
3𝑥2 − 8𝑥 + 13 = 𝐴 𝑥 − 1 2 + 𝐵 𝑥 + 3 𝑥 − 1 + 𝐶(𝑥 + 3)
Dengan substitusi x = 1, x = 3, dan x = 0 kita peroleh C = 2, A = 4 dan B = -1,
sehingga
3𝑥2 − 8𝑥 + 13
𝑥 + 3 (𝑥 − 1)2𝑑𝑥 = 4
𝑑𝑥
𝑥 + 3−
𝑑𝑥
𝑥 − 1+ 2
𝑑𝑥
𝑥 − 1 2
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 13
= 4 ln 𝑥 + 3 − ln 𝑥 − 1 −2
𝑥−1+ 𝐾
(iv) Jika 𝑞(𝑥) mengandung faktor kuadratik yang tak dapat diuraikan, tak ada yang
berulang
Misalkan salah satu fakto 𝑞(𝑥) adalah 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0,
maka akan terdapat suku
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Contoh 3.6:
Hitunglah 2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑥3 + 4𝑥𝑑𝑥
Penyelesaian Karena 𝑥3 + 4𝑥 = 𝑥(𝑥2 + 4) tidak dapat difaktorkan lebih jauh,
kita tuliskan,
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑥3 + 4𝑥=
𝐴
𝑥+
𝐵𝑥 + 𝐶
𝑥2 + 4
Setelah pecahan-pecahan dihilangkan
2𝑥2 − 𝑥 + 4 = 𝐴 𝑥2 + 4 + (𝐵𝑥 + 𝐶)𝑥
= (𝐴 + 𝐵)𝑥2 + 𝐶𝑥
dengan menyamakan koefisien
A + B = 2, C = -1, 4A = 4 atau A = 1, B = 1, dan C = -1
Sehingga
2𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑥3 + 4𝑥𝑑𝑥 =
1
𝑥𝑑𝑥 +
𝑥 − 1
𝑥2 + 4𝑑𝑥
= ln 𝑥 +1
2ln(𝑥2 + 4) −
1
2tan−1(
𝑥
2) + 𝐾
Latihan 3.3
1. 𝑥2
𝑥 + 1𝑑𝑥
2. 𝑦
𝑦 + 1𝑑𝑦
3. 𝑥2 + 1
𝑥2 − 1𝑑𝑥
4. 𝑥2 − 2𝑥 − 1
(𝑥 − 1)2(𝑥2 + 1)𝑑𝑥
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 14
SOAL LATIHAN
(BAB I, BAB II, DAN BAB III)
1. Gunakan definisi integral tentu untuk menghitung integral berikut.
a) 2𝑥 + 3 4
0𝑑𝑥
b) 𝑥2 − 1 2
−1𝑑𝑥
c) 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑑𝑥2
−1
2. Hitunglah
𝑎) lim𝑛→∞
1
𝑛
1
𝑛
9
+ 2
𝑛
9
+ 3
𝑛
9
+ ⋯ + 𝑛
𝑛
9
𝑏) lim𝑛→∞
𝜋
𝑛 sin
𝜋𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑐) lim𝑛→∞
1 +2𝑖
𝑛+
2𝑖
𝑛
2
2
𝑛
𝑛
𝑖=1
3. Hitunglah integral berikut jika ada.
𝑎) 𝑦2 +1
𝑦3 𝑑𝑥
−2
−4
𝑏) 𝑥
𝑥2 − 1 2𝑑𝑥
2
0
𝑐) 𝑦2 + 1 10(2𝑦)𝑑𝑦1
0
𝑑) cos(1/𝑥)
𝑥2𝑑𝑥
𝑒) sin 𝑥 cos(cos 𝑥) 𝑑𝑥
𝑓) cos(1/𝑥)
𝑥2𝑑𝑥
𝑔) 𝑥 𝑥2 + 𝑎2𝑎
−𝑎
𝑑𝑥
) 𝑥5 + sin 𝑥 𝜋
−𝜋
𝑑𝑥
𝑖) 𝑥2 − 6𝑥 + 8 8
0
𝑑𝑥
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 15
𝑗) 𝑥 2
0
𝑑𝑥
4. Jika f kontinu pada [0, 1], buktikan
𝑓(𝑥)1
0
𝑑𝑥 = 𝑓(1 − 𝑥)1
0
𝑑𝑥
5. Jika f terdiferensialkan sedemikian sehingga
𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥
0
= 𝑥 sin 𝑥 + 𝑓(𝑡)
1 + 𝑡2𝑑𝑡
𝑥
0
untuk semua x, carilah rumus eksplisit untuk f(x)
6. Jika 𝑓 𝑥 = 1
1+𝑡2𝑑𝑡
𝑔(𝑥)
0 dengan 𝑔 𝑥 = 1 + sin 𝑡2 𝑑𝑡
cos 𝑥
0, carilah 𝑓′(𝜋/2).
7. Jika 𝑓 𝑦 = 𝑦2𝑦
0sin 𝑡2 𝑑𝑡, carilah 𝑑𝑓(𝑦)/𝑑𝑦.
8. Jika 𝑦 = cos 𝜃
𝜃𝑑𝜃
𝑥
𝑥, carilah dy/dθ.
9. Sebuah daerah R dibatasi oleh garis 𝑦 = 3𝑥 dan parabola 𝑦 = 𝑥2. Tentukan luas daerah R
dengan cara:
a) Memakai x sebagai peubah pengintegralan
b) Memakai y sebagai peubah pengintegralan
10. Jika f kontinu dan 𝑓(𝑥)3
1𝑑𝑥 = 8, perlihatkan bahwa f akan bernilai 4 paling sedikit satu
kali pada interval [1, 3] tersebut.
11. Tentukan bilangan b sedemikian sehingga nilai rata-rata 𝑓 𝑥 = 2 + 6𝑥 − 3𝑥2 pada
interval [0, b] sama dengan 3.
12. Di kota tertentu suhu (dalam oF), t dalam setelah pukul 9.00 dihampiri oleh fungsi
𝑇 𝑡 = 50 + 14 sin𝜋𝑡
12
Tentukan suhu rata-rata selama periode mulai dari pukul 9.00 sampai 21.00.
13. Suhu batang logam sepanjang 5 m pada jarak x m dari salah satu sisi batang adalah 4x
(oC). Berapa rata-rata suhu batang tersebut.
14. Kerapatan linier batang sepanjang 8 m adalah 12/ 𝑥 + 1 kg/m, dengan x diukur dalam
meter dari salah satu ujung batang. Tentukan rata-rata kerapatan batang tersebut.
15. Jika 𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑎, 𝑏 adalah nilai rata-rata f pada selang [a, b] dan a < c < b, tunjukkan
bahwa
𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑎, 𝑏 =𝑐 − 𝑎
𝑏 − 𝑎𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑎, 𝑐 +
𝑏 − 𝑐
𝑏 − 𝑎𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑐, 𝑏
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 16
16. Jika sebuah benda jatuh bebas mulai bergerak dari keadaan diam, maka simpangannya
dapat dinyatakan sbagai 𝑠 =1
2𝑔𝑡2. Misalkan kecepatan setelah waktu T adalah vT.
Tunjukkan bahwa jika menghitung rata-rata kecepatan terhadap t akan kita peroleh
𝑣𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 =1
2𝑣𝑇 , akan tetapi jika menghitung rata-rata kecepatan terhadap s maka akan
diperoleh 𝑣𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 =2
3𝑣𝑇.
17. Carilah dy/dx dari fungsi berikut.
𝑎) 𝑦 =𝑒3𝑥
1 + 𝑒𝑥
𝑏) 𝑦 = cos(𝑒𝜋𝑥 )
𝑐) 𝑦 = cos(ln 𝑥)
𝑑) 𝑦 = log3(𝑥2 − 4)
𝑒) 𝑦 = 10tan 𝑥
𝑓) 𝑦 = 23𝑥2
𝑔) 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥
) 𝑦 = arccos 𝑏 + 𝑎 cos 𝑥
𝑎 + 𝑏 cos 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, 𝑎 > 𝑏 > 0
𝑖) 𝑦 = 𝑥2 − 4
2𝑥 + 5
18. Hitung integral berikut.
𝑎) 𝑥5 + 5𝑥 +log10 𝑥
𝑥+ 𝑥2𝑥2
𝑑𝑥
𝑏) 𝑑𝑥
𝑥[4 + ln 𝑥 2]
𝑐) tan 𝑥 ln(cos 𝑥) 𝑑𝑥
𝑑) 𝑒𝑥
𝑒𝑥 + 1 ln(𝑒𝑥 + 1)𝑑𝑥
𝑒) 𝑥5𝑥𝑑𝑥
𝑓) cos 𝑥 ln(sin 𝑥) 𝑑𝑥
𝑔) 𝑥 tan−1 𝑥 𝑑𝑥
) sin 𝑥 𝑑𝑥
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 17
𝑖) 𝑥5 𝑒𝑥2𝑑𝑥
19. Hitung integral berikut dengan substitusi trigonometri.
𝑎) 𝑑𝑢
𝑢 5 − 𝑢2
𝑏) 𝑦2𝑑𝑦
(𝑎2 − 𝑦2)3
𝑐) 𝑑𝑢
9𝑢2 + 6𝑢 − 8
𝑑) 𝑢2𝑑𝑢
4𝑢 − 𝑢2
20. Hitung integral berikut dengan metode fraksi parsial.
𝑎) 𝑥3 − 4𝑥 − 10
𝑥2 − 𝑥 − 6𝑑𝑥
1
0
𝑏) 1
𝑥 + 5 2(𝑥 − 1)𝑑𝑥
𝑐) 𝑥2 + 3
𝑥3 + 2𝑥𝑑𝑥
2
1
𝑑) 𝑥2 − 2𝑥 − 1
𝑥 − 1 2(𝑥2 + 1)𝑑𝑥
𝑒) 2𝑥3 + 5𝑥
𝑥4 + 5𝑥2 + 4𝑑𝑥
𝑓) 𝑥 − 3
𝑥2 + 2𝑥 + 4 2𝑑𝑥
𝑔) 1
𝑥 𝑥 + 1𝑑𝑥
) 𝑒2𝑥
𝑒2𝑥 + 3𝑒𝑥 + 2𝑑𝑥
21. Buktikan integral berikut.
𝑎) 𝑓 𝑦 𝑑𝑦𝑏
0
= 𝑓 𝑏 − 𝑦 𝑑𝑦𝑏
0
𝑏) sin𝑛 𝑦
sin𝑛 𝑦 + cos𝑛 𝑦
𝜋/2
0
𝑑𝑦 =𝜋
4, untuk setiap bilangan positif 𝑛
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 18
BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
Pada bab ini hanya akan dibahas persamaan diferensial terpisahkan orde satu. Orde suatu
persamaan diferensial adalah turunan tertinggi dalam persamaan.
A. Persamaan Diferensial Terpisahkan
Bentuk umum 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑔 𝑥 𝑓 𝑦 atau
1
𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 atau 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Contoh 4.1:
Carilah penyelesaian dari PD berikut.
𝑎) 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 3𝑥2 − 6𝑥 + 5
𝑏) 𝑑𝑦
𝑑𝑥+
1 + 𝑦3
𝑥𝑦2(1 + 𝑥2)= 0
𝑐) 𝑑𝑦
𝑑𝑥− 𝑥𝑦 = 𝑥
𝑑) 𝑦 1 − 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥2 1 − 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Penyelesaian
𝑎) 𝑑𝑦 = 3𝑥2 − 6𝑥 + 5 𝑑𝑥 → sudah terpisahkan
𝑑𝑦 = (3𝑥2 − 6𝑥 + 5) 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 5 + 𝐶
𝑏) 𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
1 + 𝑦3
𝑥𝑦2(1 + 𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
1 + 𝑦3
𝑦2
1
𝑥(1 + 𝑥2)
𝑦2
1 + 𝑦3𝑑𝑦 = −
1
𝑥(1 + 𝑥2)𝑑𝑥 → sudah terpisahkan
𝑦2
1 + 𝑦3𝑑𝑦 = −
1
𝑥(1 + 𝑥2)𝑑𝑥
1
3
1
1 + 𝑦3𝑑(1 + 𝑦3) = −
1
𝑥+
𝑥
1 + 𝑥2 𝑑𝑥
1
3ln 1 + 𝑦3 = − ln 𝑥 +
1
2ln(1 + 𝑥2) + 𝑐
2 ln 1 + 𝑦3 + 6 ln 𝑥 − 3 ln(1 + 𝑥2) = 6𝑐
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 19
ln 1 + 𝑦3 2𝑥6
(1 + 𝑥2)3= 6𝑐
1 + 𝑦3 2𝑥6
(1 + 𝑥2)3= 𝑒6𝑐
1 + 𝑦3 2𝑥6
(1 + 𝑥2)3= 𝐶
𝑐) 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥(𝑦 + 1)
𝑑𝑦
𝑦 + 1= 𝑥𝑑𝑥 → sudah terpisahkan
𝑑𝑦
𝑦 + 1= 𝑥𝑑𝑥
ln 𝑦 + 1 =1
2𝑥2 + 𝐶
𝑑) 𝑦 1 − 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥2 1 − 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑦 1 − 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2 1 − 𝑦 𝑑𝑦
1 − 𝑥
−𝑥2𝑑𝑥 =
1 − 𝑦
𝑦𝑑𝑦
−1
𝑥2+
1
𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑦− 1 𝑑𝑦
1
𝑥+ ln 𝑥 + 𝑐 = ln 𝑦 − 𝑦
1
𝑥+ 𝑦 + 𝑐 = ln 𝑦 − ln 𝑥
1
𝑥+ 𝑦 + 𝑐 = ln
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥 = 𝐶𝑒
1𝑥𝑦𝑦
Latihan 4.1
1. Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut.
𝑎) 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1 + 𝑦
2 + 𝑥
𝑏) 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑦2 + 𝑥𝑦2
𝑥2𝑦 − 𝑥2
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 20
𝑐) 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
− sin 𝑥 cos 𝑦
tan 𝑦 cos 𝑥
𝑑) 𝑑𝑢
𝑑𝑡= 2 + 2𝑢 + 𝑡 + 𝑡𝑢
𝑒) 𝑑𝑧
𝑑𝑡+ 𝑒𝑡+𝑧 = 0
2. Carilah solusi khusus dari persamaan diferensial berikut.
𝑎) 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦2 + 1, 𝑦 1 = 0
𝑏) 𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑃𝑡, 𝑃 1 = 2
𝑐) 𝑦 ′ tan 𝑥 = 𝑎 + 𝑦, 𝑦 𝜋/3 = 𝑎, 0 < 𝑥 < 𝜋/2
B. Penerapan Persamaan Diferensial
Pada bab ini akan dibahas tiga permasalahan yang menggunakan pemecahan persamaan
diferensial, yaitu: Hukum Pendinginan Newton, peluruhan radioaktif, dan dinamika
populasi.
1. Hukum Pendinginan Newton
Dari pengamatan eksperimen diketahui laju perubahan suhu permukaan suatu objek
sebanding dengan suhu relatifnya (perbedaan antara suhu objek dan suhu lingkungan
sekitarnya). Hal ini dikenal sebagai hukum Pendinginan Newton. Jika 𝜃(𝑡) adalah
suhu objek pada waktu t, maka kita mempunyai
𝑑𝜃
𝑑𝑡= −𝑘(𝜃 − 𝑆)
dimana S adalah suhu lingkungan sekitar. Persamaan di atas adalah persamaan
diferensial orde satu. Jika pada kondisi awal 𝜃 0 = 𝜃0, maka solusi diberikan oleh
𝜃 𝑡 = 𝑆 + (𝜃0 − 𝑆)𝑒−𝑘𝑡
Oleh karena itu, kita dapat mencari k jika diketahui dua keadaan. Misalkan pada saat
t1 suhu benda θ(t1) dan pada saat t2 suhu benda θ(t2), sehingga
𝜃 𝑡1 − 𝑆
𝜃 𝑡2 − 𝑆= 𝑒−𝑘(𝑡1−𝑡2)
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 21
yang berarti
𝑘 𝑡1 − 𝑡2 = − ln 𝜃 𝑡1 − 𝑆
𝜃 𝑡2 − 𝑆 , dengan 𝜃(𝑡) > 𝑆
Persamaan ini memungkinkan untuk menemukan k jika interval waktu 𝑡1 − 𝑡2
diketahui.
Contoh 4.2:
Waktu Kematian Misalkan mayat ditemukan di sebuah kamar motel di tengah
malam dan suhunya adalah 800𝐹. Suhu ruangan dijaga konstan pada 600𝐹. Dua jam
kemudian suhu mayat itu turun ke 750𝐹. Carilah waktu kematiannya.
Penyelesaian :
Pertama kita menggunakan suhu pengamatan mayat itu untuk menemukan konstanta
k. kita punya
𝑘 = −1
2ln
75 − 60
80 − 60 = 0,1438
Untuk menemukan waktu kematian kita perlu ingat bahwa suhu mayat pada saat tepat
sebelum meninggal adalah 98,60𝐹 (dengan asumsi bahwa orang yang meninggal itu
tidak sakit! [98,60F = 37
0C]). Lalu kita punya
𝑡𝑑 = −1
𝑘ln
98,6 − 60
80 − 60 = −4,57 Jam
yang berarti bahwa kematian terjadi sekitar pukul 07:26 malam [asumsikan tengah
malam pukul 00:00 (untuk mempermudah perhitungan, gunakan 24:00)]
2. Peluruhan Radioaktif
Banyak bahan radioaktif meluruh sebanding dengan jumlah radioaktif. Sebagai
contoh, jika X adalah bahan radioaktif dan N(t) adalah jumlah yang tersisa pada waktu
t, maka laju perubahan N(t) terhadap waktu t diberikan oleh
𝑑𝑁
𝑑𝑡= −𝜆𝑁
dimana λ adalah konstanta positif (λ > 0).
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 22
Jika 𝑁 0 = 𝑁0 adalah kuantitas awal bahan X, maka kita mempunyai
𝑁 𝑡 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡
Jelas, untuk menentukan N(t), kita perlu menemukan konstanta λ. Hal ini dapat
dilakukan dengan menggunakan apa yang disebut waktu paruh 𝑇12 dari bahan X.
Waktu paruh adalah rentang waktu yang diperlukan untuk meluruhkan setengah dari
materi. Jadi, kita mempunyai 𝑁 𝑇12 = 1
2𝑁0 dan dari perhitungan diperoleh 𝜆𝑇1
2=
ln 2. Oleh karena itu, jika kita tahu 𝑇12, kita bisa mendapatkan λ dan sebaliknya.
Banyak pada buku kimia yang menjelaskan waktu paruh dari beberapa bahan
radioaktif. Sebagai contoh, waktu paruh Karbon-14 adalah 5568 ± 30 tahun. Oleh
karena itu, konstanta λ yang terkait dengan Karbon-14 adalah 1,244 𝑥 10−4. Sebagai
catatan, Carbon-14 adalah alat penting dalam penelitian arkeologi yang dikenal
sebagai radiokarbon.
Contoh 4.3:
Sebuah isotop radioaktif memiliki waktu paruh 16 hari. Anda ingin memiliki 30 g
setelah 30 hari. Berapa banyak radioisotop mula-mula?
Penyelesaian:
Ketika waktu paruh diberikan dalam satuan hari, kita akan mengukur waktu dalam
hari. Misal N(t) adalah jumlah radioaktif pada waktu t dan jumlah radioaktif mula-
mula adalah 𝑁0. Maka kita punya
𝑁 𝑡 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡
dimana λ adalah konstanta. Kita menggunakan waktu paruh 𝑇12 untuk menentukan λ.
Kita memiliki
𝜆 =1
𝑇12
ln 2 =1
16ln 2
Oleh karena itu,
𝑁 30 = 30 = 𝑁0𝑒−𝜆(30)
Kita peroleh
𝑁0 = 30𝑒𝜆(30) = 30𝑒3016
ln 2 = 110,04 g
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 23
3. Dinamika Populasi
Berikut adalah beberapa pertanyaan alam yang terkait dengan masalah populasi:
• Bagaimana populasi penduduk suatu negara tertentu dalam sepuluh tahun?
• Bagaimana kita melindungi sumber daya dari kepunahan?
Untuk menggambarkan penggunaan persamaan diferensial sehubungan dengan
masalah ini kita mempertimbangkan model matematika termudah yang ditawarkan
untuk mengatur dinamika populasi dari suatu spesies tertentu. Hal ini biasa disebut
model eksponensial, yaitu tingkat perubahan penduduk sebanding dengan populasi
yang ada. Dengan kata lain, jika P(t) adalah tingkat populasi, kita tuliskan
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑘𝑃
dimana k adalah konstanta. Hal ini cukup mudah untuk melihat bahwa jika k > 0,
maka terdapat pertumbuhan, dan sebaliknya jika k < 0. Ini adalah persamaan linier
yang mempunyai pemecahan
𝑃 𝑡 = 𝑃0𝑒−𝑘𝑡
dimana 𝑃0 adalah populasi awal, misalkan 𝑃 0 = 𝑃0. Oleh karena itu, kita simpulkan
sebagai berikut:
• jika k > 0, maka populasi bertambah dan terus berkembang hingga tak terbatas, yaitu
lim𝑡→∞
𝑃(𝑡) = +∞
• jika k < 0, maka penduduk akan menyusut dan cenderung 0. Dengan kata lain kita
sedang menghadapi kepunahan.
Jelas, kasus pertama, k > 0, tidak memadai. Alasan utama untuk ini ada hubungannya
dengan keterbatasan lingkungan. Pertumbuhan penduduk dibatasi oleh beberapa
faktor. Ketika suatu populasi jauh dari batas, pertumbuhan itu dapat tumbuh dengan
pesat. Namun, ketika mendekati batas-batasnya, ukuran populasi dapat berfluktuasi,
bahkan berantakan. Model lain adalah diusulkan untuk memperbaiki cacat dalam
model eksponensial. Hal ini disebut model logistik (disebut juga model Verhulst-
Pearl). Persamaan diferensial untuk model ini adalah
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑘𝑃 1 −
𝑃
𝑀
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 24
di mana M adalah ukuran pembatas populasi (juga disebut daya dukung). Jelas, bila P
lebih kecil dibandingkan dengan M. Solusi konstan diperoleh jika P = 0 dan P = M.
Solusi dapat diperoleh dengan memisahkan variabel
𝑑𝑃
𝑃 1 −𝑃𝑀
= 𝑘𝑑𝑡
dan integralkan
𝑑𝑃
𝑃 1 −𝑃𝑀
= 𝑘𝑑𝑡
teknik fraksi parsial memberikan
𝑑𝑃
𝑃 1 −𝑃𝑀
= 1
𝑃+
1/𝑀
1 − 𝑃 𝑀 𝑑𝑃
yang memberikan
ln |𝑃| − ln 1 −𝑃
𝑀 = 𝑘𝑡 + 𝐶
dengan manipulasi aljabar diperoleh
𝑃
1 − 𝑃 𝑀 = 𝐶𝑒𝑘𝑡 , karena 𝑃 > 0 dan 𝑃/𝑀 < 1
di mana C adalah konstanta. Penyelesaian untuk P, kita dapatkan
𝑃 =𝑀𝐶𝑒𝑘𝑡
𝑀 + 𝐶𝑒𝑘𝑡
Jika kita mempertimbangkan kondisi awal 𝑃 0 = 𝑃0 (dengan asumsi bahwa
𝑃0 tidak sama dengan baik 0 atau M), kita dapatkan
𝐶 =𝑃0𝑀
𝑀 − 𝑃0
yang, setelah diganti ke ekspresi untuk P(t) dan disederhanakan, kita peroleh
𝑃(𝑡) =𝑀𝑃0
𝑃0 + (𝑀 − 𝑃0)𝑒−𝑘𝑡
Sangat mudah untuk melihat bahwa
lim𝑡→∞
𝑃(𝑡) = 𝑀
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 25
Namun, hal ini masih belum memuaskan karena model ini tidak memberitahu kita
ketika suatu populasi menghadapi kepunahan. Bahkan dimulai dengan populasi kecil
akan selalu cenderung daya dukung M.
Latihan 4.2
1. Suatu populasi dimodelkan dengan persamaan diferensial
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 1,2𝑃 1 −
𝑃
4200
a) Untuk nilai P berapakah populasi bertambah?
b) Untuk nilai P berapakah populasi berkurang?
c) Bagaimana solusi kesetimbangannya?
2. Suatu larutan glukosa disalurkan ke dalam aliran darah dengan laju konstan r.
pada saat glukosa ditambahkan, glukosa tersebut diubah menjadi zat lain dan
dibuang dari aliran darah dengan laju sebanding dengan konsentrasinya pada saat
itu. Jadi, model untuk konsentrasi larutan glukosa C = C(t) dalam aliran darah
adalah
𝑑𝐶
𝑑𝑡= 𝑟 − 𝑘𝐶
dengan k konstanta positif. Misalkan konsentrasi pada saat t = 0 adalah C0.
Tentukan konsentrasi pada waktu t dengan menyelesaikan persamaan diferensial
di atas.
3. Hukum Pendinginan Newton menyatakan bahwa laju pendinginan suatu benda
sebanding dengan selisih suhu benda dan suhu sekitarnya. Misalkan seekor ayam
panggang dikeluarkan dari oven ketika suhunya telah mencapai 185 oF dan
ditempatkan di atas meja dalam ruang bersuhu 75 oF. Jika u(t) adalah suhu ayam
setelah t menit, maka Hukum Pendinginan Newton mengimplikasikan
𝑑𝑢
𝑑𝑡= 𝑘(𝑢 − 75)
a) Carilah penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut.
b) Jika suhu ayam adalah 150 oF setelah setengah jam, berapakah suhunya
setelah 45 menit?
c) Kapan ayam akan mendingin hingga 100 oF?
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 26
4. Percobaan kimia menunjukaan bahwa jika reaksi kimia
N2O5 → 2NO2 +1
2O2
berlangsung pada 45 oC, laju reaksi dinitrogen pentoksida sebanding dengan
konsentrasinya sebagai berikut:
−𝑑[N2O5]
𝑑𝑡= 0,0005[N2O5]
a) Tentukan rumus untuk konsentrasi [N2O5] setelah t detik jika konsentrasi
awalnya adalah C.
b) Berapa lama reaksi akan berlangsung untuk mereduksi konsentrasi N2O5
hingga menjadi 90% dari nilai awalnya?
5. Laju perubahan tekanan atmosfer P terhadap ketinggian h sebanding dengan P,
selama suhunya konstan. Pada suhu 15 oC tekanannya adalah 101,3 kPa pada
permukaan laut dan 87,14 kPa pada h = 1000 m.
a) Berapa tekanan pada ketinggian 3000 m?
b) Berapa tekanan di puncak gunung McKinley, pada ketinggian 6187 m?
6. Setelah 3 hari suatu sampel radon-222 meluruh hingga 58% dari massa awalnya.
a) Berapa waktu-paruh radon-222 ?
b) Berapa lama diperlukan oleh sampel tersebut untuk meluruh hingga 10% dan
massa awalnya?
7. Ilmuan dapat menentukan umur benda kuno dengan metode yang disebut penentu
waktu radiokarbon. Penghantaman atmosfer bagian atas oleh sinar kosmik
mengubah nitrogen menjadi isotop radioaktif karbon, 14
C, dengan waktu-paruh
sekitar 5730 tahun. Sayuran menyerap karbon dioksida melalui atmosfer dan
hewan mengasimilasi 14
C melalui rantai makanan. Ketika tanaman atau hewan
mati, ia berhenti mengganti karbonnya dan banyaknya 14
C mulai menurun melalui
peluruhan radioaktif. Jadi, tingkat keradioaktifan pun akan meluruh secara
eksponensial. Suatu tragmen naskah kuno ditemukan mempunyai sekitar 74% dari
keradioaktifan 14
C yang dimiliki tanaman di bumi saat ini. Perkirakan umur
naskah tersebut.
Tim Olimpiade Sains IPB tosi-ipb.blogspot.com
Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 27
8. Tinjau populasi P = P(t) dengan laju kelahiran dan kematian relatif berturut-turut
α dan β, dan laju emigrasi konstan sebesar m, dengan α, β, dan m konstanta positif.
Asumsikan bahwa α > β. Maka laju perubahan populasi pada saat t dimodelkan
oleh persamaan diferensial
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑘𝑃 − 𝑚 di mana 𝑘 = 𝛼 − 𝛽
a) Tentukan solusi dari persamaan ini yang memenuhi syarat awal P(0) = P0.
b) Apa syarat untuk m yang akan menyebabkan: (i) populasi konstan? (ii)
penurunan populasi?
c) Pada tahun 1847, populasi Irlandia adalah sekitar 8 juta dan selisih antara laju
kelahiran dan kematian relatif adalah 1,6% dari populasi. Karena kelaparan
kentang pada tahun 1840-an dan 1850-an, sekitar 210.000 penduduk per tahun
beremigrasi dari Irlandia. Apakah populasi bertambah atau berkurang pada
saat itu?
top related