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Lycée Stendhal (Grenoble)
@Vincent Obaton Site Internet : www.vincentobaton.fr
1
Niveau :
Terminale ES Spé Maths
Titre Cours :
Matrices, Matrices carrées et
Evolution de processus
Année :
2017-2018
(Cayley Hamilton)
«Pour inventer, il faut penser à côté. » (Paul Souriau)
I. Définition
1. Définition
On note p et q deux entiers naturels non nuls
Une matrice est un tableau de p lignes et q colonnes dont les coefficients sont des réels (voir des
complexes dans les années futures)
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
.....
q
q
p p pq
a a a
a a aA
a a a
ou {1,.., }{1,.., }
( )i pj q
ijA a
Le coefficient ija est à l’intersection entre la ligne i et la colonne j
Une matrice carrée est une matrice qui a le même nombre de ligne et le même nombre de
colonne. On notera dans ce cas n le nombre de lignes et de colonnes.
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
.....
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
ou {1,.., }{1,.., }
( )i nj n
ijA a
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2
Une matrice ligne est une matrice comportant une seule ligne.
11 12 1.....
nA a a a
Une matrice colonne est une matrice comportant une seule colonne.
11
21
1n
a
aA
a
2. Exemples
II. Opérations sur les matrices
1. Somme de matrices de mêmes dimensions
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
.....
q
q
p p pq
a a a
a a aA
a a a
et
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
.....
q
q
p p pq
b b b
b b bB
b b b
On note C la matrice définie par C= A+B
Alors pour tout i dans {1,.. }p et j dans {1,.. }q on a ij ij ijc a b
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
.....
.....
.....
q q
q q
p p p p pq pq
a b a b a b
a b a b a bC
a a a b a b
Exemple :
2 5
0 3A
et
1 2
5 0B
alors A B
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3
2. Multiplication d’une matrice par un réel
On note un réel.
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
.....
q
q
p p pq
a a a
a a aA
a a a
On note C A la matrice
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
.....
q
q
p p pq
a a a
a a aA
a a a
Alors pour tout i dans {1,.. }p et j dans {1,.. }q on a ij ijc a
Exemple :
2 5
0 3A
alors 2A
3. Différences de deux matrices de mêmes dimensions
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
.....
q
q
p p pq
a a a
a a aA
a a a
et
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
.....
q
q
p p pq
b b b
b b bB
b b b
On note C la matrice définie par C= A-B
Alors pour tout i dans {1,.. }p et j dans {1,.. }q on a ij ij ijc a b
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
.....
.....
.....
n q
n q
p p p p pq pq
a b a b a b
a b a b a bC
a a a b a b
Exemple :
2 5
0 3A
et
1 2
5 0B
alors A B
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4
4. Multiplication d’une matrice ligne par une matrice p q
11 12 1pA a a a et
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
.....
q
q
p p pq
b b b
b b bB
b b b
On note C la matrice définie par C= A×B
Alors pour tout j dans {1,.., }q on a 1 1
1
p
j k kjk
c a b
1 1 1 2 11 1 1
p p p
k k k k k kqk k k
C a b a b a b
Exemple :
2 5A et 1 2
5 0B
alors A B
5. Multiplication d’une matrice p q par une matrice colonne
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
.....
q
q
p p pq
b b b
b b bB
b b b
et
11
21
1q
a
aA
a
On note C la matrice définie par C= B×A
Alors pour tout i dans {1,.., }p on a 1 11
q
i ik kk
c b a
1 11
2 11
11
q
k kk
q
k kk
q
pk kk
b a
b aC
b a
Exemple :
1 2
5 0B
et 2
5A
alors B A
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5
6. Multiplication de deux matrices quelconques
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
.....
q
q
p p pq
a a a
a a aA
a a a
et
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
.....
k
k
q q qk
b b b
b b bB
b b b
Pour pouvoir faire le produit, il faut absolument que le nombre de colonne de
celle de gauche soit identique aux nombres de lignes de celle de droite.
11 11 12 21 1 1( ... ) ..... ..... .....
..... ..... ..... .....
..... ..... ..... .....
q qa b a b a b
C A B
Alors pour tout i dans {1,.., }p j dans {1,.., }q et on a 1
q
ij ik kjk
c a b
Exemple :
1.
1 2
0 3
1 1
A
et 2 1 0
4 1 1B
alors A B
2.
1 2
0 3
1 1
A
et 2 1 0
4 1 1B
alors B A
7. Multiplication de deux matrices carrées
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
.....
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
et
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
.....
n
n
n n nn
b b b
b b bB
b b b
On note C la matrice définie par C= A×B
11 11 12 21 1 1( ... ) ..... ..... .....
..... ..... ..... .....
..... ..... ..... .....
n na b a b a b
C
Alors pour tout i dans {1,.., }n j dans {1,.., }n et on a 1
n
ij ik kjk
c a b
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Exemple :
3. 2 5
0 3A
et
1 2
5 0B
alors A B
4. 2 5
0 3A
et
1 2
5 0B
alors B A
III. Propriétés des opérations
1. Addition
A et B sont deux matrices carrées de taille n (entier naturel non nul)
A B B A (Commutative)
A B C A B C A B C (Associative)
2. Multiplication par un réel
K est un réel, A et B sont deux matrices carrées de taille n (entier naturel non
nul)
’ ’k k A kA k A
K A B kA kB
’ ’kk A k k A
kA B A kB k AB
3. Multiplication
A, B et C sont trois matrices carrées de taille n (entier naturel non nul)
A B C A B C A B C
A B C A B A C (Distributivité à gauche)
B C A B A C A (Distributivité à droite)
ATTENTION : AB et BA ne sont pas toujours identiques
0
nA I
1k k kA A A A A pour k
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IV. Matrices de transition dans un processus d’évolution
1. Définition
Lorsqu’on s’intéresse au processus d’évolution de plusieurs données reliées entre
elles par des relations linéaires, on peut déterminer le passage d’un état des données
à un autre en utilisant une matrice de transition.
On note 0P la matrice représentant l’état initial de ce processus et donc souvent des
états probabiliste (probabilité initial du processus).
2. Matrice de transition dans le cas où la matrice de l’état initial est une matrice
colonne
11
21
0
1n
a
aP
a
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
p p p
p p pM
p p p
0 1 2 3 4 4
M M M M M M
nP P P P P P P
Et on a pour tout n , 0
n
nP M P ou n k
n kP M P
3. Matrice de transition dans le cas où la matrice de l’état initial est une matrice
ligne
0 11 12 1nP a a a
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
p p p
p p pM
p p p
0 1 2 3 4 4
M M M M M M
nP P P P P P P
Et on a pour tout n , 0
n
nP P M ou n k
n kP P M
1 1 1
1
1
1
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V. Matrices particulières
1. Matrices diagonales
11
22
0 0
0 0
0 0
0 0nn
a
aD
a
Remarque : Que se passe-t-il si on multiplie une matrice carrée par une matrice
diagonale ?
Exemple :
2 3 1 1 0 0
5 1 1 0 2 0
3 1 2 0 0 1
2. Matrice unité de taille n.
1 0 0
0 1 0
0 0
0 0 1
nI
Remarque : Pour toute matrice A carré de taille n : n n
A I I A A
Cette matrice a le même rôle que le nombre 1 dans la multiplication.
2 3 1 1 0 0
5 1 1 0 1 0
3 1 2 0 0 1
1 0 0 2 3 1
0 1 0 5 1 1
0 0 1 3 1 2
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VI. Matrices inversibles
1. Définition
On dit qu’une matrice carrée A est inversible s’il existe une matrice carrée B (de
même taille que A) telle que
nA B B A I
Dans ce cas on notera : 1B A
Exemple :
On note 3 1
2 1A
Montrer que l’inverse de A est 0,2 0,2
0,4 0,6B
Déterminer la matrice inverse de : 1 1
1 1A
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2. Méthodes de calcul.
Méthode 01 : Par identification (voir l’exemple précédent).
Méthode 02 : Par équivalence de matrices.
Exemple : Trouver l’inverse de 2 1
1 1A
Exemple : Trouver l’inverse de
1 1 1
0 1 1
1 1 1
A
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3. Application (Equations et résolution de système)
Application 1 :
On note
1 1 1
0 1 1
1 1 1
A
et
1
2
3
C
Déterminer un matrice colonne X telle que AX C
Application 2 :
Résoudre le système
1
1
4
x y z
y z
x y z
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4. Cas particuliers des matrices carrées 2 2
On note a b
Ac d
avec , , ,a b c d
Montrer que pour que A soir inversible il faut et il suffit que 0ad bc et dans ce cas
1 1 d bA
c aad bc
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