toda mediÇÃo estÁ sujeita a erros, devido À razÕes de ordem prÁtica e teÓrica. a origem dos...
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TODA MEDIÇÃO ESTÁ SUJEITA A ERROS, DEVIDO À RAZÕES DE ORDEM PRÁTICA E TEÓRICA.
A origem dos erros podem estar na modelagem, nas circunstâncias e métodos de medida, nas propriedades dos dispositivos de medição e nas perturbações externas.
Será abordada a seguir a primeira, das 4 etapas envolvidas no processo de medição:1. A definição do que vai ser medido (mensurando)
ETAPAS DA MEDIÇÃO
A tarefa do engenheiro numa medição, não se resume a apenas etapa de ler a indicação do instrumento de medida.
Nesta etapa a tarefa é elaborar o modelo (?) do mensurando. As demais já foram abordadas anteriormente :
2. A definição do critério para realizar a medição (escolha da escala).
3. A leitura do valor indicado (valor de posição na escala).
4. A interpretação do resultado.
DEFINIÇÃO DO MENSURANDO Medições podem ser adequadamente realizadas e interpretadas
somente quando o mensurando, for exatamente definido. Definição consiste em uma cuidadosa descrição das propriedades
características essenciais do fenômeno em teste e na seleção dos parâmetros de interesse.
A escolha das propriedades características e dos parâmetros e a descrição dos mesmos com um certo formalismo é a denominado de “modelagem”.
NÃO EXISTE MEDIÇÃO SEM MODELAGEM
A PREPARAÇÃO DA MEDIÇÃO PRESSUPÕE A EXISTÊNCIA DE UM
MODELO PRELIMINAR DO FENÔMENO
MODELOS Existem três tipos principais de modelos :
Modelo conceitual;Modelo físico;Modelo matemático.
Na engenharia os modelos matemáticos são os mais importante.
o nível de nosso conhecimento, relacionado ao fenômeno real, é claramente declarado e expresso.
Um resistor é modelado como uma resistência, sendo enfatizado o fato de a corrente elétrica fluir através dele irá
provocar uma queda de tensão, proporcional à corrente,. desprezados o ruído térmico produzido, a indutância própria
e a capacitância parasita e a variação da resistência com a temperatura.
USO DO MODELO
Componente real
Modelo conceitual (simplificado)
resistor Pelo uso do modelo parte da realidade pode ser descrita, enfatizando os
aspectos de maior interesse. o fenômeno pode ser simplificado, sem afetar a sua
essência, para possibilitar uma análise quantitativa mais simples.
Modelo matemático
I
VR
RESULTADO DA MEDIÇÃO
O resultado de uma medição é um valor estimado do mensurando. ele somente é completo quando vêm acompanhado da incerteza
associada (ISO: International Organization for Standardization).
resultado (*valor estimado, incerteza)
yu)Y(y
*A média é a melhor estimativa do mensurando
RESULTADO DA MEDIÇÃO
O resultado da medição depende de: Erros de medição ,
causados pelas incertezas de medição e, causados pelas inexatidão na avaliação e processamento dos dados
de medição. Erros de modelagem
devido à dedução incorreta e/ou inexata dos parâmetros obtidos a-priori,
devido à simplificação do fenômeno a ser medido.– O erro de modelagem é, em muitos casos, o fator limitante para que se estabeleça
a exatidão da medição.
Seria incongruente determinar com alta exatidão os parâmetros de um modelo mal elaborado ou muito simples.
É determinado com base em observações obtidas sob condições de repetitividade. variações no valor indicado no instrumento são causados pela inconstância das
grandezas influenciantes. Grandezas influenciantes são variáveis aleatórias
– variável que assume valores numéricos associados com resultados aleatórios de um experimento, onde um (e somente um) valor numérico é atribuído para cada ponto amostral
RESULTADO DA MEDIÇÃO
o modelo matemático que transforma o conjunto de observações repetidas no resultado da medição, tem extrema importância
Deveria incluir grandezas que exercem influencia e que, porém não são exatamente conhecidas.
essa falta de conhecimento também contribui para a incerteza da medição.
MODELO MATEMÁTICO Em muitos casos, o mensurando Y não é medido
diretamente, mas é determinado somente a partir de outras grandezas X1, X2, X3, …,XN, através da relação:
Y=f(X1, X2,…., XN)
A função f expressa, não simplesmente uma lei física mas um processo de medição e, em particular, ela deve conter todas as grandezas que contribuem de maneira significativa para a incerteza do resultado da medição.
Se os dados indicam que a função f (X1,…XN) não modelam o mensurando no grau de exatidão requerido, grandezas adicionais devem ser incluídas.
O conjunto das grandezas X1, X2,…,XN, pode ser categorizado como aquelas cujos valores e incertezas são: diretamente determinados na medição corrente.
obtidos de uma única observação, observações repetidas, julgamentos baseados na experiência, etc.
obtidos a-priori de fontes externas, tais como as associadas a padrões de medição calibrados, dados de livros, etc.
MODELO MATEMÁTICO
MODELO MATEMÁTICO Um valor esperado do mensurando Y, representado por
y, é obtido da equação anterior usando valores esperados x1, x2, …,xN respectivamente para as grandezas de entrada X1, X2, X3, …,XN.
O valor esperado – (Y) - é dado por:
y= (Y) = (X1, X2, …,XN) =f(x1, x2, …., xN)
Não é possível obter o valor (verdadeiro) de Y porque não é possível realizar uma medição perfeita.
O desvio-padrão associado ao resultado da medição é denominado “incerteza-padrão” e representada por up(y).
Média de amostra (x) É a soma dos valores que a variável aleatória apresenta,
dividido pelo tamanho da amostra (N).
VALOR ESPERADO E MÉDIA
1 1 N Nm x .... m xx
N
Valor Esperado (x}) ou média de população ()
xpxn
1
ii
Para N → n,Fi→ pi, onde n é o tamanho da população e pi é a probabilidade de ocorrência do valor xi.
Ni
i
1
mx x
N
i-
x p f (x) dx
Variáveisdiscretas
Variáveiscontínuas
CASO EXEMPLO -1 A altura de uma pessoa foi determinada e o valor indicado no
medidor com as características dadas abaixo foi de Lm. Escreva o modelo matemático para a medição. Dados:
Comprimento total da escala do medidor = Lp
Resolução da escala = Lr , Correção do valor indicado = Ls
Resolução do problema: Escala do medidor
Existem duas grandezas envolvidas na medição: Medição é a ação de atribuir um valor do padrão ao valor da grandeza que está sendo medida (mensurando).
??? ???
• A grandeza a ser medida (mensurando)
• A grandeza com a qual fazer comparação (padrão - aqui representado pelo medidor)
mx LL
CASO EXEMPLO -1 Julgamento sobre a qualidade da ação (atribuição do valor do padrão ao mensurando)
– Comparação (adequação do medidor para realizar a medição):
• Sempre irá permanecer alguma incerteza acerca da igualdade do valor a ser medido com o valor indicado na escala do medidor (incerteza de comparação)
rimx LLL
mmim LLL
• Lx – grandeza que está sendo medida
• Lim – valor da grandeza indicado na escala do medidor
• Lr – desvio possível, mas desconhecido, resultante de imperfeições na comparação.
– Calibração (comparação com o padrão da unidade de medida):
• Sempre irá haver alguma incerteza sobre o quanto o valor indicado na escala de um medidor específico representa o padrão da unidade de medida utilizada - em relação às unidades do
• Lim – valor da grandeza indicado na escala do medidor• Lm – valor ideal da grandeza para a qual a indicação na escala é relacionada.• Lm – desvio possível, mas desconhecido, resultante de imperfeições na
calibração escala do medidor.
CASO EXEMPLO - 1
Resposta: Modelo da avaliação:
mrmx LLLL
Comentários adicionais Em função do grau de exatidão requerido para a medida, um outro medidor,
i.e. – de maior classe de exatidão - poderia ter de ser utilizado. Conseqüentemente, a contribuição de outras grandezas de entrada -por
exemplo, temperatura - poderia ter de ser considerada, tornando o modelo mais complexo.
T1LLLL prpx
MODELO MATEMÁTICO
Cada valor esperado E(Xi)=xi e sua incerteza associada u(xi) são obtidas de uma distribuição de valores possíveis das grandezas de entrada Xi.
incertezas padrão do tipo-A (upA(xi)obtidas com base em leis de distribuição estatística.
incertezas padrão do tipo-B (upB(xi)encontradas em leis de distribuição a-priori.
Deve ser reconhecido que em ambos os casos as distribuições são modelos que são usados para representar o estado do conhecimento.
ERRO OU INCERTEZA??!!!!
CASO EXEMPLO - 2
Faça uma análise do problema proposto no “Caso Exemplo-1” e classifique os componentes de incertezas decorrentes do modelo matemático encontrado.
Resolução do problema: mrmx LLLL Lm – média dos valores obtidos por medição da altura da pessoa. A
incerteza pode ser obtida por processos estatísticos. u(x1=Lm) = uA
Lr - desvio causado pela resolução finita da escala do medidor. Como a resolução já é previamente conhecida, deve-se utilizar uma lei de distribuição também conhecida a priori. u(x2=Lr) = uBr
Lm - desvio obtido na calibração do medidor, Portanto, também já conhecida a-priori. u(x3=Lm) = uBm
QUESTÕES DE CONTROLE1. Considere um caso de uma medição realizada nos terminais de uma tomada de
uma residência, visando determinar a tensão da rede elétrica no local. Para essa medição empregou-se um voltímetro digital de 3½ dígitos e classe de exatidão de ±(0,25% leitura+2D).
2. Quem é o mensurando, neste caso?3. Qual seria o modelo conceitual deste mensurando?4. Qual o modelo matemático mais simples possível para o mensurando?5. Escreva um modelo matemático compatível com os dados disponíveis.6. Com base apenas nos dados da questão-1, responda qual a natureza dos
componentes de incerteza. Tipo-A ou Tipo-B?7. Na forma mostrada na questão-1, a classe de exatidão é composta de dois
fatores. Explique o significado de ambos.8. Se a tensão da rede fosse da ordem de 120 volts, haveria alguma diferença de
resultado em termos da incerteza da medição utilizar a escala de 200V ou a de 750 volts CA?
FERRAMENTAS ESTATÍSTICAS
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS (V.A.)
• ω
Ω
x(ω )
Uma variável aleatória x é uma função que associa a cada ponto da amostra um número (geralmente real)
x
x: Ω
ω x(ω) Domínio
Contra-domínio
A V.A. x mapeia os pontos de Ω em .
Em particular, o espaço de amostras Ωx ={x(ω): ω Ω}
é a imagem do espaço de amostras Ω
V.A. E FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
Ω EVENTO A
ω 1
ω 2
P(A)=p1
0 1
A={ ω:x(ω)=X }
X
x(ω1)
x(ω2)
P(A)=P({ ω:x(ω)=X })
De um modo geral, pode-se interpretar p como a probabilidade da V.A. x assumir o valor X.
A relação entre uma V.A.. x e sua função de probabilidade P é dada por:
EXERCÍCIO-1 – V.A. Seja Ω ={ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 , ω 5 }, com as seguintes probabilidades
p1=P( {ω 1} ), p2=P( {ω 2} ),..., p5=( P{ω 5} ), sendo
Define-se a V.A. x por:
x(ω 1)=x(ω 3)=0
x(ω 2)=x(ω 4)=1
x(ω 5) =2
1ip
Determine os eventos relacionados à V.A. x e as suas probabilidades
ΩA1
ω 2
ω 4
p= p1+p31
0 1
x(ω2 )
x(ω4)
P(Ao)=P({ω1 , ω3 })
ω 5
ω 1
ω 3
Ao
A20 1 2
Ao={ω:x(ω)=0 }={ω1 , ω3}
A1={ω:x(ω)=1 }={ω2 , ω4}
A2={ω:x(ω)=2 }={ ω5}
P(Ao)=P({ω1 , ω3} )=p1+p3
p(A1)=P({ω2 , ω4})= p2+p4
P(A2)=P({ ω5})= p5
x(ω5 )
x(ω1 )x(ω3 )
EXERCÍCIO-1 – V.A.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Relacionada a F(x) existe a função f(x). A relação entre F(x) e f(x) é dada por:
dx
dP
dx
dFf
)xX()x()x(
f(x) é a função “distribuição de probabilidade” ou função “densidade de probabilidade”.
As funções de distribuição normal e a uniforme são muito utilizadas na metrologia.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS A figura ao lado mostra as funções
de distribuição cumulativa para distribuição normal (esquerda) e uniforme (direita) de variáveis contínuas.
Figura-1
Figura-2
Em metrologia variáveis discretas são bastante comuns.
A figura ao lado mostra as respectivas densidades de probabilidades
ESTATÍSTICA DESCRITIVA Medidas da tendência-central são tentativas de obter o
valor do centro das população e amostras. Incluem: a média, a mediana e a moda.
Medidas da dispersão dão idéias da variabilidade, ou espalhamento, dos valores dentro da população (ou amostra). Incluem: a variância, desvio-padrão, faixa (limite superior menos limite inferior) , erro-padrão da média ou desvio-padrão da média.
Existe uma nomenclatura para população e outra, distinta, para amostras.
Amostra
Média= x
Variância= s2
Desvio-padrão= s
SIMBOLOGIA
População
Média=
Variância= 2
Desvio-padrão=
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME (DU) Uma distribuição é denominada uniforme ou retangular se no
intervalo a que pertence todos os valores possíveis da variável aleatória, a função de distribuição tem valor constante apenas os limites inferiores e superiores do mensurando são conhecidos; a variável de entrada X só existe no intervalo [aXb];
Quando os dados disponíveis são obtidos da experiência ou de outras informações, a lei de distribuição mais usada para descrever o fenômeno é a uniforme ou retangular;
Assim
ab
1C1Cdx1dx)x(f
b
a
b
a
Exemplos de distribuição uniforme na metrologia: - classe de exatidão de instrumentos;
b
b xpara 0
xa para a-b
1a xpara 0
xf
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME (DU)
A expressão analítica para a distribuição uniforme é:
E graficamente...
a b x
f(x)
ab
1
Tolerância limite superior
Tolerância limite inferior
Da definição de variância tem-se:
VARIÂNCIA – Distr. Uniforme
)x(E)x(E 22)x(
2 Quando a distribuição é uniforme 2S2. Então:
O primeiro termo da expressão acima fornece:
O segundo termo é o quadrado da valor esperado
3
ab*abdxx
ab
1dxxp)x(E
22b
a
2
b
a
2)x(
2
4
ab)x(E
22
Assim, o valor estimado da variância é : 12
abS
22
Para este caso particular 2=S2.
INCERTEZA - Distr. Uniforme Da expressão da variância, pode ser obtido o desvio-padrão.
Us(x) – está normalmente associado às incertezas obtidas por avaliações do tipo-B
De acordo com a nomenclatura do Guia para Expressão da Incerteza de Medições, a incerteza-padrão é numericamente igual ao valor estimado desvio-padrão;
Para uma distribuição uniforme, a incerteza-padrão (us) pode ser determinada por:
HISTOGRAMAS E DISTRIBUIÇÃO LIMITE
Dados obtidos por medição são, muitas vezes, apresentados na forma de histogramas (fig.a);
Quando o número de medições aumenta, o histograma tende para a distribuição-limite (fig.b) Uma possibilidade é que a população (o universo de todos os
dados) apresente uma distribuição normal.
a) b)
f(x)
x
O gráfico abaixo mostra a densidade de probabilidade para uma distribuição normal.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
222/Xxe
2
1)x(f
representa o valor esperado; é o desvio-padrão f(x) indica a ocorrência de qualquer valor de x; A área abaixo da curva no intervalo - x indica a
probabilidade de uma medida, sem efeitos sistemáticos, apresentar um valor nessa faixa (distribuição cumulativa).
DISTRIBUIÇÃO NORMAL O gráfico abaixo mostra a distribuição-cumulativa
a área sob a curva fornece a probabilidade F(x) de uma medida de x cair entre t desvios-padrão do valor estimado.
x2/Xx dxe
2
1)x(F
22
Nível de confiança
Intervalo de confiança
A variância de uma variável aleatória é a esperança de seu desvio quadrático em relação a sua esperança.
VARIÂNCIA DE POPULAÇÃO
dx)x(fxXEXE 2z
22
A expressão acima fornece o valor da variância de população `Para uma população com n membros a variância é dada por:
A expressão anterior da variância não é apropriada quando os dados disponíveis são restritos;
Nesses casos, para que se conheça o grau de dispersão (ou variabilidade) dos dados, utiliza-se o valor estimado da variância ou a variância de amostra.
VARIÂNCIA DE AMOSTRA
1N
xx)x(s
N
1i
2i
2
Em geral S2. Para N n, os resultados das 2 expressões convergem.
DESVIO-PADRÃO
desvio-padrão é uma outra forma de determinar o grau de dispersão (ou variabilidade) de um conjunto de dados;
O valor estimado do desvio-padrão ou desvio-padrão de amostra é numericamente igual a raiz quadrada da variância.
INCERTEZA-PADRÃO O desvio-padrão da média (ou erro-padrão), representado por x
fornece uma medida de quanto a média (x) de uma amostra representa bem a média da população ();
Para a distribuição normal, o erro-padrão é denominado “INCERTEZA PADRÃO” do tipo-A..
Assim, o valor de um componente de incerteza do tipo-A é dado pela expressão:
O desvio-padrão da população () é, em muitos casos, desconhecido. Nestes casos deve-se usar s(x), o valor estimado do desvio-padrão.
SOMA COM CONSTANTE Soma de uma variável aleatória que obedece a distribuição normal, obtida através de
medição (com incerteza) com uma constante:
Auu 1c
Deslocamento no eixo-q (da variável aleatória).
PRODUTO DE CONSTANTE Produto de uma variável aleatória que obedece a distribuição normal, obtida através de medição
por uma constante:
1c Buu
Aumento da variabilidade (desvio-padrão) da distribuição.
SOMA DE VALORES A soma (ou diferença) é também normalmente distribuída:
2s
2sc
21uuu
médiauc – incerteza combinada
us – incerteza padrão
INCERTEZA COMBINADA - uc
A incerteza padrão do valor estimado do mensurando, uc(y), denominada incerteza combinada, é obtida pela combinação apropriada das incertezas do valor estimado das grandezas de entrada;
Se todas as grandezas de entrada forem independentes, uc(y) será dada por:
N
1i
)x(2
s2
i
N
1i
)x(2
s
2
i)y(c ii ucu
x
fu
uc – incerteza combinada
usi – incerteza padrão associada ao fator i.
Componentes de incerteza originários de efeitos aleatórios e de correções de efeitos sistemáticos, isto é, incertezas do tipo-A e do tipo-B, devem ser tratados da mesma maneira para cômputo de uc(y). (Teorema do Limite-Central)
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Um grande número de amostras de tamanho n, tiradas de uma população cuja média é e o desvio-padrão é , então a população das médias X’s, serão aproximadamente distribuída, tendo média e desvio-padrão (n). Quanto maior o número de amostras melhor será a aproximação.
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Independente do tipo de variável aleatória considerada aumentando o tamanho da amostraO histograma das médias
amostrais se aproxima da distribuição normal.
A variabilidade da distribuição diminui.
INCERTEZA EXPANDIDA - U Se a incerteza combinada uc(y) não é dominada por um
componente de incerteza obtida por avaliação do tipo-A baseada em apenas poucas observações, ou por componente obtido de avaliação do tipo-B, baseada em suposta distribuição retangular, um valor aproximado para a incerteza expandida – U – será :
Kp – obtido da distribuição normal, proporciona um intervalo com nível de confiança p.
INCERTEZA EXPANDIDA - U
Se o mensurando - Y - é uma grandeza única X, que apresenta distribuição normal, tal que Y=X, sendo X estimado pela média aritmética X de n observações repetidas e independentes Xk de X, com desvio padrão da média s(X), pode ser dito que:
tp() – é um valor de t para um dado valor do parâmetro – número de graus de liberdade, tal que a fração p da distribuição t-Student esteja incluída no intervalo –tp() a + tp().
A figura ao lado mostra que a distribuição t-Student tem muitas propriedades que a diferenciam da distribuição normal ou distribuição-z
A distribuição possui o mesmo formato de sino, mas reflete a maior variabilidade devido ao menor número de amostras;
A forma da curva para a distribuição t-Student é dependente do número de amostras n
(n-1) é o número de graus de liberdade.
O desvio-padrão é maior do que 1; O aumento do número de amostras
faz com que a forma das duas curvas se aproxime .
DISTRIBUIÇÃO t-STUDENT
A distribuição-normal da figura, indica a freqüência y de ocorrência de qualquer valor da média (x) de uma população onde o desvio-padrão é conhecido.
DISTRIBUIÇÃO t-STUDENT
A tabela ao lado mostra os valores para o termo t na expressão para o cálculo da incerteza-padrão, em função do número de graus de liberdade (N-1) e do nível de confiança requerido.
1N
GRAUS DE LIBERDADE EFETIVOS - eff
Se uc(y) é a soma de dois ou mais componentes estimados, a distribuição t-Student não descreve bem a variável aleatória.
Porém, a distribuição dessa variável pode ser aproximada por uma distribuição t-Student, com graus de liberdade efetivos eff, dados por:
N
1i i
y4i
y4c
effu
uui - incerteza padrão.
i - no. de graus de liberdade.
uc- incerteza combinada.
INCERTEZA EXPANDIDA - U
Da mesma forma que no caso da distribuição t-Student clássica, a incerteza expandida pode ser calculada tomando-se o parâmetro t para eff graus de liberdade efetivos, calculados com base na expressão anterior
Em todos os casos de determinação da incerteza expandida (UP) o Guia (ISO/GUM) sugere Up=U95%.
EXPRESSÃO FINAL DO RESULTADO DA MEDIÇÃO
O resultado de um valor obtido através de um processo de medição deve ser expresso da seguinte forma:
unidades Uyy expandidaincerteza - U
grandezada médio valor - y
U% yy unidades ppmunidades U yy
Na forma de expressar o resultado final da medição, especial atenção deve ser dada ao número de algarismos significativos.
São também plenamente válidas as formas:
U – incerteza-expandida deve ser relatada com no máximo dois algarismos significativos.
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