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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA
TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A ENGENHARIA:
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais,
por
Lucas Máximo Alves
CURITIBA – PARANÁ
MARÇO – 2007
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LUCAS MÁXIMOALVES
TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A ENGENHARIA:
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais,
CURITIBA – PARANÁ
MARÇO – 2007
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LUCAS MÁXIMOALVES
TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A ENGENHARIA:
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais,
Apostila organizada como resultado do estudo das aulas para obtenção de créditos da Disciplina de TÓPICOS EM MATEMÁTICA AVANÇADA PARA A ENGENHARIA do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná Orientador: Prof. Dr. Maurício Gobbi Orientador: Prof. Dr.
CURITIBA – PARANÁ
MARÇO – 2007
5
Agradecimentos
Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades
que a vida me trouxe. Quero também agradecer:
À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr.
....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com
que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC.
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Epígrafe
“Não é possível provar uma verdade a partir de uma mentira, mas é possível provar uma mentira a partir de uma verdade” (citado por Mauricio Gobbi em Março de 2007)
7
Sumário
Lista de Figuras ........................................................................................................................16 Lista de Tabelas ........................................................................................................................18 Lista de Siglas...........................................................................................................................19 Lista de Símbolos .....................................................................................................................20 Resumo ...................................................................................................................................21 Abstract ...................................................................................................................................22 Capítulo – I ...............................................................................................................................23 INTRODUÇÃO.......................................................................................................................23
1. 1 – Apresentação do curso....................................................................................................23 1. 2 – Introdução a Álgebra e a Teoria de Grupos Algébricos .................................................24 Capítulo – II..............................................................................................................................26 SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES...................................................26
2. 1 – Introdução.......................................................................................................................26 2. 2 – Definição de um Sistema de Equações...........................................................................27 2. 3 – Exemplos e Aplicações...................................................................................................28 2. 4 – Exercícios e Problemas...................................................................................................29 Capítulo – III ............................................................................................................................30 MATRIZES .............................................................................................................................30
3. 1 – Introdução.......................................................................................................................30 3. 2 – Definição de uma Matriz ................................................................................................31 3.2.1 - Matriz Linha..................................................................................................................32 3.2.2 - Matriz Coluna................................................................................................................32 3.2.3 - Diagonal Principal.........................................................................................................33 3.2.4 - Diagonal Secundária .....................................................................................................33 3. 3 – Espaço Algébrico das Matrizes ......................................................................................34 3.3.1– Igualdade de Matrizes....................................................................................................34 3. 4 – Operações Simétricas com Matrizes...............................................................................35 3. 5 – Propriedades das Operações Simétricas com Matrizes ..................................................36 3. 6 – Definição de Operações Algébricas com Matrizes.........................................................37 3. 7 – Propriedades do Espaço de Matrizes ..............................................................................38 3. 8 – Operações Singulares com Matrizes e Invariantes das Matrizes....................................40 3.8.1 - Definição .......................................................................................................................40 3.8.2 - Invariante 1 – Operação de Traço de uma Matriz.........................................................40 3.8.3 - Propriedades do Traço de uma Matriz ..........................................................................40 3.8.4 – Invariante 2 - Determinante de uma Matriz..................................................................41 3.8.5 - Propriedades dos Determinantes ...................................................................................42 3.8.6 – Matriz Inversa...............................................................................................................43 3. 9 – Tipos de Matrizes ...........................................................................................................45 3.9.1 – Matriz Simétrica ...........................................................................................................45 3.9.2 – Matriz Anti-Simétrica...................................................................................................45 3.9.3 – Matriz Real ...................................................................................................................45 3.9.4– Matriz Complexa ...........................................................................................................45 3.9.5 – Matriz Imaginária Pura.................................................................................................46 3.9.6 – Matriz Hermitiana.........................................................................................................46 3.9.7 – Matriz Anti-Hermitiana ................................................................................................46
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3.9.8 – Matriz Normal ..............................................................................................................46 3.9.9 – Matriz Ortogonal ..........................................................................................................46 3.9.10 – Matriz Unitária ...........................................................................................................46 3.9.11 – Matriz Identidade........................................................................................................47 3.9.12 – Matriz Diagonal ..........................................................................................................47 3.9.13 – Matriz Adjunta............................................................................................................47 3.9.14 – Matriz Transposta .......................................................................................................47 3.9.15 – Matriz Elementar ........................................................................................................47 3.9.16 – Matriz Complexo Conjugado .....................................................................................47 3.9.17 – Matriz Associada ........................................................................................................48 3.9.18 – Matriz Idempotente.....................................................................................................48 3. 10 – Subdivisão das Matrizes em Bloco de Matrizes Menores ............................................49 3. 11 – Álgebra dos Comutadores ............................................................................................50 3. 12 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................52 3. 13 – Exercícios e Problemas.................................................................................................53 Capítulo – IV ............................................................................................................................54 ESPAÇO VETORIAL LINEAR .............................................................................................54
4. 1 – Objetivos do Capítulo.....................................................................................................54 4. 2 – Introdução.......................................................................................................................54 4. 3 – Definição de Espaço Vetorial .........................................................................................56 I) Definição da Operação de Adição de Vetores ......................................................................56 II) Definição da Operação Produto Escalar com Vetores.........................................................57 III) Definição da Operação Produto Interno de Vetores...........................................................57 IV) Definição da Operação Produto Externo de Vetores .........................................................58 V) Definição da Operação Produto Tensorial de Vetores ........................................................59 4. 4 – Geradores e Sub-Espaço Vetorial...................................................................................60 4.4.1 – Geradores......................................................................................................................60 4. 5 – Dependência Linear........................................................................................................61 4.5.1 – Dependência e Indepedência Linear.............................................................................61 4.5.2 - Dimensão de um K-espaço vetorial. .............................................................................62 4. 6 – Base de um K-espaço Vetorial .......................................................................................63 4.6.1 - Corolário – 1 .................................................................................................................63 4.6.2 – Mudança de Base..........................................................................................................64 4.6.3 – Transformações de Coordenadas..................................................................................67 4. 7 – Espaço Euclidiano ..........................................................................................................69 4.7.1 – Produto Escalar.............................................................................................................69 4.7.2 – Ortogonalidade .............................................................................................................69 Teorema 1.1 .............................................................................................................................70
Prova ...................................................................................................................................70
Teorema 1.2 .............................................................................................................................70
4.7.3 – Desigualdade de Cauchy-Schwartz ..............................................................................71 4. 8 – Bases Recíprocas ............................................................................................................72 4.8.1 – Observação importante .................................................................................................73 4. 9 – Bases Ortonormais..........................................................................................................75 4. 10 – ................................................................................................................................76 4. 11 – Processo de Diagonalização de Gram-Schmidt...........................................................77 4. 12 – Operadores Lineares ....................................................................................................80 4.12.1 - Definição .....................................................................................................................80
9
4. 13 – Auto-Valores e Auto-Vetores.......................................................................................89 4. 14 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................96 4. 15 – Exercícios e Problemas.................................................................................................97 Capítulo – V .............................................................................................................................98 ESPAÇO TENSORIAL LINEAR...........................................................................................98
5. 1 –Introdução........................................................................................................................98 5. 2 – Definição de Tensores ....................................................................................................99 5.2.1 - Formas Funcionais Lineares..........................................................................................99 5. 3 – Cálculo Tensorial de Funções ......................................................................................101 5. 4 – Aplicação a Redes-Neurais Matemáticas .....................................................................102 5. 5 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................103 5. 6 – Exercícios e Problemas.................................................................................................104 Capítulo – VI ..........................................................................................................................105 ESPAÇO VETORIAL DE FUNÇÕES .................................................................................105
6. 1 –Introdução......................................................................................................................105 6. 2 – Definição de Espaço Vetorial de Funções ou Espaço Funcional Linear ......................106 6.2.1 – Equivalência entre o Operador Matricial e o Operador Funcional no Espaço de Funções ..............................................................................................................................108 6.2.2 – Notação de Dirac ........................................................................................................109 6.2.3 – Propriedades do Espaço de Funções...........................................................................110 6. 3 –Transformações de Coordenadas...................................................................................111 6. 4 – Ortogonalidade e Espaço Dual de Funções ..................................................................112 6. 5 – Operadores Lineares, Matrizes e Transformações Lineares.........................................113 6.5.1 – Operadores no Espaço de Funções .............................................................................113 6.5.2 – Operadores Lineares no Espaço de Funções ..............................................................116 6.5.3 – Operadores, Auto-vetores e Auto-valores no Espaço de Funções .............................117 6.5.4 – Multiplicação de Operadores no Espaço de Funções .................................................117 6. 6 – Mudança de Base para funções ....................................................................................121 6. 7 – Transformação de Funções...........................................................................................122 6. 8 – Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt ..........................................................123 6. 9 – Auto-Funções e Auto-Valores ......................................................................................124 6. 10 – Operadores Hermitianos e seus auto-valores .............................................................126 6.10.1 - Ortogonalidade das Auto-funções que pertencem a auto-valores diferentes. ...........128 6. 11 – Espaço das Funções Quadráticas L2 ...........................................................................129 6. 12 – Serie de Funções Ortogonais ......................................................................................130 6. 13 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................131 6. 14 – Exercícios e Problemas...............................................................................................132 Capítulo – VII.........................................................................................................................133 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ..133
7. 1 – Introdução.....................................................................................................................133 7. 2 – Funções Pares e Ímpares ..............................................................................................134 7.2.1 - Operações com funções pares e ímpares.....................................................................135 7.2.2 - Teorema.......................................................................................................................135 7.2.3 - Integral de funções pares e ímpares: ...........................................................................136 7. 3 – Funções Periódicas .......................................................................................................137 7.3.1 – Teorema de Bloch.......................................................................................................137 7. 4 – Cálculo em RN ..............................................................................................................138 7.4.1 - Conectividade..............................................................................................................138 7.4.2 - Pontos Limítrofes ........................................................................................................138
10
7.4.3 - Derivadas Parciais .......................................................................................................138 7.4.4 - Exemplo ......................................................................................................................139 7.4.5 – Série de Taylor no RN .................................................................................................139 7. 5 – Funções Implícitas ........................................................................................................141 7.4.1 –Teorema da Função Implicita ......................................................................................141 7.4.2 - Caso Multivariado .......................................................................................................143 Análogo para n dimensões......................................................................................................145 Ex. Sistema de Coordenadas Polares......................................................................................147 Solução ..............................................................................................................................147 7.4.3 – Teorema dos Extremos ...............................................................................................150 7. 6 – Problemas de Máximo e Mínimo com Vínculo ...........................................................151 7.5.1 – Método de Lavenberg-Marquardt...............................................................................151 7.5.2 – Método dos Multiplicadores de Lagrange ..................................................................152 7.5.3 – Exemplo......................................................................................................................154 7. 7 – Regra de Derivação de Leibnitz ...................................................................................155 7.6.1 - Exemplos.....................................................................................................................158 7. 8 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................159 7. 9 – Exercícios e Problemas.................................................................................................160 Capítulo – VIII .......................................................................................................................161 CURVAS SUPERFÍCIES E VOLUMES .............................................................................161
8. 1 - Introdução .....................................................................................................................161 8. 2 –Diferenciação de funções escalares ...............................................................................162 8. 3 – Diferenciação de vetores ou funções vetoriais ............................................................163 8.3.1 - Cálculo do Comprimento de Arco ..............................................................................164 8.3.2 - Cálculo da variação da Função R
ao longo de um comprimento de arco .................165
8. 4 – Integral de linha de funções escalares e vetoriais.........................................................167 8.4.1 – Integral de linha de funções escalares ........................................................................167 8.4.2 – Integral de linha de funções vetoriais .........................................................................168 8.4.3 - Cálculo do Comprimento de Arco ..............................................................................171 8.4.4 - Cálculo de Área...........................................................................................................172 8.4.5 - Cálculo de Volume......................................................................................................173 8. 5 – Integral de superfície de funções escalares e vetoriais .................................................174 8.5.1 – Integral de superfícies de funções escalares ...............................................................174 8.5.2 – Integral de superfície de funções vetoriais .................................................................175 8.5.3 - Cálculo do Comprimento de Arco ..............................................................................178 8.5.4 - Cálculo de Área...........................................................................................................179 8.5.5 - Cálculo de Volume......................................................................................................180 8. 6 – Integral de volume de funções escalares e vetoriais.....................................................181 8.6.1 – Integral de volume de funções escalares ....................................................................181 8.6.2 – Integral de volume de funções vetoriais .....................................................................182 8.6.3 - Cálculo do Comprimento de Arco ..............................................................................185 8.6.4 - Cálculo de Área...........................................................................................................186 8.6.5 - Cálculo de Volume......................................................................................................187 8. 7 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................188 8. 8 – Exercícios e Problemas.................................................................................................189 Capítulo – IX ..........................................................................................................................190 TEORIA DO CAMPO ESCALAR E VETORIAL E TENSORIAL DE FUNÇÕES...........190
9. 1 - Introdução .....................................................................................................................190 9. 2 - Gradiente de um Campo Escalar e Vetorial ..................................................................191
11
9.3.1 – Análise e Interpretação do Vetor Gradiente ...............................................................193 9.3.1 – Derivada Direcional....................................................................................................193 9.3.1 - Interpretação do Gradiente ..........................................................................................195 9.3.1 – Vetor normal a um ponto sobre uma superfície .........................................................198 9. 3 - Divergente de um Campo Vetorial e Tensorial............................................................200 9.2.1 - Interpretação do Divergente ........................................................................................203 9. 4 – Rotacional de um Campo Vetorial e Tensorial ............................................................204 9. 5 – Teorema da Divergência ou de Gauss ..........................................................................205 9.5.1 - Em 1D .........................................................................................................................205 9.5.2 - Aplicação.....................................................................................................................205 9. 6 – Identidades de Green ....................................................................................................208 9. 7 – Teorema de Stokes........................................................................................................209 9. 8 – Teorema de Green ........................................................................................................211 9. 9 – Campos Irrotacionais....................................................................................................212 9. 10 – Teorema Equivalentes ................................................................................................213 9. 11 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................214 9. 12 – Exercícios e Problemas...............................................................................................215 Capítulo – X ...........................................................................................................................216 SEQUÊNCIAS, SÉRIES DE FUNÇÕES E SUAS TRANSFORMADAS ..........................216
10. 1 -Introdução ....................................................................................................................216 10. 2 - Definição de Seqüências, Séries e Transformadas de Funções...................................217 10. 3 – Seqüência e Sériede e Transformadas de Funções Ortogonais ..................................218 10.3.1 - Sequência de Funções Ortogonais.............................................................................218 10.3.2 - Serie de Funções Ortogonais.....................................................................................219 10.3.3 - Transformada de Funções Ortogonais ......................................................................220 10. 4 - Série e Transformada de Potência...............................................................................221 10. 5 - Série e Transformada de Laplace ................................................................................222 10. 6 - Série e Transformada de Gauss...................................................................................223 10. 7 - Série e Transformada de Fourier .................................................................................224 10.7.1 - Série de Fourier .........................................................................................................224 10.7.2 – Integral de Fourier ....................................................................................................226 10.7.3 – Transformada de Fourier ..........................................................................................228 10.7.4 – Propriedades da Transformada de Fourier ...............................................................231 10. 8 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................232 10.8.1 - Exemplo – 1 .............................................................................................................232 10.8.2 - Exemplo – 2 ..............................................................................................................233 Solução ..............................................................................................................................233 10.8.3 - Exemplo – 3 ..............................................................................................................236 10.8.4 - Exemplo - 4 ...............................................................................................................238 10. 9 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................241 10. 9 - Exercícios e Problemas ...............................................................................................242 Capítulo – XI ..........................................................................................................................243 INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ............................................................243
11. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................243 11. 2 - Introdução ...................................................................................................................243 11. 3 – Equações Diferenciais, Definição e Classificação .....................................................244 11.3.1 – Definição de Equações Diferenciais.........................................................................244 11.3.2 – Classificação das Equações Diferenciais..................................................................245 11. 4 – Propriedades das Equações Diferenciais ....................................................................249
12
11.4.1 – Existência e Unicidade das Soluções........................................................................249 11.4.2 - Exemplos...................................................................................................................250 11.4.3 – O Problema de Valor Inicial .....................................................................................251 11. 5 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................253 11. 6 – Exercícios e Problemas...............................................................................................254 Capítulo – XII.........................................................................................................................255 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES ...............................................255
12. 1 – Introdução...................................................................................................................255 12. 2 - Equações Diferenciais Ordinárias Lineares ................................................................256 12.2.1 - Exemplos...................................................................................................................257 12. 3 - Propriedades das Equações Diferenciais Ordinárias Lineares e Homogêneas ...........258 12.3.1 - Teorema.....................................................................................................................259 12. 4 - Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes e Variáveis...............260 12. 5 - Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente Constantes .............................261 12.5.1 – Metodologia de Solução das Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente Constantes ..............................................................................................................................263 12.5.2 – Solução de algumas das Equações Diferenciais Elementares ..................................265 12.5.3 – Solução Geral, Solução Particular, Teorema Estratégico.........................................271 12.5.4 – Equação Diferencial a partir da Solução Geral ........................................................272 12.5.5 – Teorema Estratégico .................................................................................................274 12. 6 - Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente VariáveisErro! Indicador não definido. 12.6.1 – Metodologia de Solução das Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente Variáveis ..............................................................................................................................308 12. 7 - Problemas que surgem E.D.O. Lineares de 1ª Ordem ................................................285 12.7.1 – Problema Geométrico ...............................................................................................285 12.7.2 – Problema Químico....................................................................................................286 12.7.3 – Problemas Físicos .....................................................................................................287 12. 8 - Algumas Importantes Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem.......................290 12.8.1 – O Movimento Harmônico Simples (MHS) ..............................................................290 Solução ..............................................................................................................................292 12.8.2 – MHS com Movimento Vertical ................................................................................301 12.8.3 – Oscilador Harmônico Forçado .................................................................................304 12.8.4 – O Movimento de um Pêndulo Simples.....................................................................305 12.8.5 – Circuito Elétrico RLC...............................................................................................306 12. 9 - Método das Funções de Green ....................................................................................309 12. 10 - Equações de Sturm-Liouville ....................................................................................310 12.10.1 - Teorema - 1 .............................................................................................................311 Prova ..............................................................................................................................311 Teorema - 2.............................................................................................................................314 12. 11 - Método de Taylor ......................................................................................................315 12.11.1 – Equação Diferencial de Euler .................................................................................316 12. 12 - Método de Frobëniüs.................................................................................................321 12.12.1 - Teorema de Fucks ...................................................................................................322 12. 13 - Equações, Polinômios e Funções Especiais que são Soluções de Equações Diferenciais.............................................................................................................................323 12.13.1 - Função de Hipergeométrica ....................................................................................323 12.13.2 - Equações, Polinômios e Funções de Lagrange .......................................................324 12.13.3 - Equações, Polinômios e Funções de Legendre .......................................................325 12.13.4 - Equações, Polinômios e Funções de Laguerre ........................................................326
13
12.13.5 - Equações, Polinômios e Funções de Hermite .........................................................327 12.13.6 - Equações, Polinômios e Funções de Gauss.............................................................328 12.13.7 - Equações, Polinômios e Funções de Laplace.........................................................329 12.13.8 - Equações, Polinômios e Funções de Bessel ............................................................330 12.13.9 - Fórmula de Rodrigues para a Função de Bessel .....................................................336 12.13.10 - Fórmula Integral para a Função de Bessel ............................................................338 12. 14 – Exemplos e Aplicações.............................................................................................339 12. 15 - Exercícios e Problemas .............................................................................................340 Capítulo – XIII .......................................................................................................................341 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES.....................341
13. 1 - Introdução ...................................................................................................................341 13. 2 - Definição de Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares ........................342 13. 3 -Aplicação do Problema de Auto-Valor na Solução de Sistemas de Equações Diferenciais.............................................................................................................................343 13.3.1 - O Pêndulo Simples ...................................................................................................343 13.3.2 - O Modelo de Lotka-Volterra....................................................................................348 13.3.3 - O Sistema de Massas e Molas Acopladas .................................................................353 13. 4 - Matrizes Simétricas (AT = A)......................................................................................356 13.4.1 - Teorema.....................................................................................................................357 Prova: ..............................................................................................................................357 13. 5 - Solução de Auto-Valores de Equações Diferenciais Não-Homogêneas.....................358 13. 6 - Diagonalização ............................................................................................................360 13.6.1 - Teorema.....................................................................................................................361 Prova ..............................................................................................................................361 13.6.2 – Exemplo: Cinética Química......................................................................................363 13.6.3 – Exemplo: Sistema Mecânico ....................................................................................365 13. 7 - Formas Quadráticas.....................................................................................................367 13.7.1 – Exemplo:...................................................................................................................368 13.7.2 – Definição ..................................................................................................................369 13.7.3 – Teorema ....................................................................................................................369 13.7.4 – Exemplo – 4 (Flambagem) .......................................................................................369 13. 8 – Exemplo e Aplicações ................................................................................................371 13. 9 – Exercícios e Problemas...............................................................................................372 Capítulo – XIV .......................................................................................................................373 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS....................................................................373
NÃO-LINEARES..................................................................................................................373
14. 1 - Introdução ...................................................................................................................373 14. 2 - Equações Diferenciais Não-Lineares ..........................................................................374 14. 3 – Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª Ordem...........................................375 14.3.1 - Caso - 1 .....................................................................................................................375 14.3.2 - Caso - 2 .....................................................................................................................376 14.3.3 - Caso - 3 .....................................................................................................................377 14.3.4 - Caso – 4.....................................................................................................................378 14. 4 - Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem .............................................................379 14. 5 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................385 14. 6 – Exercícios e Problemas...............................................................................................386 Capítulo – XV.........................................................................................................................387 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...................................................................387
14
ORDINÁRIAS NÃO-LINEARES ........................................................................................387
15. 1 - Introdução ...................................................................................................................387 15. 2 - Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias Não-Lineares......................................388 15. 3 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................389 15. 4 - Exercícios e Problemas ...............................................................................................390 Capítulo – XVI .......................................................................................................................391 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES......................................................391
16. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................391 16. 2 - Introdução ...................................................................................................................391 16. 3 - Equações Diferenciais Parciais ...................................................................................392 16.3.1 – Comentários sobre o Método da Separação de Variáveis ........................................393 Exemplo ..............................................................................................................................393 16. 4 - Equação de Difusão.....................................................................................................395 i) Caso 1D ..............................................................................................................................395 ii) Caso 2D e 3D .....................................................................................................................396 Exemplo ..............................................................................................................................400 Exemplo ..............................................................................................................................402 16. 5 - Equação de Onda.........................................................................................................405 i) Caso 1D ..............................................................................................................................405 Exemplo ..............................................................................................................................410 ii) Caso 2D e 3D .....................................................................................................................412 Solução de D’Alambert ..........................................................................................................412 16. 6 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................415 Solução: ..............................................................................................................................415 Exemplo ..............................................................................................................................415 16. 6 – Exercícios e Problemas...............................................................................................416 Capítulo – XVII......................................................................................................................417 SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES .............................417
17. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................417 17. 2 - Introdução ...................................................................................................................417 17. 3 - Sistema de Equações Diferenciais Parciais Lineares ..................................................418 17. 4 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................419 17. 5 – Exercícios e Problemas...............................................................................................420 Capítulo – XVIII.....................................................................................................................421 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES............................................421
18. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................421 18. 2 - Introdução ...................................................................................................................421 18. 3 - Equações Diferenciais Parciais Não-Lineares.............................................................422 18. 4 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................423 18. 5 – Exercícios e Problemas...............................................................................................424 Capítulo – XIX .......................................................................................................................425 SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES ...................425
19. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................425 19. 2 - Introdução ...................................................................................................................425 19. 3 - Sistema de Equações Diferenciais Parciais Não-Lineares ..........................................426 19. 4 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................427 19. 5 – Exercícios e Problemas...............................................................................................428 Capítulo – XX.........................................................................................................................429
15
TEORIA GERAL DAS DISTRIBUIÇÕES ..........................................................................429
20. 1 - Objetivos do Capítulo .................................................................................................429 20. 2 - Introdução ...................................................................................................................429 20. 3 - Teoria Geral das Distribuições....................................................................................430 20. 4 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................431 20. 5 – Exercícios e Problemas...............................................................................................432 Referências Bibliográficas......................................................................................................433 Apêndices ...............................................................................................................................434 A. 1 – Estudo de Somatórios ..................................................................................................434 A. 2 – Estudo de Produtórios..................................................................................................435 A. 3 – Estudo da Relação entre Somatórios e Produtórios.....................................................436 Anexos .................................................................................................................................437 An. 1 – Título do seu primeiro Anexo....................................................................................437
16
Lista de Figuras
Figura - 4. 1. .............................................................................................................................77 Figura - 4. 2. .............................................................................................................................77 Figura - 4. 3. .............................................................................................................................77 Figura - 4. 4. .............................................................................................................................78 Figura - 4. 5. .............................................................................................................................82 Figura - 4. 6. .............................................................................................................................91 Figura - 7. 1 ............................................................................................................................134 Figura - 7. 2 ............................................................................................................................134 Figura - 7. 3 ............................................................................................................................137 Figura - 7. 4 ............................................................................................................................138 Figura - 7. 5 ............................................................................................................................147 Figura - 8. 1 ............................................................................................................................163 Figura - 9. 1. Região B do volume envolvido por uma superfície S atravessado por um campo de temperaturas u....................................................................................................................191 Figura - 9. 2. ...........................................................................................................................194 Figura - 9. 3. ...........................................................................................................................195 Figura - 9. 4. ...........................................................................................................................196 Figura - 9. 5. ...........................................................................................................................197 Figura - 9. 6. Superfície ,z f x y em um sistema de coordenadas cartesianas. ...............198 Figura - 9. 7. Região B do volume envolvido por uma superfície S atravessado por um campo de velocidades v . ...................................................................................................................200 Figura - 9. 8. ...........................................................................................................................202 Figura - 9. 9. ...........................................................................................................................202 Figura - 9. 10 ..........................................................................................................................210 Figura - 10. 1 ..........................................................................................................................232 Figura - 10. 2 ..........................................................................................................................233 Figura - 10. 3 ..........................................................................................................................236 Figura - 10. 4 ..........................................................................................................................238 Figura - 10. 5 ..........................................................................................................................238 Figura - 11. 1.Problema de uma viga bi-apoiada e flexionada sobre seu próprio peso. .........245 Figura - 11. 2 ..........................................................................................................................287 Figura - 11. 3. Oscilador Harmônico simples.........................................................................291 Figura - 11. 4 ..........................................................................................................................306 Figura - 11. 5 ............................................................................. Erro! Indicador não definido. Figura - 11. 6 ..........................................................................................................................395 Figura - 11. 7 ..........................................................................................................................401 Figura - 11. 8 ..........................................................................................................................402 Figura - 11. 9 ..........................................................................................................................405 Figura - 11. 10 ........................................................................................................................412 Figura - 12. 1. ............................................................................ Erro! Indicador não definido. Figura - 12. 2. .........................................................................................................................344 Figura - 12. 3. .........................................................................................................................345 Figura - 12. 4. .........................................................................................................................350 Figura - 12. 5. .........................................................................................................................352
17
Figura - 12. 6. .........................................................................................................................353 Figura - 12. 7. .........................................................................................................................356 Figura - 12. 8. .........................................................................................................................365 Figura - 12. 9. .........................................................................................................................369
24
Capítulo – I
INTRODUÇÃO
1. 1 – Apresentação do curso
A matemática é uma ciência abrangente e pode ser unificada em uma visão
estruturada dependendo de sua utilização em outras áreas da ciência. Os capítulos deste texto
seguem a seqüência mais conveniente para o estudo dos tópicos importantes para um curso de
matemática voltado para aplicações em Física e Engenharia. Ele corresponde a um curso de
Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais para ser utilizado em
Física e em Engenharia de uma forma geral. Ele é resultado das anotações de aulas de várias
disciplinas de matemática como, por exemplo, daquelas de um curso de Bacharelado em
Física, realizado no Instituto de Física de São Carlos da Universidade de São Paulo durante o
período de 1980 a 1990. Entre outras anotações de aulas, constam também aquelas de um
curso de Pós-Graduação em Métodos Numéricos para a Engenharia, realizado na
Universidade Federal do Paraná durante o período de 2006 a 2009.
O curso de Álgebra Linear envolve vetores, matrizes, tensores e funções. Estas
abordagens são isomorfas e poderiam ser incluídas em uma única Teoria de Grupos
Matemáticos para estudantes mais avançados sobre o assunto, assim como o cálculo também
poderia envolver o estudo geral de Cálculo de Variedades Matemáticas. Por outro lado, nós
apresentamos aqui a cada capítulo o desenvolvimento sistemático de cada parte da álgebra
linear com suas conseqüentes generalizações como um forma de produzir a fixação dos
conceitos a cada vez que eles são reutilizados em uma sistematização matemática mais
abrangente partindo da álgebra e do calculo vetorial até a álgebra e o calculo de tensores.
25
1. 2 – Introdução a Álgebra e a Teoria de Grupos Algébricos
Uma álgebra é definida a partir de uma operação fundamental e de propriedades
básicas concernentes a esta operação dentro de um conjunto previamente estipulado,
conforme mostra-se abaixo:
Usaremos a notação de Dirac para os elementos i, do espaço algébrico que no
nosso caso tanto pode ser vetores como funções.
ket: (vetor ou função) (1. 1)
No caso do ente abstrato chamado ket for um vetor chamaremos de Espaço Vetorial e no caso
de ser uma função chamaremos de Espaço Funcional.
Seja E um conjunto de ket’s e seja K um campo de escalares do espaço algébrico
linear, onde está definida uma operação de adição, ou seja, E é aditivo, isto é, existe uma
operação E x E E tal que:
EEE , (1. 2)
Satisfazendo os seguintes axiomas fundamentais:
i) um elemento simétrico E /
E 0 (1. 3)
ii) Definição do produto interno do espaço algébrico
KEE
EEE
EEE
T
T
,),(
,),(
),(
(1. 4)
(onde * é o complexo conjugado de para vetores formados por números complexos e
no caso particular para números reais temos * ) com qualquer um dos elementos de
E.
iii) um elemento neutro da operação fundamental, 0 E /
Ee 000 (1. 5)
26
Ee 000
iv) um elemento inverso 1
e um elemento unitário, 1 E /
Ee 11 11 (1. 6)
Diz-se então que E é um K-espaço vetorial em relação a essas operações se as
seguintes condições estiverem satisfeitas em que esteja definida uma operação entre os
elementos de K e os elementos de E (chamada de multiplicação por um escalar)
EEK ),( (1. 7)
O espaço vetorial é chamado de complexo ou real dependendo se os escalares são
só números complexos ou só números reais.
27
Capítulo – II
SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a origem da problemática de um sistema de equações e
os métodos de solução mais importantes. Veremos suas características principais e
propriedades. Estaremos interessados no final deste texto em utilizar os conhecimentos
adquiridos neste capítulo na resolução de um sistema de equações diferenciais. No final
introduziremos o conceito de matrizes que será a deixa para uma abordagem mais completa
no capítulo seguinte.
2. 1 – Introdução
Um sistema algébrico nasce como uma extensão natural de uma equação algébrica
onde o número de variáveis envolvidas cresce de um para dois, três, etc. Neste sentido nasce
também o conceito intuitivo de matrizes que será visto no capítulo seguinte. A maneira de se
estudar os sistemas algébricos pode ser feito de diversas formas. Pode-se definir inicialmente
o que seja uma matriz de números e inserir este conceito dentro do sistema de equações, ou
pode-se começar com a noção de sistema de equações e extrair o conceito de matriz. Nós
optaremos pela segunda forma por acharmos mais intuitivo e seguro para o aprendizado em
linha ascendente de raciocínio e dificuldade, sem dá pulos nem quedas na linha de raciocínio
lógico.
28
2. 2 – Definição de um Sistema de Equações
Define-se um sistema algébrico de equações como sendo o conjunto de equações
com várias variáveis do tipo:
nmnmnn
mm
mm
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
....:
........
221
22222121
11212111
(2. 1)
O qual pode ser colocado na forma de matriz como:
nmnmnn
m
m
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
::..
::::....
2
1
2
1
21
22221
11211
(2. 2)
31
Capítulo – III
MATRIZES
RESUMO
Neste capítulo veremos a teoria elementar de matrizes, sua aplicação na álgebra
linear e em problemas práticos que envolvem sistemas de equações lineares. Veremos a
propriedades e os tipos de matrizes e os teoremas fundamentais da álgebra das matrizes.
3. 1 – Introdução
O conceito de matriz pode ser extraído de várias formas: a partir de sistemas de
equações ou a partir de uma extensão de vetores sob o ponto de vista do estudo genérico de
tensores. No que diz respeito a este capítulo não interessa muito qual é a sua origem, o que
nos importa é conhecer suas operações e propriedades fundamentais para daí ser utilizados em
estudos posteriores.
32
3. 2 – Definição de uma Matriz
A representação matricial de números ou operações decorre de sistemas
algébricos (múltiplas operações) lineares.
Uma matriz é um conjunto de números, indexados em linhas e colunas e dispostos
em uma tabela retangular da seguinte forma:
A =
nxmnmnn
m
m
aaa
aaaaaa
..:..::::::
..
..
21
22221
11211
(3. 1)
As matrizes são usadas para representar múltiplas operações lineares da álgebra.
O arranjo horizontal do tipo 1 2 ..i i ina a a da matriz A, chamamos de linha
de A e ao arranjo na vertical como
1
2
:
j
j
nj
aa
a
chamamos de colunas de A. Os elementos aij são os
elementos da matriz que ocorrem na i’ésima linha e na j’ésima coluna simultaneamente.
A dimensão da matriz é dada por n x m, onde n é o número de linhas da matriz e
m é o número de colunas.
Quando n = m dizemos que a matriz é quadrada, ou seja:
Matriz A =
nxnnnnn
n
n
aaa
aaaaaa
..::::
..
..
21
22221
11211
(3. 2)
e se n é diferente de m (m n) dizemos que a matriz é retangular. De um modo geral, uma
matriz genuina A, do tipo n x m, onde os elementos ija , podem ser representados da
seguinte maneira:
33
Matriz A =
nxmnmnn
m
m
aaa
aaaaaa
..:..::::::
..
..
21
22221
11211
(3. 3)
A partir desta úlimas duas definições podemos ter:
3.2.1 - Matriz Linha
Chamamos de matriz linha a uma matriz que possui apenas uma única linha.
Neste caso m = 1.
Matriz Linha A = xninii aaa 121 .. (3. 4)
3.2.2 - Matriz Coluna
Chamamos de matriz coluna a uma matriz que possui apenas uma única coluna.
Nest caso n = 1.
Matriz Coluna A =
1
2
1
:
nxnj
j
j
a
aa
(3. 5)
A operação que transforma uma linha “k” qualquer de uma matriz em uma coluna
correspondente ao mesmo índice de linha “k” chama-se “transposição”. Logo a matriz
transposta de A, ou seja, AT é dada por:
nxnnnnn
n
n
T
aaa
aaaaaa
A
..::::
..
..
21
22212
12111
(3. 6)
34
3.2.3 - Diagonal Principal
Chamamos de diagonal principal de uma matriz A qualquer, ao conjunto
ordenado de elementos da matriz A, cujos índices “i”são iguais aos índices “j”, ou seja:
Diagonal Principal de A = nnaaa ...2211 (3. 7)
Onde j = 1, 2, 3, ....n. ou seja:
{aij A/ i = j = nnaaa ...2211 (3. 8)
Vemos, portanto, que a operação de transposição aplicada a uma matriz A
qualquer não altera os elementos da diagonal principal da matriz transposta em relação a
matriz original. Para a definição de uma diagonal principal a matriz tem de ser quadrada.
3.2.4 - Diagonal Secundária
Chamamos de diagonal secundária ao conjunto ordenado de elementos, cuja soma
dos índices i + j = n + 1, ou seja:
Diagonal Secundária de A = nnnn aaaa 123121 ... (3. 9)
onde j = 1, 2, 3, ....n.
Para matrizes formadas por números complexos podemos definir uma operação
com matrizes chamada de “conjugação” representada pelo símbolo asterisco (), onde vale a
relação A* = -A para número complexos puros ficando o caso particular A* = A para os
número reais.
complexo conjugado de um número
35
3. 3 – Espaço Algébrico das Matrizes
Definimos o espaço m nK ao espaço de toda matriz do tipo n x m. Seja A uma
matriz qualquer, com elementos do tipo Aij, onde os índices i e j representam as linhas e as
colunas respectivamente, onde se encontra o elemento no arranjo matricial.
3.3.1– Igualdade de Matrizes
Dadas duas matrizes A e B Kmxn dizemos que A = B se e somente todo
elemento da i’ésima linha e da j’ésima coluna de A for correspondentemente igual ao
elemento da i’ésima linha e da j’ésima coluna de B, ou seja:
A = B aij = bij (3. 10)
36
3. 4 – Operações Simétricas com Matrizes
Chamamos de operações simétricas em matrizes, as operações cuja inversa é a
própria operação aplicada inicialmente a uma matriz.
Seja A uma matriz qualquer, com elementos do tipo Aij, onde os índices i e j
representam as linhas e as colunas respectivamente, onde se encontra o elemento no arranjo
matricial.
1) Operação de Transposição
AT (Matriz Transposta) (Aij)T = Aji (3. 11)
2) Operação de Conjugação
A* (Matriz Complexa Conjugada) (Aij)* = A*iji (3. 12)
Nesta operação troca-se os números imaginários puros dos elementos da matriz de i por i .
Sendo o complexo conjugado de um número Real igual ao próprio número, *a a a R
3) Operação de Aadjunção
A+ (Matriz Adjunta) (Aij)+ = A*ji (3. 13)
Esta operação é a operaçào composta pela conjugação e transposição.
Prova-se que:
(AT)* = (A*)T (3. 14)
Da seguinte forma:
((Aij) T)* = (Aji)*= A*ji (3. 15)
e
((Aij)*)T = (A*ji)T = A*ij (3. 16)
4) Operação de Paridade (ou Reflexão)
A (Matriz Imagem de A) (Aij) = -Aij (3. 17)
5) Operação de Inversão
A-1 (Matriz Inversa de A) (Aij)-1 ≠ A-1ij (3. 18)
A operação de inversão so vale para matrizes não-singulares quadradas. E (Aij)-1 = A-1ij
somente para matrizes diagonais.
38
3. 6 – Definição de Operações Algébricas com Matrizes
Sejam A e B duas matrizes pertencente a Kmxn, tal que:
i) Operação de Adição
Sejam duas Matrizes A e B Knxm, define-se a operação de Adição de Matrizes
como sendo dada por uma matriz S Knxm tal que:
S = (A + B) = A + B (3. 19)
ou em notação indicial, como:
Sij = ijijij BABA (3. 20)
ii) Operação de Produto Escalar de Matrizes
Sejam duas Matrizes A e B define-se a operação de Produto Escalar de Matrizes
como:
A.B = (A.B) (3. 21)
ou em notação indicial, como:
ljilijij BABA . (3. 22)
iii) Operação de Produto Diádico de Matrizes
Sejam duas Matrizes A e B define-se um Produto Diádico de Matrizes a operação:
AB = (AB) (3. 23)
ou em notação indicial, como:
ijijijijijij BAABBAAB (3. 24)
iv) Multiplicação por um escalar
Seja uma Matriz A define-se a operação de multiplicação de um escalar, por
uma Matriz como:
(A) =.A (3. 25)
ou em notação indicial, como:
ijij AA . (3. 26)
39
3. 7 – Propriedades do Espaço de Matrizes
As operações com matrizes determinam um espaço vetorial linear pois satisfazem
ao conjunto de condições estabelecidas por um espaço vetorial. O espaço de matrizes satisfaz
as seguintes propriedades algébricas, para toda Matriz A,B Knxm:
i) Comutativa
A + B = B + A (3. 27)
Prova
ijijijijijij ABABBABA )( (3. 28)
ii) Associativa
A + (B + C) = (A + B) + C (3. 29)
Prova
ijijijijijijij CBACBACBA (3. 30)
iii) uma matriz 0 EMatrizes /
A + 0 = A A EMatrizes (3. 31)
Prova
ijijij AAA 00 (3. 32)
iv) uma matriz -A EMatrizes /
A + (-A) = 0 A EMatrizes (3. 33)
Prova
ijijijij AAAA )0()( (3. 34)
v) Distribuitiva do escalar
(A + B) = A + B (3. 35)
ijijijijij BABABA (3. 36)
vi) Distribuitiva da Matriz com escalar
40
( + )A = A + A (3. 37)
Prova
ijijij AAA (3. 38)
vii) Distribuitiva de Matriz com Matriz
A(B + C) F = ABF + ACF (3. 39)
Prova
ijijijijijijijijijijij
ijijijijijijij
FCAFBAFCFBA
FCBAFCBA
(3. 40)
viii) Associativa do produto de matrizes
(A. B).C = A.(B.C) = A.B.C (3. 41)
Prova
ljilkjlkilkjlkilijlkilijij BCACBACBACBACAB (3. 42)
ix)
(3. 43)
x) Transposição do produto de matrizes
A.B = (B.A)T = B T .AT (3. 44)
Prova
Tijijjijilijlljilijij ABABABBABA ... (3. 45)
xi) Transposto de multiplicações sucessivas vale:
ABCD...Z = (Z…DCBA)T = Z T ... DT C T AT (3. 46)
41
3. 8 – Operações Singulares com Matrizes e Invariantes das Matrizes
3.8.1 - Definição
Chamamos de Operações Singulares de matrizes as operações as quais só podem
ser definidas para a representação matricial de quantidades.
3.8.2 - Invariante 1 – Operação de Traço de uma Matriz
O traço de uma matriz é definido como”
ii
n
iiinxn Atr
1][ AA (3. 47)
Onde n é a ordem da matriz.
nnnn
n
n
ij
aaa
aaaaaa
AA
..::::
..
..
21
22221
11211
(3. 48)
Com as seguintes propriedades.
3.8.3 - Propriedades do Traço de uma Matriz
i) O traço da soma é igual a soma dos traços
][][][ BABA trtrtr (3. 49)
Prova
ijijiiijij trtrBAtr ][][][ BABA (3. 50)
ii) O produto de um escalar pelo traço de uma matriz é igual ao traço da matriz multiplicada
pelo escalar
][][][ BABA trtrtr (3. 51)
Prova
42
ijijiiiiij trtrBAtr ][][][ BABA (3. 52)
iii) O traço de AB é igual ao traço de BA
][][ BAAB trtr (3. 53)
Prova
ijiikkkkiiij trABBAtr ][][ BAAB (3. 54)
iv) O traço de uma matriz é igual ao traço da matriz transposta
Ttrtr ][][ AA (3. 55)
Prova
TTiiii trAAtr ][][ AA (3. 56)
3.8.4 – Invariante 2 - Determinante de uma Matriz
Definição:
Determinante de uma matriz de ordem n é a soma algébrica de todos os produtos
diferentes obtidos com os n2 elementos de uma matriz quadrada, de modo que cada produto
tenha um elemento de cada linha e de cada coluna, afetado do sinal positivo ou negativo
conforme seus elementos pertencerem a permutação par ou ímpar.
A cada matriz associamos um determinante A ou Adet que é um dos
invariantes de A.
O determinante de uma matriz é definido como:
jmenor
n
jj Aa 1
11 ][det]det[
A (3. 57)
Conforme o esquema abaixo:
43
nnn
n
n
n
ij
aa
aa
a
a
aaa
AA
2
222
1
21
11211
:::..
:
..
(3. 58)
usando a própria definição de determinante do menor da matriz A, det[Amenor] iterativamente
para as matrizes menores temos:
jmenor
n
j
n
jjj Aaa 1
1
1
111 ][det]det[
A (3. 59)
Ou iterando sucessivamente temos:
nn
n
j
n
j jjj
n
jjj aaaaa .....]det[
1
2
1
2
111
1
111
A (3. 60)
Se uma matriz é quadrada A é um número qualquer, inclusive zero. Se a matriz é retangular
A é sempre nulo.
Se o determinante da matriz A é nulo ( A =0) a matriz é chamada singular.
Seja uma matriz de n linhas e n colunas. Formando os determinantes de todas as
maneiras possíveis, tomando 1,2, ....,n linhas e colunas da matriz, de todas as maneiras
possíveis, se pelo menos um determinante de ordem r é diferente de zero e se todas os
determinantes de ordem superior são nulos, a matriz é de graduação r. Se a matriz for de
ordem n e singular, r < n. Se Não for singular r = n.
3.8.5 - Propriedades dos Determinantes
i)
]det[]det[]det[]det[ BABAAB (3. 61)
ii)
44
]det[1]det[
1]det[]det[]det[]det[
1
11
AA
IAAAA
(3. 62)
iii)
(3. 63)
iv)
(3. 64)
v)
(3. 65)
3.8.6 – Matriz Inversa
Define-se uma Matriz Inversa de A aquela Matriz cujo produto resulta na Matriz
identidade:
IAA 1 (3. 66)
Onde
1..00::::0..100..01
ijI (3. 67)
A matriz inversa pode ser calculada a partir da matriz A como sendo:
A
Adet
1T
ijCofatorA (3. 68)
onde
menorji
ijCofatorA ]det[.)1( A (3. 69)
para i = 1, 2, 3,...,n e j = 1, 2, 3...n.
45
nnn
n
n
n
ij
aa
aa
a
a
aa
CofatorA
2
222
1
21
11211
:::..
:
..1
(3. 70)
Substituindo (3. 60) em (3. 69) temos:
nn
n
ji jijj
n
jij
jiij aaaaCofatorA ......)1(
2
1,
2
1,11
1
1,1
(3. 71)
Substituindo (3. 60) e (3. 71) em (3. 68) temos:
nn
n
j
n
j jjj
n
jjj
nn
n
ji jijj
n
jij
ji
aaaaa
aaaa
.....
......)1(
1
2
1
2
111
1
111
2
1,
2
1,11
1
1,1
1
A (3. 72)
Observe que o determinante é a soma de todos os produtos possíveis entre dois elementos da
matriz.
46
3. 9 – Tipos de Matrizes
As matrizes são originárias de problemas matemáticos expressos em termos de
sistema algébrico de equações, ou podem ser surgir a partir da descrição de campos tensoriais.
Dependendo do tipo de problema, este origina a partir do seu sistema de equações uma matriz
característica desse problema, como as matrizes de Markov, por exemplo, cuja soma de suas
linha e colunas e sempre igual a unidade. Propriedades específcas como estas são
responsáveis pela definição de diferentes tipos de matrizes, conforme veremos abaixo:
3.9.1 – Matriz Simétrica
Uma matriz é dita simétrica se:
TAA (3. 73)
3.9.2 – Matriz Anti-Simétrica
Por outro lado, uma matriz é dita anti-simétrica se:
TAA (3. 74)
3.9.3 – Matriz Real
Uma matriz é dita ser Real se os números que formam essa matriz forem reais.
Neste caso:
AA * (3. 75)
3.9.4– Matriz Complexa
Uma matriz é dita ser Complexa se os números que formam essa matriz forem
complexos. Neste caso:
* A A (3. 76)
47
3.9.5 – Matriz Imaginária Pura
Por outro lado uma Matriz é dita se imaginária pura se:
AA * (3. 77)
3.9.6 – Matriz Hermitiana
Uma matriz é dita ser Hermitiana se:
AA T (3. 78)
3.9.7 – Matriz Anti-Hermitiana
Por outro lado, uma matriz é dita ser anti-hemitiana se:
AA T (3. 79)
3.9.8 – Matriz Normal
Uma matriz é dita ser normal se:
(3. 80)
3.9.9 – Matriz Ortogonal
Uma matriz é dita ser Ortogonal se:
1 AAT (3. 81)
3.9.10 – Matriz Unitária
Uma matriz é dita ser unitária se:
1 AAT (3. 82)
48
3.9.11 – Matriz Identidade
Uma matriz é dita ser identidade se:
ijij ][A (3. 83)
3.9.12 – Matriz Diagonal
Uma matriz é dita ser diagonal se:
ijiA , i 0 (3. 84)
3.9.13 – Matriz Adjunta
Uma matriz é dita ser adjunta:
Tijadj CofatorAA (3. 85)
3.9.14 – Matriz Transposta
Uma matriz é dita ser transposta:
jiT
ijT AA A (3. 86)
3.9.15 – Matriz Elementar
Uma matriz é dita ser Elementar se:
jkikijE (3. 87)
3.9.16 – Matriz Complexo Conjugado
Uma matriz é dita ser complexo conjugado ser:
(3. 88)
49
3.9.17 – Matriz Associada
Uma matriz é dita ser associada se:
(3. 89)
3.9.18 – Matriz Idempotente
Uma matriz é dita ser idempotente se:
AA n (3. 90)
50
3. 10 – Subdivisão das Matrizes em Bloco de Matrizes Menores
Algumas vezes é necessário subdividir matrizes em submatrizes ou blocos de tal
forma a simplificar cerats relações algébricas de trabalho. Como mpor exemplo se nós
subdivimirmos as matrizes A e B da seguinte forma:
13 14 1511 12
23 24 2521 22
11 12
31 32 33 34 3521 22
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
a a aa aa a aa a
A AA a a a a a A A
a a a a aa a a a a
(3. 91)
E
13 14 1511 12
23 24 2521 22
11 12
31 32 33 34 3521 22
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
b b bb bb b bb b
B BB b b b b b B B
b b b b bb b b b b
(3. 92)
Então A e B tem a forma de matrizes blocos 2 x 2 cujos elementos Aij, Bij são eles mesmos
matrizes. Nós podemos facilmente ver que o correto produto AB resulta se as matrizes blocos
são multiplicados de acordo com as regras usuais do produto de matrizes, ou seja:
11 12 11 12 11 11 12 21 11 12 12 22
21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22
A A B B A B A B A B A BAB
A A B B A B A B A B A B
(3. 93)
Observe que todos os produtos matriciais na última matriz fazem sentido. Isto será verdade se
a divisão original de colunas na primeira matriz é a mesma que a divisão de linhas da segunda
matriz. Então vemos que a divisão acima não é adequada para trabalhar o produto de BA em
termos do bloco de matrizes 2 x 2. Existe uma subdivisão diferente de B na qual permitirá
trabalhar ambos os produtos AB e BA?.
51
3. 11 – Álgebra dos Comutadores
Define-se como comutador a seguinte operação entre dois quaisquer operadores
lineares A e B.
BAABBA ],[ (3. 94)
com esta notação as seguintes regras elementares são satisfeitas.
1)
0][],[ AB,BA (3. 95)
Prova:
2)
0],[ AA (3. 96)
Prova:
3)
],[],[],[ CABACBA (3. 97)
Prova:
4)
],[],[],[ CBCACBA (3. 98)
Prova:
5)
],[],[],[ CABCBABCA (3. 99)
Prova:
52
6)
],[],[],[ CBABCACAB (3. 100)
Prova:
7)
]],[,[]],[,[]],[,[ ACBBACCBA (3. 101)
Prova:
8)
C]A][[B,B]A],[[C,C]B],[[A, (3. 102)
Prova:
9)
],[],[ 1 BABBA nn n (3. 103)
Prova:
55
Capítulo – IV
ESPAÇO VETORIAL LINEAR
RESUMO
Neste capítulo será visto a definição de espaço vetorial linear e suas propriedades,
o conceito de base de vetores, transformação de coordenadas, base recíproca, base
ortonormal, angulos de Euler. Apresentaremos também o problema de auto-valores e auto-
vetores.
4. 1 – Objetivos do Capítulo
4. 2 – Introdução
Um vetor pode ser representado algebricamente por uma matriz linha ou por uma
matriz coluna.
nn vvvvvvv ...)....( 21,,3,2,1 (4. 1)
Ou
57
4. 3 – Definição de Espaço Vetorial
Seja E um conjunto de vetores e seja K um corpo de escalares onde está
definida uma operação de adição:
,( , ) T
w E E w Ew E E w K
(4. 3)
(onde *
é o complexo conjugado de
para vetores formados por números complexos e no
caso particular para números reais temos
* ) com qualquer um dos elementos de E, e
que esteja definida uma operação entre os elementos de K e os elementos de E (chamada de
multiplicação por um escalar)
EEKw ),( (4. 4)
Diz-se então que E é um K-espaço vetorial em relação a essas operações se as
seguintes condições estiverem satisfeitas.
I) Definição da Operação de Adição de Vetores
, w E E w E (4. 5)
para essa operação estão definidas as seguintes propriedades
I.i) Comutativa
Eww (4. 6)
I.ii) Associativa
Ewuuwuw )()()( (4. 7)
I.iii) Elemento Neutro da adição
uma vetor 0 E /
E 0 (4. 8)
I.iv) Elemento Simétrico
uma vetor -
E /
E 0)( (4. 9)
58
II) Definição da Operação Produto Escalar com Vetores
EEKw ),( (4. 10)
para essa operação estão definidas as seguintes propriedades:
II.i) Comutativa do Escalar
(4. 11)
II.ii) Associativa de Escalar com Escalar
E )( (4. 12)
II.iii) Elemento Neutro do Escalar
1( ) (4. 13)
II.iv) Distribuitiva do Escalar
Ewww ,)( (4. 14)
II.v) Distribuitiva do Vetor com Escalar
E )( (4. 15)
II.vi) Elemento Nulo do Escalar
0( ) 0 (4. 16)
III) Definição da Operação Produto Interno de Vetores
( , ) Tw E E w K (4. 17)
para essa operação estão definidas as seguintes propriedades
III.i) Comutativa do produto
Eww (4. 18)
III.ii) Associativa do Produto de Vetores
( . ) ( . ) ??u w u w (4. 19)
III.iii) Elemento Neutro do Produto
59
um vetor 1
1 E /
E 1..1 (4. 20)
III.iv) Elemento Inverso
uma vetor 1v E /
E 1. 1 (4. 21)
III.v) Elemento Nulo
um vetor 0
E /
Ee 0.00.0 (4. 22)
III.vi) Transposição do produto de vetores
AB = (BA)T = B T AT (4. 23)
III.vii) Transposto de multiplicações sucessivas vale:
ABCD...Z = (Z…DCBA)T = Z T ... DT C T AT (4. 24)
O espaço vetorial é chamado de complexo ou real dependendo se os escalares são
só números complexos ou só números reais.
IV) Definição da Operação Produto Externo de Vetores
, w E E w W E (4. 25)
para essa operação estão definidas as seguintes propriedades
IV.i) Anticomutativa
w w (4. 26)
IV.ii) Associativa
(4. 27)
IV.iii) Elemento Neutro
(4. 28)
60
IV.iii) Elemento Nulo
0 (4. 29)
V) Definição da Operação Produto Tensorial de Vetores
, w E E w W E (4. 30)
61
4. 4 – Geradores e Sub-Espaço Vetorial
Aqui, nós iniciaremos uma seqüência de idéias estreitamente relacionadas; tais
como, geradores, dependência linear, base, expansão e dimensão. Os conceitos, as definições
e os teoremas são válidos para qualquer espaço vetorial, mas nossos exemplos ilustrativos são
restritos ao espaço n-dimensional Rn, sendo este o caso de maior interesse nos capítulos 9-12.
4.4.1 – Geradores
Se u1, u2, ..., são vetores em um espaço vetorial S, então a série de todas as
combinações lineares destes vetores, isto é, todos os vetores dado pela seguinte forma:
nnuuuuu ....332211 (4. 31)
onde n ,....,, 21 são escalares é chamado de geradores de nuuuu ....,,, 321 e denotado
como geradores de nuuuu ....,,, 321 .
A série nuuuu ....,,, 321 é chamada de série geratriz dos geradores
nuuuu ....,,, 321 .
62
4. 5 – Dependência Linear
A definição da dependência ou independência linear de uma série de vetores é
essencialmente idêntica a definição de dependência ou independência linear de funções
somente com a palavra “funções” mudada para “vetores”.
4.5.1 – Dependência e Indepedência Linear
Definição:
Uma série de vetores 1 2, ,...., nv v v é dita ser linearmente dependente se no
mínimo um deles puder ser expresso como combinação linear dos outros. Se nenhum dos
vetores puder ser assim expresso, então a série é dita ser linearmente independente.
Teorema (Teste para Dependência/Independência Linear):
Seja E um K-espaço vetorial. Diz-se que uma série finita de vetores,
1 2, ,...., nv v v E e linearmente dependente (L.D.) sobre K, se e somente se existirem
escalares, Kn ,....,, 21 , não todos nulos, tais que:
1 1 2 2 3 3.... 0n nv v v v (4. 32)
Observa-se que essa relação é sempre válida se os ’s para i = 1, 2, 3, ...., n são
todos iguais a zero. Se, nesse caso, todos os ’s são nulos, então diz-se que a série de vetores
é linearmente independente (L.I.).
Prova:
63
4.5.2 - Dimensão de um K-espaço vetorial.
Diz-se que um K-espaço vetorial tem dimensão n se este satisfizer ois pincipios
básicos:
i) Existem uma réplica de n vetores linearmente independentes (principio de
ortogonalidade).
ii) (n +1) vetores do conjunto acima são sempre linearmente dependentes
(princípio de completeza).
64
4. 6 – Base de um K-espaço Vetorial
Qualquer conjunto de n-vetores linearmente independentes entre si satisfazendo as
condições acima forma uma base para o K-espaço vetorial de dimensão n.
4.6.1 - Corolário – 1
Qualquer vetor do espaço pode ser representado como combinação linear dos
vetores da base.
Suponhamos um conjunto de n vetores Eeee n ˆ,....,ˆ,ˆ 21 linearmente
independentes formando uma base para o espaço vetorial E de dimensão n. Logo podemos
expressar qualquer vetor v do espaço em termos dos vetores desta base ie
nnexexexexv ˆ....ˆˆˆ 332211 (4. 33)
Chamamos a n’upla ),....,( 21 nxxx de coordenadas do vetor v na base ie
kiexv ˆ (4. 34)
Suponhamos ainda outro conjunto de n vetores linearmente independentes
Eeee n'ˆ,....,'ˆ,'ˆ 21 , formando outra base para o espaço vetorial E. Logo, novamente o vetor
v do espaço E também pode ser expresso em termos da base ie'ˆ da seguinte forma:
nn exexexexv 'ˆ'....'ˆ''ˆ''ˆ' 332211 (4. 35)
Novamente a n’upla )',....','( 21 nxxx são as coordenadas do vetor v na base
je'ˆ (1)
A partir do Corolário – 1 pode-se concluir que também os vetores da base je'ˆ
podem ser expressos em termos da base ie .
1 base ou sistema de coordenadas
65
4.6.2 – Mudança de Base
De forma geral os vetores da base je'ˆ expressam-se me termos dos vetores da
base ie da seguinte forma:
a) ji ee 'ˆˆ
nnnnnnn
nn
nn
nn
eeeee
eeeeeeeeee
eeeee
ˆ....ˆˆˆ'ˆ:
ˆ....ˆˆˆ'ˆˆ....ˆˆˆ'ˆ
ˆ....ˆˆˆ'ˆ
332211
33332231133
23232221122
13312211111
(4. 36)
Escrevendo em termos de somatório temos:
nj
ee k
n
kkjj
,...3,2,1
ˆ'ˆ1
(4. 37)
Os n2 coeficientes kj formam os elementos da matriz de transformação de
coordenadas da base ( ie ) para a base ( je'ˆ ). Normalmente se representa a matriz formada
pelos elementos kj da seguinte forma:
][ kjγ
(ver Teoria de Matrizes)
(4. 38)
É claro que podemos fazer exatamente o oposto ou seja, expressar os vetores da base )ˆ( ie em termos da base )'ˆ( je . Portanto,
a) ij ee ˆ'ˆ
nnnnnnn
nn
nn
nn
eeeee
eeeeeeeeee
eeeee
'ˆ....'ˆ'ˆ'ˆˆ:
'ˆ....'ˆ'ˆ'ˆˆ'ˆ....'ˆ'ˆ'ˆˆ
'ˆ....'ˆ'ˆ'ˆˆ
332211
33332231133
23322221122
13312211111
(4. 39)
Escrevendo em termos de somatório temos:
66
ni
ee r
n
rrii
,...3,2,1
'ˆˆ1
(4. 40)
Novamente os n2 coeficientes ri formam os elementos da matriz de
transformação de coordenadas da base ( je'ˆ ) para a base ( ie ). Da mesma forma se representa
a matriz formada pelos elementos ri da seguinte forma:
][ riβ
(ver Teoria de Matrizes a definição de Matriz Inversa)
(4. 41)
Para se encontrar a relação entre as matrizes βγ e devemos escrever a expressão
(4. 37) da seguinte forma:
k
n
kkr
n
rrir
n
rrii eee ˆ'ˆˆ
111 (4. 42)
como o ri não possui índices inclusos na somatória em k, podemos passá-lo para dentro
desta somatório sem alterar o resultado, sem nenhum problema.
n
rk
n
kkrrir
n
rrii eee
1 11ˆ'ˆˆ (4. 43)
Agora podemos trocar a ordem da somatório e então teremos:
k
n
k
n
rkrrir
n
rrii eee ˆ'ˆˆ
1 11
(4. 44)
Vemos que para os valores de ie e ke coincidirem a fim de que a igualdade acima seja válida é preciso que i seja igual a k logo:
ki
kin
rkrri se 0
se 1
1 (4. 45)
que corresponde ao Delta de Kröenecker, com nki ,....,3,2,1, . Logo
68
4.6.3 – Transformações de Coordenadas
Consideraremos agora um vetor v expresso em termos dos vetores de duas bases
ˆ ˆe 'i je e da seguinte forma:
a) 'i jx x
1
ˆn
i ii
v x e
(4. 48)
e
1
ˆ' 'n
i ii
v x e
(4. 49)
Substituindo a expressão ( ) em ( ) temos:
1 1 1
ˆ ˆ 'n n n
i i i ri ri i r
v x e x e
(4. 50)
Como xi não possui índices inclusos na somatória r, podemos passá-lo para dentro
desta somatória sem alterar o resultado final.
1 1 1
ˆ ˆ 'n n n
i i i ri ri i r
v x e x e
(4. 51)
Agora podemos trocar a ordem da somatórias que não altera o resultado:
1 1
ˆ 'n n
i ri rr i
v x e
(4. 52)
Agora comparando o resultado ( ) com ( ) podemos concluir que, fazendo j = r temos:
1'
n
j i jii
x x
(4. 53)
69
b) ' j ix x
Da mesma forma podemos fazer substituindo a expressão ( ) em ( ):
1 1 1
ˆ ˆ' ' 'n n n
j j j ki kj j r
v x e x e
(4. 54)
Como xi não possui índices inclusos na somatória r, podemos passá-lo para dentro
desta somatória sem alterar o resultado final.
1 1 1
ˆ ˆ' ' 'n n n
j j j kj kj j k
v x e x e
(4. 55)
Agora podemos trocar a ordem da somatórias que não altera o resultado:
1 1
ˆ'n n
j kj rk j
v x e
(4. 56)
Agora comparando o resultado ( ) com ( ) podemos concluir que, fazendo i = k temos:
1'
n
i j ijj
x x
(4. 57)
Comparando ( ) com ( ) e ( ) com ( ) vemos que as coordenadas (ou componentes)
x’j transformam-se diferentemente dos vetores de base ˆ ' je e da mesma forma vemos que as
coordenadas (ou componentes) xi transformam-se diferentemente dos vetores da base ie .
Componentes que se transformam como x’j ou xi são chamadas de componentes
contravariantes do vetor v em relação aos vetores da base ˆ ˆe 'i je e respectivamente.
70
4. 7 – Espaço Euclidiano
Vamos definir aqui importantes noções de produto interno (produto escalar) e de
ortogonalidade
4.7.1 – Produto Escalar
Seja E um espaço vetorial real.
Sejam x, y elementos de E.
Chama-se produto escalar (ou produto interno) de x por y ,x y , qualquer função
definida em E E com valores em satisfazendo as seguintes propriedades:
P1)
, ,x y y x (4. 58)
P2)
, , , , , ,x y z x z y z x y z E (4. 59)
P3)
, , , , ,x y x y x y E (4. 60)
P4)
, 0, , 0 se e somente se 0x x x x x (4. 61)
Uma espaço vetorial real, E, onde está definido um produto escalar é chamado
ëspaço euclidiano real”.
4.7.2 – Ortogonalidade
Definição: Em um espaço euclidiano real, diremos que x é ortogonal a y, em
símbolos, x y se e somente se
, 0x y (4. 62)
Obs:
,0 0, 0x x x (4. 63)
71
Teorema 1.1
Os vetores 1 2, ,..., mv v v tais que:
a)
0, 1,2,....iv i m (4. 64)
b)
, 0 parai jv v i j (4. 65)
São linearmente independentes.
Dito de outro modo: os vetores não nulos 1 2, ,..., mv v v , dois a dois ortogonais, são
sempre linearmente independentes.
Prova
Teorema 1.2
73
4. 8 – Bases Recíprocas
Vamos agora introduzir um conceito básico por meio do qual o problema de
determinar analiticamente os coeficientes (“componentes”) da expansão de um vetor
arbitrário v em termos de uma base ( ie ) tem uma solução simples e elegante. Trata-se do
conceito de base recíproca de uma base dada.
Duas bases ( 321 ,, eee ) e ( 321 ,, eee
) são recíprocas se:
kki iee . (4. 66)
Esta condição implica dizer que 1e é perpendicular a 2e e a 3e , etc, etc. Além disso, de (4.
66) e da definição de produto escalar segue-se que:
1),cos(.. ki
ki eeee (4. 67)
Daí concluímos que 0),cos( ki ee
, i, k = 1,2, 3, ... e que portanto
2),( k
i ee (4. 68)
É fácil construir explicitamente a base recíproca ( 321 ,, eee ) da base ( 321 ,, eee
). Com efeito,
como 1e deve ser perpendicular a 2e e 3e , conclui mos que
321 eeme
(4. 69)
pela definição de produto vetorial. Multiplicando (4. 69) escalarmente por 1e , e usando (4.
66) vem:
mveeemee 3211
11 (4. 70)
De onde tiramos
vm 1 (4. 71)
e
74
321 eeev (4. 72)
Mas 0v porque ( 321 ,, eee ) é base. Levando (4. 72) e (4. 71) em (4. 69) obtemos:
veee 321
(4. 73)
Ou
321
321
eeeeee
(4. 74)
E de modo análogo temos:
321
13132
eeeee
veee
(4. 75)
E
321
21213
eeeee
veee
(4. 76)
Do mesmo modo, a base recíproca de 321 ,, eee é:
321' eeeee
veee
kjkj
i
(4. 77)
Onde i, j, k ~ permutações cíclicas de 1,2,3.
Vê-se assim que a relação “recíproca de ...” é simétrica: A afirmação “ )( ie é
recíproca de ( je )” implica que “( je ) é recíproca de )( ie ”. A cada base ( ie ) está associada, e
de modo único, a base recíproca )( se . Elas são simultaneamente utilizadas na definição das
“componentes” de um vetor, como veremos em seguida.
4.8.1 – Observação importante
(i) No caso de bases ortonormais vê-se facilmente que a base coincide com a sua
recíproca: a recíproca de ( kji ˆ,ˆ,ˆ ) é exatamente ( kji ˆ,ˆ,ˆ ), ou então:
75
kk ii ˆˆ , k = 1, 2, 3, ... (4. 78)
(ii) Como 1'vv (Mostre!), então devemos ter simultaneamente
ou v > 0 e v’< 0 (bases orientadas positivamente) (4. 79)
ou v < 0 e v’< 0 (bases orientadas negativamente) (4. 80)
Vejamos agora como o problema de determinação dos coeficientes da expansão
de um vetor numa dada base se resolve utilizando a base recíproca.
Seja v um vetor e seja ( 321 ,, eee ) uma base. Representamos v por meio da
seguinte expressão:
kkevevevevv 3
32
21
1 (4. 81)
76
4. 9 – Bases Ortonormais
Vamos agora estudar as bases ortonormais, que constituem um caso particular das
bases de vetores mas de grande utilidade prática.
Suponhamos que a base escolhida para representar os vetores do espaço seja
ortonormal, isto é, a base ( Eeee n ˆ,....,ˆ,ˆ 21 ) satisfaz:
ijji ee ˆ.ˆ (4. 82)
Como sabemos, as bases ortonormais são auto-recíprocas, isto é, coincidem com a base
recíproca
77
4. 10 –
Sejam dois sistemas de coordenadas descritos pelos vetores unidades ie e ke'ˆ e
que a relação entre eles seja:
n
kkkii eAe
1ˆˆ (4. 83)
78
4. 11 – Processo de Diagonalização de Gram-Schmidt
Sejam ,,..., 21 nfff
n vetores linearmente independentes formando uma base
para um espaço vetorial de dimensão n. Considere que os ângulos formados pelos vetores
entre si são diferentes de 90º graus, ou seja, esta base não é ortogonal.
Figura - 4. 1.
Queremos encontrar os vetores jf
que ortogonalizam esta base, ou seja,
Figura - 4. 2.
0. // iT
j ff
(4. 84)
Sabemos pela definição de produto escalar de dois vetores que:
cos. ijiT
j ffff
(4. 85)
onde é o ângulo formado pelos vetores. Logo podemos expressar:
Figura - 4. 3.
79
jfiff jjjˆˆ
//
(4. 86)
Ou
jfiff jjjˆsenˆcos
(4. 87)
Portanto,
jff jjˆsen
(4. 88)
Mas podemos escrever a projeção do vetor jf
na direção de if
da seguinte
forma:
iff jjˆcos//
(4. 89)
Da equação ( ) temos que
i
f
fff
i
iT
jj
ˆ.//
(4. 90)
E a direção do versor î é dada por:
i
i
ffi
ˆ (4. 91)
Logo
i
i
i
iT
jj f
ff
fff
.
// (4. 92)
E jf
perpendicular pode ser escrito como
//jjj fff
(4. 93)
Figura - 4. 4.
80
i
i
iT
jjj f
f
ffff
2
. (4. 94)
Realizando esta operação dois a dois para os n vetores da base com i j teremos a
ortogonalização desejada, chamada de processo de Ortogonalização de Gram-Schimidt
Mas sabemos que iT
ii fff
.2 logo podemos escrever a relação geral para o
processo de ortogonalização de Gram-Schimidt da seguinte forma:
i
iT
i
iT
jjj f
ffff
ff
.
. (4. 95)
Para i j. Escolhendo uma base ortonormal onde:
1
11 f
fe
(4. 96)
Temos que:
i
iT
i
iT
jjj f
ffff
fe
.
.ˆ (4. 97)
Para nj ....3,2
81
4. 12 – Operadores Lineares
4.12.1 - Definição
Agora nós consideraremos uma função vetorial linear de um vetor, ou seja,
chamamos de Operador Linear, (2), a toda regra que associa univocamente todo e qualquer
vetor
de um Espaço Vetorial E a um outro vetor w também do mesmo espaço vetorial da
seguinte forma linear:
EwveE )( (4. 98)
Ou ainda sendo
, ( ) ( ) ( )u E e u v u v E (4. 99)
Se considerarmos um vetor arbitrário v dado por:
1
n
i ii
(4. 100)
Então, genericamente, a seguinte condição de linearidade será satisfeita:
1 1
( ) ( )n n
i i i ii i
w v
(4. 101)
Que por sua vez é igual á:
1 1
1
( ) ( )
( )
n n
i i i ii i
n
i ii
w v
w v w
(4. 102)
Os operadores lineares possuem ainda as seguintes propriedades:
Seja A e B dois operadores lineares quaisquer de Espaço Vetorial E:
i)
(A + B) = A + B (4. 103)
ii)
2 Onde pode ser também uma função vetorial linear
82
(AB) = A(B ) (4. 104)
iii)
(A) =(A ) (4. 105)
iv) Em geral AB BA, mas no caso de serem iguais, dizemos que A e B comutam entre si.
v) O operador nulo e o operador identidade tem significado óbvio, notadamente:
0 = 0 e 1= (4. 106)
Para todo e qualquer vetor do espaço, E.
vi) Dois operadores A e B são ditos iguais se e somente se
A = B (4. 107)
Para todo e qualquer
do Espaço vetorial E.
vii) Se existir um operador tal que:
A.B = 1 (4. 108)
Dizemos que B = A-1, ou seja, que o operador B é o inverso do operador A. Portanto, se:
A = w (4. 109)
Então
A-1 w = (4. 110)
Pois
A-1A= A-1 w
1= A-1 w
A-1 w =
(4. 111)
Operadores os quais não possuem inversos são ditos singulares. Vejamos o
exemplo abaixo:
Considere o espaço tridimensional dos vetores posição
e, um convencional
sistema de coordenadas cartesiano x,y,z conforme mostra a Figura - 4. 5.
83
Figura - 4. 5.
Nós definimos o operador projeção Pxy tal que Pxy(
) é a projeção vetor
no
plano xy. O qual possui as mesmas coordenadas x e y do vetor
, mas possui a coordenada z
nula. De fato, o espaço dos vetores Pxy(
) é bidimensional, ou seja, diferente do espaço
vetorial dos vetores
. Portanto, fica claro que o operador Pxy(
) não possui um inverso, ou
seja, é singular.
vPvP zyx
yx
xyxy
000010001
0 )(
(4. 112)
Portanto, se qualquer vetor,
, do espaço vetorial E se transforma linearmente
,pela propriedade (ii) e (iii), em outro vetor, w , também do espaço vetorial E, através de um
operador linear qualquer. Então, os vetores da base também se transformarão linearmente
pelo mesmo operador, em um outro vetor da base, da seguinte forma:
jj fe
(4. 113)
Onde Efe jj e (Espaço Vetorial). Mas qualquer vetor do espaço pode ser escrito em
termos dos vetores da base. Logo, jf
pode ser escrito em termos dos ie ’s da seguinte forma:
nj
eAf i
n
iijj
,....,3,2,11
(4. 114)
Igualando as expressões (4. 113) e (4. 114) temos:
84
nj
eAe i
n
iijj
,....,3,2,1
)(1
(4. 115)
Onde os Aij é então a i’ésima componente do vetor jf
. E os n2 coeficientes Aij formam os
elementos da matriz do operador linear . Representado da seguinte forma:
][)( ijA A (4. 116)
Logo
ij ef A (4. 117)
Ou ainda
]][[][ iijj eAf (4. 118)
Portanto, qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz de transformação.
Agora se considerarmos um vetor v qualquer (arbitrário), e chamarmos de :
wv )( (4. 119)
Com Ewv e , onde v expresso em termos dos vetores da base vale:
i
n
iiexv
1
(4. 120)
Logo
wexv i
n
ii
1)( (4. 121)
Que pelas propriedades (4. 98) e (4. 101) de operadores lineares temos:
i
n
ii exv
1
)( (4. 122)
Mas
ii fe
(4. 123)
85
Da relação ( ) reesulta:
i
n
iii
n
ii fxexvw
11
)( (4. 124)
Mas da relação ( ) temos que:
k
n
kki
n
ii eAxw
11
(4. 125)
como as componentes xi não possui índice incluso na somatório em k, logo podemos passá-la
para dentro desta somatória, sem alterar o resultado, logo:
n
ik
n
kkii eAxw
1 1
(4. 126)
Trocando a ordem da somatória, ficamos com:
n
kk
n
ikii eAxw
1 1
(4. 127)
Sabemos que se expressarmos o vetor w em termos dos vetores da base teremos:
k
n
kkeyw
1
(4. 128)
comparando ( ) com ( ) concluimos que:
n
ikiik Axy
1 (4. 129)
Então podemos descrever as relações acima de outra forma, dizendo que o vetor
w está associado com o vetor v por um operador linear A operando em v da seguinte
forma:
vw A (4. 130)
Então os números Aki são os componentes do operador linear A no sistema de
coordenadas ie . Especificamente da relação ( ) vemos que Aij é a i’ésima componente do
vetor jeA . Analogamente concluímos comparando as relações ( ) e ( ) que:
86
]][[][ vAw ij
(4. 131)
na base ie
Apenas com os vetores, é que os operadores lineares frequentemente têm um
significado físico o qual não depende de um sistema de coordenadas específico, e pode ser
descrito sem referência a um sistema de coordenadas específico.
Para operadores que mudam o vetor v para outro vetor do espaço vetorial, como
é o caso do operador projeção, P, exemplificado anteriormente, a única mudança requerida na
análise acima é expressar )( je em termos da base if
no espaço , tal que a relação ( ) fica:
i
m
iijj fAe
1
)( (4. 132)
Então os componentes Aij do operador A refere-se a duas bases je e if
, e além
do mais está claro que os dois espaços podem ter número diferente de dimensões e, por isso
não existe um operador inverso (A-1)
Voltando novamente a expressão ( ) nós podemos achar a lei de transformação
para as componentes do operador linear, ou seja escrever a matriz de transformação linear em
uma outra base da seguinte forma:
vAw (4. 133)
Mas de ( ) temos que:
]][[][ vAw ij
(4. 134)
ou seja, em relação as coordenadas de vw e temos: de ( ) que:
]][[][ ikik xAy (4. 135)
mas em relação a um outro sistema de coordenadas temos:
i
n
iiexv ''
1
(4. 136)
e
87
i
n
iieyw ''
1
(4. 137)
Mas
)(vw (4. 138)
Que vale
)'('''11
i
n
iii
n
ii exexw
(4. 139)
Pelas propriedades ( ) e ( ) de operadores lineares e da mesma forma:
ii fe ')'(
(4. 140)
Mas como novamente os if
’s podem ser expressos em termos dos vetores desta nova base
temos:
k
n
kkij eAf '''
1
(4. 141)
Portanto, igualando ( ) com ( ) temos:
ni
eAe k
n
kkij
...4,3,2,1
'')'(1
(4. 142)
onde o A’ki é então a k’ésima componente do vetor if
. E os n2 coeficientes A’ki formam os
elementos da matriz do operador linear na nova base ie ' . Representando-se em forma de
matrizes temos:
]'[)( kiAA (4. 143)
onde
ki eAf '' (4. 144)
Ou ainda
88
]']['[]'[ kkii eAf (4. 145)
Voltando a expressão ( ) temos:
i
n
kik
n
ki fxexvw '')'(')(
11
(4. 146)
Ou seja
k
n
kki
n
iii
n
ii eAxfxvw ''''')(
111
(4. 147)
Como os componentes ix' não possui índice incluso na somatória em k podemos passá-lo
para dentro desta somatória em k, sem alterar o resultado, logo:
n
ik
n
kkii eAxw
1 1''' (4. 148)
trocando a ordem das somatórios temos:
n
kk
n
ikii eAxw
1 1''' (4. 149)
comparando agora a expressão ( ) concluímos que:
n
ik
n
kkiik
n
ki eAxeyw
1 11''''' (4. 150)
Ou seja
n
kkiii Axy
1''' (4. 151)
Como os vetores v e w e o operador não depende do sistema de coordenadas novamente
vale:
vw A (4. 152)
Sendo que os números A’ki são os componentes do operador linear A no sistema de
coordenadas ie ' . Especificamente da relação ( ) vemos que A’ki é a k’ésima componente do
vetor ieA ' . Da mesma forma temos:
89
]]['[][ vAw ij
(4. 153)
na base ie ' . Nós sabemos que:
]'][[][ ww ij (4. 154)
e
]'][[][ vv ij (4. 155)
ou seja
]'][[ jiji xx (4. 156)
e
]'][[ kkjk yy (4. 157)
Substituindo em ( ) temos:
]'][][[][ jkjkikkj xAy (4. 158)
Multiplicando ambos os lados por 1][ ij temos:
]'][][[][][][ 11jkjkikjkkjkj xAy (4. 159)
e
]'][][[][]1[ 1jkjkikjk xAy (4. 160)
Logo
]'][][[][ 1jkjkikjk xAy (4. 161)
Portanto
]][[][]'[ 1kjkikjki AA (4. 162)
90
4. 13 – Auto-Valores e Auto-Vetores
Escolhamos um base ortonormal ie para expandir os vetores do espaço E3.
Consideremos um operador linear A definido em E3. A matriz do operador A na base
escolhida é a matriz A, de elementos j
iA . Quando um operador linear )(A atua
sobre um vetor
, o vetor resultante A é em geral é diferente de
. Contudo, podem
existir certos vetores (não nulos) para o qual A é apenas
multiplicado por uma
constante, . Isto é:
A (4. 163)
Tal vetor 0v é chamado de um auto-vetor do operador A , e o número (real ou
complexo) é chamado de um auto-valor correspondente ao auto-vetor
. O auto-vetor é dito
“pertencer” ao auto-valor. Num dado sistema de coordenadas, a componente i’ésima da
equação (4. 163) é:
n
jijij xxA
1 (4. 164)
para i = 1,2 ,...n. Ou na notação matricial:
xx A (4. 165)
O problema de achar os auto-valores para o qual o sistema linear de equações
tem uma solução não-trivial é algo muito importante.
Se A é a matriz do operador A
nxnnnnn
n
n
aaa
aaaaaa
..::::
..
..
21
22221
11211
A (4. 166)
Podemos montar o sistema de equações da seguinte forma:
Designando por I, como de hábito, a matriz identidade 3 x 3 (que correponde ao
operador identidade I), multiplicamos ambos os lados da equação (4. 165) pela matriz
identidade:
91
xx IAI (4. 167)
e
0 xx IA (4. 168)
Logo
0)( xIA (4. 169)
Representando o vetor v por meio de uma matriz coluna temos:
03
2
1
vvv
v (4. 170)
A equação ( ) se escreve, usando as matrizes A e I.
03
2
1
33
23
13
32
22
12
31
21
11
vvv
AAAAAAAAA
(4. 171)
Esta é uma equação matricial que corresponde a um sistema de 3 equações algébricas lineares
homogêneas para as componentes 321 ,, vvv do autovetor v . A condição necessária e
suficiente para se determinar os auto-valores diferentes da solução trivial (isto é 0v ) é
preciso que o determinante D da matriz )( IA seja igual a zero. Desta forma
chegamos a equação característica ou equação secular que fornece os valores de .
0)det( IA D (4. 172)
Se a matriz A é n x n, haverá n raízes , não necessariamente todas distintas.
O determinante D , como função de , é um polinômio de 3º grau,
denominado polinômio característico do operador A, e tem a forma:
012
23 DCCD (4. 173)
Onde
92
ADeDddC det02,1
!1
0
(4. 174)
A equação 0D tem, no máximo, 3 raízes. Mas as raízes de 0D são os valores
para os quais ( ) é valida e portanto para que ( ) ou ( ) seja válida; isto quer dizer que os
autovalores de A são as raízes da equação 0D . Podemos então afirmar.
i) Os autovalores de A são as raízes do polinômio característico ou da equação
0)det( IA D (4. 175)
ii) O operador A tem, no máximo, 3 autovalores (que podem ser reais ou complexos).
Uma vez conhecidos os autovaores 321 ,, , a equação ( ) fornece os
autovetores 321 ,, vvv correspondentes. Observe que o sistema ( ) sendo homogêneo, só
obteremos as soluções 3,2,1iv i
a menos de normalização; isto quer dizer que ( ) dará
soluçào única para 3,2,1iv i
se impusermos que 3,2,1;1 iv i
.
Pode acontecer que existe mais de um autovetor correspondendo ao autovalor ,
neste caso dizemos que o autovalor é degenerado.
Examinado 0D dado na equação ( ) observamos que:
DD lim;lim (4. 176)
Os limites de ( ) nos permitem concluir que , que é uma função contínua de por ser um
polinômio, deve se anular pelo menos uma vez.
Figura - 4. 6.
93
Isto quer dizer que:
iii) No espaço de dimensão 3, todo operador linear tem pelo menos um autovalor (o mesmo
resultado vale para todos os espaços de dimensão impar)
Quando 0det0 AD é positivo, então podemos concluir que D terá
pelo menos um zero positivo, ou seja:
iv) Quando 0det A , o operador linear A tem pelo menos um auto-valor positivo.
Vamos agora especializar nosso estado de autovalores e autovetores para o caso
de operadores ortogonais, isto é, operadores cujas matrizes sào ortogonais. Como já sabemos,
os operadores ortogonais conservam a ortonormalidade do vetores Eeee n ˆ,....,ˆ,ˆ 21 . Isto
quer dizer que o módulo dos vetores, bem como o produto escalar de 2 vetores são invariantes
por transformações ortogonais. De fato sendo ortogonal, o operador A satisfaz a relação:
1ˆˆ TAA (4. 177)
ou
TAA ˆˆ 1 (4. 178)
O que significa, que dada uma base ortonormal qualquer Eeee n ˆ,....,ˆ,ˆ 21 , a matriz A do
operador A satisfaz relações idênticas as relações (4. 177) e (4. 178): ou
1AA T (4. 179)
ou
TAA 1 (4. 180)
A partir da equação decorre que
1detdet 1AAT (4. 181)
Mas como
1detdetdet TT AAAA (4. 182)
e como também
94
TAA detdet (4. 183)
“Um determinante não se altera trocando linhas por colunas”, então comcluimos que:
1det 2 A (4. 184)
Ou
1det A (4. 185)
O caso de 1det A corresponde ás rotações propriamente ditas “próprias”. Por exemplo,
o determinante da matrizes das equações ( ), ( ), ( ), ( ) e ( ) é sempre igual a +1.
O caso det A = -1 corresponde às rotações ditas “impróprias” ou inversões. Por
exemplo a transformação kjikji ˆˆˆˆˆˆ é feita por uma matriz ortogonal da seguinte
forma:
Chamando 321 'ˆ'ˆ'ˆ eee a nova base, temos:
kjie
kjie
kjie
ˆ.1ˆ.0ˆ.1'ˆ
ˆ.0ˆ.1ˆ.0'ˆ
ˆ.0ˆ.0ˆ.1'ˆ
3
2
1
(4. 186)
Que implica na seguinte matriz de transformação:
100010001
A (4. 187)
Cujo determinante é -1. Não existe nenhuma rotação própria que leve kji ˆˆˆ em kji ˆˆˆ
Seja agora calcular o produto escalar de imagens do operador Â, isto é, calcular o
produto Âu.Âv; representando Âu e Âv como fizemos em ( )
k
ki
i
jji
i
eAvv
eAuu
ˆ
ˆ
A
A (4. 188)
temos:
95
mj
mk
ji
ki
mmk
kj
ji
i
eeAAvu
eAveAuvu
ˆ.ˆ
ˆ.ˆ.
AA
(4. 189)
Usando agora a ortonormalidade da base 321 ˆ,ˆ,ˆ eee , tal como expressaa em ( ) teremos,
usando também ( ):
vuvuvu
AAvu
AAvuvu
mm
mk
mi
ki
jmmk
ji
ki
..
.
AA
AA
(4. 190)
Em palavras isso quer dizer que o operador ortogonal  conserva o produto escalar de
vetores.
A equação ( ) vale também quando vu . Neste caso teremos:
22 vu A (4. 191)
que quer dizer que o produto ortogonal  conserva o módulo de vetores. Esta propriedade dos
operadores ortogonais acarreta outra de muita importância:
Os autovalores de operadores ortogonais têm módulo 1. De fato, consideremos a
equação de autovalor/autovetor para o operador ortogonal Â:
uu (4. 192)
Tomando o módulo de ambos os membros de ( ) e usando, vem
uuuu . (4. 193)
ou seja:
11 ou (4. 194)
Então concluimos:
v) Todo autovalor de um operador ortogonal é +1 ou -1.
Isto é bastante intuitivo, porquanto uma rotação própria não muda nem a direção
nem o sentido e nem o módulo do versor a do eixo: aa , já uma rotação imprópria
apenas inverte o sentido de a :
96
aa (4. 195)
No caso de rotação próprias o determinante de  é +1, e portanto detA>0.
Levando em conta esta observação e conbinando as propriedades ( ) e ( ) Concluimos que:
vi) O auto valor real de todo operador ortogonal, de determinante positivo (“rotação própria”),
é sempre +1.
99
Capítulo – V
ESPAÇO TENSORIAL LINEAR
RESUMO
Neste capítulo será visto a definição geral de tensores do qual decorrem os
escalares os vetores e as matrizes, como também as suas propriedades e aplicações ao cálculo
de funções.
5. 1 –Introdução
100
5. 2 – Definição de Tensores
Os tensores são uma generalização dos escalares, dos vetores e das matrizes. Eles
são formas funcionais lineares que seguem a regras bem definidas de operações lineares. Eles
podem ser classificados quanto ao sua ordem como tensores de ordem zero, um, dois, etc.
5.2.1 - Formas Funcionais Lineares
Consideremos o espaço vetorial E, de dimensão 3, no qual está definido um
produto escalar (espaço euclidiano). Chama-se funcional em forma linear em E qualquer
aplicação linear do espaço vetorial E no conjunto R dos números reais. Indicaremos os
funcionais lineares pelo símbolo )()1( F ; assim:
realnumerouFu
REF
:)(
:)()1(
)1(
(5. 1)
A linearidade de )()1( F significa:
)()()( )1()1()1( vFuFvuF (5. 2)
Da equação (5. 2) reduz-se facilmente que:
0)0()1( F (5. 3)
Um exemplo de funcional linear sobre o espaço E é proporcionada pelo produto
escalar dos vetores de E com um vetor fixo a . Assim ao vetor a está associado o funcional
linear )()()1( aF a tal que:
EuuauF a ,.)()1( (5. 4)
É fácil ver que )()1( aF é linear; com efeito:
)(...)( )1()1()1( vFFvauavuavuF aaa
(5. 5)
Por este exemplo fica então demonstrado que a todo vetor a está associado um
funcional linear sobre E, definido por (5. 4). Gostaríamos de saber se a recíproca é verdadeira,
isto é, se todo funcional linear )()1(aF é da forma )()()1( aF a
para um a
101
conveniente. Para isso vamos introduzir uma base ( 321 ,, eee ) em E e fazer uso da linearidade
do funcional )()1( aF . Dado um vetor Eu qualquer, ele se representa por iieuu
, de
modo que a imagem de u por )()1( F é dada por:
)()()( )1()1()1(i
ii
i eFueuFuF (5. 6)
Pela equação (5. 6) vê-se claramente que para definir )()1( F é necessário dar os 3 números
reais ...3,2,1,)()1( ieF i
. Introduzimos, então, por definição os 3 números reais
,...3,2,1, iai por meio de
...3,2,1,)()1( iaeF ii (5. 7)
Introduzindo-se ( ) em ( ) obtemos:
ii
ii aueuFuF )()( )1()1( (5. 8)
O funcional )()1( F fica, então, definido, na base ( 321 ,, eee ) pelos 3 números ai definidos
em ( ). Vamos agora ver o que acontece se mudarmos de base.
Seja então )',','( 321 eee uma outra base de E, dada por j
jii eAe ][' 1
iieuu '
, com mim
i uAu ][ 1 (5. 9)
106
Capítulo – VI
ESPAÇO VETORIAL DE FUNÇÕES
RESUMO
Neste será visto a analogia entre o espaço vetorial linear e o espaço de funções
mais apropriadamente o espaço funcional linear. Veremos as propriedades e aplicações desta
teoria matemática.
6. 1 –Introdução
107
6. 2 – Definição de Espaço Vetorial de Funções ou Espaço Funcional Linear
Chamamos de espaço algébrico linear de funções, sobre um campo C, a uma série
de elementos 1, 2, 3, .. com uma estrutura algébrica isomorfa ao espaço vetorial.
Considerando dois vetores P
e Q
, onde
),,( 321 pppPP
(6. 1)
E
),,( 321 qqqQQ
(6. 2)
P
e Q
são ortogonais quando
0. 332211 qpqpqpQP
(6. 3)
ou
0.3
1
i
iiqpQP
(6. 4)
Se os vetores forem n-dimensionais
0.1
i
n
iiqpQP
(6. 5)
Façamos agora uma analogia, através da correspondência abaixo:
a) ao índice
xi (6. 6)
b) ao somatório
dxi
(6. 7)
c) às coordenadas
ip (ou iq ) uma função f(x) (ou g(x)). (6. 8)
108
Portanto, a cada vetor ip corresponde uma função )(xf de modo geral,
complexa. Esta correspondência implica que as operações de um espaço vetorial podem ser
extendidas ao espaço das funções f(x).
Sejam f, g, e h, funções neste espaço. As operações se aplicam ao mesmo:
a) Comutatividade
fggf (6. 9)
b) Associatividade
)()( fgfhgf (6. 10)
c) Distribuitividade da soma
gfaffga )( (6. 11)
d) Associatividade do produto
)()( kfafak (6. 12)
e) Elemento nulo
00 f (6. 13)
f) Elemento Neutro
ff 1 (6. 14)
Também, a partir destes postulados podem definido, como em álgebra vetorial:
a) a independência linear das funções
b) produto escalar
c) magnitude de um elemento e distância entre f e g.
Tal espaço de funções complexas obtido por esta analogia é chamado espaço
Hilbert. Neste espaço, a condição de ortogonalidade será, portanto,
0,...),(,...),(* dyxgyxf (6. 15)
Onde ...dxdyd
110
6.2.2 – Notação de Dirac
Usaremos a notação de Dirac para os elementos i, do espaço algébrico que no
nosso caso tanto pode ser vetores como funções.
ket: (vetor ou função) (6. 16)
No caso do ente abstrato chamado ket for um vetor chamaremos de Espaço Vetorial e no caso
de ser uma função chamaremos de Espaço Funcional.
Seja E um conjunto de ket’s e seja C um campo de escalares do espaço algébrico
linear, onde E é aditivo, isto é, existe uma operação E x E E tal que:
EExE , (6. 17)
Satisfazendo os seguintes axiomas fundamentais:
111
6.2.3 – Propriedades do Espaço de Funções
i) Comutativa
f(x) + g(x) = g(x) + f(x) (6. 18)
ii) Associativa
f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + g(x)) + h(x) (6. 19)
iii) uma matriz 0 EMatrizes /
f(x) + 0 = f(x) f(x) EFunções (6. 20)
iv) uma matriz -A EMatrizes /
f(x) + (-f(x)) = 0 f(x) EFunções (6. 21)
v) Distribuitiva do escalar
( f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) (6. 22)
vi) Distribuitiva da Matriz com escalar
( + ) f(x) = f(x) + f(x) (6. 23)
vii) Distribuitiva de Matriz com Matriz
f(x)[g(x) + h(x)]j(x) = f(x)g(x) j(x) + f(x)h(x) j(x) (6. 24)
viii) Associativa do produto de matrizes
[f(x)g(x)]h(x) = f(x)[g(x) h(x)] = f(x)g(x) h(x) (6. 25)
ix)
(6. 26)
x) Transposição do produto de matrizes
AB = (BA)T = B T AT (6. 27)
xi) Transposto de multiplicações sucessivas vale:
ABCD...Z = (Z…DCBA)T = Z T ... DT C T AT (6. 28)
113
6. 4 – Ortogonalidade e Espaço Dual de Funções
Duas funções são ditas ortogonais em um intervalo [a,b] se:
nm
b
amn dxxx )()( (6. 29)
(6. 30)
114
6. 5 – Operadores Lineares, Matrizes e Transformações Lineares
Os operadores no espaço de funções são a base para o estudo das equações
diferenciais.
6.5.1 – Operadores no Espaço de Funções
Seja uma função )(x . Submetida a operações matemáticas, ela pode ser
transformada em outra )(x . As operações abaixo são comuns:
1)
)()( xkx (6. 31)
2)
)()( xxx (6. 32)
3)
dxxdx )()( (6. 33)
4)
x
dxxx0
)()( (6. 34)
Temos, acima, 1) multiplicação por um número k qualquer, 2) por x, 3)
diferenciação e 4) operação de integração. A classe das operações que transformam uma
função na outra é chamada operador. Nos exemplos acima, o operador é, multiplicação por
um número, diferenciação, integração entre 0 e x, etc.
As operações podem ser indicadas como se segue:
)()( xAx (6. 35)
onde A é um operador
O nosso interesse é nos operadores diferenciais do tipo
...)()()( 2
2
21 dxdxa
dxdxaxaA o (6. 36)
115
Não se deve confundir o operador com uma equação. O operador acima traduz
uma instrução de como devemos manipular )(x , o operando. É comum simplificar a
notação e omitir o operando. Assim, a operação sucessiva com o operador A é:
)(xAA ou )(2 xA (6. 37)
onde 2AAA , omitindo )(x .
Os operadores que nos interessam são lineares, isto é, tais que:
)()()()( 2121 xAxAxxA (6. 38)
Sejam A e B dois operadores lineares. De um modo geral
)()( xBAxAB (6. 39)
Isto é, os operadores não comutam relativamente a multiplicação.
Exemplo:
Sejam os dois operadores:
i) Multiplicação por x:
xA (6. 40)
ii) Derivada em relação a x:
dxdB (6. 41)
Onde
)()( xfdxdxxABf (6. 42)
E
)()(
)()()(
xfdxdxxf
xxfdxdxxfBxBAf
(6. 43)
Observe que AB BA.
Um exemplo de operador não-linear é:
iii) Elevar uma função ao quadrado.
116
2)(xfA (6. 44)
Seja aplicar o operador a
)()( 21 xx (6. 45)
Temos:
)()()(2)()()( 2221
2121 xxxxxxA (6. 46)
E
)()()()( 22
2121 xxxAxA (6. 47)
Isto é não-linear, porque:
)()()()( 2121 xAxAxxA (6. 48)
Se a multiplicação for do tipo AnAm do próprio operador elevado a potências n e m,
0 nmmn AAAA (6. 49)
isto é, a operação é comutativa.
118
6.5.3 – Operadores, Auto-vetores e Auto-valores no Espaço de Funções
A um operador podemos associar uma matriz. Seja H um operador Hermitiano
que gera auto-funções, )(xi
)()( xxH ii (6. 50)
Suponhamos as auto-funções ortogonais e tomemos outros operadores L e N que
atuam sobre as mesmas variáveis que H. Definamos as matrizes:
dxLxL jiij )()(* (6. 51)
e
dxNxN jiij )()(* (6. 52)
As equações que contêm L e N são válidas para as matrizes Lij e Nij interpretadas
matricialmente.
Ex:
1) Soma de operadores
NL )( NL (6. 53)
2)
)( ijijij NLNL (6. 54)
6.5.4 – Multiplicação de Operadores no Espaço de Funções
Seja a multiplicação de operadores
dNLLN jiij )(*)( (6. 55)
Mas
s
ssij CN (6. 56)
Ou
ijs
ssjiji CdCdN ** (6. 57)
119
E
(6. 58)
E
ssjsj
sis
sj
ss
sjiij
NL
dLN
dNLLN
*
)(*)(
(6. 59)
Concluímos que o produto de operadores LN pode ser representado pela matriz
(LN)ij.
Tomemos agora a equação de auto-valores
H (6. 60)
Sabemos que ao operador H podemos associar uma matriz dHH jiij * .
Mostremos que a auto função pode ser associada a um auto-valor de Hij. O operador H
possui um conjunto completo de auto-funções i de modo que uma função pode ser escrita
como:
(6. 61)
Onde i são os coeficientes de expansão. Logo
H (6. 62)
ou
(6. 63)
Ou
i
iii
ii H (6. 64)
Premultiplicando por k* e integrando temos:
120
i
ikii
iki ddH (6. 65)
E tomando os i ortonormais, temos:
i
kiii
kii H (6. 66)
Mas
ikkii
ikki HH
)( (6. 67)
Isto é:
kkH )( (6. 68)
É uma equação matricial onde i são componentes de um auto-vetor. Concluímos que a
equação H é convertida na equação matricial.
kkH )( (6. 69)
Onde os k são as componentes de um vetor.
Para obter os i basta observar que e
i
kiii
ikik dd ** (6. 70)
Ou
dkk * (6. 71)
Uma conclusão interessante que se obtém e resulta se tomarmos j isto é,
como auto-função das auto-funções do conjugado associado ao próprio operador H.
jjiH (6. 72)
Isto é, tomando-se
121
iji (6. 73)
na expansão
(6. 74)
Temos, como acima
ddH jijji ** (6. 75)
Ou
ijjijH (6. 76)
Concluindo: quando na equação matricial equivalente a equação de auto-valores H
se tomarmos como auto-função uma das auto-funções do operador H, a matriz que representa
H é diagonal.
122
6. 6 – Mudança de Base para funções
De forma geral as funções da base )(xi expressa-se em termos das funções da
base )(xhi da seguinte forma:
)()(1
xhxn
jjiji
(6. 77)
E
)()(1
xxhn
iijij
(6. 78)
Para encontrar a relação entre os coeficientes funcionais ij e ji devemos:
)()(11
xxn
iiji
n
jiji
(6. 79)
125
6. 9 – Auto-Funções e Auto-Valores
Consideremos um operador A aplicado a uma função )(x . )(xA é a função
obtida pela transformação e que, geralmente, nada tem de comum com )(x . Há casos
importante, entretanto, em que )(xA é múltiplo de )(x ,
)()( xkx A (6. 80)
onde k = constante. Neste caso )(x e chamada de auto-função e k de auto-valor do
operador A.
Exemplo: Tomemos mxe como auto-função e seja dxdA / :
mxmx meedxdx )(A (6. 81)
Logo, m = auto valor do operador dxdA / . No caso geral
)()( xkx A (6. 82)
É uma equação diferencial que deve ser resolvida. Haverá, evidentemente, um número infinito
de soluções. Deste conjunto somente nos interessam aquelas que satisfazem certas
características físicas, compatíveis com o problema físico que é estudado. Exemplifiquemos:
Seja
2
2
dxd
A (6. 83)
Logo
)()()( 2
2
xkxdxdx A (6. 84)
As soluções são
xkxk eCeCx 21)( (6. 85)
Estabeleçamos agora a condição de que )(x nunca pode ser infinita: basta tomar k negativo,
por exemplo, 2k , onde é uma constante real. Temos,
126
xixi eCeCx 211 )( (6. 86)
Que são soluções trigonométricas. Se 0)0( ,
)sin()( xCx (6. 87)
E se também 0)( l , os auto-valores ,...3,2,lll . As auto-funções
correspondentes são,
etcxl
xl
xl
),...,3sin(),2sin(),sin( (6. 88)
Os problemas da Mecânica Quântica são similares a estes. Partimos de uma
equação de auto-valores achamos sua solução e os auto-valores, tendo em conta certas
características das soluções (auto-funções).
O exemplo visto mostra ainda que
)()( 2 xx A (6. 89)
Representa
)()( 12
11 xx A (6. 90)
e
)()( 22
22 xx A (6. 91)
ou
)()( 2 xx nnn A (6. 92)
A solução do nosso problema resulta em n auto-funções que nos fornecem n auto-
valores. É importante observar que os auto-valores são discretos, n ,...,, 21 e cada auto-
função está associada a um auto-valor. Há, muitas vezes, caso em que um único autovalor está
associado a várias auto-funções, sendo estas, neste caso, linearmente independentes. Um auto-
valor deste tipo é chamado de degenerado.
127
6. 10 – Operadores Hermitianos e seus auto-valores
Já vimos que é necessário que as auto-funções satisfaçam a certas condições de
contorno a fim de que tenhamos soluções com auto-valores discretos.
Seja )(x uma auto-função. A restrição mais importante que ela deve sofrer, a
fim de representar uma solução fisicamente aceitável é ter um quadrado integrável:
finitovalordxxx nn
)(*)( (6. 93)
Tomemos )(* x porque as funções podem ser complexas. Suponhamos agora
que todas as funções que nos interessam sejam quadraticamente integráveis e tomemos duas
delas u(x) e v(x) e um operador A. Aceitemos que a integral Avdxu * existe e definamos
A* como operador obtido de A pela transformação ii . Um operador Hermitiano
quando.
vdxxuAdxxAvxu )*](*[)(*)( (6. 94)
Seja por exemplo o operador dxdA
vdxxudxddxxv
dxdxu )*]([)(*)( (6. 95)
De fato integrando o primeiro membro por partes temos:
dxxudxdvvudxxv
dxdxu *)(*)(*)( (6. 96)
Mas u* e v* são quadraticamente integráveis e são nulos nos limites. Logo
vdxxudxddxxv
dxdxu )*]([)(*)( (6. 97)
Conclusão: dxdA não é Hermitiano, Entretanto, o operador
dxdiA , como é fácil
mostrar é Hermitiano.
Seja agora, o importante operador 2
2
dxdA .
128
Temos:
dxxvdx
xuddxxvdx
xuddx
xduxv
dxdx
xdudxdv
dxdvudx
dxxvdxu
)()(*)()(*)(*)(
)(**)(*)(
2
2
2
2
2
2
(6. 98)
Conclusão: 2
2
dxdA é Hermitiano,
Qual o interesse em operadores Hermitianos?
É fácil ver: Seja uma auto-função e seu auto valor, onde:
)()( xx A (6. 99)
O complexo conjugado desta operação é:
)(**)(** xx A (6. 100)
Multiplicando a primeira equação à esquerda por * e a segunda a esquerda por e
integrando temos:
dxxxxxA
dxxxxx
)()(**)()(**
)()(*)()(*
A (6. 101)
Se A é um operador Hermitiano, os primeiros membros são iguais. Logo,
* (6. 102)
Isto é, os auto-valores são reais.
A extensão do resultado acima é imediato para funções de várias variáveis.
),,,( zyx (6. 103)
Não oferece dificuldade.
131
6. 12 – Serie de Funções Ortogonais
Seja )(xn numa série de funções linearmente independentes formando uma
base para um espaço vetorial de funções o qual possui de dimensão infinita. Logo podemos
expressar qualquer função do espaço em termos de uma combinação linear das funções da
base, ou seja:
...)(...)()()( 2211 xaxaxaaxf nno (6. 104)
ou
)()( xaxf kk
k
(6. 105)
Esta é a chamada série de potências e os coeficientes desta série são calculados da seguinte
forma:
Multiplica-se a série em ( ) por l e integra-se desde zero até infinito,
dxadxxf kk
kll
)( (6. 106)
Como a integração e a somatória são operadores lineares, podemos trocar a ordem das
operações
dxadxxf klr
kl
)( (6. 107)
Como as funções l e k são ortogonais exceto para o caso de l = k, temos:
klk
kl adxxf
)( (6. 108)
Logo para l = k temos:
dxxfa lk )(
(6. 109)
134
Capítulo – VII
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de
7. 1 – Introdução
135
7. 2 – Funções Pares e Ímpares
Uma função é dita par se:
)()( xfxf (7. 1)
Exemplos:
xxgxxfcos)(
)( 2
(7. 2)
Figura - 7. 1
Uma função é dita ímpar se:
)()( xfxf (7. 3)
Exemplos:
xxgxxfsen)(
)( 3
(7. 4)
Figura - 7. 2
136
7.2.1 - Operações com funções pares e ímpares
As operações de multiplicação de funções fornecem:
Uma função é dita par se:
ímparparímpar
ímparímparpar
parímparímpar
parparpar
hxgxf
hxgxf
hxgxfhxgxf
)().(
)().(
)().(
)().(
(7. 5)
7.2.2 - Teorema
Toda função f(x) pode ser escrita como uma combinação linear de uma função par
e uma fução ímpar.
)()()( xfxfxf ímparpar (7. 6)
Onde
2)()()( xfxfxf par
(7. 7)
E
2)()()( xfxfxf ímpar
(7. 8)
Logo
2)()(
2)()()( xfxfxfxfxf
(7. 9)
137
7.2.3 - Integral de funções pares e ímpares:
Seja as integrais:
par
AA
A
fsedxxfdxxf 0
)(2)( (7. 10)
E
ímpar
A
A
fsedxxf 0)(
(7. 11)
138
7. 3 – Funções Periódicas
Uma função é dita periódica se:
ZnnTxfxf )()( (7. 12)
Considere a seguinte fução periódica descontínua
Figura - 7. 3
Esta função possui infinitos períodos e o menor período fundamental é 2a.
7.3.1 – Teorema de Bloch
139
7. 4 – Cálculo em RN
Sejam os vetores de coordenadas 1 2, ,..., Nnx x x x
e
1 2, ,..., Nny y y y
, define-se uma distância entre os pontos P e Q associados a esses
vetores neste espaço N como o valor dado por:
, i i i id x y x y x y (7. 13)
7.4.1 - Conectividade
Dois conjuntos A e B são conexos se ...
Figura - 7. 4
7.4.2 - Pontos Limítrofes
x S
é um ponto limítrofe de S se toda vizinhança de x contém pontos y S
7.4.3 - Derivadas Parciais
Seja uma função 1 2, ,..., Nnf x x x , cujas derivadas parciais de f existem
2 2
, , ,i j i j j i
f f f fx x x x x x
, e são contínuas em alguma vizinhança de ox então a função
composta,
1 2, ,..., nF t f x t x t x t (7. 14)
Possui derivada dada por:
140
i
i
dF t dxfdt x dt
(7. 15)
Isso é diferente da versão mais comum e incorreta:
i
i
df t dxfdt x dt
(7. 16)
7.4.4 - Exemplo
Seja , , ,f x y u v uma função onde , , , , , ,f x y u x y v x y f x y então:
0
0 ( !)Não sempre
f f x f y f u f vdx x x y x u x v x
f f f u f vdx x u x v x
(7. 17)
Uma forma mais correta de se escrever seria
, , , , , ,F x y f x y u x y v x y (7. 18)
e
0
F f x f y f u f vdx x x y x u x v x
F f f u f vdx x u x v x
(7. 19)
7.4.5 – Série de Taylor no RN
Seja 1 2, ,..., Nnf x x x a expansão em Série de Taylor desta função é dada
por:
141
2
3
12!
....
o i oi i oi j oji i ji i j
i oi j oj k oki j k i j k
f ff x f x x x x x x xx x x
f x x x x x xx x x
(7. 20)
142
7. 5 – Funções Implícitas
Seja a função de duas variáveis f(x,y) = 0 , como o exemplo abaixo da equação de
uma elipse:
044 22 yx (7. 21)
Cujos eixos principais são 11b e 24 a , observe que y é uma função implícita
de x.
2)2/(1 xy (7. 22)
7.4.1 –Teorema da Função Implicita
Seja f(x,y) = 0 satisfeita no ponto (xo, yo), [f(xo,yo) = 0] e f(x,y) = 0 uma função de
classe C1 (contínua de 1ª derivada contínua) na vizinhança de (xo,yo). Se 0/ , oo yxyf
então f(x,y) = 0 implica na existência de uma função em y = y(x) em uma vizinhança de
(xo,yo) tal que y(xo) = yo.
Ex. 1:
044),( 22 yxyxf (7. 23)
Note que )2/3,1(),( oo yx satisfaz:
02),(2),(
2/3,1
xyxfx
xyxff x (7. 24)
E
034),(8),(
2/3,1
y
yxfyy
yxff y (7. 25)
Logo existe y(x) no ponto )2/3,1(),( oo yx e em sua vizinhança.
Ex. 2:
143
01)2(),( 2 xexyyxf y (7. 26)
Note que )2,1(),( oo yx satisfaz:
022),(22),( 2
2,1
e
xyxfxe
xyxff y
x (7. 27)
E
0),()21(),( 2
2,1
ey
yxfexyy
yxff yy (7. 28)
Logo existe y(x) no ponto )2,1(),( oo yx e em sua vizinhança.
Vamos tentar obter y(x):
0),( yxf (7. 29)
Em torno de ),( oo yx por meio da Série de Taylor de y:
...))(('''61))((''
21))((')()( 32 ooooooo xxxyxxxyxxxyxyxy
(7. 30)
e
...?)(''
?)(')(
o
o
o
xyxy
yxy
(7. 31)
Onde
0'))(,( yff
dxxyxdf
yx (7. 32)
E
))(,())(,(
'xyxfxyxfy
y
x (7. 33)
E
144
))(,())(,(''
xyxfxyxfy
y
x (7. 34)
Logo
02')2()2'( xyexyey yy (7. 35)
Então
....'';12
22'
y
xyxey
y
(7. 36)
Portanto,
...)1(479,0)1(271,22)( 2 xxxy (7. 37)
Ex. 3:
0sen),(sen
xyyxfxy
(7. 38)
(Dica: trabalhar com a função inversa)
7.4.2 - Caso Multivariado
Seja a função 0),,,( vuyxf e 0),,,( vuyxg existem ),( e ),( yxvyxu ??
onde:
0)),(),,(,,(0)),(),,(,,(
yxvyxuyxgyxvyxuyxf
(7. 39)
Expandindo em Série de Taylor temos:
...))(,())(,(),(),(
...))(,())(,(),(),(
oooyoooxoo
oooyoooxoo
yyyxvxxyxvyxvyxvyyyxuxxyxuyxuyxu
(7. 40)
E
145
0
0
xvxux
xvxux
vguggxg
vfuffxf
(7. 41)
E
xxvxu
xxvxu
gvgugfvfuf
(7. 42)
Logo
vv
uu
vx
vx
x
gfgfggff
u
(7. 43)
Idem para yyx vuv ,,
vv
uu
xu
xu
x
gfgfggff
v (7. 44)
E
vv
uu
vy
vy
y
gfgfggff
u
(7. 45)
e
vv
uu
yu
yu
y
gfgfggff
v
(7. 46)
146
Análogo para n dimensões.
Sejam as funções 0),...,,,...,( 21211 nn uuuxxxf ,
0),...,,,...,( 21212 nn uuuxxxf , .... 0),...,,,...,( 2121 nnn uuuxxxf , ou seja:
0),...,,,...,(:
0),...,,,...,(0),...,,,...,(
21213
21212
21211
nn
nn
nn
uuuxxxf
uuuxxxfuuuxxxf
(7. 47)
ou
1 2 1 2( , ,... , , ,... ) 0i n nf x x x u u u (7. 48)
e
i i ju u x (7. 49)
Expandindo em Série de Taylor de ordem 1, temos:
...ii j i oj j oj
j
uu x u x x xx
(7. 50)
Sendo
, 0i j i j k jF x f x u x (7. 51)
e
0i j i i k
j j k j
F x f f ux x u x
(7. 52)
O resultado será:
i k i
k j j
f u fu x x
(7. 53)
fixe j, logo existirão soluções
; 1,...,k
j
u k nx
(7. 54)
Se
147
0i
k
fu
(7. 55)
Este é o Jacobiano da transformação das variáveis. Logo a condição de existência das funções
implícitas é:
1 2
1 2
, ,...,, ,...,
ni
k n
f f ffu u u u
(7. 56)
Ou seja:
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 2
..
..det 0
: : .. :
..
n
n
n n n
n
f f fu u uf f fu u u
f f fu u u
(7. 57)
Podemos mostrar que:
1 2 1 2
1 2 1 2
, ,..., , ,...,1
, ,..., , ,...,n n
n n
u u u x x xx x x u u u
(7. 58)
e
1( , ) 0:
( , ) 0n
f x u
f x u
(7. 59)
e
( ) 0u x (7. 60)
Como resolver x em função de x? Desenvolvendo a Série de Taylor localmente
(linearização localmente).
148
Ex. Sistema de Coordenadas Polares
Sejam as coordenadas curvilineas
, cos( ), sen( )
r rxy r r
(7. 61)
Onde
1/ 22 2
arctan
r yx
xy
(7. 62)
Figura - 7. 5
Calcule:
2 2
2 2 0T Tx y
(7. 63)
Em coordenadas polares.
Solução
Fazendo
1
2
, , , cos 0
, , , sen 0
f y r x rxf y r x rx
(7. 64)
Vamos calcular , ; ,r r y yx x , logo:
1 1
2 1
cos sensen cos
f frr r
f f r rr
(7. 65)
Existe a função se 0r .
149
cos sen
dT T x T ydr x r y r
T Tx y
(7. 66)
e
sen cos
dT T x T yd x y
T Tr rx y
(7. 67)
Logo
sencos cos
cos sensen cos
r
rx
TT r r T sen TTT
x rr
(7. 68)
e
-cossen sen cos
cos sensen cos
r
ry
TT r r T TTT
y rr
(7. 69)
Logo
sencosxr
T T TTx r r
(7. 70)
e
cossenyT T TTy r r
(7. 71)
Então,
2 2
2 2 0T Tx y
(7. 72)
é o mesmo que:
150
0T Tx x y y
(7. 73)
então
sen sencos cosr r
T T Tx x r r r r
(7. 74)
e
cos cossen senT T Ty y r r r r
(7. 75)
ou
22
2 2
2 2 2
2 2 2 2
cos sen cos sencos
cos sen sen sen sen cos
T T T Tx x r r r r
T T T Tr r r r r r
(7. 76)
e
22
2 2
2 2 2
2 2 2 2
cos sen sen cos=sen
cos sen cos cos sen cos
T T T Ty y r r r r
T T T Tr r r r r r
(7. 77)
Portanto, a equação de Laplace, fica:
2 22
2 2 2
1 1=T T T T TTy y y y r r r r
(7. 78)
151
7.4.3 – Teorema dos Extremos
Seja 0),...,( 21 nxxxf e 0...21
nxf
xf
xf
em X
, f é de classe C2,
na vizinhança de X
.
Seja
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 1
1 2
..
..
: : .. :..
n
n n n n
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
f f f
f f f
f f f
A (7. 79)
Supor 0det A . Se A é positiva (ou negativa) definida, então X
, é um mínimo (ou
máximo) local.
152
7. 6 – Problemas de Máximo e Mínimo com Vínculo
Os problemas de cálculo de máximo e mínimo de funções envolve aplicações a
otimização (função obejetiva não-linear)e achar as funções que maximizam certos funcionais
correspondem a uma parte do cálculo variacional.
7.5.1 – Método de Lavenberg-Marquardt
Sejam as funções
knnk
nn
nn
cuuuxxxg
cuuuxxxgextremouuuxxxf
),...,,,...,(:
),...,,,...,(),...,,,...,(
2121
121211
2121
(7. 80)
Para facilitar o estudo vamos fazer para o caso n = 3, k=1, onde:
czyxgextremozyxf
),,(),,(
(7. 81)
A diferencial de f é dada por:
dzzfdy
yfdx
xfdf
(7. 82)
E
extremoyxzyxf ),(,,( (7. 83)
Logo
0
dyyfdx
xfdf (7. 84)
Ou
0 dzfdyfdxfdf zyx (7. 85)
E
0 dzgdygdxgdg zyx (7. 86)
153
7.5.2 – Método dos Multiplicadores de Lagrange
Para maximizar ou minimar nxxxf ,..,, 21 sem ou com restrições do tipo.
0,...,1 nj xxg (7. 87)
Para mj ,...,1 temos que no último caso 0
ixf
não vale mais. Embora exista ainda
algum
0
ixf (7. 88)
Mas ainda posso dizer com certeza que:
0
iidx
xfdf (7. 89)
E para as restrições g temos que 0,...,1 nj xxg e então posso escrever:
0
i
j
xg
(7. 90)
Logo posso postular a existência de uma sequência n ,..., 11 coeficientes tal
que:
0
i
jj x
g (7. 91)
Então, redefino a função f escrevendo:
jjnn gfxxF ,...,,,..., 11 (7. 92)
que pode ser uma transformada de Legendre, tal que:
0,...,,
0
21
nji
i
jj
ii
xxxgFxg
xf
xF
(7. 93)
154
logo
0
ii
jj
idx
xg
xf (7. 94)
Para 0,...,1 nj xxg e ni ,...,1 , e nj ,...,1 .
Fazendo
0)()()( dzgfdygfdxgfdgdf zzyyxx (7. 95)
Logo
cggf
gfgf
zz
yy
xx
0
00
(7. 96)
Com
)(* gff (7. 97)
Minimizar ),,,(* zyxf e usar cg
Usando o resultado acima e o Teorema das Funções Ímplicitas deve ser possível
provar que:
jjdgdf (7. 98)
155
7.5.3 – Exemplo
cyzxzxyextremoxyzf
(7. 99)
Logo
)(*)(*
yzxzxyxyzfgff
(7. 100)
Obtemos quatro equações:
cyzxzxyyxxyzxxzzyyz
0)(0)(0)(
(7. 101)
Onde
2/0)(2
czyxzyxc
(7. 102)
156
7. 7 – Regra de Derivação de Leibnitz
Como diferenciar uma função cujos extremos da integral dependem do tempo, ou
seja:
)),(),(()(),()()(
)(
ttbtaFtIdAtxftItb
ta
, (7. 103)
Vejamos primeiro o caso particular:
)(
)(
)()(tb
ta
dxxftI , (7.104)
Logo
)()]()([)()( tfaFtFdtddxxf
dtdtI
t
a
, (7.105)
Este corresponde ao teorema fundamental do Teorema Fundamental do Cálculo.
Considere a função )(tI , onde
)),(),(()( ttbtaFtI , (7.106)
Queremos calcular:
)),(),(()(),()()(
)(
ttbtaFdtdtI
dtddxtxf
dtdtI
dtd tb
ta
, (7.107)
Logo
tescons
mantidosbea
b
atFtb
bFta
aFtI
tan
)()()(
, (7.108)
Ou
tesconsmantidosbea
b
a
dxtxft
tbbFta
aFtI
tan
),()()()(
, (7.109)
157
Calculando
),()]),(()),(([
),(),(
tafttbFttaFa
dxtxfa
dxtxfaa
F a
b
b
a
, (7.110)
E
),()]),(()),(([
),(),(
tbfttaFttbFb
dxtxfa
dxtxfbb
F b
a
b
a
, (7.111)
E
)]),(()),(([),(
),(),(
ttaFttbFt
dxtxft
dxtxft
dxtxfat
F
b
a
b
a
b
a
, (7.112)
Portanto, )(' tI é dado por:
b
a
b
a
tb
ta
tb
ta
dxtxft
tbdxtxfb
tadxtxfa
dAtxfdtdtI
),(
)(),()(),(),()(')(
)(
)(
)(
, (7.113)
ou
)]),(()),(([)()]),(()),(([
)()]),(()),(([),(),()(')(
)(
)(
)(
ttaFttbFt
tbttaFttbFb
tattbFttaFa
dxtxft
dAtxfdtdtI
tb
ta
tb
ta
,
(7.114)
ou
162
Capítulo – VIII
CURVAS SUPERFÍCIES E VOLUMES
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de
.
8. 1 - Introdução
(8. 1)
(8. 2)
164
8. 3 – Diferenciação de vetores ou funções vetoriais
Vamos calcular a derivada de uma função vetorial R
, que depende das funções
coordenadas )(),(),( tztytx , da seguinte forma:
)](),(),([ tztytxRR
(8. 3)
onde
)]('),('),('[ tztytxRdtRd (8. 4)
ou
ttRttR
dtRd
t
][][lim0
(8. 5)
conforme mostra a Figura - 8. 1.
Figura - 8. 1
kdt
tdzzRj
dttdy
yRi
dttdx
xR
dtRd ˆ)(ˆ)(ˆ)(
(8. 6)
165
8.3.1 - Cálculo do Comprimento de Arco
O módulo do comprimento de arco ds é dado por:
rdrdrdds . (8. 7)
E
ktdzjtdyitdxrd ˆ)(ˆ)(ˆ)( (8. 8)
logo
kktdztdzjjtdytdyiitdxtdxds ˆ.ˆ)().(ˆ.ˆ)().(ˆ.)().( (8. 9)
Ou
222 )()()( tdztdytdxds (8. 10)
Escrevendo em termos da projeção sobre um dos eixos temos:
dxdxdz
dxdyds
22
1
(8. 11)
Sendo )()( xyxf e )()( xzxg temos:
dxxgxfds 22 )(')('1 (8. 12)
Portanto a integral do comprimento do arco é:
dxxgxfdsxsx
x
22 )(')('1)(0
(8. 13)
166
8.3.2 - Cálculo da variação da Função R
ao longo de um comprimento de arco
Seja a variação de R
dada ao longo se um arco de comprimento s , cujo
módulo desta variação é dada por:
RRRS
. (8. 14)
Tomando o limite temos:
RdRdRddS
. (8. 15)
Logo
ktdzzRjtdy
yRitdx
xRRd ˆ)(ˆ)(ˆ)(
(8. 16)
E
sdRRd . (8. 17)
Onde podemos escrever:
sRdsRd ˆ.
(8. 18)
Ou notação vetorial:
)()()(
tdztdytdx
zR
yR
xRRd
(8. 19)
logo
kktdzzRjjtdy
yRiitdx
xRRdRd ˆ.ˆ)(ˆ.ˆ)(ˆ.ˆ)(.
222
(8. 20)
Então
222
)()()(.
tdzzRtdy
yRtdx
xRRdRd
(8. 21)
Portanto,
168
8. 4 – Integral de linha de funções escalares e vetoriais
8.4.1 – Integral de linha de funções escalares
Seja uma função escalar f(x) que varia ao longo de um caminho, cuja integral é
dada por:
C
dsxfI )(1 (8. 23)
Observe a diferença entre esta integral e a integral sob a curva f(x) dada por: B
A
dxxfI )( .
Observe ainda que para 1)( xf retornamos a integral do comprimento de arco.
dxxfdsxsx
x
2)('1)(0
(8. 24)
Se a função f depender de várias variáveis (x, y, z), por exemplo, temos as seguintes integrais:
C
dsyxfI ),(2 (8. 25)
E
C
dszyxfI ),,(3 (8. 26)
169
8.4.2 – Integral de linha de funções vetoriais
Caso 1D
Considere agora uma função vetorial F
que varia ao longo de um caminho, cuja
integral é dada por:
C
RdxFI
).(1 (8. 27)
Observe que se a função F
depende de da direção i podemos escrever:
ixFxF ˆ)()(
(8. 28)
Como iRR ˆ
a integral se reduz a:
C
dRxFI ).(1 (8. 29)
que se iguala ao caso escalar visto anteriormente.
Se por outro lado a direção da função vetorial F
for s , diferente da direção, r da
função posição R
sobre a linha a qual está sendo integrada temos:
C
rdRsxFI ˆ.ˆ)(1 (8. 30)
Logo teremos:
CC
dRxFdRrsxFI cos)()ˆ.ˆ)((1 (8. 31)
170
Caso 2D
Se a função F
depender de várias variáveis (x, y), por exemplo, temos as
seguintes integrais:
C
RdyxFI
).,(2 (8. 32)
Observe que a se função F
varia diferentemente nas direções jei ˆˆ temos:
jyxFiyxFyxF yxˆ),(ˆ),(),(
(8. 33)
E
jyxRiyxRyxR yxˆ),(ˆ),(),(
(8. 34)
Teremos:
C
yxyx jyxdRiyxdRjyxFiyxFI ]ˆ),(ˆ),(].[ˆ),(ˆ),([2 (8. 35)
Ficamos com duas integrais independentes:
C
yyC
xx jjyxdRyxFiiyxdRyxFI ˆ.ˆ),(),(.),(),(2 (8. 36)
Ou
Cyyj
Cxxi
yxdRyxFI
yxdRyxFI
),(),(
),(),(
2
2
(8. 37)
171
Caso 3D
Se a função F
depender de várias variáveis (x, y, z), por exemplo, temos as
seguintes integrais:
C
RdzyxFI
).,,(3 (8. 38)
Observe que a se função F
varia diferentemente nas direções jei ˆˆ temos:
kzyxFjzyxFizyxFzyxF zyxˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(),,(
(8. 39)
E
kyxRjyxRiyxRyxR zyxˆ),(ˆ),(ˆ),(),(
(8. 40)
Teremos:
C
zyxzyx kyxdRjyxdRiyxdRkyxFjyxFiyxFI ˆ),(ˆ),(ˆ),(].[ˆ),(ˆ),(ˆ),([3
(8. 41)
Ficamos com três integrais independentes:
C
zzC
yyC
xx kkyxdRyxFjjyxdRyxFiiyxdRyxFI ˆ.ˆ),(),(ˆ.ˆ),(),(.ˆ),(),(3
(8. 42)
Ou
Cyzk
Cyyj
Cxxi
zyxdRzyxFI
zyxdRzyxFI
zyxdRzyxFI
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
3
3
3
(8. 43)
175
8. 5 – Integral de superfície de funções escalares e vetoriais
8.5.1 – Integral de superfícies de funções escalares
Seja uma função escalar f(x) que varia ao longo de uma superfície, cuja integral é
dada por:
S
dAxfI )(1 (8. 47)
Observe que esta integral corresponde ao volume sob .......... dada por: dxdyxfIB
A
B
A
x
x
y
y )( .
Observe ainda que para 1),( yxf retornamos a integral do comprimento de arco.
S
dAyxA ),( (8. 48)
Se a função f depender de vária variáveis (x, y, z) por exemplo, temos as seguintes integrais:
S
dAyxfI ),(2 (8. 49)
E
S
dAzyxfI ),,(3 (8. 50)
176
8.5.2 – Integral de superfície de funções vetoriais
Caso 1D
Considere agora uma função vetorial F
que varia ao longo de uma superfície,
cuja integral é dada por:
S
AdxFI
).(1 (8. 51)
Observe que se a função F
depende de da direção i podemos escrever:
ixFxF ˆ)()(
(8. 52)
Como iAA ˆ
a integral se reduz a:
S
dAxFI ).(1 (8. 53)
que se iguala ao caso escalar visto anteriormente.
Se por outro lado a direção da função vetorial F
for s , diferente da direção, n
da função área A
sobre a superfície a qual está sendo integrada temos:
S
rdAsxFI ˆ.ˆ)(1 (8. 54)
Logo teremos:
SS
dAxFdArsxFI cos)()ˆ.)((1 (8. 55)
177
Caso 2D
Se a função F
depender de várias variáveis (x, y), por exemplo, temos as
seguintes integrais:
S
AdyxFI
).,(2 (8. 56)
Observe que a se função F
varia diferentemente nas direções jei ˆˆ temos:
jyxFiyxFyxF yxˆ),(ˆ),(),(
(8. 57)
E
jyxAiyxAyxA yxˆ),(ˆ),(),(
(8. 58)
Teremos:
C
yxyx jyxdAiyxdAjyxFiyxFI ]ˆ),(ˆ),(].[ˆ),(ˆ),([2 (8. 59)
Ficamos com duas integrais independentes:
S
yyS
xx jjyxdAyxFiiyxdAyxFI ˆ.ˆ),(),(.),(),(2 (8. 60)
Ou
Syyj
Sxxi
yxdAyxFI
yxdAyxFI
),(),(
),(),(
2
2
(8. 61)
178
Caso 3D
Se a função F
depender de várias variáveis (x, y, z), por exemplo, temos as
seguintes integrais:
S
AdzyxFI
).,,(3 (8. 62)
Observe que a se função F
varia diferentemente nas direções jei ˆˆ temos:
kzyxFjzyxFizyxFzyxF zyxˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(),,(
(8. 63)
E
kyxAjyxAiyxAyxA zyxˆ),(ˆ),(ˆ),(),(
(8. 64)
Teremos:
C
zyxzyx kyxdAjyxdAiyxdAkyxFjyxFiyxFI ]ˆ),(ˆ),(ˆ),(].[ˆ),(ˆ),(ˆ),([3
(8. 65)
Ficamos com três integrais independentes:
C
zzC
yyC
xx kkyxdAyxFjjyxdAyxFiiyxdAyxFI ˆ.ˆ),(),(ˆ.ˆ),(),(.ˆ),(),(3
(8. 66)
Ou
Cyzk
Cyyj
Cxxi
zyxdAzyxFI
zyxdAzyxFI
zyxdAzyxFI
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
3
3
3
(8. 67)
182
8. 6 – Integral de volume de funções escalares e vetoriais
8.6.1 – Integral de volume de funções escalares
Seja uma função escalar f(x) que varia ao longo de um volume, cuja integral é
dada por:
B
dVxfI )(1 (8. 71)
Observe que esta integral corresponde a um hipervolume sob o volume f(x) dada por:
dxdydzxfIB
A
B
A
B
A
x
x
y
y
z
z )( . Observe ainda que para 1),( yxf retornamos a integral do
comprimento de arco.
B
dVzyxV ),,( (8. 72)
Se a função f depender de várias variáveis (x, y, z), por exemplo, temos as seguintes integrais:
B
dVyxfI ),(2 (8. 73)
E
B
dVzyxfI ),,(3 (8. 74)
183
8.6.2 – Integral de volume de funções vetoriais
Caso 1D
Considere agora uma função vetorial F
que varia ao longo de um volume, cuja
integral é dada por:
B
dVxFI )(1
(8. 75)
Observe que se a função F
depende de da direção i podemos escrever:
ixFxF ˆ)()(
(8. 76)
logo a integral se reduz a:
B
dVixFI ˆ)(1
(8. 77)
que se iguala ao caso escalar visto anteriormente.
184
Caso 2D
Se a função F
depender de várias variáveis (x, y), por exemplo, temos as
seguintes integrais:
B
dVyxFI ).,(2
(8. 78)
Observe que a se função F
varia diferentemente nas direções jei ˆˆ temos:
jyxFiyxFyxF yxˆ),(ˆ),(),(
(8. 79)
E
),,( zyxVV (8. 80)
Teremos:
B
yx dVjyxFiyxFI ].ˆ),(ˆ),([2
(8. 81)
Ficamos com duas integrais independentes:
B
yB
x dVjyxFdViyxFI ˆ),(ˆ),(2
(8. 82)
Ou
Syj
Sxi
dVjyxFI
dViyxFI
ˆ),(
ˆ),(
2
2
(8. 83)
185
Caso 3D
Se a função F
depender de várias variáveis (x, y, z), por exemplo, temos as
seguintes integrais:
B
dVzyxFI ).,,(3
(8. 84)
Observe que a se função F
varia diferentemente nas direções jei ˆˆ temos:
kzyxFjzyxFizyxFzyxF zyxˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(),,(
(8. 85)
E
),,( zyxVV (8. 86)
Teremos:
B
zyx dVkyxFjyxFiyxFI ]ˆ),(ˆ),(ˆ),([3 (8. 87)
Ficamos com três integrais independentes:
C
zC
yC
x dVkyxFdVjyxFdViyxFI ˆ),(ˆ),(.ˆ),(3 (8. 88)
Ou
Bzk
Byj
Bxi
dVkzyxFI
dVjzyxFI
dVizyxFI
ˆ),,(
ˆ),,(
ˆ),,(
3
3
3
(8. 89)
191
Capítulo – IX
TEORIA DO CAMPO ESCALAR E VETORIAL E TENSORIAL DE FUNÇÕES
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de .
9. 1 - Introdução
(9. 1)
(9. 2)
192
9. 2 - Gradiente de um Campo Escalar e Vetorial
Seja , ,u x y z um campo escalar definido em uma região R. A natureza física de
u pode ser ignorada, mas por questão de definição vamos supor que u seja um campo de
temperaturas de um meio material, conforme mostra Figura - 9. 1.
Figura - 9. 1. Região B do volume envolvido por uma superfície S atravessado por um campo de temperaturas u.
Focando nossa atenção sobre um ponto particular , ,P x y z no meio, vamos
introduzir um volume de controle arbitrário ao redor de P, como mostra a Figura - 9. 1, e
vamos denotar este volume por B. Um volume de controle é somente uma região matemática
ao invés de um volume de presença física e este é introduzido para efeito de cálculos, de tal
forma que mantenhamos a trilha de alguma quantidade de interesse, tal como massa, carga
elétrica, ou calor, por exemplo.
Consideremos a seguinte integral de superfície que envolve o volume de controle
B, como sendo:
ˆS
I nudA
(9. 3)
onde n é um vetor unitário normal dirigido para fóra em cada ponto sobre a superfície S,
conforme mostrado na Figura - 9. 1.
O vetor integral I
representa o fluxo líquido para fóra porque nós tomamos o
vetor normal n como sendo dirigido para fóra. Nós chamaremos I
de uma integral de fluxo
de volume porque elas é dada pelo volume por unidade de tempo. Se por outro lado, o vetor
campo de velocidades , , ,v x y z t possui um campo de densidade escalar , , ,x y z t
193
associado, a integral I será chamado de integral de fluxo de massa por unidade de tempo, ou
seja:
ˆS
dI undAdt
(9. 4)
Vamos agora dividir o vetor integral I
, por unidade de volume. Finalmente, nós
vamos encolher B para o ponto P e obter o vetor integral I
por unidade de volume no ponto
P. Este resultado é chamado de gradiente de u no ponto P é definido como:
0
1 ˆlimB
S
grad u P nudAV
(9. 5)
onde 0B significa que B encolhe para o ponto P de tal forma que a máxima dimensão
linear de B (“o diâmetro”) tende a zero ( 0B ).
Observe que grad u P é um vetor em cada ponto P desde que n , é vetor e dA e
v são escalares. Então, grad u é ele mesmo um campo vetorial associado com o dado campo
escalar u.
Observe que (9. 5) fornece uma definição do grad u intrínseca ou invariante
independente do sistema de coordenadas de referência.
.......
Pegar texto da apostila de Mecânica dos Fluidos
194
9.3.1 – Análise e Interpretação do Vetor Gradiente
Nós vimos na secção anterior a operação do operador nabla ou “del” sobre
um campo vetorial v . Podemos imaginar qual seria o efeito do operador nabla sobre um
campo escalar u . Para isso nós devemos introduzir neste ponto o conceito da tão chamada
derivada direcional de um campo escalar , ,u x y z porque esta nos ajudará a entender a
definição do gradiente de u .
9.3.1 – Derivada Direcional
Considere uma curva-C no espaço, dada pelas funções coordenadas
,x x s y y s e z z s , ] as quais são parametrizada pela distância s, da seguinte
forma:
),,(
)();();(zyxu
szsysxcurva (9. 6)
onde s é o comprimento de arco ao longo de C a partir de algum ponto de referência sobre C,
e nós desejamos computar a taxa de variação /du ds ao longo de C. Pela regra de derivação
da cadeia nós temos:
, ,du u dx u dy u dzx s y s z sds x ds y ds z ds
(9. 7)
cuja fórmula permanece porque nós temos suposto que , ,u x y z seja de classe C1. Isto é, a
regra de derivação da cadeia, é essencialmente um fórmula de interpolação, onde /du ds é
computada como uma combinação linear das taxas de variação de / , / e /u x u y u z nas
direções coordenadas ortogonais. Para tal interpolação ser válida, nós seguramente
necessitamos de que as três derivadas parciais sejam contínuas no ponto em questão e isto é
porque nós supomos , ,u x y z sendo de classe C1. De fato, tipicamente os campos escalares
que aparecem nas aplicações são realmente de classe C1, talvez com rupturas e um ou mais
pontos isolados.
Continuando, observe que o lado direito de (9. 7) é um produto escalar do tipo:
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ.du u u u dx dy dzi j k i j kds x y z ds ds ds
(9. 8)
195
Podemos reescrever como:
kdsdzj
dsdyi
dsdxk
zuj
yui
xu
dsdu ˆˆˆ.ˆˆˆ (9. 9)
O primeiro vetor no lado direito é u , e o segundo é /dR ds
, onde
ˆˆ ˆR s x s i y s j z s k
(9. 10)
é o vator posição a partir da origem para o ponto , ,P x s y s z s sobre C. Observe
que /dR ds
é um vetor tangente a C em P, e este é um vetor unitário porque,
0lims
dR Rds s
(9. 11)
logo
0 0 0lim lim lim 1s s s
RdR R Rds s s s
(9. 12)
dado pela definição de comprimento de arco conforme mostra a Figura - 9. 2.
Figura - 9. 2.
Logo
.du dRuds ds
(9. 13)
Se s for o comprimento Rdds
, logo
196
sdsRd ˆ
(9. 14)
Se nós denotarmos que o vetor tangente unitário /dR ds
como s a equação (9. 13) torna-se
sudsRdu
dsdu ˆ..
(9. 15)
observe que o gradiente de u é um vetor e a derivada direcional é um escalar.
Portanto,
ˆ.du u sds
(9. 16)
Desta forma, o gradiente de um campo escalar, é definido como sendo o
operador nabla aplicado a esse campo escalar da seguinte forma:
grad (9. 17)
9.3.1 - Interpretação do Gradiente
Considere qualquer ponto P na região através da qual um campo escalar u de
classe C1 é definido. Suponha que 0u em P e que existe em u constante (superfície de
u constante) através de P e o plano tangente T conforme mostra a
Figura - 9. 3.
Por exemplo, u é um campo de temperatura então S é uma “superfície isoterma”. Se s em P,
é escolhido como qualquer vetor no plano tangente T, então seguramente du/ds deve ser zero.
Desde que:
197
ˆ. 0du u sds
(9. 18)
Para todo s em P no plano tangente, e ambos u e s são não nulos, segue-se que u é
normal ao plano tangente T e portanto também à superfície S em P.
Se dizemos que s está no plano tangente nós sabemos que u é normal a S,
então para buscarmos a informação adicional sobre u parece lógico fazer s está ao longo
da linha normal em P, e dizer que esta está na direção do aumento de u, por definição. Então
escrevendo /du dn e n para /du ds e s , respectivamente (9. 18) fornecerá:
ˆ.
cos
du u ndn
u
(9. 19)
onde 0 , logo
du udn
(9. 20)
tal que a magnitude do gradiente de u , ou seja, u é a derivada direcional de u ao longo
da linha normal a S na direção do aumento de u.
Em resumo nós podemos dizer isto sobre o gradiente de u, ou u , de um campo
escalar , ,u x y z no ponto P:
Ssua direção é normal a superfície de u = constante através de P, na direção do
aumento de u, e sua magnitude é igual a derivada direcional /du dn naquela direção.
Suponhamos um campo de temperatura, u,
Figura - 9. 4.
198
Seja a derivada direcional na direção s, dada por:
sudsdu ˆ. (9. 21)
Podemos reescrever:
snudsdu ˆ.ˆ (9. 22)
Logo
cosudsdu
(9. 23)
Tomemos uma direção s, perpendicular ao gradiente, logo
susudsdu ˆ0ˆ. (9. 24)
E a derivada de u na direção normal é dada:
unudndu
ˆ. (9. 25)
Portanto,
cosudsdu
(9. 26)
Figura - 9. 5.
199
9.3.1 – Vetor normal a um ponto sobre uma superfície
Seja uma superfície ,z f x y , conforme mostra a Figura - 9. 6
Figura - 9. 6. Superfície ,z f x y em um sistema de coordenadas cartesianas.
Deseja-se calcular a direção do vetor normal ˆ , ,x y zn n n n erpendicular a
superfície no ponto , ,o o oP x y z .
Para isso fazemos:
, , , 0F x y z z f x y (9. 27)
Aplicando o gradiente da função , ,F x y z obtemos:
ˆˆ ˆ, , F F FF x y z i j kx y z
(9. 28)
Logo
ˆˆ ˆ, , f f zF x y z i j kx y z
(9. 29)
O vetor normal a superfície é dado por:
ˆˆˆ ˆ, ,
, , 1 1 1
f f f f z zF x y z ii jj kkx x y y z z
f f f f z zF x y zx x y y z z
(9. 30)
ou
200
22 2
222
, ,
, , 1
f f zF x y zx y z
f fF x y zx y
(9. 31)
Portanto, o vetor normal n ’é dado por:
22
2
ˆˆ ˆˆ , ,
1
f f zi j kx y z
n x y zf fx y
(9. 32)
Esta equação calcula os vetores normais a superfície ,f x y em qualquer ponto. Portanto,
para o ponto particular , ,o o oP x y z , basta substituir as coordenadas do ponto, da seguinte
forma:
22
2
ˆˆ ˆ
ˆ , ,
1
o o
o o
x x y yo o o
x x y y
f fi j kx y
n x y zf fx y
(9. 33)
201
9. 3 - Divergente de um Campo Vetorial e Tensorial
Seja , ,v x y z um campo vetorial definido em uma região R. A natureza física de
v pode ser ignorada, mas por questão de definição vamos supor que v seja um campo de
velocidades de um fluido, conforme mostra Figura - 9. 7.
Figura - 9. 7. Região B do volume envolvido por uma superfície S atravessado por um campo de velocidades v .
Focando nossa atenção sobre um ponto particular , ,P x y z no fluxo, vamos
introduzir um volume de controle arbitrário ao redor de P, como mostra a Figura - 9. 7, e
vamos denotar este volume por B. Um volume de controle é somente uma região matemática
ao invés de um volume de presença física e este é normalmente introduzido para efeito de
cálculos, de tal forma que mantenhamos a trilha do fluxo de alguma quantidade de interesse,
tal como massa, carga elétrica, ou calor, por exemplo.
Consideremos a seguinte integral de superfície que envolve o volume de controle
B, como sendo:
ˆ.S
I n vdA (9. 34)
onde n é um vetor unitário normal dirigido para fóra em cada ponto sobre a superfície S,
conforme mostrado na Figura - 9. 7.
A integral I representa o fluxo líquido para fóra porque nós tomamos o vetor
normal n como sendo dirigido para fóra. Nós chamaremos I de uma integral de fluxo de
volume porque elas é dada pelo volume por unidade de tempo. Se por outro lado, o vetor
campo de velocidades , , ,v x y z t possui um campo de densidade escalar , , ,x y z t
associado, a integral I será chamado de integral de fluxo de massa por unidade de tempo, ou
seja:
202
ˆ.S
dI v ndAdt
(9. 35)
Vamos agora dividir a integral do fluxo por unidade de volume V de B para obter
o fluxo líquido por unidade de volume. Finalmente, nós vamos encolher B para o ponto P e
obter o vetor integral I
por unidade de volume no ponto P. Este resultado é chamado de
divergente de v no ponto P é definido como:
0
1 ˆlim .B
S
div v P v ndAV
(9. 36)
onde 0B significa que B encolhe para o ponto P de tal forma que a máxima dimensão
linear de B (“o diâmetro”) tende a zero ( 0B ).
Observe que div v P é um vetor em cada ponto P desde que n , é vetor e dA e v
são escalares. Então, div v é ele mesmo um campo vetorial associado com o dado campo
vetorial v .
Observe que (9. 5) fornece uma definição do div v intrínseca ou invariante
independente do sistema de coordenadas de referência.
203
Considere a seguinte integral de superfície
S
dAvnI .ˆ (9. 37)
Conforme mostra a Figura - 9. 8
Figura - 9. 8.
Definimos o divergente de um campo vetorial como sendo:
SB
dAvnV
Pvdiv .ˆ1lim)(0
(9. 38)
onde B é uma região do volume V e S é a superfície que cobre o volume.
Figura - 9. 9.
O operador nabla é definido em coordenadas cartesianas como:
zyx
,, (9. 39)
logo
zv
yv
xvv zyx
. (9. 40)
204
9.2.1 - Interpretação do Divergente
O divergente representa a conservação do volume, pois no caso de deformações
define-se a incompressibilidade como sendo dada por:
0. v (9. 41)
No caso de materiais sólidos a conservação do volume implica em um módulo de Poisson =
0.5.
comprimido
ívelincompressrarefeito
v000
. (9. 42)
205
9. 4 – Rotacional de um Campo Vetorial e Tensorial
O rotacional de um campo vetorial é definido como:
zyx vvvzyx
kji
vvrot
ˆˆˆ (9. 43)
Ou
kyv
xv
jxv
zvi
zv
yvv xyzxyz ˆˆˆ
(9. 44)
206
9. 5 – Teorema da Divergência ou de Gauss
O teorema da divergência estabelece que:
SV
dAvndVvdiv .ˆ (9. 45)
e
SB
dAvnV
Pvdiv .ˆ1lim)(0
(9. 46)
9.5.1 - Em 1D
dxdvvdiv x
(9. 47)
e
)()( avbvdxdxdvdVvdiv xx
b
a
x (9. 48)
9.5.2 - Aplicação
Considere um fluido dentro de um “volume de controle”
onde
dVdm (9. 49)
e
dVdmmVm (9. 50)
Logo
207
dVdtd
dtdm
V (9. 51)
Logo
dAvndVdtd
SV
.ˆ (9. 52)
e
VSV
dVvdAvndVt
..ˆ (9. 53)
Logo
VV
dVvdVt
. (9. 54)
Então,
0.
dVvtV
(9. 55)
Como o volume de controle é arbitrário temos:
0. v
t (9. 56)
Ou
0.. vv
t
dtd
(9. 57)
Logo
0.. vv
t
dtd
(9. 58)
208
0. vdtd (9. 59)
E
0.
vtdt
d (9. 60)
Logo
0. v (9. 61)
Para um fluido incompressível temos:
0. v (9. 62)
209
9. 6 – Identidades de Green
Considere os escalares u e v onde vu é um campo vetorial. Usando o Teorema
da Divergência de Gauss.
dAvundVvuSV .ˆ. (9. 63)
onde
nvunvuvuvu
ˆ.. 2 (9. 64)
i) Para vu temos:
dAnvudVvuvu
SV
2. (9. 65)
A 1ª Identidade de Green.
ii) Para uv temos:
dAnuvdVuvuv
SV
2. (9. 66)
Subtraindo (9. 65) de (9. 66) temos:
dAnvu
nuvdVuvvu
SV
22 (9. 67)
A 2ª Identidade de Green.
210
9. 7 – Teorema de Stokes
Considere a seguinte Integral de Linha:
0. C
RdvI (9. 68)
Onde
voltaida
RdvRdvI .. (9. 69)
O Teorema de Stokes estabelece que:
CS
RdvdAvrotn ..ˆ (9. 70)
e
CS
RdvdAvn ..ˆ (9. 71)
Prova para o Caso 2D
Aplicando o Teorema da Divergência 2D.
dsVNdAVCS
.ˆ. (9. 72)
para
dsVNVNdAy
Vx
V
Cyyxx
S
yx
(9. 73)
Definindo
yyyx vvVV ,, (9. 74)
e
211
dsNNvvdAyv
xv
Cxyyx
S
xy
,., (9. 75)
Figura - 9. 10
logo
dsvdAyv
xv
CS
xy
. (9. 76)
Portanto,
RdvdAnvCS
.ˆ. (9. 77)
O Teorema da Divergência é para superfície fechada enquando o Teorema de Stokes é para a
Superfície Aberta.
212
9. 8 – Teorema de Green
Considere o Teorema de Stokes:
RdvdAnvCS
.ˆ. (9. 78)
O Teorema de Green é deduzido a partir do Teorema de Stokes supondo:
jyxQiyxPv ˆ),(ˆ),( (9. 79)
logo
CS
QdyPdxdAyP
xQ (9. 80)
217
Capítulo – X
SEQUÊNCIAS, SÉRIES DE FUNÇÕES E SUAS TRANSFORMADAS
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de seqüência e série de funções,
como uma forma de expressar uma determinada função em uma base de funções ortogonais
de dimensão infinita denominado de espaço de Hilbert .
10. 1 -Introdução
O espaço de funções é isomorfo (possui a mesma forma) do espaço vetorial.
Logo, qualquer função pode ser escrita em termos de uma base de funções. Normalmente uma
base de funções possui infinitos termos a qual define uma seqüência de funções que quando
utilizadas para expressar uma função particular nesta base dá origem a uma série chamada de
Serie de funções.
Dentre a série de funções que pode ser utilizadas como uma base para expressar
uma função particular tem: a Série de Potências, a Série de Laplace, e a Série de Fourier.
Cada uma delas pode gerar o que chamamos de transformadas, quando expressamos os
coeficientes destas séries em termos da função particular original.
219
10. 3 – Seqüência e Sériede e Transformadas de Funções Ortogonais
10.3.1 - Sequência de Funções Ortogonais
Seja a seguinte sequência
,...,...,, 1 non (10. 1)
onde
)(xnn (10. 2)
uma seqüência de funções definidas em [a,b]. Esta sequência é dita ortogonal se 0n
para todo n e 0, mn para todo mn .
Usamos também a notação mn para significar 0, mn . No caso
1n para todo n a sequência é dita ortonormal.
Dada uma sequência ortogonal n resulta que a seqüência n , onde
)()(
xx
n
nn
, (10. 3)
é ortonormal.
Exemplos:
A seqüência
,...2,1
en,cos,1)(
nn L
xnsL
xnx (10. 4)
E 0, llxl , é ortogonal
220
10.3.2 - Serie de Funções Ortogonais
Seja a seguinte série
n , bxaxnn ),( (10. 5)
uma seqüência de funções ortogonais.
Seja f(x) definida em [a,b]. A Série de Fourier de f(x) relativamente à seqüência
ortogonal n é por definição a série
)(0
xc nn
n
(10. 6)
onde
2)(
,x
fcn
nn
, (10. 7)
Os cn são chamados os coeficientes de Fourier de f(x) relativamente à sequência
n . Usaremos a notação
)(~)(0
xcxf nn
n
(10. 8)
221
10.3.3 - Transformada de Funções Ortogonais
Seja )(xn numa série de funções linearmente independentes formando uma
base para um espaço vetorial de funções o qual possui de dimensão infinita. Logo podemos
expressar qualquer função do espaço em termos de uma combinação linear das funções da
base, ou seja:
...)(...)()()( 2211 xaxaxaaxf nno (6. 110)
ou
)()( xaxf kk
k
(6. 111)
Esta é a chamada série de potências e os coeficientes desta série são calculados da seguinte
forma:
Multiplica-se a série em ( ) por l e integra-se desde zero até infinito,
dxadxxf kk
kll
)( (6. 112)
Como a integração e a somatória são operadores lineares, podemos trocar a ordem das
operações
dxadxxf klr
kl
)( (6. 113)
Como as funções l e k são ortogonais exceto para o caso de l = k, temos:
klk
kl adxxf
)( (6. 114)
Logo para l = k temos:
dxxfa lk )(
(6. 115)
222
10. 4 - Série e Transformada de Potência
Seja nx numa série de polinômios linearmente independentes formando uma
base para um espaço vetorial de funções o qual possui de dimensão infinita. Logo podemos
expressar qualquer função do espaço em termos de uma combinação linear das funções da
base, ou seja:
......)( 221 n
no xaxaxaaxf (10. 9)
ou
n
nn xaxf
0
)( (10. 10)
Esta é a chamada série de potências e os coeficientes desta série são calculados da seguinte
forma:
Multiplica-se a série em ( ) por mx e integra’-se desde zero até infinito,
dxxaxdxxxf n
ii
mm
000
)( (10. 11)
Como a integração e a somatória são operadores lineares, podemos trocar a ordem das
operações
dxxxadxxxf nm
mm
m
000
)( (10. 12)
Como as funções mx e nx são ortogonais exceto para o caso de i = n, temos:
nmi
mm adxxxf
00
)( (10. 13)
Logo para n = m temos:
dxxxfa nn )(
0
(10. 14)
223
10. 5 - Série e Transformada de Laplace
Seja ste numa série de polinômios linearmente independentes formando uma
base para um espaço vetorial de funções o qual possui de dimensão infinita. Logo podemos
expressar qualquer função do espaço em termos de uma combinação linear das funções da
base, ou seja:
......)( 221 nt
ntt
o eaeaeaatf (10. 15)
ou
st
sseatf
0)( (10. 16)
Esta é a chamada série de potências e os coeficientes desta série são calculados da seguinte
forma:
Multiplica-se a série em ( ) por rte e integra’-se desde zero até infinito,
dteaedtetf st
ss
rtrt
000
)( (10. 17)
Como a integração e a somatória são operadores lineares, podemos trocar a ordem das
operações
dteeadtetf strt
ss
rt
000
)( (10. 18)
Como as funções rte e ste são ortogonais exceto para o caso de r = s, temos:
srs
srt adtetf
00
)( (10. 19)
Logo para r = s temos:
dtetfa sts
)(0
(10. 20)
224
10. 6 - Série e Transformada de Gauss
Seja 2kxkex numa série de polinômios linearmente independentes formando
uma base para um espaço vetorial de funções o qual possui de dimensão infinita. Logo
podemos expressar qualquer função do espaço em termos de uma combinação linear das
funções da base, ou seja:
......)(222 22
21 nxnn
xxo eexaexaxeaaxf (10. 21)
ou
2
0)( kxk
kk exaxf
(10. 22)
Esta é a chamada série de potências e os coeficientes desta série são calculados da seguinte
forma:
Multiplica-se a série em ( ) por 2ixiex e integra’-se desde zero até infinito,
dxexaexdxexxf kxk
kk
ixiixi 222
000
)(
(10. 23)
Como a integração e a somatória são operadores lineares, podemos trocar a ordem das
operações
dxexexadxexxf kxkixi
kk
ixi 222
000
)(
(10. 24)
Como as funções 2ixiex e
2kxkex são ortogonais exceto para o caso de i = k, temos:
ikk
kixi adxexxf
00
2)( (10. 25)
Logo para i = k temos:
dkexxfa kxkk
2)(
0
(10. 26)
225
10. 7 - Série e Transformada de Fourier
10.7.1 - Série de Fourier
Seja ikxe numa série de polinômios linearmente independentes formando uma
base para um espaço vetorial de funções o qual possui de dimensão infinita. Logo podemos
expressar qualquer função do espaço em termos de uma combinação linear das funções da
base, ou seja:
......)( 221 inx
nxiix
o eaeaeaaxf (10. 27)
ou
ikx
kkeaxf
)( (10. 28)
Esta é a chamada série de potências e os coeficientes desta série são calculados da seguinte
forma:
Multiplica-se a série em ( ) por irxe e integra-se desde zero até infinito,
dxeaedxexf ikx
kk
irxirx
)( (10. 29)
Como a integração e a somatória são operadores lineares, podemos trocar a ordem das
operações
dxeeadxexf ikxirx
rk
irx
)( (10. 30)
Como as funções irxe e ikxe são ortogonais exceto para o caso de r = s, temos:
227
10.7.2 – Integral de Fourier
A Série de Fourier se aplica a Funções Periódicas. Contudo, quando uma função
não é periódica como a função gaussiana, por exemplo, como podemos expressar essa função
em termos de senos e cossenos?
A resposta a essa pergunta está em se considerar um período infinito da seguinte
forma:
Seja a Série:
0sencos)(
nnn x
Lnbx
Lnaxf (10. 33)
O conjunto de frequências na série é dado pela freqüência angular:
Ln (10. 34)
Para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6..são:
,....4,3,2,,0LLLL (10. 35)
O espectro de freqüência.
Vejamos o que ocorre quando aumentamos L:
....4.0,3.0,2.0,1.0,0:10
:
,....0.2,5.1,0.1,5.0,0:2
,....4,3,2,1,0:
LnL
LnL
LnL
(10. 36)
ou seja, quando L , o espectro vai sendo preenchido, tornando-se uma variável
contínua. A soma no índice n passa a ser uma integral em L
n , logo
0
sencos)( dxbxaxf nn (10. 37)
e Ld / , onde
229
10.7.3 – Transformada de Fourier
Considere a seguinte integral de Fourier:
0
sencos)( dxbxaxf nn (10. 39)
e Ld / , onde
dxxxfb
dxxxfa
sen)(1)(
cos)(1)( (10. 40)
Seja
0
0
sensen)(11
coscos)(1)(
dxdxf
ddxfxf
(10. 41)
Ou
0
sensencoscos)(1)(
ddxxfxf (10. 42)
Ou ainda
0
sensencoscos)(1)(
ddxxfxf (10. 43)
Logo
0
)(cos)(1)(
ddxfxf (10. 44)
Usando a representação eponenecial temos:
230
0
)()(
21)(1)(
ddeefxf xixi (10. 45)
Ou
0
)()()(21)(
ddeefxf xixi (10. 46)
Ou ainda
0
)(
0
)( )(21)(
21)(
ddefddefxf xixi (10. 47)
Trocando por por:
0
)(
0
)( )(21)()(
21)(
ddefddefxf xixi
(10. 48)
Invertendo os limites de integração temos:
0
)(0
)( )(21)(
21)(
ddefddefxf xixi (10. 49)
Logo
ddefxf xi )()(21)( (10. 50)
Separando temos:
dedefxf xii)(
21
21)( (10. 51)
Chamando de
deff i)(21)(ˆ (10. 52)
Portanto,
231
defxf xi)(ˆ21)( (10. 53)
Voltando de x temos:
A Transformada de Fourier Direta
defxf xi)(ˆ21)( (10. 54)
E a Transformada de Fourier Inversa
dxexff i
)(
21)(ˆ (10. 55)
Seja uma função f(x) a qual associamos uma outra função F(k). Definimos a
Transformada de Fourier de uma função f(x) como sendo a função F(k), dada por:
dxexfkF ikx
)(
21)(
(10. 56)
Onde
dxxf )( (10. 57)
E a transformação inversa de
dxekFxf ikx)(21)(
(10. 58)
233
10. 8 - Exemplos e Aplicações
10.8.1 - Exemplo – 1
Considere a viga de uma ponte com cargas descontínuas conforme mostra a
Figura - 10. 1
Figura - 10. 1
Qual é o resultado da deformação da viga com relação a essa carga?
234
10.8.2 - Exemplo – 2
Considere um oscilador harmônico forçado com uma função F(t) na forma de uma
onda retangular, conforme mostra a Figura - 10. 2
Figura - 10. 2
A equação diferencial do problema é:
)(tFkxxcxm (10. 59)
onde m = 1; c = 0,04; k = 15.
)(1504.0 tFxxx (10. 60)
Solução
Considerando a função F(t) na forma de Série de Fourier temos:
1cos)(
nno t
LnaatF (10. 61)
Para L temos:
1
cos)(n
no ntaatF (10. 62)
Onde
x
o dttFa
)(21 (10. 63)
e
235
21
21
211
0
o
a
o
a
dta
a (10. 64)
E
nna
aa
dtnta
dtnttFa
n
a
n
sen1
cos212cos)(1
0
(10. 65)
Portanto,
1
cossen21)(
nnt
nanatF
(10. 66)
Portanto, a solução x é do tipo:
pNpph xxxxx ...21 (10. 67)
Onde:
01504.0 hhh xxx (10. 68)
Onde
th ex ~ (10. 69)
e
01504,02 (10. 70)
Com
2
6004,004,0 2
1
(10. 71)
e
236
biabia
1 (10. 72)
Onde
)sen()cos( btBbtAex ath (10. 73)
Para o forçante:
nttF cos)( (10. 74)
temos:
ntnna
axxx cossen11504.0
(10. 75)
e
)sen()cos( 21 ntBntBx p (10. 76)
cuja solução geral é:
237
10.8.3 - Exemplo – 3
Considere a viga infinita de fundação elástica com cargas descontínuas conforme
mostra a Figura - 10. 1,
Figura - 10. 3
Qual é o resultado da deformação da viga com relação a essa carga?
cuja equação é:
ExternaForçaInternaForça
xpEIu )('''' (10. 77)
Para
)()()( xkuxwxp (10. 78)
torna-se:
)()(''')'( xwxkuxEIu (10. 79)
Onde
1cos2/sen2
2)(
n
oo xa
nnnwwxw
(10. 80)
Com período aT 4
Supondo
1 2cos)(
nno x
anaaxu (10. 81)
Substituindo na Equação Diferencial temos:
238
1
11
4
cos2/sen222
cos2
cos2
n
o
o
nno
nno
xa
nnnw
wxa
nakkaxa
na
naEIEIa
(10. 82)
Examinado os coeficientes temos:
nnwak
anEI
wka
on
oo
2/sen22
24
(10. 83)
Logo
ka
nEInnwa
kwa
on
oo
4
2
12/sen22
(10. 84)
Portanto,
14
4
2cos
2
2/sen22
)(n
oo xa
n
ka
nEIn
nawk
wxu
(10. 85)
Ou
144
4
2cos
162/sen32
2)(
n o
oo xa
nkawnEIn
nawk
wxu
(10. 86)
Ou aproximadamente:
x
an
kawEIaw
kwxu
o
oo
2cos
1632
2)( 44
4
(10. 87)
239
10.8.4 - Exemplo - 4
Considere uma carga de intensidade wo que atua sobre uma viga, conforme mostra
a Figura - 10. 4.
Figura - 10. 4
cuja deformação e dada pela equação:
)()(''')'( xwxkuxEIu (10. 88)
Onde
1;0
1;)(
x
xwxw o (10. 89)
Ou usando a função de Heaviside, )( oxxH :
)1()1()( xHxHwxw o (10. 90)
Figura - 10. 5
240
A função w(x) pode ser escrita em termoa da integral de Fourier como:
dxbxaxw
0
)sen()()cos()(1)( (10. 91)
onde 0)( b logo
dxaxw
0
)cos()(1)( (10. 92)
E
)(2)cos(2
)cos(1)(
1
0
1
1
senwdxxw
dxxwa
oo
o
(10. 93)
logo
dxsenwxw o
0
)cos()(21)( (10. 94)
Ou
dxsenwxw o
02 )cos()(2)( (10. 95)
sabemos que u(x) deve ser par, logo:
dxAxu
0
)cos()(1)( (10. 96)
E
dxAxu
0
4 )cos()(1)('''' (10. 97)
logo
241
dxsenw
dxAkdxAEI
o
02
00
4
)cos()(2
)cos()(1)cos()(1
(10. 98)
Portanto,
0)cos()(2)()(1
0
4
dxsenwkAEIA o (10. 99)
x , então:
0)(2)()( 4
senwkAEIA o (10. 100)
Logo:
kEIsenwA o
4
)(2)( (10. 101)
Portanto a solução da Equação Diferencial é:
dxkEI
senwxu o
042 )cos()(2)( (10. 102)
244
Capítulo – XI
INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de Equações Diferenciais e os
diferentes tipos de equações diferenciais e sua classificação, quanto ao número de variáveis
independentes, ordem, grau, coeficientes das derivadas, etc.
11. 1 - Objetivos do Capítulo
i) Saber reconhecer uma equação diferencial.
ii) Saber classificar uma equação diferencial, quanto ao número de variáveis
independentes, quanto a ordem, quanto ao grau, etc.
O objetivo deste capítulo é mostrar alguns métodos de resolução de alguns tipos
de equações diferenciais que aparecem mais frequentemente.
11. 2 - Introdução
Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a
uma equação diferencial. Por esta razão saber reconhecer uma equação diferencial dentro de
um problema específico é muito importante, para a busca de sua solução. Da mesma forma,
saber classificar uma equação diferencial é o primeiro passo na busca de sua solução, pois
apesar de não existir um método único para se resolver todas as equações diferenciais, a
classificação delas ajuda a escolher o método mais adequando de solução.
245
11. 3 – Equações Diferenciais, Definição e Classificação
11.3.1 – Definição de Equações Diferenciais
Uma equação diferencial é uma relação que envolve uma função incógnita e suas
derivadas ou diferenciais dessa função
Exemplos:
1)
)()( tfty (11. 1)
2)
0)()( tyty (11. 2)
3)
0)(5)()()( ttytysentty (11. 3)
4)
0),(),(2
2
2
2
ttxu
xtxu (11. 4)
5)
0),(),( dyyxNdxyxM (11. 5)
246
11.3.2 – Classificação das Equações Diferenciais
i) Quanto as Variáveis Independentes
a) Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) – A função incógnita depende apenas de uma
variável independente: y = f(x).
b) Equação Diferencial Parcial (E.D.P.) – A função incógnita depende de duas ou mais
variáveis independentes: y = f(x, y, z, t).
Exemplo:
qdx
udEI 4
4
(11. 6)
Figura - 11. 1.Problema de uma viga bi-apoiada e flexionada sobre seu próprio peso.
ii) Quanto a Ordem
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que aparece
na equação. Por exemplo, a equação diferencial em (11. 6) é de quarta ordem.
Exemplos:
1) )(ou)( tuuxuu
EDO de 1ª Ordem
uu 1' (11. 7)
EDO de 2ª Ordem
247
xuu 4'' (11. 8)
EDO de 2ª Ordem
)(tfRuucum (11. 9)
iii) Quanto ao Grau
O grau de uma equação diferencial é a potência a que se acha elevada a derivada
de ordem mais alta.
Exemplos:
EDO de 1ª Ordem e do 2º Grau
22 2')'( xuuu (11. 10)
2) u = u(x, y, z)
EDP de 2ª Ordem e 1º Grau
02
2
2
2
2
2
zu
yu
xu (11. 11)
ou
02 u (11. 12)
onde o operador 2 é chamado de Laplaciano.
2
2
2
2
2
22
zyx
(11. 13)
iv) Quanto aos Coeficientes das Derivadas
a) Lineares – Os coeficientes dependem das variáveis independentes.
248
b) Quase-Lineares – Os coeficientes dependem das variáveis independentes e/ou das variáveis
dependentes, mas não de suas derivadas.
c) Não-Lineares – Os coeficientes dependem das derivadas das variáveis dependentes
Exemplos:
Linear:
0)()()( xcfxbdxdfxa (11. 14)
Quase-Linear:
0)()()( xcfxbdxdfxf (11. 15)
Não-Linear:
0),(2
2
2
2
yxd
yf
xf
xf
yf (11. 16)
OBS: Uma equação linear é sempre do primeiro grau, uma equação do primeiro grau não e
necessariamente linear.
v) Quanto ao Tipo
Serão consideradas equações diferenciais parciais de 2ª ordem (são as que mais
aparecem na prática).
Seja a forma geral de uma E.D.P. de 2ª ordem com duas variáveis independentes.
0222 2
22
2
2
eu
yug
xuf
yub
yxuh
xua (11. 17)
onde a, h, f, g, e e podem ser constantes ou funções das variáveis x e y.
Por analogia com a forma de uma secção cônica geral:
ax2 + 2hxy +by2 + 2fx +2gy + e = 0 (11. 18)
249
que representa uma elipse quando (a.b – h2 > 0), uma parábola quando (a.b – h2 = 0), uma
hipérbole quando (a.b – h2 < 0). Uma classificação semelhante é adotada para as E.D.P.
Exemplos:
1) Equação de onda unidimensional
012
2
22
2
tu
cxu (11. 19)
Esta equação de onda é do tipo hiperbólica porque: a = 1; h = 0; b = -1/c2 logo a.b – h2 = -
1/c2 < 0
2) Equação de Difusão (condução do calor)
012
2
tu
xu
(11. 20)
Esta equação de difusão é do tipo parabólica porque: a = 1; h = 0; b = 0 logo a.b – h2 = 0
3) Equação de Laplace
02
2
2
2
yu
xu (11. 21)
Esta equação de laplace é do tipo elíptica porque: a = 1; h = 0; b = 1 logo a.b – h2 = 1 > 0
Uma vez que se sabe reconhecer e classificar uma equação diferencial, vamos ao
capítulo seguinte onde daremos início ao primeiro método numérico de solução baseado na
própria definição de derivada, chamado de Método das Diferenças Finitas.
250
11. 4 – Propriedades das Equações Diferenciais
11.4.1 – Existência e Unicidade das Soluções
Seja Rbaf ],[: contínua, então pelo Teorema Fundamental do Cálculo a função:
btadftFt
a
,)()( (11. 22)
é diferenciável em (a,b) e F’(t) = f(t) para todo t (a,b).
Logo F(t) é uma solução da equação diferencial ordinária de 1ª ordem
btatfty )()( (11. 23)
e ainda F(a) = 0. Neste caso dizemos que F(t) é uma solução do Problema de valor Inicial.
btaay
tfty
0)()()(
(11. 24)
Logo o P.V.I., neste caso, tem solução, mas surge a pergunta:
Será que F(t) é a única solução deste P.V.I.?
Neste caso a resposta é positiva, pois se G(t) fosse uma outra solução teríamos
que:
constantetGFdt
tGFdtFtftG
))((0))(()()()( (11. 25)
mas
),()()(000)()())((
battodoparatFtGaGaFaGF
(11. 26)
251
11.4.2 - Exemplos
i) Considere o seguinte Problema de Valor Inicial:
0)0(
2/1
yyy (11. 27)
não tem unicidade de soluções, pois
0)(1 ty (11. 28)
é solução e
0)0(3)(
3/2
2 yyyty
(11. 29)
Também é solução (verifique). Portanto temos duas soluções
ii) Vemos ainda que o P.V.I.
0)0(3 3/2
yyy (11. 30)
também não tem unicidade de soluções, pois 0)( ty é solução e observamos que qualquer
Rc a função RRyc : dada por:
ctctcttyc ,0
,)()(3
(11. 31)
também é solução, e portanto temos infinitas soluções.
252
11.4.3 – O Problema de Valor Inicial
Dado o problema de valor inicial
00 )(),(
ytyytfy
(11. 32)
onde f é uma função definida em um aberto A do R2, surgem as seguintes questões:
1. Como sabemos que um P.V.I. tem de fato uma solução sem exibi-la
explicitamente?
2. Como sabemos que existe somente uma solução de um P.V.I.? Talvez existam,
duas, três ou mesmo infinitas soluções.
3. Qual a utilidade de determinados se um P.V.I. têm uma única solução se não
somos capazes de exibi-la?
Para esta última questão, podemos dizer que o fato de sabermos que o P.V.I. têm
uma única solução é muito importante, pois a partir disto podemos usar técnicas
computacionais para obter aproximações da solução y(t).
Para responder a primeira questão usaremos o Método de Picard. Para isto
observemos que y(t) é solução do P.V.I se e somente se
dssysfytyt
t0
))(,()( 0 (11. 33)
Consideremos, agora, a sequência )(tyn , dada da seguinte forma:
dssysfyty
dssysfyty
dssysfyty
yty
t
tnn
t
t
t
t
0
0
0
))(,()(
:
))(,()(
))(,()(
)(
10
102
001
00
(11. 34)
253
As funções )(tyn são chamadas de iteradas de Picard. Pode-se mostrar que
)()( tytyn , quando n , para t num intervalo conveniente. Esse processo é
conhecido por Método de Picard.
Observação: As soluções de Equações Diferenciais, em geral, podem não existir
para todo t real, como por exemplo:
4)( ttgty (11. 35)
É solução do P.V.I.
1)0(),(1)( 2
ytyty (11. 36)
E está definida somente em
4,
43
De fato: se
4,
43 t , então
14
)0(
)(14
14
sec)( 222
tgy
tyttgtty (11. 37)
Por este fato não podemos esperar que as iteradas de Picard convirjam para todo t.
256
Capítulo – XII
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a definição de equações diferenciais de uma forma geral,
sua classificação quanto ao grau, a ordem, as variáveis, etc. A análise de um sistema de
equações diferencias pela teoria de auto-valores será feita e utilizando também a linearização
pelo processo de Lyapunov como também a análise de seu espaço de fase
12. 1 – Introdução
257
12. 2 - Equações Diferenciais Ordinárias Lineares
(12. 1)
(12. 2)
Ás relações que envolvem funções incógnitas e suas derivadas damos o nome de
equações diferenciais.
Quando as funções incógnitas dependem apenas de uma única variável, as
equações diferenciais recebem o nome de equações diferenciais ordinárias (E. D. O.).
Uma equação diferencial é chamada ordinária (E.D.O.) se a função incógnita
depende apenas de uma variável.
Por exemplo, a equação de Newton, para o movimento de um oscilador
unidimensional amortecido, é a seguinte equação diferencial ordinária:
2
2
d x dxm kxdt dt
(12. 3)
Em (12. 3) a função incógnita é a posição ( )x t do oscilador, e a variável independente é o
tempo, t.
Quando a função incógnita depende de mais de uma variável, à equação
diferencial dá-se o nome de equação diferencial a derivadas parciais.
Se a função incógnita depender de mais de uma variável, temos uma equação a
derivadas parciais (E. D. P.), é o caso da equação (4).
Por exemplo,
2 2 2
22 2 2, , 0V V VV x y z
x y z
(12. 4)
Esta equação diferencial a derivadas parciais é a equação de Laplace para a função potencial
, ,V x y z do campo eletrostático (ou gravitacional), que é função das 3 variáveis , ,x y z que
determina a posição no espaço 3-dimensional.
258
12.2.1 - Exemplos
As equações (1), (2), (3) e (5) acima são E.D.O.
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função
incógnita.
)(' xbaxyy (12. 5)
Os termos y’e y são de primeira ordem.
Portanto, (1) é uma equação de primeira ordem, (2) é de segunda ordem e (3) é de
terceira ordem.
Uma solução de uma equação diferencial é uma função que juntamente com suas
derivadas, satisfaz a equação dada. Por exemplo, a função
y(t) = sen(t) (12. 6)
é uma solução da E.D.O. de segunda ordem
0)()( tyty (12. 7)
Pois,
0)()(
0)()][cos(
0)()]([2
2
tsentsen
tsendt
td
tsendt
tsend
(12. 8)
Verifique que a função ktcety )( é solução da E.D.O. de primeira ordem
kyy e que ctty )( é a solução da E.D.O. de segunda ordem 0y .
259
12. 3 - Propriedades das Equações Diferenciais Ordinárias Lineares e Homogêneas
i) Se x1(t) é solução, então y1 = Cx1(t) também é solução para qualquer constante C.
00 12
112
112
1 xxCCxxCyy ooo (12. 9)
e
012
1 xx o (12. 10)
ii) Se x1(t) e x2(t) são soluções, então x1(t) + x2(t) também é solução da equação:
0)()(
0
0
212
21
22
2
12
1
xxxx
xx
xx
o
o
o
(12. 11)
Como
21
21
xxxxxx
(12. 12)
Temos:
02 xx o (12. 13)
260
12.3.1 - Teorema
A solução geral de uma equação não-homogênea é igual a solução geral da
homogênea associada a uma solução particular da não-homogênea.
Prova
Seja a equação diferencial dada por:
)()()( tcytbytay (12. 14)
A equação homogênea associada é:
0)()( hhh ytbytay (12. 15)
onde yh é a solução geral da homogênea.
A equação particular associada é dada por:
)()()( tcytbytay ppp (12. 16)
Onde yp é a solução particular da não-homogênea.
Somando as equações ( ) e ( ) temos:
)())(())(( tcyytbyytayy phphph (12. 17)
Logo a solução geral é dada por:
phg yyy (12. 18)
Satisfazendo ( ).
261
12. 4 - Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes e Variáveis
Equações Diferenciais Lineares são aquelas que não apresentam termo de
potência maior ou igual a dois.
Equações Diferencias Lineares Homogêneas, são aquelas equações que não
apresentam termo independente.
As equações que estudaremos no MHS apresentam-se na forma de equações
diferenciais homogêneas
0)('')( yxbyxa (12. 19)
Trataremos também das equações diferenciais lineares não homogêneas, porém em geral com
uma mudança de variável ela poderá ser transformada em uma equação homogênea.
A equação não homogênea é da forma:
)()('')( xcyxbyxa (12. 20)
262
12. 5 - Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente Constantes
Neste caso vamos estudar somente as equações diferenciais ordinárias. Na
verdade o nosso estudo estará limitado a uma classe restrita de equações diferenciais
ordinárias: as equações diferenciais lineares e com coeficientes constantes (E.D.O.L.C.C.).
Isto quer dizer que as equações que vamos estudar são da forma:
)(... 11
1
1 xgyadxdya
dxyda
dxyda on
n
nn
n
n
(12. 21)
A função incógnita y(x) depende de uma única variável independente x. Todos os
termos são lineares (i. e. do 1ª grau) em y(x) e nas derivadas, donde a denominação de linear.
Os coeficientes no aaaa ,...,, 21 são todos constantes (números reais). No 2º
membro de (12. 21) a função y(x) é uma função dada da variável independente x. Quando y(x)
0 a equação diferencial diz-se homogênea. A derivada de ordem mais alta que aparece em
(12. 21) é n (supondo an 0): dizemos então que a equação (12. 21) é de ordem n. Damos a
seguir alguns exemplos:
2dy y xdx
(12. 22)
E.D.O.L.C.C. de 1ª ordem não-homogênea (“N-H”)
3
3 2 0d y dy ydx dx
(12. 23)
E.D.O.L.C.C. de 3ª ordem homogênea (“H”)
2
2 sen( )d y dyk my xdx dx
(12. 24)
E.D.O.L.C.C. de 2ª ordem não-homogênea (“N-H”)
Esta limitação a equações diferenciais lineares e com coeficientes constantes é
decorrência da grande dificuldade que cerca a solução de equações diferenciais. Ainda hoje
não existe uma teoria geral para a solução de equações diferenciais ordinárias não-lineares.
Esta teoria existe, no entanto, para as equações lineares.
263
Por outro lado, quando os coeficientes da equação diferencial ordinária forem
todos constantes, será possível empregar métodos algébricos elementares para resolvê-las, o
que não se dá quando os coeficientes da E.D.O.L. forem funções da variável independente.
264
12.5.1 – Metodologia de Solução das Equações Diferenciais Homogêneas com Coeficiente Constantes
Vamos a partir de agora adotar uma notação que será de utilidade no nosso
estudo. Introduzimos o operador:
dDdx
(12. 25)
para representar a “operação” de tomar a derivada de uma função.
Assim
dyDydx
(12. 26)
As potências inteiras n de D são derivadas de ordem n:
22 2
2
33 3
3
. ; .
. . ; .
. ... ; . ...n
n nn
d yD D D D y D Dy xdxd yD D D D D y D Dy xdxd yD D D D D y D D y xdx
(12. 27)
A E.D.O. L. C. C. N. H. de ordem n será emitir, em termos de D, doseguinte
modo:
1 1 01 1 0
11 1 0
...
...
n nn n
n nn n
a D y a D y a D y a D y g x
a D y a D y a D y a y g x
(12. 28)
que também pode ser escrita deste modo:
11 1 0...n n
n na D a D a D a y x g x (12. 29)
Usando uma propriedade elementar da distribuição das derivadas.
O método que vamos desenvolver vai concentrar-se no “polinômio” em D que
aparece no 1º membro da equação (12. 29). Designando-o pó nP D .
11 1 0...n n
n n nP D a D a D a D a (12. 30)
(onde, sem perda de generalidade supomos 1na ), podemos também escrever (12. 29) na
forma mais sintética:
265
nP D y x g x (12. 31)
Pelo teorema fundamental da álgebra (Teorema de Gauss) o polinômio nP D , imaginamos D
como uma variável algébrica, sempre poderá ser expresso na forma:
1 2 ...n nP D D r D r D r (12. 32)
Onde 1 2, ,..., nr r r são as raízes (reais ou complexas) da equação:
11 1 0... 0n n
n n nP Dx a x a x a x a (12. 33)
Usando este fato reescrevemos a equação (12. 31) numa forma muito útil”
1 2 ...n nP D D r D r D r y x g x (12. 34)
266
12.5.2 – Solução de algumas das Equações Diferenciais Elementares
Antes de introduzir o conceito de solução geral de uma E.D.O. vamos examinar
alguns casos elementares por meio dos quais ganharemos intuição sobre a natureza geral das
soluções das equações diferenciais ordinárias. Vamos examinar as equações:
0 ; 1, 2,3,...," "nD y x n H (12. 35)
e
; 1, 2,3,...," "nD y x g x n NH (12. 36)
i) Comecemos pelo caso 1n da equação (12. 35). Temos a E.D.L.C.C. de 1ª ordem
homogênea mais simples possível:
0Dy x (12. 37)
A solução desta equação é uma função que, substituída na equação, a satisfaz identicamente.
Assim vê-se, sem dificuldade, que a solução desta equação é uma função cosntante.
y x A (12. 38)
onde A é uma constante arbitrária. É a solução mais geral possível. Mas é claro que soluções
particulares podem ser obtidas dando à constante arbitrária A valores particulares, por
exemplo, A = 0, A = 1, A = 2, etc. A representação geométrica da solução (14. 12) é uma
família infinitas de retas paralelas ao eixo Ox :
Figura - 12. 1.
267
Em resumo, a solução mais geral da equação (12. 37), que é uma E.D.O.L. de 1ª ordem “H”, é
a função dada em (14. 12); esta solução (mais) geral representa uma família de curvas (retas)
a um parâmetro, ilustrada na Figura - 12. 1. Qualquer reta particular dessa família representa
uma solução particular de (12. 37)
ii) Passemos agora ao caso 2n da equação (12. 35). Temos a E.D.L.C.C. de 2ª ordem
homogênea muito simples:
2 0D y x (12. 39)
É evidente que a solução (14. 12) serve. Mas integrando (14. 13) membro a membro obtemos
sucessivamente:
1ª Integração
210D y x dx Dy x A (12. 40)
2ª Integração
1 1 2Dy x dx A dx y x A x A (12. 41)
De modo que a solução mais geral de (14. 13)
1 2y x A x A (12. 42)
Em que comparece agora duas constantes arbitrárias 1 2,A A . Qualquer função obtida de (12.
42) dando a 1A e a 2A valores particulares quaisquer será também solução, isto é, satisfará
(12. 39) identicamente. Exemplos de imediata verificação são as seguintes soluções
particulares de (12. 39):
1 2
1 2
1 2
1 ; 0 ; 1
1 ; 1 ; 0
3 2 ; 3 ; 2
y x A A
y x x A A
y x x A A
(12. 43)
etc.
A solução geral ( ) pode ser representado graficamente. Obtivemos ainda uma
família infinita de retas, mas a 2 parâmetros: 1A indicando o coeficiente angular variável e 2A
O ponto de corte do eixo Oy também variável. Por exemplo:
268
Figura - 12. 2.
A Figura – 11. representa a “sub-familia” 2 0A , constituída por todas as retas
que passam pela origem, com coeficiente angular arbitrário. Na Figura – 11. esta representada
outra sub-familia, a de todas as retas que passam pelo ponto 1;0 . A família toda,
representada por ( ) será a superposição de todas as sub-familias particulares obtidas fazendo-
se 1A e 2A em ( ) assumirem, separadamente, todos os valores reais. É fácil ver que se
obtivermos assim a família de todas as retas do plano Oxy . Em resumo, a equação ( ), E.D.O.
de 2ª ordem, admita a função ( ) como solução geral, e esta solução geral representa uma
família de curvas do plano (retas) a 2 parâmetros.
Consideremos agora o caso 3n da equação ( ). Trata-se agora de uma
E.D.O.L.C.C. de 3ª ordem, homogênea, a mais simples possível.
3 0D y x (12. 44)
Pelo mesmo procedimento obtemos sem dificuldade a seguinte
21 2 3y x A A x A x (12. 45)
que depende de 3 cosntantes arbitrárias. A função ( ), substituída em ( ) a satisfaz
identicamente. Qualquer outra função particular obtida dando qualquer uma das consatntes
1 2 3, ,A A A em valor particular será também uma solução particular. Por exemplo, verifica-se
facilmente que as funções:
269
23 2 1
3 2 1
23 2 1
; 1 ; 0 ; 0
1 ; 0 ; 0 ; 1
; 1 ; 1 ; 1
y x x A A A
y x A A A
y x A x x A A A
(12. 46)
Todas satisfazem a equação ( ). São soluções particulares.
A representação geométrica da solução geral ( ) é uma complicada família de
parábolas a 3 parâmetros. Qualquer curva desta família é uma solução particular de ( ). Em
resumo, aqui também podemos dizer que a solução mais geral de ( ) que é uma E.D.O.L.C.C.
de 3ª ordem “H”, é a função dada em ( ), que representa uma família de curvas planas
(parábola) a 3 parâmetros.
De um modo geral, a equação:
0nD y x (12. 47)
que é o caso mais simples de E.D.O.L.C.C. de ordem n homogênea (“H”), tem como solução
geral a função:
2 11 2 3 ... n
ny x A A x A x A x (12. 48)
que é uma função de x e de n constantes arbitrárias 1 2 3, , , nA A A A . A sua representação
geométrica é um família, a n parâmetros, de curvas planas de ordem n-1.
Passemos agora a estudar as equações não-homog6eneas ( ), tomando
sucessivamente 1, 2,3,...n . O caso 1n corresponde a seguinte E.D.O.L.C.C. de 1ª ordem
“N-H”,
Dy x g x (12. 49)
A função g x é uma função dada, conhecida, da variável independente x. Esta equação se
ïntegra” facilmente, integrando-a membro a membro:
Dy x dx g x dx A (12. 50)
ou seja
y x A g x dx (12. 51)
Estqa é a solução geral. Qualquer valor particular que se de à constante arbitrária A produzirá
uma solução particular. A representação geométrica de ( ) é uma família a um parâmetro de
270
curvas planas cuja natureza depende da função g(x). Por exemplo, se 1g x , será uma
família de retas; se g x x , uma família de parábolas, etc. Observe-se que a solução ( ) é a
soma de duas funções:
GH PNHy x A e y x g x dx (12. 52)
de modo que y x de ( ) é também dada por:
GH PNHy x y x y x (12. 53)
Onde, mais uma vez
GHy x A (12. 54)
e
PNHy x g x dx (12. 55)
Reconhecemos em ( ), GHy x A , a solução geral da equação ( ), ou seja, da equação
homogênea que se obtém de ( ) fazendo-se 0g x . A esta equação homogênea damos o
nome de equação (diferencial) homogênea associada à equação não homogênea dada.
A solução PNHy x em ( ) é uma solução particular de ( ), obtida fazendo-se
0A em ( ).
O caso 2n produz a seguinte E.D.O.L.C.C. de 2ª ordem N-H:
2D y x g x (12. 56)
Integrando membro a membro sucessivamente duas vezes obtemos:
1 2y x A A x g x dx dx (12. 57)
É uma função da variável independente de x e de suas constantes arbitrárias 1 2,A A e que
satisfaz identicamente a equação ( ) homogênea ( ) (que se obtém de ( ) fazendo-se
0g x ), associada de ( ); e a função ( ) é uma solução particular de ( ), obtida de ( )
fazendo-se 1 2 0A A .
Não há nenhuma dificulade em generalizar os resultados obtidos. A solução geral
de:
271
nD y x g x (12. 58)
é a função
GH PNHy x y x y x (12. 59)
em que
2 11 2 3 ... n
GH ny x A A x A x A x (12. 60)
É a solução geral da equação homogênea associada a ( ) e
...PNH
n vezes
y x dx dx dx g x dx (12. 61)
é uma solução particular da equação ( ).
Em resumo:
i) A equação homogênea
( ) 0nD y x (12. 62)
Tem como solução geral a função:
2 11 2 3 ... n
GH ny x A A x A x A x (12. 63)
ii)A equação não-homogênea
( ) ( )nD y x g x (12. 64)
Tem como solução geral a função:
GNH GH PNHy x y x y x (12. 65)
onde GHy x : Solução geral da homogênea associada; PNHy x : Solução particular da não-
homogênea.
Estes resultados foram obtidos a partir de uma classe simples de equações. Mas
eles podem ser generalizados, e é o que faremos em seguida.
272
12.5.3 – Solução Geral, Solução Particular, Teorema Estratégico
Os resultados que obtivemos no parágrafo 11.6. , ao estudarmos equações
diferenciais particularmente simples, são na verdade bem gerais, e valem para equações
lineares em geral. Chama-se solução geral de uma equação diferencial ordinária de ordem n
(linear ou não) uma função 1 2; , ,..., ny x A A A dependente da variável x e de n constantes
arbitrárias de integração independentes que satisfaça identicamente a equação diferencial. O
número de constantes arbitrárias é igual à ordem da equação diferencial. As constantes que
aparecem na solução geral são independentes e seu número é inevitável. Assim, por exemplo,
a função:
1 2x xy x A e A e (12. 66)
é solução geral mda equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogênea.
2 1 0D y x (12. 67)
A solução
1 2 3x xy x A e A A e (12. 68)
contém 3 constantes, mas duas delas 2 3,A A aparecem na combinação 2 3A A e podem,
portanto, ser substituídas por uma única constante arbitrária 2 3C A A , dando a solução a
forma ( ).
Uma solução particular é obtida dando às constantes 1 2, ,..., nA A A valores
particulares. Assim por exemplo, a equação ( ) admite como soluções particulares as seguintes
funções:
1 2
1 2
1 2
; 1 ; 0
; 0 ; 1
; 1 ; 1
x
x
x x
y x e A A
y x e A A
y x e e A A
(12. 69)
é fácil verificar que estas funções satisfazem ( ).
273
12.5.4 – Equação Diferencial a partir da Solução Geral
Dada por sua vez, uma função dependendo de x e de um número n de constantes
arbitrárias independentes, podemos determinar qual a equação diferencial ordinária de ordem
n que admite a função dada como solução geral. Vamos dar exemplos dessa técnica.
Suponhamos que fosse dada a função ( ), e que quiséssemos determinar qual a E.D.O. que
admite ( ) por solução geral. A idéia é eliminar as constantes arbitrárias em termos de
2, ,y x Dy x D y x , etc. Assim:
1 2
1 2
21 2
x x
x x
x x
y x A e A e
Dy x A e A e
D y x A e A e
(12. 70)
Comparando ( ) e ( ) concluímos que:
2D y x y x (12. 71)
ou
2 1 0D y x (12. 72)
Que é justamente ( ). Outro exemplo:
Dada a função:
21 2
x xy x A e A e (12. 73)
Determinar a E.D.O. que admite y x de ( ) como solução geral. Derivando, obtemos:
21 22x xDy x A e A e (12. 74)
e
2 21 24x xD y x A e A e (12. 75)
Eliminando 21 2ex xA e A e pelas equações ( ), obtemos:
21
2 22
2
1 22
x
x
A e D y Dy
A e D y Dy
(12. 76)
Substituindo em ( ) obtemos:
274
2 212 22
y x D y Dy D y Dy (12. 77)
que depois de simplificada se transforma em:
3 3 2 0D D y x (12. 78)
que é a equação procurada. Nos exemplo dados as equações obtidas foram lineares mas nem
sempre isso acontece (ver Lista de Exercícios).
Vamos agora demonstrar um teorema que ocupa um lugar central no método que
vamos desenvolver para resolver E.D.O.L.C.C. N-H. de ordem qualquer. O teorema vale para
uma equação linear qualquer, com coeficientes variáveis.
275
12.5.5 – Teorema Estratégico
A solução geral GNHy x da equação diferencial ordinária linear não-homogênea
nP D y x g x (12. 79)
se escreve como uma soma:
GNH GH PNHy x y x y x (12. 80)
na qual GHy x é a solução geral da equação homogênea
0nP D y x (12. 81)
e PNHy x é uma solução particular de ( ) satisfazendo:
n PNHP D y x g x (12. 82)
Prova:
A demonstração é trivial, e se faz primeiro observando que GNHy x dada em ( )
satisfaz a equação ( ). De fato:
n GNH n GH PNH n GH n PNHP D y x P D y x y x P D y x P D y x
(12. 83)
Mas usando ( ) e ( ), obtemos:
0n GNHP D y x g x g x (12. 84)
Em seguida observa-se que GNHy x depende de n constantes arbitrárias por intermédio de
GHy x , que é por hipótese a solução geral de uma E.D.O. de ordem n homogênea ( ), e que
portanto depende de n constantes arbitrárias. Então GNHy x definida em ( ) satisfaz todas os
requisitos de solução geral. Q.E.D.
A partir deste teorema fica definida a nossa estratégia para resolver uma
E.D.O.L.C.C. N-H. de ordem qualquer.
nP D y x g x (12. 85)
276
i) Determina-se a solução geral da equação homogênea associada, GHy x :
0n GHP D y x (12. 86)
ii) Determina-se uma solução particular da equação dada (N-H) PNHy x :
n PNHP D y x g x (12. 87)
iii) Define-se a solução geral GNHy x da equação dada (N-H) pela soma:
GNH GH PNHy x y x y x (12. 88)
277
12.5.5 – Condições Iniciais
Nos problemas práticos, em cuja solução y x estamos interessados, e que
satisfaz uma equação do tipo:
nP D y x g x (12. 89)
Não há, em geral, lugar para constantes arbitrárias. Estamos interessados numa
solução sem ambigüidade; as constantes arbitrárias devem ser eliminadas. Em geral essa
eliminação se faz utilizando condições prévias do problema, e às quais a solução procurada
deve satisfazer. São as chamadas condições iniciais.
Num problema com condições iniciais são dados os valores da função e das suas
(n-1) primeiras derivadas num valor particular 0x (às vezes 0 0x ) da variável independente,
isto é, são dados os valores:
0 0
0 1
( 1)0 1
'..................
nn
y x y
y x y
y x y
(12. 90)
Dada então uma solução geral de ( ) na forma:
1 2, , ,...,GNH ny x x A A A (12. 91)
Substituímos nos primeiros membros de ( ) y x por 1 2, , ,..., nx A A A de ( ), e obtemos um
sistema de n equações algébricas a n incógnitas 1 2, ,..., nA A A . A solução (quando existe)
fornece 1 1 0 1 2 1, , ,..., nA A y y y y , 2 2 0 1 2 1, , ,..., nA A y y y y , etc., e então a solução
particular (específica) do problema em estudo é:
0 1 2 1, , , ,..., ny x y x y y y y (12. 92)
Onde já não há mais nenhuma constante arbitrária, e que satisfaz ( ) identicamente. Nos
problemas de Mecânica, onde a função incógnita é a posição r t de uma partícula, e a
variável independente é o tempo t, a equação de movimento é a equação de Newton, que é
uma E.D.O. de 2ª ordem. As duas constantes arbitrárias da solução geral são eliminadas
dando-se as “condições iniciais” do problema: a posição inicial 0r e a velocidade inicial
0r .
278
12.5.5 – Propriedade do Operador D k
No parágrafo 4, equação ( ) fizemos a observação segundo a qual o operador
nP D , que comparece no 1º memebro da E.D.O.L.C.C. mais geral ( ), poderia ser fatorado
na forma:
1 2 ...n nP D D r D r D r (12. 93)
onde 1 2, ,..., nr r r são raízes (reais ou complexas) da equação característica
0nP x ou 11 1 0.... 0n n
nx a x a x a (12. 94)
associada ao operador nP D . Somos, assim levados a estudar os operadores D k e seus
produtos ' ...D k D k
Por definição:
.dyD k y x k y xdx
(12. 95)
O produto 1 2D k D k é definido por:
1 2 1 2 1 2
21 2 1 2
D k D k y x D k D k y x D k Dy k y
D k k D k k y x
(12. 96)
onde usou a propriedade evidente
d dyD ky x ky x k kDy k ctedx dx
(12. 97)
Desenvolvendo formalmente o produto 1 2D k D k (isto é, como se D não fosse
operador, mas um número) obtemos:
21 2 1 2 1 2 2 1D k D k D k k D k k D k D k (12. 98)
Obtendo o resultado
1 2 2 1D k D k D k D k (12. 99)
1 2,k k cte .
279
Toda função f x pode ser considerada como um operador no espaço das
funções com que estamos lidando (i. e. o espaço das funções continuamente diferenciáveis até
ordem n): é o operador que a toda função y x associa a função f x y x :
: .f x y x f x y x (12. 100)
Podemos combinar os operadores D e f x para formar novos operadores. Por exemplo:
; ;D f x Df x f x D (12. 101)
O primeiro, D f x , é definido assim:
;D f x y x D y x f x y x y x (12. 102)
O operador f x D não apresenta dificuldades:
. ;dyf x Dy x f x y xdx
(12. 103)
Mas o operador Df x deve ser examinando com cuidado. Há que se distinguir a derivada
D f x do Df x resultante do produto dos operadores D e f x . Para evitar
ambiguidades convencionaremos:
i) D f x é a derivada de f x : dfdx
ii) Df x é o operador definido por:
: ;dDf x y x Df x y x f x y x y xdx
(12. 104)
Por exemplo:
1dD x xdx
(12. 105)
e
: : d dyDx operador y x Dx y x xy x y x xdx dx
(12. 106)
ou seja:
280
1 ;Dx y x xD y x y x (12. 107)
Esta relação entre funções é equivalente à relação entre operadores
1Dx xD (12. 108)
Um caso de particular importância para o nosso estudo é aquele em que f x é a função
exponencial.
Consideremos, então, o operador kxDe . Aplicado a uma função y x qualquer do
espaço dá:
;kx kxDe y x e D k y x y x (12. 109)
A relação entre operadores, equivalente a ( ) é:
;kx kxDe e D k k cte (12. 110)
Vamos considerar alguns Exemplos:
i) Simplificar o operador 1 xD e usando ( ), teremos, por definição, usando a
distribuitividade:
1 1x x x xD e e D e e D (12. 111)
ii) Considere a equação D k y x g x . Para aplicar ( ), multipliquemos ambos os
memebros por kxe :
kx kxe D k y x e g x (12. 112)
Usando ( ), vem:
kx kxD e y x e g x (12. 113)
Esta equação já é nossa conhecida (of. equação ( )), e a sua solução geral é:
kx kxe y x A e g x dx (12. 114)
que simplificada dá:
281
kx kx kxy x Ae e e g x dx (12. 115)
Uma questão de grande interesse é a possibilidade de se definir o operador inverso
1D k do operador D k . Enquanto “inverso” ele tem a propriedade :
1 1D k D k (12. 116)
Mas nós não sabemos ainda o efeito de 1D k sobre um função qualquer y x :
1 ?D k y x (12. 117)
Se nós soubéssemos o resultado da operação do 1º memebro de ( ), então poderíamos
encontrar uma solução particular da equação:
D k y x g x (12. 118)
De fato, aplicando 1D k a ambos os membros de ( ), obteríamos:
1 1D k D k y x D k g x (12. 119)
E usando ( ) vem:
1y x D k g x (12. 120)
que é obviamente uma solução particular de ( ).
Ajuntando a ( ) a função GHy x , a solução geral da equação homogênea
0GHD k y x (12. 121)
Então teremos a solução geral de ( )
1GNH GHy x y x D k g x (12. 122)
No próximo parágrafo, utilizando a solução geral da E.D.O.L.C.C. de 1ª ordem não-
homogênea que vamos estabelecer, vamos poder definir 1D k .
282
12. 6 - Equações Diferenciais Ordinárias Linear com Coeficiente Constantes de 1ª Ordem N-H:
Consideremos a equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem, com
coeficientes constantes, não-homogênea:
D k y x g x (12. 123)
No 2º membro de ( ), a função g x é uma função dada de x , e no 1º membro k é uma
constante real dada:
12.6.1 – Definição do Operador 1D k
Vamos aplicar a ( ) a propriedade ( ). Multipliquemos ambos os memebros de ( )
por kxe :
kx kxe D k y x e g x (12. 124)
Usando ( ), vem:
kx kxD e y x e g x (12. 125)
Integrando ( ), obtemos:
kx kxe y x A e g x dx (12. 126)
onde A é uma constante arbitrária. Explicitando y x , obtemos finalmente:
kx kx kxy x Ae e e g x dx (12. 127)
Esta é a solução geral de ( ): satisfaz a equação e depende de uma constante arbitrária (a
equação ( ) é de 1ª ordem).
Tal como está escrita, a solução geral ( ) é a soma de dois termos. O primeiro
deles é kxAe , que reconhecemos ser a solução geral GHy x da equação homog6enea
associada a ( ):
0D k y x (12. 128)
e
283
kxGHy x Ae (12. 129)
Pelo “Teorema Eestratégico”, o termo que resta em ( ) é uma solução particular PNHy x da
equação ( ). De fato, aplicando D k à função:
kx kxPNHy x e e g x dx (12. 130)
obtemos:
kx kxPNH
kx kx kx kx
D k y x D k e e g x dx
e D e g x dx e e g x
(12. 131)
ou seja:
PNHD k y x g x (12. 132)
O que demonstra a nossa afirmação:
Em resumo, a solução geral GNHy x da equaçào ( ) é escrita como:
GNH GH PNHy x y x y x (12. 133)
onde:
kxGHy x Ae (12. 134)
e
kx kxPNHy x e e g x dx (12. 135)
Comparanado ( ), ( ) com ( ) concluímos quadraticamente:
1 kx kxD k g x e e g x dx (12. 136)
Esta será a definição do inverso 1D k do operador D k que vamos adotar nesse curso.
284
12.6.2 – Exemplos
(i) Determinar uma solução particular da equação D k y x x . Aplicando 1D k a
ambos os membros, obtemos:
1PNHy x D k x (12. 137)
Usando ( ) obtemos (fazendo k =1):
1 x xD k x e e xdx (12. 138)
A integral xe xdx é elementar, e o resultado é:
1x xe xdx e x (12. 139)
OBS: Não é necessária a mconstante de integração na integral indefinida porque estamos
querendo uma solução particular.
Juntando os resultados obtemos a solução particular procurada:
1 1x xPNHy x e e x x (12. 140)
Verificando:
1 . 1 1 . 1 . 1 1 0 1D x D x D x x (12. 141)
ii) Determinar uma solução particular da equação 2 xD y x e
Usando a mesma técnica, aplicamos a ambos os membros o operador 12D :
1 1
2 2
2 . 2 2 x
x x x x
D D y x y x D e
e e e dx e
(12. 142)
Então a solução particular pedida é:
xPNHy x e (12. 143)
Verificando:
2 2x x x xD e e e e (12. 144)
iii) Determinar a solução geral da equação
285
dy y sen xdx
(12. 145)
Na “notação D” escrevemos:
1 senD y x (12. 146)
Pelo “teorema estratégico”, a solução geral desta equação é a soma da solução qual da
equação homogênea associada:
1 0D y (12. 147)
Com uma solução particular da equação dada (NH), que sabemos que é:
11 senPNHy x D x (12. 148)
A solução geral da equação homogênea
1 0D y (12. 149)
é:
xGHy x Ae (12. 150)
A solução particular PNHy x é:
11 sen x xPNHy x D x e e sen x dx (12. 151)
Pela tabela de integrais achamos:
1 sen cos2
x xe sen x dx x x e (12. 152)
Então a solução geral procurada é:
1 sen cos2
xGNHy x Ae x x (12. 153)
A verificação fica por conta do laborioso estudante.
286
12. 7 - Problemas que surgem E.D.O. Lineares de 1ª Ordem
Vamos agora apresentar alguns problemas a partir dos quais surgem as equações
diferenciais.
12.7.1 – Problema Geométrico
Determine uma curva que seja definida pela condição de ter em todos os pontos
(x,y) a inclinação dxdy
igual ao dobro da soma das coordenadas do ponto.
Se )(xyy é a equação da curva, então, para resolver este problema devemos
resolver a equação diferencial.
)(2 yxdxdy
(12. 154)
287
12.7.2 – Problema Químico
100 gramas de açúcar de cana, em água, estão sendo transformadas em dextrose
numa razão que é proporcional à quantidade não transformada. Deseja-se saber quanto açúcar
foi transformado após t minutos.
Se q é o número de gramas convertido em t minutos e k é a constante de
proporcionalidade, então, a equação deste problema é dada por:
)100( qkdtdq
(12. 155)
Sabendo q(0) = 100.
288
12.7.3 – Problemas Físicos
Considere o Circuito Elétrico RL mostrado na
Figura - 12. 3
onde R é a resistência elétrica do circuito, I é a intensidade de corrente elétrica, L é a
indutância, E a força eletromotriz.
Sabe-se que a queda de potencial através da risitência R é VR = RI e através da
indutância L é dtdILVL . Segue da Lei de Kirchoff, isto é, a queda total de potencial no
circuito deve ser contrabalanceada pela força eletromotriz aplicada, e que a corrente num
instante t qualquer, é dada pela equação diferencial.
ERIdtdIL (12. 156)
Que é uma equação linear de 1ª ordem.
289
12. 8 - Equações Diferenciais Ordinárias Linear com Coeficiente Constantes de 2ª Ordem N-H:
O próximo caso em ordem de crescente complexidade é o das equações
diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes, de 2ª ordem, que pode ser pasta
na forma geral:
22P D y x D aD b y x G x (12. 157)
ou
1 2D r D r y x G x (12. 158)
em que G x é uma função conhecida da variável independente x , e as constantes 1r , 2r são
as raízes da equação característica, equação ( ):
22 0P x y x ax b (12. 159)
Sendo a equação característica, equação ( ), uma equação alg’’ebrica do 2º grau com
coeficientes reais, três situações podem ocorrer:
(i) As raízes 1r , 2r são reais e distintas 2 4 0a b ;
(ii) As raízes 1r , 2r são reais e iguais 2 4 0a b ;
(iii) As raízes 1r , 2r são complexas 2 4 0a b ;
Vamos, em seguida, estuda cada situação separadamente, pois o carácter da
solução geral da equação ( ) depende essenciamente da natureza das raízes da equação
característica.
(i) Raízes reais e distintas
A equação diferencial a ser resolvida é:
2D aD b y x G x (12. 160)
A equação carcterística, equação ( ). é:
2 0x ax b (12. 161)
na qual
2 4 0a b (12. 162)
290
Isto quer dizer que a equação característica admite duas raízes reais e distintas 1r , 2r dadas
por:
21
1 42
r a a b (12. 163)
e
22
1 42
r a a b (12. 164)
Podemos, então, “fatorar”o operador 2D aD b na forma:
21 2D aD b D r D r (12. 165)
De modo que a equação ( ) toma a forma ( ), ou seja:
1 2D r D r y x G x (12. 166)
De acordo com o “Teorema Estratégico, a solução geral GNHy x da equação ( ) se escreve na
forma:
GNH GH PNHy x y x y x (12. 167)
na qual GHy x é a solução geral da equação homogênea associada a ( ), isto é:
1 2 0GH
D r D r y x (12. 168)
e PNHy x é uma solução particular da equação ( ):
A solução geral da equação
291
12. 9 - Algumas Importantes Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem
12.8.1 – O Movimento Harmônico Simples (MHS)
Seja um corpo de massa m ligado horizontalmente a uma mola presa a uma parede
vertical, cujo sistema está deslocado da sua posição de equilíbrio e sujeito a uma força
restauradora do tipo F = -kx, conforme mostara a Figura - 12. 4.
292
Figura - 12. 4. Oscilador Harmônico simples.
A partir da 2ª Lei de Newton nós temos a seguinte equação de movimento dada
por:
kxma (12. 169)
Como dtdva / temos:
kxdtdvm (12. 170)
Ou ainda dtdxv / temos:
kxdt
xdm 2
2
(12. 171)
Considere o movimento Harmônico Simples de um sistema massa mola.
Fazendo
xdtdx
(12. 172)
e
xdt
xd 2
2
(12. 173)
Temos:
293
0 kxxm (12. 174)
Dividindo tudo por m temos:
0 xmkx (12. 175)
chamando de
mk
o (12. 176)
Temos:
02 xx o (12. 177)
Esta é uma Equação Diferencial Linear Homogênea,
Solução
Considere a seguinte equação diferencial dos osciladores harmômicos
),(22
2
txfxdt
xdo (12. 178)
Esta é uma equação geral com f(x,t) qualquer.
Nós podemos considerar que como:
294
dtdx
dtdx (12. 179)
Nós podemos chamar:
dtdxv (12. 180)
Onde sempre vale:
dtdx
dxdv
dtdv
dtxd
2
2
(12. 181)
Logo de (12. 180) temos:
vdxdv
dtdv
dtxd
2
2
(12. 182)
Usando ( ) em ( ) passamos a:
),(2 txfxdxdvv (12. 183)
Multiplicando tudo por dx temos:
dxtxfxdxvdv ),(2 (12. 184)
E
12
2
),(2
Cdxtxfdxxv (12. 185)
Logo
122 ),( Cdxxdxtxfv (12. 186)
e
2/11
2),( Cdxxdxtxfv (12. 187)
mas de ( ) temos que:
295
2/11
2),( Cdxxdxtxfdtdx
(12. 188)
Colocando só de um lado os termos em x e do outro os termos em t temos:
dtCdxxdxtxf
dx
2/1
12),(
(12. 189)
Integrando os dois lados temos:
ottCdxxdxtxf
dx
2/1
12),(
(12. 190)
i) Para o caso de constante temos:
ottCdxxdxtxf
dx
2/1
12),(
(12. 191)
e
ott
Cxdxtxf
dx
2/1
1
22
2),(
(12. 192)
ii) Para o caso de constante e )(),( tftxf independente de x temos:
ott
Cxdxtf
dx
2/1
1
22
2)(
(12. 193)
e
ott
Cxxtf
dx
2/122
2)(
(12. 194)
E
296
ott
Cxxtf
dx
2/122
2)(2
(12. 195)
E
ottCxxtf
dx
2/122)(2
2
(12. 196)
Mas podemos escrever:
CtfxxtftfCxxtf 2
222
2
222 )()(2)()(2
(12. 197)
E
Ctfxii
tfCxxtf
2
2222 )()()(2
(12. 198)
Substiutindo ( ) em ( ) temos:
ott
Ctfxii
tf
dx
2/1
2
22 )()(2
(12. 199)
Chamando de:
dxiduxii
tfu
)( (12. 200)
Logo ( ) passa a ser:
ott
Ctfu
dui
2/1
2
22 )(
2
(12. 201)
Chamando de:
297
dtfdutfu 2sec)(tan)( (12. 202)
Então
ott
Ctf
dtf
i
2/12
2
1tan)(
sec)(2
(12. 203)
E
ottC
di
2/12
2
sec
sec2
(12. 204)
Considerando C = 0 temos:
ottdi
secsec2 2
(12. 205)
E
ottdi
sec2 (12. 206)
Multiplivcando e divindindo ( ) por
ottd
i
tansectansecsec2 (12. 207)
e
ottdi
tansectansecsec2 2
(12. 208)
Chamando de:
2sectansectansec dvv (12. 209)
Então ( ) passa a ser:
298
ottvdv
i
2 (12. 210)
Portanto,
oo
ttvv
i
ln2
(12. 211)
Ou
oo
ttivv
2
ln (12. 212)
Exponenciando tudo temos:
otti
oevv
2
(12. 213)
Substituindo v de ( ) temos:
otti
oev
2tansec
(12. 214)
E de ( ) temos que:
2
222
)(1tan1sec
tfu (12. 215)
Logo ( ) fica:
otti
oevtfu
tfu
22
22
)()(1
(12. 216)
Mas de ( ) nós temos que:
)()()()(
)(
2
tfxii
tfxi
itftf
tfu
(12. 217)
Quadrando temos:
299
)()(21
)()(
24222
2
22
tfx
tfx
tfxii
tfu
(12. 218)
Logo ( ) fica sendo:
otti
oevtfxii
tfx
tfx
22242
)()()(211
(12. 219)
E
otti
oevtfxii
tfx
tfx
22242
)()()(2
(12. 220)
Reescrevendo ( 0 temos:
otti
oevtfxii
tfx
tfx
22242
)()()(2
(12. 221)
Quadrando os dois lados temos:
oo tti
o
tti
o evevtfxii
tfxii
tfx
tfx
22
222242
)(2
)()()(2
(12. 222)
Logo
oo tti
o
tti
o evevtfxii
tfx
tfx
tfx
tfx
22
2
2
242242
)(2
)()(21
)()(2
(12. 223)
E
ooo tti
o
tti
o
tti
o eveivevtf
xi
2222
21)(
2 (12. 224)
Portanto,
300
o
o
o
o
o tti
o
ttio
tti
o
ttieo
tti
o evi
tfev
evi
tfiv
evi
tfx
22
2
22
2
22 2
)(
2
)(2
2
)(
(12. 225)
E
ooo ttittitti
oe
ietftfe
vtifx
2
2
2
22
2 2)()(
2)(
(12. 226)
E
2
212
22
2 2)()(
2)(
ietftfe
vtifx
oo
ttitti
o
(12. 227)
Logo
1
22)( 2
22 i
eevitfx
o
o
ttitti
o
(12. 228)
E
122
)( 222
oo
ttitti
oeie
vitfx
(12. 229)
Chamando de:
o
o
ti
ti
o
eiB
eviA
2
2
2
2
(12. 230)
Nós ficamos com:
301
1)( 222
titi
BeAetfx
(12. 231)
Ou no caso geral temos que:
1)( 22
2
titi
BeAetfx
(12. 232)
onde:
mEA 2
(12. 233)
e
22 xAv o (12. 234)
302
12.8.2 – MHS com Movimento Vertical
Um corpo de massa m sob a ação da gravidade em um meio que oferece
resistência proporcional à velocidade do corpo. Deseja-se conhecer a posição do corpo num
instante t.
Seja x = x(t) a posição do corpo no instante t. Consideremos o sentido positivo do
movimento, isto é, para baixo. As forças que atuam sobre o corpo de massa m são: O peso P
= mg devido a gravidade (no sentido do movimento) e dtdxkF devido a resistência do
meio (no sentido contrário ao movimento).
Segue da 2ª Lei de Newton (F = ma) que a equação de movimento é dada por:
dtdxkmg
dtdxm 2
2
(12. 235)
Conhecendo-se 0)0( xx e 0)0( x , determinamos a posição do corpo em qualquer
instante.
303
Considere o oscilador harmônico na posição vertical sujeito a ação do campo
gravitacional na direção das oscilações, onde:
ay (12. 236)
E
kymgym (12. 237)
ou
ymkgy (12. 238)
Logo
0 gymky (12. 239)
ou
02 gyy o (12. 240)
Calculando o ponto de energia mínima temos:
kmgy
mgkydydV
o
o
0 (12. 241)
Logo
kmg
kgm
kgmkV
22
22
2
22
min 21
21
(12. 242)
Fazendo-se uma mudança de variáveis para transformar a Equação Diferencial Não-
Homogênea em uma Equação Diferencial Homogênea.
yhyh
yyh o
(12. 243)
Logo
304
0 gymky (12. 244)
e
0
kmgy
mky (12. 245)
Portanto,
0 oyymky (12. 246)
logo
0 hmkh (12. 247)
ou
02 hh o (12. 248)
Podemos enunciar o seguinte teorema com base nos dois exemplos anteriores.
305
12.8.3 – Oscilador Harmônico Forçado
Considere o seguinte oscilador harmônico forçado
kxwtFxm o )cos( (12. 249)
Chamando de
mk
o 2 (12. 250)
logo
)cos(2 wtmFxx o
o (12. 251)
306
12.8.4 – O Movimento de um Pêndulo Simples
O pêndulo simples consiste em uma massa m presa a um fio de comprimento l e
massa desprezível com uma extremidade presa a um ponto fixo. Quando deslocado de um
ângulo de sua posição de equilíbrio e solto, inicia-se um movimento pendular (este
movimento é peródico e oscilatório).
Considere as forças que atuam em um corpo de massa m suspenso por um fino fio
(ou haste) inextensível de comprimento l e massa desprezível, sujeito a uma tensão T em
oposição a força vertical, P = mg, devido a ação da gravidade. Se é o deslocameto angular
do fio a partir de vertical, a 2ª Lei de Newton nos fornece as equações:
sencos
TxmTmgym
(12. 252)
Eliminando-se T e lembrando que:
cossen
lylx
(12. 253)
Obtemos a equação do pêndulo:
0sen lg (12. 254)
Que é uma equação diferencial de 2ª ordem.
307
12.8.5 – Circuito Elétrico RLC
Dado o circuito
Figura - 12. 5
onde R, I, L e E é definido de forma idêntica ao problema anterior acima e C é a capacitância.
Sabe-se que a queda de potencial através da capacitância C é CQVC , onde Q é a carga na
capacitância. Pela lei de Kirchoff temos:
ECQRI
dtdIL (12. 255)
Mas
dtdQI (12. 256)
Então
ECQ
dtdQR
dtQdL 2
2
(12. 257)
que é uma equação linear de 2ª ordem.
311
12. 12 - Equações de Sturm-Liouville
Um problema de Sturm-Liouville é caracterizado por uma equação diferencial do
tipo:
( ) ( ) ( ) 0d dp x x s x x r x xdx dx
(12. 258)
O operador de Sturm-Liouville é portanto definido como:
( ) ( )d dp x s xdx dx
L (12. 259)
onde
( )x r x x L (12. 260)
e são os auto-valores e x as auto-funções.
Considerando,
1 2 3 ... ...n (12. 261)
Chamamos de espectro de L .
O operador de Sturm-Liouville é um operador auto-adjunto o que implica que
seus auto-valores são reais, ou seja as grandezas a eles relacionados são observáveis. Pois
considera-se que números imaginários puros são grandezas não-observáveis.
312
12.10.1 - Teorema - 1
Considere x uma família livre de funções formando por um conjunto de
auto-funções ortogonais, onde
' ',x x A (12. 262)
Então
'r xx x (12. 263)
Se
' (12. 264)
Prova
Consideremos duas funções quaisquer onde vale:
i) m x
( )m m mx r x x L (12. 265)
e
ii) n x
( )n n nx r x x L (12. 266)
Multiplicando a primeira equação por n x e a segunda equação por m x e subtraindo as
equações resultantes
( ) ( )n m m n n m m m n nx x x x x r x x x r x x L L
(12. 267)
e integrando em um intervalo de ;a b temos:
( ) ( )b b
n m m n n m m m n na a
x x x x dx x r x x x r x x dx L L
(12. 268)
ou
( ) ( )b b
n m m n m n m n m na a
x x x x dx r x x x r x x x dx L L (12. 269)
313
ou ainda
( )b b
n m m n m n n ma a
x x x x dx r x x x dx L L
(12. 270)
Como as funções são ortogonais entre si podemos escrever a partir de ( ) que:
( )b b
n m m n m n nma a
x x x x dx r x dx L L (12. 271)
Integrando o lado esquerdo por partes temos:
b
n m m na
b bm n m
naa
b bn m n
maa
x x x x dx
d x d x d xx p x p x
dx dx dx
d x d x d xx p x p x
dx dx dx
L L
(12. 272)
Substituindo ( ) em ( ) temos:
( )
b bm n m
naa
b b bn m n
m m n nma aa
d x d x d xx p x p x
dx dx dx
d x d x d xx p x p x r x dx
dx dx dx
(12. 273)
Escolhendo as condições de contorno:
1) DIRICHLET (homogênea)
0n na b n (12. 274)
Então:
0 ( )b
m n nma
r x dx (12. 275)
logo
314
n nr xx x (12. 276)
2) NEUMANN (homogênea)
0n nd a d bn
dx dx
(12. 277)
Então:
0 ( )b
m n nma
r x dx (12. 278)
logo
n nr xx x (12. 279)
3) MISTA (não-homogênea)
0
0
nn
nn
d aa
dx nd b
bdx
(12. 280)
Então:
0 ( )b
m n nma
r x dx (12. 281)
logo
n nr xx x (12. 282)
4) COMPLETA= DIRICHLET + NEUMANN (homogênea)
n n
n n
a b
d a d bn
dx dxp a p b
(12. 283)
Então:
315
0 ( )b
m n nma
r x dx (12. 284)
logo
n nr xx x (12. 285)
Teorema - 2
Se um conjunto de funções n x são ortogonais entre si e são conjunto
completo. Logo as funções 'n x s formam uma base n x de um espaço funcional
(espaço vetorial de funções)
316
12. 13 - Método de Taylor
Suponhamos uma equação diferencial do tipo:
'' ' 0A x y x B x y x Cy x (12. 286)
onde ,A x B x são polinômios.
Chamando de:
B xp x
A x e
Cq xA x
(12. 287)
teremos:
'' ' 0y x p x y x q x y x (12. 288)
Se o novo polinômio p x não apresenta singularidade de 1ª ordem (pólo de 1ª ordem) e
q x não apresenta pólo de 2ª ordem então esta equação diferencial pode ser resolvida por
expansão em série de potências ou melhor dizendo em Série de Taylor, da seguinte forma:
0
nn o
ny x a x x
(12. 289)
317
12.11.1 – Equação Diferencial de Euler
Suponhamos que a equação diferencial que satisfaz as condições acima seja uma
equação do tipo:
2 '' ' 0o o o ox x y x p x x y x q y x (12. 290)
chamada de equação de Euler.
Nós podemos analisar os limites de:
2lim e limo o
o ox x x xx x p x x x q x
(12. 291)
vemos que neste caso temos:
lim e limo o
o o o ox x x xp p q q
(12. 292)
os polinômios são analíticos em ox x pois os limites são finitos e bem determinados.
Resolvendo a equação diferencial por Série de Taylor temos:
0
nn o
ny x a x x
(12. 293)
onde as derivadas são:
1
0' n
n on
y x na x x
(12. 294)
e
2
0'' 1 n
n on
y x n n a x x
(12. 295)
Substituindo ( ), ( ) e ( ) na equação ( ) temos;
2 2 1
0 0 01 0n n n
o n o o o n o o n on n n
x x n n a x x p x x na x x q a x x
(12. 296)
reescrevendo temos:
0 0 0
1 0n n nn o o n o o n o
n n nn n a x x p na x x q a x x
(12. 297)
318
Para que a soma destes termos seja nula é preciso que a soma dos coeficientes
correspondentes de cada potência de x também seja nula, logo:
0
1 0nn o n o n o
nn n a p na q a x x
(12. 298)
logo
1 0n o n o nn n a p na q a (12. 299)
ou ainda
1 0o on n p n q (12. 300)
logo teremos uma equação indicial que será válida para toda equação do tipo Euler.
2 1 0o on p n q (12. 301)
Resolvendo esta equação indicial temos:
21 1 4.1.2
o o op p qn
(12. 302)
teremos três casos a considerar:
Quando as raízes da equação acima forem:
1) 1 2n n teremos:
21 4.1. 0o op q (12. 303)
logo
1
1 1n
oy x C x x e 2
2 2n
oy x C x x (12. 304)
Com
1 2 0F n n n n n (12. 305)
Portanto, o Wronskiano de 1 2,y y será:
1 2
1 2 2 1, 0r roW y y r r x x (12. 306)
Pois 1 2r r , portanto, 1 2y x e y x são L. I. logo a solução geral será:
319
1 2
1 2n n
o oy x C x x C x x (12. 307)
2) 1 2n n teremos:
21 4.1. 0o op q (12. 308)
logo
1 1 oy x C x x e 2 2 oy x C x x x (12. 309)
com
21 2 0F n n n n n n (12. 310)
onde 2C x é calculado pelo método da variaçào das constantes ou Método de Abel. Onde
2
0 1
1xp x dxC x e dx
y x
(12. 311)
como
o
o
pp xx x
(12. 312)
então:
0
lnx
oo o
o
pp x dx dx p x xx x
(12. 313)
logo
ln2 2
0 1
1 o
o o
pxp x x o
o
x xC x e dx dx
x xy x
(12. 314)
e
2opoC x x x dx (12. 315)
mas
21 4.1. 0o op q (12. 316)
e
320
12
op
(12. 317)
logo
12 1
2o
o
pp
(12. 318)
Então
ln oo
dxC x x xx x
(12. 319)
Portanto,
2 ln o oy x x x x x (12. 320)
Portanto, a solução geral será:
1 1 2 lno o oy x C x x C x x x x (12. 321)
3) 1 2 *n n (raízes complexas) teremos:
21 4.1. 0o op q (12. 322)
logo
1 1i
oy x C x x e 2 2i
oy x C x x x (12. 323)
com
21 2F n n n n n n i (12. 324)
Portanto a solução geral será:
1 2i i
o oy x C x x C x x x (12. 325)
Ou ainda
1 2i i
o o oy x x x C x x C x x x (12. 326)
Ou
321
log log1 2
o oi x x i x xoy x x x C e C x e (12. 327)
Usando a fórmula de Euler temos:
1 2 1 2cos log sen logo o oy x x x C C x x i C C x x
(12. 328)
Ou
cos log sen logo o oy x x x A x x iB x x (12. 329)
322
12. 14 - Método de Frobëniüs
Agora vamos estudar um método mais geral para solução de equações diferenciais
do tipo:
'' ' 0A x y x B x y x C x y x (12. 330)
onde ,A x B x e C x são polinômios.
Chamando de:
B xp x
A x e
C x
q xA x
(12. 331)
teremos:
'' ' 0y x p x y x q x y x (12. 332)
323
12.12.1 - Teorema de Fucks
Nesta equação diferencial onde o polinômio p x pode apresentar no máximo
uma singularidade simples (pólo de 1ª ordem) e o polinômio q x pode apresentar no
máximo um pólo de 2ª ordem para que seja solúvel pelo “Método de Frobenuis”
A equação diferencial pode ser resolvida por expansão em série de potências do
tipo:
0
r no n o
ny x x x a x x
(12. 333)
Que é chamado de Método de Frobenius desde que encontramos os limites:
2lim e limo o
o ox x x xx x p x x x q x
(12. 334)
com valores finitos
Portanto, se ox é ponto singular regular usa-se o método de Frobenius. Mas se
por outro lado, eo op x q x são finitos, logo ox é ponto ordinário então emprega-se o
Método de Taylor. Conclui-se, portanto, que este método é uma extensão de resolução por
Série de Taylor. Ou seja, o Método de Frobenius coloca apenas explicitamente a singularidade
sob a forma de potência e faz uma expansão em série em torno dela. Portanto, vale os
seguintes casos:
1) y x é analítica em um ponto ox x e é diferente de zero. Portanto, 0r , recaindo no
Método de Taylor.
2) y x é analítica em um ponto ox x e possui zero de ordem m. Portanto, r m (inteiro
positivo).
3) y x possui pólo de ordem m em um ponto ox x . Portanto, r m (inteiro negativo).
4) y x possui ponto de ramificação em um ponto ox x . Portanto, r é racional ou
irracional.
324
12. 15 - Equações, Polinômios e Funções Especiais que são Soluções de Equações Diferenciais
12.13.1 - Função de Hipergeométrica
Em muitos problemas de Física encontramos equações diferenciais que foram
estudadas por, Bessel, Legendre, Laguerre, Hermite, as quais podem ser escritas de forma
genérica numa única equação diferencial chamada de Equação Diferencial Hipergeométrica,
da seguinte forma:
(1 ) '' 1 ' ( ) 0x x y x x y x y x (12. 335)
da qual as outras equações poderão ser deduzidas bastando apenas escolher convenientemente
os valores para as constantes, , e . Vejamos:
A equação de Bessel aparece quando trabalhamos em coordenadas cilíndricas, e
pode ser escrita a partir da Equação Hipergeométrica bastando apenas escolher:
331
12.13.8 - Equações, Polinômios e Funções de Bessel
A equação diferencial de Bessel aparece quando expressamos alguns problemas
da Física (Onda, Difusão, etc) na forma de equações diferenciais em coordenadas cilíndricas.
O termo das equações diferenciais responsáveis pelo aparecimento da chamda “Equação
Diferncial de Bessel”em coordenadas cilíndricas é o Laplaciano (2).
Em coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
zrrr
rr
(12. 336)
Desnvolvendo o termo dependente de r:
2
2
2
2
22
22 11
zrrrr
(12. 337)
Multiplicando tudo por r2 temos:
2
22
2
2
2
2222
zr
rr
rrr
(12. 338)
Como na maioria das equações diferenciais temos termos proporcionais a função
(3) então aparecerá para a coordenada r a seguinte equação:
0222
22
vr
rr
rr (12. 339)
Chamada de “Equação de Bessel”.
Para resolvê-la basta aplicar o “Método de Frobenius”, ou seja, tentar uma solução
do tipo:
n
nn
s rarr
0
)( (12. 340)
Fazendo as derivadas temos:
3 As equações diferenciais que aparecem na Física algumas delas podem ser reduzidas a equação Helmholtz
22 k
332
1
0
)(
sn
nnrasn
rr (12. 341)
e
2
02
2
1)(
sn
nnrasnsn
rr (12. 342)
Substituindo na equação diferencial
010
221
0
2
0
2
sn
nn
sn
nn
sn
nn ravrrasnrrasnsnr
(12. 343)
Reescrevendo temos:
010
22
000
sn
nn
sn
nn
sn
nn
sn
nn ravrarasnrasnsn
(12. 344)
Expandindo os dois primeiros termos, das duas primeiras séries e da última:
0...
)1(1)1(1
0
211
222
02
11
2
11
sn
nn
sso
sn
nn
sn
nn
sso
sn
nn
sso
ravravravrarasn
rasrsarasnsnrassrsas
(12. 345)
Fazendo n = m + 2, ou seja, m = n – 2 temos:
0
...2)1(
212)1(1
2
02
211
222
0
2
02
11
2
02
11
sm
mm
sso
sn
nn
sm
mm
sso
sm
mm
sso
ravravravra
rasmrasrsa
rasmsmrassrsas
(12. 346)
Como m é um índice de soma, podemos retornar ao índice n, ficando com:
0
...2)1(
212)1(1
2
02
211
222
0
2
02
11
2
02
11
sn
nn
sso
sn
nn
sn
nn
sso
sn
nn
sso
ravravravra
rasnrasrsa
rasnsnrassrsas
(12. 347)
333
Como as funções potenciais são ortogonais (Linearmente Independentes) a soma de cada
potência deve ser nula, portanto:
)2(0221
)1(0)1(0)1()1(
)0(001
22
122
12
222
naavsnsnsn
navsavsss
navsavsss
nn
oo
(12. 348)
Logo, cancelando os coeficientes ao e a1 e reescrevendo temos:
)2(0112
)1(012
)0(
22
22
22
naavsnsn
nvss
nvs
nn
(12. 349)
ou
02
)1(012
)0(
222
22
22
nn aavsn
nvss
nvs (12. 350)
Como ao pode ser escolhido arbitráriamente igual a unidade, ao = 1, e as raízes
serão:
)0/(2
1
npvsvs (12. 351)
Logo, da segunda equação termos que para a1=0,
vsvs
vs
vs
vs
nvss
11
2422
)1(4422
)1.(1.442
)1(012
2
2
2
2
22
(12. 352)
Vejamos agora os coeficientes das outras potências de r onde teremos uma
fórmula de recorrência para para os an’s da solução da equação diferencial:
334
222 2 vsnaa n
n
(12. 353)
Pela fórmula de recorrência concluímos que para todos os índices ímpares os an
serão nulos, porque dependem de a1 que foi escolhido igual a zero. Portanto, só termos os na
com índices pares. Logo, fazendo n = 2m, podemos escrever:
222
22 22 vsmaa m
m
(12. 354)
i) Tomando em primeiro lugar a raiz vs 1 temos:
222
22 22 vvmaa m
m
(12. 355)
Ou ainda
vvmvvmaa m
m
22222
22 (12. 356)
Logo
222222
22
mvmaa m
m (12. 357)
ou
11222
22
mvmaa m
m (12. 358)
Desenvolvendo temos:
v
mvmmvmmvma m
121
...112
12
1112
1
2
22222
(12. 359)
Logo podemos escrever:
!1!12
1222
mvm
a m
m
m (12. 360)
Portanto a solução para vs 1 é:
335
n
nn
nv r
nvnrr 2
02 !1!12
1)(
(12. 361)
ii) Tomando em primeiro lugar a raiz vs 1 temos:
222
22 22 vvmaa m
m
(12. 362)
Ou ainda
vvmvvmaa m
m
22222
22 (12. 363)
Logo
222222
22
mvmaa m
m (12. 364)
ou
11222
22
mvmaa m
m (12. 365)
Desenvolvendo temos:
v
mvmmvmmvma m
121
...112
12
1112
1
2
22222
(12. 366)
Logo podemos escrever:
!1!12
1222
mvm
a m
m
m (12. 367)
Portanto a solução para vs 1 é:
n
nn
nv r
nvnrr 2
02 !1!12
1)(
(12. 368)
Concluindo a solução geral da equação diferencial de Bessel é:
336
)()()( 21 rCrCr vv (12. 369)
No caos de Zv temos que representar o termo !1 vn Pela função Gama. Isto pode
ser feito porque ao é arbitrário e pode ser escolhido como:
)1(1
v
ao (12. 370)
Logo a solução será:
n
nn
nv
v rvnn
rr 2
02 1!12
1)(
(12. 371)
337
12.13.9 - Fórmula de Rodrigues para a Função de Bessel
A fórmula de Rodrigues para a função de Bessel é dada por:
)(')()(1 xJxJxnxJ nnn (12. 372)
Logo
i) Para n = 0 temos:
)(')( 01 xJxJ (12. 373)
ii) Para n =1 temos:
)(')(1)( 112 xJxJx
xJ (12. 374)
Usando ( ) em ( ) temos:
)(1)(
)()(1)(
)('')(1)(
02
002
002
xJdxd
dxd
dxd
xxJ
xJdxd
dxdxJ
dxd
xxJ
xJxJx
xJ
(12. 375)
Vamos calcular o seguinte produto de operadores:
dxd
dxd
xdxd
xx
dxd
dxd
xdxd
xdxd
xdxd
xdxd
x
111
11111
2
(12. 376)
Se multiplicarmos tudo por x2 temos:
dxd
dxd
dxd
x
dxd
dxd
xdxd
xxx
dxd
xdxd
xx
1
11112
22
(12. 377)
Portanto,
338
)(11)(
)(111)(
222
2
222
xJdxd
xxxJ
xJdxd
xdxd
xxxJ
o
o
(12. 378)
Por indução temos:
)(11)( xJdxd
xxxJ o
nnn
n
(12. 379)
339
12.13.10 - Fórmula Integral para a Função de Bessel
Partindo da equação ( ) e somando )(1 xJ n dos dois lados desta equação temos:
)()(')()()( 111 xJxJxJxnxJxJ nnnnn (12. 380)
Como
)(')()(1 xJxJxnxJ nnn (12. 381)
342
Capítulo – XIII
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a definição de equações diferenciais de uma forma geral,
sua classificação quanto ao grau, a ordem, as variáveis, etc. A análise de um sistema de
equações diferencias pela teoria de auto-valores será feita e utilizando também a linearização
pelo processo de Lyapunov como também a análise de seu espaço de fase
13. 1 - Introdução
Para se resolver equações diferenciais, ou sistemas de equações diferenciais, não
existem um único método definido. Portanto, dependendo do tipo de equação diferencial
adota-se um método cuja função solução da equação diferencial, corresponda a uma expansão
em uma série de funções conhecidas, ou cujas funções que são soluções do sistema de
equações diferenciais, correspondam a expansão em uma série de funções conhecidas, tais
como, a Série de Potências, a Série de Laplace, a Série de Fourier. Isto de tal forma que o
sistema original de equações diferenciais seja transformado em um sistema algébrico cuja
solução possui métodos definidos.
344
13. 3 -Aplicação do Problema de Auto-Valor na Solução de Sistemas de Equações Diferenciais
Vamos a partir de agora resolver alguns problemas de equações diferenciais
importantes, utilizando o método de solução por auto-valores e auto-vetores.
13.3.1 - O Pêndulo Simples
Seja uma partícula de massa m suspensa por um fio inextensível de comprimento
l, sob a ação da força gravitacional, conforme mostra a Figura - 13. 1.
Figura - 13. 1.
De acordo com a 2ª Lei de Newton, temos:
2
2
dtrdmF k
(13. 1)
Tendo em vista o comprimento fixo do fio, a posição r da partícula é dada apenas pela
coordenada correspondente ao ângulo de inclinação do pêndulo. Logo,
jyixr ˆˆ (13. 2)
Considerando as coordenadas polares temos:
sencos
lylx
(13. 3)
Onde
lrlyxr
)sen(cos 22222 (13. 4)
Em coordenadas polares temos:
345
),(),( lryx (13. 5)
Logo
rlr ˆ (13. 6)
Figura - 13. 2.
Portanto, a velocidade do pêndulo é:
dtrdl
dtrd ˆ
(13. 7)
Como ˆ/ˆ dtrd temos:
ˆ
ldtrd (13. 8)
E a aceleração é:
ˆ2
2
ldt
rddtvda (13. 9)
Portanto,
mlmg
mgTsen
0cos (13. 10)
Simplificando temos:
sen
cos
lgmgT
(13. 11)
Transformando essa equação diferencial em um sistemas de equações diferenciais temos:
346
xlgy
yx
y
x
sen (13. 12)
Este sistema de equações possui solução elíptica (a solução depende dela mesma),
portanto ele deve ser linearizado em torno dos seus pontos críticos (ou também chamados de
pontos fixos).
Determinação dos Pontos Críticos
Os pontos críticos são “pontos de equilíbrio dinâmico” obtidos quando as
derivadas primeiras são nulas, portanto:
Zny
nx
xlgy
yx
y
x
,
00sen
0
0
0
(13. 13)
Portanto, esses pontos são dados pelo conjunto:
Znn ,);0,);...(0,3();0,2();0,();0,0( (13. 14)
A partir dessas informações podemos desenhar o espaço de fase:
Figura - 13. 3.
Para linearizar a equação devemos expandir as funções f(x,y) e g(x,y) em série de
Taylor da seguinte forma:
....))((21)(
21)(
21
)()(),(),(
,
22
,2
22
,2
2
,,
ooyx
oyx
oyx
oyx
oyx
oo
yyxxyxfyy
yfxx
xf
yyyfxx
xfyxfyxf
oooooo
oooo
(13. 15)
347
Linearizando em torno do Ponto (0,0)
O resultado da expansão fornece:
xlgxx
lgy
yx
)]([ 3
(13. 16)
Supondo uma solução do tipo:
rtrt
rtrt
rt
rt
eqlgerqy
eqerqx
eqy
eqx
12
21
2
1
(13. 17)
Cancelando os termos semelhantes e rearranjando esses termos temos:
221
121
12
21
0
0
rqqqlg
rqqq
qlgrq
qrq (13. 18)
Colocando em forma de matrizes temos:
2
1
2
1010
rqq
lg (13. 19)
Aplicando o problema de auto-valores o determinante é dado por:
lqir
lqr
lqrrlgr
/
/
0/010
det
2
2
(13. 20)
Logo, os auto-valores imaginários são:
lqir
lqir
/
/
2
1
(13. 21)
348
Observe que quando os auto-valores são imaginários as soluções do problema são do tipo
oscilatórias ( e vice-versa)
Portanto,
)/cos(2
)/cos(2
2/
2/
2
1/
1/
1
tlgqeqeqy
tlgqeqeqxtlgitlgi
tlgitlgi
(13. 22)
Linearizando em torno do Ponto (0,)
Expandindo novamente em Série de Taylor agora em torno do ponto (,0), temos:
))(/(...))(/(0),(........................0),(
xlgxlgyxgyyxf
(13. 23)
Fazendo uma transformação de variáveis onde
xxx ; (13. 24)
Temos:
xlgyyx
lgyy
)/()/(
(13. 25)
Com auto-valores reais com sinais opostos
lqr
lqr
/
/
2
1
(13. 26)
Estes auto-valores determinam um ponto de sela.
Finalmente desenhado o Espaço de fase temos;
349
13.3.2 - O Modelo de Lotka-Volterra
O modelo de Lotka-Volterra é um modelo do tipo predador-presa
),()1('),()1('yxgyxvy
yxfxyx (13. 27)
Seus pontos fixos são dados por:
0)1(0)1(
yxvxy
(13. 28)
Os quais são os pontos: (0,0) e (1,1):
I) Linearizando em torno do Ponto (0,0)
Expandindo as funções f(x, y) e g(x, y) em Série de Taylor temos:
vyyxvyyxg
xyxxyxf
...),(00),(
...),(00),(22
22
(13. 29)
Logo podemos propor a seguinte solução:
t
t
eqy
eqxvyyxx
2
1
''
(13. 30)
Obtendo e simplificando os termos
22
11
22
11
vqqqq
evqeq
eqeqtt
tt
(13. 31)
Colocando na foram matricial
2
1
2
1
00
v
(13. 32)
Cujo determinante
350
0)(
0))((00
0det
2
vv
vv
(13. 33)
os auto-valores são:
v 21 ; (13. 34)
Cálculo do auto-vetores para os auto-valores 1 e 2 no ponto crítico (0,0)
- Para o auto-valor 1
2211
1
; qvqqq
(13. 35)
O auto-vetor é do tipo:
01
1 e (13. 36)
- Para o auto-valor 2
Rqqqvqvqqvqq
v
22222
111
2
0
(13. 37)
O auto-vetor é do tipo:
10
ˆ2 e (13. 38)
Portanto a solução é:
vtt eeyx
10
01
(13. 39)
Cujo espaço de fases fornece:
351
Figura - 13. 4.
II) Linearizando em torno do Ponto (1,1)
Expandindo as funções f(x, y) e g(x, y) em Série de Taylor temos:
)1(...),(0)1(0),(
)1(...),(0)1(0),(22
22
xvyxxvyxg
yyxyyxf
(13. 40)
Fazendo
yyxx
11
(13. 41)
Logo podemos propor a seguinte solução:
t
t
eqy
eqxvyy
xx
2
1
''
(13. 42)
Obtendo e simplificando os termos
12
21
12
21
vqqqq
evqeq
eqeqtt
tt
(13. 43)
352
Colocando na foram matricial
2
1
2
1
00
v
(13. 44)
Cujo determinante
000
0det 2
vv
(13. 45)
os auto-valores são:
vivi 21 ; (13. 46)
Cálculo do auto-vetores para os auto-valores 1 e 2 no ponto crítico (0,0)
- Para o auto-valor 1
2112
1
; qvivqqviq
vi
(13. 47)
O auto-vetor é do tipo:
vie1
1 (13. 48)
- Para o auto-valor 2
2112
1
; qvivqqviq
vi
(13. 49)
O auto-vetor é do tipo:
vie
1ˆ2 (13. 50)
Portanto a solução é:
353
vtt evieviyx
11 (13. 51)
Ou ainda podemos simplificar
vtt ei
eiy
x
11 (13. 52)
e
)()cos(
)()cos(
wtisenwte
wtisenwtevt
wt
(13. 53)
Cujo espaço de fases fornece:
Figura - 13. 5.
Os sistemas caóticos são extremamente sensíveis as condições iniciais. E para
sistemas contínuos, o caos só ocorre se este sistema é tridimensional 3D.
354
13.3.3 - O Sistema de Massas e Molas Acopladas
Considere o exemplo do sistema massa-mola dado por:
Figura - 13. 6.
11
21
1221
mmkkk
(13. 54)
Aplicando a 2ª Lei de Newton temos:
amF (13. 55)
No corpo 1
)( 21121111 xxkxkxm (13. 56)
No corpo 2
22121222 )( xkxxkxm (13. 57)
Montando o sistema de equações temos:
t
t
eqy
eqxxxxxxx
2
1
212
211
02''02''
(13. 58)
Temos:
22
21
12
21
2122
2112
2
2
022
02
qqq
qqq
qqq
qqq
(13. 59)
355
Colocando na forma matricial temos:
2
12
2
1
2112
(13. 60)
Calculando o determinante do problema de auto-valor temos:
1)2(21
12det 222
2
(13. 61)
Chamando de:
i
2
(13. 62)
Logo
13
212164
341)2(
2
1
22
(13. 63)
retornando a temos:
3
31
33
22
12
21
11
2
i
ii
i
ii
(13. 64)
Os auto-valores para 1 =1 são:
11
ˆou 11
ˆ 11 ee (13. 65)
Os auto-valores para 2 =3 são:
11
ˆou 1
1ˆ 22 ee (13. 66)
Logo a solução é:
titiitit eeeexx 3
23
1212
1 11
11
11
11
(13. 67)
356
Onde 1, 2, 1 e 2 arbitrários Os autovalores de problemas dinâmicos vibratórios estão sempre associados a
freqüências naturais do fenômeno.
357
13. 4 - Matrizes Simétricas (AT = A)
Uma matriz é dita simétrica quando jiij AA
xx Α (13. 68)
1) Se A é simétrica os auto-valores são reais (’s R)
2) Se A tem de multiplicidade K seus auto-vetores geram sub-espaço de dimensão K.
3) Se A possui auto-valores distintos os auto-vetores são ortogonais entre si.
i) Se
321321 vvv (13. 69)
ii) Se
213231321 mas ; vvvvvv (13. 70)
iii) Se
231321 vvv (13. 71)
Figura - 13. 7.
358
13.4.1 - Teorema
Se os auto-valores j e k são distintos seus auto-vetores associados são
perpendiculares entre si.
Prova:
jkjjT
k
T
jT
kjjT
k
jT
kjjT
k
jjkjk
jjj
eAe
AA
eeeAe
eeeAe
eeeAeeeA
.
mas
..
..
.).(
jkkjT
k
T
jT
kkjTT
k
jT
kkjT
k
jkkjk
kkk
eAe
AA
eeeAe
eeeeA
eeeeAeeA
.
mas
..
..)(
.).(
0.)(.. jT
kjkjT
kjT
k eeeAeeAe
Mas
jkjkjk eeee 0 (13. 72)
359
13. 5 - Solução de Auto-Valores de Equações Diferenciais Não-Homogêneas
Considere a seguinte equação vetorial
cxxA (13. 73)
onde é um parâmetro. Sabendo que:
j
n
jjj
n
jj ecceax
11
; (13. 74)
temos:
j
n
jjj
n
jjj
n
jj eceaeaA
111
(13. 75)
Supondo que A tem auto-valores ’s
jj
n
jjj
n
jjj
n
jj eaeAaeaA
111
(13. 76)
Fica
ecean
jj
n
jj
11
)( (13. 77)
Então
nj
ca jjj
...,3,2,1
)(
(13. 78)
Com os seguintes casos:
i) Nenhum j =
única solução)(
j
jj
ca (13. 79)
ii) Existe um k = (Multiplicidade 1)
ii.1)
360
kk
k
jkk acc
ac
0)(0
(13. 80)
nenhum valor de ak satisfaz
)impossível (sistema solução temnão.0 1 cak (13. 81)
ii.2)
satisfaznúmero ?000 kkk aac (13. 82)
e
arbitrário é )(00
kkkk aca
(13. 83)
Portanto,
nkkj
ec
eax j
n
j j
jkk
,...1,,1,...2,1*
)(2*
(13. 84)
iii) k = com multiplicidade p ( p....21 ) se 0,..., 21 cc não há solução
iv) Se
0...21 cc (13. 85)
logo
j
n
j j
jpp e
ceaeaeax
2*2211 )(
......
(13. 86)
Solução indeterminada com p graus de liberdade (no. incógnitas > no. equações). Ver
exemplo 3 do livro no Capítulo - 11.
Ex.
361
13. 6 - Diagonalização
Vejamos o seguinte problema:
xAx ' (13. 87)
Onde a matriz A é acopla as soluções das equações diferenciais. Vamos escolher uma
transformação Q, tal que:
xQx ~ (13. 88)
Tal que substituindo em ( ) temos:
xAQxQ ~'~ (13. 89)
Logo
xAQxQ ~'~ (13. 90)
Pois queremos que exista uma transformação Q-1 de tal forma que:
xAQQxQQ ~~ 11 (13. 91)
Logo
xAQQxQQ ~'~ 11 (13. 92)
Portanto,
xDxI ~'~ (13. 93)
Onde
AQQD 1 (13. 94)
362
13.6.1 - Teorema
1) Uma matriz An x n é diagonalizável se e somente se A possui n auto-vetlores L. I.
2) Se uma matriz A possui auto-vetores L. I., neeee ˆ,...ˆ,ˆ,ˆ 321 logo fazendo
]ˆ...ˆˆˆ[ 321 neeeeQ temos que, AQQD 1 é uma matriz diagonal e os auto-valores de A
são os valores da diagonal.
Prova
Se A é diagonalizável então A possui n auto-vetores L. I.
nnd
dd
AQQD
..000..::0..00..0
22
11
1 (13. 95)
Onde
nnnnnn
n
n
d
dd
qqq
qqqqqq
AQ
..000..::0..00..0
..0..::
..
..
22
11
21
22221
11211
(13. 96)
Ou
nnn
nnnnnn
nnn
nnn
dqdqdq
dqdqdq
dqdqdqdqdqdq
AQ ..
..0..::
..
..
222111
222111
222221121
122121111
(13. 97)
Logo
nn qAqAqAqqqAAQ .... 2121 (13. 98)
Onde
363
nnnn qdqA
qdqAqdqA
:2222
1111
(13. 99)
Se os iq ’s são diferentes de zero ( 0iq ) para i = 1, 2, ...., n então q são auto-vetores e são
L. I. porque Q possui inversa (não pode existir qualquer vetor 0iq ). Se os iq ’s são L. D.
então não existe a inversa de Q ( IQQ 1 )
A prova da volta da parte 1 do teorema. Se A possui auto-vetores L. I. então A é diagonalizável. Podemos definir ]ˆ...ˆˆˆ[ 321 neeeeQ a matriz Q é formada pelos vetores ie nas colunas. Logo
nn eAeAeAeeeAAQ .... 2121 (13. 100)
Por hipótese temos um problema de auto-vetores.
nnn eeeeeeAAQ .... 221121 (13. 101)
Ou
nnnnn
n
n
nnn
nnn
nnn
eee
eeeeee
ddd
dddddd
AQ
..000..::0..00..0
..0..::
..
..
..0..::
..
..
2
1
21
22221
11211
222111
222111
222111
(13. 102)
ou
QDAQ (13. 103)
Multiplicando os dois lado por Q-1, temos:
DAQQ 1 (13. 104)
364
13.6.2 – Exemplo: Cinética Química
Considere duas espécies químicas X1, X2
2
21
12
1 xk
kx
(13. 105)
A cinética das reações são dadas por:
2121212
2121211
''
xkxkxxkxkx
(13. 106)
A qual pode ser escrita de forma resumida
xAx ' (13. 107)
Onde
1221
1221
kkkk
A (13. 108)
Fazendo
xQx '~ (13. 109)
Logo
xAQQx 1' (13. 110)
Onde
2
1
00~
x
(13. 111)
Calculado o determinante de 0 IA temos:
)(;00]([0)(
0))((
211221
2112
21122
21121221
kkkk
kk
kkkk
(13. 112)
365
11
11
:)(
:0
21
12
221122
21
1211
kk
Qekk
kk
e
(13. 113)
Logo
22112222
111~)(~'~
0~'~
xkkxxxx
(13. 114)
E
tkkeCx
Cx)(
22
11
2112~
~
(13. 115)
Portanto,
tkkeC
Ckk
xx
x )(2
1
21
12
2
121121
1 (13. 116)
tkk
tkk
eCkCeCk
xx
)(2211
)(212
2
12112
2112
(13. 117)
Considerando que:
21 1 xx (13. 118)
Temos:
][1 )(2211
)(212
21122112 tkktkk eCkCeCk (13. 119)
Logo
21112 1 kCk (13. 120)
366
13.6.3 – Exemplo: Sistema Mecânico
Considere o sistema mecânico da Figura - 13. 8.
Figura - 13. 8.
O sistema de equações diferenciais que rege o movimento do sistema mecânico é
dado por:
ykxkkxm2
)2
( 221 (13. 121)
ykxkym2222 (13. 122)
e podemos escrever:
0'' xAx (13. 123)
Onde
mk
mk
mk
mkk
A
22
222
22
221
(13. 124)
Fazendo
1;4;3 21 mkk (13. 125)
Temos:
2225
24
24
24
246
A (13. 126)
Cujos auto-valores e auto-vetores são:
367
12
51ˆ;6
21
51ˆ;1
12
11
e
e
(13. 127)
E a matriz Q que diagonaliza A é dada por:
51
52
52
51
Q (13. 128)
Então ficamos com:
0~''~ xDx
(13. 129)
E
)6(~)(~
~6''~~''~
22
11
tsenAy
tsenAxyy
xx (13. 130)
Portanto,
)6(5
1
)6(5
2
)(52
)(5
1
2
2
2
1
1
1
tsen
tsenA
tsen
tsenA
yx
(13. 131)
Cujos modos normais de vibração são:
368
13. 7 - Formas Quadráticas
Seja a função
22222112
211121 2),( xaxxaxaxxf , (13. 132)
esta é chamada de forma quadrática em x1 e x2. Em geral temos:
xAxxxxf Tn
),...,,( 21 , (13. 133)
Se A éuma matriz diagonal, a forma quadrática é chamada de “canônica”. Há
casos em que é interessante transformar f na forma canônica. Considere a nova variável x~
onde:
xQx ~ , (13. 134)
onde Q é uma matriz de transformação de coordenadas, logo
)~()~()( xQAxQxf T , (13. 135)
E ainda
xDxxAQQxxf TTT ~~~)(~)( , (13. 136)
Se A for simétrica então ao auto-vetores de A podem ser usados para formar Q onde:
n
n DeeeeQ
000:::
0..00..0
.. 2
1
21 (13. 137)
Portanto,
2222
211
~...~~)( nn xxxxf , (13. 138)
369
13.7.1 – Exemplo:
Considere a seguinte forma quadrática
2221
2121 323),( xxxxxxf , (13. 139)
Onde
3113
A , (13. 140)
Cujos auto-valores e auto-vetores são:
11
21ˆ;2
11
21ˆ;4
12
11
e
e
(13. 141)
E
2
1
2
1~~
21
21
21
21
xx
xx
x (13. 142)
Portanto,
222
21121
~~)~,~( xxxxf , (13. 143)
370
13.7.2 – Definição
A função ),( 21 xxf é positiva (ou negativa) definida se 0xAxT (< 0) para
0x . Observe que a matriz A é que comanda o sinal da forma quadrática.
13.7.3 – Teorema
Seja A uma matriz simétrica então A é positiva definida (ou negativa definida) se
todos os seus auto-valores são positivos (ou negativos).
13.7.4 – Exemplo – 4 (Flambagem)
Considere o sistema mecânico mostrado na Figura - 13. 9
Figura - 13. 9.
A energia potencial do sistema é dado por:
pzyxkykxV
2
)(21
21
21 2
22 , (13. 144)
Considerando o seguinte vínculo de:
LLLLz 3coscoscos , (13. 145)
Para pequenos temos:
2
2
2
211cos
211cos
211cos
Lyx
Ly
Lx
, (13. 146)
371
Portanto,
xyLPky
LPkx
LPkyxV
485
85),( 22 , (13. 147)
Coma matriz A associada dada por:
LPk
LPk
LPk
LPk
A
85
28
2885
, (13. 148)
Onde
kLPk
kLPk
23
2;
31
23
21 , (13. 149)
f é definida positiva se e somente se:
31
kLP , (13. 150)
374
Capítulo – XIV
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
NÃO-LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a definição de equações diferenciais de uma forma geral,
sua classificação quanto ao grau, a ordem, as variáveis, etc. A análise de um sistema de
equações diferencias pela teoria de auto-valores será feita e utilizando também a linearização
pelo processo de Lyapunov como também a análise de seu espaço de fase
14. 1 - Introdução
Para se resolver equações diferenciais, ou sistemas de equações diferenciais, não
existem um único método definido. Portanto, dependendo do tipo de equação diferencial
adota-se um método cuja função solução da equação diferencial, corresponda a uma expansão
em uma série de funções conhecidas, ou cujas funções que são soluções do sistema de
equações diferenciais, correspondam a expansão em uma série de funções conhecidas, tais
como, a Série de Potências, a Série de Laplace, a Série de Fourier. Isto de tal forma que o
sistema original de equações diferenciais seja transformado em um sistema algébrico cuja
solução possui métodos definidos.
376
14. 3 – Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª Ordem
14.3.1 - Caso - 1
A Equação Diferencial é um polinômio em y’.
0)(')(')( 2 yxcyxbyxa (14. 1)
Achar as raízes ,...',' 21 yy e procurar integrar cada uma delas. Vejamos o exemplo:
0')('2 xyyyxy (14. 2)
Resolvendo a equação do 2º grau pela fórmula de Báskara em y’temos:
2)()(
24)()(
'2 yxyxxyyxyx
y
(14. 3)
As duas raízes são:
yyxy 21 '' (14. 4)
com soluções
xCeyCxy 2
2
1 2 (14. 5)
Uma solução pode ser composta de ramos pertencentes a y1 e y2, bastando que se escolha as
constantes de forma que )()( 21 oo xyxy e )(')(' 21 oo xyxy , isto é, no ponto xo as duas
soluções se unem de forma suave (com a mesma tangente).
Exemplos:
377
14.3.2 - Caso - 2
A Equação Diferencial é da forma
F(y’) = 0. (14. 6)
Então y’ é igual a cada constante ki solução de F(y’) = 0. Assim
ikdxdy
(14. 7)
ou
Cxky i (14. 8)
ou
xcyki
(14. 9)
como
0)( ikF (14. 10)
Então
0
xcyF (14. 11)
É a solução geral.
Exemplos:
378
14.3.3 - Caso - 3
A Equação Diferencial é da forma:
)'(yfx . (14. 12)
Faz-se,
ty ' ou )(' tgy (14. 13)
sendo g escolhido convenientemente. Então
)(tfx ou )()(( thtgfx , (14. 14)
Englobando ambos os casos. Daqui se tira
dtthdx )(' (14. 15)
E tem-se
dtthtgdxtgdy )(')()( (14. 16)
Com o que
Cdtthtgy )(')( , (14. 17)
Portanto, x e y são expressos parametricamente em termos de t.
Exemplos:
379
14.3.4 - Caso – 4
A Equação Diferencial é da forma:
)'(yfy (14. 18)
Põe-se
ty ' (14. 19)
ou
)(' tgy (14. 20)
conforme se acha mais conveniente. Então
)(tfy ou )())(( thtgfy (14. 21)
E
dtthdy )(' (14. 22)
Daqui tira-se que:
dxtgdy )( (14. 23)
Ou
)()('
)( tgdtth
tgdydx (14. 24)
Integrando vem
Cdttgthx )()(' (14. 25)
Que juntamente com
)(thy (14. 26)
fornece a solução geral.
Exemplos:
380
14. 4 - Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem
Se a Equação Diferencial é daquelas que se reduzem a 1ª ordem, conforme os
seguintes tipos:
0,,
0,,
0,
2
2
2
2
2
2
ydxdy
dxyd
xdxdy
dxyd
dxdy
dxyd
(14. 27)
Sua solução pode ser obtida por substituição
0,,
0,,
0,
yvdydvv
xvdxdv
vdxdv
(14. 28)
que são de 1ª ordem em v. Supondo que v pode ser obtido, uma integração posterior levará à
solução do problema.
Note que: em , a sbstituição é:
dydvv
dxdy
dydv
dxdv
dxyd
2
2
(14. 29)
Exemplos:
381
1) Caso :
12 2
2
dx
yddxdya (14. 30)
Pondo-se
vdxdy
(14. 31)
Obtém-se:
12 dxdvav (14. 32)
ou
adxvd
21)( 2
(14. 33)
e
12
2C
axv (14. 34)
Sendo 1C a 1ª constante de integrassão (haverá uma segunda). Então:
12C
axv (14. 35)
Mas
dxdyv (14. 36)
E assim
dxCaxdy 12 (14. 37)
e
383
2) Caso:
01 2
22
dxdyx
dxydx (14. 40)
Faz-se
vdxdy
(14. 41)
E então tem-se:
01 2
vx
xdxdv (14. 42)
Portanto,
21 xxdx
vdv
(14. 43)
Integrando outra vez
12 '1loglog Cxv (14. 44)
Ou
21
1 xC
dxdyv
(14. 45)
Integrando-se outra vez chega-se a
21
1 CxsenhCy (14. 46)
384
3) Caso:
2
2
2
1
dxdy
dxydy (14. 47)
Com
vdxdy
(14. 48)
E
dydvv
dxyd2
2
(14. 49)
E então
21 vdydvyv (14. 50)
Ou
ydy
vvdv
21
(14. 51)
Integrando temos:
Cyv log1log21 2 (14. 52)
Ou
2/121 1
vCy (14. 53)
Quadrando temos:
1221
2 1
vCy (14. 54)
Ou
21
2
yCyv
(14. 55)
385
E
21
2
yCy
dxdy
(14. 56)
ou
dxdxdy
Cyy
1
2 (14. 57)
Integrando,
212 CxCy (14. 58)
Que é a solução.
388
Capítulo – XV
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
ORDINÁRIAS NÃO-LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a definição de equações diferenciais de uma forma geral,
sua classificação quanto ao grau, a ordem, as variáveis, etc. A análise de um sistema de
equações diferencias pela teoria de auto-valores será feita e utilizando também a linearização
pelo processo de Lyapunov como também a análise de seu espaço de fase
15. 1 - Introdução
Para se resolver equações diferenciais, ou sistemas de equações diferenciais, não
existem um único método definido. Portanto, dependendo do tipo de equação diferencial
adota-se um método cuja função solução da equação diferencial, corresponda a uma expansão
em uma série de funções conhecidas, ou cujas funções que são soluções do sistema de
equações diferenciais, correspondam a expansão em uma série de funções conhecidas, tais
como, a Série de Potências, a Série de Laplace, a Série de Fourier. Isto de tal forma que o
sistema original de equações diferenciais seja transformado em um sistema algébrico cuja
solução possui métodos definidos.
392
Capítulo – XVI
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de Equações Diferenciais e os
diferentes tipos de equações diferenciais e sua classificação, quanto ao número de variáveis
independentes, ordem, grau, coeficientes das derivadas, etc.
16. 1 - Objetivos do Capítulo
i) Saber reconhecer uma equação diferencial.
ii) Saber classificar uma equação diferencial, quanto ao número de variáveis
independentes, quanto a ordem, quanto ao grau, etc.
O objetivo deste capítulo é mostrar alguns métodos de resolução de alguns tipos
de equações diferenciais que aparecem mais frequentemente.
16. 2 - Introdução
Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a
uma equação diferencial. Por esta razão saber reconhecer uma equação diferencial dentro de
um problema específico é muito importante, para a busca de sua solução. Da mesma forma,
saber classificar uma equação diferencial é o primeiro passo na busca de sua solução, pois
apesar de não existir um método único para se resolver todas as equações diferenciais, a
classificação delas ajuda a escolher o método mais adequando de solução.
394
16.3.1 – Comentários sobre o Método da Separação de Variáveis
Na solução de muitas equação diferenciais a derivadas parciais é usual empregar-
se o método de separação de variáveis, que consiste em admitir a função incógnita digamos
, ,V x y z , seja um produto de funções de uma única variável.
, ,V x y z X x Y y Z z (16. 1)
Com issom a equação a derivadas parciais original se transforma em tantas equações
ordinárias quantas forem as variáveis independentes; em muitos casos de interesse prático as
equações ordinárias obtidas não-lineares. Este comentário serve apenas para mostrar a
relevância do estudo de equações diferenciais ordinárias.
Exemplo
Suponhamos que a equação para a função incógnita ,V x y seja a equação de
Laplace em duas dimensões:
2 2
22 2, 0V VV x y
x y
(16. 2)
Pelo método de separações de variáveis ordinárias supomos que ,V x y passa a ser escrita na
forma:
,V x y X x Y y (16. 3)
Substituindo na equação ( ) obtemos:
2 2
2 2 0X YY y X xx y
(16. 4)
Divindindo ( ) por X x Y y , obtemos:
2 2
2 2
1 1 0X YX x x Y y y
(16. 5)
Ou
2 2
2 2
1 1X YX x x Y y y
(16. 6)
395
Mas em ( ) o 1º membro é função apenas de x, enquanto que o 2º memebro depende apenas de
y. Sendo x e y independente, isso só é possível se cada um dos membros de ( ) for igual a uma
constante, k. Então obtemos as duas equações diferenciais ordinárias:
2
2
2
2
1
1
X kX x x
Y kY y y
(16. 7)
396
16. 4 - Equação de Difusão
i) Caso 1D
Considere a temperatura u(x,t) em uma barra de comprimento, L.
Figura - 16. 1.
O fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura (Lei de Fourier), ou
seja,
xTq
2 (16. 8)
Figura - 16. 2
)()( dqqqt
udx
(16. 9)
logo
xdxq
tuxd
dqtudx
)(
)(
(16. 10)
Substituindo a equação (16. 8) em (16. 10) temos:
397
2
22
2 )/(
xu
tu
xxu
tu
(16. 11)
ii) Caso 2D e 3D
Para o caso bi e tridimensional temos:
utu 22 (16. 12)
Para resolver esta equação vamos utilizar o “Método da Separação de Variáveis”.
Este método so vale para problemas finitos ( )0( L . Nele supõe-se que:
)()( tTxXu (16. 13)
E substitui-se na equação:
)()()()( 22 tTxXt
tTxX
(16. 14)
Logo
TXXT ''' 2 (16. 15)
Multiplicando tudo por XT/2
cteXX
TT
'''1
2 (16. 16)
Suponde que a constante de proporcionalidade é tipo 2k , onde Rk logo:
22
'''1 kXX
TT
(16. 17)
Logo, ficamos com duas equações diferenciais:
398
0''
0'2
22
XkX
TkT (16. 18)
A solução deste sistema de equações diferenciais parciais é:
0/),sen()cos(
0/,kpkxBkxA
kpExDX (16. 19)
e para T temos:
0/,
0/,22
kpFe
kpGT
tk (16. 20)
i) Para k = 0
A solução geral da equação diferencial da difusão para u(x,t) é:
ExDGtxu ),( (16. 21)
ii) Para k 0
A solução geral da equação diferencial da difusão para u(x,t) é:
)sen()cos(),(22
kxBkxAFetxu tk (16. 22)
A solução totalmente geral para qualquer k para )()( tTxXu é dada por:
)sen()cos(),(22
kxBkxAFeExDGtxu tk (16. 23)
ou
tkekxKkxJIxHtxu22
)sen()cos(),( (16. 24)
de posse da solução geral vamos agora aplicar as condições de contorno.
i) Condições de contorno em x = 0, u = u1
0),0( 1122
JeuHtuJeHtxu tk (16. 25)
ou ainda
399
0..01. 1122
JeuHtILJeuH tk (16. 26)
Logo, retornando a equação
tkekxKIxutxu22
)sen(),( 1 (16. 27)
ii) Condições de contorno em x = L, u = u2
2122
)sen(),( uekLKILutLxu tk (16. 28)
Como as funções são L. I. temos:
0)sen(22
00
21
tkekLKILuu (16. 29)
Temos:
0)sen(
21
kLKL
uuI (16. 30)
Logo
,...2,1,
nL
nk
nkL
(16. 31)
Portanto,
tL
n
exL
nKxL
uuutxu2
2
)sen(),( 211
(16. 32)
Observe que K varia para diferentes k, que por sua vez dependem de diferentes n,
Logo, precisamos supor que a combinação linear de todas as solu;coes com K diferentes
também é solução, logo,
tL
n
nn ex
LnKx
Luuutxu
22
)sen(),(1
211
(16. 33)
400
Observe que a solução (12. 357) representa uma solução em Série de Fourier e
não foi especificada nenhuma condição inicial para a solução (12. 357). Isto significa que esta
solução pode representar qualquer função que possa ser expressa em termos de uma Série de
Fourier. Portanto, devemos especificar qul é a condição inicial para poder restringir a Série de
Fourier da Solução (12. 357) para uma solução que represente uma função f(x) dada pela
condição inicial, onde:
)()sen()0,(1
211 xfx
LnKx
Luuutxu
nn
(16. 34)
Logo
)sen()(1
211 x
LnKx
Luuuxf
nn
(16. 35)
com período 2L.
Chamando de x
LuuuxfxF 21
1)()( , logo,
)sen()(1
xL
nKxFn
n
(16. 36)
Onde,
L
Ln dxx
LnxF
LK )sen()(1 (16. 37)
401
Exemplo
Considere o problema de Difusão de Calor onde 021 uu e 100)( xf e
10L , logo para a solução:
tL
n
nn ex
LnKx
Luuutxu
22
)sen(),(1
211
(16. 38)
temos:
tL
n
nn ex
LnKtxu
22
)sen(),(1
(16. 39)
e
100)sen()0,(1
xL
nKtxun
n (16. 40)
onde
LL
Ln dxx
Ln
Ldxx
LnxF
LK
0
)sen(1002)sen()(1 (16. 41)
Logo
L
n xL
nn
K0
)cos(200
(16. 42)
cujas soluções são:
i) Para n ímpar
)2(200112001)cos(200
)0cos()cos(200
nnn
n
nn
Kn (16. 43)
Logo
402
nKn
400 (16. 44)
ii) Para n par
0112001)cos(200
)0cos()cos(200
nn
n
nn
Kn (16. 45)
logo
0nK (16. 46)
Portanto, a solução final é:
tL
n
nex
Ln
ntxu
22
)sen(1400),(1
(16. 47)
Na prática a barra se resfria de 100ºC até 0oC.
Figura - 16. 3
Observe que para n estes modos decem mais rápido, ou seja o calor
dissipa-se mais rápido (freqüências mais altas dissipam mais rápido).
403
Exemplo
Considere o problema no domínio
Figura - 16. 4
)0/;()()0,()0;(2
tpxxfxutxuu txx (16. 48)
Aplicando a Transformada de Fourier em ambos os lados da equação diferncial
temos:
txx uFuF 2 (16. 49)
Aplicando a Transformada de Fourier:
txx uFuF 2 (16. 50)
Temos:
tuui ˆˆ)( 22 (16. 51)
ou
dxetuui xi
ˆ)( 22 (16. 52)
E
dxetxudtdu xi
),(ˆ22 (16. 53)
E
404
dtudu ˆˆ22 (16. 54)
Logo
0ˆˆ 22 udtud (16. 55)
Integrando temos:
dtuud 22
ˆˆ
(16. 56)
Logo
)(ˆln 22ottu (16. 57)
Exponenciando temos:
)(22)(ˆˆ otteuu (16. 58)
Vamos usar a condição inicial:
)(ˆ)()()0,( fxfFuxuF (16. 59)
A partir de (12. 352) podemos ver que para ott temos:
)(ˆˆˆˆ )(22 fueuu o
tto
o (16. 60)
Mas
)(11
)(1
1
22
22
*),(
ˆ),(
ˆ),(
o
o
tto
tto
eFuFtxu
euFtxu
uFtxu
(16. 61)
Portanto,
)(*)(),(
*)(),( )(1 22
xgxftxueFxftxu ott
(16. 62)
Onde
405
)()( 1)(1 22 gFeFxg ott (16. 63)
Logo
det
xftxu tx
2
2
4)(
21*)(),( (16. 64)
e
deft
xgxftxu tx
2
2
4)(
)(2
1)(*)(),( (16. 65)
Ou
dxgfxgxftxu
)()()(*)(),( (16. 66)
Exemplo:
Para uma função f(x):
)(.0;00;
)( xHFxxF
xf
(16. 67)
ou
txerfFtxu2
12
),( (16. 68)
Onde:
dexerf t
2
2
2)( (16. 69)
406
16. 5 - Equação de Onda
i) Caso 1D
Considere o seguinte caso unidimensional com domínio infinito:
Figura - 16. 5
ttxx uuc 2 (16. 70)
Onde a condição inicial é dada por:
)()0,( xfxu (16. 71)
E a derivada no tempo:
)()0,( xgxut (16. 72)
Como o problema é de domínio finito, vamos resolver a equação pelo Método da
Separação de Variáveis
407
Para resolver esta equação vamos utilizar o “Método da Separação de Variáveis”.
Este método so vale para problemas finitos ( )0( L . Nele supõe-se que:
)()( tTxXu (16. 73)
E substitui-se na equação:
2
22
2
2 )()()()(x
tTxXt
tTxX
(16. 74)
Logo
''''2 XTTXc (16. 75)
Multiplicando tudo por XTc /2
cteXX
TT
c
''''12 (16. 76)
Suponde que a constante de proporcionalidade é tipo 2k , onde Rk logo:
22
''''1 kXX
TT
c (16. 77)
Logo, ficamos com duas equações diferenciais:
0''
0''2
22
XkX
TckT (16. 78)
A solução deste sistema de equações diferenciais parciais é:
0/),sen()cos(
0/,kpkxEkxD
kpBxAX (16. 79)
e para T temos:
0/),sen()cos(
0/,kpkctKkctJ
kpIxHT (16. 80)
i) Para k = 0
A solução geral da equação diferencial da difusão para u(x,t) é:
408
ItHBxAtxu ),( (16. 81)
ii) Para k 0
A solução geral da equação diferencial da difusão para u(x,t) é:
)sen()cos()sen()cos(),( kctKkctJkxEkxDtxu (16. 82)
A solução totalmente geral para qualquer k para )()( tTxXu é dada por:
)sen()cos()sen()cos(
),(kxEkxDkctKkctJ
ItHBxAtxu
(16. 83)
ou
)sen()cos()sen()cos(),( 4321
kctKkctJkxEkxDxtCtCxCCtxu
(16. 84)
de posse da solução geral vamos agora aplicar as condições de contorno.
i) Condições de contorno em x = 0, u = 0:
0
0)sen()cos()cos(),0(
31
31
DCCtkctKkctJkxDtCCtxu
(16. 85)
ou ainda
0..
0)sen()cos()cos(1.),0(
31
31
DCCtILkctKkctJkxDtCCtxu
(16. 86)
Logo, retornando a equação
)sen()cos()sen(),( 42
kctKkctJkxExtCxCtxu
(16. 87)
ii) Condições de contorno em x = L, u = 0:
nkLeCCt
kctKkctJkLELtCLCtxu
)sen(0
0)sen()cos()sen(),(
42
42 (16. 88)
Logo
409
,...2,1,
nL
nk
nkL
(16. 89)
Como as funções são L. I. temos:
0)sen()cos()(00
42
kctKkctJkLEsenLtCC (16. 90)
Temos:
0)(042
kLEsenCC
(16. 91)
Logo, retornando a equação
)sen()cos()sen(),( ct
LnKct
LnJx
LnEtxu
(16. 92)
ou
)sen()cos()sen(),( ct
LnSct
LnRx
Lntxu
(16. 93)
Observe que K varia para diferentes k, que por sua vez dependem de diferentes n,
Logo, precisamos supor que a combinação linear de todas as solu;coes com K diferentes
também é solução, logo,
)sen()cos()sen(),(
1ct
LnSct
LnRx
Lntxu nn
n
(16. 94)
Observe que a solução (12. 357) representa uma solução em Série de Fourier e
não foi especificada nenhuma condição inicial para a solução (12. 357). Isto significa que esta
solução pode representar qualquer função que possa ser expressa em termos de uma Série de
Fourier. Portanto, devemos especificar qul é a condição inicial para poder restringir a Série de
Fourier da Solução (12. 357) para uma solução que represente uma função f(x) dada pela
condição inicial, onde:
1)sen()0,(
nn x
LnRtxu
(16. 95)
410
Logo
)()(1
xL
nsenRxfn
n (16. 96)
com período 2L, logo,
)()(1
xL
nsenRxfn
n
(16. 97)
Onde,
dxxL
nsenxfL
Rn )()(1 (16. 98)
Como a função está definida apenas no intervalo ];[ LL
L
Ln dxx
Lnsenxf
LR )()(1 (16. 99)
Ou ainda podemos escrever
(16. 100)
iii) Usando a condição inicial t = 0, )()0,( xgxut :
1.0.)sen()0,(
)0cos()0sen()sen()0,(
1
1
nnn
nnn
SRL
cnxL
ntxu
SRL
cnxL
ntxu
(16. 101)
logo
)()sen()0,(1
xgxL
nL
cnSxun
nt
(16. 102)
onde
411
dxx
Lnsen
Lcnxg
LSn )()(1 (16. 103)
Como a função está definida apenas no intervalo ];[ LL
L
Ln dxx
Lnsen
Lcnxg
LS )()(1 (16. 104)
Ou ainda podemos escrever
L
n dxxL
nsenL
cnxgL
S0
)()(2 (16. 105)
Exemplo
Considere o problema de Equação de Onda onde 0)( xg , logo para a solução:
)sen()cos()sen(),(
1ct
LnSct
LnRx
Lntxu nn
n
(16. 106)
Logo
0)(1.0.)sen()0,(
)0cos()0sen()sen()0,(
1
1
xgSRL
cnxL
ntxu
SRL
cnxL
ntxu
nnn
nnn
(16. 107)
logo
0)sen()0,(1
nnt x
Ln
LcnSxu
(16. 108)
Logo 0nS . Portanto,
1
)cos()sen(),(n
n ctL
nxL
nRtxu (16. 109)
Mas
412
)sen()sen(21)cos()sen( bababa (16. 110)
Logo
1)(sen)(sen
21),(
nn ctx
Lnctx
LnRtxu
(16. 111)
Ou seja:
)()(21),( ctxfctxftxu (16. 112)
413
ii) Caso 2D e 3D
Para o caso bi e tridimensional temos:
ttuuc 22 (16. 113)
Figura - 16. 6
Solução de D’Alambert
Consideremos o problema unidimensional:
ttxx uuc 2 (16. 114)
Vamos fazer a seguinte transformação de coordenadas
ctxctx ; (16. 115)
Logo
xxx
[][][] (16. 116)
e
ttt
[][][] (16. 117)
Mas
1
xx (16. 118)
e
414
ct
ct
; (16. 119)
logo
[][][]
x (16. 120)
e
[][][] cc
t (16. 121)
Portanto,
[][][][][][] 22 c
xxc (16. 122)
E
[][][][][][] cccc
tt (16. 123)
Logo
2
2
2
22 ][][
tu
xuc
(16. 124)
Ou
uccccuc
[][][][][][][][]2 (16. 125)
Após algumas manipulações algébricas temos:
0
0[][]4
u
u (16. 126)
Logo
415
)(0 Au (16. 127)
E
)()(
)()()(
GFu
GFAu
(16. 128)
Portanto,
)()( ctxGctxFu (16. 129)
Este é um resultado absolutamente geral para a Equação de Onda em coordenadas cartesianas
Considerando o caso onde a condição inicial é dada por:
)()0,( xfxu (16. 130)
e a derivada no tempo:
)()0,( xgxut (16. 131)
temos:
ctx
ctx
dgc
ctxgctxfu )(21
2)()( (16. 132)
416
16. 6 - Exemplos e Aplicações
1) Dada a seguinte equação diferencial,
dttrditrtrVtr
m),(),(),(),(
22
2
, (16. 133)
válida para a Mecânica Quântica. Classifique-a quanto as variáveis, à ordem, ao grau, quanto
ao coeficiente das suas derivadas e quanto ao tipo.
Solução:
i) Quanto as variáveis: Equação Diferencial Parcial;
ii) Quanto a ordem: de Segunda Ordem
iii) Quanto ao grau: Primeiro grau
iv) Quanto aos coeficientes das derivadas: Linear
Quanto ao tipo: Elíptica
Exemplo
Encontre uma solução para o P.V.I.
1)0(yyy (16. 134)
Usando o Método de Picard.
418
Capítulo – XVII
SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de Equações Diferenciais e os
diferentes tipos de equações diferenciais e sua classificação, quanto ao número de variáveis
independentes, ordem, grau, coeficientes das derivadas, etc.
17. 1 - Objetivos do Capítulo
i) Saber reconhecer uma equação diferencial.
ii) Saber classificar uma equação diferencial, quanto ao número de variáveis
independentes, quanto a ordem, quanto ao grau, etc.
O objetivo deste capítulo é mostrar alguns métodos de resolução de alguns tipos
de equações diferenciais que aparecem mais frequentemente.
17. 2 - Introdução
Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a
uma equação diferencial. Por esta razão saber reconhecer uma equação diferencial dentro de
um problema específico é muito importante, para a busca de sua solução. Da mesma forma,
saber classificar uma equação diferencial é o primeiro passo na busca de sua solução, pois
apesar de não existir um método único para se resolver todas as equações diferenciais, a
classificação delas ajuda a escolher o método mais adequando de solução.
422
Capítulo – XVIII
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de Equações Diferenciais e os
diferentes tipos de equações diferenciais e sua classificação, quanto ao número de variáveis
independentes, ordem, grau, coeficientes das derivadas, etc.
18. 1 - Objetivos do Capítulo
i) Saber reconhecer uma equação diferencial.
ii) Saber classificar uma equação diferencial, quanto ao número de variáveis
independentes, quanto a ordem, quanto ao grau, etc.
O objetivo deste capítulo é mostrar alguns métodos de resolução de alguns tipos
de equações diferenciais que aparecem mais frequentemente.
18. 2 - Introdução
Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a
uma equação diferencial. Por esta razão saber reconhecer uma equação diferencial dentro de
um problema específico é muito importante, para a busca de sua solução. Da mesma forma,
saber classificar uma equação diferencial é o primeiro passo na busca de sua solução, pois
apesar de não existir um método único para se resolver todas as equações diferenciais, a
classificação delas ajuda a escolher o método mais adequando de solução.
426
Capítulo – XIX
SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de Equações Diferenciais e os
diferentes tipos de equações diferenciais e sua classificação, quanto ao número de variáveis
independentes, ordem, grau, coeficientes das derivadas, etc.
19. 1 - Objetivos do Capítulo
i) Saber reconhecer uma equação diferencial.
ii) Saber classificar uma equação diferencial, quanto ao número de variáveis
independentes, quanto a ordem, quanto ao grau, etc.
O objetivo deste capítulo é mostrar alguns métodos de resolução de alguns tipos
de equações diferenciais que aparecem mais frequentemente.
19. 2 - Introdução
Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a
uma equação diferencial. Por esta razão saber reconhecer uma equação diferencial dentro de
um problema específico é muito importante, para a busca de sua solução. Da mesma forma,
saber classificar uma equação diferencial é o primeiro passo na busca de sua solução, pois
apesar de não existir um método único para se resolver todas as equações diferenciais, a
classificação delas ajuda a escolher o método mais adequando de solução.
430
Capítulo – XX
TEORIA GERAL DAS DISTRIBUIÇÕES
RESUMO
Neste capítulo será visto a introdução do conceito de Equações Diferenciais e os
diferentes tipos de equações diferenciais e sua classificação, quanto ao número de variáveis
independentes, ordem, grau, coeficientes das derivadas, etc.
20. 1 - Objetivos do Capítulo
i) Saber reconhecer uma equação diferencial.
ii) Saber classificar uma equação diferencial, quanto ao número de variáveis
independentes, quanto a ordem, quanto ao grau, etc.
O objetivo deste capítulo é mostrar alguns métodos de resolução de alguns tipos
de equações diferenciais que aparecem mais frequentemente.
20. 2 - Introdução
Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a
uma equação diferencial. Por esta razão saber reconhecer uma equação diferencial dentro de
um problema específico é muito importante, para a busca de sua solução. Da mesma forma,
saber classificar uma equação diferencial é o primeiro passo na busca de sua solução, pois
apesar de não existir um método único para se resolver todas as equações diferenciais, a
classificação delas ajuda a escolher o método mais adequando de solução.
434
Referências Bibliográficas ALVES, Lucas Máximo, “Notas de Estudos Pessoais” 2007.
REDONDO, Djalma Mirabelli, “Apostila de Introdução a Física Matemática”. Notas de Aulas do Curso de Bacharelado em Física do Instituto de Física de São Carlos, vol. 01, p. 01-74, 1985.
GOBBI, Maurício, Notas de Aulas de Tópicos Avançados em Matemática para a Engenharia do Curso de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia, 2007.
DIAS, Nelson Luis, Notas de Aulas de Tópicos Avançados em Matemática para a Engenharia do Curso de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia, 2008.
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