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Escuela Profesional de Ingeniería Civil - UNPRG Resistencia de Materiales I
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RESISTENCIA DE MATERIALES I
MOMENTO DE INERCIA
RESPONSABLES:
Lopez Delgado Carlos (110412-B)
Matías Cabrera Israel Smith (095563-I)
Mayanga Pinedo Angie (102002-C)
Pisfil Campos Manuel (102135-C)
Quispe Morales Joider (102161-D)
Ramirez Julcahuanca Ronald (102167-B)
Requejo Chilcon Gonzalo (102173-B)
SantaMaria Carlos Mariano (115135-G)
DOCENTE: Ing. Jannyna Beatriz Bernilla Gonzales
FECHA DE PRESENTACIÓN: 19 de Abril del 2013
CICLO: 2012-II
Escuela Profesional de Ingeniería Civil - UNPRG Resistencia de Materiales I
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INDICE
Introducción-------------------------------------------------------------------------------------3
Momento de Inercia----------------------------------------------------------------------------4
Producto de Inercia----------- -----------------------------------------------------------------7
Momentos de Inercia de masa-------------------------------------------------------------8
Conclusiones----------------------------------------------------------------------------------16
Anexos--------------------------------------------------------------------------------------------17
Bibliografía--------------------------------------------------------------------------------------20
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INTRODUCCIÓN
El momento de inercia es muy importante en el área de la Ingeniería
Civil, especialmente el diseño de elementos estructurales (como vigas y
columnas), debido a que, la inercia es con lo que diseñas, y depende de
la geometría del material.
Entre sus aplicaciones en este ámbito de la Ingeniería, se pueden citar:
- En el prediseño de secciones para análisis y obtención una primera
aproximación de las secciones que se utilizarán en un modelo
estructural. Los principales parámetros que definen una sección
estructural son el área y sus momentos de inercia en los ejes principales;
lo cuales se encuentran regidos por una carga axial y los momentos
flexionantes en los ejes principales.
- La Obtención de los momentos en cada columna, permiten proponer
las dimensiones de éstas, que satisfagan los requerimientos de área y
de estas dimensiones dependen ahora de los materiales a emplear.
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Momento de Inercia
Siempre que una carga distribuida actúa en forma perpendicular a un área y
que su intensidad varia linealmente, el cálculo del momento de la distribución
de carga con respecto a un eje implicara una cantidad llamada el momento
de inercia del área.
Por ejemplo, considere la placa de la figura, la cual está sometida a una
presión del fluido.
Esta presión varía en forma lineal con la profundidad, de tal manera
que, donde:
: Peso específico del fluido.
Así la fuerza que actúa sobre el área diferencial de la placa es
( )
Por lo tanto el momento de esta fuerza con respecto al eje es:
Y al integrar sobre toda el área de la placa resulta:
La integral se denomina el momento de inercia del área con
respecto al eje .
Las integrales de esta forma aparecen con frecuencia en las fórmulas que se
utilizan en mecánica de fluidos, mecánica de materiales, mecánica estructural
y diseño mecánico, por lo que los ingenieros necesitan conocer los métodos
empleados para su cálculo.
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Al momento de inercia de un área se le llama en ocasiones el segundo momento del
área, denominación que es probablemente más apropiada. Sin embargo, por
uniformidad, usaremos en este capítulo un término más común, momento de inercia,
llamado así por su semejanza con las integrales de los momentos de las fuerzas de
inercia de los cuerpos en rotación que se estudian en la dinámica. El momento de
inercia de un área es una medida de cuánta área está situada y qué tan lejos de un eje.
Por definición, los momentos de inercia del área diferencial plana con
respecto a los ejes y son y , respectivamente. Los
momentos de inercia son determinados por integración para toda el área; es
decir:
Figura 1
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También podemos formular el segundo momento de con respecto al
“polo” o eje , figura 10-2. A éste se le llama momento de inercia polar,
Aquí, r es la distancia perpendicular desde el polo (eje ) hasta el
elemento Para toda el área, el momento de inercia polar es
La relación entre e es posible puesto que , figura 10-2.
A partir de las formulaciones anteriores se ve que y siempre serán
positivos ya que implican el producto de una distancia al cuadrado y un área.
Además, las unidades para el momento de inercia implican la longitud elevada
a la cuarta potencia, esto es,
Figura 2
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PRODUCTO DE INERCIA PARA UN AREA
Definición:
El producto de inercia para un elemento
de área localizado en el punto (x, y),
como se indica en la figura a la
izquierda, se define como .
Así, para toda el área A, el producto de
inercia es:
∫
Si se escoge el elemento de área con un tamaño diferencial en dos
sentidos, como se indica en la figura de arriba, debe efectuarse una
integral doble para calcular . Sin embargo, muy a menudo es más
fácil escoger un elemento que tenga un tamaño o espesor diferencial en
un sentido solamente, en cuyo caso el cálculo requiere de sólo una
integral simple.
Como el momento de inercia, el producto de inercia tiene unidades de
longitud elevadas a la cuarta potencia, por ejemplo, •
Sin embargo, como x o y pueden ser cantidades negativas, mientras que
el elemento de área siempre es positivo, el producto de inercia puede
ser positivo, negativo o cero, dependiendo de la localización y
orientación de los ejes coordenados. Por ejemplo, el producto de inercia
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para un área será cero si cualquiera de los ejes x o y es un eje de
simetría para el área.
MOMENTOS DE INERCIA DE MASA
El momento de inercia de masa de un cuerpo es una propiedad que mide la
resistencia del cuerpo a la aceleración angular. Como este momento se usa en
dinámica para estudiar el movimiento rotatorio, los métodos para efectuar su
cálculo serán analizados a continuación.
En términos generales, el momento de inercia de masa de un cuerpo / respecto a un
eje determinado puede definirse como (figura 1)
Para un cuerpo rígido dado, el momento de inercia de masa es una medida de la
distribución de su masa con relación a un eje determinado.
Definimos el momento de inercia de masa como la integral del "segundo
momento” con respecto a un eje de todos los elementos de masa dm que
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componen el cuerpo. Por ejemplo, considere el cuerpo rígido mostrado en la
figura su momento de inercia con respecto al eje z es:
Aquí, el "brazo de momento" r es la distancia perpendicular desde el eje hasta
el elemento arbitrario dm. Como la formulación implica a r, el valor de I es único
para cada eje z con respecto al cual es calculado. Sin embargo, generalmente,
el eje que es seleccionado para el análisis pasa por el centro de masa G del
cuerpo. El momento de inercia calculado con respecto a este eje será definido
como . Observe que, como r está elevado al cuadrado en la ecuación, el
momento de inercia de masa es siempre una cantidad positiva. Las unidades
comunes usadas para su medida son kg. m2 o slug. pie2.
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Casos:
a) Cuerpo con material de densidad variable
Si el cuerpo consiste .de material con densidad variable, ( ), la
masa elemental dm del cuerpo puede ser expresada en términos de su
densidad y volumen como . Sustituyendo dm en la primera
ecuación, el momento de inercia del cuerpo es calculado entonces usando
elementos de volumen para la integración, es decir:
b) Cuerpo con material de densidad constante
En el caso especial donde es una constante, este término puede ser
factorizado fuera de la integral, y la integración es entonces meramente
una función de la geometría:
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PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
a) Elemento cascarón
Si un elemento cascarón con altura z, radio
y y espesor dy se elige para la integración,
como en la figura mostrada, entonces el
volumen ( )( ) .
Este elemento se puede usar en las ecuaciones de los casos a y b para
determinar el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje z ya
que todo el elemento, debido a su "delgadez", se encuentra a la misma
distancia perpendicular del eje z.
b) Elemento de disco
Si un elemento de disco, con radio y y
espesor dz, se elige para la integración, figura
de la izquierda, entonces el volumen
( ) .
En este caso el elemento es finito en la
dirección radial, en consecuencia no todas sus partes se encuentran a la
misma distancia radial r del eje z. Por esto, las ecuaciones anteriores, no
se pueden usar para determinar . En vez de efectuar la integración
usando este elemento, primero es necesario determinar el momento de
inercia del elemento con respecto al eje z y luego integrar este resultado.
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EJERCICIO DE APLICACION
1. Determine el momento de inercia con respecto al eje X del área
circular mostrada en la siguiente figura:
Usando el elemento diferencial mostrado:
Entonces el momento de inercia es:
∫
∫ ( )
∫ ( √ )
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2. Calcular el momento de inercia del área compuesta en la siguiente
figura respecto del eje X representado en dicha figura. Todas las
medidas están expresadas en mm.
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Solución:
El área mostrada está formada por un semicírculo (S) de 50 mm de
radio, un rectángulo (R) de 140 x 240 mm y un triángulo (T) de 75 x 240
mm. Como sabemos:
A cada uno de los momentos de inercia parciales se les va a aplicar el
Teorema de Steiner:
( )
( )
( )
∑ ∑
Llegamos a la conclusión que el momento de inercia total es la suma de los
momentos de inercia de cada parte respecto a su eje centroidal, más la
suma de los términos de traslación de ejes, indicando que:
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Componentes
( )
Area
( )
d
( )
( )
Rectángulo 115.20 24.00 70.00 117.6
Semicirculo 0.69 3.93 71.22 19.9
Triángulo 28.80 9.00 110.00 108.9
Totales 144.69 246.4
Con las sumas obtenidas procedemos a hallar el momento de inercia del área
mostrada:
∑ ∑
( )
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3. IX y KX para la siguiente figura:
1º) Calcular IX con respecto a X de las tablas:
IX1 = 1/12 bh3
IX1 = 1/12 (1)(4)3
IX1 = 5.333 ft4
A = bh = (1)(4) = 4 ft2
2º) Utilizar teorema de los ejes paralelos:
IxI = IX1 + dy2A
IxI = 5.333 ft4 + (2 ft)2 (4 ft2)
IxI = 21.333 ft4
3º) Calcular IX1II:
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IX1II = 1/12 bh3
IX1II = 1/12 (2)(1)3
IX1II = 0.16 ft4
A = bh = (2)(1) = 2 ft2
4º) Aplicar el teorema de los ejes paralelos:
IxII = IX1II + dy2 A
IxII = 0.16 ft4 + (0.5 ft)2 (2 ft2)
IxII = 0.66 ft4
5º) Se suman ambos momentos de Inercia:
Ix = IxI + IxII = 21.333 ft4 + 0.66 ft4 = 22 ft4
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4. Determine el momento de Inercia del área sombreada con respecto al eje X:
FIGURA I:
Ix1 = 1/12 bh3
Ix1 = 1/12 (240)(60)3
Ix1 = 36.56 x 105 mm4
A = bh = (240)(60)
A = 28800 mm2
IxI = Ix1 + dy2
IxI = 138.24 x 105 mm4
FIGURA II:
Ix1II =
Ix1II = 1/8 Π(90)4
Ix1II = 25.76 x 105 mm4
A = 12723.45 mm2
IxII = Ix1 + dy2
IxII = 110.89 x 105 mm4
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dy mm A (mm2) Ix1 (mm4) Ix = Ix1 + dy2 + A
Figura I 60 28800 34.56 x 106 138.24 x 106 mm4
Figura II 81.80 -12723.45 25.76 x 106 -110.89 x 106 mm4
A = 16076.55 mm2
Ix = 27.35 x 105 mm4
√
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CONCLUSIONES
Momento de Inercia o MOMENTO DE 2DO ORDEN depende de
la sección transversal
Le otorga mayor rigidez a la estructura
Es la capacidad de oponerse a la deformación.
Para diseñar es necesario conocer la inercia de los materiales
El momento de inercia no puede ser negativo.
El momento de inercia pasa por los ejes centroidales.
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ANEXOS
Tabla de momento de Inercia de fig. Principales
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