trabajo 2 probabilidad
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PROBABILIDAD
TRABAJO COLABORATIVO # 2
APRENDIZ
FAVIO INGA
COD 7 604 2782
NUMAR AUGUSTO MUÑOZ
COD 76 335 834
JAVIER AUGUSTO GONZALEZ
COD
JAIME ALBERTO PEREZ TOBAR
COD.76322350
GRUPO 100402_254
TUTOR
CARMEN EMILIA RUBIO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
CALIMA DARIÉN
19/11/201
1
INTRODUCCIÓN
A partir de leer los capítulos 4-5 Y 6 se desarrollaran los ejercicios propuestos para este
trabajo colaborativo 2 de la unidad 2 del módulo de probabilidad, nosotros como estudiantes,
adquirimos destrezas en el desarrollo adecuado de problemas que se nos pueden presentar a lo
largo de nuestra vida así como en las carreras profesionales que nos ofrece la UNAD. En forma
muy general este documento nos presenta el desarrollo de 33 ejercicios propuestos sobre
variables aleatorias y distribuciones de probabilidad utilizando las formulas correspondientes
para solucionar cada uno de ellos.
Donde cada integrante debe aportar en el foro 3 ejercicios.
2
OBJETIVOS
Desarrollar un taller de ejercicios sobre los contenidos de los capítulos 4, y 5 de la
Unidad 2 del curso PROBABILIDAD, los cuales nos permitirán profundizar en los temas
tratados.
Identificar las distintas variables que nos ofrece cada ejercicio con el fin de poder aplicar
la fórmula adecuada.
Realizar cada ejercicio indicando los pasos efectuados para el desarrollo de cada uno de
ellos.
Resolver las preguntas planteadas en cada ejercicio.
3
4
La Desviación estándar es otra alternativa para medir la variabilidad y se denotada por σ x y que corresponde a la raíz cuadrada positiva de
la varianza.
El valor esperado de una variable aleatoria discreta X es una medida de posición para la distribución de X; Y se simboliza con μ y se calcula al sumar el producto de cada valor de X con su probabilidad correspondiente. En otras palabras, la media o valor esperado de una variable
aleatoria discreta X es:
La varianza, se calcula ponderando el cuadrado de cada desviación con respecto a la media, con la probabilidad asociada con la desviación.
En otras palabras, la varianza de una variable aleatoria discreta X con media μx y función de probabilidad f(x), es:
VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA
VARIABLE
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual a algún x
específico.
Una variable aleatoria X es continua si el número de valores que puede tomar están contenidos en un intervalo (finito o infinito) de números reales
Función de la distribución acumulada: Es la función de la variable en la que al sustituir x por un valor, el valor de la función es la probabilidad de que la variable
tome valores menores o iguales que dicho valor x. Se denota F ( x ) . F ( x )=P ( x≤ x )=∑
t ≤ x
f (t )El uso de probabilidades acumuladas es una alternativa
para describir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.
La función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria continua, se define como tal si para cualquier intervalo de números reales.
Función de probabilidad Cuando la distribución de probabilidad se describe a partir de una ecuación, se le denomina función de probabilidad. Esta función f (x) = P(X = x) va del conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria discreta X.
ALEATORIA CONTINÚA
Una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede tomar es finito (o infinito contable).
La distribución de probabilidad es la descripción del conjunto de posibles valores de X, junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores.
ALEATORIA DISCRETA
VARIABLES ALEATORIAS
Ejercicios capítulo 4.
2.- Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad
f (x) = a (3x - x2 ) 0 ≤ x ≤ 2
0 en otro caso
a.- Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función de densidad de
probabilidad
Para que sea distribución de probabilidad debe cumplir La variable x corresponde a 0, 1, 2 y 3
a= [(3(0)+(0)2+3(1)+(1)2+3(2)+(2)2+3(3)+(3)3)]=1
a=0+4+10+18
a=32=1
a=1/32
a=0.031
El valor corresponde a=0.031
b.- Calcule P (1 < X < 2)
= 1/32[(3(2)2+2(2)3/6) + (3(1)2+2(1)3/6)]
= 1/32[(28/6+5/6)]
= 1/32(33/6)
= 33/192
= 0.17
3.- Una empresa ha medido el número de errores que cometen las secretarias recién contratadas a
lo largo de los últimos tres años (X), encontrando que éstas cometen hasta cinco errores en una
5
página de 20 líneas y que esta variable aleatoria representa la siguiente función de probabilidad.
Si se escoge una secretaria al azar, cual es la probabilidad de que cometa máximo 2 errores? Cuál
es la probabilidad de que cometa exactamente 2 errores?
X 0 1 2 3 4 5
F(X) 0.50 0.28 0.07 0.06 0.05 0.04
Por lo tanto F(X) es una función de probabilidad
0, X<0
0.50, 0 ≤X<1
0.78, 1 ≤X<2
F(X) 0.85, 2 ≤X<3
0.91, 3 ≤X<4
0.96, 4 ≤X<5
1 X ≥ 5
Σ F(X)=0.50+0.28+0.07+0.06+0.05+0.04=1
µX=E(X)=(0*0.50)+(1*0.28)+(2*0.28)+(2(0.07)+(3*0.06)+(4*0.05)+(5*0.04)
µX=E(X)=0+0.28+0.14+0.18+0.2+0.2
µX=E(X)=1
4.- Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una cara, el
juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos, lo que suceda
primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe $20000,
6
$40000 o $80000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $200000. Si X
representa la ganancia del jugador:
a.- Encuentre la función de probabilidad f(x)
b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x)
Solución
a
½ X=20000
F(X) ¼ X=40000
1/8 X=80000
1/8 X=-200000
b. E(X)= Σ F(X)*x
E(X)=20000*(1/2)+40000*(1/4)+40000*(1/4)+80000*(1/8)-200000*(1/8)
E(X)=10000+10000+10000-25000
E(X)=5000
LA VARIANZA (V(X)]
a2(x)=V(X)=E[(X-M)2]= Σ [(X-M)2*F(X)]
a2(x)=(20000-5000)2*(1/2)+(40000-5000)2+(1/4)+(80000-5000)2*(1/8)+
(-200000-5000)2*(1/8)
a2(x)=112500000+306250000+703125000+5253125000
a2(x)=6375000000
7
5.- Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la que abre un
candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable aleatoria X
que representa el número de intentos necesarios para abrir el candado.
a.- Determine la función de probabilidad de X.
b.- ¿Cuál es el valor de P (X ≤ 1)
Solución
La probabilidad de abrir a la primera es 1/5
La probabilidad de abrir a la segunda es 4/5*1/4=0,2
La probabilidad de abrir a la tercera es 3/5*1/3= 0,2
La probabilidad de abrir a la cuarta es 2/5*1/2=0,2
La probabilidad de abrir a la quinta es 1/5*1/1= 0,2
P(X=x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
P(X=x)= 1/5 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2
P(X=x) = 1
6.- Suponga que un comerciante de joyería antigua está interesado en comprar una gargantilla de
oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de $ 250, $ 100, al costo,
o bien con una pérdida de $150 son: respectivamente: 0.22, 0.36, 0.28, 0.14 ¿Cuál es la ganancia
esperada del comerciante?
8
X $250 $100 $0 $150
F(X) 0.22 0.36 0.28 0.14
Σ F(X)=0.22+0.36+0.28+0.14=1
µX=E(X)=($250*0.22)+($100*0.36)+($0*0.28)+($150*0.14)
µX=E(X)=$55+$35+0+$21
µX=E(X)=70
8.-- Una empresa industrial compra varias máquinas de escribir nuevas al final de cada año,
dependiendo el número exacto de la frecuencia de reparaciones en el año anterior. Suponga que
el número de máquinas X, que se compra cada año tiene la siguiente distribución de
probabilidad.
X 0 1 2 3
F(X) 1/10 3/10 2/5 1/5
Σ F(X)=1/10+3/10+2/5+1/5=1
µX=E(X)=(0*1/10)+(1*3/10)+(2*2/5)+(3*1/5)
µX=E(X)=0+0.3+08+0.6
µX=E(X)=1.7
Ejercicios capítulo 5.
9
1.- Se sabe que el 75% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta
enfermedad. Si se inoculan 6 ratones, encuentre la probabilidad de que:
a.- ninguno contraiga la enfermedad
b.- menos de 2 contraigan la enfermedad
c.- más de 3 contraigan la enfermedad
n=6
P=75%=0.75
Q=1-P=1-0.75=0.25
b. X=2
Aplicamos la formula
B(x;n;p)= nCx Px Q(n-x)
(2;6;0.25)= 6C2 (0.75)2 (0.75)(6-2)
(2;6;0.25)= 6C2 (0.75)2 (0.75)(4)=
c.
Aplicamos la formula
B(x;n;p)= nCx Px Q(n-x)
(2;6;0.25)= 6C2 (0.75)2 (0.75)(6-2)
(2;6;0.25)= 6C2 (0.75)2 (0.75)(4)=
B(x;n;p)= nCx Px Q(n-x)
(3;6;0.25)= 6C3 (0.75)3 (0.75)(6-3)
(3;6;0.25)= 6C3 (0.75)3 (0.75)(3)=
2.- Un estudio examinó las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos. El estudio reveló
que 70% cree que “los antidepresivos en realidad no curan nada, sólo disfrazan el problema
real”. De acuerdo con este estudio, de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar:
10
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 tengan esta opinión?
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que máximo 3 tengan esta opinión?
c.- De cuantas personas se esperaría que tuvieran esta opinión.
n=5
P=70%=0.70
Q=1-P=1-0.70=0.30
X=3
Aplicamos la formula
B(x;n;p)= nCx Px Q(n-x)
(3;5;0.30)= 5C3 (0.70)3 (0.75)(5-3)
(3;5;0.30)= 5C3 (0.70)3 (0.75)(2)=0.1157625
3.- a.- ¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehusé a servir bebidas alcohólicas a dos
menores si ella verifica al azar las identificaciones de 5 estudiantes de entre 9 estudiantes, de los
cuales 4 no tienen la edad legal para beber?.
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que al revisar las identificaciones de los 5 estudiantes del grupo
de 9, no encuentre ninguna que sea de alguno que no tenga la edad legal para beber?
Solución
a. n= 5
Y= 2
R= 4
N = 9 ((4C2) * (9-4 (5-2)) / ((9C5)) = 0.4761
P= 46,935 % es la probabilidad de que se rehusé a servir a dos menores al azar.
b. n=5
11
y=4
r=5
N=9((5(4)*(9-5(5-4))/((9C5))=0.1587
p=15,87 % es la probabilidad de que a ninguno de los 5 le den a beber.
4.- Suponga que la probabilidad de que una persona dada crea un rumor acerca de las
transgresiones de cierta actriz famosa es de 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a.- la sexta persona en escuchar este rumor sea la cuarta en creerlo?
b.- La tercera persona en escuchar este rumor sea la segunda en creerlo?
Solución
P(x;n,p)=(n/X)p^{x}7^{n-x}
P(x;n,p)=(n/x)p^{x}7^{n-x}
P(4;6,8)=(3/1)(.8)^3(.2)^2=0.06144
8.- Un científico inocula a varios ratones, uno a la vez, con el germen de una enfermedad hasta
que encuentra a 2 que contraen la enfermedad. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es
del 1,7%.
a.- Cual es la probabilidad de que se requieran 8 ratones?
n=2
P=1.7%=0.017
Q=1-P=1-0.0.017=0.983
X=8
Aplicamos la formula
12
B(x;n;p)= nCx Px Q(n-x)
(8;2;0.017)= 2C8 (0.017)8 (0.983)(8-2)
(8;2;0.017)= 2C8 (0.017)8 (0.983)(6)=
b.- Cual es la probabilidad de que se requieran entre 4 y 6 ratones?
2X<X<6
X=3,4,5
X=3
B(x;n;p)= nCx Px Q(n-x)
(3;2;0.017)= 2C3 (0.017)3 (0.983)(3-2)
(3;2;0.017)= 2C3 (0.017)3 (0.983)(1)=0.007244
X=4
B(x;n;p)= nCx Px Q(n-x)
(4;2;0.017)= 2C4 (0.017)4 (0.983)(4-2)
(4;2;0.017)= 2C4 (0.017)4 (0.983)(2)=0.0016136
X=4
B(x;n;p)= nCx Px Q(n-x)
(5;2;0.017)= 2C5 (0.017)5 (0.983)(5-2)
(5;2;0.017)= 2C5 (0.017)5 (0.983)(3)=3.83174
P=(X=4)+ P=(X=5) + P=(X=6)
3 (0.983)2*(0.017)2+ 4 (0.983)3*(0.017)2+ 5 (0.983)4*(0.017)2
1 1 1
3 0.966*0.000289+ 4 0.949*0.000289+ 5 0.0932*0.000289
1 1 1
0.00083+0.00109+0.000134
13
0.0022
9.- Suponga que cierto estudiante tiene una probabilidad de 0,75 de aprobar el examen de inglés
en cualquier intento que haga.
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que lo logre aprobar en el tercer intento?
P(0.25)2*(0.75)=0.0468
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que lo apruebe antes del tercer intento?
P(0.25)*(0.75)2=0.1406
12.- Según los registros universitarios fracasa el 5% de los alumnos de cierto curso. ¿cuál es la
probabilidad de que de 6 estudiantes seleccionados al azar, menos de 3 hayan fracasado?
La variable X corresponde a 0,1,2 donde n=6 estudiantes seleccionados y p=5%=0.05 para eso
utilizamos una distribución binomial
∫(x,p,n)= n *px*(1-p)n-x
X
Para X=0,1,……..n
F(0;0.05;6) 6 *0.050*(1-0.05)6=1*1*0.735=0.735
0
F(1;0.05;6) 6 *0.051*(1-0.05)5=6*0.05*0.4=0.2322
1
F(2;0.05;6) 6 *0.052*(1-0.05)4=15*0.0025*0.8145=0.0305
2
14
P(X≤X)= F(x;p;n)
P(X<3)= 0.735+0.2322+0.0305=0.3362 probabilidad que tres alumnos hayan fracasado
Ejercicios capítulo 6.
5.- El Departamento de Talento Humano de una universidad ha hecho un estudio sobre la
distribución de las edades del profesorado y ha observado que se distribuyen normalmente con
una media de 27 años y una desviación típica de 2,5 años. De un total de 400 profesores hallar:
a) ¿Cuántos profesores hay con edad menor o igual a 30 años?
µ=27
s =2.5
P(X<27)X2= X-M = 30- 27 = 3 = 1.2
2.5
X=1.2
P(30 ≤x≤27) ≥1-1/1.22
P(30 ≤x≤27) ≥1-1/1.44
P(30 ≤x≤27) ≥1-0.694
P(30 ≤x≤27) ≥0.306
Los profesores hay con edad menor o igual a 30 años
400*0.3060=122.4
b) ¿Cuántos de 40 años o más?
K= 40-27/2.5
K=13/2.5=5.2
15
P(40 ≤x≤27) ≥1-1/5.22
P(40 ≤x≤27) ≥1-1/27.04
P(40 ≤x≤27) ≥1-0.0369
P(40 ≤x≤27) ≥0.9631
Los profesores hay con edad menor o igual a 40 años
400*0.9631=385.24
6.- En una panadería se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribución normal de
media 100 g y desviación típica 9. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso
oscile entre 80 g y la media?
µ=100
=9
P-(K X- µ≤ K ≥1-1/k2 P(-K µ ≤x≤K µ)≥1-1/k2
Tomando el factor de la izquierda, se tiene
P(-K µ ≤x≤K µ)≥1-1/k2 P(100 ≤x≤80)
Esto quiere decir que:
-K µ=100
K µ=80
Al despejar K de cualquiera de ellas se tiene:
K= µ-80/
K= 100-80/9
16
K=20/9=2.2
P(100 ≤x≤80) ≥1-1/2.22
P(100 ≤x≤80) ≥1-1/4.84
P(100 ≤x≤80) ≥1-0.2066
P(100 ≤x≤80) ≥0.7934
De modo que se puede afirmar que se obtendrán panecillos con una probabilidad del
79.34%.
7.- Se ha determinado que para varones normales en una cierta población normalmente
distribuida, la temperatura media es de 37ºC y desviación estándar de 0,5ºC. Si se consideran
1000 de estas personas ¿Cuántas se puede esperar que tengan una temperatura comprendida entre
37ºC y 37,6ºC?
K= µ-37.6/
K= 37.6-37/0.5
K=0.6/0.5=1.2
P(37.6 ≤x≤37) ≥1-1/1.22
P(37.6 ≤x≤37) ≥1-1/1.44
P(37.6 ≤x≤37) ≥1-0.6944
P(37.6 ≤x≤37 ) ≥0.3056=30.56%
Se puede esperar que la temperatura comprendida entre 37ºC y 37,6ºC=30.56%
17
8.- Un calentador de agua requiere por término medio 30 minutos para calentar 40 galones de
agua hasta una temperatura determinada. Si los tiempos de calentamiento se distribuyen
normalmente con una desviación estándar de 0,5 minutos ¿Qué porcentaje de los tiempos de
calentamiento son superiores a 31 minutos?
Solución
µ=30 y σ=0,5N=40
T1-x−u
0-31−30
0.5-
10.5
-2
P(z¿2¿=1−p (z>2 )=1−0,97725=0.0228
Porcentaje de los tiempos de calentamiento superiores a 31 minutos es de:
40*0.0228=0.912*100=91.2%
9.- Suponiendo que las tallas de los adultos de un país A siguen una distribución normal con
media 180 cm. y desviación típica 5 cm. y que las tallas de los adultos en un país B siguen una
distribución también normal, pero con media 180 cm. y desviación típica 15 cm., contestar de
manera justificada en cuál de los dos países es más probable encontrar adultos con talla superior
a 195 cm. y dónde es más probable encontrar adultos con talla comprendida entre 175 y 185 cm.
K= µ-180/
K= 175-180/15
K=5/15=0.33
P(175 ≤x≤180) ≥1-1/0.332
18
P(175 ≤x≤180) ≥1-1/0.1089
P(175 ≤x≤180) ≥1-9.1
P(175 ≤x≤180 ) ≥8.1
CONCLUSIÓN
Gracias al desarrollo de este taller podemos darnos cuenta que las variables aleatorias y
las distribuciones de probabilidad son de gran utilidad ya quedando un buen uso de las fórmulas
que estas nos ofrecen podemos dar solución rápida a problemas que se nos pueden presentar en
cualquier parte de nuestro trabajo, ya sea en investigación o en la vida cotidiana.
Por tanto podemos inferir que las teorías y métodos de probabilidad son de fundamental
importancia para la vida personal y laboral de cada profesional, permitiéndole así poder dar
soluciones técnicas a situaciones que se puedan presentar.
19
REFERENCIA BIBLIOGRAFICAS
disfrutalasmatematicas.com. (10 de Septiembre de 2014). Matematicas. Obtenido de http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html
UNAD. (02 de Agosto de 2014). datateca. Obtenido de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100402/100402.zip
UNAD. (13 de Agosto de 2014). datateca. Obtenido de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100402/2014II_guia_trabajo_colaborativo2_PROBABILIDAD.pdf
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