transformações do gráfico de uma função
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Transformações do gráfico de uma função
Trabalho final da acção de formação “GEOMETRIA, CÁLCULO E ÁLGEBRA COM O
GEOGEBRA
Realizado por:
Maria Luísa de Sá Martins 09-11-2009
Actividade
Actividade
Matemática 10º ano
TRANSFORMAÇÕES DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Objectivo:
� Estudar transformações simples do gráfico de uma função através da utilização das novas tecnologias, nomeadamente com recurso ao software de geometria dinâmica “Geogebra”
Introdução
Cada vez mais os computadores e as novas tecnologias estão presentes
no dia-a-dia de todos. A utilização de software na sala de aula pode beneficiar
grandemente o processo ensino-aprendizagem, uma vez que para além do
fascínio que a informática produz nos mais jovens, de constituir uma forma de
incentivo e motivação, proporciona experiências de aprendizagem muito
importantes para os alunos.
È sabido que a dimensão gráfica é um importante componente do
trabalho matemático pelo que o uso da tecnologia adequada pode auxiliar os
estudantes na compreensão dos conceitos e enriquecer a aprendizagem
matemática, tornando-a mais profunda.
Esta tarefa surge na sequência do estudo das funções quadrática e
cúbica e pretende estudar as transformações sobre os seus gráficos.
Partindo de uma função base e fazendo alterações na variável
dependente e/ou na variável independente surgirão novas funções cuja
representação gráfica poderá ser descrita a partir da função original.
Trata-se de uma tarefa de investigação matemática e exploração que
permitirá a formalização do conhecimento e culminará na escrita formal e
organizada dos resultados obtidos.
O aluno registará as observações que fizer, descrevendo as
propriedades constatadas e retirando as conclusões relativamente aos
resultados obtidos. Desenvolverá assim o seu espírito crítico e a capacidade de
comunicação matemática.
Enquadramento curricular da Actividade
Esta actividade foi concebida para o 10º ano do ensino profissional,
módulo 2 – Funções polinomiais, no tema: transformações e simetrias do
gráfico de uma função, mas pode também ser trabalhada no 10º ano do
ensino secundário na unidade – Funções e Gráficos. Funções polinomiais.
Função módulo inserida no tema: Transformações e simetrias do gráfico de
uma função
Neste ano de escolaridade o programa oficial sugere a realização de
pequenas investigações onde os alunos poderão analisar os efeitos das
mudanças de parâmetros nos gráficos das famílias das funções quadráticas e
cúbicas (considerando apenas a variação de um parâmetro de cada vez);
estudar transformações simples de funções: considerado o gráfico da função
y=f(x), esboçar o gráfico das funções definidas por y=f(x)+a, y=f(x+a), y=af(x),
y=f(ax), com a número real positivo ou negativo, e descrever o resultado com
recurso à linguagem das transformações geométricas.
Aprendizagens visadas Esta actividade permite aos alunos desenvolver as seguintes competências matemáticas:
• a aptidão para fazer e investigar matemática recorrendo à
modelação com uso das tecnologias;
• a capacidade de comunicar oralmente e por escrito as situações
problemáticas e os seus resultados;
• analisar os efeitos das mudanças de parâmetros nos gráficos de
funções;
Desenvolvimento da Actividade
Esta Actividade será realizada numa aula de 90 minutos, destinando-se
60 minutos para a sua resolução e 30 minutos para a discussão geral. Os
alunos serão distribuídos em grupos de 4 elementos. Simultaneamente será
projectada a mesma actividade no quadro interactivo
Aos alunos será entregue uma ficha onde consta a definição das tarefas
e um guião para a sua resolução.
Partindo do gráfico de y = x2 far-se-á uma compressão, uma dilatação,
translação horizontal e vertical do gráfico da função. Far-se-á uma simetria em
relação a Ox. Numa outra tarefa, partindo de uma função cúbica, proceder-se-á
à transformação y = a f(x) e com outra função quadrática será estudada a
transformação y = f(-x). Nestas duas ultimas transformações considerei mais
eficaz e perceptível, para os alunos, se as funções a estudar fossem outras que
não a y = x2 . Os alunos registarão o que vão observando e as respectivas
conclusões. Esta actividade irá sendo orientada e explicada, sempre que julgar
necessário.
Finalmente e partindo da forma canónica da função quadrática,
���� � ��� � �� � os alunos concluirão as transformações ocorridas no
gráfico de y = x2 .
Reflexão Os alunos aderiram bem à actividade, e penso que com bons resultados
ao nível das aprendizagens. Penso que poderia ter sido mais interessante se
os alunos tivessem ao seu dispor um computador, o que não aconteceu. A
actividade foi projectado no quadro interactivo e os alunos foram vendo o que
acontecia quando os parâmetros eram alterados. Não houve uma verdadeira
exploração por parte dos alunos, embora aqueles que quiseram puderam
deslocar-se ao quadro e interagir com ele.
Penso que o essencial foi conseguido e as transformações mais simples
foram compreendidas.
Esta actividade foi recebida naturalmente, uma vez que normalmente os
alunos já trabalham com o quadro interactivo e com a projecção de gráficos,
daí que foi mais uma actividade, não tendo causado qualquer impacto mais
forte.
Em termos pessoais e profissionais penso que a formação foi
enriquecedora, uma vez que não conhecia o programa e com estes
conhecimentos poderei alterar algumas práticas pedagógicas no futuro. Digo
futuro porque actualmente devido a vários factores, entre eles obras de
requalificação, as condições na minha escola não são as melhores. Há apenas
uma sala com quadro interactivo e das minhas turmas só esta tem lá aulas.
Alguns trabalhos dos alunos
Nome __________________________________ Nº ______________ Tarefa 1
Seja f a função real de variável real (f.r.v.r ) definida pela expressão:
f(x) = x2
� Move o selector c (opção mover) Faz c = 2
Indica as transformações sofridas pela função y 3 em relação à função f(x) = x 2
Faz c = - 3 Indica as transformações sofridas pela função y 3 em relação à função f(x) = x 2 Então podemos dizer que
y = f(x) + c
Se c > 0 Então o gráfico desloca-
se para ------------------
Sofre uma translação
__________________
Se c < 0 Então o gráfico desloca-
se para ------------------
Sofre uma translação
__________________
Ficha de trabalho de Matemática
10º ano Transformações do gráfico de uma
função
Novembro 2009
Transformação y = f(x) + c , com c � IR\{0}
Tarefa 2
� Move o selector d (opção mover)
Faz d = 3
Indica as transformações sofridas pela função y 4 em relação à função f(x) = x 2
Faz d = - 3
Indica as transformações sofridas pela função y 4 em relação à função f(x) = x 2 Então podemos dizer que.
y = f(x + d)
Se d > 0
Se d < 0
Então o gráfico desloca-se para ------------------ Sofre uma translação __________________
Então o gráfico desloca-se para ------------------ Sofre uma translação __________________
Tarefa 3
� Move o selector b (opção mover)
Faz b = 0,5 Indica as transformações sofridas pelas abcissas de y2 em relação às abcissas da função f(x) = x 2 para as mesmas ordenadas .
_______________________________________________________________
Transformação y = f (x+d) , com d � IR\{0}
Transformação y = f (bx) , com b � IR\{0}
Faz b = 3 Indica as transformações sofridas pelas abcissas de y2 em relação às abcissas da função f(x) = x 2 para as mesmas ordenadas .
_____________________________________________ _____________________________________________ Então podemos dizer que
y = f(bx)
Se b > 1
Se 0 < b < 1
Então o gráfico
expande/contrai (risca o
que não interessa) na
_________________
Então o gráfico
expande/contrai (risca o
que não interessa) na
__________________
Tarefa 4
� Move o selector a (opção mover)
Faz a = �� Considera agora a função y1 = ����� Indica a transformação sofrida pela função y 1 em relação à função f(x). __________________________________________________________________
Então podemos dizer que
- f(x)
O gráfico da função sofre uma _______________ Relativamente ao eixo__________________
Transformação y = - f (x) , com a � IR\{0}
Tarefa 5
Activa, na zona algébrica, a função y6 e g(x) , e desactiva as restantes funções.
� Move o selector a1 (opção mover)
Faz a1 = 2 Indica as transformações sofridas pelas ordenadas d e y5 em relação às ordenadas da função f(x) = x 2 para as mesmas abcissas
__________________________________________________________
Faz a1 = 0,5
Indica as transformações sofridas pelas ordenadas d e y5 em relação às ordenadas da função f(x) = x 2 para as mesmas abcissas _______________________________________________________________
Então podemos dizer que.
y = a f(x)
Se a > 1
Se 0 < a < 1
Então o gráfico
expande/contrai (risca
o que não interessa) na
_________________
Então o gráfico
expande/contrai (risca o
que não interessa) na
__________________
Transformação y = a f (x) , com a � IR\{0}
Tarefa 6
Activa, na zona algébrica, a função y6 e h(x) , e desactiva as restantes funções.
� Move o selector k (opção mover) Faz k = �� Considera agora a função y6 = ����� Indica a transformação sofrida pela função y 6 em relação à função h(x). _______________________________________________________________ Então podemos dizer que
Y = f(-x)
O gráfico da função sofre uma _______________ Relativamente ao eixo__________________
Exercícios
1. Descreve como podes obter uma representação gráfica da função.
���� � �2 �� � 3�
A partir do gráfico da função ���� � �
2. A representação gráfica de h
ao lado, tem a mesma forma
da representação gráfica da
função i definida por i(x) = 2x2.
Escreve uma expressão algébrica
da função h.
Transformação y = f (-x)
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