transformada de fourier para um problema de vibrações mecânicas
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Vibrações Mecânicas – 2014/2 Discente: Orlindo Wagner SOARES PEREIRA
Prof.: Libardo Andrés González Torres Matrícula: 20131026009
ANÁLISE DE UMA EXCITAÇÃO HARMÔNICA
UTILIZANDO SÉRIE DE FOURIER
1. Objetivo
O presente trabalho tem por objetivo apresentar a resolução do exemplo 4.1 do livro
utilizando a série de Fourier, assim como apresentar os cálculos feitos manualmente e também
com o auxílio do software MatLAB.
2. Introdução
Quando a força externa F(t) é periódica com período T = 2π/ω, ela pode ser expandida
em uma série de Fourier. Embora o movimento harmônico seja o mais simples de tratar, o
movimento de muitos sistemas vibratórios não é harmônico. Contudo muitos casos as
vibrações são periódicas.
Qualquer função periódica de tempo pode ser representada por série de Fourier como
a soma infinita de termos em seno e cosseno.
3. Formalização do problema
A figura abaixo descreve o funcionamento de uma válvula hidráulica em regime contínuo de
funcionamento (regime permanente). A válvula pode ser considerada como uma massa ligada
à uma mola e a um amortecedor de um lado e sujeita à uma função forçante F(t) do outro lado.
A função forçante pode ser expressa como:
F(t) = A p(t) A = π.(0,05)2/4 m2
Onde A é a área da seção transversal e p(t) é a pressão exercida pela válvula no instante t.
Note que A é uma constante e F(t) é uma função periódica de período τ = 2s. Deste modo
ω = 2π/ τ = π rad/s.
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Figura 1: Vibração periódica de uma válvula hidráulica
A equação de movimento para o sistema é:
𝑚𝑥 ̈ + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 = 𝐹(𝑡)
𝐹(𝑡) = 𝑎02 + ∑𝑎𝑗 𝑐𝑜𝑠𝑗𝜔𝑡
∞
𝑗=1
+ ∑𝑏𝑗 𝑠𝑒𝑛𝑗𝜔𝑡
∞
𝑗=1
Pelo princípio da superposição, a solução em regime permanente, isto é a força é periódica
sem mudanças. A solução é a soma das seguintes equações:
{
𝑚𝑥 ̈ + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 =
𝑎0
2
𝑚𝑥 ̈ + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 = 𝑎𝑗 𝑐𝑜𝑠𝑗𝜔𝑡
𝑚𝑥 ̈ + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 = 𝑏𝑗 𝑠𝑒𝑛𝑗𝜔𝑡
O objetivo aqui é encontrar os coeficientes da série de Fourier, ao, aj, bj. Pois sabe-se que a
solução para as três equações anteriores são respectivamente:
{
𝑥𝑝 = 𝑎0
2𝑘
𝑥𝑝 = (𝑎𝑗
𝑘) cos (𝑗𝜔𝑡− 𝜙𝑗)
𝑅
𝑥𝑝 = (𝑏𝑗
𝑘) sen (𝑗𝜔𝑡− 𝜙𝑗)
𝑅
onde,
𝑅 = √(1 − 𝑗2𝑟2)2 + (2𝜉𝑗𝑟)2
𝑟 = 𝜔/𝜔𝑛
𝜙𝑗 = arctan (2𝜉𝑗𝑟
1 −𝑗2𝑟2 ) 𝑗 = 1,2, 3…
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Observação: Note que esta solução depende de j. Se jω = ωn isso implica que a amplitude da
harmônica será comparativamente grande. Isso será válido em particular para pequenos
valores de j e de ξ. A medida que j fica maior a amplitude torna-se maior e os termos
correspondentes tendem à zero. Alguns dos primeiros termos são suficientes para obter a
resposta com precisão razoável.
Para determinarmos os coeficientes aj, bj, multiplicamos a função F(t) que define o
comportamento do sistema, por cos(nωt) e sen(nωt) respectivamente e integramos sobre o
período τ = 2π/ω.1
𝑎𝑛 = 𝜔
𝜋 ∫ 𝑥(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
2𝜋𝜔
0
= 2
𝜏 ∫ 𝑥(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝜏
0
𝑛 = 0, 1, 2, 3…
𝑏𝑛 = 𝜔
𝜋 ∫ 𝑥(𝑡) sen(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
2𝜋/𝜔
0
= 2
𝜏 ∫ 𝑥(𝑡) sen(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝜏
0
𝑛 = 1, 2, 3…
A função definida por parte
𝐹(𝑡) =
{
5000 𝐴𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤
𝜏
2
5000 𝐴 (2 − 𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏
2 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏
1 Isso é o que chamamos aplicar a transformada de Fourier
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Aplicando – se as devidas condições iniciais e equações abaixo:
𝜔𝑛 = √𝑘
𝑚 𝜔 =
2𝜋
𝜏 𝑟 = 𝜔/𝜔𝑛 𝑐𝑐 = 2𝑚𝜔𝑛 𝜉 =
𝑐
𝑐𝑐
n Xa Xb fi
1 -0.0159 0 0.0126
2 0 0 0.0252
3 -0.0018 0 0.0380
4 0 0 0.0510
5 -0.0006 0 0.0643
Chegamos à solução que descreve o comportamento do sistema, desenvolvendo a série de Fourier até
o quinto termo:
𝒙𝒑(𝒕) = 𝝅/𝟏𝟔𝟎 − 𝟎. 𝟎𝟏𝟓𝟗 𝐜𝐨𝐬(𝝅𝒕 − 𝟎. 𝟏𝟐𝟔) − 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝝅𝒕 − 𝟎, 𝟎𝟑𝟎𝟖)
− 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟔 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝝅𝒕 − 𝟎, 𝟎𝟔𝟒𝟑)
4. Análise computacional
Para o presente trabalho foi desenvolvido um
algoritmo contendo todas as condições iniciais do
problema assim como o cálculo das integrais
utilizando o MatLAB.
O código encontra-se no anexo deste trabalho e
também no e-mail em que foram enviados os
mesmos.
5. Conclusão
O presente trabalho possibilitou o entendimento da série de Fourier e sua aplicação em
sistemas vibratórios harmônicos. De modo que foi possível realizar uma aplicação e uma
análise tanto manual quanto computacional utilizando o software matLab.
Figura 2: Gráfico obtido com auxílio do MatLAB após aplicação da série de Fourier
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ANEXO : ALGORITMO UTILIZADO PARA A RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 4.1 NO
MATLAB
clear; clc; % Tarefa para o aprendizado da Série de Fourier (13/10/2014) % A % NOME: Orlindo Wagner Soares Pereira % MATRICULA: 2013 10 26 009 % Este programa encontra os coeficientes da serie de Fourier para o exemplo % 4.1, pagina 141 do livro de Vibrações mecânicas - Rao - 4Ed
% Variáveis do sistema:
k = 2500; % constante da mola equivalente m = 0.25; % massa equivalente do sistema T = 2; % período de oscilação w = 2*pi/T; % frequencia de oscilação do sistema w_n = sqrt(k/m); % frequencia natural do sistema c = 10; % coeficiente de amortecimento do aortecedor cc = 2*m*w_n; % coeficiente de amortecimento devido à w_n F_am = c/cc; % fator de amortecimento A = pi*(0.050^2)/4; % area da seção da camara de saída r = w/w_n; % razão entre as frequencias
syms x n t ; N = 5; a = sym('a', [N 1]); b = sym('b', [N 1]); fi = zeros(N,1); Xa = zeros(N,1); Xb = zeros(N,1); ao = 0.5 *( A * 50000 * ( int(t,0,1) + int((2-t),1,2) )); Xo = ao/k; R = sqrt( (1-(j*r)^2)^2 + (2*F_am*j*r)^2 );
for j = 1 : N
a(j) = A * 50000* ( int(t*cos(j*pi*t),0,1) + int((2-t)*cos(j*pi*t),1,2) ); b(j) = A * 50000* ( int(t*sin(j*pi*t),0,1) + int((2-t)*sin(j*pi*t),1,2) ); fi(j) = atan( (2*j*F_am*r)/(1-(j*r)^2) ); Xa(j) = (a(j)/k)/R; Xb(j) = (b(j)/k)/R; end
% Apresentação dos Resultados % X = Xo + Xa(j)*cos(pi*t - fi(j)) + Xb(j)*sin(pi*t - fi(j));
Xo Xa Xb fi tt = 0:0.01:4; pp = pi/160 - 0.0159* cos(pi*tt-0.126) - 0.0018 * cos(3*pi*tt - 0.0308) - 0.0006
* cos(5*pi*tt - 0.0643); plot(tt,pp); xlabel('Tempo(s)'); ylabel('Pressão(Pa)');
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