transmittance complexe - fonction de transfert
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Transmittance complexeFonction de transfertEnseignement d’électronique de Première AnnéeIUT de l’IndreEric PERONNIN
www.geii.eu 2
QuadripôlesDéfinition Circuit électrique possédant deux bornes d’entrée et
deux bornes de sortie. Il est dit linéaire s’il ne comporte que des éléments
linéaires. Il est dit passif s’il ne comporte que des composants
passifs (résistance, inductance, capacité).Représentation
V1 et I1 sont aussi notés Ve et Ie (idem (V2,I2) <=> (Vs,Is) )
2
QV
I I
2V
2
1Quadripôle
1
www.geii.eu 3
Transmittance complexeDéfinition C’est le rapport, en notation complexe, qui existe entre la
tension en sortie du quadripôle et la tension en entrée de ce quadripôle.
Mathématiquement :
Note : ce calcul s’effectue en régime harmonique donc en
utilisant les impédances complexes des éléments du circuit
– pour une inductance :
– pour une capacité :
3
1 QV2
QuadripôleV
www.geii.eu 4
Gain et déphasageGain Il exprime le rapport de l’amplitude du signal de sortie
sur l’amplitude du signal d’entrée en décibel (dB)
Déphasage Il exprime le décalage angulaire (en degré ou radian) sur
un diagramme de Fresnel entre les signaux d’entrée et de sortie
4
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Diagramme de BodeDéfinition : C’est la représentation graphique de G(w) et de j(w)
sur un diagramme semi-logarithmique :
5
Fréquence en Hz ou pulsation en rad/s
Gain
en
dB o
u dé
paha
sage
(deg
ré o
u ra
dian
)
1 décade
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1 2V V
R
C
I
Application : circuit RCTransmittance complexe :
Calcul de T(jw) : loi des mailles : et loi d’Ohm : élimination de I : finalement :
– où est la pulsation de coupure du circuit
– on note également la constante de temps du circuit .
6
www.geii.eu 7
202
00
0
1log21201log2001log201log.20
11log20log20
wwwwww
wwww
j
jjTG
1 2V V
R
C
I
Application : circuit RCGain et déphasage : Rappel :
Gain :
– soit : Déphasage :
– soit :
7
RC
oùj
jT 11
10
0
www
w
010
0
tan01arg1arg
11argarg
wwww
wwwwj
j
jjT
01tan wwwj
201log10 www G
www.geii.eu 8
10 100 1000 10000 100000 1000000
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Fréquence
Gai
n(dB
) -
Déph
asag
e (d
egré
)
Gain asympto-tiqueGain
réelDéphasage réel
Déphasage asympto-tique
Application : circuit RCDiagramme de Bode :
8
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0
2
0
log201log10ww
wwwjT
Diagramme asymptotiqueJustification du diagramme de Bode asymptotique : Soit : le repère (X,Y) est alors un repère
cartésien ou X numérote les décades et Y représente le gain.
Cas de l’amplitude pour : L’atténuation étant faible, on l’assimile à une
constante égale au gain en 0, ici 0 dB, d’où une asymptote horizontale à Y=0 pour
Cas de l’amplitude pour soit
c’est une droite passant par Y=0dB en w =w0 et possédant une pente de -20dB par décade = asymptote oblique. 9
ww
GYX log
0ww
0ww
0ww 0ww
02020 XXY
www.geii.eu 10
Transmittance complexe généraliséeSous une forme factorisée, elle s’écrit :
– les w1i et w2i sont les pulsations de coupure des termes du premier ordre
– les w3i et w3i sont les pulsations naturelles des termes du second ordre– les m3i et m4i sont les coefficients d’amortissement des termes du
second ordre– K est un gain (dit « gain statique » lorsque u = 0)
10
4
3
2
1
1
2
444
1
2
333
1 2
1 1
21
21
1
1
n
i iii
n
i iii
n
i i
n
i iu
jjm
jjm
j
j
jKjT
ww
ww
ww
ww
wwww
ww
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GainGain
Note : si alors et si alorsDéphasage
Diagramme de Bode
11
KjT w
0log200log20
log20KsiKKsiK
KG w
1K 1K 0wG 0wG
000
argKsiKsi
K
wj
0dB w0 w
wG 1K
1K
0 w0 w
wj0K
0K
-
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Dérivateur Gain
Note : Déphasage
Diagramme de Bode
12
00
log20log20ww
www jG
00 wG
2
arg0
wwwj
j
0dB w0/10 w0 10w0 w
wG wj/2
-20dB
20dB
0 w0/10 w0 10w0 wPente à +20dB/décade
0www jjT
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DérivateurJustification du diagramme de Bode Soit :
Le repère (X,Y) est alors un repère cartésien ou X numérote les décades et Y représente le gain
Dans ce repère cartésien, l’équation du gain s’écrit :» où X0 correspond avec w0
C’est une droite qui passe par Y=0dB en w = w0 avec une pente de +20dB par décade (Y augmente de 20dB pour un accroissement unitaire de X ce qui représente 1 décade)
13
ww
GYX log
02020 XXY
0www jjT
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Filtre passe-bas d’ordre 1 01
1ww
wj
jT
Transmittance complexe du passe-bas
Gain
DéphasageDiagramme de Bode
14
2
0
0
1log101
1log20ww
ww
wj
G dBG 30 w
0
1
0
tan1argww
wwwj j
dBG 00
40wj
0dB w0/10 w0 10w0 w
wG wj
/2-20dB -20dB
0 w0/10 w0 10w0 w
Pente à -20dB/décade
coupuredepulsationoù 0w
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Filtre passe-bas d’ordre 1Réponse temporelle à 1 échelon de tension : Définition de Ve :
Obtention de l’équation temporelle à partir de la transmittance complexe :
Multiplier par revient à dériver par rapport au temps :
On retrouve une équation différentielle du premier ordre et donc : 15
000tcEtV
ttVte
e
e
e
sses
e
s VVjVVjVjjV
jV
000
11
1w
www
wwww
EtvdttdvtvVVjV e
sse
ss
00
1ww
w
ts eEtv 01 w
wj
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Filtre passe-bas d’ordre 1 En vert, l’entrée avec E = 5v En rouge, le signal de sortie (constante de temps =
1s)
16
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VsVe C
R
RVe
L
Vs
Filtre passe-bas d’ordre 1Réalisations passives : Cricuit RC :
Circuit LR :
Réalisation active :
+
-
3
2
6
Ve
R
Vs1
C
R
CR
oùj
jT
1
11
00
www
w
LRoù
jjT
0
011 www
w
CR
oùj
jT
1
11
00
www
w
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0wwjx
Filtre passe-bas d’ordre 2Transmittance complexe du passe-bas d’ordre 2 (ou second ordre) :
w0 est la pulsation naturelle du filtre m est le coefficient d’amortissement (m>0 au
dénominateur) Factorisation du dénominateur : Possible dans certains cas : Posons : et factorisons On trouve aisément que c’est possible si et on
a alors :
où 18
221)( xmxxD
1m
21
11
1
ww
ww
wjj
jT 1202,1 mmww
2120 www
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2
2;0m2
0 21 mr ww
Filtre passe-bas d’ordre 2En l’absence de possibilité de factorisation donc lorsque Gain :
Remarque : on montre que pour , le gain présente un maximum en appelée pulsation de résonnance.
Déphasage :
le calcul s’établit pour assurer la continuité du déphasage : 19
1m
2
0
22
02
00
21log20
21
1log20ww
ww
ww
ww
w m
jjm
G
wwww
ww
wwwj kmjjm
20
012
00 12tan21arg
00 10 wwww pourketpourk
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Filtre passe-bas d’ordre 2Diagramme de Bode asymptotique
20
0dB w0/10 w0 10w0 w
wG wj
-40dB -40dB
0 w0/10 w0 10w0 wPente à -40dB/décade
0dB w0/10 w1 w0 w2 10w0 w
wG wj
-20dB -20dBPente à -40dB/décade
Pente à -20dB/décade /2
0dB w0/10 w1 w0 w2 10w0 w
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Filtre passe-bas d’ordre 2Diagramme de Bode : l’amplitude (tracé pour fo=1Hz)
21
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Filtre passe-bas d’ordre 2Diagramme de Bode réel : déphasage Points d’inflexion : 2 de part et d’autre d’ lorsque 1 double en
lorsque Points spécifiques :
22
180lim
9000
0
wjwj
j
w
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Filtre passe-bas d’ordre 2Réponse à un échelon de tension :
Passage du domaine fréquentiel au domaine temporel :
Une multiplication par revient à dériver par rapport à :
d’où l’équation différentielle régissant l’évolution de :
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Filtre passe-bas d’ordre 2Résolution de l’équation caractéristique :
2 cas de figure concrets possibles :
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:2 racines complexes conjuguées :
avecet
:2 racines réelles distinctes :
où
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Filtre passe-bas d’ordre 2Solution pour :
Constantes d’intégration : Conditions initiales (exemple) :
Solution pour :
Constantes d’intégration : Conditions initiales (exemple) :
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Filtre passe-bas d’ordre 2Tracé de la réponse à un échelon
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Filtre passe-bas d’ordre 2Réalisation passive : Exemples de réalisations
actives : Cellule Sallen & Key :
Cellule de Rauch :
VsVe C
LR
+
-
3
2
6C1
Ve
Vs
R1
C2
R2
Vs
R2
R1
C5
C4 +
-
3
2
6
R3
Ve
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Inverse d’une transmittanceLe diagramme de 1/T(jw) s’obtient facilement à partir du diagramme de T(jw) en changeant les signes du gain et du déphasage :
Exemple :
28
wjwjww
wwGG
jTjT 1
0dB w0 w
wG wjT
wjT 1
0 w0 w
wj
wG
wjT 1
wj wjT
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Rappel pourGain :
Déphasage :
Diagramme de Bode :
29
2
0
0
1log101
1log20ww
ww
wj
G dBG 30 w
0
1
0
tan1argww
wwwj j
dBG 00
40wj
0dB w0/10 w0 10w0 w
wG wj
/2-20dB -20dB
0 w0/10 w0 10w0 wPente à -20dB/décade
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Application pourGain :
Déphasage :
Diagramme de Bode :
30
2
0
2
0
1log101log10www
www GG
0
1
0
1 tantanwwwj
wwwj
0dB w0/10 w0 10w0 w
wG wj
/2-20dB -20dB
0 w0/10 w0 10w0 wPente à 20dB/décade
/2
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Produit de transmittancesLe diagramme de Bode du produit de deux transmittances complexes s’obtient en faisant la somme des diagrammes de Bode de chacune des transmittances Soit :
Soit G1 et j1 le gain et déphasage de T1(jw)
Soit G2 et j2 le gain et déphasage de T2(jw) On a donc :
31
wjwjwjwww
21
21 GGG
www jTjTjT 21
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Exemple : K>1Gain :
32
2
2
2
1
1log101log10log20ww
www KG
-20dB
Pente à -20dB/décade
Pente à -40dB/décade
0dB w1/10 w1 w2 10w2 w
K
2
1
1
wwj
1
1
1
wwj
wG
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Exemple : K>1Déphasage :
33
21
11ww
www jjKjT
wj
-/2
0 w1/10 w1 w2 10w2 w
K
2
1
1
wwj
- 1
1
1
wwj
2
1
1
1 tantan0ww
wwwj
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Domaine de LaplaceL’étude d ’un quadripôle en régime harmonique se fait avec la transmittance complexe. Pour des études plus complexes, on recherche la fonction de transfert de Q on la note H(p)=V2(p)/V1(p)
Pour déterminer H(p), on utilise les impédances complexes généralisées pour la résistance : R(p) = R pour la capacité : C(p) = 1/Cp pour l’inductance : L(p) = Lp
– Remarque : p, variable de Laplace, est un complexe
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Domaine de LaplaceRemarques : Pour passer du domaine de Laplace au régime
harmonique, on prend p = jw. On peut aussi, sous certaines conditions, passer du
domaine temporel au domaine de Laplace par le biais d’une transformation dite « Transformation de Laplace » (l’inversion est aussi possible, cf. mathématiques 2ième d’année).
Intérêts en électronique : Légère simplification d’écriture (p au lieu de jw). Déterminer plus facilement les réponses à des
signaux assez complexes.
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