transportne pojave u metalima
Post on 17-Feb-2018
239 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
1/38
TRANSPORTNE POJAVE U METALIMA
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
2/38
Danas emo pokazati da model slobodnih elektrona moe objasnitielektrinu vodljivost tj. Ohmov zakon (Drude-ov i Sommerfeldovmodel), toplotnu vodljivost (Drude-ov i Sommerfeldov model) i Hall-ov efekat. Sve ove pojave jednim imenom zovemo transportnepojave.
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
3/38
Do transportnih pojava dolazi u prostorno nehomogenim sistemima:tamo gdje postoji temperaturni gradijent, i/ili nehomogena gustoaestica u prostoru i/ili vanjsko polje.
Mi emo razmotriti slijedee transportne pojave u metalima:
Elektrina vodljivost
Toplotna vodljivost
Hall efekat
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
4/38
Uvod
Elektrina vodljivost- jedna od najvanijih osobina metala- dobrivodii struje
Drude 1900. godine modelom slobodnih elektrona izveo Ohmovzakon
j E=
Gustoa el. strujestruje Elektrino poljeElektrina provodnost
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
5/38
Gdje je faktor proporcionalnosti (elektrina provodnost):
2n e
m
=
n-koncentracija elektrona (broj elektrona u jedinici volumena)- vrijeme relaksacije (prosjeno vrijeme izmeu dva meusobna sudara)
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
6/38
Analogna ovoj relaciji je i relecija koja opisuje proticanje toplotne
struje. Ukoliko u metalu postoji temperaturni gradijent T, gustoa
struje bie:
gdje je koeficijent proporcionalnosti toplotna provodnost metala
qj T=
Smjer struje je suprotan smjeru temperaturnog gradijenta
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
7/38
Wiedeman i Franz su 1853. godine zakljuili da je u metalimaelektrina vodljivost proporcionalna toplinskoj vodljivosti. Dobri
vodii elektrine struje su ujedno i dobri vodii toplotne struje.
Lorentz je 1881. godine zakljuio da je omjer priblino konstantan zaniz metala i zove se Lorentzov broj
Sommerfeld je 1928. godine na elektrinu i toplotnu vodljivostprimijenio F-D statistiku.
Dalji korak u razvoju elektrine vodljivosti zahvaljujemo Blochu.Prouavajui meudjelovanje elektrona sa fononima 1928. godine jeizveo formulu koja opisuje zavisnost el. otpora metala odtemeprature
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
8/38
Metali imaju veliku elektrinu i toplinsku vodljivost
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
9/38
Wiedeman-Franz-ov zakon /TLorentzov broj L= /T= const.Ne zavisi od vrste metala
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
10/38
Elektrina vodljivost
Razmotriemo Drudeov i Sommerfeldovmodel slobodnog elektronskog gasa. Oba
daju Ohmov zakon
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
11/38
Pretpostavke Drude-ove teorije
Elektroni se tretiraju kao klasine estice- kreu se po pravim linijama i zanemarujuse elektron-elektron i elektron-jon interakcije
Elektroni se kreu slobodno izmeu sudara sa centrima rasprenja (jezgrama) isudari elektrona sa jezgrama su kao u molekularno-kinetikoj teoriji- momentalni
pri emu se mijenja brzina elektrona
Prosjeno vrijeme izmeu dva uzastopna sudara se zove vrijeme relaksacije.
Elektroni nakon sudara brzina elektrona je proizvoljna i nije povezana sa brzinom prije
sudara
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
12/38
Ohmov zakon
Otpor ice R zavisi od dimenzija iceZgodnije je izraziti Ohmov zakon preko veliina koje ne zavise od dimenzijauzorka.
Zato emo definisati provodnost
j E=
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
13/38
Gustoa struje je vektor paralelan kretanju naboja, a njen intenzitetje jednak naboju koji u jedinici vremena prolazi kroz jedininu
povrinu okomitu na kretanje naboja.
Sa slike vidimo da je
Pad potencijala du ice je:
Pa imamo
Prema tome je
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
14/38
Veliina zove se specifini otpor ili otpornost. Za razliku odotpora R, je svojstvo materijala jer ne zavisi od oblika i veliine
materijala (uzorka).
Sad emo koristei Drude-ov model izraziti preko mikroskopskihsvojstava. U tom klasinom modelu za opisivanje voljdivosti bitni susudari elektrona sa jonima.
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
15/38
Drudeova teorija vodljivosti
Razmotrimo primjenu Drude-ovog modela na elektrinu vodljivost(dobiemo izraz za Ohmov zakon)
Elektrina vodljivost Kretanje elektrona dok na njih ne djeluje polje
Pretpostavljamo da su im kinetike energije (brzine) iste. Brzine sunasumino orjentisane u svim smjerovima.
Dok ne djeluju vanjske sile svi smjerovi kretanja su ravnopravni pa jevektorski zbir brzina elektronskog mnotva jednak nuli.
Kad metal stavimo u konstantno vanjsko elektrino polje mijenjaju se
brzine elektrona i dolazi do usmjeravanja elektrona. Promjena brzineelektrona odreena je jednainom kretanja:
dvm eE
dt
=
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
16/38
Integriranjem od t1 do t2 dobivamo:
gdje smo uveli oznake:
( ) ( ) ( )2 1 2 1m v t v t eE t t
eu E t
m
=
=
( ) ( )2 1
2 1
u v t v t
t t t
=
=
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
17/38
Ukupna brzina elektrona jednaka je zbiru brzine kojom se elektronkree izvan vanjskog polja i dodatne brzine proizvedene poljem:
'v v u= +
Brzina je nasumina, a brzina proizvedena poljem je usmjerena. Nazivamoje brzina zanoenja (brzina drifta). Smjer joj je odreen smjerom elektrinog polja.v
u
Kad bi na elektrone djelovala samo elektrina sila, oni bi sve vie ubrzavali pa bielektrina vodljivost neogranieno rasla.Ovo se ne deava jer po Drudeovoj klasinoj teoriji dolazi do sudara elektrona sa
jonima. Joni tj. kristalna reetka zaustavljaju elektrone (javlja se el. otpor). Ukvantnoj teoriji objanjenje otpora je malo drugaije- otpor nastaje usljedrasprenja elektrona na fononima i defektima kristalne reetke pri emu oni gubedodatak brzine koji je nastao uticajem vanjskog polja.
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
18/38
Nakon sudara, elektrino polje ubrzava elektron sve dok se on ne sudariponovo. Pretpostaviemo da je vrijeme proteklo od posljednejg sudara t.
Kad se sudari, elektron odlazi u proizvoljnom smjeru i prosjena brzinadrifta elektrona e biti
eu Em
=
eEt
m
Poto je prosjeno vrijeme izmeu dva sudara prosjena brzina drifta e biti
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
19/38
Definisaemo pokretljivost (mobilnost) elektrona kao iznos prosjenevrijednosti brzine drifta u jedininom polju:
Uvrtavanjem izraza za prosjenu brzinu dobivamo:
u
E =
e
m
=
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
20/38
Poto izvan elektrinog polja nema usmjerenog kretanja elektrona,gustou struje odreuje srednja vrijednost brzine drifta. Gustoa
elektrine struje je jednaka proizvodu prosjene brzine drifta sagustoom elektronskog naboja (-en):
Uvrtavajui srednju brzinu drifta dobivamo Ohmov zakon:
j enu=
2e ne
j en E E E
m m
= = =
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
21/38
2ne
m
=
ne =
Izraz za elektrinu provodnost moemo izraziti i preko pokretljivosti elektrona:
Pogledajmo sad koje vrijednosti za nasumine brzine elektrona (dakle kad nemamoelektrinog polja). se dobiju po klasinoj teoriji slobodnog elektronskog gasa.
Tada bi nasumina brzina elektrona bila jednaka prosjenoj termikoj brzini.
3B
k Tv
m=
Za T=300 K dobiva se v=105 m/s
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
22/38
Ova procjena daje premalu vrijednost. Prouavajui Sommerfeldov
model dobili smo v reda veliine 106
m/s jer za elektrone vrijedi F-Dstatistika, a ne M-B kao u Drude-ovoj teoriji. Iako se temelji naklasinoj statistici Drude-ov model uspio je objasniti Ohmov zakon
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
23/38
Sad emo procijeniti brzinu drifta elektrona. Neka se metal nalazi u polju E=1V/m. Uzeemo n=5*1028 m-3 i =107 -1m-1 kao tipine vrijednosti zametale. Odatle dobivamo:
Brzina zanoenja elektrona u metalu je puno manja od nasumine brzineizvan djelovanja polja.
U svim procesima gdje ne razmatramo transport elektrinog nabojapriblino moemo napisati da je iznos elektronske brzine jednak iznosu
nasumine brzine:
vv
310 /u E m s
en
=
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
24/38
Srednji slobodni put definiemo kao udaljenost koju elektron pree izmeudva uzastopna rasprenja:
l=v
On je prema Drude-ovom modelu jednak za sve elektrone
Izraunajmo vrijeme relaksacije i srednji slobodni put metala uzimajui kaoi ranije tipine vrijednosti n=5*1028 m-3 i =107 -1m-1
v105 m/s po Drudeovoj teoriji => l=10 A- reda veliinemeuatomskih udaljenosti, ali to je netano (l je puno vee)
v106 m/s po Sommerfeldovoj teoriji pa dobivamo
l
10-8
m- to je OK, a sa snienjem temperature se jo moepoveati
14
2 10
ms
ne
=
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
25/38
Srednji slobodni put na sobnim temperaturama je za red (ili dvareda) veliine vei od meuatomskog rastojanja u kristalu. Na
niskim temperaturama moe postati jo znatno vei jer se otpormetala smanjuje sa temperaturom.
Klasina fizika ne moe objasniti zato je srednji slobodni putpuno vei od meuatomskih rastojanja. To je objasnila kvantna
teorija
Pogledajmo kako bi prema Drude-ovoj teoriji elektrina otpornostmetala zavisila od temperature. Izrazimo elektrinu provodnost
preko srednjeg slobodnog puta:
2 2ne ne l
m mv
= =
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
26/38
Poto, prema klasinoj fizici srednji slobodni put zavisi samo odgeometrijskih osobina kristalne reetke, temperaturna zavisnost
elektrine provodnosti bila bi odreena elektronskom brzinom:
1
v T
T
Dakle prema Drude-ovoj teoriji:
1 T
= exp T Nije u skladu sa eksperimentom, dakle Drude-ova teorija ne moe da objasni
zavisnost el. otpornosti od T u metalu
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
27/38
Sommerfeld-ova teorija elektrine vodljivosti
Pogledajmo sad da emo dobiti isti rezultat uvaavajui kvantnustatistiku (Sommerfeldov model)
Fermi sfera u ravnotei ( odsustvu polaj) Pomjeranje Fermi sfere u prisustvu polja
eu E
m=
Pod djelovanjem polja elektroni dobivaju
brzinu drifta i Fermi sfera
se pomjera ulijevo. Ponitava se veina
elektronskih parova, osim onih uosjenenom podruju
Nema struje jer za svaki elektronSa brzinom v postoji elektron sa brzinom
-v tako da se svi parovi ponitavaju
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
28/38
Elektroni u osjenenom podruju uzrokuju brzinu drifta. Malopomjeranje Fermi sfere nastaje zbog malih brzina drifta koja je kako
smo ranije pokazali puno manja od nasumine brzine elektrona.
Moemo procijeniti gustou struje:
Impuls slobodnog elektrona je:
Kad djelujemo el. poljem sila koja djeluje na elektron je:
p k=
dp dk F eE
dt dt
= = =
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
29/38
U trenutku t=0, primjenimo polje na elektronski gas unutar Fermi sfere. U kasnijem
trenutku t sfera i njen centar e biti pomjereni za:
Zbog sudara elektrona sa fononima, primjesama i nesavrenostima reetke sferamoe da se odrava u stacionarnom stanju u el. polju. Ako je prosjeno vrijeme
izmeu sudara , pomjeranje Fermijeve sfere u stacionarnom stanju je:
tk F
=
k F =
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
30/38
To pomjeranje daje svakom elektronu dodatni impuls i dodatnu brzinu (brzinudrifta):
Ukoliko imamo n elektrona po jedinici zapremine, svaki sa naelektrisanjem q=-e,
tada je gustoa elektrine struje jednaka:
p k m v F
F e
v Em m
= = =
= =
2ne
j nq v E E
m
= = =
Ohmov zakon
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
31/38
Dobili smo isti rezultat i u Drude-ovom i u Sommerfeldovom modelu
Iako je formula ista, ovdje je slika vodljivosti potpuno drugaija
U klasinoj teoriji, pretpostavili smo da da struji doprinose jednako svielektroni, od kojih se svaki kree malom brzinom drifta. U kvantno-mehanikoj slici, struji doprinosi samo mali broj elektrona koji se
kre
u priblino fermijevom brzinom. Samo elektroni u blizini Fermijevepovrine doprinose transportnim osobinama.
Poto samo elektroni sa Fermi povrine doprinose vodljivosti,moemodefinisati srednji slobodni put elektrona kao
l=vF Na sobnoj temperaturi ovaj broj je jednak 10-8 m.
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
32/38
Procesi rasprenja elektrona
Ukoliko bismo imali idealnu kristalnu reetku, dobili bismobeskonano veliku vodljivost, ali znamo da to nije sluaj
Konana vodljivost mora dolaziti zbog odstupanja reetke odidealne periodinosti. To se javlja usljed postojanja
a) termikih vibracija reetke
b) prisustva defekata ili primjesa
Da bismo ispitali njihov uticaj pogledaemo temperaturnu zavisnostelektrine otpornosti =1/
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
33/38
Normalizirana otpornost Na na niskim (a) i visokim b) temperaturama
Na 0 K otpornost ima malu konstantnu vrijednost zatim poinje da sepoveava, u poetku lagano, a zatim linearno raste sa T.Linearan rast otpornosti sa temperaturom nastavlja se do take topljenja.Ovo ponaanje slijedi veina metala i podruje sobne temperature je u tom
linearnom dijeli T
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
34/38
Pretpostaviemo da su vjerovatnosti rasprenja na fononima i narezidualnim primjesama kristalne reetke nezavisne. Ukupna vjerovatnost
rasprenja je:
f rw w w= +
Vjerovatnost rasprenja na fononima
Vjerovatnost rasprenja na rezidualnim nepravilnostima
Vrijeme relaksacije obrnuto je proporcionalno sa ovom vjerovatnou pa slijedi:
1 1 1
f r
= +
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
35/38
Ranije smo dobili da je:
Pa slijedi:
2ne
m
=
2 2
1 1 1
f r
f r
f r
m mne ne
= +
= + = + Matthiessen-ovo pravilo
Postoje dva razliita uzroka rasprenja
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
36/38
r koje predstavlja otpornost usljed rasprenja na primjesama ne zavisi od
temperature, a f usljed rasprenja na fononima zavisi od temperature
Dakle, otpornost metala jednaka je sumi temperaturno zavisnog lana f i
lana r koji ne zavisi od T.
Na jako niskim temperaturama rasprenje na fononima je zanemarivo jer suamplitude oscilovanja jako male (to smo ranije pokazali). Tada lan rpostaje dominantan i on je jednak otpornosti na apsolutnoj nuli. Zovemo ga
rezidualni otpor.
Na sobnim temperaturama otpornost uglavnom nastaje zbog termikihpobuenja kristalne reetke tj. rasprenja elektrona na fononima. Nekad seova otpornost zove otpornost reetke.
Smanjenjem temperature smanjuje se broj elektronskih rasprenja pa sesrednji slobodni put poveava. U nekim metalim moe postati priblino 106
puta vei od srednjeg meuatomskog rastojanja.
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
37/38
Toplotna vodljivost metala Izvedeno na tabli!
Pri izvoenju nismo razlikovali vremena relaksacije za elektrinu i toplotnu
vodljivost. Ta pretpostavka je opravdana na visokim i ekstremno niskimtemperaturama.
28
2
31,11 10
2
Bk WLT e K
= = =
Drude
Sommerfeld
-
7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima
38/38
Drude je dobio izuzetno slaganje sa eksperimentom. Meutim, biloje nejasno zato je to tako jer doprinos elektrona Cv=3/2nkB na
sobnoj temperaturi nije nikad zapaen. Drude-ov uspjeh jeposljedica greaka koje se ponitavaju
top related