Übungen zu transportaufgaben. ist ein spezialfall der linearen optimierung sind gesamtaufkommen und...
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Operations ResearchÜbungen zu Transportaufgaben
Ist ein Spezialfall der Linearen Optimierung Sind Gesamtaufkommen und Gesamtbedarf
unterschiedlich, so ist das Transportproblem auf ein adäquates mit Gleichheit zurückzuführen.
Aufkommensorte Menge je Ort Bedarfsorte Bedarfsmenge je Ort Transportkosten von A nach B sind Menge von A nach B ist
Das Transportproblem
mA 1
ian-1 B
kb
ikcikx
Einführendes Beispiel
Eine Fluggesellschaft verfügt über zwei Heimatflughäfen Wien und Innsbruck, mit Wien=4 Flugzeugen sowie Innsbruck=3 Flugzeugen.
Sie soll für einen Reiseveranstalter Flugzeuge für die Flughäfen München und Frankfurt mit Franfurt=2 und München=2 Maschinen bereitstellen.
Die Kosten (Sie orientieren sich an der Distanz – Faktor x 100km) für den Transport sind in folgender Kostenmatrix dargestellt:
min24
47)(
ikc
Beispiel
Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Beispiel
Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Anbieter
Kosten/ Distanz
Kosten/ Distanz
Wien 7 4Innsbruck
4 2
Frankfurt München
7
4
2
4
Beispiel
Zusätzlicher Nachfrager mit 0 Kosten
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
7 4 0 4 Wien
4 2 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
Anbieter Kosten/ Distanz
Kosten/ Distanz
Wien 7 4Innsbruck 4 2
Frankfurt München
MengeNachfrage
r
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
7 4 0 4 Wien
4 2 2 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, anfangs nur reale Transporte2.) Eintrag des Kostenoptimums3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen
1 Rest
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl2.) Eintrag des Kostenoptimums3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen
Kosten Kosten Menge Anbieter
7 0 4 Wien
4 0 1 Innsbruck
2 3
Frankfurt fiktiver Flughafen
Menge
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl2.) Eintrag des Kostenoptimums3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen
Kosten Kosten Menge Anbieter
7 0 4 Wien
4 1 0 1 Innsbruck
2 3
Frankfurt fiktiver Flughafen
1 Rest
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, so lange wie möglich nur reale Transporte.2.) Eintrag des Kostenoptimums3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen
Kosten Kosten Menge Anbieter
7 0 4 Wien
1 3
Frankfurt fiktiver Flughafen
Menge
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, so lange wie möglich nur reale Transporte.2.) Eintrag des Kostenoptimums3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen
Kosten Kosten Menge Anbieter
7 1 0 4 Wien
1 3
Frankfurt fiktiver Flughafen
3 Rest
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Menge Anbieter
0 3 Wien
3fiktiver Flughafen
1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, so lange wie möglich nur reale Transporte.2.) Eintrag des Kostenoptimums3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen
Menge
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Menge Anbieter
0 3 3 Wien
3fiktiver Flughafen
1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, so lange wie möglich nur reale Transporte.2.) Eintrag des Kostenoptimums3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen
0 Rest
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
7 4 0 4 Wien
4 2 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
Eintragung aller Kostenoptima ergibt eine mögliche Lösung:
Z =?
Menge
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
7 1 4 0 3 4 Wien
4 1 2 2 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
Eintragung aller Kostenoptima ergibt eine mögliche Lösung:
Z =7x1+ 0x3+ 4x1+ 2x2= 15
Beispiel
Suche nach dem optimalen Ergebnis
Einführung von Potenzialen nach der MODI/Potenzialmethode.
Für jedes Anbieter und für jeden Nachfrager werden die Potenziale u und v festgelegt.
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
7 1
4 0 3 4 Wien
4 1 2 2 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
ki vu \
kv
iu
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
0
7 1
4 0 3 4 Wien
4 1 2 2 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
Die Einführung von Potenzialen erfolgt nach ; 01 v
ikki cvu
ki vu \
kv
iu
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
0
7 1
4 0 3 4 Wien
4 1 2 2 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
Die Einführung von Potenzialen erfolgt nach Es werden nur besetzte Felder herangezogen erstes besetztes Feld
ikki cvu
ki vu \
kv
iu
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
0 -2 -7
7 7 1
4 0 3 4 Wien
4 4 1 2 2 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
Transporttabelle nach Einführung der Potenziale mit der Formel: ikki cvu
ki vu \
kv
iu
Menge
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
0 -2 -7
7 7 1
4 0 3 4 Wien
4 4 1 2 2 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
ki vu \
Einführen von fiktiven Bewertungszahlen mit Hilfe der Potenziale mit
Nur nichtbesetzte Felder
ikkiik cvuc
1
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
0 -2 -7
7 7 1
4 0 3 4 Wien
4 4 1 2 2 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver FlughafenZ =7x1+ 0x3+ 4x1+ 2x2= 15
ki vu \
Einführen von fiktiven Bewertungszahlen mit Hilfe der Potenziale mit
Nur nichtbesetzte Felder
ikkiik cvuc
1
3
Das Optimalitätskriterium ist noch nicht erfüllt, da eine Bewertungszahl noch positiv ist.
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
0 -2 -7
7 7 1
4 0 3 4 Wien
4 4 1 2 2 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
ki vu \
Feld der höchsten positiven Bewertungszahl wird mit versehen. Streichen aller Zeilen und Spalten, die nur ein besetztes Feld aufweisen. Das Deltafeld wird mitgezählt.
1
3
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
0 -2 -7
7 7 1
4 0 3 4 Wien
4 4 1 2 2 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
ki vu \
Feld der höchsten positiven Bewertungszahl wird mit versehen. Streichen aller Zeilen und Spalten, die nur ein besetztes Feld aufweisen. Das Deltafeld wird mitgezählt.
1
3
Spalte weist nur ein besetztes Feld auf
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
0 -2 -7
7 7 1 4 0 3 4 Wien
4 4 1 2 2 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
ki vu \1
3
Geschlossener Zickzackweg abwechselnd in vertikaler und in horizontaler Richtung. (Nur über besetzte Felder)
In den besetzten Feldern wird abwechselnd -/+ hinzugefügt.
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
0 -2 -7
7 7 1-
4 0 3 4 Wien
4 4 1+ 2 2- 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
ki vu \1
3
Geschlossener Zickzackweg abwechselnd in vertikaler und in horizontaler Richtung. (Nur über besetzte Felder)
In den besetzten Feldern wird abwechselnd -/+ hinzugefügt.
1)2,1min( ; -aller unter Minimum Werte(1- ); (2- ) 1
Dann in einsetzen
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
7 4 1 0 3 4 Wien
4 2 2 1 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
ki vu \
Einsetzen in Es sollten sich immer m+n-1=4 besetzte
Felder ergeben
ikki cvu ikkiik cvuc
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
0
7 4 1 0 3 4 Wien
4 2 2 1 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
ki vu \
Einfügen der neuen Potenziale und Bewertungszahlen
ikki cvu ikkiik cvuc
Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Kosten Kosten Kosten Menge Anbieter
0 -2 -6
6 7 4 1 0 3 4 Wien
4 4 2 2 1 0 3 Innsbruck
2 2 3
Frankfurt München fiktiver Flughafen
ki vu \
Einfügen der neuen Potenziale und Bewertungszahlen
ikki cvu ikkiik cvuc
1
2
Z =4x1+ 4x2+ 2x1+ 0x3= 14
Alle Bewertungszahlen sind neg. Optimalitätskriterium
Beispiel
Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Anbieter
Kosten/ Distanz
Kosten/ Distanz
Wien 7 4Innsbruck
4 2
Frankfurt München
0
2 Stück
1 Stück
1 Stück
Grafische Darstellung der Lösung:
Beispiel
Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf
Übungsbeispiel I
Gesamtaufkommen Gesamtbedarf Eine Molkereizentrale verfügt über zwei
Lager L1, L2 mit l1=40l, l2=60l und hat zwei Abnehmer A1, A2 mit a1=70l und a2=50l.
Die Kosten für den Transport sind in folgender Kostenmatrix dargestellt:
62
43( )ikc
Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf
Gesamtaufkommen = 100l Gesamtbedarf = 120l Einführen eines fiktiven Anbieters L3 in
Höhe der Differenz, also 20l mit Null Transportkosten.
Kosten Kosten Menge Anbieter
3 4 40l Lager 1
2 6 60l Lager 2
0 0 20l Lager 3
70l 50l
Abnehmer1 Abnehmer2
Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf
1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl-anfangs nur echte Transporte
2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen
Kosten Kosten Menge Anbieter
3 4 40l Lager 1
2 60 6 60l Lager 2
0 0 20l Lager 3
70l 50l
Abnehmer1 Abnehmer2
10l Rest
Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf
1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, anfangs nur echte Transporte
2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen
Kosten Kosten Menge Anbieter
3 10 4 40l Lager 1
0 0 20l Lager 3
10l 50l
Abnehmer1 Abnehmer2
30l Rest
Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf
1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, anfangs nur echte Transporte
2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen
Kosten Menge Anbieter
4 30 30l Lager 1
0 20l Lager 3
50l
Abnehmer2
20l Rest
Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf
1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, anfangs nur echte Transporte
2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen
Kosten Menge Anbieter
0 20
20l Lager 3
20l
Abnehmer20l Rest
Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf
Kosten Kosten Anbieter
3 10 4 30 Lager 1
2 60 6 Lager 2
0 0 20 Lager 3
Abnehmer1 Abnehmer2
Eintragung aller Kostenoptima ergibt eine mögliche Lösung
ikc ikx
Z =3x10 + 4x30 + 2x60 + 0x20 = 270
Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf
Kosten Kosten Anbieter
0 1
3 3 10 4 30 Lager 1
2 2 60 6 Lager 2
-1 0 0 20 Lager 3
Abnehmer1 Abnehmer2
Die Einführung von Potenzialen erfolgt nach ; nur besetzte Felder
ki vu \
01 vikki cvu
Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf
Kosten Kosten Anbieter
0 1
3 3 10 4 30 Lager 1
2 2 60 6 Lager 2
-1 0 0 20 Lager 3
Abnehmer1 Abnehmer2
ki vu \
Einführen von fiktiven Bewertungszahlen mit Hilfe der Potenziale.
ikkiik cvuc
1
3
Alle Bewertungszahlen sind negativ Optimaltätskriterium
Z =3x10 + 4x30 + 2x60 + 0x20 = 270
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