ÜÇgen ve Çokgenlerle İlgİlİ soru ve aliŞtirmalar

ÇokgenÇokgen

Çokgensel bölgeÇokgensel bölge

İç bükey – Dış bükey çokgenİç bükey – Dış bükey çokgen

Çokgenin temel elemanlarıÇokgenin temel elemanları

Köşeleri:Kenarları:İç açıları:Dış açıları:Köşegenleri:

Kenar – Köşegen ilişkisiKenar – Köşegen ilişkisi

Bir köşe belirleyiniz ve belirlediğiniz köşeden geçen kaç tane köşegen olduğunu bulunuz. Genelleyiniz.

Kenar – Açı ilişkisiKenar – Açı ilişkisi

Kenar sayısına göre iç açılarının toplamını ve dış açılarının toplamını bulunuz. Genelleyiniz.

Bir çokgenin temel elemanlarıyla belirlenmesiBir çokgenin temel elemanlarıyla belirlenmesi

n kenarlı bir çokgenin, en az n – 2 tane uzunluk olmak üzere, 2n – 3 tane temel elemanının verilmesiyle belirlenir.

Üçgen ve temel elemanlarıÜçgen ve temel elemanları

Köşeleri:Kenarları:Açıları (iç açıları):Dış açıları:İç açılar toplamı:Dış açılar toplamı:

Açılarına göre üçgen çeşitleriAçılarına göre üçgen çeşitleri

Kenarlarına göre üçgen çeşitleriKenarlarına göre üçgen çeşitleri

Üçgenin kenarortayları – Ağırlık merkeziÜçgenin kenarortayları – Ağırlık merkezi

Üçgenin yükseklikleri – Diklik merkeziÜçgenin yükseklikleri – Diklik merkezi

Bir köşeye ait yardımcı elemanlarBir köşeye ait yardımcı elemanlar

a A ah n v

Üçgenin açıortayları – İç merkezÜçgenin açıortayları – İç merkez

Üçgenin dış açıortayları – Dış merkezÜçgenin dış açıortayları – Dış merkez

Ödev 1 Ödev 1

Ödev 2 Ödev 2

Ödev 3 Ödev 3

Ödev 4 Ödev 4

Ödev 5 Ödev 5

Ödev 6 Ödev 6

Ödev 7 Ödev 7

Ödev 8 Ödev 8

Ödev 9 Ödev 9

Ödev 10 Ödev 10

Ödev 11 Ödev 11

Ödev 12 Ödev 12

Ödev 13 Ödev 13

Ödev kontrol tarihi:

Adı Soyadı:Sınıf:No:

Açı – Kenar ilişkileri 1Açı – Kenar ilişkileri 1

Üçgenin açısı büyürse karşısındaki kenar da büyür, açı küçülürse karşısındaki kenar da küçülür.

m(B) m(C) b c Örnek

olduğunu ispatlayınız. Genelleme

m(A) m(B) m(C)

Açı – Kenar ilişkileri 2Açı – Kenar ilişkileri 2

Üçgen eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunluklarının toplamı ile farkı arasındadır.

b c a b c

b

c

İspat

Alıştırma 1Alıştırma 1

İki kenarı 3 ve 4 cm olan üçgenin diğer kenar uzunluğunun alacağı tam sayı değerleri bulunuz ve bu değerlere göre değişen uzunluğun karşısındaki açı çeşidini yazınız.

Alıştırma 2Alıştırma 2

B geniş açı olduğuna görex in alabileceği değer aralığını bulunuz.

Alıştırma 3Alıştırma 3

B geniş açı olduğuna görex in alabileceği değer aralığını bulunuz.

Ödev 1Ödev 1

6

3

x

x in değer aralığını bulunuz.

10

6 x

5 12

x

Ödev 2Ödev 2

Ödev 3Ödev 3

Ödev 4 Ödev 4

Ödev 5 Ödev 5

Ödev 6 Ödev 6

Ödev 7 Ödev 7

Ödev 8 Ödev 8

Ödev 9 Ödev 9

Ödev 10 Ödev 10

Ödev 11 Ödev 11

Adı Soyadı: Sınıf: No: Kontrol tarihi:

Sinüs teoremiSinüs teoremi

a b c2R

sinA sinB sinC

R : çevrel çemberin yarı çapı

İspat 1:1 1 1

S bcsinA acsinB absinC2 2 2

İspat 2:

sin A =

Sinüs oranı ile ilgili ansiklopedik bilgilerSinüs oranı ile ilgili ansiklopedik bilgilera b c a b c

2RsinA sinB sinC sin(B C) sin(A C) sin(A B)

sin A = sin (180o – A) = sin (B+C)

o o 1sin30 sin150

2

o o 2sin45 sin135

2

o o 3sin60 sin120

2

osin90 1

A + B + C = 180o

1 1 1A(ABC) ab sinC ac sinB bc sinA

2 2 2

o osin0 sin180 0

1 1 1A(ABC) ab sin(A B) ac sin(A C) bc sin(B C)

2 2 2

2A(ABC) 2R sinA sinB sinC

sin(B C) sinBcosC sinBcosC

1sinB sinC cos(B C) cos(B C)

2

sin(B C) sinBcosC sinBcosC

B C B CsinB sinC 2sin cos

2 2

osinA cos(90 A)

A AsinA 2sin cos

2 2

2sinA 1 cos A

Alıştırma 1Alıştırma 1

2k....

2k

....

....

k....

........

3k

....

....

2k

....

3k

....

2k

Sinüs teoremi sonucuSinüs teoremi sonucu

2k

2k

2k k

3k

2k

k

3k

k

150°75°

6 2k

2

165°15°

6 2k

2

k2k

6 2k

2

2k3k

6 2k

2

6 2k

2

6 2k

22k

6 2 22 6 2

Alıştırma 2Alıştırma 2

12

x

12

x

2. yol: ek çizim

Alıştırma 3Alıştırma 3

6 3

x

6 3

x

2. yol: ek çizim

Alıştırma 4Alıştırma 4

2. yol: ek çizim

2

x y ?

Ödev 1Ödev 1

Çevre(ABC)=?

Ödev 2Ödev 2

2 3

x y ?

2

x y ?

Ödev 3Ödev 3

Ödev 4Ödev 4

Kosinüs teoremi (hatırlatma)Kosinüs teoremi (hatırlatma)

2

2 2 2

2

a

b a c 2ac cosB

c

A

B Ca

bc

2 2

2

2

BA

2 2 2

2 2 2

o 2

AC AB BC

AC AB BC

AC AB BC

AC AB BC AB BC

AC AB AB 2AB BC BC BC

AC AB BC 2 BA BC cosB

b a c 2ac cosB

cos90 0 b a

��������������

������������������������������������������

������������������������������������������

������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������

2 2c

Kosinüs oranı ile ilgili ansiklopedik bilgilerKosinüs oranı ile ilgili ansiklopedik bilgiler

cos A = – cos (180o – A) = – cos (B+C)

o o 3cos30 sin60

2

o o 2cos45 sin45

2

o o 1cos60 sin30

2

o ocos180 cos0 1

A + B + C = 180o

o ocos90 sin0 0

cos(B C) cosBcosC sinBsinC

1cosB cosC cos(B C) cos(B C)

2

cos(B C) cosBcosC sinBsinC

B C B CcosB cosC 2cos cos

2 2

ocosA sin(90 A)

2 2A AcosA cos sin

2 2

2cosA 1 sin A

o o 3cos150 cos30

2

o o 2cos135 cos45

2

o o 1cos120 cos60

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c 2bc cosA

b a c 2ac cosB

c a b 2ab cosC

b c acosA

2bca c b

cosB2ac

a b ccosC

2ab

Alıştırma 1Alıştırma 1

Alıştırma 2Alıştırma 2

2. yol

Alıştırma 3Alıştırma 3

Ödev 1Ödev 1

Ödev 2Ödev 2

Ödev 3Ödev 3

Üçgenin kenarını bölen noktaÜçgenin kenarını bölen nokta

D noktası, ABC üçgeninin [BC] kenarını oranında içten bölen noktadır.

D’ noktası; ABC üçgeninin [BC] kenarını oranında dıştan bölen noktadır. D'B m'D'C n'

DB mDC n

n'

Özel olarak;

AB BD BD'[AD] iç açıortay, [AD']dış açıortay olur.

AC CD CD'

BD[AD] kenarorta olur.

CD

AçıortayAçıortay

AB BD BD'AC CD CD'

n'

oranlarıyla elde edilen D ve D’ noktalarına sırasıyla iç açıortay ayağı ve dış açıortay ayağı denir.

[AD]: iç açıortay

[AD’]: dış açıortay

2

2

x bc mn

x' m'n' bc

Açıortay uzunlukları x ve x’ ile gösterilirse;

Alıştırma 1Alıştırma 1

Alıştırma 2Alıştırma 2

Alıştırma 3Alıştırma 3

Üçgenin iç merkeziÜçgenin iç merkeziHerhangi bir üçgenin iç açıortayları tek noktada kesişir. Bu noktaya (K) üçgenin iç merkezi denir. Üçgenin iç merkezi, iç teğet çemberinin de merkezidir.

Açıortay üzerindeki bir noktadan kenarlara inilen dikmeler eşittir.

K

Üçgenin dış merkeziÜçgenin dış merkeziHerhangi bir üçgenin iki dış açıortayı ile diğer iç açıortayı tek noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin dış merkezi denir. Üçgenin üç tane dış merkezi vardır.

D

EF

AKKD

BKKE

CKKF

Dış teğet çemberlerDış teğet çemberlerÜçgenin dış merkezleri, dış teğet çemberlerin merkezidir.

Alıştırma 1Alıştırma 1

Alıştırma 2Alıştırma 2

20

AE?

ED

Ödev 1 Ödev 1

Ödev 2 Ödev 2

Ödev 3 Ödev 3

Ödev 4 Ödev 4

Ödev 5 Ödev 5

Ödev 6 Ödev 6

Ödev 7 Ödev 7

Ödev 8 Ödev 8

Ödev 9 Ödev 9

Ödev 10 Ödev 10

x

Ödev 11 Ödev 11

Ödev 12Ödev 12

Kenarortay 1Kenarortay 1

Va

22 2 2

a

2b

2c

a2 v b c

2

2 v2

2 v2

a2

2ax .........

AlıştırmaAlıştırma

Kenarortay 2Kenarortay 2

22 2 2

a

22 2 2

b

22 2 2

c

2 2 2a b c

2 2 2

a2 v b c

2b

2 v a c2c

2 v a b2

_________________

v v v 3a b c 4

AlıştırmaAlıştırma

2 2 2a) Va Vb Vc ?

b) Kenarortayları küçükten büyüğe sıralayınız.

Kenarortay 3Kenarortay 3

oa

amA 90 v

2

Muhteşem üçlü : BD = DC = AD, m(A)= 90o

22

2

2 2 22 2 2a b c

a b c2 2 2

a2Va

2Va

v v v 35v v v

4a b c

2 2 2 2 2 2a b cb c a b c , 5v v v

k

AG

BD DC

BC

2 2 2 2 2 2b c a b cv v v v v , 5a b c

AG

BD DC

BC

k

Alıştırma 1Alıştırma 1

17

Alıştırma 2Alıştırma 2

a) A ile K noktaları arasındaki uzaklık ?

b) x2 + y2 = ?

Kenarortay 4Kenarortay 4

Köşeleri A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgensel bölgenin ağırlık merkezi G(x0, y0) ise;

A

B CD

EG

D noktasının koordinatları:

G noktasının koordinatları:

1 2 30

1 2 30

x x xx

y y yy

AlıştırmaAlıştırma

O

x

yA

B

G

AOB üçgensel bölgenin ağırlık merkezi G(6,8) olduğuna göre,

2 2a) AG GB ?

b) A noktası ile B noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Ödev 1Ödev 1

Ödev 2Ödev 2

Ödev 3Ödev 3

Ödev 4Ödev 4

Ödev 5Ödev 5

Ödev 6Ödev 6

Ödev 7Ödev 7

Ödev 9Ödev 9

Ödev 10Ödev 10

Ödev 11Ödev 11

Ödev 12Ödev 12

Ödev 13Ödev 13

YükseklikYükseklik

Herhangi bir üçgenin yükseklikleri tek noktada kesişir , bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.

Verilen üçgenlerde ha, hb ve hc yükseklik uzunluklarını ve diklik merkezlerini gösteriniz.Köşelerinin koordinatları verilen üçgenin yüksekliklerinden birini hangi yöntemleri kullanarak bulabilirsiniz. Tartışınız.

Araştırma – İnceleme Araştırma – İnceleme

b

a

b'��������������

b ab' a

a a

b vektörünün a vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü b’ vektörü ise

Köşelerinin koordinatları verilen bir üçgenin, dikme ayaklarının koordinatlarının bulunması için kullanılabilir. İki nokta arasındaki uzaklık ile yükseklikler de bulunabilir.

AlıştırmaAlıştırma

Köşeleri A(1, 2), B(3, 4), C(4, 1) olan ABC üçgeninin C noktasından çizilen yüksekliğin dikme ayağı D ve diklik merkezi H noktasıdır.

a)D dikme ayağının koordinatlarını bulunuz.

b)[CD] yüksekliğinin uzunluğunu bulunuz.

c)Bu üçgenin yüksekliklerinin tek noktada kesiştiğini göstermek için hangi adımların yapılması gerektiğini söyleyiniz.

Üçgensel bölgenin alanıÜçgensel bölgenin alanı

Üçgenin alanı denildiğinde, üçgensel bölgenin alanı düşünülür.

Üçgen alanı = (taban x yükseklik) / 2

Üçgen alanı = dikdörtgen alanı / 2

Üçgen alanı = paralelkenar alanı / 2

Temel alan formülü ve yorumları 1Temel alan formülü ve yorumları 1

ha

a

A

B C

a b cah bh chA(ABC)

2 2 2

a b c

b c a b c

b c a b c

2s 2s 2sA(ABC) s a , b , c

h h h

b c a b c

2s 2s 2s 2s 2sh h h h h

1 1 1 1 1h h h h h

Alıştırma Alıştırma

Bir ABC üçgeninde, ha = 3 cm, hb = 4 cm olduğuna göre hc nin değer aralığı nedir?

Temel alan formülü ve yorumları 2Temel alan formülü ve yorumları 2

1) Yükseklik ve tabanları aynı olan üçgenlerin alanları da eşittir.

2) Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşittir.

A B

CD

E

A(DAB) A(CAB)

A(ADC) A(BDC)

A(EAD) A(EBC)

A(ABD) mA(ADC) n

A(ABD) mA(ABC) m n

A

B CDm n

Alıştırma 1Alıştırma 1

510

Taralı alanı =?

Alıştırma 2Alıştırma 2

Alıştırma 3Alıştırma 3

Sinüs alan ve yorumlarıSinüs alan ve yorumlarıA

B C

1A(ABC) acsinB

2

a

c

A

B C

D

Emn

TA m nA b c

A

B C

D

Emn

p

r s

t

TA m r t p s nA a b c

Alıştırma 1Alıştırma 1

Alıştırma 2Alıştırma 2

Alıştırma 3Alıştırma 3

paralelkenar a3a

4b

3b

7b

s1

s2

1

2

s?

s

Heron alan formülüHeron alan formülüA

B C

A(ABC) u(u a)(u b)(u c)

a b cu

2

a

cb

Kenar uzunlukları 5, 6 ve 7 cm olan üçgenin alanını bulunuz.Örnek

Alan formülü ile R nin bulunuşuAlan formülü ile R nin bulunuşu

Kenar uzunlukları 5, 6 ve 7 cm olan üçgenin çevrel çember yarı çapını bulunuz.

Örnek

A(ABC) sabc

S4R

Alan formülü ile r nin bulunuşuAlan formülü ile r nin bulunuşu

Kenar uzunlukları 5, 6 ve 7 cm olan üçgenin iç teğet çemberinin yarı çapını bulunuz.

Örnek

A(ABC) s

S u r

a b cu

2

Ödev 1Ödev 1

Ödev 2Ödev 2

Ödev 3Ödev 3

Ödev 4Ödev 4

Ödev 5Ödev 5

ABC üçgeninde ha = 6 cm, Va = 8 cm olduğuna göre, nA hangi aralıkta değer alır?

Ödev 6Ödev 6

Ödev 7Ödev 7

Ödev 8Ödev 8Köşeleri A(-4, 3), B(0, -2), C(-3, 0) olan üçgenin [BC]

kenarına ait yükseklik ayağının koordinatları toplamı

kaçtır?

ABC üçgeninin [BC] kenarına ait yükseklik ayağı H noktasıdır.

BA=(2,6) ve BC=(8,0) olduğuna göre,H noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

����������������������������

Ödev 9 Ödev 9

Ödev 10 Ödev 10

Ödev 11 Ödev 11

Ödev 12 Ödev 12

Ödev 13 Ödev 13

Ödev 14 Ödev 14

A

B C

D

E31

1

2 2

5

Ödev 15 Ödev 15

dikdörtgen

paralelkenar

Karnot teoremiKarnot teoremi

A B C AC' A' B'

C' AB,B' AC,A' BC

2 2 2 2 2 2AC' C'B BA' A'C CB' B'A 0

Bir üçgende kenar doğrularından çıkılan dikmelerin tek noktada kesişmesi için gerek ve yeter şart:

Alıştırma 1Alıştırma 1

Üçgenlerin kenar orta dikmeleri tek noktada kesişir, bu nokta çevrel çember merkezidir.

a/2 a/2

b/2

b/2c/2

c/2

?2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

AC' C'B BA' A'C CB' B'A 0

c c a a b b0

2 2 2 2 2 2

Alıştırma 2Alıştırma 2

Üçgenlerin açıortayları tek noktada kesişir, bu nokta iç teğet çember merkezidir.

?2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

AC' C'B BA' A'C CB' B'A 0

n n m m p p 0

Alıştırma 3Alıştırma 3

Üçgenlerin yükseklikleri tek noktada kesişir. Bu nokta diklik merkezidir.

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

AK x n y t

BK z p x m

CK y s z r

____________

n p s t m r

n m p r s t 0

AC' C'B BA' A'C CB' B'A 0

Alıştırma 4Alıştırma 4

Bir üçgenin iki dış açıortayı ile diğer iç açıortayı tek noktada kesişir. Bu nokta dış teğet çember merkezidir.

2 2 2 2 2 2

AC' B'A

C'B BA'

A'C CB'

AC' C'B BA' A'C CB' B'A 0

Alıştırma 5Alıştırma 5

Genel karnot teoremiGenel karnot teoremiA1A2A3A4A5 …An herhangi bir çokgen olmak üzere, çokgen düzleminde alınan

bir noktadan sırasıyla ardışık A1A2, A2A3, A3A4, …AnA1 kenar doğrularına inilen

dikme ayakları A’1, A’2, A’3, …, An ise 22 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2 2 3 n n n 1A A' A' A A A' A' A ... A A' A' A 0

Bu bağıntı sağlanıyorsa A’1, A’2, A’3, …, An noktalarından çıkılan dikmeler tek noktada kesişir.