un esquema de control adaptativo robusto para seguimiento...
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Un Esquema de Control Adaptativo Robusto para
Seguimiento de Sistemas No Lineales con Incertidumbre
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Autor: Janeyra del C. Colls Ojeda
Profesor Tutor: Miguel Ríos Bolívar
Proyecto de Grado presentado ante la Ilustre Universidad de Los Andes cómo
requisito final para optar al título de Ingeniero de Sistemas
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
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(Noviembre, 2000)
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A mi tutor, Prof. Miguel Ríos Bolívar por haberme dado la oportunidad de
desarrollar este proyecto de grado, cumpliendo con mi último requisito para optar al título
de Ingeniero de Sistemas, además de poder expandir mis conocimientos en la especialidad
de control.
Al Prof. Pablo Lischinsky, por la receptividad ofrecida en la autorización para
utilizar el Laboratorio de Simulación Digital (115).
A Solben Godoy, siempre presente, su ayuda incondicional estuvo en todo
momento.
A Carlos Cadenas, los detalles hacen grandes logros, tu apoyo nunca falta.
A Alfredo Cruz, por su gran ayuda, siempre en el momento más oportuno.
A la Sra. Eduviges, del Departamento de Control por toda su paciencia, apoyo y
ayuda.
A mi Madre, Padre, Luddy y Ana Karina, por la paciencia, el amor, el apoyo y los
recursos para poder realizar este proyecto.
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RREESSUUMM EENN
En este proyecto se presenta un esquema de control adaptativo robusto para sistemas
no lineales inciertos, vía linealización exacta. Usando este esbozo, se conocen los límites de
acotamiento de los estados y se logra el seguimiento de la salida adaptativa del sistema en
lazo cerrado, que es el objetivo principal.
Para el desarrollo del esquema, se consideran sistemas no lineales de una entrada y
una salida con incertidumbre. Basados en el Teorema de Frobenius, se define el grado
relativo y la transformación del sistema en la forma canónica normal. Se estiman los
estados y con ellos se diseña un observador de estado. Se obtiene la dinámica del error
normalizada y, con la función de Lyapunov, la ley adaptativa robusta es hallada.
Finalmente, con la función deseada para el seguimiento, se obtiene el control v.
Se desarrollan dos ejemplos, usando este esbozo; para probar su utilidad. Estos
ejemplos son sistemas no lineales que presentan tanto parámetros constantes desconocidos
como dinámicas no modeladas.
Los ejemplos son simulados mediante el programa Matlab y, de esta manera, se
obtienen los resultados de la ejecución del esquema de control diseñado.
Descriptores
1. Sistemas de Control Adaptativo – Investigaciones
2. Controladores Robusto Adaptativo – Investigación
3. Sistemas, No Lineales.
* TJ217
C6
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TTAABBLL AA DDEE CCOONNTTEENNII DDOO
Introducción 1
CAPÍTULO I. MARCO TEÓRICO 4
Introducción 4
1.1 Sistemas No Lineales 5
1.2 Incertidumbre 7
1.3 Control Adaptativo 10
1.4 Control Robusto 13
1.5 Control Adaptativo Robusto 17
CAPÍTULO II. ESQUEMA DE CONTROL ADAPTATIVO ROBUSTO � 21
Introducción 21
2.1 Esquema de Linealización por Realimentación Exacta 22
CAPÍTULO III. APLICACIONES Y ANÁLISIS DE RESULTADOS 30
Introducción 30
3.1 Ejemplo 1. “Control de un Robot Rígido” 31
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Respuestas de las Simulaciones 42
Análisis de Resultados 52
3.2 Ejemplo 2. “Depósito con Regulación de Temperatura” 53
Respuestas de las Simulaciones 64
Análisis de Resultados 69
CAPÍTULO IV. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 70
REFERENCIAS 73
APÉNDICE A 77
A.1 Controlabilidad 77
A.2 Observabilidad 77
A.3 Condición de Controlabilidad Completa de Estado 78
A.4 Condición de Observabilidad Completa de Estado 79
A.5 Observadores de Estado 79
A.6 Observadores de Luenberger 80
A.7 Observadores de Orden Reducido 82
A.8 Forma Canónica Controlable o Controlador de Brunovsky 86
APÉNDICE B 87
B.1 Linealización Exacta 87
B.2 Pasos del Método del Control Calculado 87
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B.3 Campo Vectorial 89
B.4 Derivada Direccional o Derivada de Lie 90
B.5 Corchete de Lie 91
B.6 Teorema de Frobenius 91
B.7 Transformación de Sistemas No Lineales a la Forma Canónica Controlable 92
B.8 Difeomorfismo 93
B.9 Linealización de Entrada Salida 93
B.10 Dinámica de los Ceros 94
B.11 Grado Relativo r 95
B.12 Caracterización de la Linealización Entrada Salida de un Sistema No Lineal 96
B.13 Forma Canónica Normal 98
ANEXO 1 101
Programas Realizados en Matlab
Robot Rígido. Observador 1
Robot Rígido. Observador 2
102
102
106
Programa Realizado en Matlab
Depósito con Regulación de Temperatura.
111
111
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LL II SSTTAA DDEE FFII GGUURRAASS
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Seguimiento de la función deseada por la salida /"�
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��������%!������������!��� �� /2�
A-1 Observador dinámico de Estado 1��
�4�'���5��#������ ��� !����!�#����� �� ��67������ �� 1��
A- 3 Esquema de un Observador de orden reducido 1"�
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II NNTTRROODDUUCCCCII OONN
Las investigaciones del control adaptativo robusto tienen una larga historia y una
intensa actividad:
Antecedentes
A principio de los años 50, el diseño de pilotos automáticos de aviones para altos
desempeños, motivó un intenso desarrollo del estudio de control adaptativo.
Los años 60 se convirtieron en el periodo más importante en el desarrollo de la
teoría de control y en particular el desarrollo del control adaptativo. Técnicas del espacio de
estado y teorías de estabilidad basadas en Lyapunov fueron introducidas. La identificación
de sistemas y la estimación de parámetros jugaron un papel crucial en la reformulación y el
rediseño del control adaptativo. En 1966, Parks y otros [5], encontraron un rediseño
establecido en las leyes adaptativas, basadas en el esquema del modelo de referencia del
control adaptativo que nació a finales de los 50, con aplicación del enfoque del modelo de
Lyapunov. Los avances de los 60 mejoraron la comprensión del control adaptativo y
contribuyeron a fortalecer y renovar el interés en este campo en los años 70.
En los 70, el esquema del modelo de referencia del control adaptativo, usando el
enfoque de diseño de Lyapunov, fue desarrollado y analizado. Los conceptos de pasividad e
hiperestabilidad, fueron usados para el crecimiento de una amplia clase de esquemas del
control adaptativo, con propiedades de estabilidad bien establecidas. Este éxito, llevó a
controversias que surgieron sobre la practicabilidad del control adaptativo.
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El comportamiento no robusto del control adaptativo motivó muchas discusiones a
principio de los 80, en donde más ejemplos de inestabilidades fueron publicados,
demostrando la falta de robustez en presencia de las dinámicas no modeladas y de la
ausencia de límites de perturbación. A mediados de los 80 se propuso y analizó un nuevo
diseño basado en el control adaptativo robusto, este trabajo continuó durante todo el resto
de los años 80 y unificó varios modelos robustos bajo una estructura general.
Las investigaciones del control adaptativo robusto, a finales de los 80 y principio de
los 90, se realizaron sobre la ejecución de propiedades y los resultados extendidos para
cierta clase de sistemas no lineales con parámetros desconocidos y dinámicas no
modeladas. Estos esfuerzos llevaron a una nueva clase de modelo de referencia para el
diseño del control adaptativo robusto, motivados desde la teoría de sistemas no lineales
inciertos. [3]
Hoy en día, las exploraciones del control adaptativo robusto siguen generando
diferentes esquemas para el tratamiento de sistemas no lineales inciertos.
Los sistemas reales son, por lo general, de origen no lineal, de aquí la importancia
de su estudio para poder llegar a la solución de dichos sistemas.
Debido a la dificultad matemática aunada a estos sistemas no lineales, es necesario
realizar una linealización, que, en este caso, es la linealización exacta que nace del enfoque
geométrico. El presente proyecto se desarrolla en cuatro capítulos como sigue:
�� El capítulo I presenta la teoría para una mejor comprensión del control adaptativo
robusto y, de esta manera, poder ejecutar la ley de control para el seguimiento deseado.
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Conceptos como: control adaptativo, control robusto, control adaptativo robusto,
incertidumbre, etc., son presentados de manera sencilla.
�� El capítulo II expone el esquema o la metodología que se utilizará para el diseño del
control adaptativo robusto, donde se considera un sistema no lineal incierto que se
linealiza exactamente llevándolo a la forma canónica normal y, a este sistema
equivalente, se le propone un control. Se estiman los estados desconocidos,
construyendo un observador de estado. Se diseña la ley adaptativa robusta y la ley de
actualización de parámetro usando una función de Lyapunov y, finalmente, se alcanza
el seguimiento de la salida adaptativa robusta por colocación de polos mediante la
entrada de control.
�� El capítulo III muestra el desarrollo de dos ejemplos para probar el esquema presentado
en el capítulo anterior. Se simulan en computadora bajo el programa Matlab y sobre las
ejecuciones se realiza el análisis.
�� Finalmente, en el capítulo IV se llega a las conclusiones y recomendaciones.
Se introducen dos apéndices con aspectos teóricos, que puede servir al lector para
recordar la teoría básica de control. El apéndice A presenta conceptos como:
controlabilidad, observabilidad, observadores, etc. El apéndice B se dedica exclusivamente
a los conceptos que envuelve la linealización exacta, que es la herramienta utilizada en el
esquema para obtener el sistema equivalente. Al final un Anexo con los programas de los
ejemplos en Matlab.
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CCAAPPÍÍ TTUULL OO II
MM AARRCCOO TTEEÓÓRRII CCOO
Introducción
Se presenta a continuación la teoría que está íntimamente ligada con el desarrollo
del control adaptativo robusto. Tomando estos conceptos como base, en el capítulo
siguiente se desarrolla un esquema de diseño.
Esta teoría se considera indispensable para el diseño de diferentes esbozos de
modelos de referencia del control adaptativo robusto, se inicia definiendo los sistemas no
lineales, luego: seguimiento de funciones, incertidumbre, tipos de incertidumbre
(Paramétrica y No Paramétrica), control adaptativo, control robusto, robustez; para, al final,
unir estos conceptos y de esta forma obtener un concepto de control adaptativo robusto.
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SISTEMAS NO LINEALES
Un sistema no lineal no admite la aplicación del principio de superposición. Por
tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando
cada una por separado y sumando los resultados. [4]
Aunque muchas relaciones físicas se representan a menudo mediante ecuaciones
lineales, en la mayoría de los casos las relaciones reales no son verdaderamente lineales.
Algunos ejemplos de curvas características para no linealidades aparecen en la
figura 1-1. [4]
������ �� ����� ��� ������� �� ���� �������� �� ������������
En general, los procedimientos para encontrar las soluciones a problemas que
involucran tales sistemas no lineales son muy complicados. Debido a la dificultad
matemática aunada a los sistemas no lineales, resulta necesario introducir los sistemas
“equivalentes” en lugar de los no lineales. Tales sistemas lineales equivalentes sólo son
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válidos para un rango limitado de operación. Una vez que se aproxima un sistema no lineal
mediante un modelo matemático lineal, pueden aplicarse varias herramientas lineales para
el análisis y diseño.
LINEALIZACION DE SISTEMAS NO LINEALES
En la ingeniería de control, una operación normal del sistema puede ocurrir
alrededor de un punto de equilibrio, y las señales pueden considerarse señales pequeñas
alrededor del equilibrio. Con estas condiciones, es posible aproximar el sistema no lineal
mediante un sistema lineal. Tal sistema lineal es equivalente al sistema no lineal
considerado, dentro de un rango de operación limitado. [4]
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INCERTIDUMBRE
Los modelos matemáticos de sistemas prácticos contienen, generalmente,
incertidumbres que pueden surgir de un conocimiento impreciso de los parámetros y/o
perturbaciones, o de la escogencia a priori de una representación simplificada de la
dinámica del sistema. [6]
El término incertidumbre es referido a la diferencia o el error entre los modelos y la
realidad, y cualquier mecanismo usado para expresar estos errores será llamado una
representación de incertidumbre. Las representaciones de incertidumbre varían,
primordialmente, en términos del tipo de estructura que contienen. Esto refleja que tanto
nuestro conocimiento de los mecanismos físicos como nuestra habilidad de representar
estos mecanismos causan diferencias entre el modelo y la planta. [10]
TIPOS DE INCERTIDUMBRE
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Incertidumbre Paramétrica (Estructurada)
Son las imprecisiones en la modelación, debido a incertidumbre en los términos
incluidos en el modelo matemático, es decir, se conoce la estructura del modelo pero se
desconocen los valores de parámetros. [6]
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El conjunto de parámetros que son completa o parcialmente desconocidos, pueden
conformar un vector de parámetros inciertos:
� = � �p��� ,...,, 21
La dependencia de un modelo en espacio de estados, con respecto al vector de parámetros
desconocidos � , se escribe en la siguiente forma:
)(
)()()(1
xhy
uxgxfxfxp
iii
�
��� ��
��
Incertidumbre No Paramétrica (No Estructurada)
Son las imprecisiones en el orden del sistema, es decir, los errores genéricos que son
asociados con todo el modelo diseñado. [6]
Esta incertidumbre se caracteriza, generalmente, por un término funcional
desconocido en el modelo.
La magnitud de la incertidumbre se acota con cualquier función racional estable y
propia, que satisfaga: [7]
)()( xxf ���
La dependencia de un modelo en espacio de estados, con respecto a una dinámica no
modelada, se escribe de la siguiente forma:
)(
)()()(
xhy
xfuxgxfx
�
�����
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La incertidumbre en el modelado surge a consecuencia de dos circunstancias
distintas. La primera está relacionada a la linealización, (todo sistema físico es por
naturaleza no lineal), y la segunda es el hecho de limitar el orden de las ecuaciones
diferenciales, por razones de computabilidad, y se denomina incertidumbre dinámica.
[7]
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CONTROL ADAPTATIVO
Es un enfoque para el diseño de controladores para sistemas con incertidumbre. El
control adaptativo es empleado, generalmente, para plantas que contienen incertidumbre
paramétrica, sin información acerca de las cotas de variación de los parámetros. [6]
En el problema de diseño de controladores adaptativos no lineales se asume,
generalmente, que los parámetros desconocidos entran linealmente en las ecuaciones
dinámicas del sistema, y que todo el vector de estado está disponible para la realimentación.
La mayoría de los resultados de control no lineal adaptativo, han sido obtenidos para
plantas de la forma:
� �� �
�
��
����
p
i
p
iiiii uggff
1 100 )()()()( ��������
donde � n�� es el estado
u �� es el control de entrada
i� es el vector de parámetros desconocidos � �Tp
.21 ,...,, ���
ii gf , son campos vectoriales suaves en un entorno del origen, i = 1,...,p.
El vector de parámetros de control es ajustado usando una señal medida del sistema
),,( tyg �� ��
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Un concepto importante asociado con el control de plantas con incertidumbre es el
siguiente:
CONDICIONES DE ACOPLAMIENTO
Decimos que un sistema satisface las condiciones de acoplamiento, si tanto la
incertidumbre como el control aparecen en la misma ecuación dinámica. El diseño de un
controlador adaptativo para un sistema acoplado es bastante directo. [6]
Por Ejemplo, dado un sistema de la forma:
)( 12
21
xux
xx
����
�
�
� )(ˆ
12211 xxkxku ������
donde �̂ es una estimación del parámetro desconocido. El sistema es transformado a:
� ��� ˆ)( ��� xWAxx�
con �
��
���
21
10
kkA , �
��
�
)(
0
1xW
�
Esta forma sugiere el diseño de una ley de actualización de parámetros, basada
en un resultado de control adaptativo lineal. Esta ley de actualización es:
PxxW T)(ˆ ���
donde 0�� TPP es seleccionada para satisfacer: IPAPA T ���
La estabilidad del equilibrio se establece chequeando la derivada de la función de
Lyapunov:
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� �2�̂� ��� PxxV T
la cual es: 02��� xV� a lo largo de las soluciones del sistema en lazo cerrado. Desde
aquí, la linealización realimentada del sistema puede ser lograda para todo x y � . Las
características de estabilidad resultantes, son globales. [2]
Un concepto asociado con las condiciones de acoplamiento es el nivel de
incertidumbre, el cual indica, el número de integradores que separan la incertidumbre del
control.
Decimos que un sistema satisface las condiciones de acoplamiento extendidas
cuando el nivel de incertidumbre es uno, es decir la incertidumbre está separada del control
por un integrador solamente. La principal ventaja de los esquemas basados en las
condiciones de acoplamiento extendido, es la propiedad de que su estabilidad puede ser
establecida independientemente del tipo de no linealidades. [6]
Para sistemas con nivel de incertidumbre mayor o igual a dos, los esquemas
desarrollados para los sistemas que cumplen las condiciones de acoplamiento extendido, no
pueden aplicarse. El esquema backstepping adaptativo [6], removió este obstáculo
estructural y permitió que el diseño basado en Lyapunov se aplique a varias clases de
sistemas no lineales con incertidumbre no acoplada. [2]
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CONTROL ROBUSTO
El control robusto es empleado, generalmente, para plantas que contienen
incertidumbre no paramétrica.
Frecuentemente, la incertidumbre de un parámetro iq puede describirse por sus
cotas inferior y superior, �iq y �
iq Escribimos:
� ���� iii qqq ,
este es llamado intervalo de parámetro.
La misión del un control robusto, es reducir los efectos de incertidumbres no
modeladas y de perturbaciones, que actúan sobre la planta.
En enfoques comunes de diseño de un controlador robusto se utiliza un modelo
linealizado. Es importante que este control se diseñe de forma tal, que las suposiciones
hechas en la linealización no sean violadas.
En el control robusto, los parámetros son tratados como valores constantes pero
desconocidos, de los cuales sólo se conocen las cotas inferior y superior.
CONSIDERACIONES DE DISEÑO PARA EL CONTROL ROBUSTO
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Es un hecho bien conocido que la realimentación reduce el efecto de perturbaciones
y modera los errores de modelado, o los cambios de parámetros en el desempeño de un
sistema de control. Sin embargo, ante la presencia de perturbaciones y ruido en el
sensor, sí pretendemos diseñar sistemas de control de alto desempeño, deben incluirse las
siguientes consideraciones en los pasos del diseño, [4]:
1. Desempeño del seguimiento (reducir el error de seguimiento).
2. Rechazo a perturbaciones (reducir la salida y para una entrada de perturbación). El
grado de rechazo a perturbaciones se expresa mediante el cociente entre la función de
transferencia en lazo cerrado con la perturbación y la salida.
3. Sensibilidad ante los errores en el modelado (reducir la sensibilidad). La diferencia
entre la dinámica de la planta real y la dinámica de un modelo, se denomina error de
modelado. Los errores de modelado ocurren por alguna de las razones siguientes:
a. Características no consideradas de la planta.
b. Características de alta frecuencia de la planta no consideradas.
c. La precisión de los parámetros no es suficientemente buena
d. Las características de la planta cambian con el tiempo.
4. Margen de estabilidad (Establecer una estabilidad robusta). Una cuestión importante es
cómo afecta la estabilidad de los sistemas de control, los errores en el modelado. La
estabilidad del sistema de control con realimentación se determina mediante la
condición de sí la función de transferencia, en lazo abierto, satisface el requerimiento de
la condición de estabilidad de Nyquist.
5. Sensibilidad a ruido en el sensor (reducir la sensibilidad).
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En el control robusto se agrega la hipótesis más realista de suponer desconocimiento
sobre la forma de la perturbación. Además tenemos el desconocimiento en la
representación matemática de la planta, es decir, incertidumbre y denotamos como � .
En particular se trabaja con un modelo nominal y una � desconocida pero acotada, de
modo que ambos (modelo e incertidumbre), generen una familia de infinitos modelos
matemáticos. La estabilidad del modelo central se llamará estabilidad nominal y la de la
familia de modelos estabilidad robusta. [7]
BASES SOBRE LAS QUE SE FUNDAMENTA LA TEORIA DE CONTROL
ROBUSTO
Se exponen a continuación tres puntos importantes
para el desarrollo de una teoría de control que tenga
como objetivo primordial la aplicación. [[77]]
Hipótesis Realistas
Esto es fundamental en la teoría robusta de control, ya que conecta simulación y
experimentación. En términos concretos, consiste en que las restricciones que se asumen
como hipótesis del problema sean lo más amplias posibles, lo que las hará mas realistas.
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�
Conclusiones Fuertes
Deseamos obtener condiciones necesarias y suficientes, es decir condiciones
equivalentes que se puedan comprobar o implementar sobre lo que deseamos del sistema de
control: estabilidad y ejecución. Las condiciones fuertes (necesarias y suficientes) nos dicen
que cualquier controlador que las satisfaga asegura la estabilidad robusta.
Computabilidad
Las condiciones obtenidas del desarrollo teórico deben ser computables, del mismo
modo que el control debe ser representado matemáticamente en una computadora, de modo
de poder ser implementado en la fase final de experimentación.
ROBUSTEZ
Es asegurar la estabilidad a lazo cerrado, ante variaciones en el modelo de lazo
abierto. [7] La robustez está ligada al tipo de incertidumbre en el modelo.
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�
CONTROL ADAPTATIVO ROBUSTO
Un control adaptativo es definido como robusto, si este garantiza límites de las
señales, en presencia de los efectos de clases razonables de dinámicas no modeladas y
perturbaciones. [[33]]
MODELO DE REFERENCIA DEL CONTROL ADAPTATIVO
ROBUSTO
En presencia de perturbaciones y/o dinámicas no modeladas, los
esquemas de control adaptativo pueden ser inestables. A estos esquemas se
les asegura robustez modificando las leyes del control adaptativo, con
condiciones necesarias y suficientes que garanticen la estabilidad robusta.
Para aquellos esquemas que no son normalizados, estas modificaciones
garantizan la existencia de una región de atracción en la cual, todas las
señales son limitadas y el error de seguimiento converge a cero, o valores
muy cercanos a cero. Para los esquemas con normalización, la región de
atracción se vuelve el espacio total. Esto se logra, suministrando una señal
normalizada especial, que se usa para limitar todos los términos anteriores
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�
surgidos por el error de modelado. Esta limitación debe ser pequeña, en un
rango de frecuencia larga. [3]
Actualmente, se han desarrollado nuevos esquemas de diseño de controles
adaptativos robusto, no sólo para sistemas de una entrada y una salida, sino para sistemas
multivariables. Este y otros avances pueden ser vistos en [11] y [12].
ESQUEMAS NORMALIZADOS
Esta clase de esquemas domina la literatura del control adaptativo, debido a la
simplicidad de su diseño, así como a sus propiedades de robustez en presencia de los
errores del modelado.
Las leyes adaptativas, de este tipo de esquema, son manejadas con una señal de
error normalizada, que lentamente logra la adaptación y mejora la robustez, con respecto a
las incertidumbres de la planta. [3]
Por esta razón, las leyes adaptativas son referidas como leyes adaptativas robustas
normalizadas.
En el esquema de control adaptativo robusto del presente proyecto se utiliza la
normalización de la señal del error.
ESQUEMAS DE UN CONTROL ADAPTATIVO ROBUSTO
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�
Cuando algunos de los parámetros de un modelo son desconocidos, el control u de
entrada no puede ser calculado y tampoco una estructura de control puede ser
implementada. Un enfoque, para el caso de parámetros desconocidos, es el uso de las
mismas leyes de control de un sistema con parámetros conocidos. [2] Reemplazando el
controlador de parámetros desconocidos, con sus estimados, obtenidos por medio de la
técnica de identificación de parámetros. Esta aproximación es llamada Equivalencia de
Certidumbre, y ha sido ampliamente usada en el diseño de esquemas de control adaptativo.
Existen dos clase de esquemas de control adaptativo para el controlador de parámetros
estimados, llamados:
�� Control Adaptativo Robusto Directo
�� Control Adaptativo Robusto Indirecto.
Control Adaptativo Robusto Directo
El control de entrada u apropiado, es obtenido con los siguientes pasos [2]:
Paso 1: Derivamos la ley de control que puede conseguir el objetivo del control, cuando la
planta presenta parámetros desconocidos. Este paso demuestra que hay suficiente
flexibilidad estructural en la planta en lazo cerrado, que nos permite hallar el objetivo de
control.
Paso 2: Usamos una ley de control igual como en el paso 1, pero reemplazamos los
parámetros del controlador por sus estimados, generados por la ley adaptativa. Este control
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�
�
obtenido es llamado directo, por la simple razón de que el control de parámetros es hallado
directamente, sin una información explícita sobre los parámetros de la planta.
Paso 3: Analizamos que el esquema de control adaptativo obtenido en el paso 2 y
mostramos que el objetivo de control se logra.
Control Adaptativo Robusto Indirecto
En el control adaptativo robusto directo, el control para las plantas con parámetros
desconocidos se realiza por estimación directa. Un método alternativo, es la estimación de
parámetros de la planta en línea y usándolos para el cálculo del controlador en cada tiempo
t. [2] El esquema que se deriva con este método es conocido, normalmente, como control
adaptativo indirecto, porque la evaluación del controlador de parámetros es desarrollado
indirectamente con el modelo de la planta estimada.
Paso 1: Derivamos una ley de control que puede ser usada para obtener el objetivo de
control, como si la planta tuviera parámetros conocidos.
Paso 2: Proponemos una ley de control como en el paso 1, pero con un controlador de
parámetros calculado para cada tiempo t, con los parámetros estimados de la planta,
generados con la ley adaptativa.
Paso 3: Analizamos el esquema de control obtenido en el paso 2 y mostramos que el
objetivo de control se logra.
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�
�
En la literatura sobre el control adaptativo, los esquemas indirectos más comunes
son: El esquema de control adaptativo por colocación de polos y el esquema de control
adaptativo cuadrático lineal (LQ), [2].
�
ULA
�
�
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
EESSQQUUEEMMAA DDEE CCOONNTTRROOLL AADDAAPPTTAATTIIVVOO RROOBBUUSSTTOO
�
Introducción
En este capítulo se muestra un esquema de control adaptativo robusto normalizado,
para el seguimiento de sistemas no lineales inciertos.
Un esquema de control adaptativo no lineal puede promover inestabilidades del
sistema y fenómenos de fluctuación de parámetros. Para eliminar estos problemas del
control adaptativo, éste se hace robusto. La mayor atención de este esbozo es encontrar la
solución al problema de lograr el seguimiento de la función deseada, por la salida, para
sistemas no lineales que presentan los dos tipos de incertidumbre: paramétrica (parámetros
constantes desconocidos), y no paramétrica (dinámicas no modeladas), con una
linealización realimentada de entrada-salida exacta.
�
ULA
�
�
2.1 ESQUEMA DE LINEALIZACION POR REALIMENTACION
EXACTA
En este trabajo consideramos sistemas no lineales de una entrada y una
salida con incertidumbre, de la forma:
)(
),(),(
xhy
uxgxfx
�
�� ��� (1)
donde 0),( ��xg
nx �� , es el vector de estados.
��u , es el control de entrada.
��y , es la salida.
p��� , es el vector de parámetros desconocidos.
)(xh es una función no lineal (campo suave) ���n .
f y g son campos vectoriales suaves.
Se asume que el vector de parámetros desconocidos es constante, es decir, �
aparece linealmente, mientras el campo vectorial f es afectado por la dinámica no modelada
( f� ).
Los campos vectoriales f y g quedan entonces:
ULA
�
�
�
�
�
�
�
���
p
iii
p
iii
xgxg
xfxfxf
1
1
)(),(
)()(),(
��
��
(2)
con i� los parámetros desconocidos constantes y ii gf , funciones no lineales de campos
suaves ���n , i = 1,...,p.
2.1.1 OBJETIVO
�
El objetivo principal es diseñar un control no lineal realimentado, para obligar a la
salida y(t) a seguir aproximadamente la señal deseada o de referencia )(tym y, además debe
satisfacer:
myi
my ��)( , i = 0,1,...,r (3)
donde 0�my� y r es el grado relativo.
La ley de control y la ley de actualización de parámetro deben diseñarse en un
dominio local de los estados x y los parámetros estimados. Con esta condición, el campo
vectorial f de la ecuación (2) queda como:
��
�p
iii xfxf
1
)(ˆ)ˆ,( ��
ULA
�
�
Además se supone que 0)( �� exf y 0)( �exh , donde ex es el punto de equilibrio
para el dominio local requerido. Entonces con �� ,ˆ y el Teorema de Frobenius, se define el
grado relativo y el difeomorfismo local para (1) en )()( exUU �� � � , como sigue:
Grado Relativo:
0)(
20,0)(
1
)ˆ,()ˆ,(
)ˆ,()ˆ,(
�
����
� xhLL
rixhLL
r
xfxg
i
xfxg
��
�� (4)
Difeomorfismo:
� �
T
nr
xz
i
xf
TrixhL
i
���
�
�
���
�
�
���
� ����
�
�,...,,...,1,)(,ˆ 1
)ˆ,(ˆ
1
)ˆ,(�����
(5)
Donde )()( xbL xa denota la derivada direccional o derivada de Lie de la función escalar
suave )(xb , respecto al campo vectorial suave )(xa , [VER APÉNDICE B]
Con los supuestos anteriores, la dinámica normal basada en (4) y (5) está dada
por el teorema siguiente:
TEOREMA 2.1
ULA
�
�
Si existe una región )()( exUU �� � � , tal que las propiedades (4) y (5) se satisfacen,
el sistema (1) realimentado de entrada-salida es linealizable exactamente, es decir:
1̂
),ˆ(
),ˆ,(ˆˆˆ
�
���
�����
�
�
��������
y
q
fxMWvBA ll
�
��
(6)
que no es otra que la forma canónica normal [VER APENDICE B]
Donde � �ll BA , adopta la forma canónica del controlador de Brunovsky [VER
APENDICE B]
�� ˆ��� , �
�
ˆ
ˆ
�
��M
� � TrwwwW .
21 ,...,,�
� �� �,)(ˆ)ˆ,(1
1
)ˆ,()(��
����p
j
i
xfxfjji xhLLxwj �
��� i = 1,...,r-1
� �� ���
�� ����p
j
r
xfxgr
xfxfjjr xhLuLxhLLuxwjj
1
1
)ˆ,()(1
)ˆ,()( )()(ˆ)ˆ,,(��
���
� � Trfx .
21 ,...,,),ˆ,( ����� ������
),(),ˆ,( 1
)ˆ,(xhLLfx k
xffk�
����
��� k = 1,...,r
� �),ˆ(ˆ),ˆ(ˆ
1��
��Bv
Au �� (7)
Donde ),(),ˆ(ˆ 1
)ˆ,()ˆ,(xhLLA r
xfxg
����
�� )(),ˆ(ˆ)ˆ,(
xhLB r
xf ��� �
DEMOSTRACION
ULA
�
�
Definiendo a ��
�p
iii xfxf
1
)(ˆ)ˆ,( �� y usando las condiciones de (4), el siguiente
resultado es obtenido por diferenciación de y con respecto a t:
� �� �����������
�
12
)()(ˆ)(ˆ)(
1)(
ˆ
)ˆ,(1
��
����
�
�
�
���� � xhLxhLxhL xf
p
jxfjjxf j
(8)
El siguiente paso, sin embargo, por ser )(ˆ t� una función de tiempo, 2�̂�
es
dependiente de )(ˆ t� y también de la dinámica no modelada f� , es decir:
� �� ��� ��� ��
�
�����
�
23
)(ˆˆ
ˆ)(ˆ)(ˆ
)ˆ,()(1
2)ˆ,()(
ˆ
2
)ˆ,(2
�
��
�
��
�
����
�
�
�
� ��
����� xhLLxhLLxhL
xfxf
p
jxfxfjjxf j
(9)
Continuando esta operación de diferenciación sobre r, obtenemos de
0)(1
)ˆ,()ˆ,(�� xhLL r
xfxg �� en (4) que:
��
� ����p
jjj
r
xfxg
r
xfr uxhLLxhL1
1
)ˆ,()ˆ,()ˆ,()ˆ()()(ˆ ���
���
�
� �)()( 1
)ˆ,()(1
)ˆ,()( xhLuLxhLL r
xfxgr
xfxf jj
�� ���
�� ��� ��
�
r
xhLL r
xfxfr
�
��
�
�
�
�
��
�
�� )(ˆ
ˆ
ˆ1
)ˆ,()( (10)
Definimos ),(),ˆ(ˆ 1
)ˆ,()ˆ,(xhLLA r
xfxg
����
�� )(),ˆ(ˆ)ˆ,(
xhLB r
xf ��� � y usando la
transformación de la entrada (7), la dinámica normal (6) es obtenida finalmente.
ULA
�
�
OBSERVACION
El nuevo sistema incierto �� satisface la suposición de que 0)( �� ex� , de aquí
0)( �� exf . Si existen dos constantes positivas 1k y 2k tal que �̂1kx � y
xkxfx 2))(,ˆ,( ��� �� para todo )(ˆ �� �U� .
��� ˆ))(,ˆ,( 212 kkxkxfx ���� (11)
Ya que �̂ es un vector de variables inobservables, incluyendo a �̂ , estimamos ahora
a �̂ con un observador de estado, con el nuevo estado estimado � : [VER APENDICE A]
)0(ˆ)0(
)ˆ(ˆˆ
��
�����
�
����� AMvBA ll
�� (12)
dondeA es la matriz compañera, [VER APENDICE A], con coeficientes constantes i� ,
i = 0,...,p escogidos de manera que 01
1 ... �� ��� �
�
rr
r SS sea un polinomio Hurwitz
(Todos los polos del sistema se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo).
Esto implica que la dinámica del error es:
������ WsAs� (13)
donde �� ˆ��s . Como la estabilidad de (13) no puede asegurarse, se debe presentar la
dinámica del error normalizada, con una señal normal dada por: 2
2 ˆ1 ���m de �̂ . La
dinámica normalizada del error será entonces:
ULA
�
�
������ WsAs� (14)
donde m
ss � ,
m
WW � y
m
��
��� . Entonces para diseñar la ley adaptativa robusta
que establece la estabilidad con respecto a �� , la función de Lyapunov siguiente es
usada:
22),(
1������
�TT sPssV (15)
TEOREMA 2.2
Si se usa la ley adaptativa robusta
�� ˆˆ LsPW T ������
(16)
donde 0�� TPP con maxP � , la ecuación de Lyapunov IAPPAT ��� , 0���� T
es la matriz de ganancia adaptativa de dimensión p y L es una matriz que tiene señales
escalares 0)( �twi en la diagonal, i = 1,...,p, todos los estados en (13) y (14) se hacen
estables.
DEMOSTRACION
La opción más simple de )(twi es:
,)( svtw ii � i = 1,...,p
Donde 0�iv es una constante de diseño. Entonces la primera derivada respecto al
tiempo de ),( �sV , a lo largo de las trayectorias de (14) está dada por:
ULA
�
�
���������� � �� 1
2
1 TTTT PsWPsssV �
� ���� TTmax vvss �������� 2
2
1 (18)
Esto implica que para � ���� ���� maxTv
vVV 2
10 , 0�V� es decir, � , �̂ , s
son globalmente exponencialmente estables.
El seguimiento de la salida adaptativa robusta es finalmente alcanzado por la
colocación de polos mediante el control:
)(...)( 10)1(
1)( ���� ������ �
� mrr
mrr
m yyyv (19)
Suponiendo que la dinámica de los ceros ),0( �q es exponencialmente localmente
estable.
Este es el esquema (metodología) usado en el presente proyecto, del cual
presentamos dos ejemplos o aplicaciones para dos tipos de sistemas en el capítulo siguiente.
ULA
�
�
�
CCAAPPÍÍ TTUULL OO II II II
AAPPLL II CCAACCII OONNEESS YY AANNAALL II SSII SS DDEE RREESSUULLTTAADDOOSS
�
Introducción
En este capítulo presentaremos dos ejemplos de sistemas no lineales inciertos, a los
cuales se les diseñará una ley de control adaptativo robusto. Utilizaremos el esquema
planteado en el capítulo anterior, tratando de esta manera de obligar a la salida de los
sistemas a seguir a la función deseada para cada uno de los ejemplos.
�
ULA
�
�
EJEMPLO 1. “CONTROL DE UN ROBOT RIGIDO”
Para mostrar la ejecución de un esquema de control no lineal realimentado, se
considera el siguiente sistema con una simple articulación de un robot rígido, con el
siguiente modelo en espacio de estado
1
12
21
1)cos(
xy
fuI
xx
xx
�
����
�
��
�
(1)
donde � es un parámetro desconocido. Se asume que su valor verdadero es 1. I es la
inercia del sistema. f� es la dinámica no modelada, correspondiente a
)cos()300cos(3.0 1xtf �� , que es causada por el parámetro de oscilación )300cos(3.0 t . El
objetivo del control es posicionar la articulación y(t) en una posición deseada:
� �42sen
4)(
��� ttym (2)
que es especificada por el movimiento del sistema robot.
Siguiendo los pasos del esquema descrito en el capítulo anterior hallamos la
solución.
ULA
�
�
3.1.1 PUNTO DE EQUILIBRIO
)cos(
02
1
XIU
X
XX
���
�
�
� �)cos(,0, XIXxe ���
3.1.2 CAMPOS VECTORIALES
�
�
��
���
fx
xxf
)cos(),(
1
2
��
��
���
�
Ixg 1
0),( � �
��
�
)cos(ˆ)ˆ,(1
2
x
xxf
��
�
��
���
ff
0
1)(
0)()(
xxh
xhxf ee
�
��� �
��
�
)cos(
0)(
1xxf
3.1.3 GRADO RELATIVO
�
0)(
20,0)(
1
)ˆ,()ˆ,(
)ˆ,()ˆ,(
�
����
� xhLL
rixhLL
r
xfxg
i
xfxg
��
��
Para i = 0
� � 01
0.01)ˆ,(
)()(
)ˆ,(��
��
�
�
��
Ixg
x
xhxhL
xg�
�
ULA
�
�
Para i = 1
)ˆ,()(
)( )ˆ,(
)ˆ,()ˆ,(�
�
��xg
x
xhLxhLL xf
xfxg �
��
� � 21
2
)ˆ,( )cos(ˆ.01)ˆ,()(
)( xx
xxf
x
xhxhL
xf��
��
�
�
��
��
�
Entonces
� � 01
10
.10)()ˆ,()ˆ,(
����
���
�
IIxhLL
xfxg ��
Como en i = 1, la condición da diferente de cero, decimos que el grado relativo es:
nrrri �������� 2111 , donde n es el grado del sistema.
3.1.4 FORMA CANONICA NORMAL
� Después de aplicar la transformación de entrada – salida linealizante obtenemos
�
1̂
),ˆ(
),ˆ,(ˆˆˆ
�
���
�����
�
�
��������
y
q
fxMWvBA ll
�
��
�
��
���
21
10
kkAl �
��
�
1
0lB
� � TwwW .21,�
� �� �,)(ˆ)ˆ,(1
1
)ˆ,()(��
����p
j
i
xfxfjji xhLLxwj �
��� i = 1
ULA
�
�
� � � � 0)cos(
0.01)(
)()ˆ()()ˆ()ˆ,(
11)(1 1
��
��
�
�
������
xxf
x
xhxhLxw xf �����
� �)()()ˆ()ˆ,,()ˆ,()()ˆ,()(2 11
xhLuLxhLLuxwxfxgxfxf ��
��� ����
��
��
�
�
��
�
���� )(
)()(
)()ˆ()ˆ,,( 1
)ˆ,(1
)ˆ,(2 xg
x
xhLuxf
x
xhLuxw xfxf ��
���
� � � � )cos()ˆ(0
0.10
)cos(
0.10)ˆ()ˆ,,( 1
12 xu
xuxw ����� ���
��
�
��
��
��
���
��
��
��
)cos(
0
1xW
� � Tfx .21,),ˆ,( ���� �����
2,1),(),ˆ,( 1
)ˆ,(���� �
�kxhLLfx k
xffk ���
� � 00
.01)(
)(),ˆ,(1 ��
��
���
�
�����
� ff
x
xhxhLfx f��
� � ff
fx
xhLfx xf
���
��
���
�
����
0.10
)(),ˆ,( )ˆ,(
2�
��
�
��
����
ffx
0),ˆ,( ��
0�iM , porque tanto 11ˆ x�� como 22
ˆ x�� no dependen de �̂ .
0ˆ1̂
1 ��
��
�
�M 0
ˆ
ˆ2
2 ��
��
�
�M
ULA
�
�
El sistema es transformado a:
1
122112
21
ˆ
)cos()ˆ(ˆˆˆ
ˆˆ
�
�����
��
�
��������
�
y
fxvkk�
�
La Forma Canónica normal es:
1
12
21
ˆ
)ˆcos()ˆ()ˆcos(ˆˆ
ˆˆ
�
������
��
�
������
�
y
fv�
�
Transformación del Control de Entrada:
� �),ˆ(ˆ),ˆ(ˆ
1��
��Bv
Au ��
IxhLLA r
xfxg
1)(),ˆ(ˆ 1
)ˆ,()ˆ,(�� �
����
� � )cos(ˆ)cos(ˆ.10)ˆ,(
)()(),ˆ(ˆ
11
2)ˆ,(2
)ˆ,(x
x
xxf
x
xhLxhLB xf
xf�
����
�
���
��
�
�
���
� �)ˆcos(ˆ1���� vIu
ULA
�
�
3.1.5 OBSERVADORES
Esta parte del ejemplo se divide en dos casos, ya que se calculan dos observadores,
el primer caso lo llamaremos Observador 1, y es exactamente igual al propuesto en el
esquema. El segundo caso se llamará: Observador 2, y es el observador de orden completo
de Luenberger.
La diferencia entre ambos observadores radica en la matriz compañera a utilizar, en
el primer caso se utiliza la matriz compañera de controlabilidad, quedando el observador de
estado en función de los errores de estados que no vemos en la salida 2�̂ . El segundo caso,
el observador de Luenberger utiliza la matriz compañera de observabilidad y dicho
observador queda en función de los errores de estados que se ven en la salida 1̂� , caso que
es más lógico. Por esto se realizan los dos observadores para luego compararlos y juzgar
según sus respuestas en las simulaciones cual es mejor.
3.1.5.1 Observador 1
)0(ˆ)0(
)ˆ(ˆˆ
��
�����
�
����� AMvBA ll
��
�
��
�
00
10lA �
��
�
1
0lB 0�M �
��
���
21
10
��A
1
2221112
2221
)ˆ()ˆ(
)ˆ(ˆ
�
�������
����
�
�����
���
y
v�
�
221 ����
ULA
�
�
3.1.5.1.1 DINAMICA DEL ERROR
�
������ WsAs�
�
��
����
��
��
��
�
��
���
fs
ss
0
)ˆcos(
0.
22
10
12
1
��
Error Normalizado
��
���
���
��
���
�
���
���
�
�
��
���
mf
mms
ms
s0
)ˆcos(0
.22
101
2
1
��
donde 2
2 ˆ1 ���m , �� ˆ��s , 22
21
ˆˆ ��� ��
3.1.5.1.2 FUNCION DE LYAPUNOV
Usando
22),(
1������
�TT sPssV con
)ˆ(
11
��
�
���
��
T
�
��
2
)ˆ(
2),(
2����
sPssV
T
y )ˆ()ˆ(
22),( �
�
�� ���� �
�����
sPssPssV
TT
con la ecuación de Lyapunov IAPPAT ��� hallamos P:
�
��
�
���
��
���
��
��
��
�
��
�
�
10
01
22
10..
21
20
2221
1211
2221
1211
pp
pp
pp
pp
ULA
�
�
Tenemos un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas despejando e
igualando, obtenemos los valores de los ijp .
4
511 �p ,
4
112 �p ,
4
121 �p ,
8
322 �p
Llegamos así, a la matriz 0�P (Definida Positiva) y ��
��
�
��
83
41
41
45
TPP .
3.1.5.1.3 LEY ADAPTATIVA ROBUSTA
Encontramos la matriz que tiene señales escalares 0)( �twi en la diagonal:
������
������
�
�
pw
w
w
L
..00
.....
.....
0..0
0..0
2
1
22
21111 )( ssvsvtwL ���� 01 �v
La ley adaptativa robusta es:
�� ˆˆ LsPW T ������
��
���
������ ��
�� ˆ)ˆ(cos
8
3
4
)ˆ(cos.ˆ 2
22
112111 ssvs
s�
Como 1̂� es la salida y 1� el estimado y además )0()0(ˆ11 �� � suponemos:
01̂11 ��� ��s
Entonces
�
��
���� ��� ˆ)ˆ(cos
8
3.ˆ
2121 svs�
ULA
�
�
donde m
s 222
�̂� �� ,
m
)ˆcos()ˆ(cos 1
1
�� � , � es la ganancia adaptativa.
2ˆ1 ���m
3.1.5.1.4 EL CONTROL v
)(...)( 10)1(
1)(
���� ������ �
� mrr
mrr
m yyyv
� �42sen
4)(
��� ttym � �ttym sen
4)(
�� � �ttym cos
4)(
���
� � � � � � ��
���
����
�
���
��� 1021 cos
44sen
4cos
4�
��
�
tttv , 210 ����
� � � � � �1222
sen2
cos4
��
������ ttv
La entrada realimentada u es:
� � � � � � �
��
������� )ˆcos(ˆ2
2sen
2cos
4 112 ����
ttIu
�
�
3.1.5.2 Observador 2
)0(ˆ)0(
)ˆ(ˆˆ
��
�����
�
����� AMvBA ll
�������������������
�
��
�
00
10lA � � �
��
�
1
0lB � 0�M �� �
��
�
��
0
1
2
1
�
�A �
ULA
�
�
1
1122
2211121
)ˆ(
)ˆ()ˆ(ˆ
�
����
�������
�
���
�����
y
v�
�
� � 221 ���� �
3.1.5.2.1 DINAMICA DEL ERROR
������ WsAs� �
�
��
����
��
��
��
�
��
�
��
fs
ss
0
)ˆcos(
0.
0
1
12
1
2
1
��
�� ����
Error Normalizado
��
���
���
��
���
�
���
���
�
�
��
�
��
mf
mms
ms
s0
)ˆcos(0
.0
11
2
1
2
1�
�
�� ����
3.1.5.2.2 FUNCION DE LYAPUNOV
Con la ecuación de Lyapunov IAPPAT ��� , hallamos P.
�
��
�
���
��
�
��
��
��
��
�
��
��
10
01
0
1..
01 2
1
2221
1211
2221
121121
�
���
pp
pp
pp
pp
obtenemos
1
211 2
1
�
� ��p ,
2
112 ��p ,
2
121 ��p ,
21
221
22 2
1
��
�� ���p
����
����
�
���
��
��
21
221
1
2
2
1
2
12
1
2
1
��
��
�
�
TPP
ULA
�
�
Para que 0�P es necesario que:
02
1
1
2 ��
�
� y 0
4
1
2
1
2
1
21
221
1
2 �����
����
���
��
��
�
�
3.1.5.2.3 LEY ADAPTATIVA ROBUSTA
�� ˆˆ LsPW T ������
��
���
��
������� ��
��
���� ˆ)ˆ(cos
2
1
2
)ˆ(cos.ˆ 2
22
112121
22111 ssvs
s�
Usando la misma suposición anterior: 01̂11 ��� ��s
�
��
�
����� ��
��
��� ˆ)ˆ(cos
2
1.ˆ
212121
221 svs
�
3.1.5.2.4 EL CONTROL v
��
���
����
�
���
��� 1021 )cos(
44)sen(
4)cos(
4�
��
�
tttv 2011 , ���� ��
��
���
���
�
���
���� 12212 4
)sen(4
)cos()1(4
�
��
��
ttv
La entrada realimentada u es:
�
��
��
�
���
���
�
���
���� )ˆcos(ˆ
4)sen(
4)cos()1(
4 112212 ���
��
��
ttIu
ULA
�
�
Los resultados de las simulaciones se aprecian en las figuras siguientes:
RESPUESTAS DE LAS SIMULACIONES:
1. Para el Observador 1:
Estados con sus Estimados. Parámetro con su Estimado. Control.
En la siguiente figura se observa: en la parte superior se presentan los estados
verdaderos contra los estados estimados, se puede apreciar que son prácticamente iguales.
Abajo a la izquierda tenemos la respuesta del valor verdadero del parámetro desconocido y
el valor del parámetro estimado que en función del tiempo alcanza el valor verdadero.
Finalmente, aparece la ley de control diseñada (u) para conseguir el objetivo del proyecto.
ULA
�
�
Seguimiento de la Función Deseada por la Salida
En ésta gráfica se observa que la salida y(t) sigue el comportamiento de la función
que deseamos )(tym , este seguimiento como se ve no es inmediato, pero en un tiempo de
simulación igual a 70 segundos, vemos que prácticamente las funciones se acoplan o
simplemente la diferencia entre ellas tiende a cero.
Errores
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5
0
0.5
1
1.5
ym(t),(azul). CONTRA y(t)=x(1),(rojo)
t seg.
y
ULA
�
�
Función Deseada y la Salida (ym-y). Estados: (x(3) – x(1)) y (x(4) – x(2))
En esta gráfica se presentan los errores entre: la salida del sistema y la función
deseada, los estados y sus estimados. En todas se puede apreciar que tienden a cero en un
tiempo regular como se espera.
Control u. Respuestas en Transitorio y Estacionario
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1Error entre la Deseada (ym) y la Salida (y)
erro
r
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1Error entre x(3)(estimado) y x(1)
e1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1Error entre x(4) (estimado) y x(2)
e2
ULA
�
�
En ésta figura presentamos el control en transitorio y en estacionario, gracias a éste
control conseguimos el comportamiento que deseamos del robot rígido, es decir sigue la
posición deseada.
Respuestas de �̂ en Transitorio y Estacionario.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05
0
0.05Control en Transitorio
u
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2
-0.1
0
0.1
0.2Control en Estacionario
t seg.
u
ULA
�
�
En la gráfica siguiente se ve el trabajo de la ley de actualización de parámetro, el tita
estimado en transitorio hasta un tiempo igual a 80 segundos y el estacionario, que es
cuando se aproxima a su valor verdadero.
2. Para el Observador 2:
Con el mismo orden anterior se presentan ahora las respuestas surgidas de la
simulación del segundo caso del problema del robot rígido.
0 10 20 30 40 50 60 70 800
0.2
0.4
0.6
0.8
1Respuesta de Tita Estimada en Transitorio
tita
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Respuesta de Tita Estimada en Estacionario
t seg.
tita
ULA
�
�
Estados con sus Estimados. Parámetro con su Estimado. Control.
En las gráficas siguientes se observa que los estados y sus estimados presentan una
mejor similitud. El parámetro estimado alcanza rápidamente el valor verdadero. El control
u tiene un comportamiento oscilante, y con él se logra el seguimiento.
Seguimiento de la Función Deseada por la Salida
ULA
�
�
En la figura siguiente se observa el seguimiento deseado, en éste caso vemos que se
cumple casi de inmediato el acoplamiento de las dos señales, (10 segundos
aproximadamente). Esto demuestra que el observador diseñado para éste caso trabaja mejor
que el anterior, pues la respuesta es más rápida.
Errores
Función Deseada y la Salida (ym-y). Estados: (x(3) – x(1)) y (x(4) – x(2))
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.5
1
1.5
2
2.5ym(t),(azul). CONTRA y(t)=x(1),(rojo)
t seg.
y
ULA
�
�
Aquí se aprecian los errores entre la función deseada y la salida y, también entre los
estados y sus estimados. Aquí los errores tienden rápidamente a cero, indicando que los
estimados reportados por el observador de estado fueron bien diseñados, mejor que en el
caso 1.
Control u. Respuestas en Transitorio y Estacionario
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1Error entre la Deseada (ym) y la Salida (y)
erro
r
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1Error entre x(3)(estimado) y x(1)
e1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1Error entre x(4) (estimado) y x(2)
e2
ULA
�
�
En ésta figura se aprecia la respuesta del control diseñado tanto en transitorio como
en estacionario, con este control se logra el objetivo del esquema. El control sale de su
transitorio más rápido que en el primer caso como se puede observar.
Respuestas de �̂ en Transitorio y Estacionario.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05
0
0.05Control en Transitorio
u
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2
-0.1
0
0.1
0.2Control en Estacionario
t seg.
u
ULA
�
�
En ésta figura se muestra el comportamiento del parámetro estimado, el cual se
observa que llega a su estacionario en un tiempo mucho más corto que en el primer caso,
por otro lado las variaciones de la señal son menores en éste caso.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Respuesta de Tita Estimada en Transitorio
tita
20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2Respuesta de Tita Estimada en Estacionario
t seg.
tita
ULA
�
�
AANNAALL II SSII SS DDEE RREESSUULL TTAADDOOSS
Con las simulaciones realizadas con el Programa Matlab, se observa que con la ley
adaptativa robusta diseñada, la salida sigue la función deseada.
Para dichas simulaciones se tomaron los parámetros de diseño siguientes:
3
8,3.01 ���v , 01.0�I , 221 ����
Los parámetros 1� y 2� del Observador 2, se tomaron con el mismo valor de los
parámetros del Observador 1, para ver realmente si existía diferencia en el momento de
compararlos.
Los errores entre los estados y los estimados, con el Observador 2, tienden más
rápidamente a cero, al igual que el error entre la salida y la función deseada. Esto se debe a
que el seguimiento es más temprano en el Observador 2, aproximadamente 20 segundos, y
en el Observador 1, aproximadamente 70 segundos.
La ley de actualización de parámetro en el Observador 2 presenta menos variaciones
y toma más rápidamente el valor verdadero.
En conclusión el Observador 2 tiene mejor tiempo de ejecución que el Observador
1.
Los programas realizados en Matlab pueden ser vistos en el ANEXO 1.
ULA
�
�
3.2. EJEMPLO 2. “DEPOSITO CON REGULACION DE
TEMPERATURA”
�
�
�
�
Sea un depósito de base cuadrada con lados 0.5 metros de longitud interior, que es
alimentado con un caudal 1q de un líquido a temperatura constante de CT º301 � y tiene
una salida inferior, por la que fluye un caudal sq a la temperatura T, que se supone
homogénea para todo el líquido del depósito.[1]
El depósito tiene un calentador de tipo resistivo y representa las pérdidas caloríficas
que se suponen proporcionales a la diferencia de temperatura eTT � , y la superficie lateral.
La base está suficientemente aislada y se suponen despreciables las pérdidas por la
superficie del líquido.
ULA
�
�
La temperatura exterior eT se supone constante e igual a 20ºC y la resistencia R del
calentador es de 0.24 � .
Con hx �1 y Tx �2 las variables de estado, tomando como parámetro
desconocido � que representa la constante de transmisión de calor de las paredes del
depósito, el control 1qu � , la salida 2xy � y la dinámica no modelada f� :
� �
2
1
22
2
1
2
111
xy
xSC
uxCSTxRVTCu
x
fS
xkux
Be
eLee
B
�
�����
���
�
�
����
�
donde � es el parámetro desconocido, y se asume que su valor verdadero es 260.41.
1k , eC , BS , 1T , eT , sq , � , LS , R y V son constantes conocidas.
f� es la dinámica no modelada, la cual está representada en éste caso por:
)10sen(01.0 tf ��
El objetivo del control es hacer llegar la temperatura )(ty a un valor deseado:
Transferir suavemente la temperatura desde un cierto valor inicial a otro valor final
deseado:
� ���
��
�
��
�
�
��
�
�
���
��
�
�
��
�
�
��
��
�
�
��
�
�
��
��
�
�
��
�
�
����
5
6
2
321
5
00 ...)(if
i
if
i
if
i
if
ifm tt
ttr
tt
ttr
tt
ttrr
tt
ttxxxty
donde 450 �x , 40�fx , 2521 �r , 10502 �r , 18003 �r , 15754 �r , 7005 �r , 1266 �r
Siguiendo la metodología del capítulo anterior obtenemos la solución.
ULA
�
�
3.2.1 PUNTO DE EQUILIBRIO
�
UU
UCS
STRVTCU
X
k
UX
eL
Lee
�
�
���
���
����
�
��
��2
1
2
2
11
���
�
�
���
�
�
��
���
����
� U
UCS
STRVTCU
k
Ux
eL
Lee
e ,,
2
12
1 ��
��
3.2.2 CAMPOS VECTORIALES
�
�
� �
�����
�����
�
��
���
�
1
2
2
11
),(
xSC
STxRV
fS
xk
xf
Be
Le
B
�
��
���
���
�
��
1
21 )(
1
),(
xS
xTS
xg
B
B�
� �
�����
�����
�
��
�
�
1
2
2
11
ˆ)ˆ,(
xSC
STxRV
S
xk
xf
Be
Le
B
�
��
�
��
���
0
ff
2)(
0)()(
xxh
xhxf ee
�
��� � �
��
��
�
���
1
2
0)(
xSC
STxxf
Be
Le
�
ULA
�
�
3.2.3 GRADO RELATIVO
�
0)(
20,0)(
1
)ˆ,()ˆ,(
)ˆ,()ˆ,(
�
����
� xhLL
rixhLL
r
xfxg
i
xfxg
��
��
Para i = 0
� � 0)(
)(
1
.10)ˆ,()(
)(1
21
1
21)ˆ,(�
��
���
���
�
���
��
xS
xT
xS
xTS
xgx
xhxhL
B
B
B
xg�
�
Como en 0�i , la condición da diferente de cero decimos que el grado relativo de
este sistema es: nrrri �������� 1101 . Esto nos indica que en la linealización de
este sistema existe una dinámica remanente, observemos:
3.2.4 FORMA CANONICA NORMAL
�
1̂
),ˆ(
),ˆ,(ˆˆˆ
�
���
�����
�
�
��������
y
q
fxMWvBA ll
�
��
1kAl �� pBl �
� � 1.
1 wwW T��
ULA
�
�
� �)()()ˆ()ˆ,,( )()(1 1xhuLxhLuxw xgxf ���� ���
�
��
�
��
�
���� 0
)()(
)()ˆ()ˆ,,( 11 x
xhuxf
x
xhuxw ���
� � � � � �
1
2
1
21 )ˆ(0
.10)ˆ()ˆ,,(xSC
STx
xSC
STxuxwBe
Le
Be
Le�
��
�
����
�����
��
�
��
��
�
�����
� �
1
2)ˆ(xSC
STxW
Be
Le
���
�����
� � 1.
1),ˆ,( ���� ������Tfx
1),(),ˆ,( 1
)ˆ,(���� �
�kxhLLfx k
xffk ���
� � 00
.10)(
)(),ˆ,(1 ��
��
���
�
�����
�
ff
x
xhxhLfx f��
0),ˆ,( ��� fx ��
0�M , porque �̂ no depende de �̂ .
Entonces:
� �
�
���
�����
ˆ
),ˆ(
)ˆ(ˆˆ1
21
�
�
������
y
q
xSC
STxpvk
Be
Le
�
�
FUNCION REMANENTE
De ))ˆ((),ˆ( 12)ˆ,(
������
����xf
Lq�
ULA
�
�
22
21
1
2 xx
xx
���
��
�
� ��
� �
���
�
�
���
�
����
�
��
��
�
�
��
�
���
�
�
1
22
2
1
2
211
1
2
xSC
uxCSTxRVTCu
xf
S
xk
S
u
x Be
eLee
BB �
�����
0)(1
1
21
2
2
1
2 ����
����
�
�
����
�
����
�
�
xS
xT
xSx BB
�� (1)
Proponemos una función que cumpla con (1):
21
2212 )( xxT ��� ��
Prueba
2211
1
2 )(2 xTxx
���
�� y 2
1212
2 )(2 xxTx
����
��
Sustituimos estas derivadas parciales en (1)
0)(
)(21
)(21
212121
2211 ���
�
����
�����
�
����
�
xS
xTxxT
SxTx
BB
La función 2� propuesta, cumple lo requerido.
Conociendo que:
)ˆ(
ˆ
1
1
2
�
�
�
��
�
Tx
x
hallamos��
ULA
�
�
� �� �
�����
�����
�
��
�
�����
���
1
2
2
11
21211
221)ˆ,( ˆ.)(2)(2)ˆ,(
)()(
xSC
STxRV
S
xk
xxTxxTxfx
xxL
Be
Le
B
xf
�
��
���
��
� �
��
��
�
�����
���
e
Le
B C
STxRV
xTxkS
xxT
�
��
2
2
2111121
ˆ)(
)(2�
Cambiamos variables
� ���
��
�
���
�
���
e
Le
B C
STRV
T
Tk
S �
��
�
����
ˆˆ
)ˆ(
)ˆ(22
1
14
1�
La Forma Canónica normal es:
� � � �
� � � �
�
�
���
�
��
�
����
�
����
�
��
��
��
ˆ
ˆ)ˆ(
ˆˆ
)ˆ(
)ˆ(2
ˆ)ˆ()ˆ(
ˆˆ)ˆ(ˆ
2
1
14
1
1
21
�
��
��
�
�
����
��
���
��
���
�����
��
��
y
C
ST
C
STRV
T
Tk
S
C
STvT
C
ST
CR
V
S
T
e
Le
e
Le
B
e
Le
e
Le
eB
�
�
Transformación del Control de Entrada:
� �),ˆ(ˆ),ˆ(ˆ
1��
��Bv
Au ��
ULA
�
�
1
211
)ˆ,()ˆ,(
)()(),ˆ(ˆ
xS
xTxhLLA
B
r
xfxg
��� �
����
� �� �
� �
1
2
1
2
1
2
2
11
)ˆ,(
ˆ
ˆ.10)ˆ,()(
)(),ˆ(ˆxSC
STx
xSCR
V
xSC
STxRV
S
xk
xfx
xhxhLB
Be
Le
Be
Be
Le
B
xf �
�
�
�
����
�
���
�����
�����
�
��
�
��
���
� �)ˆ(
ˆˆ
)ˆ()ˆ( 11
2
21 ��
��
���
�
�
��
��
��
TC
ST
TCR
Vv
T
Su
e
Le
e
B
3.2.5 OBSERVADORES
En esta parte del ejemplo se propone un observador de orden reducido, es decir, solo
se estima el estado que no se ve en la salida.
)( 11111
1 xxS
xk
S
ux
BB
���� ��
En la transformación del sistema será:
��
�
�
�
��
�
��
���
ˆ
)()ˆ()(
ˆ
11
1
1
41
��
��
�
�
��
�
��
��
���
��
y
TTTS
k
S
u
BB
�
�
donde �� es una función no lineal de la transformación de 1x� en �� .
ULA
�
�
El observador diseñado se realiza sobre el sistema original, debido a las no
linealidades presentes en las ecuaciones no permitiendo un despeje lineal de la
transformación del estado 1x en � .
3.2.6 DINAMICA DEL ERROR
�
������ WsAs�
� �1
1
ˆ)ˆ(
xSC
STss
Be
Le
�
����
������
Error Normalizado
� �� ���
�����
Be
Le
SCm
STTss
ˆˆ)ˆ( 1
1
�������
donde m
ss � ,
22 ˆ1 ���m
3.2.7 FUNCION DE LYAPUNOV
Usando
22),(
1������
�TT sPssV con
T
T
ss �
�����
���
)ˆ(
11
��
�
ULA
�
�
�
��
2
)ˆ(
2),(
22 ����
PssV y )ˆ(
)ˆ(),( �
�
�� ��� ��
��� sPssV
Hallamos P con la ecuación de Lyapunov IAPPAT ���
02
1
1
1
11
1
���
����
��
T
T
PP
PP
AA
�
��
�
3.2.8 LEY ADAPTATIVA ROBUSTA
Encontramos la matriz que tiene señales escalares 0)( �twi en la diagonal:
������
������
�
�
pw
w
w
L
..00
.....
.....
0..0
0..0
2
1
22
21111 )( ssvsvtwL ���� 01 �v
donde 01 �v y es una constante de diseño.
La ley adaptativa robusta es:
�� ˆˆ LsPW T ������
ULA
�
�
��
���
�
������ �
���
���� ˆ
2
)ˆ(cos)ˆ()ˆ(ˆ1
1
11 svSCm
sTST
Be
Le�
� es la ganancia adaptativa, m
s�� ˆ�
� , 2ˆ1 ���m
3.2.9 EL CONTROL v
)(...)( 10)1(
1)(
���� ������ �
� mrr
mrr
m yyyv
��
�
�
��
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
54325
126700157518001050252545if
i
if
i
if
i
if
i
if
i
if
im tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tty
� ���
�
�
��
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
5432
5
4
126700157518001050252)(
25if
i
if
i
if
i
if
i
if
i
if
im
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tty�
� ��� ˆ1 ��� mm yyv �
Los resultados de la simulación se aprecian en las figuras siguientes:
� � � � � � � �
���
�
���
�
�
�
��
�
�
�
5
4
4
3
3
2
2
5
)(630
)(2800
)(4725
)(3600
)(
110505
if
i
if
i
if
i
if
i
ifif
i
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tttt
tt
ULA
�
�
RESPUESTAS DE LAS SIMULACIONES
Estado con su Estimado. Estado. Parámetro con su Estimado. Control.
En la siguiente figura observamos: en la parte superior izquierda está el
estado 1x con su estimado, en la gráfica están sobrepuesta. Arriba a la derecha se presenta
el comportamiento del estado 2x . Abajo a la izquierda está el parámetro � y su estimado
�̂ vemos que éste alcanza el valor verdadero en un tiempo corto. Por último abajo a la
derecha se aprecia el comportamiento del control con valores mayores ó iguales a cero, que
es lo esperado.
0 20 40 60 80 100
2
2.5
3
x(1) vs x(1) Estim ado
X1
0 20 40 60 80 100
40
41
42
43
44
45
46x(2)
X2
0 20 40 60 80 100220
230
240
250
260
Tita vs Tita Estim ado
tita
go
rro
0 20 40 60 80 100
0
0.2
0.4
0.6
Control
u
ULA
�
�
Seguimiento de la Función Deseada por la Salida
En la gráfica se aprecia el seguimiento total de la temperatura en un tiempo bastante
corto, lo que indica que el diseño del control logra el objetivo planteado.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10040
41
42
43
44
45
46ym(t),(azul). CONTRA y(t)=x(2),(magenta)
t seg.
y
ULA
�
�
Errores
Función Deseada y la Salida (ym-y). Parámetro ( �� ˆ� ). Estado (x(3) – x(1)).
En la siguientes figuras se observan los errores la función deseada y la salida, entre
el parámetro y su estimado, y entre el estado y el estimado, todos tienden rápidamente a
cero.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1Error entre la Deseada (ym) y la Salida (y)
erro
r
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-40
-30
-20
-10
0
Error entre tita y tita estimado
e1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.02
0.04
0.06Error entre el Estado x(1) y el Estimado
t seg.
e2
ULA
�
�
Control u. Respuestas en Transitorio y Estacionario
En ésta figura se observa el comportamiento del control u tanto en transitorio cómo
en estacionario, en ella se puede apreciar que el control sólo toma valores positivos o
iguales a cero y su estacionario es alcanzado en corto tiempo.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1Control en Transitorio
u
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02Control en Estacionario
t seg.
u
ULA
�
�
Respuestas de �̂ en Transitorio y Estacionario.
Aquí podemos ver la respuesta en transitorio y en estacionario del parámetro
estimado, en un tiempo de 0.4 segundos, aproximadamente, alcanza su valor verdadero
igual a 260.41.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
220
230
240
250
260
Respuesta Transitoria de tita estimado
tita
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
255
260
265
270Respuesta en Estacionario de tita estimado
t seg.
dtita
ULA
�
�
AANNAALL II SSII SS DDEE RREESSUULL TTAADDOOSS
En las simulaciones realizadas con el Programa Matlab, se prueba el objetivo
principal (Diseñar una ley adaptativa robusta para que la salida )(ty siga a la función
deseada).
Para las simulaciones se utilizaron los siguientes parámetros de diseño:
5�it , 95�ft , 356.01 �� ek , 25.0�BS , 6.1�LS , 20�eT , 301 �T ,
1000�� , 324.0
1
��
eCe , 24.0�R , 100�V , 5.5�� , 101 �� , 5.61 �v .
En las gráficas se puede observar:
El error entre � y �̂ tiende rápidamente a cero, al igual que el error entre el estado
1x y su estimado, y el error entre la salida y la señal deseada. Esto es debido a que el
seguimiento de la salida 2)( xty � es rápido.
El �̂ llega a su valor verdadero en un tiempo breve.
El control toma valores mayores e iguales a cero como es de esperar, ya que este
control representa el cauce de entrada 1q del líquido. Cuando en la salida 2x , que es la
temperatura del líquido, baja se aprecia que el cauce aumenta, para de esta manera
mantener aproximadamente constante dicha temperatura del líquido en el tanque.
El programa realizado en Matlab puede ser visto en el ANEXO1
ULA
�
�
CCAAPPÍÍ TTUULL OO II VV..
CCOONNCCLL UUSSII OONNEESS YY RREECCOOMM EENNDDAACCII OONNEESS
Los procedimientos para encontrar el diseño de un control adaptativo robusto, que
siga la salida de los sistemas no lineales con incertidumbre tanto paramétrica como no
paramétrica, son muy complicados. El esquema presentado en el capítulo II, linealiza
exactamente los sistemas no lineales, con grado relativo igual o distinto al grado del
sistema, y sobre el sistema linealizado diseña el control requerido, siempre bajo las
condiciones de la teoría de control moderna.
Con todas las suposiciones que presenta el esquema, se logró el seguimiento
deseado y la estabilidad del sistema.
En los ejemplos desarrollados en el capítulo III, se ve en forma detallada el
desarrollo de las fórmulas dadas en el capítulo II. Siguiendo paso a paso el esquema, se
obtuvo la ley de actualización de parámetro y la ley de control robusto.
En cada una de las simulaciones se pudo apreciar la robustez de la ley de control
adaptativo, y tomando buenos parámetros de diseño se observó el seguimiento de la función
deseada, por la salida )(ty del sistema, en un tiempo corto.
ULA
�
�
Cabe destacar, que en el ejemplo físico del robot rígido, se realizó dos observadores
de estado diferentes:
El primer caso, se llamó observador 1, que no es otro que el de la fórmula presente en el
esquema, que toma como la matriz compañera )(A , a la matriz compañera de
controlabilidad.
El segundo caso, llamado observador 2, se trato con un observador de Luenberger, [VER
APENDICE A], que toma como matriz compañera )(A , a la matriz compañera de
observabilidad.
Para ambos casos el seguimiento es obtenido, pero con el observador 2, se logró en
un tiempo más corto, lo que lo hace mejor.
En el siguiente ejemplo: Depósito con Regulación de Temperatura, el observador de
estado diseñado es un observador de orden reducido, [VER APENDICE A]. El grado relativo
(r) es menor al grado del sistema (n), por ello presentó una diferencia clara con el ejemplo
del robot rígido. Otra diferencia que se destacó, es que de éste ejemplo se debe hallar la
función remanente o dinámica de los ceros.
Además en el diseño del observador por medio de la fórmula del esquema, el
sistema presentó no linealidades en la transformación y el despeje directo no pudo ser
realizado.
Debido a lo anteriormente expuesto, cabe las siguientes recomendaciones:
ULA
�
�
RECOMENDACIONES:
En el momento del diseño del observador, no sólo se deben realizar por la fórmula
del esquema, sino, que deben ser probados por el diseño de observadores de estado básicos
de Luenberger, aún más, si existen no linealidades en las transformaciones del sistema.
Además, para lograr el seguimiento en un tiempo breve, se debe utilizar la matriz
compañera de observabilidad en el diseño del observador.
Se sabe que el objetivo de todo modelo de referencia de control, es encontrar una
ley de control realimentada que cambie la estructura y la dinámica de la planta, tal que, las
propiedades de entrada-salida sean exactamente igual a las del modelo de referencia. En el
control adaptativo robusto, el modelo de la planta presenta parámetros desconocidos y
dinámicas no modeladas, entonces, además de que se debe lograr el objetivo de todo
modelo de control, se deben limitar los errores con una señal normalizada para de ésta
manera garantizar la robustez y la disminución de los errores del modelado.
Todas estas consideraciones o reglas se tomaron en cuenta en el presente proyecto y
se lograron comprobar con el control adaptativo robusto, presentado en el esquema, y
viendo su desempeño en las simulaciones. �
ULA
�
�
RREEFFEERREENNCCII AASS
[1] Barrientos, Antonio; Sanz, Ricardo; Matia, Fernando; Gambao, Ernesto. “Control de
Sistemas Continuos”. Problemas Resueltos. McGraw Hill, 1996. Pagina 87.
[2] Kokotovic, Petar V. (Ed.) by University of California. Lecture Notes in Control and
Information Sciences, “Foundations of Adaptive Control” Edited by M. Thoma and
A. Wyner. Printing Mercedes-Druck, Berlín, 1991.
[3] Levine, William S. (Ed), The Control Handbook CRC PRESS, IEEE PRESS, 1996
“Model Reference Adaptive Control” by Petros Ioannou. University of Southern
California, EE-Systems, MC-2562. Los Angeles, CA.
[4] Ogata, Katsuhiko. “Ingeniería de Control Moderna”, University of Minnesota, Tercera
Edición. Publicada por Prentice-hall Hispanoamericana, C.A., México. Edición en
Español, 1998.
ULA
�
�
[5] Parks, P.C., “Lyapunov Redesign of Model Reference Adaptive Control Systems”,
IEEE Trans. Autom. Control, 11, 362-367,1966.
[6] Ríos Bolívar, Miguel. “Guía de Control Adaptativo Utilizando la Técnica de
Backstepping”. Universidad de Los Andes. Postgrado en Ingeniería de Control y
Automatización, Mérida, Venezuela, 1998.
[7] Sánchez Peña, Ricardo S. “Introducción a la Teoría de Control Robusto”. Editada y
Publicada por la Asociación Argentina de Control Automático, 1992.
[8] Sira Ramírez, Hebertt. “Control de Sistemas No Lineales Mediante Linealización
Aproximada”. Universidad de Los Andes. Facultad de Ingeniería. Escuela de
Ingeniería de Sistemas. Mérida Venezuela. Serie de Cuadernos de Ingeniería de
Control, 1-94.
[9] Sira Ramírez, Hebertt. “Control de Sistemas No Lineales Mediante Linealización
Exacta”. Universidad de Los Andes. Facultad de Ingeniería. Escuela de Ingeniería de
Sistemas. Mérida Venezuela. Serie de Cuadernos de Ingeniería de Control, 3-94.
[10] Zhou, Kemin; Doyle, John C. and Glover, Keith. “Robust and Optimal Control”
Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458, USA, 1996.
ULA
�
�
[11] http://www.usc.edu/dept/ee/catt/99papers/
ieeeacn.pdf: Elias B. Kosmatopooulos y Petros A. Ioannou “Robust Switching
Adaptive Control of Multi-Input Nonlinear Systems”
large_scale.pdf: Elias B. Kosmatopooulos y Petros A. Ioannou “Robust Multivariable
Adaptive Control with Application to a Large Space Segmented Telescope”
[12] Ioannou, Petros. University of Southem California, Los Angeles. Email
ioannou@rcf.usc.edu.
�
�
ULA
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
������� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ULA
�
�
�
AAPPEENNDDII CCEE AA
A.1 CONTROLABILIDAD
Se dice que un sistema es controlable en el tiempo 0t , si se puede llevar de cualquier
estado inicial )( 0tx a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones,
en un intervalo de tiempo finito. [4]
A.2 OBSERVABILIDAD
Se dice que un sistema es observable en el tiempo 0t si, con el sistema en el estado
)( 0tx , es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un
intervalo de tiempo finito. [4]
Estos conceptos fueron introducidos por Kalman y juegan un papel importante en el
diseño de los sistemas de control en el espacio de estados.
ULA
�
�
Estas condiciones determinan la existencia de una solución completa, para un
problema de diseño de un sistema de control.
A.3 CONDICION DE CONTROLABILIDAD COMPLETA DE
ESTADO
Dado el sistema
BuAxx ��
donde xes el vector de estado (dimensión n)
u señal de control (escalar)
A matriz de nn�
B matriz de 1n
Es completamente controlable si y sólo si los vectores BABAABB n 12 ,...,,, � son
linealmente independientes, o la matriz controlabilidad nnC�
[4]:
� �Tn BAABBC.1....... �� es de rango igual a n.
ULA
�
�
A.4 CONDICION DE OBSERVABILIDAD COMPLETA DE
ESTADO
Dado el sistema
DuCxy
BuAxx
��
���
donde xes el vector de estado (dimensión n)
u vector de control (dimensión r ó escalar)
y vector de salida (dimensión n)
A matriz de nn�
B matriz de rn� ó 1n
C matriz de nm�
D matriz de rm� ó 1m
Es completamente observable si y sólo si los vectores *1**** ,...,, CACAC n� son
linealmente independientes, o la matriz de observabilidad nmnO�
[4]:
� �*1**** ........ CACACO n�� es de rango igual a n.
A.5 OBSERVADORES DE ESTADO
ULA
�
�
Al no tener disponibles todas las variables de estado
para la realimentación de un sistema de control,
necesitamos estimar las variables de estado que no estén
disponibles. La estimación de semejantes variables de
estado, por lo general, se denomina observación.[4]
Los observadores de estado pueden diseñarse si y sólo si, se satisface la condición
de observabilidad.
La observación, se realiza tratando de inferir un valor estimado del vector de los
estados, a partir de nuestro conocimiento del sistema, de nuestra disponibilidad de valores
de la salida y del conocimiento inequívoco de los valores del control que estamos
suministrando al sistema. [8]
A.6 OBSERVADORES DE LUENBERGER
Considere el sistema lineal:
��
���
Cxy
BuAxx
�
���
donde �x es el vector de estado (dimensión n)
ULA
�
�
�u vector de control (dimensión r ó escalar)
�y vector de salida (dimensión n)
Sólo tenemos disponible la salida del sistema. Debemos tratar de reconstruir el
estado x a partir del conocimiento del sistema, es decir; A, B y C, de nuestras mediciones
realizadas sobre la salida y , y del innegable conocimiento que tenemos del valor del
control. [8]
El observador realizará la siguiente función representada en el diagrama de bloques
de la figura A-1.
������ ��� ���������� ������ � �� ������
La propuesta para controlar el sistema está basada en el siguiente diagrama de
bloques, figura A-2:
ULA
�
�
������ � � ��!���� �� ������ "����������� �� ����������
Debemos garantizar que el error de reconstrucción, es asintóticamente estable a
cero.
Definimos al error de observación, como la diferencia entre el valor real del vector
de estado del sistema linealizado, y el valor estimado de tal vector de estado:
��� xxe ˆ�� y � � �� � eCAe ���
Las ecuaciones del observador son:
� �
��
����� �
xCy
yyBuxAx
ˆˆ
ˆˆˆ
�
�����
El vector de parámetros � , juega un papel de realimentador del error de estimación,
en cuanto a su reflejo en los valores de salida. Para seleccionar el mejor � se deben realizar
pruebas de simulación, a fin de evaluar el desempeño general del sistema resultante.
ULA
�
�
A.7 OBSERVADORES DE ORDEN REDUCIDO
Si la variable de salida está representada por una o más variables de estado,
podemos entonces utilizar las mediciones directamente en la elaboración de la ley de
control lineal. [8]
Un observador tiene, en principio, la misma dimensión que la planta del sistema. Si
algunas variables de estado ya son conocidas, no hace falta reconstruirlas. [4]
Si sólo un número inferior de estados debe ser reconstruido, el observador debería
tener dimensión igual al número de variables que deseamos reconstruir, es decir, proponer
un observador de orden reducido.
Suponga que el vector de estado x es un vector de dimensión n, y que el vector de
salida y es un vector de dimensión m medible. Dado que las m variables de salida son
combinaciones lineales de las variables de estado, no necesitan estimarse n variables de
estado, sino sólo m-n variables de estado. Así el observador de orden reducido se vuelve un
observador de (n-m)-ésimo orden.
Considere el sistema
Cxy
BuAxx
�
���
En donde el vector de estado x, se divide en dos partes ax (un escalar) ybx (un
vector de dimensión (n-1)). Aquí la variable de estado ax es igual a la salida y, y por tanto,
se mide directamente, y bx es la parte que no se puede medir del vector de estado. De este
modo, el estado dividido y las ecuaciones de salida se vuelven:
ULA
�
�
� � �
��
�
�
��
��
��
�
��
��
��
b
a
b
a
b
a
bbba
abaa
b
a
x
xy
uB
B
x
x
AA
AA
x
x
.01
..�
�
en donde aaA es un escalar
abA matriz de )1(1 �� n
baA matriz de 1)1( ��n
bbA matriz de )1()1( ��� nn
aB escalar
bB matriz de 1)1( ��n .
Ecuación de salida para el observador de orden reducido:
babaaaaa xAuBxAx ����
Ecuación de estado para el observador de orden reducido:
uBxAxAx bbbbabab ����
)(~)(~ uBxAxkuBxAxAkAx aaaaaebabababebbb ������� ��
como no conocemos la derivada de ax entonces:
� � uBkByAkAkAkAykxAkAxkx aebaaebaeabebbebabebbaeb )()()~)((~���������� �
� (1)
ULA
�
�
Defina
�
�~~~ ����
����
aebeb
aebeb
xkxykx
xkxykx
Entonces la ecuación (1) del observador se convierte en:
� � uBkByAkAkAkAAkA aebaaebaeabebbabebb )()(~)(~ �������� ���
Ecuación del error del observador:
eAkAe
xxe
xxAkAxx
abebb
bb
bbabebbbb
)(
~~)~)((~
��
����
����
�
��
��
������ �#� ��!���� �� �� ���������� �� ����� "��� ����
ULA
�
�
�
A.8 FORMA CANONICA CONTROLABLE O CONTROLADOR DE
BRUNOVSKY, [6]
Txz
BuAxx
�
��� nz ��
vBzATBvzTBkATz
vkxu
cc �����
���1)(�
donde
������
�
�
������
�
�
����
�
�1210 ...
1...000
.......
0...100
0...010
n
c
kkkk
A Matriz compañera de controlabilidad
���������
�
�
���������
�
�
�
1
.
.
.
.
0
0
cB
ULA
�
�
AAPPEENNDDII CCEE BB
�
B.1 LINEALIZACION EXACTA
La linealización exacta es un esquema basado en la utilización de los conceptos
básicos nacidos de la geometría diferencial, para el análisis y diseño de los sistemas de
control. [9]
B.2 PASOS DEL METODO DEL CONTROL CALCULADO
1. Observar si las no linealidades aparecen solamente en la ecuación donde se encuentra la
variable de control.
2. Definir una variable auxiliar v igual a la ecuación donde aparecen las no linealidades y
el control. El sistema que se obtiene es exactamente lineal.
3. Proponer una ley de realimentación lineal de los estados, cuyas trayectorias (del sistema
controlado) se estabilizan asintóticamente al punto de equilibrio deseado.
4. Hallamos el control u no lineal igualando los dos términos de v, (el deseado y el usado
como variable auxiliar), y se despeja u.
ULA
�
�
Los sistemas no lineales de la forma canónica controlable [9]:
uxxxgxxxfx
xx
xx
xx
nnn
nn
),...,,(),...,,(
.
.
.
2121
1
32
21
��
�
�
�
�
�
�
�
�
son exactamente linealizables mediante una redefinición de la variable de control en
términos del estado y una entrada auxiliar externa:
uxxxgxxxfv nn ),...,,(),...,,( 2121 ��
Esta puede ser sintetizada como una ley de control que realimenta linealmente las
variables de estado:
nnnn xaxaxaxav �������� 112211 ...
Comparando ambas v, obtenemos la ley de control que linealiza en forma exacta al
sistema no lineal.
),...,,(
),...,,(...
21
21112211
n
nnnnn
xxxg
xxxfxaxaxaxau
������ ��
La linealización exacta será valida y útil en dos casos:
1. Es valida en todo el ambiente del espacio de estado donde se cumple que:
0),...,,( 21 �nxxxg
ULA
�
�
2. Es útil en la medida en que el sistema lineal en lazo cerrado sea asintóticamente estable
a cero. Porque la estabilidad de este sistema lineal, esta determinada por la ubicación de
las raíces del polinomio característico:
121 ...)( aSaSaSSP n
nn ����� �
Se supone que el polinomio es Hurwitz, es decir, tiene todas sus raíces en el
semiplano izquierdo del plano complejo.
B.3 CAMPO VECTORIAL
Un campo vectorial suave, (campo vectorial infinitamente diferenciable), arbitrario
)(xf representa, en cada punto del espacio n-dimensional de coordenadas x, una dirección
unívocamente especificada por el valor de sus componentes en cada punto.
El campo vectorial )(xf , en una ecuación diferencial autónoma, representa en cada
punto x del espacio, un vector tangente a la trayectoria solución de la ecuación )(xfx �� .
Las soluciones de esta ecuación, están constituidas por las curvas de nivel de la función
escalar )(xh , donde el gradiente de )(xh es un vector, que representa la dirección de
máximo crecimiento de la función misma, dentro del plano donde toma valores su
argumento. [9]
ULA
�
�
B.4 DERIVADA DIRECCIONAL O DERIVADA DE LIE
Se define la derivada direccional de la función
escalar )(xh , respecto al campo vectorial )(xf como:
)()()(
)()( xhxfx
xhxhL Xf
���
��
donde )(xh es una función escalar suave (permite infinitas diferenciaciones respecto a la
componente x).
)(xf es un campo vectorial suave.
La derivada de Lie de )(xh con respecto a )(xf mide en cada punto x del espacio,
la velocidad de variación instantánea, de la función )(xh con respecto a la solución de la
ecuación diferencial xxfdt
dx��� )( que pasa por ese punto x. [9]
El cálculo de la derivada de Lie de una función escalar )(xh , con respecto al campo
vectorial )(xf , y luego el resultado evaluarlo respecto a otro campo vectorial )(xg es:
)()(
)( )()()( xg
x
xhLxhLL xf
xfxg�
��
)()( )()()()( xhLLxhLL xgxfxfxg �
ULA
�
�
B.5 CORCHETE DE LIE
Es un campo vectorial suave para el cual se cumple que [9]:
0)()( )()()()( �� xhLLxhLL xfxgxgxf
� � )()(
)()(
)()( )()( xgx
xhLxf
x
xhLxgxfad xfxg
fg�
��
�
���
B.6 TEOREMA DE FROBENIUS
Base teórica de la teoría de control no lineal moderna. [9]
El conjunto formado por los campos )(xf y )(xg son involutivos, si y sólo si, se
cumple que:
� � � �� �)()()()()( xgfxgxfrangoxgxfrango �
Se afirma que la distribución que contiene a f y g es integrable, si y sólo si, la
distribución es involutiva.
El teorema de Frobenius, nos permite asegurar que existe solución )(xh , para el
sistema de ecuación en derivadas parciales, representado en:
� �)(....)()()()(
321 xfxfxfxfx
xhk
�
�
ULA
�
�
si y sólo si, el conjunto de campos vectoriales )(1 xf , )(2 xf ,..., )(xfk es un conjunto
linealmente independiente e involutivo.
B.7 TRANSFORMACION DE SISTEMAS NO LINEALES A LA
FORMA CANONICA CONTROLABLE
Existe una función )(xh que genera una transformación, válida alrededor de un
punto x del espacio, que reduce al sistema [9]:
uxgxfx )()( ���
a la forma canónica controlable, si y sólo si, se satisfacen las siguientes condiciones:
1. El conjunto de vectores:
� �122 ....,,,, �� nfg
nfgfgfg adadadadg
es linealmente independiente alrededor de x.
2. El subconjunto de campos vectoriales:
� �122 ....,,,, �� nfg
nfgfgfg adadadadg
es localmente involutivo.
La transformación linealizante esta dado por:
!
��������
��������
�
���
� )(
.
.
.
)(
)(
)(
1)(
)(
xhL
xhL
xh
xz
nxf
xf
difeomorfismo
ULA
�
�
B.8 DIFEOMORFISMO
Es una transformación, )(xz �� , que tiene una matriz jacobiana no singular, y
dicha transformación, representa una transformación invertible que además es
diferenciable. [9]
B.9 LINEALIZACION DE ENTRADA SALIDA
Es la transformación de los sistemas no lineales a sistemas lineales en forma exacta,
que involucra transformaciones del espacio de estado y transformaciones del espacio de los
controles. [9]
Esta involucra, la existencia de la función generadora de la transformación del
sistema a la forma canónica controlable.
Si queremos linealizar el sistema en su comportamiento de entrada-salida, la función
generadora candidata estaría constituida por la función de salida. Entonces resultará que no
siempre podemos cumplir con la exigencia de tener sólo la n-ésima derivada de la salida,
dependiente del control.
Si linealizamos solamente el comportamiento entrada-salida del sistema, la
dinámica lineal que induzcamos en esta relación, será en general de orden menor que el
orden del sistema original. La salida sería también función generadora de la linealización
ULA
�
�
entrada-estado, pero suponemos que el control aparece en una expresión anterior a la
n-ésima derivada de la salida. Si u aparece en la derivada de orden r de la salida, nos queda
flotando una dinámica adicional de orden n-r que debemos determinar con toda precisión.
B.10 DINAMICA DE LOS CEROS
La dinámica autónoma representa, una dinámica remanente del sistema cuando el
error de salida cy ��� se encuentra ya, en su valor de equilibrio de cero. Esta dinámica
representa la evolución de un estado con significado real. El sistema autónomo no causa
adicionalmente, efecto alguno sobre la variable de salida ni sobre el error de salida. Esto
quiere decir que, en condiciones de lazo cerrado, la variable � se encuentra desacoplada
del comportamiento entrada-salida del sistema y, por tanto, no puede ser evaluada sobre la
base del conocimiento de la salida, esto hace que la realimentación propuesta haga la
variable � completamente inobservable. [9]
SISTEMA GLOBAL DE FASE MINIMA
Si el punto de equilibrio es único y resulta ser globalmente asintóticamente estable
al origen.
Polos y ceros se encuentran en el semiplano
izquierdo. [9]
ULA
�
�
SISTEMA LOCAL DE FASE NO MINIMA
Si algún punto de equilibrio es inestable.
Al menos un cero en el semiplano derecho. [9]
B.11 GRADO RELATIVO r
La diferencia de grados entre el polinomio en el numerador y el polinomio en el
denominador es de orden r, decimos que tiene una entrada u de grado relativo igual a r, por
tanto, se dice que el sistema es de grado relativo r, que es adjudicable a la única entrada del
sistema [9]:
0)()ˆ,()ˆ,(
�xhLL i
xfxg �� para todo x en un entorno de 0x y para todo 1�� ri y
0)(1
)ˆ,()ˆ,(�� xhLL r
xfxg ��
En una interpretación más sencilla, el grado relativo r es considerado el menor
orden de la derivada de la salida que es afectada directamente por la entrada u. [6]
ULA
�
�
B.12 CARACTERIZACION DE LA LINEALIZACION ENTRADA
SALIDA DE UN SISTEMA NO LINEAL
Sea el sistema [9]
)(
)()(
xhy
uxgxfx
�
���
Las r-1 primeras derivada no dependen de u
)()(
.
.
)()(
)(
)1()(
)1()1(
)(
xhLxhy
xhLxhy
xhy
rxf
rr
xf
��� ��
��
�
��
Además la r-ésima derivada depende del control
uxhLLxhLy rxfxg
rxf
r )()( 1)()()(
)( ��� con 0)(1 �� xhLL rfg
El control que logra la linealización:
ULA
�
�
)(
)()(...)()(1
)()(
0)(11
)(1)(
xhLL
xhmxhLmxhLmxhLu
rxfxg
xfr
xfrr
xf
�
�
������
�
donde los coeficientes se escogen de tal manera que, el polinomio característico dado por:
011
1 ...)( mSmSmSSP rr
r ����� �
�
tenga todas sus raíces en el semiplano izquierdo.
El sistema toma la forma:
�����������
�����������
�
����
��
�
�
rn
rxf
xf
xhL
xhL
xh
x
�
��
�
.
.
)(.
.)(
)(
)(
1
1)(
)(
Las coordenadas (Funciones arbitrarias rn���� ,...,, 21 ) deben escogerse de tal
manera que satisfagan la condición de rango siguiente:
nxhL
xhL
xh
xrango
rn
rxf
xf
�
�����������
�����������
�
�
�
�
�
�
�
.
.
)(.
.)(
)(
1
1)(
)(
ULA
�
�
El sistema transformado se conoce con el nombre de sistema en forma canónica.
B.13 FORMA CANONICA NORMAL
� � � �
1
111
11)()(
1)(
32
21
),(),(
),(),(
.),(),(
�
�����
�����
�����
��
��
�
��
��
����
�
�
���
���
y
uWq
uWq
uhLLhL
rnrnrn
rxfxg
rxfr
�
�
�
�
�
�
�
(1)
Donde )),((),( 1����� ��� jfj Lq rnj �� ,...,1
)),((),( 1����� ��� jgj LW rnj �� ,...,1
Podemos hacer
� � � � 1021111
)()(1
)( ....),(),( ������� mmmuhLLhL rrr
xfxgr
xf ��������
���
entonces el control será [9]:
� �� �),(
...),(11
)()(
102111
)(
��
�����
��
�
�
�
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xf
ULA
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No obstante, si las funciones )),(()),...,(( 111 ������ ��
��� nr son escogidas de tal
forma que 0)( �xL jg� entonces (1) es modificada para obtener la forma normal [4]:
1
11
32
21
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donde � �),()( 1��� ��� hLa r
f
� �),()( 11��� �� �� hLLb r
fg
� �),()( 1���� ��� jfj Lq , njr ���1
Considere un sistema no lineal con grado relativo, en algún punto 0x , igual a la
dimensión del espacio de estado, es decir, nr � . En este caso la forma canónica normal
viene dada por:
ULA
�
�
1
32
21
)(
)()(
�
��
���
��
��
�
�
��
�
�
y
q
uba
nn
r
�
�
�
�
�
La función )(�b es diferente de cero en el punto )( 00 x�� � y en una vecindad de
este. Escogiendo la siguiente ley de realimentación de estado:
� �vab
u ��� )()(
1�
�
donde v es una nueva entrada. El sistema de lazo cerrado resulta ser:
1
1
32
21
�
�
��
��
��
�
�
�
�
�
�
y
vn
nn
�
�
�
�
�
el cual corresponde a un sistema lineal controlable (con un mapa de entrada-salida lineal).
Acciones de control adicionales pueden imponerse al sistema lineal obtenido.
�
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ULA
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ULA
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LL OOSS PPRROOGGRRAAMM AASS RREEAALL II ZZAADDOOSS EENN MM AATTLL AABB
1. Robot Rígido: Observador 1.
%Función para el sistema de robot rígido, con control adaptativo
%robusto usando observador 1.
function xdot=otro(t,x);
tita=1;
I=0.01;
omeg=8/3;
v2=0.3; deltaf=0.3*cos(300*t)*cos(x(1));
m=sqrt(1+(x(1)-x(3))^2+(x(2)-x(4))^2);
v=-(pi/4)*cos(t)+(pi/2)*sin(t)-(2*(x(3)+x(4)))+(pi/2);
%control
uc=(I*(v-x(5)*cos(x(1))));
u=uc;
%ecuaciones de estado
xdot(1)=x(2);
xdot(2)=(u/I)+tita*cos(x(1))+deltaf;
xdot(3)=x(4);
xdot(4)=v+(-2*(x(3)-x(1))-2*(x(4)-x(2)));
xdot(5)=-omeg*((3/8)*((x(4)-x(2))/m)*(cos(x(1))/m)+ v2*(x(4)-x(2)/m)*x(5));
ULA
�
�
xdot=[xdot(1);xdot(2);xdot(3);xdot(4);xdot(5)];
%PROGRAMA ROBOT RIGIDO CON CONTROL ADAPTATIVO ROBUSTO
USANDO OBSERVADOR 1
clear all
t0=0; tf=100; x0=[0 0 0 0 0]';
tita=1; v2=0.3; omeg=(8/3);
I=0.01;tspan=[t0,tf];
[t,x]=ode23('otro',tspan,x0);
ym=(pi/4)*sin(t-pi/2)+(pi/4);
%ley de control
for j=1:length(t),
deltaf(j)=0.3*cos(300*t(j))*cos(x(j,1));
m(j)=sqrt(1+(x(j,1)-x(j,3))^2+(x(j,2)-x(j,4))^2);
v(j)=-(pi/4)*cos(t(j))+(pi/2)*sin(t(j))-(2*x(j,3)+x(j,4))+pi/2;
uc(j)=(I*(v(j)-(x(j,5)*cos(x(j,1)))));
end
clf
figure(1);
subplot(2,2,1), plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,3),'g'); grid
title('x(1) vs x(1) estimado')
ylabel('x(1)')
ULA
�
�
axis([0 100 -0.1 2])
subplot(2,2,2), plot(t,x(:,2),'b',t,x(:,4),'m'); grid
title('x(2) vs x(2) estimado')
ylabel('x(2)')
axis([0 100 -1.6 1.6])
subplot(2,2,3), plot(t,x(:,5),'b',t,tita,'r'); grid
title('Ley de Actualización de Parámetro')
ylabel('titagorro')
axis([0 100 -0.1 2])
subplot(2,2,4), plot(t,u,'r'); grid
title('Control')
ylabel('u')
axis([0 100 -0.1 0.1])
figure(2);
plot(t,x(:,1),'r',t,ym,'b');grid
title('ym(t),(azul). CONTRA y(t)=x(1),(rojo)')
xlabel ('t seg.')
ylabel ('y')
axis([0 100 -0.5 1.9])
figure(3);
subplot(3,1,1),plot(t,x(:,1)-ym,'r');grid
title('Error entre la Deseada (ym) y la Salida (y)')
ULA
�
�
ylabel('error')
axis([0 100 -1 1])
subplot(3,1,2),plot(t,x(:,3)-x(:,1),'r');grid
title('Error entre x(3)(estimado) y x(1)')
ylabel('e1')
axis([0 100 -1 1])
subplot(3,1,3),plot(t,x(:,4)-x(:,2),'r');grid
title('Error entre x(4) (estimado) y x(2)')
ylabel('e2')
axis([0 100 -1 1])
figure(4);
subplot(2,1,1), plot(t,u,'r');grid
title('Control en Transitorio')
ylabel ('u')
axis([0 20 -0.05 0.05])
subplot(2,1,2), plot(t,u,'r');grid
title('Control en Estacionario')
xlabel ('t seg.')
ylabel ('u')
axis([0.8 100 -0.2 0.2])
figure(5);
subplot(2,1,1), plot(t,x(:,5),'r');grid
ULA
�
�
title('Respuesta de Tita Estimada en Transitorio')
ylabel ('tita')
axis([0 80 0 1])
subplot(2,1,2), plot(t,x(:,5),'r');grid
title('Respuesta de Tita Estimada en Estacionario')
xlabel ('t seg.')
ylabel ('tita')
axis([80 100 -1 2])
2. Robot Rígido Observador 2
%Función para el sistema de robot rígido, con control adaptativo
%robusto usando observador 2.
function xdot=robotico(t,x);
tita=1;
I=0.01;
n1=2; n2=2;
omeg=8/3;
v2=0.3;
deltaf=0.3*cos(300*t)*cos(x(1));
m=sqrt(1+(x(1)-x(3))^2+(x(2)-x(4))^2);
v=(1-n2)*(pi/4)*cos(t)+(n1*((pi/4)*sin(t)-x(4)))+(n2*((pi/4)-x(3)));
%control
uc=(I*(v-x(5)*cos(x(1))));
u=uc;
ULA
�
�
%ecuaciones de estado
xdot(1)=x(2);
xdot(2)=(u/I)+tita*cos(x(1))+deltaf;
xdot(3)=x(4)+n1*(x(1)-x(3));
xdot(4)=v+n2*(x(1)-x(3));
xdot(5)=-omeg*((((n1^2)+n2+1)/(2*n1*n2))*(cos(x(1))/m)*((x(4)-x(2))/m)+v2*((x(4)-
x(2))/m)*x(5));
xdot=[xdot(1);xdot(2);xdot(3);xdot(4);xdot(5)];
%PROGRAMA ROBOT RIGIDO CON CONTROL ADAPTATIVO ROBUSTO
USANDO OBSERVADOR 2
clear all
t0=0; tf=100; x0=[0 0 0 0 0]';
tita=1; v2=0.3; omeg=8/3;
I=0.01; tspan=[t0,tf];
n1=2; n2=2;
[t,x]=ode23('robotico',tspan,x0);
ym=(pi/4)*sin(t-pi/2)+(pi/4);
%ley de control
for j=1:length(t),
deltaf(j)=0.3*cos(300*t(j))*cos(x(j,1));
m(j)=sqrt(1+(x(j,1)-x(j,3))^2+(x(j,2)-x(j,4))^2);
v(j)=(1-n2)*(pi/4)*cos(t(j))+(n1*((pi/4)*sin(t(j))-x(j,4)))+(n2*((pi/4)-...
x(j,3)));
uc(j)=(I*(v(j)-(x(j,5)*cos(x(j,1)))));
u=uc;
end
clf
ULA
�
�
figure(1);
subplot(2,2,1), plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,3),'g'); grid
title('x(1) vs x(1) estimado')
ylabel('x(1)')
axis([0 100 -0.5 2.5])
subplot(2,2,2), plot(t,x(:,2),'b',t,x(:,4),'m'); grid
title('x(2) vs x(2) estimado')
ylabel('x(2)')
axis([0 100 -1.6 1.6])
subplot(2,2,3), plot(t,x(:,5),'b',t,tita,'r'); grid
title('Ley de Actualización de Parámetro')
ylabel('titagorro')
axis([0 100 -0.1 1.5])
subplot(2,2,4), plot(t,u,'r'); grid
title('Control')
ylabel('u')
axis([0 100 -0.05 0.05])
figure(2);
plot(t,x(:,1),'r',t,ym,'b');grid
title('ym(t),(azul). CONTRA y(t)=x(1),(rojo)')
xlabel ('t seg.')
ylabel ('y')
axis([0 100 -0.1 2.5])
figure(3);
subplot(3,1,1),plot(t,x(:,1)-ym,'r');grid
title('Error entre la Deseada (ym) y la Salida (y)')
ylabel('error')
axis([0 100 -1 1])
subplot(3,1,2),plot(t,x(:,3)-x(:,1),'r');grid
ULA
�
�
title('Error entre x(3)(estimado) y x(1)')
ylabel('e1')
axis([0 100 -1 1])
subplot(3,1,3),plot(t,x(:,4)-x(:,2),'r');grid
title('Error entre x(4) (estimado) y x(2)')
ylabel('e2')
axis([0 100 -1 1])
figure(4);
subplot(2,1,1), plot(t,u,'r');grid
title('Control en Transitorio')
ylabel ('u')
axis([0 20 -0.05 0.05])
subplot(2,1,2), plot(t,u,'r');grid
title('Control en Estacionario')
xlabel ('t seg.')
ylabel ('u')
axis([0.8 100 -0.2 0.2])
figure(5);
subplot(2,1,1), plot(t,x(:,5),'r');grid
title('Respuesta de Tita Estimada en Transitorio')
ylabel ('tita')
axis([0 20 0.1 2])
subplot(2,1,2), plot(t,x(:,5),'r');grid
title('Respuesta de Tita Estimada en Estacionario')
xlabel ('t seg.')
ylabel ('tita')
axis([20 100 0 2])
�
�
ULA
�
�
�
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�
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EELL PPRROOGGRRAAMM AA RREEAALL II ZZAADDOO EENN MM AATTLL AABB
Depósito con Regulación de Temperatura
%Función para el sistema de Depósito con Regulación de Temperatura, con control adaptativo robusto usando
OBSERVADOR REDUCIDO. function xdot=dep1(t,x);
tif=95;tin=5;
tita=260.41;
k1=0.56e-3;
ULA
�
�
Sb=0.25; Sl=1.6; qs=0.5e-3;
Te=20; T1=30; ro=1000;
Ce=1/(0.24e-3); R=0.24; Vol=100;
deltaf=0.01*sin(10*t);
omeg=5.5; n1=10; v1=6.5;
m=sqrt(1+(x(3)-x(1))^2);
v=-25*(t-tin)^4*(252-1050*(t-tin)/(tif-tin)+1800*(t-tin)^2/((tif-...
tin)^2)-1575*(t-tin)^3/((tif-tin)^3)+700*(t-tin)^4/((tif-tin)^4)-...
126*(t-tin)^5/((tif-tin)^5))/((tif-tin)^5)-5*(t-tin)^5*(-1050*1/...
(tif-tin)+3600*(t-tin)/((tif-tin)^2)-4725*(t-tin)^2/((tif-tin)^3)+...
2800*(t-tin)^3/((tif-tin)^4)-630*(t-tin)^4/((tif-tin)^5))/((tif-...
tin)^5)+n1*(45-5*(t-tin)^5*(252-1050*(t-tin)/(tif-tin)+1800*(t-...
tin)^2/((tif-tin)^2)-1575*(t-tin)^3/((tif-tin)^3)+700*(t-tin)^4/...
((tif-tin)^4)-126*(t-tin)^5/((tif-tin)^5))/((tif-tin)^5)-x(2));
%control
uc=((Sb*x(1))/(T1-x(2)))*(v-(Vol^2/(R*ro*Ce*Sb*x(1)))+x(4)*(((x(2)-Te)*Sl)/...
(ro*Ce*Sb*x(1))));
u=uc;
%ecuaciones de estado
xdot(1)=-k1*(sqrt(x(1))/Sb)+(u/Sb)+deltaf;
xdot(2)=(Vol^2/(R*ro*Ce*Sb*x(1)))-(tita*(x(2)-Te)*Sl)/(ro*Ce*Sb*x(1))+...
((T1-x(2))*u)/(Sb*x(1));
xdot(3)=(u/Sb)-(k1*sqrt(x(3))/Sb)-n1*(x(3)-x(1));
xdot(4)=-omeg*((x(3)-x(1))/m)*(-(x(2)-Te)*Sl/(2*n1*ro*Ce*Sb*x(1)*m)+v1*x(4));
xdot=[xdot(1);xdot(2);xdot(3);xdot(4)];
%PROGRAMA: DEPOSITO CON REGULACIÓN DE TEMPERATURA CON
CONTROL ADAPTATIVO ROBUSTO USANDO OBSERVADOR REDUCIDO.
omeg=5.5, n1=10, v1=0.5
ULA
�
�
clear all
tif=95; tin=5;
t0=0; tf=100; x0=[2.04842445 45.8 2 218.38]';
tspan=[t0,tf];
tita=260.41;
k1=0.56e-3;
Sb=0.25; Sl=1.6; qs=0.5e-3;
Te=20; T1=30; ro=1000;
Ce=1/(0.24e-3); R=0.24; Vol=100;
omeg=5.5; n1=10; v1=6.5;
[t,x]=ode23('dep1',tspan,x0);
%ley de control
for j=1:length(t),
ym(j)=45-5*(t(j)-tin)^5*(252-1050*(t(j)-tin)/(tif-tin)+1800*(t(j)-...
tin)^2/((tif-tin)^2)-1575*(t(j)-tin)^3/((tif-tin)^3)+700*(t(j)-...
tin)^4/((tif-tin)^4)-126*(t(j)-tin)^5/((tif-tin)^5))/((tif-tin)^5);
deltaf(j)=0.01*sin(10*t(j));
m(j)=sqrt(1+(x(j,3)-x(j,1))^2);
v(j)=-25*(t(j)-tin)^4*(252-1050*(t(j)-tin)/(tif-tin)+1800*(t(j)-...
tin)^2/((tif-tin)^2)-1575*(t(j)-tin)^3/((tif-tin)^3)+700*(t(j)-...
tin)^4/((tif-tin)^4)-126*(t(j)-tin)^5/((tif-tin)^5))/((tif-tin) .̂..
5)-5*(t(j)-tin)^5*(-1050*1/(tif-tin)+3600*(t(j)-tin)/((tif-tin) .̂..
2)-4725*(t(j)-tin)^2/((tif-tin)^3)+2800*(t(j)-tin)^3/((tif-tin) .̂..
4)-630*(t(j)-tin)^4/((tif-tin)^5))/((tif-tin)^5)+n1*(45-5*(t(j)-...
tin)^5*(252-1050*(t(j)-tin)/(tif-tin)+1800*(t(j)-tin)^2/((tif-...
tin)^2)-1575*(t(j)-tin)^3/((tif-tin)^3)+700*(t(j)-tin)^4/((tif-...
tin)^4)-126*(t(j)-tin)^5/((tif-tin)^5))/((tif-tin)^5)-x(j,2));
uc=((Sb*x(j,1))/(T1-x(j,2)))*(v-(Vol^2/(R*ro*Ce*Sb*x(j,1)))+x(j,4)*...
(((x(j,2)-Te)*Sl)/(ro*Ce*Sb*x(j,1))));
ULA
�
�
u=uc;
end
clf
figure(1);
subplot(2,2,1), plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,3),'y'); grid
title('X1')
%xlabel('t seg.')
ylabel('x(1) vs x(1) estimado')
axis([0 100 1.8 3.2])
subplot(2,2,2), plot(t,x(:,2),'b'); grid
title('x(2) ')
%xlabel('t seg.')
ylabel('X2')
axis([0 100 39.5 46])
subplot(2,2,3), plot(t,x(:,4),'g',t,tita,'r'); grid
title('Ley de actualización de parámetro')
%xlabel('t seg.')
ylabel('titagorro')
axis([0 100 218.38 265])
subplot(2,2,4), plot(t,u,'r'); grid
title('Control')
%xlabel('t seg.')
ylabel('u')
axis([0 100 -0.1 0.7])
figure(2);
plot(t,x(:,2),'.r',t,ym,'b');grid
title('ym(t),(azul). CONTRA y(t)=x(2),(rojo)')
xlabel ('t seg.')
ylabel ('y')
ULA
�
�
axis([0 100 40 46])
figure(3);
subplot(3,1,1), plot(t,x(:,2)-ym','r');grid
title('Error entre la Deseada (ym) y la Salida (y)')
ylabel ('error')
axis([0 100 -1 1])
subplot(3,1,2), plot(t,x(:,4)-tita,'r');grid
title('Error entre tita y tita estimada')
ylabel ('e1')
axis([0 100 -42 5])
subplot(3,1,3), plot(t,x(:,1)-x(:,3),'r');grid
title('Error entre el Estado x(1) y el Estimado')
xlabel ('t seg.')
ylabel ('e2')
axis([0 100 -0.01 0.06])
figure(4);
subplot(2,1,1), plot(t,u,'r');grid
title('Control en Transitorio')
ylabel ('u')
axis([0 0.8 -0.01 1])
subplot(2,1,2), plot(t,u,'r');grid
title('Control en Estacionario')
xlabel ('t seg.')
ylabel ('u')
axis([0.8 100 -0.01 0.02])
figure(5);
subplot(2,1,1), plot(t,x(:,4),'r');grid
title('Respuesta Transitoria de tita estimado')
ylabel ('tita')
ULA
�
�
axis([0 0.8 218.3 262])
subplot(2,1,2), plot(t,x(:,4),'r');grid
title('Respuesta en Estacionario de tita estimado')
xlabel ('t seg.')
ylabel ('dtita')
axis([0.9 100 253 270])
�
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