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Un poco de lo que vimos hasta ahora
LAS LEYES DEL MOVIMIENTO
Un sistema de referencia en el que son válidas las leyes de la física clásica es aquel en el cual todo cuerpo permanece en un estado de movimiento rectilíneo y uniforme en ausencia de fuerzas.
La variación del momento lineal de un cuerpo es proporcional a la resultante total de las fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se produce en la dirección en que actúan las fuerzas.
Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el cuerpo que la produjo.
Primera ley a partir de la Ecuación de
Newton
)( vmdt
dF
Una ecuación diferencial.
El significado de este “igual” es que las dos funciones coinciden.
Los operadores que actúan sobre las incógnitas no son solo
aritméticos sino que incluyen derivadas e integrales.
La ecuación es vectorial.
Dinámica de (conjunto) de dos cuerpos con fuerzas extensas
F1 F2
211211 )()()( FFvmdt
dvm
dt
dp
dt
d
EXTEXTEXTEXT FFFFFFvmdt
dvm
dt
d212211121211 )()(
EXTFpdt
d)(
Extensión de la segunda ley de Newton (p cambia con Fext)
El experimento de Galileo
El experimento de Galileo :Dejar caer objetos de distinta masa desde una altura y ver si caen con la misma velocidad. Problema: el experimento
no funciona.
Funciones del movimiento, velocidad,
tiempo y espacio.
mg
Posibilidad 2: Resolver directamente las ecuaciones para v(x) o x(v). ¿Como?
0
Podemos resolver directamente las ecuaciones de movimiento sobre una variable que no sea el tiempo.
h=(H-x)
)( vmdt
dF
dt
dvg
dt
dvmmg
dt
dx
dx
dv
dt
dvg
g
v
dv
dxv
dx
dvg
g
vgx
g
vx
g
v
dv
dx
22
22
gxvg
vx 22
2
)()( vmdt
dxF
dt
dvmxF )(
Asumamos por Simpleza que:
dvvmdxxF )(
Entonces:
dt
dx
dx
dvmxF )( v
dx
dvmxF )(o
O aun reordenando términos:
Trabajo y Cinética: Una diapositiva repleta de ecuaciones
Diferencial de Trabajo(por definición) y aquí se
adivina la relevancia de esta cantidad.
Diferencial de Energía Cinetica
dvmvvm
d )2( 2
mvdv
vm
d)
2( 2
LOCAL Y GLOBA: DE VUELTA A LA DISTANCIA ENTRE
FUNCIONES
222
211 2
1)(
2
1)( mvxUmvxU
21
2221 2
1
2
1)()( mvmvxUxU
•Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la posición (Energía) que permanece constante
•La velocidad es una función exclusiva del espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y su energía inicial, para conocer su velocidad.
•Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos al punto original, nada ha cambiado (es decir la velocidad es la misma, la posición la misma, la física (las fuerzas) la misma y por lo tanto todo se repite, resultando en oscilaciones. En particular, no es demasiado difícil oscilar en un mundo no disipativo. Basta volver a pasar en algún momento por el punto de origen.
(x1,v1)
(x2,v2)
2)( xbxaxF
¿Como es el movimiento si (a y b > 0), si (a < 0 y b > 0), si (a > 0 y b < 0) si (a < 0 y b < 0)?
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. 2)( xbxaxF
b
a
b=0
-5 0 5-40
-30
-20
-10
0
10
-5 0 5-10
0
10
20
30
40
-5 0 5-40
-30
-20
-10
0
10
-5 0 5-10
0
10
20
30
40
F=0
Formas canónicas de movimiento: Una representación correcta y adecuada (entendiendo todo en un “golpe de
ojo”)
2)( xbxaxF
b
a
b=0
-5 0 5-20
0
20
40
-5 0 5-20
0
20
40
-5 0 5-40
-20
0
20
-5 0 5-40
-20
0
20
)cos()()( xxxsenxF
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
)()( xsenxxU
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2
-1
0
1
2
3
4
5
¿Que soluciones existen en este rango?
Energía menor que la barrera
Energía mayor que la barrera
)cos()()( xxxsenxF
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
)()( xsenxxU
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2
-1
0
1
2
3
4
5
¿Que soluciones existen en este rango?
La energía es mayor o igual
que el valor de U en xo.
Esto se debe al hecho de que T
nunca es negativa
U(x)
E=U(x)+T > U(x)
UNA VEZ MAS VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA En un punto dado del espacio, una función no puede más que:
• Tener un máximo. (Equlibrio inestable)
• Tener un mínimo (Equlibrio estable)
• Ser constante. (Punto indiferente)
• Crecer o decrecer (Punto de aceleración)
A partir de una función potencial uno puede LEER el movimiento y conocer en pleno detalle todos sus aspectos cualitativos. Por lo tanto, el problema del movimiento en una dimensión, con fuerzas conservativas esta, esencialmente, resuelto. En lo que sigue extenderemos este problema a un mundo que será mas complejo por:1) La dimensionalidad del espacio (pasar de la línea al plano) lo cual introduce una relación entre la geometría y la dinámica.2) La introducción de fuerzas no conservativas que, veremos, no permiten utilizar una función temporal.
Movimiento genérico en la línea resulta de una yuxtaposición de estos operadores elementales.
Un acercamiento a la mecánica por
componentes fundamentales.
Tres ingredientes de la mecánica tres:
LA MASA
M
La masa: Inercia, tendencia a permanecer en el estado de movimiento actual. Resistividad a la fuerza. La energía cinética escalea con la masa manifestando el hecho de que la fuerza necesaria para modificar la cantidad de movimiento es proporcional a la masa.
La masa también es el factor de escala de la fuerza de gravedad y por lo tanto, en presencia de fuerzas gravitatorias este es también un factor de escala de la energía potencial.
Tres ingredientes de la mecánica tres:
EL AMORTIGUADOR
El amortiguador: Disipador de energía. Capacidad de absorción de un medio externo. Se opone sistemáticamente a la dirección de movimiento resultando en la consecuente perdida de energía cinética sin transferir esa energía a un potencial acumulado.
La amortiguación resulta de las fuerzas viscosas entre el amortiguador y un medio, correspondientes a un “resumen estadistico” de numerosas interacciones moleculares. La energia que pierde el amortiguador es absorvida por el medio en formas no necesariamente mecanicas, por ejemplo, calor.
Tres ingredientes de la mecánica tres:EL RESORTE
El resorte: Fuerza elastica, resistencia al desplazamiento de manera independiente de la velocidad con la que se llega a esa posición. Resistencia al cambio de forma. Un objeto que ejerce una fuerza
proporcional a la posición. Tiende por lo tanto a restituir el movimiento hacia el punto de equilibrio y evitar el cambio de forma. Su estiramiento resulta en una “acumulación de fuerza” o “carga de energía potencial”.
Tres ingredientes de la mecánica tres:
LA MASA
La masa: Inercia, tendencia a permanecer
en el estado de movimiento actual.
Resistividad a la fuerza. También es el factor de escala de la fuerza de
gravedad.
El amortiguador: Disipador de energía. Capacidad de absorción de un medio
externo. Se opone sistemáticamente a la
dirección de movimiento resultando en la consecuente perdida de energía cinética
sin transferir esa energía a un potencial acumulado.
El resorte: Un objeto que ejerce una fuerza
proporcional a la posicion. Tiende por lo
tanto a restituir el movimiento hacia el
punto de equilibrio. Su estiramiento resulta en una “acumulacion de fuerza” o “carga de energia potencial”.
Dinámica de los tres ingredientes en una fuerza constante: LA MASA
Ft
m
Fv
2
2m
Ftx
0
Notar que la aceleración no es independiente de la masa
Una masa responde a una fuerza modificando su velocidad en esa dirección. Esta modificación es menor a medida que crece la masa.
Un problema conocido, con alguna sutileza.
Dinámica de los tres ingredientes en una F constante: AMORTIGUADOR
El amortiguador esta postulado por ahora como objeto mecánico que “por definicion” ejerce una fuerza inversamente proporcional a la velocidad. Aplicada una fuerza externa F la velocidad cambia a velocidad “infinita” dada la ausencia de la masa. A medida que la velocidad aumenta, el medio ejerce una fuerza creciente que alcanza un equilibrio cuandoA esta velocidad las dos fuerzas se cancelan, con lo que no hay fuerzas resultantes y la velocidad se mantiene constante. Notese que la fuerza esta ejerciendo trabajo en permanencia (inyectando energia) para mantener esta velocidad constante.
F
vF
F
v
Dinámica de los tres ingredientes en una fuerza constante: EL RESORTE
El RESORTE esta postulado como objeto mecánico que “por definicion” ejerce una fuerza inversamente proporcional a la distancia. Aplicada una fuerza externa F la velocidad cambia a velocidad “infinita” hasta el “infinito” dada la ausencia de la masa. Esto resulta en un desplazamiento en tiempo cero hasta que la fuerza ejercida por el resorte, que aumenta con la distancia, igual a la fuerza externa, lo cual sucede para la posición: Notar que este es un punto de equilibrio “estatico” y por lo tanto la fuerza no inyecta energia al sistema. El resorte no disipa. La energia entregada por la fuerza externa durante el desplazamiento esacumulada en forma de energía potencial (mecánica) y será nuevamente transformada en cinética una vez que la fuerza externa desaparezca.
F
xF
k
Fx
Tres ingredientes de la mecánica tres:
“La Fuerza” ejercida sobre cada uno.
Tres ingredientes de la mecánica tres:POSICION en fuerza constante.
La velocidad crece lentamente (derivada continua) debido a la
resistencia de la masa, y por ende la posición evoluciona cuadraticamente.
Esta velocidad (pendiente) crece arbitrariamente mientras dure al fuerza (aceleración constante)
x
t
Tres ingredientes de la mecánica tres:POSICION en fuerza constante.
Abruptamente cambia la velocidad (derivada de la posición) debido a una fuerza que actúa sin
resistencia (masa) y satura a una velocidad critica.
La velocidad crece lentamente (derivada continua) debido a la
resistencia de la masa, y por ende la posición evoluciona cuadraticamente.
Esta velocidad (pendiente) crece arbitrariamente mientras dure al fuerza (aceleración constante)
x
t
Tres ingredientes de la mecánica tres:POSICION en fuerza constante.
Abruptamente cambia la velocidad (derivada de la posición) debido a una fuerza que actúa sin
resistencia (masa) y satura a una velocidad critica.
La velocidad crece lentamente (derivada continua) debido a la
resistencia de la masa, y por ende la posición evoluciona cuadraticamente.
Esta velocidad (pendiente) crece arbitrariamente mientras dure al fuerza (aceleración constante)
Abruptamente cambia la posición, lo cual implica que la velocidad aumenta
repentinamente a infinito. Esto sucede porque no hay masa que resista la fuerza ni viscosidad que
acote el crecimiento de la velocidad que, en este instante, vale infinito.
x
t
Tres ingredientes de la mecánica tres:VELOCIDAD en fuerza constante.
En ausencia de masa la velocidad crece hasta llegar al punto en que la fuerza de
resistencia compensa la fuerza ejercida donde se alcanza una posición de
equilibrio.
La velocidad comienza a crecer abruptamente (continua, pero con derivada discontinua, dada por la
aceleración) En general, en presencia de masa, la posición es continua y derivable y la velocidad continua
(pero no necesariamente derivable)
La velocidad es infinita durante un instante infinitamente corto, hasta que
la posición es tal que la fuerza elástica compensa la fuerza ejercida.
La integral de la velocidad es la posición y por lo tanto el área bajo
esta curva es igual a x de equilibrio.
Área = F/kv
t
Tres ingredientes de la mecánica tres:ACELERACION en fuerza constante.
La velocidad aumenta con rapidez infinita hasta llegar al
valor de equilibrio. El área bajo la curva de aceleración corresponde al cambio de
velocidad.
La aceleración es proporcional a la fuera, según la ley de Newton
(siempre y cuando haya masa). La aparición súbita de la fuerza genera
una discontinuidad en la aceleración.
Esta derivada queda libre de imagen
F
Area a
t
Combinando ingredientes fundamentales, hacia una
variedad de mundos posibles.
Un objeto mecánico resultara de una combinación de uno o varios de estos elementos fundamentales. Los resortes contribuyen a la deformabilidad o elasticidad, los amortiguadores a la viscosidad o disipación y la masa a la inercia.
¿Cómo medir fuerzas, desplazamientos, velocidades,
viscosidades y la física en un mundo microscópico?
Steven Chu, un prócer experimental
(Premio Nobel 1997)
La herramienta basica: Optical Tweezers. Un pozo de potencial altamente focalizado
Steven Block. Ideas de Berg y tecnologia de
Chu.
Howard Berg, uno de los padres de la biofísica
moderna. ¿Cómo y porque se mueven las bacterias?
Una primera aplicación de esta tecnología: Jugando
con E.Coli cual el gato con el ratón.
Block, S.M., Blair, D.F., and Berg, H.C. "Compliance of bacterial flagella measured with optical tweezers." Nature 338, 514-517 (1989)
Movimiento “rígido” de una bacteria, de una proteína o
de una placa.
¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el movimiento de una bacteria?
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
La combinación de una masa y un amortiguador modela el movimiento de un objeto rígido (que no se
deforma) en un medio viscoso. Los tiempos característicos de este movimiento quedan
determinados por la relación entre la masa y la viscosidad.
=
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
=
dt
dvmvF
F
v
La ecuación diferencial de Newton
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
=
dt
dvmvF
F
v
CeCvvdt
dvmF t 2 Una solución general
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
=
dt
dvmvF
F
v
CeCvvdt
dvmF t 2
Es la “única” función igual a un mulitplo de su derivada salvo una constante multiplicativa
La constante es necesaria para resolver el termino de la fuerza constante.
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
=
dt
dvmvF
F
v
CeCvvdt
dvmF t 2
CeemF tt
m
mm
10
F
C
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso) : La solución Formal
meF
vt
:)1(
La velocidad vale cero al principio y en un tiempo critico que es proporcional a la masa e inversamente proporcional a la viscosidad alcanza un régimen de
velocidad casi constante.
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F=[2:2:20]
v
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14
16
18x 10
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Velocidad Posicion
γ=1M=1
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F=1
v
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
M=1[2:2:20]γ=1
Velocidad Posicion
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F=1
v
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
M=1[2:2:20]γ=1
Velocidad Posicion
Salto abrupto de velocidad para masa pequeña
Tiempo critico aumenta con masa
Regimen Inercial
Régimen viscoso
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
M=1v
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
γ=[0.25:0.25:5]
F=1
Velocidad Posicion
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