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Probabilidad y Estadística - Unidad IV -Probabilidad
mayo de 2010
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Unidad IV. Probabilidad
Lic. Eduardo Grossi
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
Objetiva
Enfoques de la definición
Aunque parece un concepto simple, debido a que esutilizado cotidianamente de manera intuitiva, sudefinición formal puede ser un poco complicada desde elpunto de vista matemático.
Subjetiva
EnfoquesClásica o a priori
Frecuencia relativa o a posteriori
Probabilidad y Estadística - Unidad IV -Probabilidad
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DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
Probabilidad subjetiva o personalística
(Savage 1950) La probabilidad mide la confianzaque el individuo tiene sobre la certeza de unaproposición determinada.
Ejemplo
Basado en su experiencia, un Lic. en turismo puede afirmar que este verano tendremos una ocupación hotelera del 80% con una probabilidad de 90%. Este concepto de las probabilidades ha dado lugar a un enfoque del análisis de datos estadísticos denominado “ Estadística Bayesiana”.
En este enfoque, se define la probabilidad como:
P = Casos Favorables / Total de Casos Posibles
donde “Casos Favorables” son aquellos que nos interesan poralgún motivo
De la definición se desprende que 0 P 1
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
Probabilidad Objetiva
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Probabilidad Clasica o apriori
Data del siglo XVIII (Pascal, Fermat), sedesarrolla al intentar resolver problemasrelacionados con juegos de azar (dados,monedas, ruleta, etc.)
Se calculan las probabilidades medianteun razonamiento abstracto. Se determinala probabilidad de ocurrencia de unevento, sin necesidad de llevar a cabo unaprueba previa. (No es necesario lanzaruna moneda para saber que laprobabilidad de obtener ceca es ½).
Probabilidad Clásica o a priori
Definición .- Si un evento puede ocurrir de N,formas, las cuales se excluyen mutuamente yson igualmente probables, y si m de estoseventos poseen una característica E, laprobabilidad de ocurrencia de E es igual am/N.
( )m
P E =N
para m ≤ N
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Frecuencia relativa o a posteriori
Se determina la posibilidad numérica de ocurrencia deun evento (elemento de un conjunto), mediante unaprueba previa (experimento).
La probabilidad es el cociente entre los resultadosfavorables (m) y los resultados obtenidos (n).
para m ≤ n
mP =n
A medida que el número de experimentos crece (n), la probabilidad a
posteriori tiende a la probabilidad a priori (Probabilidad Ideal) (n -> N)
La probabilidad de obtener el 4 al arrojar un dado común será:
Casos Favorables =
Casos Posibles =
1/6 = 0,1667 ó P = 16,67 %
Ejemplos
La probabilidad de extraer un rey de un mazo de 48 cartas será:
Los ejemplos anteriores ilustran el cálculo de probabilidades de
sucesos simples, en los que se impone una única condición.
P = 4/48 = 0,0833 = 8,33 %
1 (sólo interesa el Nº 4)
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P =
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1. Probabilidad del Espacio Muestral
Espacio muestral: Conjunto que contiene todos los eventos que pueden ocurrir, por lo tanto la probabilidad es igual a uno.
P(S) = 1 o 100%
2. Probabilidad del los Eventos del Espacio Muestral
Si los eventos del espacio muestral son mutuamente excluyentes, la probabilidad de ocurrencia de cada uno debe ser menor a 100% y mayor al 0%. La suma de las probabilidades de todos los eventos debe ser igual a la probabilidad del espacio muestral.
Características Principales para el
manejo de probabilidades
3. Probabilidad del Evento Imposible
Todo Conjunto de elementos tiene comosubconjunto al conjunto vacío, por lo tanto si laprobabilidad del conjunto es 100%, laprobabilidad del conjunto vacío es 0%;
P(Ø) = 0; donde Ø es el conjunto vacío
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Probabilidad de ocurrencia de
dos o más eventos
Operaciones Con Sucesos
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• Sean A1, A2,....., An conjuntos de sucesos
mutuamente excluyentes (no existe intersección entre
ellos). La probabilidad de que un suceso pertenezca a
cualquiera de los conjuntos A1, A2,......, An es igual a
la suma de las probabilidades de que el suceso
pertenezca a los conjuntos individuales.
Eventos mutuamente excluyentes
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A1 A2 An
Es decir:
P (A1+A2+.....+An) = P(A1) + P(A2) + ...... + P(An)
Dicho de otro modo: La probabilidad de que ocurra un suceso
compuesto de dos o más sucesos que se excluyen entre sí,
es igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de
cada uno de estos sucesos.
NOTA: Dos sucesos se excluyen entre sí (o son mutuamente excluyentes) si la ocurrencia de uno imposibilita la ocurrencia del otro.
Ejemplo:
Calcular la probabilidad de que al arrojarun dado normal salga un 4 ó un 5.
Estamos ante un caso de sucesosmutuamente excluyentes ya que si sale unNº no sale el otro y viceversa.
Entonces:
P4 ó 5 = P4 + P5 = 1/6 + 1/6 = 1/3 = 0,3333 = 33,33 %
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Eventos Independientes
La probabilidad de que ocurra un suceso compuesto de dos omás sucesos que no se excluyen entre sí y que sonindependientes, es igual al producto de las probabilidadesde ocurrencia de cada uno de estos sucesos.
P (E1 y E2) = P (E1 E2) = P (E1) x P(E2)
En este caso la probabilidad de ocurrencia de un evento
no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento
dentro del mismo espacio muestral.
NOTA: dos sucesos son independientes si laprobabilidad de ocurrencia de uno no depende de laocurrencia o no del otro y viceversa.
Ejemplos:
Se arrojan dos dados normales, uno rojo y otro azul.Calcular la probabilidad de obtener un 4 en el dado rojoy un 5 en el dado azul.
Los sucesos no son excluyentes (el hecho de que salgael 4 en el dado rojo no imposibilita que salga el 5 en elazul) y son independientes (la probabilidad de que salgael 4 en el rojo es independiente de que en el azul salga el5 ó cualquier otro número). Entonces:
P4R y 5A = P4R x P5A = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,0278 = 2,78%
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En el caso de que dos conjuntos A1 y A2 no sean mutuamente
excluyentes (es decir que se intersectan), la probabilidad de que
un suceso pertenezca a un conjunto o a otro es igual a la suma de
las probabilidades de que el suceso pertenezca a los conjuntos
individuales menos la probabilidad de que el suceso pertenezca a
ambos conjuntos simultáneamente (es decir menos la
probabilidad de que el suceso pertenezca a la intersección).
P (A1oA2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 A2)
E1 E2
Eventos que se traslapan
parcialmente
a1 A1A2 a2
• Cuando los eventos de un espacio muestral
contienen elementos en común, se dice que son
DEPENDIENTES, esto es que la probabilidad
de ocurrencia de un evento afecta a la de otros
eventos dentro del mismo conjunto:
P (A1yA2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 A2)
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• Eventos mutuamente excluyentes:
• Eventos que no son mutuamente excluyentes:
– Eventos Independientes
– Eventos que se traslapan parcialmente
P (E1o E2) = P (E1 E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2)
– Eventos Dependientes
Resumen
P (E1 E2) = P(E1) + P(E2)
P (E1 y E2) = P (E1 E2) = P (E1) x P(E2)
P (E1y E2) = P (E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2)
Ayuda Memoria: cuando se está ante una condición lógica “O” se deben
SUMAR las probabilidades individuales; cuando se está ante una condición
lógica “Y” se deben MULTIPLICAR las probabilidades individuales. (Salvo
para eventos dependientes)
Clase
Social
Uso más Frecuente de la Tarjeta de Crédito
TotalEntretenimiento
(E)
Adquisición
de Bs (A)
Pago de
Servicios (P)
Superior (S) 112 120 43 275
Media (M) 234 429 137 800
Inferior (I) 89 286 50 425
Total 435 835 230 1.500
Ejemplo: Para tratar de determinar la relación entre clase
socio-económica y tipo más frecuente de uso de la tarjeta de crédito, se
entrevistaron a 1.500 poseedores de tarjeta y se obtuvo la siguiente
información
a) Si se selecciona al Azar uno de los entrevistados, ¿Cuál es las
Probabilidad de que:
i. Use la tarjeta con más frecuencia para la adquisición de bienes?
ii. Pertenezca a la clase socio-económica media?
iii. Pertenezca a la clase socioeconómica media y utilice la tarjeta con
mas frecuencia para la adquisición de bienes?
b) Son los sucesos M y A independientes?
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Resolución
a – i)
P(A) = 835/1.500 = 0,5567
a – ii)
P(M) = 800/1.500 = 0,5333
a – iii)
P(M A) = 429 / 1.500 = 0,286
b) Si A y M son independendientes entonces:
P(M A) = P(A) * P(M)
Comprobación:
0,286 [0,5333 * 0,5567]
0,2969
M y A NO SON
INDEPENDIENTES
Probabilidad Condicional
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Si la probabilidad de ocurrencia de un evento
depende completamente de la ocurrencia de
otros eventos, dentro del mismo espacio
muestral, se dice que el segundo evento esta
condicionado a la ocurrencia del primer evento.
Es decir que la ocurrencia de B depende de que
ocurra A
P(B\A) = P(A B)
P(A)
• Utilizando los datos del ejemplo anterior, calcular:
a) La probabilidad de que dado que un entrevistado
pertenece a la clase socio-económica Superior,
utilice su tarjeta con más frecuencia en
entretenimientos
b) La probabilidad de que el entrevistado no
pertenezca la clase socio-económica inferior dado
que utiliza su tarjeta de crédito con más
frecuencia para el pago de servicios
Ejemplo:
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a)
P(E\S) = P(E S) =
P(S)
Resolución
P(P\Ī) = 0.0287 + 0.0913 = 0.1674
0.7167
112/1.500 = 0,4072
275/1.500
b)
P(P\Ī) = P[P\(M S)] = P[P (M S)] = P[(P S)] + P[(P M)]
P(M S) P(M S)
P[(P S)] =
P[(P M)] =
P(M S) =
43/1.500 = 0,02867
P(M) + P(S) = 800 + 275 = 0,7167
1.500 1.500
137/1.500 = 0,0913
Clase
Social
Uso más Frecuente de la
Tarjeta de Crédito Total
E A P
S 112 120 43 275
M 234 429 137 800
I 89 286 50 425
Total 435 835 230 1.500
Regla de Eliminación y
Teorema de Bayes
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• El espacio muestral está formado por eventos MUTUAMENTE EXCLUYENTES
• Un evento se TRASLAPA parcialmente,
• La ocurrencia del evento traslapado, depende de la ocurrencia de al menos uno de los eventos del espacio muestral
La ocurrencia de e1 está condicionada por la ocurrencia de E1 y no viceversa; lo mismo para el resto de los eventos
E1 E2 E3 …... En
e1 e2 e3 …... en
S
Regla de Eliminación
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Durante un mes de la temporada de Invierno, el Hotel “El Indio”, vende, en
promedio, 10 habitaciones triples, 80 habitaciones dobles y 50 simples.
Sus estadísticas muestran que por lo general, y también como promedio
mensual, le cancelan 2 habitaciones triples, 10 dobles y 5 simples. El hotel
desea saber cuál es la probabilidad de tener al menos una cancelación
durante el próximo mes de julio.
Ejemplo:
Habitaciones triples Habitaciones Dobles Habitaciones simples
T = 10 D = 80 S = 50
Cancelación Cancelación Cancelación
Hab. Triples Hab. Dobles Hab. Simples
t = 2 d = 10 s = 5
S = Ventas Mensuales promedio, durante
temporada de Invierno, del Hotel “El Indio”
P(T) = 10/140 = 0,0714 = 7,14%
P(D) = 80/140 = 0,5714 = 57,14%
P(S) = 50/140 = 0,3571 = 35,71%
Luego
P(t\T)= P(probabilidad de cancelación dado que se venden hab. Triples) = 2/10 = 0,20 = 20%
P(d\D) = 10/80 = 0,125 = 12,5%
P(s\S) = 5/50 = 0,10 = 10%
Por lo tanto la probabilidad de obtener una cancelación será
P = P(T)*P(t\T) + P(D)*P(d\D) + P(S)*P(s\S)
= 0,0714 * 0,20 + 0,5714 * 0,125 + 0,3571 * 0,10
= 0,121415 = 12,14%
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TEOREMA DE BAYES
Ejemplo
Si se selecciona un artículo aleatoriamente de la línea de producción:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de primera calidad?
b) Sabiendo que el artículo seleccionado es de primera calidad, ¿Cuál es la
probabilidad de que el mismo haya sido producido por la máquina A?
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P(A) = 0.30 P(B) = 0.50 P(C) = 0.20
I = Artículo de Primera Calidad
Ī: artículo que no es de primera calidad
Entonces:
P(I\A) = 0,8 P(Ī\A) = 1- P(I\A) = 0,20
P(I\B) = 0,7 P(Ī\B) = 1- P(I\B) = 0,30
P(I\C) = 0,9 P(Ī\C) = 1- P(I\C) = 0,10
Por lo tanto, y haciendo uso de la def. de probabilidad condicional:
P(A I) = P(A) * P(I\A) = 0,30 * 0,80 = 0,24
P(A Ī) = P(A) * P(Ī\A) = 0,30 * 0,20 = 0,06
P(B I) = P(B) * P(I\B) = 0,50 * 0,70 = 0,35
P(B Ī) = P(B) * P(Ī\B) = 0,50 * 0,30 = 0,15
P(C I) = P(C) * P(I\C) = 0,20 * 0,90 = 0,18
P(C Ī) = P(C) * P(Ī\C) = 0,20 * 0,10 = 0,02
Si se selecciona un artículo aleatoriamente de la línea de producción:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de primera calidad?
P(I) = P[P(A I) P(B I) P(B I)]
P(I)= P(A I) + P(B I) + P(B I)
= 0,24 + 0,35 + 0,18
= 0,77 = 77%
b) Sabiendo que el artículo seleccionado es de primera calidad, ¿Cuál
es la probabilidad de que el mismo haya sido producido por la
máquina A?
P(A\I) )= P(A) * P(I\A) = 0,30 * 0,80 = 0,24 = 0,31 ó 31%
P(I) 0,77 0,77
Por lo tanto la probabilidad de que la máquina A haya
producido un artículo de 1º Calidad elegido al Azar es del
31%
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DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDADES
1. Introducción
2. Distribución de probabilidad por probabilidad1. Binomial (discreta)
a. Binomial con tendencia a normal
2. Poisson (discreta
a. Poission con tendencia a Normal
3. Normal (Normal)
Definición
• Una distribución de probabilidad indica toda la gama devalores que pueden representarse como resultado de unexperimento si éste se llevase a cabo. Es por lo tanto larelación existente entre los diferentes eventos de un espaciomuestral y sus respectivas probabilidades de ocurrencia.
• Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realiceen el futuro.
• Constituye una herramienta fundamental para la prospectiva,puesto que se puede diseñar un escenario deacontecimientos futuros considerando las tendencias actualesde diversos fenómenos.
1. Introducción
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• Otra manera de identificar la distribución de
probabilidades es relacionando los elementos
de un arreglo o una distribución de frecuencias,
con su respectiva frecuencia relativa, la cual se
considera como la probabilidad de ocurrencia de
los elementos o las clases.
• Entonces trabajamos con estadística inductiva,
con información proveniente de la estadística
descriptiva.
Valores de la
variableXi =
Cantidadde
paquetes vendidos
Frecuencia absoluta
Fi
Frecuencia relativa Fr=Fi/N
PorcentajeFi/N x 100
Fr*100
1 9 0,1169 11,69%
2 11 0,1429 14,29%
3 15 0,1948 19,48%
4 15 0,1948 19,48%
5 10 0,1299 12,99%
6 7 0,0909 9,09%
7 5 0,0649 6,49%
8 4 0,0519 5,19%
10 1 0,0130 1,30%
N= Fi=77 Fr=1.00 =100,00%
La probabilidad que la
empresa venda 3
paquetes turísticos en un
mes es
P(Xi = 5) = 12,99%
Los eventos son cada uno
de los valores posibles de
la variable,
independientemente de la
cantidad de veces que
cada uno de ellos se
repita
La mayor probabilidad de
ocurrencia la tiene aquel
evento que se
corresponde con el valor
Modal.
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Clase Fi Xi Fr
1 - 50 80 25,5 80/489 = 0,1636 = 16,36%
51 - 100 130 75,5 130/489 = 0,2658 = 26,58%
101 - 150 120 125,5 120/489 = 0,2454 = 24,54%
151 - 200 80 175,5 80/489 = 0,1636 = 16,36%
201 - 250 67 225,5 67/489 = 0,1370 = 13,70%
251 - 300 12 275,5 12/489 = 0,0245 = 2,45%
489
La probabilidad de que el gasto en sábanas del hotel sea igual a $ 225,5 es
P(X=225,5) = 13,7%
Nuevamente el evento que tiene mayor probabilidad de ocurrencia es aquel
que se corresponde con el valor modal de la distribución.
Concepto de variable
Una variable es una propiedad o atributo que puedevariar de un individuo (u objeto) a otro y que essusceptible de ser medida.
Clasificación de variables :
Cualitativas (Categóricas).- Las mediciones solo
expresan cualidades (Turista/No turista, Extranjero/Nacional, Varón/Mujer)
Cuantitativas (Numéricas).- Cantidad del atributo(edad, gasto promedio por día, cantidad de camasinstaladas, número de mesas ocupadas, etc.)
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• Toda distribución de probabilidad es generada poruna variable aleatoria (porque el valor tomado estotalmente al azar), y puede ser de dos tipos:
1. Variable aleatoria discreta (x). Porque solo puede tomarvalores enteros y un número finito de ellos. Por ejemplo:
• x Variable que nos define el número de alumnosaprobados en la materia Probabilidad y Estadística en ungrupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40).
• PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA(X)
a) 0 ≤ p(xi) 1 Las probabilidades asociadas a cada uno de losvalores que toma x deben ser mayores o iguales a cero ymenores o iguales a 1.
b) p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cadauno de los valores que toma x debe ser igual a 1.
2. Variable aleatoria continua (x). Porque puede tomar
tanto valores enteros como fraccionarios y un número
infinito de ellos dentro de un mismo intervalo.
Por ejemplo:• x Variable que nos define el gasto promedio diario de los
turistas que visitan la ciudad de Mendoza en un año ($100,20 ;
$121,50; $200,25; $315,80; $ 400,00; …; )
PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (X)
– p(x) 0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x
deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de
densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero.
• El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1.
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Binomial
• Discreta
Poisson
• Continua: Normal
Principal Característica: Existe una probabilidad
de base de ocurrencia, p, y esta se aplica a una
serie de N eventos sucesivos
2. Distribución de Probabilidad por
Probabilidad
La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de
variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es
posiblemente la más importante.
Esta distribución corresponde a la realización de un experimento
aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:
• Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso
k, llamado éxito, o su contrario k’ , llamado fracaso.
• Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente
de los resultados obtenidos anteriormente.
• La probabilidad del suceso k es constante, es decir, no varía de una
prueba del experimento a otra. Si llamamos p a la probabilidad de k,
p(k) = P, entonces p(k’)= 1 – p = q
• En cada experimento se realizan N pruebas idénticas.
2.1 Distribución Binomial
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• P(k; N, p) = pk qN – k
Donde:
k: Nº de éxitos
N: Cantidad de observaciones o experimentos
p: Probabilidad de obtener un éxito
q: Probabilidad de no obtener un éxito (q=1-p)
Ejemplo de cálculo de un número factorial
8!=8*7*6*5*4*3*2*1=40.320
N
k
P(k; N, p) = N!
k! * (N – k)!pk qN - k
• En esta distribución, los diferentes valores de k representan a la V.A, cuando se conocen todos los resultados posibles de éxito que se pueden lograr. Sin embargo, para el análisis estadístico no se requiere más que conocer el valor esperado que viene dado por la siguiente expresión:
μ = N*p
así como la Varianza y la Desviación Estándar por:
σ 2 = N*p*q σ = √N*p*q
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• Un restaurante recién inaugura y contrató dos mozas y 8 mozos, para decidir que mozo atiende a los próximos 3 clientes que lleguen al restaurante, se selecciona a uno de ellos al azar considerando a los 10 cada vez.
¿Cuál es la probabilidad de que:
a – ninguno de los 3 clientes sea atendido por una mujer?
b – dos de los 3 clientes sean atendidos por una mujer?
c – menos de un cliente sea atendido por una mujer?
d – menos de tres clientes sean atendidos por una mujer?
e – Calcule el valor esperado de ser atendido por una moza mujer.
f – Interprete los resultados a partir de σ 2 y σ.
Ejemplo:
k = “Nº de clientes atendidos por una mujer en 3”
p = 2/10 = 0,20. La probabilidad de base es mayor a 5% y menor al 95% por lo tanto se tiene una distribución Binomial.
N = 3
a – ninguno de los 3 clientes sea atendido por una mujer?
k = 0
Reemplazando:
= 1 * 1 * 0.512 = 0.512 = 51,20%
b – dos de los 3 clientes sean atendidos por una mujer?
k = 2
Reemplazando:
= 3*2*1 * 0,04 * 0,8 = 0,0960= 9,6%
(2*1)*(1)
P(0; 3, 0,20) = 3!0! * (3 – 0)!
0,200 0,83
P(2; 3, 0,20) = 3!2! * (3 – 2)!
* 0,202 * 0,8
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c – menos de un cliente sea atendido por una mujer?
k < 1 => k=0 P(0; 3;0.20) = 51,20%
d – menos de tres clientes sean atendidos por una mujer?
k<3 => k ≤ 2 => P(2) + P(1) + P(0)
P(k<3; 3, 0.20) = 0,9920
e – Calcule el valor esperado de ser atendido por una moza mujer.
μ = 3*0.20 = 0.60 => 1 persona de cada 3 será atendida por una mujer
f – Interprete los resultados a partir de σ 2 y σ.
σ 2 = 3*0,20*0,8 = 0,48 => σ = 0,6928
Se utiliza para distribuciones asimétricas (Binomial y Poisson).
Establece que:
a) En el intervalo comprendido entre sumarle y restarla la desviación estándar al valor esperado, μ± 2σ, se tiene al menos el 75% de los valores de la variable aleatoria.
b) En el intervalo comprendido entre sumarle tres veces la desviación estándar al valor esperado, μ ± 3σ, se tiene al menos el 89% de los valores de la variable aleatoria.
Teorema de Chebyshev
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Entonces:
a) μ ± 2σ = 0,60 2 x 0,6928
Se tiene un 75% de probabilidad de que la verdadera media se encuentre en el intervalo (0 – 2), (El verdadero intervalo es (-0,7856 – 1,858) pero se redondea por ser resultados puntuales).
Otra manera de interpretarlo: El 75% de los resultados tendrán entre 0 y 2 mozas en su solución.
b) μ ± 3σ = 0,60 3 x 0,6928
Se tiene un 89% de probabilidad de que la verdadera media se encuentre en el intervalo 0– 2 (el intervalo verdadero es (-1.4784 – 2,6784) pero se redondea por ser resultados puntuales.)
El 89% de los posibles resultados tendrán entre 0 y 2 mozas de los 10 mozos.
• Se presenta cuando a la probabilidad es
centralizada, pero el número de observaciones
o experimentos es mayor a 10 (5%≤ p ≤ 95% y
N>10)
• Forma de cálculo:
Calcular μ y σ y resolver el problema como una
distribución continua. (ver resolución de la
distribución Normal)
2.1.a Caso especial – Distribución
Binomial con tendencia a normal
Probabilidad y Estadística - Unidad IV -Probabilidad
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La distribución de POISSON es también un caso particular de probabilidad de
variable aleatoria discreta, el cual debe su nombre a Siméon Denis
Poisson (1781-1840), un francés que la desarrolló a partir de los estudios
que realizó durante la última etapa de su vida.
Esta distribución se utiliza para describir ciertos procesos.
Características:
En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad
de área, tiempo, pieza, etc:
- # de defectos de una tela por m2
- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.
- # de huéspedes que arriba a un hotel por día, mes, año, etc.
- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc.
- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc.
2.2 Distribución de Poisson
¿Cómo identificarla?
1. La probabilidad de base es extrema
5% > p > 95%
2. N > 10
3. μ ≤ 10
Se emplea para determinar la probabilidad puntual de obtener k éxitos de un total de N observaciones o experimentos.
P(X, ) =λ xe-λ
X!
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P(k; N, p) =μ k e-μ
k!donde:
p(k) = probabilidad de que ocurran k éxitos, cuando el número promedio de
ocurrencia de ellos es μμ= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto
e = 2.718 (base de logaritmo natural)
k= variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra
! Símbolo de factorial
En esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo,
área o producto es totalmente al azar y cada intervalo de tiempo es
independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente
de otra área dada o cada producto es independiente de otro producto dado.
Los diferentes valores que puede adoptar k representan a la Variable
Aleatoria.
Para el análisis estadístico debemos conocer:
μ = N.p
σ2 = μ
σ = √ μ
La varianza y la media o valor esperado son
iguales en magnitud pero no en unidades.
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Un estudio realizado por un Supermercado indicó que el promedio del número de errores cometidos por los cajeros al entregar el vuelto por día es de 1,5. El Supermercado cuenta en total con 50 cajeros/día.
a) Defina la v. a de interés e indique el modelo que utilizaría para realizar la situación.
b) ¿Cuál es la probabilidad, para un cajero cualquiera, de que:
i. no cometa errores en un día?
ii. cometa más de cuatro errores por día?
iii. cometa menos de dos errores por día?
Ejemplo:
a) V. A = k: “nro de errores de transacciones, por cajero y por día”
μ = 1,5 ≤
Si μ = N.p => p= μ/N = 1,5/50 = 0,03
=> Corresponde el modelo de Poisson
b) i. k = 0
Solución
P(0; 50, 0,03) =μ k e-μ
k!1,50 x (2,7183)-1,5
o!= = 0,2231 = 22,31%
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b) ii. P(k > 4) = 1- P( k ≤ 4)
P(1; 50, 0,03) =μ k e-μ
k!1,51 x (2,7183)-1,5
1!= = 0,3347 = 33,47%
P(0; 50, 0,03) =μ k e-μ
k!1,50 x (2,7183)-1,5
o!= = 0,2231 = 22,31%
P(2; 50, 0,03) =μ k e-μ
k!1,52 x (2,7183)-1,5
2!= = 0,2510 = 25,10%
P(3; 50, 0,03) =μ k e-μ
k!1,53 x (2,7183)-1,5
3!= = 0,1255 = 12,55%
P(4; 50, 0,03) =μ k e-μ
k!1,54 x (2,7183)-1,5
4!= = 0,0471 = 4,71%
P( k ≤ 4) = P(0;50, 0,03) + P(1;50, 0,03) + P(2;50, 0,03) + P(3;50, 0,03) + P(4;50, 0,03)
= 0,9814
= 98,14%
Por lo tanto P(k>4) = 1 - P( k ≤ 4) = 1- 0,9814 = 0,0186 = 1,86%
b) iii. k < 2
P(1; 50, 0,03) =μ k e-μ
k!1,51 x (2,7183)-1,5
1!= = 0,3347 = 33,47%
P(0; 50, 0,03) =μ k e-μ
k!1,50 x (2,7183)-1,5
o!= = 0,2231 = 22,31%
P( k < 2) = P(0;50, 0,03) + P(1;50, 0,03)
= 0,5578
= 55,78%
Por lo tanto P(k<2) = 0,5578 = 55,78%
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• Se presenta cuando a la probabilidad es
centralizada, pero el número de observaciones
o experimentos es mayor a 10 y el valor
esperado es mayor a 10 (5%> p > 95% ; N>10 y
μ>10 y N x p = 0,5 y N x q= 0,5)
• Forma de cálculo:
Calcular μ y σ y resolver el problema como una
distribución continua. (Ver resolución de la
distribución Normal)
2.2.a Caso especial – Distribución
Poisson con tendencia a normal
• Cuando las variables aleatorias son continuas, lasdistribuciones de probabilidad asociadas sonmodelos matemáticos que dan lugar a curvas, por lotanto, las probabilidades son áreas bajo las curvas.
• La Distribución Normal fue reconocida por primera vezpor el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló laecuación de la curva; de ahí que también se le conozca,más comúnmente, como la "campana de Gauss". Ladistribución de una variable normal está completamentedeterminada por dos parámetros, su media (µ) y sudesviación estándar (σ).
2.3 DISTRIBUCIÓN NORMAL
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La densidad de la normal viene dada por la ecuación:
(1)
Dada la imposibilidad de determinar la curva para cada caso en
particular, se empela la curva normal estándar con base en el calor
estándar de normalización, z, el cual se define como :
Zi = Xi – μ
σ
f(z) =1
√2πe
(x - µ)2
2σ2-
∫x
-α
dx
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• Procedimiento para el cálculo:
1. Identificar la distribución:
1. Binomial con tendencia a normal
2. Possion con tendencia a normal
3. Sólo conocemos N, μ y σ (Normal estándar)
2. Calcular el valor de zi para normalizar el intervalo:
Recuerde que los valores de μ y σ dependen del modelo
identificado en el paso anterior.
3. Obtener de la tabla del área bajo la curva normal la
correspondiente a cada valor de z
4. Graficar e indicar los zi y el área bajo la curva
5. Conclusiones al problema
• Ud. implementó un programa de entrenamientodiseñado para mejorar el inglés de los recepcionistas desu Hotel. Debido a que el programa esautoadministrado, los recepcionistas requieren unnúmero diferente de horas para terminarlo. Un estudiode los participantes anteriores indica que el tiempomedio que lleva completar el programa es de 500 horas,y que esta variable aleatoria tiene una desviaciónestándar de 100 horas.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegidoal azar requiera más de 500 horas para completar elprograma de entrenamiento?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un recepcionistaelegido al azar se tome entre 495y 650 horas encompletar el programa de entrenamiento?
Ejemplo
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1.
a. Identificar la alternativa de aplicación
Dado que sólo conocemos μ y σ y que se trata de una variable aleatoria CONTINUA => Distribución Normal
b. Calcular los zi
Si x = 500 => z = 500-500 = 0 => buscamos z0 en la
100 Tabla Normal
z > 500 todos los valores acumulados a => buscamos en la
la derecha de z0 Tabla Normal el valor para z+4 σ
c. Obtener por medio de la tabla el valor correspondiente para cada zi
Solución
Por lo tanto A zo =0 y A (z > 0) = 0,5
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900500100
d. Graficar e indicar los zi y el área bajo la curva
e. Conclusiones al problema
La probabilidad de que una persona utilice más de
500 horas para realizar el curso es del 50 %.
0 0+ 4σ0 - 4σ
2.
a. Identificar la alternativa de aplicación
Dado que sólo conocemos μ y σ y que se trata de una variable aleatoria CONTINUA => Distribución Normal
b. Calcular zi
Si X=495 =>z= 495-500 = - 0.05
100
Si X = 650=>z = 650-500 = 1.5
100
c. Obtener por medio de la tabla el valor correspondiente para cada z
Buscar en la Tabla de
la Normal z-0,05 = z0,05
Buscar en la Tabla de
la Normal z1,5
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1º
2º
1º
2º
Por lo tanto
A z0.05=0,0199 y Az1.5= 0.4332
d. Graficar e indicar los zi y el área bajo la curva
e. Conclusiones
P(495 ≤ Xi ≤650) = A z-0,05 + A z1,5= 0,0199 + 0,4332 = 0,4531 = 45,31%
La Probabilidad de que un recepcionista emplee entre 495 y 650 horas para terminar el curso es de 45,31%
z=1.5
Z= -0.05
P(-0.05≤z ≤0) = P(495≤X ≤ 500) =
0.01994
P(0≤z ≤1,5)=P(500≤X ≤650) = 0,4332
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