unidad no. 1 el proceso de integración area bajo la curva

UNIDAD No. 1El proceso de integración

Area bajo la curva

AREA BAJO LA CURVA DE UNA FUNCIÓN Considérese una función f(x) finita,

continua y positiva en todo punto de algún intervalo [a,b].

Sea R la región limitada por la curva de f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b.

¿Cuál es el valor del área de la Región R [área bajo la curva de la función f(x)]?

AREA BAJO LA CURVA

Restringiendo a f(x) como una función creciente:

AREA BAJO LA CURVA...

Es posible aproximar el valor del área de la región R mediante el valor del área del rectángulo de altura f(a) y base dada por(b-a). (Rectángulo INSCRITO en la región R).

También es posible aproximar el valor del área de la región R mediante el área del rectángulo de altura f(b) y base dada por(b-a). (Rectángulo CIRCUNSCRITO en la región R).

AREA BAJO LA CURVA...

][*)]([1

abaf

AAR

][*)]([

1

abbf

AAR

][*)]([1

abaf

AAR

][*)]([

1

abbf

AAR

A1

A1

AREA BAJO LA CURVA...

Podemos mejorar la aproximación dada en el proceso anterior, considerando en lugar de uno, ahora DOS rectángulos de igual base inscritos en la región R, esto nos conduce ahora a lo siguiente:

AREA BAJO LA CURVA...

2

1

21

*))1((

]2

[*)]2

([]2

[*)]([

iii

R

xxiaf

ababaf

abaf

AAA

A1 A2

AREA BAJO LA CURVA...

Podemos mejorar aún más la aproximación dada en el proceso anterior, considerando en lugar de dos, ahora TRES rectángulos de igual base inscritos en la región R, esto nos conduce ahora a lo siguiente:

AREA BAJO LA CURVA...

A1 A2 A3

3

1

321

*))1((

]3

[*)]3

2([]3

[*)]3

([]3

[*)]([

iii

R

xxiaf

ababaf

ababaf

abaf

AAAA

AREA BAJO LA CURVA...

Considerando un gran número (n) de rectángulos inscritos en la región R es posible mejorar aún más la aproximación del área de la región R y esto nos conduce a lo siguiente:

AREA BAJO LA CURVA...

][*)])1(([

*))1((

][*)]2([][*)]([][*)]([

1

321

n

ab

n

abnaf

xxiaf

n

ab

n

abaf

n

ab

n

abaf

n

abaf

AAAAA

n

iii

nR

A1 . . . An

AREA BAJO LA CURVA...

Es claro que esta aproximación puede ser cada vez mejor entre mayor sea el número de rectángulos considerados pero será igual sólo considerando el valor límite cuando el número de rectángulos sea infinito. Así:

n

iiiR xf

n

LimA

1

)(

AREA BAJO LA CURVA...

¿De qué manera cambia lo descrito hasta ahora si en lugar de considerar rectángulos INSCRITOS a la región consideramos rectángulos CIRCUNSCRITOS?

¿De qué manera cambia lo descrito hasta ahora si en lugar de considerar una función CRECIENTE consideramos una función DECRECIENTE?

PROBLEMAS

Determinar el valor del área limitada por la gráfica de la función, el eje x y las rectas indicadas usando para ello la suma de las áreas de los rectángulos indicados:

1)(.1 2 xxf x=2, x=3, Rectángulos inscritos

310)(.2 xxf x=1, x=2, Rectángulos circunscritos

22)(.3 xxf x=3, x=6, Rectángulos circunscritos

INTEGRAL DEFINIDA

Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a,b]. Entonces la integral definida de f desde un valor a hasta un valor b, denotada por

se define como:

dxxfb

a )(

k

n

k

k

b

a

xxfP

Limdxxf

)(0

)(1

*

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea f continua en [a,b] y F cualquier función para la cual F´(x)=f(x).Entonces:

)()()( aFbFdxxfb

a