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Matemática I – Cálculo I
Unidade B - Cônicas Profª Msc. Débora Bastos
IFRS – Campus Rio Grande FURG – UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE
22 Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo
em Refrigeração e Climatização
Matemática I – Cálculo I
: (x – x0)²+(y – y0)²=r²
12. Cônicas
São chamadas cônicas as curvas resultantes do corte de um cone duplo com
um plano. De acordo com a posição relativa do plano com a reta geratriz do
cone, o corte resulta numa curva diferente.
Se o plano for paralelo a base do cone, a curva gerada
pela intersecção é um círculo.
Se o plano corta o cone não paralelamente à base e
à geratriz a curva formada é uma elipse. Desde que
o plano não contenha o vértice do cone. Na verdade
o círculo é um caso especial de elipse.
Se o plano corta o cone perpendicularmente à base a
curva gerada é uma hipérbole. Desde
que o plano não contenha o vértice
do cone.
Se o plano corta o cone paralelamente à geratriz e
obliquamente à base do cone a curva formada é uma
parábola. Da mesma forma que os anteriores, o plano não
pode conter o vértice do cone.
13. Estudo do círculo.
Círculo é o lugar geométrico dos
pontos do plano que equidistam de um ponto
fixo. Este ponto fixo é chamado de centro
e qualquer segmento que liga o centro a um
ponto do círculo é o raio.
Para chegarmos a equação que
relaciona como a variável y depende de x,
suponhamos um ponto P (x,y) este ponto,
representando TODOS os pontos do círculo
. A distância deste ponto ao centro
C(x0,y0) é fixa. Sabemos que:
d(C,P) = r
r)²yy()²xx(00
Elevando os dois membros da equação ao quadrado
obtemos:
x0
y0
23 Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo
em Refrigeração e Climatização
Matemática I – Cálculo I
Considere C(x0,y0) e medida do raio r. Este tipo de equação do círculo é
chamada de reduzida.
Exemplos: 1. Determine a equação do círculo de centro em C(3,4) e medida
do raio 3.
2. Determine a equação do círculo, cujo gráfico é:
(a) (b)
3. Verifique se as equações abaixo representam círculos, em caso afirmativo
determine as coordenadas do centro e a medida do raio.
(a) : (x+2)²+(y-1)²=4 (b) : (x-1)² (y-3)²=9
(c) : (x-2)³+(y-1)³=16 (d) : (x+1)²+(y+5)²=7
(e) : (x-3)²+(y-1)²+25 = 0 (f) : (x-1)²+(y-3)²= 0
24 Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo
em Refrigeração e Climatização
Matemática I – Cálculo I
13.1 Equação Canônica do Círculo
Basta dividir a equação reduzida por r², pois o formato canônico de equações de
cônicas possuem o segundo membro igual a 1.
1r
)yy(
r
)xx(:
2
2
0
2
2
0
Com essa equação, identificamos o centro da cônica como o ponto C(a,b) e raio r.
Exemplos: Determine a equação canônica do círculo considerando que os
pontos A(3,4) e B(-5,8) formam um diâmetro para este círculo.
14. Elipse
Além de ser gerada pelo corte
do cone duplo por um plano
obliquo à base e à geratriz, a
elipse tem uma propriedade
geométrica importante.
Uma elipse de focos F1 e F2 é o conjunto dos pontos P(x,y)
do plano cuja soma das
distâncias a F1 e F2 é igual a
uma constante 2a positiva,
maior que a distância entre os
focos d(F1,F2)= 2c.
Os pontos A1 e A2 são os
vértices da elipse, o segmento
A1A2 é chamado de eixo focal e
d(A1,A2)=2a. Já o segmento B1B2
é chamado de eixo não focal e
d(B1,B2)=2b, em que a²=b²+c². O
centro da elipse é o ponto médio dos eixos focal e não focal.
Sob a condição 0 < c < a, podemos escrever:
d(F1, P) + d(F2, P) = 2a
A primeira forma que veremos considerará um caso particular em que os focos
estão no eixo ox equidistantes da origem. Assim suas coordenadas são
F1(c,0) e F2(c,0). Manipulando algebricamente esta equação, a fim de
eliminar as raízes quadradas e substituindo o fato de a² = b² + c², obtemos
a forma canônica da elipse:
25 Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo
em Refrigeração e Climatização
Matemática I – Cálculo I
1²b
²y
²a
²x:
Em que a = d(A1,O), semi-eixo focal e b = d(B1,O), semi-eixo não focal.
Observação: Sabemos da astronomia que a trajetória dos planetas em torno
do sol é elíptica. Em que o sol ocupa o lugar de um dos focos.
Exemplos: 1. Os vértices de uma elipse são os pontos (4,0) e (4,0) e seus
focos são os pontos (3,0) e (3,0). Determine a equação da elipse.
2. Uma elipse tem centro na origem e um de seus vértices sobre a reta
focal é (7,0). Se a elipse passa pelo ponto P
5,
3
14, determine sua
equação, seus vértices e seus focos.
Podemos fazer translações horizontais e verticais alterando os eixos focais
e não focais, consequentemente o centro da elipse deixa de ser a origem do
sistema cartesiano. Após estas translações podemos constatar que o eixo
focal continua horizontal, medindo 2a e o eixo não focal continua sendo
26 Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo
em Refrigeração e Climatização
Matemática I – Cálculo I
vertical, medindo 2b. A
distância entre os focos
continua sendo 2c e a relação
a² = b² + c² continua válida.
Já as coordenadas dos focos,
vértices focais e vértices não-
focais alteram totalmente.
Considere que as coordenadas do
centro da elipse, ponto médio
dos focos ou vértices, são
C(x0,y0).
Já que A1, A2, F1, F2 e C estão
alinhados horizontalmente,
todos estes pontos tem a mesma
ordenada (coordenada y).
Precisamos associar quem são as
abcissas destes pontos.
Analogamente B1, B2 e C estão alinhamos verticalmente, por isso possuem a
mesma abscissa (coordenada x). Falta-nos determinar as ordenadas destes
pontos.
Chegamos à seguinte conclusão:
Vértices focais: A1 (x0 – a, y0) e A2 (x0 + a, y0).
Vértices não-focais: B1 (x0, y0 – b) e B2 (x0, y0 + b).
Focos: F1 (x0 – c, y0) e F2 (x0 + c, y0).
Note que agora a equação canônica da elipse é:
Observe a semelhança com a equação canônica do círculo.
Exemplo: Os focos de uma elipse são os pontos (3,8) e (3,2) e o comprimento
do seu eixo não focal é 8. Determine a equação da elipse e seus vértices.
Além de translações podemos fazer rotações na elipse básica (centro na
origem do plano cartesiano). Rotações sob ângulos quaisquer são
complicadas, fogem do nosso interesse. Agora, rotação de 90º são simples
e interessantes. Com esta rotação o eixo focal torna-se vertical e o eixo
1²b
)²yy(
²a
)²xx(:
00
27 Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo
em Refrigeração e Climatização
Matemática I – Cálculo I
não focal torna-se horizontal. Isso inverte as posições entre x e y, ou
melhor, o eixo focal, cuja medida é 2a é paralelo agora ao eixo oy. O eixo
não focal, cuja medida é 2b é paralelo agora ao eixo ox. Com essa inversão,
lembrando que a > b, a equação da elipse fica:
Exemplo: Considere a elipse de centro no ponto (3,4), foco no ponto (3,1)
e eixo focal medindo 6. Determine as coordenadas dos vértices, do outro
foco e a equação da elipse.
15. Hipérbole
Além de ser o
corte do plano
perpendicular à
base do cone
duplo, a
Hipérbole tem
outra propriedade
geométrica.
Uma
hipérbole de
focos F1 e F2 é o
conjunto de todos
os pontos P(x,y)
do plano para os
quais o módulo da
diferença de suas
distâncias a F1 e
F2 é igual a uma
constante 2a
positiva, menor que a distância entre os focos é d(F1,F2)= 2c. Os pontos
A1 e A2 são os vértices da Hipérbole e A1A2 é chamado eixo focal. Por
definição, d(A1,A2)=2a. Os pontos B1 e B2 são chamados de vértices
imaginários, o segmento B1B2 de eixo imaginário e d(B1,B2)=2b, considerando:
c²= a² + b². A Hipérbole ainda possui um par de retas assíntotas, que são
retas em que a curva se aproxima, mas nunca intersecciona, são as retas r1
1²a
)²yy(
²b
)²xx(:
00
28 Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo
em Refrigeração e Climatização
Matemática I – Cálculo I
e r2 no gráfico. O centro da Hipérbole o ponto médio do eixo focal que
coincide com o ponto médio do eixo imaginário.
Considerando 0 < a < c:
: |d(F1,P) – d(F2,P)| = 2a
Para determinar a equação canônica da Hipérbole, consideraremos F1(c,0), F2(c,0), ou seja, pertencentes ao eixo ox, equidistantes à origem.
Manipulando algebricamente esta equação, a fim de eliminar as raízes
quadradas, o módulo e substituindo o fato de c² = a² + b², obtemos a forma
canônica da hipérbole, centrada na origem:
1²b
²y
²a
²x:
Observação: 1. Na forma canônica a equação das retas assíntotas são:
xa
by:r
1 e x
a
by:r
2 .
2. Chamamos de hipérbole equilátera quando o eixo focal tem a mesma medida
que o eixo imaginário.
3. A origem da hipérbole exemplifica acima é a origem do plano cartesiano.
Exemplos: 1. Determine a equação da hipérbole equilátera com focos nos
pontos ,08 e ,08 . Além disso determine os vértices e os vértices
imaginários.
2. Os vértices de uma hipérbole são os pontos (3,0) e (3,0) e um de seus
focos é o ponto (5,0). Obtenha a equação da hipérbole, o comprimento do
seu eixo focal e suas assíntotas.
29 Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo
em Refrigeração e Climatização
Matemática I – Cálculo I
Se fizermos translações na hipérbole, horizontais ou verticais, a definição
dos elementos
desta cônica não
se alteram. Por
exemplo, medida do
eixo focal é 2a,
medida do eixo
imaginário é 2b,
d(F1,F2) = 2c, c² =
a² + b², já que c
> a. O que mudará?
Coordenadas do
centro, vértices e
focos, assim como
a equação canônica
da hipérbole.
Considerando as coordenadas do centro C(x0,y0), tem-se:
Vértices focais: A1 (x0 – a, y0) e A2 (x0 + a, y0).
Vértices não-focais: B1 (x0, y0 – b) e B2 (x0, y0 + b).
Focos: F1 (x0 – c, y0) e F2 (x0 + c, y0).
Assíntotas: )xx(a
byy:r
001 e )xx(
a
byy:r
002 .
E finalmente a equação da hipérbole, nestas condições:
Exemplo: Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos, cujo módulo da
diferença das distâncias aos pontos (3,1) e (7,1) é igual a 10. Determine
seus elementos principais.
1²b
)²yy(
²a
)²xx(:H
00
30 Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo
em Refrigeração e Climatização
Matemática I – Cálculo I
Também podemos pensar na rotação da hipérbole por um ângulo de 90º. Os
efeitos na hipérbole são semelhantes aos efeitos com a elipse. O eixo focal
torna-se paralelo ao eixo oy, o eixo imaginário torna-se paralelo ao eixo
ox. Observando que não há intersecção da hipérbole com o eixo imaginário
o termo que fica subtraindo, com o sinal negativo é o referente à variável
x, ou seja:
Exemplo: Dada a equação da hipérbole 116
)²1x(
9
)²4y(:H
, determine
os elementos principais desta cônica.
16. Parábola
Além de ser originada pelo corte do
cone duplo, quando o plano é paralelo a
geratriz do cone, a parábola possui uma
propriedade geométrica muito interessante
que faz com que inúmeras aplicações do seu
formato sejam utilizadas no nosso
cotidiano. Assim como a antena parabólica,
fornos solares, faróis de carro, etc.
A propriedade que caracteriza a
parábola e possibilita determinarmos a sua
equação é o fato de qualquer ponto P(x,y)
da parábola ser equidistante a F e a d,
em que F é um ponto fixo, chamado foco, e
d é uma reta fixa, chamada de reta
diretriz.
A reta que contém o foco F e é
perpendicular à reta diretriz d é chamada
reta focal. Podemos observar que a reta
1²b
)²xx(
²a
)²yy(:H
00
31 Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo
em Refrigeração e Climatização
Matemática I – Cálculo I
focal é a reta de simetria da parábola. Podemos visualizar este fato
dobrando o gráfico da parábola na reta focal, os lados da parábola se
sobreporão.
O ponto V, intersecção da parábola com a reta foca é chamado de
vértice da parábola. Também é o ponto da parábola mais próximo da reta
diretriz.
A característica da equidistância nos possibilita obter a equação
da parábola.
: d(P,F)= d(P,d)
Considerando a diretriz uma reta vertical, ou seja, d: x + p = 0 à esquerda
do foco, F(p,0), pertencente ao eixo ox e manipulando algebricamente a
igualdade acima, obtemos:
:
: y² = 4px
Observação: A propriedade que se refere a
ampla aplicabilidade do formato parabólico
é o fato de feixes perpendiculares à
diretriz da parábola serem refletidos pela
superfície parabólica e incidirem num único
ponto: o foco da parábola. Isso permite
converter sinais fracos de tv, por exemplo,
em um sinal de boa qualidade, colocando no
foco da antena parabólica um receptor
adequado.
Exemplos: 1. Determine a equação da parábola, cuja diretriz é horizontal
e o foco encontra-se no eixo oy, acima da diretriz.
2. Determine a equação da parábola P com vértice V na origem, cujo foco é
o ponto:
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Matemática I – Cálculo I
P: (y – y0)²= 4p(x-x0)
(a) F (3, 0).
(b) F (0,2).
Dando mais ênfase às parábolas,
cujas diretrizes são
verticais, podemos assim como
na elipse e na hipérbole,
observar como as translações
modificam o formato da equação
desta cônica. Consideramos
então que o vértice não é mais
a origem, nem o foco está
necessariamente no eixo ox.
Considerando que o vértice é o
ponto V(x0,y0) e a reta diretriz
é d: x – x0 p = 0, obtém-se a equação da parábola:
Na equação o sinal fica
positivo se a diretriz fica à
esquerda do foco e o sinal fica negativo se a diretriz fica à direita do
foco.
Exemplo: Determine a equação da parábola, cuja reta diretriz possui equação
x – 9 =0 e o vértice tem coordenadas V(4,1).
33 Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo
em Refrigeração e Climatização
Matemática I – Cálculo I
Se analogamente ao que fizemos com a elipse e a hipérbole estudarmos
a rotação das parábolas num ângulo de 90º teremos parábolas com a
concavidade para cima ou para baixo, dessa forma estas cônicas serão os
gráficos das funções quadráticas, às quais estudaremos mais profundamente
na unidade E.
17. Exercícios.
1- Qual a equação do círculo que tem centro em (1,5) e raio de medida 11 ?
2- Determine a equação da reta s que passa pelo centro do círculo de
equação : (x - 2)2 + (y - 2)2 = 2 e é paralela à reta de equação r: 3x +
y 1 = 0.
3- Considere o quadrado circunscrito ao círculo de equação :(x-3)2+(y-
2)2 = 1. Determine a medida da diagonal do quadrado.
4- Determine a posição relativa dos pontos A(1,1), B(3,9) e C(4,0) em
relação ao círculo : x2 +(y – 2)2= 16.
5- Determine a posição relativa entre a reta s e o círculo em cada caso:
(a) s: x – 3y – 2 = 0 e : (x+2)2 + (y – 1)2 = 1
(b) s: y = 2x + 1 e : x2 + (y-1)2 – 4 = 0.
(c) s: 4x + 3y + 4 = 0 e : (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9.
6- Qual é a equação do círculo de centro em C(4,4) e é tangente à reta
x + y – 12 = 0?
7- Obtenha as equações das retas tangentes a : (x + 5)2 + y2 = 16 e que
passam pela origem do plano cartesiano.
8- Dadas as equações de hipérboles abaixo, determine vértices, vértices
imaginários, focos e assíntotas:
(a) : 19
²y
16
²x
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em Refrigeração e Climatização
Matemática I – Cálculo I
(b) : 36x² - 49y² = 1.
9- Obtenha a equação da parábola, cuja diretriz é d: x = 0 e foco F(4,0).
10- Obtenha as coordenadas do foco, F , vértice V e equação diretriz da
parábola de equação. : x² = 32y.
11- Dadas as equações de elipses abaixo, determine vértices, pontos que
definem o eixo não focal e focos:
(a) : 19
²y
16
²x
(b) : 36x² + 49y² = 1.
12- Determine a equação da elipse centrada na origem que possui a medida
do eixo focal 10 e medida do eixo não focal 6.
13- Determine a equação da hipérbole centrada na origem com um vértice em
(3,0) e um foco em (4,0).
14- Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,-1), com foco no
ponto (2,-1) e que passa pelo ponto (2,1).
15- Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,2), com um vértice
focal no ponto (3,2), cuja razão entre c e a, chamada de excentricidade
das cônicas, é ½.
16- Considere a elipse de centro no ponto (1,1), foco no ponto (1,3) e
excentricidade 3
5. Determine as coordenadas dos vértices, do outro foco
e a equação desta elipse.
17- Obtenha o lugar geométrico dos pontos, cujo módulo da soma das
distâncias aos pontos (3,1) e (7,1) é igual a 10.
18- Determine os elementos principais da cônica dada sua equação:
125
)²3y(
4
)²1x(
.
19- Determine a equação da hipérbole de centro no ponto (3,3), um vértice
no ponto (3,0) e assíntota de equação 1x3
2y .
20- Determine a equação da parábola que possui vértice no ponto V(-1,4) e
diretriz de equação x – 8 = 0.
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em Refrigeração e Climatização
Matemática I – Cálculo I
21- Determine a equação da parábola que possui foco no ponto F(3,1) e reta
diretriz de equação x + 4 = 0.
18. Respostas dos exercícios item 12
1-
(a) fundamental: y – 2 = 1(x – 3), geral: 2x – 2y – 1 =0, reduzida: 2
1xy
(b) fundamental: )3x(31y , geral: 0133yx3 , reduzida:
133x3y
(c) fundamental: y – 5 = 0(x – 3), geral: y – 5 = 0, reduzida: y = 5
(d) fundamental: y – 4 = -1(x – 0), geral: x + y – 4 = 0, reduzida: y = -x + 4
(e) só existe geral: x – 3 = 0
2-
(a) Não possui restrição.
(b) A reta não pode ser vertical, pois a = tan e tan90º não existe.
(c) A reta não pode ser vertical, pelo mesmo motivo anterior, pelo coeficiente
angular e o coeficiente linear que é a intersecção da reta com o eixo oy não
existe.
3-
(a) Perpendiculares. P
13
7,
13
17
(b) Paralelas.
(c) Concorrentes. P
2,
5
11
(d) Coincidentes.
4- s: 7x – 3y = 0
5- 34
30
6- 5
12
7- m: y – 5 = 2(x – 1)
8- 4x-3y-5=0, 6x+y+3=0 e x+2y+4=0. H(0,1).
9- m: y – 5 = 2(x – 1)
10- r = 13
20
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