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ANÁLISIS TEMPORAL

Análisis temporal de sistemas de segundo orden.

1. Sistemas de segundo orden.2. Respuesta impulsional de sistemas de

segundo orden.3. Respuesta ante señales escalón y rampa de

sistemas de segundo orden.

Universidad Carlos III de Madrid Señales y Sistemas

Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs

Bibliografía

� Ogata, K., "Ingeniería de control moderna", Ed. Prentice-Hall.� Capítulo 5

� Dorf, R.C., "Sistemas modernos de control", Ed. Addison-Wesley.� Capítulo

� Kuo, B.C.,"Sistemas de control automático", Ed. Prentice Hall.� Capítulo 7

� F. Matía y A. Jiménez, “Teoría de Sistemas”, Sección de Publicaciones Universidad Politécnica de Madrid� Capítulo 5

� Puente, E.A, “Regulación automática”, Ed. UPM-ETSII � Capitulo

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SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

• Sistema dinámico que se corresponde con una ecuación diferencial de orden dos.

• Aplicando la transformada de Laplace:

• A partir de esta expresión se obtiene la función de transferencia para un sistema de primer orden:

)()()(

2)(

012

2

2 tuKtyadt

tdya

dt

tyda ⋅=++

)()()( 001

2

2 sUbsYasasa =++

01

2

2

0

)(

)()(

asasa

b

sU

sYsG

++==

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SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

� Parámetros característicos de un sistema de segundo orden

G sk

s s

n

n n

( ) =+ +

ωζ ω ω

2

2 22

n

n

2

d n

1

k = G a n a c i a e s t á t i c a .

= F r e c u e n c i a n a t u r a l n o a m o r t i g u a d a .

= C o e f i c i e n t e d e a m o r t i g u a m i e n t o .

= F a c t o r d e d e c r e c im i e n t o .

1 F r e c u e n c i a a m o r t i g u a d a .

c o s ( )

ωζσ ζ ω

ω ω ζϑ ζ−

=

= − =

=

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SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

( ) inercia rozamiento resorteP t F F F= + +

2 ( ) ( )( ) ( )r

d y t dy tP t M f k y t

dt dt= + +

( ) ( )2

1( )

( ) r

Y s MkfP s s s

M M

=+ +

2( ) ( ) ( ) ( )rP s M s Y s f s Y s k Y s= ⋅ + ⋅ +

2

22( )

2

n

n n

kG s

s s

ωζ ω ω

=+ +

1

r

Kk

=rn

k

Mω =

2n

f

Mσ ξ ω= =

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SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

� Polos

G sk

s s

n

n n

( ) =+ +

ωζω ω

2

2 22

22

22 2 2

21

2 0

1

n n

n n

n d

n n

n

n

s j

s s

s

j

ζω ω

ζω ζ ω ω ζ

ζω

ω ζ

ω σ ω

ω

ζ

+ + =

= − ±

= − ± − =

− =

−

=

±

− ± −

PLANO s21d nω ω ζ= −

21d nω ω ζ− = − −

nσ ζ ω− = −

s1

s2

nω

θ

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CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

� Sobreamortiguado (ζ > 1)

� Críticamente amortiguado (ζ = 1)

� Subamortiguado (0 < ζ < 1)

2 1n ns ζω ω ζ= − ± −s

σ

sσ

s

σ

ωn ωdθ s

ζ θ= c o s

ns ζ ω= −

21n ns jζω ω ζ= − ± −

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CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

� Oscilador (ζ = 0)

� Inestable (ζ < 0)

sωn ns jω= ±

21

0 (P a r t e r e a l p o s i t i v a )

n n

i n

s jζ ω ω ζα ζ ω

= − ± −= − >

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CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

� Sobreamortiguado (ζ > 1) fi Polos reales negativos

� Críticamente amortiguado (ζ = 1) fi Polo doble real negativo

� Subamortiguado (0 < ζ < 1) fi Polos complejos conjugados con parte real negativa

� Oscilador (ζ = 0) fi Polos imaginarios puros

� Inestable (ζ < 0) fi Polos complejos conjugados con parte real positiva

s

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RESPUESTA A ESCALÓN DE SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS

y t ke

p

e

ptn

p t p t

( ) = +−

−

≥1

2 10

21 2

1 2ωζ

0)0( =′y

y(t)

1/s Y(s)

u0(t)G(s)

s

σ

p1 p2

2

2( )

3 2G s

s s=

+ +

2.5ζ =

1.5ζ =

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RESPUESTA A ESCALÓN DE SISTEMAS CRITICAMENTE AMORTIGUADOS

( )y t k e t tt( ) ( )= − + ≥−1 1 0σ σ

0)0( =′y

y(t)

1/s Y(s)

u0(t)G(s)

s

σns ζ ω= −

2

2( )

2 1G s

s s=

+ +1.5ζ =

1ζ =

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RESPUESTA A ESCALÓN DE SISTEMAS OSCILADORES

y t k t tn( ) ( c o s ( ) )= − ≥1 0ω

0)0( =′y

y(t)

1/s Y(s)

u0(t)G(s)

ωn

2

2( )

1G s

s=

+

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RESPUESTA A ESCALÓN DE SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS

y t ke

t t

t

d( ) s e n ( )= −−

+

≥

−

11

02

σ

ζω ϑ

y(t)

1/s Y(s)

u0(t)

G(s)

s

σ

ωn ωd

θ

0.2ζ =0.5ζ =

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PARÁMETROS DE LA RESPUESTA A ESCALÓN

n

st ζωπ

σπ =≈

t pd

=π

ω

t rd

≈−π ϑ

ω

M e ep = =−

−−

ζ πζ

πθ1 2

t g

tr

tp

Mp

t0

0.5k

k

y(t)

ts

td 0.05

ó

0.02

0.9k

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PARÁMETROS DE LA RESPUESTA A ESCALÓN

� Pendiente en el origen:

� Tiempo de estabilización:

� Tiempo de subida:

� Tiempo de pico:

� Sobreoscilación:

(menor ζ, amortiguamiento, mayor sobreoscilación)

0)0( =′y

n( = ),s recot rdar σσ

ζωπ≈

1, ( c o s ( ) )r

d

r e c o r d a rt ζπω

ϑϑ −− =≈

t pd

=π

ω

M e ep = =−

−−

ζ πζ

πθ1 2

tg

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RESPUESTA IMPULSIONAL DE SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS

y t g tk

e t tn t

d( ) ( ) s e n ( )= =−

≥−ωζ

ωσ

10

2

y(t)

1 Y(s)

δ(t)G(s)

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RESP. IMPULSIONAL DE SISTEMA CRITICAMENTE AMORTIGUADO

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RESPUESTA IMPULSIONAL DE SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS

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RESPUESTA IMPULSIONAL DE SISTEMAS OSCILADORES

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RESPUESTA A RAMPA DE SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS

++

−=

++=

− td

nn

nn

n

et

tkty

sss

ksY

σ

θθω

ως

ως

ωςωω

sin

)sin(22)(

1

2)(

222

2

y(t)

1/s2 Y(s)

u0(t)G(s)

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RESPUESTA A RAMPA DE SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS

18.0

2)(

2 ++=

sssG2

2( )

0.2 1G s

s s=

+ +

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