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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Microeconomía Superior II:Optimización (1)
Rafael Salas
Esquema...
Producción
Optimización
Mercados
La empresa:
Estática comparativa
Tendremos que plantear y resolver un problema estándar de optimización
Hagamos una lista de sus componentes
... Y resolvámoslo
El problema de la optimización
Objetivos
Restricciones
Método
La optimización
-Maximización de beneficios
-Tecnológicas y económicas
-Primal -Dual
La función objetivo
…y sobre cantidades…
zi •cantidad del input i•cantidad del outputY
Usamos información sobre precios..
wi •precio del input i
•Precio del outputP
…para construir la función objetivoCómo se haceCómo se hace
La función objetivo
Ingresos: •Restamos C de I:
Coste de los inputs:
wi zi m i=1
P Y
wi zi m i=1
P Y – Beneficios:
•para los m inputs
Esquema...
Problema primal
Optimización:
Problema dual
Optimización: el problema primal
...sujeto a la restricción tecnológica...
•No podemos tener valores de output o inputs negativos
Elegimos Y y z que maximizan:
Y F(z)
wi zi m i=1
:= P Y –
...y a restricciones obvias:
• Podríamos escribirlo: zZ(Y)
Y 0 z 0
Método de optimización
L (... )
L (... ) = 0 z
2L (... ) z2
z* = …
Planteamos el Lagrangiano
Establecemos las condiciones de primer orden (CPO) c. necesaria
Verificamos las conditiones de segundo orden
Usamos las CPO para caracterizar la solución
Si F es diferenciable…
c. suficiente
El equilibrio de la empresa
Obtención de la elección óptima Y, z que resuelve el siguiente problema optimizador:
Max (Y,z)=PY- wi zi
s.a: Y F (z)
En el caso de dos bienes m=2, obtención de Y, z1 , z2 que
solucione:
Max (Y, z1 , z2 )=PY- w1 z1 - w2 z2
s.a: Y F ( z1 , z2 )
donde P, w1 y w 2 son parámetros conocidos
Con signo =Con signo =
El equilibrio de la empresa: derivación análitica
Solución:
/ z1 = 0 P Y/z1 = w1
/ z2 = 0 P Y/z2 = w2
P Pmg z1 = w1
P Pmg z2 = w2
z1
Y
F(z)
Y* y z1* óptimos Y* y z1* óptimos
Oferta de producto y demanda de factores
Pmgz1 = w1/P Pmgz1 = w1/P
z1*
Y*
El equilibrio de la empresa: derivación análitica (2)
Solución:
Pmg z1 w1
Pmg z2 w2
RMSTRMST
A
z1*
z2*
z 2* /
z 1*
Demanda de factores
isocuanta por Y*
isocuanta por Y*
(Y*)
Demanda de factores
z1* y z2
* óptimosz1* y z2
* óptimos
z1
z2
A
A'
Pmgz1/Pmgz2=w1/w2Pmgz1/Pmgz2=w1/w2
z 2* /
z 1*
z1*
z2*
Las funciones de oferta de producto y demanda de factores
El equilibrio de la empresa nos va a servir para estudiar las respuestas óptimas de la empresa ante variaciones en los precios
Se trata de efectuar ejercicios de estática comparativa y observar las distintas situaciones de equilibrio ante condiciones cambiantes
Toda esta información se trasmite a través de las funciones de oferta de producto y demanda de factores:
Y* = Ys (P,w1 ,...,wm )
z1* = z1d (P,w1 ,...,wm )
... ... ...
zm* = zmd (P,w1 ,...,wm )
función de los preciosfunción de los precios
Las funciones de oferta de producto y demanda de factores
La f. de oferta es no decreciente en el precio P
La f. de demanda de factores es no creciente en sus precios
Homogéneas de grado 0 en P y w
Las funciones de oferta de producto y demanda de factores
Las funciones de beneficios
Si introducimos Ys (P,w1 ,w2 ), z1d (P,w1 ,w2 ) y z2
d
(P,w1 ,w2 ) en la definición de los beneficios obtenemos la función de beneficios:
(P,w1 ,w2 ) = P Ys (P,w1 ,w2 ) - w1z1d (P,w1 ,w2 ) -w2 z2
d
(P,w1 ,w2 )
Indica el máximo beneficio obtenible con los precios del sistema (es análogo a la f. indirecta de utilidad en el problema primal del consumidor)
La f. de beneficios es no decreciente en el precio del producto P
La f. de beneficios es no creciente en los precios deos factores
Homogéneas de grado 1 en P y w
Lema de Hotelling...
Las funciones de beneficios
Lema de Hotelling:
(P,w1 ,w2 ) PYs(P,w1 ,w2 )
(P,w1 ,w2 ) w1z1d(P,w1 ,w2 )
(P,w1 ,w2 ) w2z2d(P,w1 ,w2 )
Las funciones de beneficios
Práctica
Calcula la demanda de factores, la oferta de producto y la función de beneficios de:
Y= z1
z2
Y= (z1
+ z2
Comprueba el lema de Hotelling
.
Práctica
Calcula la demanda de factores, la oferta de producto y la función de producción dada la función de beneficios:
Π=p2 (1/4z1+1/z2 )
.
Hemos hecho uso de las CPO (de tangencia) en todo el análisis.
No obstante
o…algunas veces llegamos a resultados ambiguos
o…otras veces el resultados está indefinido
Una advertencia
Por lo tanto es conveniente comprobar si este método es el apropiado
Probablemente debamos usar otro método para encontrar el óptimo
Veremos ejemplos en el problema dual…
Esquema...
Problema primal
Optimización:
Problema dual
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Microeconomía Superior II:Optimización (1)
Rafael Salas
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