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Universidade Estadual PaulistaInstituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas
Teoria dos GrafosProf. Valeriano Antunes de Oliveira/Socorro Rangel
Lista de Exercícios de Teoria dos Grafos
Alguns dos exercícios foram selecionados do livro “Graphs - An Introductory Approach - R.J. Wilson eJ.J Watkins”.
1. Considere o grafoG(V,A) com V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} eA = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (3, 5), (2, 6), (1, 6), (5, 4), (3, 5), (3, 2)}.
(a) Construa uma representação gráfica de G.
(b) Determine um subgrafo desconexo de G.
(c) Determine em G um trajeto fechado que não seja um circuito.
2. É possível existir um grupo de 7 pessoas tal que cada pessoa conheça exatamente 3 outras pessoas nestegrupo?
3. Considere um grafo simples com 7 vértices, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 e arestas (xi, xj) se e somente se osinteiros i e j possuem um divisor comum diferente de 1. Dê uma representação gráfica para este grafo edetermine quantas componentes este grafo possui.
4. Reconstrua o grafo G a partir de seus subgrafos Gi = G− vi, onde: G1 = K4 − x, G2 = P3 ∪K1, G3 =K1,3, G4 = G5 = K1,3 + x.
Os próximos exercícios foram selecionados do livro “Graphs - An Introductory Approach - R.J. Wilson eJ.J Watkins”.
5. Faça a representação gráfica dos seguintes grafos G(V,A):
(a) V = {�,©,♦,M}, A = {(�,©), (©,♦), (©,M), (♦,M)}.(b) V = {A,B,C,D}, A = { }.(c) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 4), (3, 5), (6, 7), (6, 8), (7, 8)}.
6. Considere os seguintes grafos:
Quais destes grafos (a) contém arestas múltiplas? (b) contém um laço? (c) são simples? (d) são conexos?
7. Esboce grafos G1, G2, G3 e G4, cada um com 5 vértices e 8 arestas, satisfazendo as seguintes condições:
(a) G1 é um grafo simples;
(b) G2 é um grafo não-simples sem laços;
(c) G3 é um grafo não-simples sem arestas múltiplas;
(d) G4 é um grafo não-simples contendo tanto laços quanto arestas simples.
8. Seja G o seguinte grafo:
1
Quais dos seguintes grafos são subgrafos de G?
9. Seja G o seguinte grafo:
Quais dos seguintes grafos são subgrafos de G?
10. • Seja G um grafo com 4 vértices e com a sequência de graus (1, 2, 3, 4). Dê o número de arestas de Ge construa um grafo com tais características.
• Existe algum grafo simples com 4 vértices e com sequência de graus (1, 2, 3, 4)?
11. Uma consequência do “lema do aperto de mãos” é que se G é um grafo regular de grau r com n vértices,então G têm exatamente nr/2 arestas. Verifique tal consequência para cada um dos seguintes grafosregulares:
12. Em cada uma das seguintes partes, dois dos grafos são o mesmo e o terceiro é diferente. Identifique o“diferente” em cada caso.
2
13. Mostre que cada par de grafos abaixo são isomorfos. Dê a correspondência biunívoca entre os vértices.
14. Dos quatro grafos a seguir, quais dois são iguais, qual é isomorfo a estes dois, e qual não é isomorfo anenhum dos outros?
15. Mostre que os seguintes grafos não são isomorfos:
16. Classifique cada uma das seguintes informações como verdadeiras ou falsas:
(a) Se G e H são grafos isomorfos, então eles possuem o mesmo número de vértices e o mesmo númerode arestas.
(b) Se G e H possuem o mesmo número de vértices e arestas, então eles são isomorfos.
(c) Se G e H são grafos isomorfos, então eles possuem a mesma sequência de graus.
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(d) Se G e H possuem a mesma sequência de graus, então eles são isomorfos?
17. Complete as afirmações de acordo com o grafo abaixo:
(a) xyzzvy é um . . . . . . de comprimento . . . entre . . . e . . . ;
(b) vuvzv é um . . . . . . de comprimento . . . entre . . . e . . . ;
(c) vw é um . . . . . . de comprimento . . . entre . . . e . . . ;
(d) uvwxyzu é um . . . . . . de comprimento . . . entre. . . e. . . .
18. No seguinte grafo, encontre:
(a) um passeio de comprimento 7 entre u e v;
(b) circuitos de comprimento 1, 2, 3 e 4;
(c) um caminho de comprimento máximo.
19. Encontre todos os caminhos entre s e z no grafo
20. No seguinte grafo, encontre
(a) um passeio fechado que não seja um trajeto fechado;
(b) um trajeto fechado que não seja um circuito;
(c) todos os circuitos de comprimento 1, 2, 3 e 4.
21. Esboce os seguintes grafos: (a) K8; (b) N8; (c) C8; (d) P8; (e) K4,4; (f) K3,3; (g) K1,5.
22. Complete as seguintes afirmações:
(a) o grafo Kr,s é um grafo regular somente quando . . . . . . ;
4
(b) o grafo Kr,s é a união de . . . . . . e . . . . . . ;
(c) se G é um grafo simples com n vértices e é regular com grau r, então G é regular de grau . . . ;
(d) se G é um grafo simples com n vértices e m arestas, então G possui . . . vértices e . . . arestas.
23. Mostre que em qualquer grafo bipartido todos os circuitos têm comprimento par.
24. Escreva o conjunto de vértices e família de arestas para os seguintes digrafos:
25. Quais dos seguintes digrafos são subdigrafos do digrafo (a) no problema anterior?
26. Seja D o digrafo
Quais dos seguintes são subdigrafos de D?
27. Dos seguintes quatro digrafos, quais dois são o mesmo, qual é isomorfo a estes dois, e qual não é isomorfoaos outros?
28. Quais dos seguintes digrafos são isomorfos?
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29. Quais dois dos seguintes digrafos são isomorfos?
30. Esboce dois digrafos não-simples e não-isomorfos com 4 vértices e 6 arestas.
31. Existem 16 digrafos simples (a menos de isomorfismos) com 3 vértices. Esboce-os.
32. Considere o seguinte digrafo D:
Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
(a) u e z são adjacentes;
(b) v e z são adjacentes;
(c) b é incidente de z;
(d) f é incidente de v;
(e) a é incidente para u;
(f) e é incidente para z.
33. Verifique o “di-lema do aperto de mãos” para os digrafos abaixo:
34. Corresponda cada um dos seguintes digrafos com sua lista de arestas, sua matriz de adjacência e suamatriz de incidência:
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Lista de arestas:
L1: 12, 14, 43, 24, 34
L2: 12, 14, 43, 24, 23
L3: 12, 14, 43, 41, 23
Matrizes de Adjacência:0 1 0 10 0 1 00 0 0 01 0 1 0
0 1 0 10 0 0 10 0 0 10 0 1 0
0 1 0 10 0 1 10 0 0 00 0 1 0
Matrizes de Incidência:
1 1 0 0 0−1 0 0 1 1
0 0 −1 0 −10 −1 1 −1 0
1 1 0 0 0−1 0 0 1 0
0 0 −1 0 10 −1 1 −1 −1
1 1 0 −1 0−1 0 0 0 1
0 0 −1 0 −10 −1 1 1 0
35. Escreva as matrizes de adjacência dos seguintes digrafos:
36. Esboce o digrafo cuja matriz de adjacência é0 1 0 0 11 0 0 1 00 0 0 0 01 0 0 0 00 1 0 2 0
37. O que você pode dizer em relação à soma dos números em
(a) qualquer linha de uma matriz de adjacência?
(b) qualquer coluna de uma matriz de adjacência?
38. Escreva a matriz de incidência de cada um dos seguintes digrafos:
7
39. Esboce o digrafo cuja matriz de incidência é1 −1 1 −1 0 0 0 0−1 1 0 0 −1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 −1 −1 −10 0 −1 0 1 0 1 1
40. No seguinte digrafo, se possível,
(a) encontre um passeio de comprimento 7 de u para w;
(b) encontre circuitos de comprimentos 1, 2, 3, e 4;
(c) encontre um caminho de comprimento máximo.
41. No seguinte digrafo,
(a) encontre todos os caminhos de s para z;
(b) encontre todos os caminho de z para s;
(c) encontre um trajeto fechado de comprimento 8 contendo s e z. Existem circuitos contendo ambos se z?
42. Classifique cada um dos seguintes digrafos como desconexo, conexo mas não fortemente conexo, ou forte-mente conexo:
8
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