universitas indonesia asimetri isospin pada materi quark skripsi ali
Post on 31-Dec-2016
223 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Universitas Indonesia
Asimetri Isospin Pada Materi Quark
Skripsi
Ali Ikhsanul Qauli
1006659123
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Program Studi Fisika
Depok
April 2014
Universitas Indonesia
Asimetri Isospin Pada Materi Quark
Skripsi
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana
Ali Ikhsanul Qauli
1006659123
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Program Studi Fisika
Depok
April 2014
HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS
Skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri,
dan semua sumber baik yang dikutip maupun yang dirujuk
telah saya nyatakan dengan benar.
Nama : Ali Ikhsanul Qauli
NPM : 1006659123
Tanda tangan :
Tanggal : 21 April 2014
iii Universitas Indonesia
i
HALAMAN PENGESAHAN
Skripsi ini diajukan oleh
Nama : Ali Ikhsanul Qauli
NPM : 1006659123
Program Studi : S1 Reguler Fisika
Judul Skripsi : Asimetri Isospin Pada Materi Quark
Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan di-
terima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk mempe-
roleh gelar sarjana Sains pada Program Studi S1 Reguler Fisika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas In-
donesia
DEWAN PENGUJI
Pembimbing I : Dr. Anto Sulaksono ( )
Penguji I : Prof. Dr. Terry Mart ( )
Penguji II : Dr. Agus Salam ( )
Ditetapkan di : Depok
Tanggal : 21 April 2014
Universitas Indonesia
v
HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI
TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di
bawah ini;
Nama : Ali Ikhsanul Qauli
NPM : 1006659123
Program Studi : S1 Reguler Fisika
Departemen : Fisika
Peminatan : Fisika Nuklir dan Partikel
Fakultas : Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Jenis Karya : Skripsi
demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada
Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive
Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul :
Asimetri Isospin Pada Materi Quark
beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti
Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan, mengalihmedia-
/formatkan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat,
dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya
sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta.
Demikian Pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Depok, 21 April 2014
Ali Ikhsanul Qauli
Universitas Indonesia
ABSTRAK
Nama : Ali Ikhsanul Qauli
Program Studi : S1 Reguler Fisika
Judul Skripsi : Asimetri Isospin Pada Materi Quark
Pada skripsi ini, kebergantungan persamaan keadaan materi quark terhadap
parameter isospin dikaji secara teoritik. Model materi quark yang digunakan
adalah pengembangan dari model CDDM (Confined Density Dependent Mass)
dengan menambahkan suku interaksi isospin pada massa quark. Selanjutnya
model ini disebut CIDDM (Confined Isospin Density Dependent Mass). Model
CIDDM diuji dengan membandingkan relasi massa-radius bintang yang diha-
silkan dengan observasi astrofisika dan hasil prediksi tekanan materi quark
pada daerah nilai rapat bilangan baryon yang besar berdasarkan perhitungan
pQCD. Hasil yang kami dapatkan menunjukkan bahwa model CIDDM tidak
bisa menjelaskan hasil perhitungan pQCD pada daerah nilai densitas baryon
yang besar tetapi cukup konsisten dengan observasi bintang kompak dengan
massa dua kali massa matahari untuk set parameter DI-2500.
Kata kunci:
Materi quark, isospin, densitas baryon, pQCD, CDDM, CIDDM, bag
vii Universitas Indonesia
ABSTRACT
Name : Ali Ikhsanul Qauli
Program of Study : Undergraduate Program in Physics
Title : Isospin Asymmetry In Quark Matter
In this bachelor thesis, the isospin dependence in quark matter’s equation of
state have been studied theoretically. The quark matter model used in this
study is an extended version of CDDM model where the isospin term in quark’s
mass is included. Then this model is called CIDDM (Confined Isospin Density
Dependence Mass). CIDDM model has been tested by comparing mass-radius
relation which come from astrophysical observation and the equation of state
obtained from perturbative QCD (Quantum Chromo Dynamics) calculation.
We have found that CIDDM model cannot explain the equation of state from
pQCD in large baryon density region but it’s maximum mass prediction is quite
consistent with the one from compact stars observation. Namely the pulsar’s
mass is about two times larger than solar mass if we use the parameter set
DI-2500.
Keywords:
Quark matter, isospin, baryon density, perturbative QCD, CDDM, CIDDM,
bag
viii Universitas Indonesia
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan
rahmat, hidayah dan petunjuk-Nya kepada kita umat muslim. Shalawat dan
salam semoga senantiasa tercurahkan pada Nabi Muhammad SAW, keluarga,
para sahabat dan pengikutnya.
Berangkat dari waktu sekitar empat tahun lalu ketika penulis mengikuti
pelatnas TOFI (Tim Olimpiade Fisika Indonesia), banyak hal yang penulis
dapatkan dan pelajari terkait fisika. Selanjutnya keingintahuan akan suatu
topik fisika terkait benda angkasa menjadikan penulis melakuan penelitian
lebih lanjut di universitas. Skripsi ini terkait dengan peristiwa kenukliran
dalam suatu objek angkasa yang penulis telusuri lebih lanjut yang sebelumnya
pernah penulis temui dalam bentuk yang sederhana ketika mengikuti pelatnas.
Dalam penulisan skripsi ini, tak lepas dari bantuan dan dukungan berbagai
pihak sehingga penulisan skripsi bisa selesai sesuai dengan apa yang penulis
rencanakan. Oleh karena itu, patut kiranya penulis mengucapkan terimakasih
kepada berbagai pihak yang sudah membantu selama ini.
Penulis mengucapkan banyak terimakasih pada kolega di TOFI, pengeta-
huan awal tentang benda angkasa yang diberikan sungguh sangat membantu
dalam penulisan skripsi ini. Juga kepada guru pembina yang dengan sabar
dan tekun membina penulis sedari sekolah menengah, Pak Purwedi Bambang
Rusdiyanto, terimakasih pak telah merelakan waktu, tenaga dan pikiran untuk
membina kami.
Dukungan teman-teman fisika terutama fisika angkatan 2010 juga sangat-
sangat berpengaruh dalam studi yang penulis lakukan. Kepada sahabat pe-
nulis; Ihsan dan Jaka, waktu empat tahun ini terasa cepat, tetapi juga terasa
hebat berkat anda. Semoga silaturrahim tetap terjalin dengan baik.
Kepada dosen, Pak Muhammad Hikam, terimakasih sudah menjadikan pe-
nulis sebagai asisten mengajar selama kurang lebih 2 tahun, hal tersebut juga
merupakan pembelajaran bagi penulis agar bisa menyampaikan gagasan atau
ide kepada orang lain dengan tepat. Juga kepada dosen fisika nuklir dan par-
tikel, Pak Terry, Pak Anto, Pak Handoko, Pak Imam, Pak Agus dan Pak
Handhika, terimakasih telah mengajarkan banyak hal terkait fisika nuklir dan
ix Universitas Indonesia
x
partikel sehingga penulis sadar bahwa banyak misteri di alam ini yang belum
terungkap dan perlu diungkap.
Kepada rekan-rekan asisten laboratorium fisika lanjutan, ’joke’ dan diskusi
yang rekan-rekan berikan sunggu luar biasa tetapi juga tetap scientific. Keep
up the good work buddies !
Untuk teman-teman perantauan dari Madura, kak Desy, kak Danang, kak
Qamqam, Ramadhan, Melly, Nur Atika, Dani, Mulya, Ghafiqi, Edwin, Afi-
fun, Kadir, dan semua adik-adik angkatan 2011, 2012, dan juga 2013 yang
tidak cukup jika saya sebutkan semua di sini, terimakasih sudah menunjukkan
bagaimana seharusnya orang Madura itu dengan baik, semoga akan semakin
banyak teman-teman kita dari Madura yang akan menyusul ke kampus ini.
Beberapa patah kata untuk meneruskan semangat pendahulu saya di kampus
ini, let’s dominate this university guys !.
Terimakasih juga penulis ucapkan untuk BATAN, yang telah memberikan
bantuan berupa beasiswa, pelatihan ,seminar dan berbagai kegiatan terkait
teknologi nuklir. Penulis menjadi paham betapa pentingnya pengembangan
teknologi nuklir di Indonesia, dan semoga kedepannya semua pihak bisa turut
serta mensukseskan pengembangan teknologi nuklir di Indonesia agar Indone-
sia bisa menjadi negara yang mandiri di sektor energi dan lingkungan.
Kepada keluarga di rumah, ayahanda Masdawi Dahlan, ibunda Indra Su-
listyawati, adinda Basri Qomari, Azizah Kusuma Dara, dan Cahya Imani Fitri
yang sudah mendukung dan menemani penulis selama studi di fisika UI, pe-
nulis selalu mendoakan kebaikan untuk kita semua.
Akhir kata penulis berharap agar skripsi ini bisa membawa manfaat bukan
hanya untuk bagi pengembangan ilmu pengetahuan fisika secara umum tetapi
juga untuk pengembangan metode dan teknik perhitungan komputasi yang
lebih cepat dan efisien.
Depok, Mei 2014
Ali Ikhsanul Qauli
Universitas Indonesia
DAFTAR ISI
HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS iii
HALAMAN PENGESAHAN i
HALAMAN PERNYATAAN PERSUTUJUAN PUBLIKASI v
ABSTRAK vii
KATA PENGANTAR ix
DAFTAR ISI xi
DAFTAR GAMBAR xiii
1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Perumusan masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 MATERI QUARK 3
2.1 Materi Quark dengan model bag MIT . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Materi Quark Strange dengan model CDDM dan CIDDM . . . 3
2.3 Persamaan keadaan Materi Quark . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Persamaan TOV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 METODE PERHITUNGAN 9
3.1 Perhitungan Persamaan Keadaan Materi Quark . . . . . . . . . 9
3.2 Metode Fixed-Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 HASIL PERHITUNGAN DAN ANALISIS 13
4.1 CIDDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Prediksi pQCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
xi Universitas Indonesia
xii
5 KESIMPULAN 21
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
DAFTAR ACUAN 23
A Persamaan TOV 24
B Materi Quark dengan CIDDM 28
Universitas Indonesia
DAFTAR GAMBAR
2.1 Prediksi tekanan pada materi quark, diambil dari referensi [8]. . 6
4.1 Fraksi quark up, down, strange dan elektron para model CI-
DDM dengan menggunakan set parameter DI-0. . . . . . . . . . 13
4.2 Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-300. . . . . 13
4.3 Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-2500. . . . 14
4.4 Persamaan keadaan materi quark dengan variasi DI berdasarkan
model CIDDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.5 Relasi massa dan radius bintang. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.6 Prediksi tekanan sebagai fungsi potensial kimia baryon pada
materi quark berdasarkan model CIDDM. . . . . . . . . . . . . 17
4.7 Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM de-
ngan nilai parameter yang bervariasi pada DI-300. . . . . . . . . 18
4.8 Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM de-
ngan variasi parameter pada DI-2500. . . . . . . . . . . . . . . . 19
xiii Universitas Indonesia
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Bintang neutron dipercaya sebagai hasil akhir dari ledakan supernova [1]
dan merupakan bintang dengan densitas massa yang sangat besar. Namun
ilmuwan percaya bahwa bintang neutron bukanlah satu-satunya hasil akhir
dari ledakan supernovae, melainkan ada jenis bintang lain yang lebih besar
densitas massanya yakni bintang quark.
Bintang quark bisa muncul dikarenakan densitas massa yang sangat besar
dapat memecah neutron menjadi quark-quark penyusunnya. Dari beberapa
penelitian menunjukkan bahwa materi quark, sebagai penyusun bintang quark,
memiliki kestabilan yang lebih baik dibandingkan dengan materi nuklir [2],
sehingga sangat dimungkinkan untuk terbentuk pada bintang quark.
Selanjutnya dengan model Bag MIT, ilmuwan mulai mempelajari struktur
dan dinamika bintang quark itu [3], [4], dan [5]. Selama beberapa waktu
model Bag MIT mengalami banyak pengembangan sampai dikenal suatu model
CDDM (Confined Density Dependent Mass) yang mengikut sertakan densitas
materi quark pada perumusannya.
Model CDDM awalnya digunakan untuk menganalisa materi quark yang
hanya terdiri dari quark up dan quark down saja [6], namun kemudian ju-
ga digunakan untuk materi quark yang terdiri dari tiga quark, yakni quark
up, down dan strange. Pada model CDDM massa quark diasumsikan dapat
berubah-ubah sesuai dengan densitas massa dari materi quark. Dalam hal ini
massa quark diparameterisasi dengan densitas bilangan baryon (nB). Mirip
dengan model Bag MIT, model CDDM ini juga menganggap quark bergerak
bebas pada suatu hadron. Hanya saja, pada model CDDM massa quark bi-
sa berubah-ubah sesuai dengan densitas massa disekitarnya sedangkan pada
model Bag MIT, massa quark diasumsikan tetap.
Dari semua model tersebut, terdapat suatu batasan, bahwa materi quark
yang terdiri dari 2 quark (u dan d) harus memiliki energi minimum per baryon
yang lebih besar dari pada 930 MeV, sedangkan untuk tiga quark (u, d dan s)
harus lebih rendah dari 930 MeV [2,3].
1 Universitas Indonesia
2
1.2 Perumusan masalah
Pada penelitian ini, penulis menggunakan model lanjutan dari model CDDM
yakni mengikutsertakan isospin pada suku massa quark yakni CIDDM (Confi-
ned Isospin Density Dependent Mass). Hal ini dilakukan agar bisa menjelaskan
bagaimana karakteristik keadaan materi quark pada temperatur rendah dan
densitas baryon rendah. Selanjutnya persamaan keadaan dari materi quark
akan bandingkan dengan persamaan keadaan berdasarkan perturbative QCD
pada daerah densitas baryon besar untuk mengetahui seberapa baik model ini
memberikan perkiraan pada persamaan keadaan quark pada daerah dengan
densitas baryon yang besar.
1.3 Metode Penelitian
Penelitian dilakukan dengan analitik dan numerik. Asimetri isospin dan
pengaruh densitas baryon pada materi quark dipelajari dengan menambah
beberapa suku pada massa quark. Penambahan suku tersebut dikendalikan
dengan menggunkan parameter pengali yang disesuaikan sehingga bisa mem-
peroleh limit massa dan radius bintang yang sesuai dengan pengamatan. Se-
lanjutnya dengan menggunakan metode numerik parameter yang didapat akan
dicocokkan dengan perhitungan pQCD.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mempelajari pengaruh isospin dan den-
sitas baryon pada bintang quark serta melakukan perbandingan dengan massa
maksimum bintang kompak dan mengkaji konsistensi model yang kami gunak-
an dengan perhitungan pQCD.
1.5 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
Bab I berisi pendahuluan, Bab II membahs materi quark, Bab III mendis-
kusikan metode penelitian sedangkan hasil perhitungan dan analisa diberikan
di Bab IV. Bab V berisi penutup berupa kesimpulan dan saran.
Universitas Indonesia
BAB 2
MATERI QUARK
2.1 Materi Quark dengan model bag MIT
Materi quark pada model bag MIT dirumuskan dengan menggunakan pen-
dekatan, quark terkurung dalam sebuah bag dimana di dalam bag itu quark
bergerak bebas. Dalam penelitian ini, digunakan pendekatan pada suhu nol,
maka perumusan rapat energi untuk quark dalam bag menjadi
εi =gi
2π2
∫νi
√k2 +mi
2k2dk, (2.1)
dengan gi adalah faktok degenerasi untuk quark yang bernilai 6 , i = u, d, s.
Kemudian dengan menggunakan relasi termodinamika akan diperoleh [12]
Pi = ni∂εi∂ni− εi, (2.2)
dengan faktor ∂εi/∂ni yang dikenal dengan nama potensial kimia.
Selanjutnya untuk tekanan total dari materi quark [2]
P +B =∑i
Pi
= −(∑
i
εi +B
)+∑i
ni∂ε
∂ni, (2.3)
sehingga diperoleh rapat energi untuk materi quark adalah
ε =∑i
εi +B, (2.4)
dimana B adalah konstanta bag.
2.2 Materi Quark Strange dengan model CDDM dan CIDDM
Pada model bag MIT, quark diasumsikan bermassa konstan dan bergerak
bebas dalam bag. Konstanta bag merupakan representasi interaksi dari quark
3 Universitas Indonesia
4
yang tidak dimasukkan ke dalam suku massa quark melainkan langsung dile-
takkan kedalam persamaan densitas energi quark. Pada model CDDM, massa
quark dengan densitas baryon nB didefinisikan sebagai:
mq = mq0 +mI = mq0 +D
nBz, (2.5)
dengan mI = DnB
z adalah suku interaksi quark dan bentuk ini adalah bentuk
fenomenologis. Parameter D ditentukan dari argumen kestabilan materi quark
strange (Strange Quark Matter). Parameter z merupakan parameter skala
quark, yang dibuktikan oleh [7] bahwa nilanya adalah z = 1/3. Pada penelitian
ini, penulis menggunakan bentuk massa quark dengan adanya kebergantungan
terhadap isospin sebagai
mq = mq0 +D
nB1/3− τqδDIn
αBe−βnB , (2.6)
dengan DI , α, β adalah parameter yang menentukan kebergantungan pada
isospin, δ adalah parameter asimetri isospin, τq adalah bilangan kuantum isos-
pin pada quark, τq = 1 untuk q = u (quark up), τq = −1 untuk q = d (quark
down) dan τq = 0 untuk q = s (quark strange).
Densitas baryon didefinisikan sebagai
nB =nu + nd + ns
3, (2.7)
yang mana setiap densitas baryon untuk quark didefiniskan sebagai
ni =νi
3
π2(2.8)
νi adalah momentum Fermi untuk tiap quark (i = u, d, s). Kemudian faktor
asimetri dari isospin didefinisikan sebagai:
δ = 3nd − nund + nu
, (2.9)
kemudian didapatkan
νu = (1− δ/3)13 ν, (2.10)
νd = (1 + δ/3)13 ν. (2.11)
2.3 Persamaan keadaan Materi Quark
Penelitian ini, kami fokus pada materi dengan kondisi temperatur nol
(T = 0), sehingga beberapa besaran yang dicari pada materi quark dengan
Universitas Indonesia
5
model CIDDM atau CDDM secara umum ditulis dalam bentuk
ε =∑i
gi2π2
∫νi
√k2 +mi
2k2dk, (2.12)
P = −ε+∑
i=u,d,s,e
niµi, (2.13)
µi =∂ε
∂ni. (2.14)
Dimana ε adalah densitas energi quark, P adalah tekanan dan µ adalah po-
tensial kimia. Untuk potensial kimia elektron dirumuskan sebagai
µe =√νe2 +me
2. (2.15)
Pada perumusan ini, persamaan keadaan untuk quark pada persamaan (2.12)
dan (2.13) tidak memasukkan konstanta bag B seperti pada model bag MIT.
Hal ini dikarenakan interaksi quark pada sudah dimasukkan kedalam massa
quark yang menjadi lebih berat dengan kenaikan kerapatan. Kemudian untuk
kondisi kesetimbangan potensial kimia yang terpenuhi adalah
µu + µe = µd = µs. (2.16)
Kemudian bintang quark diasumsikan netral sehingga
2
3nu =
1
3nd +
1
3ns + ne. (2.17)
Dari perumusan (2.16), (2.17) dan (2.7) akan diperoleh beberapa persama-
an yang nantinya akan digunakan untuk mendapatkan parameter momentum
Fermi untuk quark up, down dan strange yang digunakan untuk menghitung
persamaan keadaan dari bintang quark.
Dari hasil perhitungan peturbative QCD [8], dirumuskan suatu prediksi
tekanan materi quark pada kondisi nB sangat besar. Perumusan tekanan pada
kondisi tersebut adalah
PQCD (µB) = PSB (µB)
(c1 −
d1X−ν1
(µB/GeV )− d2X−ν2), (2.18)
dengan nilai konstanta-konstanta di atas adalah
c1 = 0.9008 (2.19)
d1 = 0.5034 (2.20)
d2 = 1.452 (2.21)
ν1 = 0.3553 (2.22)
ν2 = 0.9101 (2.23)
Universitas Indonesia
6
dan nilai X bisa divariasikan dari 1 sampai 4.
Diperkenalkan suatu besaran yakni tekanan oleh tiga quark bebas (non-
interacting) dan tak bermassa sebagai
PSB =3
4π2
(µB3
)4, (2.24)
µB = µu + µd + µs. (2.25)
Kemudian digunakan perbandingan tekanan pada materi quark P dengan
tekanan tiga quark bebas PSB yang kemudian diperoleh grafik sebagai berikut2
0 0.2 0.4 0.6 0.8T [GeV]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
P/P SB
Free quarks and gluons
Bag model, B=(150MeV)4
pQCDLattice
Fig. 1.— Predictions for the pressure of the hot three-flavor QGPobtained from lattice QCD (black dots), the MIT bag model (bluedashed curve) and perturbative QCD (orange band). The errorbars in the first and the width of the band in the last result re-flect statistical and systematic uncertainties. The quantities arenormalized by the pressure of a system of free quarks and gluons(red line at 1).
J1614-2230, with M = 1.97 ± 0.04M⊙ (Demorest et al.2010), and PSR J0348+0432, with M = 2.01 ± 0.04M⊙(Antoniadis et al. 2013), have changed the situation in adramatic way.
In the letter at hand, our aim is to use the state-of-the-art perturbative QCD calculation of Kurkela et al.(2010) to construct a simple, easy-to-use EoS for coldquark matter in compact stars. Although the diagram-matic computation behind the original result is very in-volved, it is possible to condense the EoS into a simpleanalytic fitting function that provides an accurate de-scription of the pressure and its two first derivatives withrespect to the chemical potentials. As we will explicitlydemonstrate, this result is immediately amenable to adetermination of the structure of quarks stars, and canin addition be matched to low energy nuclear EoSs withconsiderable ease.
While being as convenient to use as the MIT bag modelEoS, the result we provide improves it in two importantways. First, as demonstrated in the case of high temper-ature and vanishing density in Section 2, the MIT bagmodel crudely underestimates the importance of inter-actions at large and intermediate energies, thus leadingto an inaccurate description of the EoS. Secondly — andperhaps more importantly — our perturbative EoS auto-matically includes an estimate of its inherent systematicuncertainties via a dependence on the renormalizationscale parameter. Thus, it replaces the fallaciously single-valued prediction of the MIT bag model EoS by a band,whose width correctly increases at low densities, wherethe uncertainty of any quark matter EoS is bound to besizable.
2. THE QUARK-GLUON PLASMA EQUATION OF STATE
To motivate our upcoming discussion of the EoS ofcold quark matter, we first briefly discuss the analo-gous problem at high temperature and vanishing baryondensity. Here, one is faced with the task of connect-ing a low-energy hadron resonance gas EoS to the high-temperature limit, where a perturbative description ofthe thermodynamics is expected to be feasible. At in-termediate temperatures, one has the possibilities of us-ing resummed perturbation theory, the MIT bag model,
0 1 2 3 4 5 6µB [GeV]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
P/P SB
Free quarksBag model, B=(150MeV)4
pQCD
Fig. 2.— Same as in Fig. 1, but for the pressure of zero-temperature quark matter in β equilibrium as a function of thebaryon chemical potential.
or other, more elaborate model calculations to estimatethe behavior of the EoS. The matching of these EoSs tothe hadron resonance gas results can in addition be usedto determine the approximate location of the crossovertransition, where the degrees of freedom used to describethe system effectively change from hadronic to partonicones.
Despite the obvious similarities of the two systems,there is one crucial difference between the descriptionof QCD matter at high density and high temperature:for the hot and dilute QGP, lattice QCD provides a reli-able nonperturbative first principles method to evaluatebulk thermodynamic quantities, and thus check the ac-curacy of the perturbative and model predictions. Thisis illustrated in Fig. 1, where we plot the pressure of thehot QGP at vanishing baryon number density, normal-ized to that of a free system. The figure exhibits a per-turbative band obtained from the so-called ‘DimensionalReduction (DR) resummation’ (see Blaizot et al. (2003);Laine & Schroder (2006)) of the highest complete weak-
coupling result of order α5/2s (Zhai & Kastening 1995;
Kajantie et al. 2002),2 as well as a curve correspondingto the prediction of the MIT bag model, in which wehave used the typical value of (150 MeV)4 for the bagconstant. The two predictions are compared to state-of-the-art lattice data from Borsanyi et al. (2010), corre-sponding to two massless and one massive flavor of dy-namical quarks.
What one sees in Fig. 1 is quite striking: whereas theresummed perturbative EoS clearly provides a successfuldescription of the zero density EoS (and even more soat small but nonzero baryon number chemical potentialµB (Mogliacci et al. 2013)), the MIT bag model predic-tion badly fails in the same task. Inspecting the figure,one quickly sees that this can be attributed to the ex-tremely sharp rise of the bag curve towards the nonin-teracting Stefan-Boltzmann limit, proportional to 1/T 4.At the same time, the logarithmic dependence of the per-turbative EoS on the temperature, originating from therunning of the strong coupling constant, is in excellent
2 Note that at high temperatures the strong infrared (T/p)-tailof the gluonic Bose-Einstein distribution renders the EoS sensitive
to the dispersion relation of soft gluons (with p ∼ α1/2s T ), creating
a need for performing resummations. This complication is largelyabsent in the case of cold fermionic matter where there are nostrong infrared tails.
Gambar 2.1: Prediksi tekanan pada materi quark, diambil dari referensi [8].
2.4 Persamaan TOV
Persamaan TOV menjelaskan bagaimana tekanan pada suatu benda yang
bermassa besar bergantung dengan posisi atau jarak dari pusat benda.
Persamaan TOV ditulis dalam bentuk persamaan differensial sebagai ber-
ikut
dp
dr= −G
(ρ+ p
c2
) (M + 4πr3 p
c2
)r(r − 2MG
c2
) , (2.26)
dM
dr= 4πr2ρ. (2.27)
Universitas Indonesia
7
Persamaan (2.26) dan (2.27) menggunakan satuan yang disesuaikan, yakni
h̄ = c = 1. Untuk menyelesaikan persamaan differensial tersebut, dibutuhkan
syarat batas sebagai berikut:
1. M (r = 0) = 0
2. p (r = R) = 0
3. Nilai ε (r = 0) dan p (r = 0) di pusat bintang bisa dipilih dari persamaan
keadaan untuk materi quark.
Untuk mendapatkan relasi massa dan jari-jari bintang dengan mengguna-
kan persamaan differensial pada (2.26) dan (2.27), penulis menggunakan me-
tode numerik Runge-Kutta orde 4.
Pada metode Runge-Kutta orde 4, persamaan (2.26) dan (2.27) dimodi-
fikasi sedemikian hingga dalam proses perhitungan tidak muncul suatu nilai
yang sangat-sangat besar. Hal ini sangat penting mengingat pada penelitian
ini digabungkan antara dua skala yang sangat berbeda. Satu dari sektor nuklir
dimana interaksi quark terjadi pada skala Fermi, sedangkan satu lagi dari sek-
tor gravitas bintang dimana materi quark terbentuk dengan skala kilometer.
Algoritma metode Runge-Kutta orde 4 untuk sistem persamaan differensial
adalah sebagai berikut: Sistem persamaan differensial orde satu yang didefi-
nisikan sebagai
u′j =du
dt= fj (t, u1, u2, ..., um) , (2.28)
dimana m adalah jumlah persamaan differensial dalam sistem persamaannya
yang berada pada daerah a ≤ t ≤ b dengan kondisi awal uj (a) = αj. Kemu-
dian definisikan atau inisialisasi interval nilai t dalam setiap perhitungan, kita
sebut h
h =(b− a)
N, (2.29)
dengan N + 1 adalah jumlah titik yang akan dihitung dan terdapat N inte-
rval. Kita tentukan wj = αj, untuk kondisi mula-mula output yang dihasilkan
adalah (t, w1, w2, w3, ..., wm), sedangkan untuk langkah selanjutnya mengikuti
prosedur sebagai berikut:
Pada setiap langkah iterasi i = 1, 2, ..., N
1. Untuk tiap j = 1, 2, 3...,m
Universitas Indonesia
8
2. k1,j = hfj (t, w1, w2, w3, ..., wm)
3. k2,j = hfj ([t+ h/2] , [w1 + k1,1/2] , [w2 + k1,2/2] , ..., [wm + k1,m/2])
4. k3,j = hfj ([t+ h/2] , [w1 + k2,1/2] , [w2 + k2,2/2] , ..., [wm + k2,m/2])
5. k4,j = hfj ([t+ h] , [w1 + k3,1] , [w2 + k3,2] , [w3 + k3,3] , ..., [wm + k3,m])
6. wj = wj + (k1,j + 2k2,j + 2k3,j + k4,j) /6
7. Jadikan t = a+ ih
8. Output (t, w1, w2, w3, ..., wm) .
Kemudian dari metode Runge-Kutta di atas, persamaan (2.26) dan (2.27)
dimodifikasi sedemikian hingga bisa didefinisikan
f1 (p,M) =dp
dr
= −G (ε (p) + p) (M + 4πr3p)
r(r − 2GM
r
) . (2.30)
f2 (p) =dM
dr= 4πε (p) r2. (2.31)
Densitas energy ε(p) didapat dari hasil fitting data pada persamaan keadaan
materi quark yang didapat sebelumnya.
Universitas Indonesia
BAB 3
METODE PERHITUNGAN
3.1 Perhitungan Persamaan Keadaan Materi Quark
Pada bab ini akan kami kompilasi hasil-hasil perhitungan analitik yang
kami dapat. Dari persamaan (2.12) dengan menggunakan proses integral∫ √k2 +m2k2dk =
1
8
[k√k2 +m2
(2k2 +m2
)−m4 ln
(k +√k2 +m2
)],
diperoleh
ε =∑i
gi2π2
1
8
[νi
√ν2i +m2
i
(2ν2i +m2
i
)−m4
i lnνi +
√ν2i +m2
i
mi
]. (3.1)
Kemudian dari persamaan potensial kimia (2.14) akan diperoleh :
potential kimia quark up sebagai
µu =√ν2u +m2
u +3
2π2
[muνu
√ν2u +m2
u −m3u ln
νu +√ν2u +m2
u
mu
]
×{
1
3
[− D
3n4/3B
+ δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]+
6nd
(nd + nu)2DIn
αBe−βnB
}
+3
2π2
[mdνd
√ν2d +m2
d −m3d ln
νd +√ν2d +m2
d
md
]
×{
1
3
[− D
3n4/3B
− δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]− 6nd
(nd + nu)2DIn
αBe−βnB
},
sedangkan untuk quark down adalah
µd =√ν2d +m2
d +3
2π2
[muνu
√ν2u +m2
u −m3u ln
νu +√ν2u +m2
u
mu
]
×{
1
3
[− D
3n4/3B
+ δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]− 6nu
(nd + nu)2DIn
αBe−βnB
}
+3
2π2
[mdνd
√ν2d +m2
d −m3d ln
νd +√ν2d +m2
d
md
]
×{
1
3
[− D
3n4/3B
− δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]+
6nu
(nd + nu)2DIn
αBe−βnB
}.
9 Universitas Indonesia
10
Kemudian untuk quark strange adalah
µs =√ν2s +m2
s +3
2π2
[muνu
√ν2u +m2
u −m3u ln
νu +√ν2u +m2
u
mu
]
×1
3
[− D
3n4/3B
+ δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]
+3
2π2
[mdνd
√ν2d +m2
d −m3d ln
νd +√ν2d +m2
d
md
]
×1
3
[− D
3n4/3B
− δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]
+3
2π2
[msνs
√ν2s +m2
s −m3s ln
νs +√ν2s +m2
s
ms
]{− D
3nB4/3
}1
3.
sehingga selisih keduanya adalah
µu − µd =√ν2u +m2
u −√ν2d +m2
d
+DInαBe−βnB
[f
(νumu
)6nu
nu + nd− f
(νdmd
)6nd
nu + nd
], (3.2)
dan
µu − µs =√νu2 +mu
2 −√νs2 +ms
2
+DInBe−βnB
6nd
(nd + nu)2
[f
(νumu
)nu − f
(νdmd
)nd
]+
D
9n4/3B
nsf
(νsms
). (3.3)
Di sini f(x) didefinisikan sebagai
f (x) =3
2x3
[x√x2 + 1− ln
(x+√x2 + 1
)].
Pada proses perhitungan, besaran yang menentukan persamaan keadaan ma-
teri quark adalah momentum Fermi untuk tiap konstituen (quark up, down,
strange dan electron). Selanjutnya dari momentum Fermi yang diperoleh nan-
tinya akan didapatkan persamaan keadaan (tekanan dan densitas energi) dari
materi quark strange. Hasil dari persamaan keadaan yang didapat akan digu-
nakan sebagai input untuk menghitung persamaan TOV.
Dari persamaan (2.16) dan (2.17) juga (3.2) dan (3.1) bisa diperoleh per-
umusan untuk perhitungan numerik. Pertama, dari (2.16) bisa diperoleh dua
Universitas Indonesia
11
persamaan sebagai berikut
Eu − Es +DInαBe−βnB
[nuf
(νumu
)− ndf
(νdmd
)]6nd
(nu + nd)2 + µe = 0 (3.4)
Ed − Es +DInαBe−βnB
[ndf
(νdmd
)− nuf
(νumu
)]6nu
(nu + nd)2 = 0 (3.5)
dengan
Ei =√ν2i +m2
i .
Dari tiga persamaan (3.4), (3.5), (2.7) dan (2.17) bisa dicari nilai momen-
tum Fermi untuk masing-masing konstituen pada nilai densitas baryon terten-
tu. Secara umum, momentum Fermi masing-masing konstituen bisa ditemuk-
an dengan cara mencari solusi untuk sistem persamaan non-linear. Metode
dalam perhitungan numerik yang dikerjakan dalam penelitian adalah metode
fixed-point.
3.2 Metode Fixed-Point
Pada metode fixed-point [10] sistem persamaan non-linear diselesaikan de-
ngan memberikan suatu nilai solusi tebakan. Kemudian dari solusi tebakan
di awal perhitungan tersebut, dicari solusi baru yang lebih akurat. Begitu
seterusnya sampai tercapai suatu keadaan konvergen, yakni ketika solusi yang
diperoleh pada setiap proses perhitungan sudah tidak mengalami perubahan
yang signifikan.
Tahap pertama adalah menentukan persamaan apa saja yang masuk dalam
sistem persamaan non-linear, dalam penelitian ini persamaan tersebut adalah
persamaan (3.4), (3.5), (2.7) dan (2.17). Ada 4 (empat) variable yang ingin
dicari, sehingga perlu ada 4 (empat) persamaan yang tersedia. Dalam hal ini
penulis menggunakan variable nB sebagai nilai input untuk menghitung νu,
νd, νs dan νe. Namun dari keempat persamaan tersebut, bisa disederhanakan
menjadi 2 persamaan saja. Berikutnya persamaan yang digunakan ke dalam
teknis komputasi adalah√ν2u +m2
u − F1 (νu, νd) = 0, (3.6)√ν2d +m2
d − F2 (νu, νd) = 0, (3.7)
Universitas Indonesia
12
sehingga dihasilkan
νu =√F 21 (νu, νd)−m2
u, (3.8)
νd =√F 22 (νu, νd)−m2
d.. (3.9)
Perumusan di atas menggunakan fungsi yang hanya bergantung dari νu dan
νd saja, karena variabel lain seperti νs dan νe sudah disubtitusi dari persamaan
(2.7) dan (2.17) ke persamaan (3.4) dan (3.5).
Selanjutnya dengan metode fixed-point, dari persamaan (3.8) dan (3.9)
menjadi
νi+1u = νiu − C
[νiu −
√F 21 (νiu, ν
id)−m2
u
], (3.10)
νi+1d = νid − C
[νid −
√F 22 (νiu, ν
id)−m2
d
], (3.11)
dengan i adalah iterasi perhitungan dan C adalah suatu konstanta tak berdi-
mensi yang nilainya cukup kecil. Konstanta ini berguna untuk menghindari
perubahan nilai solusi yang signifikan. Semakin kecil nilai C maka semakin
akurat dalam pencarian solusi.
Kemudian syarat agar solusi bisa didapatkan adalah nilai berhenti dari
perhitungan menunjukkan hasil yang konvergen. Pada penelitian ini, penulis
menggunakan syarat konvergen saat hasil dari persamaan berikut√ν2u +m2
u − F1 (νu, νd) ' 0, (3.12)√ν2d +m2
d − F2 (νu, νd) ' 0. (3.13)
Universitas Indonesia
BAB 4
HASIL PERHITUNGAN DAN ANALISIS
4.1 CIDDM
Pada bab ini kami akan memberikan hasil-hasil perhitungan numerik ber-
dasarkan analisisnya. Dari hasil perhitungan, diperoleh beberapa hasil plot
yang kami tunjukkan pada Gambar 4.1 - 4.3.
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.5 1 1.5
Frac
tion
nB(fm-3)
(a) DI-0
udse
Gambar 4.1: Fraksi quark up, down, strange dan elektron para model CIDDM dengan
menggunakan set parameter DI-0.
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.5 1 1.5
Frac
tion
nB(fm-3)
(a) DI-300
udse
Gambar 4.2: Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-300.
13 Universitas Indonesia
14
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.5 1 1.5
Frac
tion
nB(fm-3)
(a) DI-2500
udse
Gambar 4.3: Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-2500.
Pada Gambar 4.1, Gambar 4.2 dan Gambar 4.3 untuk set parameter DI−0
kami menggunakan parameter DI = 0, α = 0, β = 0, D1/2 = 156 MeV pada
perhitungan, set parameter ini merupakan parameter yang biasa digunakan
pada model CDDM [11]. Untuk set parameter DI − 300 set parameter yang
digunakan adalah DI = 300 MeV.fm3α, α = 1, β = 0.1 fm3, D1/2 = 151
MeV dan untuk set parameter DI − 2500, parameter yang digunakan adalah
DI = 2500 MeV.fm3α, α = 0.8, β = 0.1 fm3 dan D1/2 = 144 MeV. Terlihat
bahwa fraksi quark up, down dan strange akan bernilai sama para kondisi rapat
bilangan baryon yang tinggi. Pada saat itu juga fraksi elektron bernilai sangat
kecil mendekati nol. Hal ini mengindikasikan bahwa pada kondisi nilai nB yang
besar untuk mencapai keadaan yang netral, lepton (dalam hal ini elektron)
tidak berperan penting. Sedangkan pada kondisi nB yang cukup kecil, terdapat
perbedaan nilai fraksi antara ketiga parameter isospin terutama pada fraksi
quark down, strange dan elektron. Pada parameter isospin yang lebih besar
kondisi keseimbangan dan netralitas tetap terpenuhi dimana efeknya dikontrol
oleh nilai dari parameter DI.
Dilihat dari persamaan keadaan yang dihasilkan dari model CIDDM, dari
Gambar 4.4 terlihat bahwa semua energi minimum materi quark strange ber-
ada di bawah nilai 930 MeV. Hal ini sesuai dengan prediksi dari referensi [3].
Dimana kestabilan materi quark membutuhkan energi minimum yang kurang
dari 930 MeV. Nilai dari tekanan pada daerah nilai nB → 0 menunjukkan nilai
negatif sedangkan pada rapat energi menunjukkan nilai positif. Hal ini sesuai
dengan kriteria model bag MIT yang mengindikasikan hal yang sama [7].
Plot relasi massa dan radius bintang pada Gambar 4.5. Terlihat bahwa
Universitas Indonesia
15
50
150
250
350
450
550
650
750
850
950
1050
1150
1250
0.4 0.8 1.2 1.6 2nB(fm-3)
(a) DI-0
P(MeV/fm-3)E(MeV)
0.4 0.8 1.2 1.6 2nB(fm-3)
(b) DI-300
0.4 0.8 1.2 1.6 2nB(fm-3)
(c) DI-2500
Gambar 4.4: Persamaan keadaan materi quark dengan variasi DI berdasarkan model
CIDDM.
pada persamaan keadaan yang kebergantungan pada isospinnya paling besar
memiliki massa maksimum paling besar. Pada hasil pengamatan massa pulsar
PSR J1614-2230 dengan massa 1.97 ± 0.04 massa solar menunjukkan bahwa
pada pulsar atau bintang quark yang memiliki massa maksimum lebih besar,
maka kebergantungan pada isospin juga semakin besar.
Selanjutnya dapat dilihat di Gambar 4.6, tekanan materi quark dengan te-
kanan quark bebas (free) menunjukkan nilai asimtotik yang berbeda dengan
hasil perhitungan pQCD (Gambar 2.1). Hasil dari model CIDDM memberi-
kan prediksi bahwa pada nilai densitas baryon nB yang besar, materi quark
menjadi quark yang tidak saling berinteraksi. Hal ini diindikasikan dengan
nilai perbandingan P/PSB yang bernilai 1 dinilai nB yang besar.
Namun pada kondisi nilai rapat bilangan baryon nB yang kecil, berdasarkan
Gambar 4.8, kondisi awal materi quark lebih ditentukan oleh besarnya nilai
parameter D. Dengan memperbesar nilai D pada suku massa quark, maka
diperoleh grafik prediksi yang mulai pada nilai nB yang lebih besar.
Universitas Indonesia
16
0.5
1
1.5
2
2 4 6 8 10 12
M/M
sun
Radius (km)
J1614-2230DI-0
DI-300DI-2500
B1/4=154.5 MeV
Gambar 4.5: Relasi massa dan radius bintang.
4.2 Prediksi pQCD
Dari kurva plot prediksi tekanan pada materi quark strange, bisa dilakukan
perumusan analitik bagaimana perilaku tekanan pada model CIDDM pada
kondisi rapat bilangan baryon (nB) yang sangat besar.
Pada kondisi nilai nB yang cukup besar, maka terjadi kondisi
1. νu = νd = νs = ν
2. nu = nd = ns = nB = ν3
π2
3. mu = md = m 6= ms = constant
juga pada perumusan potensial kimia pada materi quark menjadi
1. µu = µd '√ν2 +m2
2. µs '√ν2 +ms
2
3. µe ' 0
yang menyebabkan beberapa besaran seperti tekanan dan densitas energi bin-
Universitas Indonesia
17
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1000 1500 2000 2500 3000 3500
P/P S
B
µB(MeV)
DI-0DI-300
DI-2500
Gambar 4.6: Prediksi tekanan sebagai fungsi potensial kimia baryon pada materi quark
berdasarkan model CIDDM.
tang perumusannya menjadi
P = −ε+∑
i=u,d,s,e
niµi,
' − 6
8π2
[ν√ν2 +m2
(2ν2 +m2
)−m4 ln
(ν
m+
√( νm
)2+ 1
)]
− 3
8π2
ν√ν2 +ms2(2ν2 +ms
2)−ms
4 ln
ν
ms
+
√(ν
ms
)2
+ 1
+2
ν3
π2
√ν2 +m2 +
ν3
π2
√ν2 +ms
2. (4.1)
Dengan menggunakan pendekatan matematis berupa
(1 + x)n ' 1 + nx,
untuk nilai x = m/ν << 1, sehingga persamaan (4.1) dengan menjaga orde
m/ν tidak lebih dari 2, menjadi
P ' −(
6
8π2
)2ν2
(ν2 +m2
)−(
3
8π2
)2ν2
(ν2 +ms
2)
+3ν4
π2+m2ν2
π2+ms
2ν2
π2. (4.2)
Kemudian pada perumusan pressure untuk tiga quark tak bermassa
PSB =3
4π2
(µB3
)4, (4.3)
µB = 3ν, (4.4)
Universitas Indonesia
18
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
P/P S
B
µB(MeV)
DI-300
_=1; `=0.1; D=0.58_=2; `=0.1; D=0.58
_=2.5; `=0.1; D=0.58_=3.0; `=0.1; D=0.58_=1.0; `=0.1; D=1.0_=1.0; `=0.1; D=1.5_=1.5; `=0.1; D=1.0
Gambar 4.7: Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM dengan nilai
parameter yang bervariasi pada DI-300.
sehingga
PSB =3
4π2ν4. (4.5)
Selanjutnya, rasio dari pressure P pada materi quark CIDDM model de-
ngan PSB menjadi
P
PSB=−ε+
∑i=u,d,s,e niµi
34π2 (µB/3)4
,
' 1− 2
3
m2
ν2− 1
3
ms2
ν2, (4.6)
Dari perumusan dan hasil grafik bisa diperkirakan bahwa dari model CI-
DDM, pada kondisi rapat bilangan baryon nB yang sangat besar, quark cen-
derung bersifat bebas dan tak terikat satu sama lain. Hal itu ditunjukkan
pada persamaan (4.6) yang akan bernilai P/PSB ' 1 ketika nilai nB atau ν
menjadi sangat besar. Nilai 1 mengindikasikan bahwa tekanan pada materi
quark adalah sama dengan tekanan pada tiga quark yang saling bebas.
Hal ini disebabkan pada keadaan nilai nB yang besar, masing-masing quark
yang terkurung dalam suatu bag dengan suatu tekanan tertentu (konstan) bisa
menembus dinding bag yang menyebabkan quark menjadi bebas. Dalam hal
ini diambil analogi model bag MIT karena hasil yang sama juga terjadi pada
model ini. Dan kalau kita telusuri lebih lanjut, memang model CIDDM adalah
suatu model yang dikembangkan berdasarkan model bag MIT.
Universitas Indonesia
19
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
P/P S
B
µB(MeV)
DI-2500
_=0.8; `=0.1; D=0.53_=1.5; `=0.1; D=0.53_=2.0; `=0.1; D=0.53_=1.0; `=2.5; D=0.53
Gambar 4.8: Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM dengan variasi
parameter pada DI-2500.
Jika dibandingkan dengan hasil pQCD, menunjukkan pada kondisi nilai nB
yang besar pun quark tetap berinteraksi dalam bag, tetapi kali ini nilai bag
tidak konstan namun berubah (membesar) seiring membesarnya nilai nB.
Pada tekanan materi quark yang bernilai nol yang berarti tekanan materi
quark sama besar dengan konstanta bag B. Konstanta bag diibaratkan sebagai
tekanan yang digunakan untuk membuat vakum bag.
Ketika melakukan variasi dengan menaikkan nilai D, terlihat pada plot
prediksi Gambar 4.8 bahwa tekanan pada nilai nol bergeser ke nilai nB yang
lebih besar. Hal ini disebabkan interaksi antar quark semakin kuat dengan
memperbesar nilai parameter D, interaksi yang terjadi adalah interaksi tarik-
menarik. Pada nilai nB tertentu, tekanan akibat interaksi tarik-menarik pada
materi quark bisa diimbangi dengan energi kinetiknya. Sehingga untuk nilai D
yang semakin besar, dibutuhkan energi kinetik yang lebih besar (dalam hal ini
energi kinetik berkaitan dengan nilai dari nB). Sedangkan dengan menaikkan
nilai parameter isospin, ternyata tidak terjadi pergeseran grafik yang meng-
indikasikan bahwa interaksi isospin tidak memegang peranan penting dalam
menentukan keadaan materi quark terutama pada nilai nB yang besar.
Melihat dari persamaan (4.6) dan dari Gambar 4.6 dan juga Gambar 4.8
dapat diperkirakan bahwa dibutuhkan suatu perumusan tekanan materi quark
yang tidak bernilai asimtotik 1 pada nilai nB yang besar. Penulis memperkirak-
an bahwa hal tersebut bisa saja diperoleh dengan menggunakan penambahan
Universitas Indonesia
20
suatu nilai bag tertentu yang nilainya bergantung pada nilai nB, semakin besar
nilai nB maka semakin besar nilai bag.
Melihat dari hasil perumusan (4.6), nilai bag yang dibutuhkan pada peru-
musan pressure agar konsisten dengan hasil pQCD perlu ditulis dalam bentuk
B = B0PSB (4.7)
dengan B0 adalah suatu parameter yang menunjukkan seberapa besar interaksi
rata-rata antar quark.
Universitas Indonesia
BAB 5
KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Dari basil perhitungan untuk model CIDDM dan perbandingan dengan
perhitungan perturbative QCD, bisa disimpulkan bahwa
1. Sebagai pengembangan dari model bag MIT, model CIDDM sesuai de-
ngan kriteria model bag MIT para nilai densitas baryon rendah.
2. Model CIDDM cukup akurat dalam menentukan relasi mass-radisu bin-
tang. Gambar 4.5 menunjukkan bahwa kebergantungan isospin berper-
an dalam menentukan harga massa maksimum pada relasi massa-radius
bintang.
3. Persamaan keadaan bintang pada densitas baryon yang rendah bisa dip-
rediksi dengan menggunakan CIDDM.
4. Pada daerah nilai densitas baryon yang besar, berdasarkan model CI-
DDM, quark cenderung bersifat bebas (free) terlihat dari Gambar 4.6.
Berbeda dengan prediksi perturbative QCD yang memprediksi bahwa qu-
ark pada daerah nilai densitas baryon besar quark cenderung memiliki
interaksi rata-rata yang bergantung densitas baryon. Hal ini terlihat dari
Gambar 2.1.
5. Untuk menghasilkan prediksi yang sesuai dengan perhitungan pertur-
bative QCD, dibutuhkan nilai tekanan yang sebanding dengan tekanan
materi quark bebas (free) pada nilai densitas baryon yang besar.
5.2 Saran
Dari hasil yang disajikan dalam skripsi ini, beberapa kesimpulan didapat
seperti dengan model CIDDM ternyata pada nilai densitas baryon besar quark
cenderung bersifat bebas dan bertentangan dengan prediksi perturbative QCD
yang mana quark cenderung berikatan. Dengan demikian, penelitian lebih
lanjut diperlukan untuk mendapatkan perumusan persamaan keadaan bintang
21 Universitas Indonesia
22
yang lebih baik berdasarkan model CIDDM. Persamaan keadaan tersebut ha-
rus sesuai dengan kriteria model bag MIT pada nilai densitas baryon rendah
dan sesuai dengan perhitungan perturbative QCD pada nilai densitas baryon
tinggi.
Universitas Indonesia
DAFTAR ACUAN
[1] Lattimer. J. M. (2005). Neutron Stars. SLAC Summer Institute on Par-
ticle Physics.
[2] Weber, F. (2004). Strange Quark Matter and Compact Stars. arXiv: astro-
ph/0407155v2.
[3] Farhi, E., Jaffe, R. L. (1984). Strange Matter. Phys. Rev. D, 30, 2379.
[4] Chodos, A., Jaffe, R. L., Johnson, K., Thorn, C. B., Weisskopf, V.
F.(1974). New Extended Model of Hadrons. Phys. Rev. D, 9, 3471.
[5] A. Chodos, R. L. Jaffe, K. Johnson, C. B. Thorn.(1974). Baryon Structure
in The Bag Theory. Phys. Rev. D 10, 2599.
[6] Fowler, G. N., Raha, S., Weiner, R. M.(1981). Z. Phys. C, 9, 271.
[7] Peng, G. X., Chiang, H. C., Yang, J. J., Li, L., Liu, B.(1999). Mass For-
mulas and Thermodynamic Treatment in The Mass-Density-Dependent
Model of Strange Quark Matter. Phys. Rev. C, 61, 015201.
[8] Fraga, E. S., Kurkela, A., Vourinen, A.(2013). Interacting Quark Matter
Equation of State for Compact Stars. arXiv:1311.5154v1 [nucl-th].
[9] Ryder, Lewis.(2009). Introduction to General Relativity, P.146-150, 243-
250, University of Kent, UK: Cambridge University Press.
[10] Richard, L. B., J. Douglas F(2010). Numerical Analysis (9th ed). Cengage
Learning
[11] Chu, P. C., Chen, L. W. (2012). Quark Matter Symmetry Energy and
Quark Stars. arXiv:1212.1388v1 [astro-ph.SR].
[12] Glendenning, N. K(2000). Compact Stars: Nuclear Physics, Particle
Physics, and General Relativity (2nd ed). Springer.
23 Universitas Indonesia
LAMPIRAN A
Persamaan TOV
Dari referensi [9], persamaan TOV mulai dari perumusan tensor energi-
momentum untuk fluida yang diam
T̃ µν =
ρ 0 0 0
0 pc2
0 0
0 0 pc2
0
0 0 0 pc2
, (A.1)
atau bisa ditulis dalam bentuk
T̃ 00 = ρ, (A.2)
T̃ ij =p
c2δij, (A.3)
dan
T̃ µν = 0, (A.4)
untuk nilai µ 6= ν.
Selanjutnya, bentuk kontravarian (agar tensor energi-momentum invariant
terhadap transformasi Lorentz) dari T̃ µν adalah
T ij = ΛiµΛj
νT̃µν , (A.5)
dengan
Λik = δik +
γ − 1
v2vivk, (A.6)
Λi0 = γ
vi
c, (A.7)
Λ00 = γ, (A.8)
adalah elemen-elemen matriks Lorentz.
Sehingga, perumusan tensor energi-momentum menjadi
T ij = ΛikΛ
jmT̃
km + Λi0Λ
j0T̃
00
=
(δik +
γ − 1
v2vivk
)(δjm +
γ − 1
v2vjvm
)p
c2δkm + γ2
vivj
c2ρ, (A.9)
T 00 = Λ0iΛ
0j T̃
ij +(Λ0
0
)2T̃ 00
=(γ2 − 1
) pc2
+ γ2ρ, (A.10)
24 Universitas Indonesia
25
atau bisa ditulis dalam bentuk yang lebih kompak
T µν =p
c2gµν +
(ρ+
p
c2
)uµuν , (A.11)
dengan
gµνuµuν = −1 = gµνuµuν . (A.12)
Untuk mendapatkan tensor metrik gµν , berawal dari ansatz yang sudah
umum digunakan [9]
gµν =
−e−2k 0 0 0
0 e−2m 0 0
0 0 1r2
0
0 0 0 1r2 sin2 θ
, (A.13)
gµν =
−e2k 0 0 0
0 e2m 0 0
0 0 r2 0
0 0 0 r2 sin2 θ
. (A.14)
Kemudian persamaan-persamaan di atas digunakan untuk menyelesaikan per-
samaan medan Einstein sebagai
Rµν −
1
2δµνR =
8πG
c2T µν , (A.15)
untuk mendapatkan perumusan metrik untuk interior bintang dengan suatu
jari-jari Rstar tertentu.
Dengan beberapa relasi berikut
T µν = T µαgαν , (A.16)
Rµν = gµαRαν , (A.17)
R = gµνRµν
= R00 +R1
1 +R22 +R3
3, (A.18)
dengan definisi Christoffel symbol
Γνµκ =1
2gνρ (gµρ,κ + gκρ,µ − gµκ,ρ) , (A.19)
dan tensor Ricci
Rµν = Γκµν,κ − Γκµκ,ν + ΓκρκΓρµν − ΓκρνΓ
ρµκ, (A.20)
Universitas Indonesia
26
akan diperoleh
R00 = e−2m
(−k′′ − (k′)
2+ k′m′ − 2k′
r
), (A.21)
R11 = e−2m
(−k′′ − (k′)
2+ k′m′ − 2m′
r
), (A.22)
R22 = R3
3 = e−2m(− 1
r2− k′
r+m′
r
)+
1
r2, (A.23)
R = e−2m(−2k′′ − 2 (k′)
2+ 2k′m′ − 4
r(k′ −m′)− 2
r2
)+
2
r2, (A.24)
dengan
a′ =da
dr, (A.25)
dan
T µν =
−ρ 0 0 0
0 pc2
0 0
0 0 pc2
0
0 0 0 pc2
. (A.26)
Subtitusi relasi (A.21), (A.22), (A.23), (A.24), dan (A.26) ke dalam persa-
maan medan Einstein (A.15), maka kita mendapatkan hasil sebagai berikut
e−2m(−2
rm′ +
1
r2
)− 1
r2= −8πGρ
c2(A.27)
e−2m(
2
rk′ +
1
r2
)− 1
r2= −8πG
c2p
c2, (A.28)
e−2m(k′′ + (k′)
2 − k′m′ + k′
r− m′
r
)=
8πG
c2p
c2. (A.29)
Dari persamaan (A.27) akan didapat bahwa
e−2m = 1− 8πGρ
3c2r2, (A.30)
juga dari persamaan (A.28) setelah didifferensialkan terhadap r lalu disubti-
tusikan ke persamaan (A.29) untuk mendapatkan
8πG
c4p′ = −2k′
r(k′ +m′) e−2m. (A.31)
Universitas Indonesia
27
Jumlahkan persamaan (A.27) dan (A.28) untuk mendapatkan
e−2m (k′ +m′)2
r=
8πG
c2
(ρ+
p
c2
). (A.32)
Kemudian bandingkan persamaan (A.31) dan (A.32) untuk mendapatkan
p′
c2= −k′
(ρ+
p
c2
). (A.33)
Dari persamaan (A.33) ini bisa didapatkan persamaan TOV, dengan mensub-
titusi k′ ke persamaan (A.28) untuk mendapatkan
dp
dr= − 4πG
r − 2MGc2
( pc2
+ρ
3
)( pc2
+ ρ)r2. (A.34)
Sejauh ini, dalam mendapatkan persamaan (A.34), masih digunakan asum-
si bahwa nilai ρ adalah konstan atau dengan kata lain massa bintang terdistri-
busi secara merata (uniform). Namun pada kenyataanya, persamaan tersebut
bisa digunakan untuk bintang dengan densitas massa yang tidak uniform [9],
dengan beberapa modifikasi menjadi
dp
dr= −G
(ρ+ p
c2
) (M + 4πr3 p
c2
)r(r − 2MG
c2
) , (A.35)
dengan
dM
dr= 4πρr2dr. (A.36)
Universitas Indonesia
LAMPIRAN B
Materi Quark dengan CIDDM
Materi quark pada CDDM dan CIDDM bermula dari perumusan yang
sama, dimulai dari perumusan massa, untuk CIDDM massa quark dirumsukan
sebagai
mq = mq0 +mI +miso
= mq0 +D
nB1/3− τqδDInB
αe−βnB , (B.1)
dengan beberapa variabel didefinisikan sebagai
δ = 3nd − nund + nu
, (B.2)
nB =nu + nd + ns
3, (B.3)
yang mana nilai dari τq bisa bernilai 0 untuk quark strange, 1 untuk quark
up, dan -1 untuk quark down. Kemudian rapat bilangan untuk masing-masing
quark adalah
n =ν3iπ2, (B.4)
dengan i adalah quark up, down dan strange. Kemudian momentum Fermi
untuk quark up dan down bisa diekspresikan dengan
νu = (1− δ/3)1/3 ν, (B.5)
νd = (1 + δ/3)1/3 ν. (B.6)
Kemudian, untuk persamaan keadaan materi quark, disini didefinisikan
densitas energi pada materi quark
ε =∑i
gi2π2
∫νi
√k2 +mi
2k2dk
=∑i
gi2π2
1
8
[νi
√ν2i +m2
i
(2ν2i +m2
i
)−m4
i lnνi +
√ν2i +m2
i
mi
],(B.7)
dan tekanan didapat dari relasi termodinamika dimana sistem bintang quark
diasumsikan sebagai sistem yang terisolir dan energi dari bintang ini adalah
kekal. Dari hukum pertama termodinamika
d′Q = dE + pdV, (B.8)
28 Universitas Indonesia
29
yang mana d′Q = 0 sehingga
p = −∂E∂V
. (B.9)
Jika persamaan (B.9) dimodifikasi dengan memperkenalkan suatu nilai N (dari
[12]) yakni jumlah partikel yang nilainya tetap sehingga didapat beberapa
besaran sebagai berikut
ε =E
V, (B.10)
n =N
V, (B.11)
sehingga tekanannya menjadi
p = −∂(εnN)
∂(Nn
)= n2∂ (ε/n)
∂n
= n∂ε
∂n− ε. (B.12)
atau lebih lengkapnya menjadi
p = −ε+∑i
ni∂ε
∂ni, (B.13)
yang mana faktor ∂ε/∂ni disebut potensial kimia.
Dari densitas energi pada persamaan (B.7) didapatkan perumusan poten-
sial kimia quark
µi =∑j
ν2j√ν2j +m2j
∂νj∂ni
+1
2
∂mj
∂ni
mjνj
√ν2j +m2
j −m3j ln
νj +√ν2j +m2
j
mj
.Potensial kimia quark up:
∂mu
∂nu=
1
3
[− D
3n4/3B
+ δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]
+6nd
(nd + nu)2DIn
αBe−βnB , (B.14)
∂md
∂nu=
1
3
[− D
3n4/3B
− δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]
− 6nd
(nd + nu)2DIn
αBe−βnB , (B.15)
Universitas Indonesia
30
∂νu∂nu
=π2
3ν2u, (B.16)
∂νd∂nu
= 0, (B.17)
didapatkan
µu =√ν2u +m2
u +3
2π2
[muνu
√ν2u +m2
u −m3u ln
νu +√ν2u +m2
u
mu
]
×{
1
3
[− D
3n4/3B
+ δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]+
6nd
(nd + nu)2DIn
αBe−βnB
}
+3
2π2
[mdνd
√ν2d +m2
d −m3d ln
νd +√ν2d +m2
d
md
]
×{
1
3
[− D
3n4/3B
− δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]− 6nd
(nd + nu)2DIn
αBe−βnB
}.
Kemudian untuk quark down
∂mu
∂nd=
1
3
[− D
3n4/3B
+ δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]
− 6nu
(nd + nu)2DIn
αBe−βnB , (B.18)
∂md
∂nd=
1
3
[− D
3n4/3B
+ δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]
+6nu
(nd + nu)2DIn
αBe−βnB , (B.19)
∂νu∂nd
= 0, (B.20)
∂νd∂nu
=π2
3ν2d, (B.21)
Universitas Indonesia
31
didapatkan
µd =√ν2d +m2
d +3
2π2
[muνu
√ν2u +m2
u −m3u ln
νu +√ν2u +m2
u
mu
]
×{
1
3
[− D
3n4/3B
+ δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]− 6nu
(nd + nu)2DIn
αBe−βnB
}
+3
2π2
[mdνd
√ν2d +m2
d −m3d ln
νd +√ν2d +m2
d
md
]
×{
1
3
[− D
3n4/3B
− δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]+
6nu
(nd + nu)2DIn
αBe−βnB
},
dan untuk quark strange adalah
µs =√ν2s +m2
s +3
2π2
[muνu
√ν2u +m2
u −m3u ln
νu +√ν2u +m2
u
mu
]
×1
3
[− D
3n4/3B
+ δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]
+3
2π2
[mdνd
√ν2d +m2
d −m3d ln
νd +√ν2d +m2
d
md
]
×1
3
[− D
3n4/3B
− δDInα−1B e−βnB (βnB − α)
]
+3
2π2
[msνs
√ν2s +m2
s −m3s ln
νs +√ν2s +m2
s
ms
]{− D
3nB4/3
}1
3.
Universitas Indonesia
top related