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وزارة التعليم العالي و البحث العلمي
UNIVERSITE BADJI MOKHTAR عنابة جامعة باجي مختار ANNABA
FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
Mémoire
En vue de l’obtention du diplôme de MAGISTER en Mathématiques.
Option
Equations aux Dérivées Partielles & applications.
Présenté par: ABDELMALEK Brahim
Thème
VALEURS PROPRES PRINCIPALES DE PROBLEMES ELLIPTIQUES
Directeur de Recherches:
A. Djellit.
Prof. U.B.M. Annaba.
Devant le jury composé par:
S. Mazouzi Prof. U.B.M. Annaba Président.
F.Z Nouri Prof. U.B.M. Annaba Examinatrice.
A. Moumeni M. C. U.B.M. Annaba Examinateur.
Année: 2007.
To my parents.
To Tamrabet Sameh.
To all whom I love and respect.
2
صــــــــخـمل
:نعتبر المعادلة ذات القيم الذاتية التالية
)1(
. 3حيث في
مؤثر B، منتظم ذو معامالت متغيرة ناقصيمؤثر من الدرجة الثانية قرين بنفسه و Aحيث .Hilbert (H(معرفان في فضاء هلبرت B و A المؤثران ؛ضربي
مؤثر ضربي في Schrödinger ،Bهو مؤثر شرودينقر Δحالة أينَ نعالج أوال حتى qالشروط على الكمون هو تحديد اهتمامنا. بسرعة في جوار الالنهاية تتناقصالتي gدالة
إلثبات وجود Weinbergerنقوم بتطبيق نظرية لهذا .بنية طيفية متقطعة )1(تقبل المعادلة .Min-Maxمبدأ يدعى Courant-Fischer ةعالق طيف متقطع؛ القيم الذاتية تحقق
نجد أن القيمة ، qلكمون ل وحكيم دقيقباختيار . وبصفة خاصة متعلقة بالقيمة الذاتية األولى. تكون أساسية بمعني أن الدالة الذاتية المرافقة ال تغير إشارتها) السالبة(الذاتية األولى الموجبة
و في األخير نقوم بتعميم النتائج السابقة على مؤثر من الدرجة الثانية ذو معامالت متغيرة من .∑الشكل
:الكلمات المفتاحية
مؤثر -بوزن Sobolevفضاء - Min-Max مبدأ - رئيسيةقيمة ذاتية -Schrödinger - معادلة ذات قيم ذاتية.
Abstract
We consider the following elliptic problem :
Au = �Bu dans Rn; n � 3 (1)
Where � is a real parameter, A is a linear operator of second order formally self-
adjoint and uniformly elliptic, B is the operator of multiplication. The operators A and
B are de�nited in a real Hilbert space.
First, we consider the case of Schrödinger�s operator := ��+q ; and B is the operator
of multiplication by a function g which decreases rapidly at in�nity. We choose the
potential q in appropriate spaces. To this end, we apply the Weinberger�s theory to
show the existence of a discrete spectrum, the eigenvalues are characterized by Courant-
Fischer�s, formula known as Min-Max�s principle.
Then, a particular interest is devoted to the �rst eigenvalue. By an appropriate choice
of the potential q; we obtain that the �rst positive (resp. negative) eigenvalue is principal
i.e., the associated eigenfunction does not change sign. Finally, we treat the general case
of the second order operator of the form : A = �PDi (aij (x)D
j) :
Keywords :
- Principal eigenvalue - Min-Max�s principle - Weighted Sobolev spaces - Schrö-
dinger�s operator - Eigenvalue problem.
4
Résumé
Nous considérons le problème elliptique suivant :
Au = �Bu dans Rn; n � 3 (1)
où � est un paramètre réel, A est un opérateur linéaire du second ordre formellement au-
toadjoint, uniformément elliptique, et B est l�opérateur de multiplication. Les opérateurs
A et B sont dé�nis dans un espace de Hilbert réel (ou complexe) H.
Nous commençons par examiner le cas de l�opérateur de Schrödinger := ��+q ; et B
est l�opérateur de multiplication par une fonction g qui décroit "assez vite" à l�in�ni. Une
première étape consiste à choisir le potentiel q dans des espaces appropriés. A cette �n,
nous appliquons la théorie de Weinberger pour montrer l�existence d�un spectre discret ;
les valeurs propres sont caractérisées par la formule de Courant-Fischer dit principe du
Min-Max. En suite un intérêt particulier est dévoué à la première valeur propre. En
choisissant judicieusement le potentiel q, nous obtenons que la première valeur propre
positive (resp. négative) est principale c�est-à-dire que la fonction propre associée ne
change pas de signe. Finalement nous traitons le cas d�un opérateur d�ordre deux de la
forme : A = �PDi (aij (x)D
j) :
Mots clés :
- Valeur propre principale - Principe du Min-Max - Espaces de Sobolev à poids
- Opérateur de Schrödinger - Problème aux valeurs propres.
5
Remerciements
Je tiens à adresser mes remerciements les plus chaleureux et ma profonde gratitude à
mon encadreur Monsieur, Ali Djellit, professeur à l�université d�Annaba, pour m�avoir
proposé le sujet de ce mémoire. C�est grâce à sa grande disponibilité, ses conseils, ses
orientations, et ses encouragements que j�ai pu mener à bien ce travail .
Mes remerciements vont également à Monsieur, S. Mazouzi, professeur à l�univer-
sité d�Annaba, pour avoir bien voulu me faire l�honneur d�accepter de présider le jury.
De même je remercie vivement,Mme F.Z. Nouri, professeur à l�université d�Annaba,
et A. Moumeni, maître de conférence à l�université d�Annaba, pour l�honneur qu�ils
m�ont fait de bien vouloir accepter de faire partie du jury.
En�n, je n�oublie pas de remercier toutes les personnes qui m�ont facilité la tâche et
tous ceux que j�ai connu au département de mathématiques et qui ont rendu mes séjours
au département agréables.
Brahim A.
6
Table des matières
0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Notions préliminaires 10
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Formulation variationnelle du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 L�opérateur T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Spectre de T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Identité de Picone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Inégalité de Harnack dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Opérateurs de type Schrödinger 21
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Existence de valeurs propres principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Opérateurs du second ordre à coe¢ cients variables 30
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Existence de valeurs propres principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Cas d�un opérateur général d�ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Conclusion générale 38
1
0.1 Introduction
Nous nous intéressons à l�existence des valeurs propres principales des problèmes aux
limites elliptiques de la forme :
Au = �Bu; dans Rn; n � 3 (*)
où � est un paramètre réel, A est un opérateur linéaire uniformément elliptique, for-
mellement autoadjoint du second ordre à coe¢ cients variables, et B est l�opérateur de
multiplication par une fonction poids g de signe non constant. Les opérateurs A et B
sont dé�nis dans un espace de Hilbert réel (ou complexe) H:
La détermination des valeurs propres et des fonctions propres est en général impos-
sible sauf pour quelques problèmes simples. Il est toute fois possible, par comparaison à
des problèmes modèles, d�obtenir une estimation des valeurs propres (réelles). Les cher-
cheurs ont établi deux catégories d�estimations : la première concerne l�estimation des
"premières valeurs propres" -valeurs propres "principales"- qui, dans le cas d�un pro-
blème aux limites de Dirichlet ou plus généralement d�un opérateur elliptique du second
ordre sont associées à des fonctions propres positives ; la deuxième estimation concerne
les "grandes valeurs propres", et dans ce cas ils ont étudié le comportement asympto-
tique des valeurs propres quand � tend vers l�in�ni ; ce comportement est représenté par
la fonction de comptage N+ (�;A; g;Rn) (resp. N� (�;A; g;Rn)) qui détermine le nombre
de valeurs propres inférieures ou égale à � (resp. le nombre de valeurs propres supérieures
ou égale à �). En ce qui nous concerne, notre intérêt est porté sur la première catégorie.
Les problèmes relatifs à l�existence de valeurs propres principales sont étudiés dans
[11], [14], [19], [30] et [32] quand le potentiel q est positif ou nul et borné ; les autres
résultats dans [13] et [15] concernent les situations où q = 0 et non borné:
Le cas n = 1 avec q non nécessairement positif est étudié par [35] : Ces problèmes là
peuvent admettre des valeurs propres non réelles. En [28] ; les auteurs ont montré l�exis-
tence d�une suite de valeurs propres lorsque n > 1 et borné. Allegretto & Mingarelli
8
[4] ont donné une estimation de la première valeur propre du problème traité dans [28].
Dans [25] et [37] les auteurs ont considéré des potentiels q !1 quand x!1; tandis
que [20] ; [21] ; [22] et [24] ont utilisé des potentiels décroissant vers zéro à l�in�ni.
Nous observons une vaste littérature relative aux problèmes posés dans des domaines
bornés, notamment les résultats élaborés dans [3] ; [29] ; [30] et [32] :
Si le problème (*) est considéré dans un domaine borné, les espaces de Sobolev or-
dinaires conviennent parfaitement pour caractériser les solutions. Cependant dans un
domaine non borné, il est nécessaire d�introduire les espaces de Sobolev à poids déjà
rencontrés dans [6] ; [7] ; [9] ; [18] et [31] :
Le présent travail est organisé comme suit :
Dans le premier chapitre, nous rappelons tout d�abord la méthode de Weinberger [38]
qui permet d�établir l�existence de valeurs propres. Ces valeurs propres sont caractérisées
par le principe du Min-Max.
Le deuxième chapitre est consacré en premier lieu à l�étude des problèmes associés à
des opérateurs de type Schrödinger := ��+ q. Des considérations sur le potentiel q et le
poids g s�avèrent nécessaire pour que le problème associé admette une double suite in�nie
dénombrable de valeurs propres l�une positive tendant vers plus l�in�ni, et l�autre négative
tendant vers moins l�in�ni. Nous montrons en particulier que la plus petite valeur propre
est principale et simple.
Dans le dernier chapitre, nous traitons des problèmes associés à des opérateurs el-
liptiques d�ordre deux de la forme : �nX
i;j=1
@
@xi
�aij (x)
@
@xj
�+ q. Nous déterminons les
conditions sur les coe¢ cients aij; le potentiel q et le poids g, pour que le problème relatif
à cet opérateur admette un spectre discret, puis nous démontrons ici aussi que la pre-
mière valeur propre est principale et simple. Dans le dernier paragraphe, nous étudions
des opérateurs elliptiques d�ordre deux plus généraux.
9
Chapitre 1
Notions préliminaires
1.1 Introduction
Nous étudions les problèmes aux valeurs propres de la forme
Au = �Bu; (1.1)
où A et B sont des opérateurs autoadjoints dé�nis dans un espace de Hilbert V à image
dans un autre espace de Hilbert H; avec V ,! H; l�injection étant continue et d�image
dense, de plus nous supposons que l�opérateur A est positif de domaine dense. L�opérateur
B est supposé A�borné :
jBujH � C jAujH :
Pratiquement dans les problèmes aux limites étudiés A = �� + q; est un opérateur
elliptique positif: B est l�opérateur de multiplication par la fonction poids g de signe non
constant: Formellement (1:1) s�écrit u = �A�1Bu.
10
1.2 Formulation variationnelle du problème
Nous supposons que :
H et V sont des espaces de Hilbert réels (ou complexes), séparables;
(:; :) et ((:; :)) désignant leurs produits scalaires respectifs, et j:jH et k:kV les normes
associées.
a (:; :) et b (:; :) sont deux formes hermitiennes sur V telles que :
i) a (:; :) est continue et coercive sur V c�est à dire 9M > 0 et 9C > 0; tels que
ja (u; v)j �M kukV kvkV et a (u; u) � C kuk2V ; 8 (u; v) 2 V� V: (1.2)
ii) b (:; :) est continue sur V c�est à dire 9M 0 > 0; tel que
jb (u; v)j �M 0 kukV kvkV ; 8u; v 2 V:
La résolution du problème aux valeurs propres (1.1) revient à la résolution du problème
variationnel suivant :
8<: Trouver (�; u) 2 C� V ; u 6= 0 véri�ant :
a (u; v) = �b (u; v) ; 8v 2 V(1.3)
Dé�nition 1.1. On dit que � est une valeur propre de (1.3) s�il existe un vecteur
u 2 V non nul qui véri�e (1.3).
Il résulte de ((1:2) ; i) que la forme quadratique a (u; u) dé�nit sur V un produit scalaire
équivalent à ((:; :)) et donc, comme la forme b (u; v) est continue sur V, nous pouvons
appliquer le théorème de représentation de Riesz ; on en déduit qu�il existe un opérateur
T dé�ni sur V par :
b (u; v) = a (Tu; v) ; 8u 2 V; 8v 2 V (1.4)
11
1.3 L�opérateur T
Proposition 1.1. L�opérateur T ainsi dé�ni est linéaire, continu et autoadjoint
sur V:
Preuve
La linéarité est évidente ; il résulte de ((1:2) ; ii) que :
C kTuk2V � a (Tu; Tu) = b (u; Tu) �M 0 kukV kTukV
et donc en déduisant la continuité
kTukV �M 0
CkukV :
En�n T est autoadjoint puisque les formes sont hermitiennes :
a (Tu; v) = b (u; v) = b (v; u) = a (Tv; u) = a (u; Tv) : (1.5)
�Remarque 1.1.
Il est classique d�associer au triplet variationnel (V;H; a (:; :)) sa réalisation : l�opéra-
teur A est autoadjoint, positif et non borné dans H de domaine D (A) dé�ni par :
D (A) = fu 2 V; Au 2 Hg :
(Au; v)H = a (u; v) ; 8u 2 D (A) 8v 2 V:
D�une manière analogue à la forme b (:; :) nous pouvons associer l�opérateur B autoadjoint
dé�ni sur V par :
(Bu; v)H = b (u; v) ;8u; v 2 V
ainsi formellement :
12
T = A�1B:
Remarque 1.2.
Le problème (1.3) peut s�écrire, en utilisant l�opérateur T ,
�a (Tu; v) = a (u; v) ;8v 2 V:
Soit
a (�Tu� u; v) = 0 ;8v 2 V
Il résulte de (1.2) que
Tu =1
�u: (1.6)
Ainsi, si u est un vecteur propre de (1.3) correspondant à la valeur propre � non nulle,
alors il est aussi un vecteur propre de (1.6) correspondant à la valeur propre1
�et réci-
proquement.
1.4 Spectre de T
Si nous supposons de plus que l�injection de V dans H est compacte, alors
T est compact,
et nous pouvons appliquer les résultats de la théorie spectrale classique des opérateurs
autoadjoints compacts sur les espaces de Hilbert. Nous avons (Voir [11], [34],...).
Proposition 1.2. (i) Les valeurs propres de T sont réelles et (sauf peut être 0)
sont de multiplicités �nies.
(ii) Si �i et �j sont deux valeurs propres distinctes de T avec 'i et 'j les fonctions
13
propres associées, alors :
a�'i; 'j
�= 0 et b
�'i; 'j
�= 0
(iii) Le spectre de T est constitué par (au plus) deux in�nités dénombrables de valeurs
propres, une positive et l�autre négative, tendant vers zéro :
��1 < ��2 � ::: � ��j � ��j+1 � ::: � 0 � ::: � �+j+1 � �+j � ::: � �+2 < �+1 (1.7)
On répète chaque valeur propre selon sa multiplicité (on rappelle que la multiplicité de la
valeur propre est la dimension du sous espace propre).
(iv) Les valeurs propres de T sont caractérisées par le principe du �Min-Max�:
�+j+1 = minVj2Uj
maxu?Vj
fb (u; u) =a (u; u) = 1g (1.8)
��j+1 = maxVj2Uj
minu?Vj
fb (u; u) =a (u; u) = 1g
Uj étant l�ensemble de tous les sous espaces de V de dimension j
En particulier
�1 = max0 6=u2V
�b (u; u)
a (u; u)
�Remarque 1.3.
Les valeurs propres de (1:3) notées �j (a; b;V) sont égales à1
�jet sont réelles ; de plus
nous pouvons leur associer des fonctions propres réelles.
Il en résulte de (1.8) les lemmes suivants :
Lemme 1.1. Si a1 (u; v) et a2 (u; v) sont deux formes hermitiennes continues,
coercives sur V telles que a1 (u; u) � a2 (u; u), 8u 2 V et si b (u; v) est une forme
hermitienne continue sur V, alors :
14
�+j (a1; b;V) � �+j (a2; b;V) :
Lemme 1.2. Si b1 (u; v) et b2 (u; v) sont deux formes hermitiennes continues sur
V telles que b1 (u; u) � b2 (u; u), u 2 V et si a (u; v) est une forme hermitienne continue,
coercive sur V, alors :
�+j (a; b1;V) � �+j (a; b2;V) :
Lemme 1.3. Si (V1;H; a) et (V2;H; a) sont deux triplets variationnels tels
que V1 ,! V2 alors:
�+j (a; b;V1) � �+j (a; b;V2) :
Nous introduisons l�inégalité de Hardy qui joue le même rôle que l�inégalité de Poincaré
quand le domaine est borné.
Inégalité de Hardy [20] :
Il existe une constante C = C (n) > 0 telle que
ZRn
ju (x)j2
jxj2dx � C
ZRnjru (x)j2 dx (n � 3)
pour toute u 2 C10 (Rn) :
1.5 Identité de Picone
Pour des fonctions di¤érentiables u; v; v 6= 0; nous avons :
ZRnv2���r�u
v
����2 dx� ZRnjruj2 dx =
ZRn
u2
v2jrvj2 dx� 2
ZRn
u
vru:rvdx
= �ZRnr�u2
v
�:rvdx
15
En e¤et, pour la première équation nous avons :
ZRnv2���r�u
v
����2 dx� ZRnjruj2 dx =
ZRnv2����1vru� u
v2rv����2 dx� Z
Rnjruj2 dx
=
ZRn
u2
v2jrvj2 dx� 2
ZRn
u
vru:rvdx
Pour aboutir à la deuxième équation, il su¢ t de multiplier l�équation suivante
ZRnr�uu
v
�dx =
ZRn
u
vrudx+
ZRnur�uv
�dx = 2
ZRn
u
vrudx�
ZRn
u2
v2rvdx
par (�rv).
Nous étudions dans ce qui suit l�inégalité de Harnack à l�espace Rn tout entier. Pour
rappel, nous rencontrons les développements concernant cette inégalité dans Stampacchia
[36] quand le domaine est borné.
1.6 Inégalité de Harnack dans Rn
Nous considérons l�opérateur elliptique
Lu = �nX
i;j=1
@
@xj
�aij@u
@xi+ dju
�+
nXi=1
bi@u
@xi+ cu
!(1.9)
Nous supposons que l�opérateur L est uniformément elliptique c�est à dire qu�il existe
une constante > 0; telle que
nXi=1
aij (x) �i�j � j�j2 (x 2 Rn; � 2 Rn) (1.10)
Nous supposons que
16
8>>>>>><>>>>>>:
jaijj �M
bi 2 Ln (Rn)
di 2 Lr (Rn)
c 2 L r2 (Rn) ; avec r > n
8x 2 Rn (1.11)
Nous désignons par Q (x0; �) le cube de centre x0 et de côté �.
Théorème 1.1 Soit u une solution positive de l�équation Lu = 0 dans Rn: Alors
pour chaque compact G tel que G � Rn; il existe une constante positive K indépendante
de u; telle que
maxGu � Kmin
Gu (1.12)
avec K = K ( ;M; c; bi; di; G)
Démonstration
Du lemme 8.4 et du lemme 8.3 (voir [36] p. 240-241) nous déduisons qu�il existe deux
constantes positives K et � telles que
minQ(x0;�1)
u � K�1
�n1
ZQ
u�dx
� 1�
: (1.13)
D�autre part, d�après le lemme 8.4, nous avons
maxQ(x0;�2)
u � K�1
�n2
ZQ
juj2 dx� 1
2
: (1.14)
Pour achever la démonstration il su¢ t de démontrer l�existence d�une constante K telle
que, pour �2 > �1 nous avons
�1
�n2
ZQ(x0;�1)
u2dx
� 12
� K�1
�n1
ZQ(x0;�2)
u�dx
� 1�
(1.15)
Si (1.15) est valable nous avons avec une constante convenable K
17
maxQ(x0;�1)
u � K minQ(x0;�2)
u � K minQ(x0;�1)
u; (1.16)
Le passage de (1.16) à (1.12) se fait alors de façon standard par recouvrement �ni.
Pour montrer (1.15); nous posons � =n
n� 2 =2�
2et nous supposons que l�exposant
� à droite de (1.15) soit tel que ��s 6= 1 pour s entier (il su¢ t éventuellement de
prendre � un peu plus petit). Soit h un entier tel que ��h � 2: Nous posons qs = ��s
et rs = �2 � s�2 � �1h
et nous utilisons le lemme 8.1, (voir [36] p. 239) avec � = 1 sur
Q (x0; rs+1) et � � 0 hors de Q (x0; rs) et j�xj �2
rs+1 � rs=
2h
�2 � �1:
Nous obtenons
�ZQ(x0;rs+1)
uqs+1dx
� 1qs+1
� C
(�2 � �1)2qs
�ZQ(x0;rs)
u�dx
� 1�
et en multipliant pour s = 0; 1; :::; h� 1; nous avons
�1
�n1
ZQ(x0;�1)
uqhdx
� 1qh
� c0�n�2 �
� nqh
1
(�2 � �1)n�(1���n)
�1
�n2
ZQ(x0;�2)
u�dx
� 1�
d�où (1.15) si�2 � �1�2
� r > 0:
�Théorème 1.2 Soit u une solution positive dans Rn de l�équation Lu =
nXi=1
(fi)xi
où fi 2 Lp (Rn) avec p > n: Il existe une constante K > 0 telle que, si x0 2 Rn et � est
su¢ samment petit nous avons
maxQ(x0;�)
u � K minQ(x0;�)
u+nXi=1
kfikLp(Rn) �1�n
p
!: (1.17)
Preuve
Soit x0 un point quelconque de Rn.
Soit R est su¢ samment petit de façon que la forme a (u; v) associée à L est coercive sur
H10 (Q (x0; R)) (voir théorème 3.1 dans [36] p. 200):
18
Si 2� < R nous posons u = v +w où w est la solution dans H10 (Q (x0; 2�)) de l�équation
Lw =X
(fi)xi ; v est une solution de l�équation homogène Lv = 0 avec v = u sur
@Q (x0; 2�) : Grâce au principe du maximum (voir théorème 3.6 [36] p. 206) v est positive
dans @Q (x0; 2�) : Alors d�après le théorème 1.1, nous avons
maxQ(x0;�)
v � K minQ(x0;�)
v:
Mais nous avons
min v +minw � minu � maxu � min v
donc
maxQ(x0;�)
u � maxQ(x0;�)
v + maxQ(x0;�)
w � K minQ(x0;�)
v + maxQ(x0;�)
w
� K
�minQ(x0;�)
u� minQ(x0;�)
w
�+ maxQ(x0;�)
w � K minQ(x0;�)
u+K maxQ(x0;�)
jwj
Mais d�après le théorème 4.2 (voir [36] p. 215) nous avons
maxQ(x0;�)
jwj � K 0X
kfikLp(Rn) �1�n
p
�Corollaire 1.1 Si l�opérateur L véri�e (1.10) et (1.11); alors les solutions non
négatives de Lu = 0 sont positives ou identiquement nulles.
Preuve
Soit 0 un ouvert tel que 0 � Rn: En e¤et,
Si min0u = 0; alors v = u+ � (� > 0) est une solution de l�équation
Lv = �
"c�
nXi=1
@di@xi
#
19
Nous avons
Lv = �nX
i;j=1
@
@xj
�aij@ (u+ �)
@xi+ dj (u+ �)
�+
nXi=1
bi@ (u+ �)
@xi+ c (u+ �)
!
= �nX
i;j=1
@
@xj
�aij@u
@xi+ dju+ dj�
�+
nXi=1
bi@u
@xi+ cu+ c�
!
= �nX
i;j=1
@
@xj
�aij@u
@xi+ dju
��
nXj=1
@
@xjdj�+
nXi=1
bi@u
@xi+ cv
!+ c�
Lv = �
"c�
nXi=1
@di@xi
#D�après le théorème 1.2, nous avons,
max0v � K�
�1 + kck
Lr2 (Rn) + kdikLr(Rn)
�Donc
max0u = 0
�
20
Chapitre 2
Opérateurs de type Schrödinger
2.1 Introduction
Dans ce chapitre nous considérons le problème aux valeurs propres
8><>:��u+ q (x)u = �g (x)u
u !jxj!+1
0dans Rn; n � 3 (2.1)
où q et g sont des fonctions mesurables ; q � 0 (non identiquement nul) et g de signe non
constant et décroit "assez vite" à l�in�ni.
Notre objectif est de montrer que le problème (2.1) admet un spectre discret. En suite
nous montrons que la première valeur propre �1 est principale. De plus elle est simple
c�est à dire de multiplicité un.
Une première étude a été élaborée par [11], quand q � 0 et g à support compact.
Des résultats sur la non existence de valeurs propres principales positives �gurent dans
le travail de [13] quand q � 0 etRR2 gdx > 0. Dans [20], l�auteur a considéré le casR
R2 gdx ? 0 et q � 0:Un cas est étudié par [22] où le potentiel q est strictement positif ou nul pour des
ouverts non bornés de R2:
Nous montrons que pour une classe des potentiels q; le problème (2.1) admet un
21
spectre discret. Précisément si q 2 Ln2 (Rn) alors le problème (2.1) admet deux suites
in�nies dénombrables de valeurs propres tendant vers plus ou moins l�in�ni.
2.2 Notation
Nous désignons par 2� le conjugué de Sobolev de 2 i.e. 2� =2n
n� 2Nous introduisons les fonctions suivantes sur Rn :
� (x) =�1 + jxj2
�� 12 (2.2)
et
p� = �2� (x) ; � > 0: (2.3)
Nous dé�nissons l�espace :
V (Rn) =nu 2 D0 (Rn) ; (p1)
12 u 2 L2 (Rn) ; ru 2 L2 (Rn)
o: (2.4)
que l�on munit de la norme usuelle :
kukV(Rn) =�Z
Rnjruj2 + p1 juj2 dx
� 12
:
V (Rn) est un espace de Hilbert (voir [31] p. 230).
Nous dé�nissons des parties de V comme suit :
V� =�u 2 V j
ZRng juj2 dx ? 0
�: (2.5)
Nous supposons que
q 2 Ln2 (Rn) et 9� > 1; 9K > 0; jg (x)j � K�
1 + jxj2�� ; 8x 2 Rn (2.6)
Multiplions les deux membres de (2.1) par une fonction test v et intégrons
22
ZRn��uvdx+
ZRnquvdx = �
ZRnguvdx
Nous obtenons
ZRnrurvdx+
ZRnquvdx = �
ZRnguvdx
Posons
a (u; v) =
ZRnrurvdx+
ZRnquvdx et b (u; v) =
ZRnguvdx
Une formulation variationnelle du problème (2.1) est donnée par
8<: trouver (u; �) 2 V� R; u 6= 0; tels que
a (u; v) = �b (u; v)(2.7)
2.3 Existence de valeurs propres principales
Dé�nition 2.1. Soit � une valeur propre du problème (2.1). � est dite valeur
propre principale si la fonction propre associée ne change pas de signe.
La forme a (u; v) est continue sur V. En e¤et,
ja (u; v)j =����Z
Rnrurvdx+
ZRnquvdx
����
ja (u; v)j ��Z
Rnjruj2 dx
� 12�Z
Rnjrvj2 dx
� 12
+
�ZRnjq (x)j
n2 dx
� 2n
�ZRnjuj2
�dx
� 12��Z
Rnjvj2
�dx
� 12�
ja (u; v)j � krukL2(Rn) krvkL2(Rn) + kqkLn2 (Rn) kukL2� (Rn) kvkL2� (Rn)
23
ja (u; v)j � krukL2(Rn) krvkL2(Rn) + c kukL2� (Rn) kvkL2� (Rn)
et comme
V ,!L2� (Rn)
ja (u; v)j � kukV kvkV + cc1c2 kukV kvkV
ja (u; v)j �M kukV kvkV
d�où la continuité de la forme a (u; v) : sur V:
La forme a (u; v) est coercive sur V. En e¤et,
La coercivité se déduit de l�inégalité de Hardy.
a (u; u) =
ZRnjruj2 dx+
ZRnq juj2 dx
Comme q � 0; nous avons
a (u; u) �ZRnjruj2 dx
� C kuk2V
et donc la forme bilinéaire a (u; v) est coercive sur V:
Par conséquent la forme bilinéaire a (u; v) dé�nit un produit scalaire sur V équivalent
au produit scalaire usuel. Comme la forme bilinéaire b (u; v) est continue sur V, il existe
d�après le théorème de représentation de Riesz, un opérateur linéaire T continu dans
V! V tel que
b (u; v) = a (Tu; v)
24
Les valeurs propres du problème (2.7) sont exactement les inverses de valeurs propres de
T; associées aux mêmes fonctions propres.
Proposition 2.1. L�opérateur T est linéaire, continue et autoadjoint.
Preuve
La continuité de l�opérateur T est évidente, et la propriété d�être autoadjoint résulte
du fait que les formes a (u; v) et b (u; v) sont continues et hermitiennes.
�Proposition 2.2. L�opérateur T est compact.
Preuve
Soit BR la boule dans Rn de centre zéro et de rayon R.
Toute suite (un) bornée dans V reste bornée sur H1 (BR) : Comme l�injection de H1 (BR)
dans L2 (BR) est compacte, alors (un) admet une sous-suite (notée encore (un)), de Cau-
chy dans L2 (BR) : Pour tout m;n nous avons :
kT (un � um)k2V � a (T (un � um) ; T (un � um))
� 0ZRnp� j(un � um)j jT (un � um)j dx
En appliquant l�inégalité de Cauchy nous obtenons
kT (un � um)k2V � 02ZRnp2��1 j(un � um)j2 dx
� 1 kun � umk2L2(BR)
+ 21
(1 +R2)2(��1)kun � umk2V
La première quantité du membre de droite tend vers zéro.
Par hypothèse, kun � umkV est borné et1
(1 +R2)2(��1)tend vers zéro quand R tend vers
l�in�ni. Par conséquent la suite (Tun) est de Cauchy dans V et donc convergente.
�
25
Nous pouvons appliquer à T les résultats de la théorie spectrale classique des opérateurs
autoadjoints compacts.
Proposition 2.2. Le problème (2.1) admet une double in�nité dénombrable de
valeurs propres l�une positive tendant vers +1 et l�autre négative tendant vers �1
�+j = infA2Vj
supu2A\V+
8>><>>:ZRn
�jruj2 + qu2
�dxZ
Rngu2dx
9>>=>>;��j = inf
A2Vjsup
u2A\V�
8>><>>:ZRn
�jruj2 + qu2
�dxZ
Rngu2dx
9>>=>>;où Vj désigne la famille des sous-espaces de V de dimension j.
Théorème 2.1 Si le potentiel q est positif et si les hypothèses (2.2), (2.3), (2.4)
et (2.6) sont véri�ées, alors les deux premières valeurs propres �+1 et ��1 sont les seules
valeurs propres principales du problème (2.1).
Preuve
Remarquons tout d�abord que si � est une valeur propre du problème (2.1) avec le poids
g alors (��) est une valeur propre du problème (2.1) avec le poids (�g) : De ce fait, il
su¢ t d�étudier seulement l�existence des valeurs propres principales positives.
Soit �+1 la première valeur propre du problème (2.1) associée à la fonction propre � dans
V
Nous avons :
a (�; u) = �+1 b (�; u) ; 8u 2 V
Supposons que la fonction � change de signe sur Rn i.e. � = �+ � ��; où �+ (resp. ��)
la partie positive (resp. négative) de la fonction �. Donc,
26
b (�; �) =
ZRng j�j2 dx =
ZRng���+ � ����2 dx
=
ZRng���+��2 dx+ Z
Rng������2 dx
= �1 + �2
et
a (�; �) =
ZRn
�jr�j2 + q j�j2
�dx
=
ZRn
���r ��+ � �����2 + q ���+ � ����2� dx= �1 + �2
= a��+; �+
�+ a
���; ��
�tel que
�+1 =�1 + �2�1 + �2
Il est clair qu�au moins l�une des fonctions �+ ou �� appartient à V+ car � 2 V+:
Nous pouvons alors distinguer deux cas :
�1:�2 > 0
ou
�1:�2 < 0
Le premier cas implique que �+ ainsi que �� sont dans V+ et donc
27
�+1 � min��1�1;�2�2
�� a (�; �)
b (�; �)= �+1
Ce qui implique que
�+1 =�1�1=�2�2
Cette dernière équation prouve que �+ et �� sont toutes les deux des fonctions propres
associées à �+1 :
Dans le deuxième cas nous obtenons :
�+1 � max��1�1;�2�2
�� a (�; �)
b (�; �)
donc
�+1 = max
��1�1;�2�2
�Ceci veut dire que l�une des fonctions �+ ou �� est une fonction propre associée à �+1 :
Sans restreindre la généralité, supposons que �+ est une fonction propre associée à �+1 :
Appliquons l�identité de Picone à �, �+ (voir [4]) :
ZRnj�j2
����r��+������2 dx = Z
Rn
��r�+��2 dx+ ZRn
��+�2 ��
�dx
=
ZRn
��+1 g � q
� ��+�2dx+
ZRn
�q � �+1 g
� ��+�2dx = 0
ce qui implique que � = c�+:
Montrons que �+1 est la seule valeur propre principale positive du problème (2.1). Soit �
une valeur propre positive du problème (2.1) et soit ' une fonction propre associée à �+1 .
Supposons que � est principale c�est à dire que ' est strictement positive. En appliquant
encore une fois l�identité de Picone à ' et � nous trouvons :
28
ZRn'2����r��'
�����2 dx = ZRnjr�j2 dx+
ZRn�2�'
'dx (*)
=��+1 � �
� ZRng�2dx
Comme � est une valeur propre positive du problème (2.1) nous avons nécessairement :
�+1 � �
(d�après le principe du Min-Max). De l�égalité (�) nous obtenons :
ZRn'2����r��'
�����2 dx = ��+1 � �� ZRng�2dx = 0
ce qui implique que ' = c� et � = �+1 .
�Théorème 2.2 La première valeur propre �+1 du problème (2.1) est simple.
Preuve.
Nous supposons qu�il existe deux fonctions propres �1 et �2 associées à �+1 . En appliquant
l�identité de Picone à �1 et �2 nous obtenons :
ZRn�21
����r��1�2����� dx = 0
ce qui implique que les fonctions propres �1 et �2 sont linéairement dépendantes
�
29
Chapitre 3
Opérateurs du second ordre à
coe¢ cients variables
3.1 Introduction
Ce chapitre est consacré à l�étude des problèmes aux valeurs propres associés à des
opérateurs formellement autoadjoints, uniformément elliptiques d�ordre deux à coe¢ -
cients variables de la forme :
Au = �Xjij�1jjj�1
Di�aij (x)D
ju�
dans Rn n � 3.
Nous commençons par étudier des problèmes de la forme :
8><>:Au+ q (x)u = �g (x)u; x 2 Rn
u !jxj!1
0(3.1)
où A est un opérateur linéaire, elliptique et autoadjoint du second ordre de la forme :
30
A = �nX
i;j=1
@
@xi
�aij (x)
@
@xj
�Nous allons montrer sous certaines conditions sur le potentiel q et les coe¢ cients aij , le
problème ci-dessus admet deux suites in�nies dénombrables de valeurs propres, et nous
prouvons également que la première est principale et simple.
Nous supposons que les coe¢ cients aij véri�ent l�hypothèse d�uniforme ellipticité c�est à
dire :
9� > 0; 8x 2 Rn; 8� 2 Rn;nX
i;j=1
aij (x) �i�j � � j�j2 (3.2)
avec
j�j2 =nXi=1
�2i
Nous supposons que les coe¢ cients aij sont symétriques c�est à dire
aij = aji (3.3)
De plus
aij 2 L1 (Rn) (3.4)
Nous considérons la forme intégrodi¤érentielle :
a (u; v) =
ZRn
nX
i;j=1
aij (x)@u
@xi
@v
@xj+ q (x)uv
!dx
3.2 Existence de valeurs propres principales
Montrons que la forme a (u; v) est continue sur V.
En e¤et
31
ja (u; v)j =�����ZRn
nX
i;j=1
aij (x)@u
@xi
@v
@xj+ q (x)uv
!dx
�����ja (u; v)j �
ZRn
�����nX
i;j=1
aij (x)@u
@xi
@v
@xj
����� dx+ZRnjq (x)uvj dx
ja (u; v)j � c1�Z
Rnjruj2 dx
� 12�Z
Rnjrvj2 dx
� 12
+ c2
�ZRnjuj2
�dx
� 12��Z
Rnjvj2
�dx
� 12�
ja (u; v)j � c1 krukL2(Rn) krvkL2(Rn) + c2 kukL2� (Rn) kvkL2� (Rn)
� c3 kukV kvkV + c4 kukV kvkV
� c kukV kvkV
Donc la forme a (u; v) est continue
La coercivité de la forme a (u; v)
a (u; u) =
ZRn
nX
i;j=1
aij (x)@u
@xi
@u
@xj+ q (x)u2
!dx
Comme q est positif, nous avons
a (u; u) �ZRn
nXi;j=1
aij (x)@u
@xi
@u
@xjdx
En vertu de (3.2), nous obtenons
a (u; u) � cZRn(ru)2 dx:
Nous en déduisons, grâce à l�inégalité de Hardy,
32
a (u; u) �M kuk2V :
Alors la forme a (u; v) est coercive.
Nous nous intéressons à la plus petite valeur propre.
Théorème 3.1 Si le potentiel q est positif et si les hypothèses (2.6), (3.2), (3.3) et
(3.4) sont véri�ées alors la première valeur propre positive (resp. négative) du problème
(3.1) est une valeur propre principale.
Preuve.
D�après la caractérisation variationnelle de �+1 nous avons :
�+1 = inf
8>>>>><>>>>>:
RRn
nX
i;j=1
aij (x)@u
@xi
@u
@xj+ q (x)u2
!dx
ZRngu2dx
; u 2 V;ZRngu2dx > 0
9>>>>>=>>>>>;Soit � la fonction propre associée à �+1 ; donc � réalise le minimum,
i.e.
�+1 =
RRn
nX
i;j=1
aij (x)@�
@xi
@�
@xj+ q (x)�2
!dx
ZRng�2dx
;
Supposons que � change de signe, alors � = �+ � ��:
Posons
J (�; �) =
ZRn
nX
i;j=1
aij (x)@�
@xi
@�
@xj+ q (x)�2
!dx
G (�; �) =
ZRng�2dx
33
Puisque les supports de �+ et �� sont disjoints nous avons :
J (�; �) = J��+; �+
�+ J
���; ��
�
G (�; �) = G��+; �+
�+G
���; ��
�Il est clair qu�au moins l�une des fonctions �+ ou �� appartient à V+ car � 2 V+:
Nous pouvons alors distinguer deux cas :
G��+; �+
�:G���; ��
�> 0
ou
G��+; �+
�:G���; ��
�< 0
Le premier cas implique que �+ ainsi que �� sont dans V+ et donc
�+1 � min(J��+; �+
�G��+; �+
� ; J ���; ���G���; ��
�) � J (�; �)
G (�; �)= �+1
Ce qui implique que
�+1 =J��+; �+
�G��+; �+
� = J���; ��
�G���; ��
�Cette dernière équation prouve que �+ et �� sont toutes les deux des fonctions propres
associées à �+1 :
�
nXi;j=1
@u
@xi
�aij (x)
@
@xj
�+ q (x)� �+1 g (x)
!�+ = 0
�nX
i;j=1
@u
@xi
�aij (x)
@
@xj
�+ q (x)� �+1 g (x)
!�� = 0
34
Alors �+ et �� sont positives ou identiquement nulles sur Rn:(voir corollaire 1.1). Nous
obtenons une contradiction avec � qui change de signe sur Rn:
Dans le deuxième cas nous obtenons :
�+1 � max(J��+; �+
�G��+; �+
� ; J ���; ���G���; ��
�) � J (�; �)
G (�; �)
donc
�+1 = max
(J��+; �+
�G��+; �+
� ; J ���; ���G���; ��
�)
Ceci veut dire que l�une des fonctions �+ ou �� est une fonction propre associée à �+1 :
De manière arbitraire, nous considérons que �+ est la fonction propre associée à �+1 :
i.e.
J��+; �+
�= �+1 G
��+; �+
�Nous avons
J��+; �+
�+ J
���; ��
�= �+1
�G��+; �+
�+G
���; ��
��Alors
J���; ��
�= �+1 G
���; ��
�Ceci est une contradiction avec le fait que G
���; ��
�est négatif.
�Théorème 3.2 La première valeur propre �+1 du problème (3.1) est simple.
Preuve.
Nous supposons qu�il existe deux fonctions propres �1 et �2 associées à �+1 . Pour tout
� 2 R; �1 + ��2 est aussi une fonction propre associée à �+1 ; donc �1 + ��2 ne change
pas de signe. Soit A et B tels que :
35
A = f� 2 R; (�1 + ��2) � 0g ; B = f� 2 R; (�1 + ��2) � 0g
A et B sont non vides, fermés et A [ B = R: Par conséquent, il existe e� 2 A \ B tel
que �1 + e��2 = 0: Ceci implique que les fonctions propres �1 et �2 sont linéairement
dépendantes
�
3.3 Cas d�un opérateur général d�ordre deux
Nous étudions maintenant l�existence des valeurs propres associées à des opérateurs
uniformément elliptiques et autoadjoints homogènes du second ordre à coe¢ cients va-
riables.
Nous considérons le problème :
8><>:Au = �g (x)u; x 2 Rn
u !jxj!1
0(3.5)
où
A = �Xjij�1jjj�1
Di�aij (x)D
j�
Nous supposons que les coe¢ cients aij sont mesurables, bornés et positifs et qu�ils ap-
partiennent à des espaces appropriés.
Autrement dit
36
aij 2 L1 (Rn) ; si ji+ jj = 2
aij 2 Ln (Rn) ; si ji+ jj = 1 (3.6)
aij 2 Ln2 (Rn) ; si ji+ jj = 0
La forme intégrodi¤érentielle associée à l�opérateur A est :
a (u; v) =
ZRn
Xjij�1jjj�1
aij (x)DiuDjvdx
Nous retrouvons principalement les résultats du paragraphe précédent.
Proposition 3.1. Si les hypothèses (2.6), (3.2), (3.3) et (3.6) sont véri�ées. Alors
le problème (3.5) admet une double in�nité dénombrable de valeurs propres l�une positive
tendant vers +1 et l�autre négative tendant vers �1:
Théorème 3.3 Les deux premières valeurs propres �+1 et ��1 sont les seules valeurs
propres principales du problème (3.5).
Théorème 3.4 La première valeur propre �+1 du problème (3.5) est simple.
Nous reprenons de manière similaire les démonstrations déjà développées précédemment.
�
37
Conclusion générale
Le travail accompli est une extension des travaux déjà élaborés sur des domainesbornés. Le choix du potentiel s�est avéré d�une importance capitale pour l�établissement
des résultats. Nous souhaitons entreprendre le champ d�investigation sur une classe de
potentiel plus élargie. D�autre part les résultats obtenus pour le Laplacien peuvent être
étendus à des opérateurs d�ordre 2m à coe¢ cients variables. Il nous semble que la géné-
ralisation des résultats obtenus est possible en choisissant les coe¢ cients de l�opérateur
dans des espaces appropriés.
38
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