université de franche-comté – ufr sciences et techniques
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Université de Franche-Comté – UFR Sciences et Techniques
TRANSFORMÉE EN ONDELETTES : APPLICATIONS AUX PROPRIÉTÉS DIÉLECTRIQUES ET MÉCANIQUES
DE NANOSTRUCTURES CARBONÉES
Rachel LANGLET12 novembre 2004
LPM - UMR 6624, Laboratoire de Mathématiques et Applications – UMR 6623
CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Motivations du travail de thèse
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.1 – Modèle d’interactions dipolaires
1.2 – Obtention des paramètres du modèle
1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes
II - Applications
2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
2.3 – Déflexion de nanotubes
III - Transformée en ondelettes
3.1 – Introduction
3.2 – Principes de base
3.3 – Applications
Conclusion générale et perspectives
(n,0) « zig-zag » (ici un (9,0))
(n,m) « chiral » (ici un (10,5))
(n,n) « armchair » (ici un (5,5))
212 am.a n. Rπ. OA
Motivations du travail de thèse
C-CÅ,d
nmmn
m
nmmndR
cc
cc
dictance la 441 avec
2
3arcsin hélicité
32
1 rayon
22
22
SWNT – nanotubes mono-parois
Motivations du travail de thèse
MWNT – nanotubes multi-parois
Distance entre parois : d = 3,4 Å
Notation :
(n1,m1)@(n2,m2)@(n3,m3)
Nombreuses applications et potentialités des nanotubes
l’électronique grand public (écrans plats, transistors…)
la nano-mécanique (nano-balances, nano-pinces…)
les capteurs (détection de traces de molécules dangereuses, de protéines…)
le renforcement de fibres
la médecine (muscles artificiels…)…
Modélisation d’un capteur à base de nanotubes (grande sensibilité des nanotubes sous adsorption de molécules)
Réponse électromécanique des nanotubes (NEMS)
Nanotubes = petits rayons et longueurs souvent importantesDifficulté de prendre en compte la structure atomique
Modèle d’interactions dipolaires ( NT SC)
Application de la transformée en ondelettes dans nos calculs
Modélisations mésoscopiques et/ou multi-échelles
Motivations du travail de thèse
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
(2)
TR (ri ,rj) C(rj)
(2)
TR (rj ,ri) C(ri)
Id33
Id33
Id33
Id33
Eloc(r1)
Eloc(ri)
Eloc(rN)
E0(r1)
E0(ri)
E0(rN)
=•
Dipôles ponctuels en interactions :(Silberstein - Applequist)
Propagateur électrostatique du vide :
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.1 – Modèle d’interactions dipolaires
P
mol
E0
C
(ri)
N
i1
Eloc
(ri)
Champ local : i = 1,..,N
(2)
TR (ri ,rj)
Eloc
(ri)
E0
N
ji
C
(rj)
Eloc
(rj)
(2)
TR (ri ,rj)
E
(ri)
p
(rj)
Paramètre a
x
z
y
Base du nanotube
C
C
C
Base locale
C00
0C0
00C
C ( ri ) = Rt R
B [Eloc] [E0]
Renormalisation
a (Å)
pola
risa
bili
té (
Å3 )
''
1
4
11),( 3
0
2
32/3)2(
'
'
rdrr
errTj
rr
rr
jiR j
i
�
aa
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.2 – Obtention des paramètres du modèle
a (Å)
pola
risa
bili
té (
Å3 )Renormalisation
a = 1,2 Å
''
1
4
11),( 3
0
2
32/3)2(
'
'
rdrr
errTj
rr
rr
jiR j
i
�
aa
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.2 – Obtention des paramètres du modèle
a (Å)
pola
risa
bili
té (
Å3 )
Nanotube (17,0) de 16,8 Å de long
C60
Propagateur non renormalisé
Renormalisation
''
1
4
11),( 3
0
2
32/3)2(
'
'
rdrr
errTj
rr
rr
jiR j
i
�
aa
a = 1,2 Å
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.2 – Obtention des paramètres du modèle
a (Å)
pola
risa
bili
té (
Å3 )
Nanotube (17,0) de 16,8 Å de long
C60
Propagateur renormalisé
Renormalisation
a = 1,2 Å
''
1
4
11),( 3
0
2
32/3)2(
'
'
rdrr
errTj
rr
rr
jiR j
i
�
aa
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.2 – Obtention des paramètres du modèle
C
C
polarisabilités expérimentales du C60 et du C70
C60 76,5 ± 0,5 Å3 (1)
C70 102 ± 14 Å3 (2)
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.2 – Obtention des paramètres du modèle
(1) R. Antoine et al. JCP 110, 1999
(2) I. Compagnon et al. PRA 64, 2001
C
C
C
C
C
(1) C60 = 76,5 ± 0,5 Å3 et C70 = 102 ± 14 Å3
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.2 – Obtention des paramètres du modèle
C
C
C
(1) R. Antoine et al. JCP 110, 1999
(2) I. Compagnon et al. PRA 64, 2001
polarisabilités expérimentales du C60 et du C70
C60 76,5 ± 0,5 Å3 (1)
C70 102 ± 14 Å3 (2)
C
C
(2) C// / C = 3,5 ± 0,7
(1) C60 = 76,5 ± 0,5 Å3 et C70 = 102 ± 14 Å3
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.2 – Obtention des paramètres du modèle
C
C
C
(1) R. Antoine et al. JCP 110, 1999
(2) I. Compagnon et al. PRA 64, 2001
polarisabilités expérimentales du C60 et du C70
C60 76,5 ± 0,5 Å3 (1)
C70 102 ± 14 Å3 (2)
C
C
(2) C// / C = 3,5 ± 0,7
(1) C60 = 76,5 ± 0,5 Å3 et C70 = 102 ± 14 Å3
(1) et (2)
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.2 – Obtention des paramètres du modèle
C
C
C
(1) R. Antoine et al. JCP 110, 1999
(2) I. Compagnon et al. PRA 64, 2001
polarisabilités expérimentales du C60 et du C70
C60 76,5 ± 0,5 Å3 (1)
C70 102 ± 14 Å3 (2)
Permet de retrouver les polarisabilités transverses théoriques de Benedict et al. pour les tubes semi-conducteurs (TB + RPA)
C 2,47 Å3 et C 0,86 Å3
C
C
C
C
C
(2) C// / C = 3,5 ± 0,7
(1) C60 = 76,5 ± 0,5 Å3 et C70 = 102 ± 14 Å3
(1) et (2)
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.2 – Obtention des paramètres du modèle
(1) R. Antoine et al. JCP 110, 1999
(2) I. Compagnon et al. PRA 64, 2001
polarisabilités expérimentales du C60 et du C70
C60 76,5 ± 0,5 Å3 (1)
C70 102 ± 14 Å3 (2)
55 C60 55 C70
Agrégats cfc de 55 C60 C60 = 82,32 ± 0,06 Å3 (exp : 79 – 83 Å3)
55 C70 C70 = 98 ± 7 Å3 (exp : 97 – 103,5 Å3)
Valeurs cohérentes avec les résultats sur les couches minces
C70 / C60 = 1,19 assez proche des valeurs expérimentales (1,23 – 1,25)
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes
SWNT - Tubes de longueur finie
Effet de la proximité des bords des tubes pour les plus petits tubes
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes
(Ų)L
L (Å)
(Ų)L
L (Å)
SWNT - Tubes de longueur finie
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes
(Ų)L
L (Å)
(Ų)L
L (Å)
E0
SWNT - Tubes de longueur finie
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes
(Ų)L
L (Å)
(Ų)L
L (Å)
E0
SWNT - Tubes de longueur finie
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes
(Ų)L
L (Å)
(Ų)L
L (Å)
E0
SWNT - Tubes de longueur finie
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes
(Ų)L
L (Å)
(Ų)L
L (Å)
E0
SWNT - Tubes de longueur finie
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes
(Ų)L
L (Å)
(Ų)L
L (Å)
E0 E0
SWNT - Tubes de longueur finie
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes
(Ų)L
L (Å)
(Ų)L
L (Å)
E0 E0
SWNT - Tubes de longueur finie
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes
(Ų)L
L (Å)
(Ų)L
L (Å)
SWNT - Tubes de longueur finie
E0 E0
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes
(Ų)L
L (Å)
(Ų)L
L (Å)
SWNT - Tubes infinis traités avec des conditions aux limites périodiques
Dépendances en R et R² déjà obtenues par Benedict et al. (PRB 52, 1995)
Perspectives : optimiser les calculs pour avoir (R,L) et (R,L)
___ = 50,13 R + 10,81 (Å2) L
___ = 0,40 R2 + 7,95 (Å2) L
(Ų)L
R (Å)
(Ų)L
R² (Ų)
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes
MWNT - Tubes infinis traités avec des conditions aux limites périodiques
N
i1
MWNTSWN
T(i)MWNT
SWNT(N
)
MWNTInteractions dipolaires
SWNT SWNT externe
/L [Å2] /L [Å2] /L [Å2] /L [Å2]
(10,0)@(19,0)@(28,0)@(36,0)@(45,0)
2790 144 2806(45,0) 129
(36,0)@(45,0) 1632 142 1636
(10,0)@(19,0)@(28,0)@(36,0) 1886 96 1898(36,0) 89
(28,0)@(36,0) 1287 96 1295
(10,0)@(19,0)@(28,0) 1143 57 1170(28,0) 58
(19,0)@(28,0) 954 61 957
(10,0)@(19,0) 601 31 603 (19,0) 30
Polarisabilités axiales additives
L’écrantage des parois internes accentue l’anisotropie des tubes
Réponse très forte à un champ électrique extérieur
Polarisabilités transverses faibles
I - Polarisabilité des fullerènes et des nanotubes
1.3 – Polarisabilité des fullerènes et nanotubes
Bilan et perspectives
Modèle stable après élimination des divergences (renormalisation)
Lois phénoménologiques pour NT (SC) en fonction de leur géométrie
( L) polymères linéaires conjugués, pour L petit
Additivité de la polarisabilité axiale pour les MWNTs
/ exalté
Applications concrètes du modèle
II - Applications
• Modélisation d’un capteur de gaz à base de nanotubes de carbone
• Modélisation de la déflexion de nanotubes sous champ électrique
Capteur expérimental de l’équipe de Rao (Clemson University) (S. Chopra et al. APL 83, 2003)
II - Applications
0 V 20 V
(P. Poncharal et al. Science 283, 1999)
Hypothèse : électromagnétisme des milieux continus encore valable
à l’échelle nanométrique
1[rNT] [] Id — [P][E]1 + Id 0V
1
rNT — Tr [rNT]
3
II - Applications
2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées
nanotube cylindre creux : SWNT V = 2RLd avec d = 3,4 Å (distance inter-feuillets du graphite)MWNT V = 2RLd avec R rayon moyen, N nombre de parois
Résolution du système :
Champ local Eloc
Dipôle global P C(ri) Eloc(ri)
N
i1
1
Champ macroscopique E — Eloc(ri)
N
N
i1
Hypothèse : électromagnétisme des milieux continus encore valable
à l’échelle nanométrique
1[rNT] [] Id — [P][E]1 + Id 0V
1
rNT — Tr [rNT]
3
II - Applications
2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées
E0 suivant trois directions principales :
P E
Résolution du système :
Champ local Eloc
Dipôle global P C(ri) Eloc(ri)
N
i1
Hypothèse : électromagnétisme des milieux continus encore valable
à l’échelle nanométrique
1[rNT] [] Id — [P][E]1 + Id 0V
1
rNT — Tr [rNT]
3
II - Applications
2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées
1
Champ macroscopique E — Eloc(ri)
N
N
i1
E0 suivant trois directions principales :
E0x
Px(1) Py(1) Pz(1)
P
Ex(1) Ey(1) Ez(1)
E
Résolution du système :
Champ local Eloc
Dipôle global P C(ri) Eloc(ri)
N
i1
Hypothèse : électromagnétisme des milieux continus encore valable
à l’échelle nanométrique
1[rNT] [] Id — [P][E]1 + Id 0V
1
rNT — Tr [rNT]
3
II - Applications
2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées
1
Champ macroscopique E — Eloc(ri)
N
N
i1
E0 suivant trois directions principales :
Px(2) Py(2) Pz(2)
E0y
Ex(2) Ey(2) Ez(2)
Résolution du système :
Champ local Eloc
Dipôle global P C(ri) Eloc(ri)
N
i1
Hypothèse : électromagnétisme des milieux continus encore valable
à l’échelle nanométrique
1[rNT] [] Id — [P][E]1 + Id 0V
1
rNT — Tr [rNT]
3
Px(1) Py(1) Pz(1)
P
Ex(1) Ey(1) Ez(1)
E 1
Champ macroscopique E — Eloc(ri)
N
N
i1
II - Applications
2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées
E0 suivant trois directions principales :Résolution du système :
Champ local Eloc
Dipôle global P C(ri) Eloc(ri)
N
i1 Px(1)
Py(1) Pz(1)
Px(2) Py(2) Pz(2)
Px(3) Py(3) Pz(3)
E0z
P
Ex(1) Ey(1) Ez(1)
Ex(2) Ey(2) Ez(2)
Ex(3) Ey(3) Ez(3)
E
Hypothèse : électromagnétisme des milieux continus encore valable
à l’échelle nanométrique
1[rNT] [] Id — [P][E]1 + Id 0V
1
rNT — Tr [rNT]
3
II - Applications
2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées
1
Champ macroscopique E — Eloc(ri)
N
N
i1
rNT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6(3))
• graphite ABAB :
4,39 0 0
rgr 0 4,39 0
0 0 2,18
3,81 0 0
rNT 0 3,81 0
0 0 4,39
rgr = 3,65 (exp : 3(1) – 3,3(2))
• Nanotube (17,0) :
Valeurs cohérentes avec la bibliographie
II - Applications
2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées
(1) Modestov et al. Surf. Sci 417, 1998
(2) Ergun et al. Verlag Chemie, Winchheim, 1968
(3) Li et al. Nano Lett. 3, 2003
4,39
4,39
2,18
4,39
3,81
3,81
R (Å)
r NT
R rNT
rgr
Pour R donné, L rNT Cste
II - Applications
2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées
rNT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6(3))
• graphite ABAB :
4,39 0 0
rgr 0 4,39 0
0 0 2,18
3,81 0 0
rNT 0 3,81 0
0 0 4,39
rgr = 3,65 (exp : 3(1) – 3,3(2))
• Nanotube (17,0) :
graphite 3,65
R (Å)
r
(2C C )/3 1,93 Å3
II - Applications
2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées
rNT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6(3))
• graphite ABAB :
4,39 0 0
rgr 0 4,39 0
0 0 2,18
3,81 0 0
rNT 0 3,81 0
0 0 4,39
rgr = 3,65 (exp : 3(1) – 3,3(2))
• Nanotube (17,0) :
R (Å)
graphite
C C
II - Applications
2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées
rNT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6(3))
• graphite ABAB :
4,39 0 0
rgr 0 4,39 0
0 0 2,18
3,81 0 0
rNT 0 3,81 0
0 0 4,39
rgr = 3,65 (exp : 3(1) – 3,3(2))
• Nanotube (17,0) :
r
(2C C )/3 1,93 Å3
R (Å)
graphite C C
C C
anneau d’atomes
II - Applications
2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées
rNT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6(3))
• graphite ABAB :
4,39 0 0
rgr 0 4,39 0
0 0 2,18
3,81 0 0
rNT 0 3,81 0
0 0 4,39
rgr = 3,65 (exp : 3(1) – 3,3(2))
• Nanotube (17,0) :
C C
r
(2C C )/3 1,93 Å3
R (Å)
graphite C C
C C
anneau d’atomes
nanotube infini
C C
C C
II - Applications
2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées
rNT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6(3))
• graphite ABAB :
4,39 0 0
rgr 0 4,39 0
0 0 2,18
3,81 0 0
rNT 0 3,81 0
0 0 4,39
rgr = 3,65 (exp : 3(1) – 3,3(2))
• Nanotube (17,0) :
C C
r
(2C C )/3 1,93 Å3
R (Å)
graphite C C
C C
anneau d’atomes
nanotube infini
C C
C C
II - Applications
2.1 – Permittivité diélectrique statique de nanostructures carbonées
dépend de l’anisotropie de
rNT 4 – 4,3 (théorie : 4 – 6(3))
• graphite ABAB :
4,39 0 0
rgr 0 4,39 0
0 0 2,18
3,81 0 0
rNT 0 3,81 0
0 0 4,39
rgr = 3,65 (exp : 3(1) – 3,3(2))
• Nanotube (17,0) :
C C
C
r
(2C C )/3 1,93 Å3
Modélisation d’un nanotube avec Nd molécules adsorbées avec , (1)
Hypothèse : – admolécules fixes pas de polarisabilités orientationnelles– faibles taux de recouvrement Volume V cste
P 1 -1
P’Polarisation — = 0(rNT-molId) —— Bii’ E0 —
V NNd V
N+Nd
i,i’
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
(ri)
(ri)
Bi,i’ superposition des (N+Nd)2 matrices A33 avec Aii = Id33 et Aij
indépendant du dipôle permanent des admolécules
(2)
TR (ri ,rj)
(rj)
(2)
TR (ri ,rj)
Eloc
(ri)
E0
N+Nd
ji
(rj)
Eloc
(rj)
(2)
TR (ri ,rj)Nd
ji
(rj)
i = 1,..,N+Nd
(1) M. Arab et al. PRB 69, 2004, R. Langlet et al. JCP 121, 2004
1 1 — L
Effets de bords pour les plus grosses molécules : la portée de l’interaction dipolaire dépasse la taille du tube
Pentes dépendantes de la polarisabilité de l’admolécule
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
C3H7Br 12,3 Å3
NH3 2,26 Å3
O2 1,57 Å3
He 0,2 Å3
1/L (Å-1)
1,000
1,005
1,010
1,015
1,020
0,00 0,05 0,10
rNT-mol
——
rNT
Étude du rapport = nanotube (17,0), R = 6,748 Å
molxx + molyy
t = —————
2
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0 5 10 15
polarisabilité de l'adsorbat (ų)
L(1) (en Å)
ZX
Y
abscisse : t
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
rNT-mol
——
rNT
Étude du rapport =
t 1 — L
E0
E0
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0 5 10 15
polarisabilité de l'adsorbat (ų)
L(1) (en Å)
abscisse : t
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
rNT-mol
——
rNT
Étude du rapport =
t 1 — L
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
rNT-mol
——
rNT
Étude du rapport =
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0 0 10 20 30 40 50
R (Å)
(en Ų)
tf(R) = –––––
L(1) 1 t 1 —— — f(R) L
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
rNT-mol
——
rNT
Étude du rapport =
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0 0 10 20 30 40 50
R (Å)
(en Ų)
tf(R) = –––––
L(1) 1 t 1 —— — f(R) L
P ——
E V
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
rNT-mol
——
rNT
Étude du rapport =
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0 0 10 20 30 40 50
R (Å)
(en Ų)
tf(R) = –––––
L(1) 1 t 1 —— — f(R) L
P ——
E V
E varie avec R
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
rNT-mol
——
rNT
Étude du rapport =
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0 0 10 20 30 40 50
R (Å)
(en Ų)
tf(R) = –––––
L(1) 1 t 1 —— — f(R) L
P ——
E V
V = 2RLdE varie avec R
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
rNT-mol
——
rNT
Étude du rapport =
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0 0 10 20 30 40 50
R (Å)
(en Ų)
tf(R) = –––––
L(1) 1 t 1 —— — f(R) L
1 — dS r3
P ——
E V
V = 2RLdE varie avec R
NT
1 — dS r3
P ——
E V
V = 2RLd
NT
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
rNT-mol
——
rNT
Étude du rapport =
E varie avec R
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0 0 10 20 30 40 50
R (Å)
(en Ų)
tf(R) = –––––
L(1) 1 t 1 —— — f(R) L
1 1 – ——– L R(R+2h)
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
Calcul analytique simple confirmant les résultats obtenus
rNT-mol
——
rNT
Étude du rapport = hauteurs moyennes d’adsorption des admolécules 3,1 – 3,2 Å
f(R) = 0,591R(R+23,23)1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0 0 10 20 30 40 50
R (Å)
(en Ų)
tf(R) = –––––
L(1) 1 t 1 ——— — R(R+2h) L
1 — dS r3
P ——
E V
V = 2RLd
NT
1 1 – ——– L R(R+2h)
E varie avec R
{1 nanotube + 1 admolécule }
rNT-mol 1 1 1 —— 1 + —— — ——— trNT 0,591 L R(R+2h)
additivité assez-bien vérifiée pour plusieurs
admolécules
Effets coopératifs faibles
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
tt1 + t2 + t3 …
Capteur expérimental de l’équipe de Rao (Clemson University)
1 f0 —— rNT
adsorption f0 f
f0 rNT-mol— —— f rNT
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
Résultats obtenus par Rao et al. sous 1500 ppm
1,012
1,010
1,008
1,006
1,004
1,002
1,000 HF N2 O2 CO CO2 NH3 H2O C3H7Br He Ar
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
f02
—
f 2
Capteur modèle : Nanotube mono-paroi fini
1,012
1,010
1,008
1,006
1,004
1,002
1,000
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
rNT-mol
——
rNT
(17,0) + 1 admolécule
27,36 Å
HF N2 O2 CO CO2 NH3 H2O C3H7Br He Ar
1,012
1,010
1,008
1,006
1,004
1,002
1,000
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
rNT-mol
——
rNT
(17,0) infini + 1 admolécule/période (25,9 Å)
période = 25,9 Å
Capteur modèle : Nanotube mono-paroi périodique
HF N2 O2 CO CO2 NH3 H2O C3H7Br He Ar
1,012
1,010
1,008
1,006
1,004
1,002
1,000
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
rNT-mol
——
rNT
Bi-parois (9,0)@(17,0) + 1 admolécule
27,36 Å
Capteur modèle : Nanotube bi-paroi fini
HF N2 O2 CO CO2 NH3 H2O C3H7Br He Ar
1,012
1,010
1,008
1,006
1,004
1,002
1,000
II - Applications
2.2 – Modélisation d’un capteur de gaz
rNT-mol
——
rNT
Bi-parois (9,0)@(17,0) + 1 admolécule
27,36 Å
Capteur modèle : Nanotube bi-paroi fini
HF N2 O2 CO CO2 NH3 H2O C3H7Br He Ar
Bilan et perspectives
Loi phénoménologique de sensibilité d’un capteur (vérifiée analytiquement)
grande sensibilité pour les petits tubes mono-parois
Insensibilité aux dipôles permanents
Effet additif sur 1 pour plusieurs admolécules
Bon accord de nos résultats avec les résultats expérimentaux et théoriques
Meilleur accord en considérant les taux de recouvrement par une loi de
type Langmuir
Accroître la sélectivité du capteur
Désorption programmée en température pour différencier les admolécules
par leurs énergies d’adsorption
Passer à un modèle continu avec les données issues du modèle atomistique, afin de
pouvoir traiter des systèmes plus complexes (surface, fagots de tubes…)
Nanotube mono-paroi ouvert fixé à une extrémité
Potentiel de Brenner entre atomes
Champ extérieur statique et uniforme
OPTIMISATION (M.J.D. Powell)
E0
E0
P
P
II - Applications
2.3 – Déflexion de nanotubes
Moment de flexion qui tend à aligner P avec E
Énergie totale F EB EP
Potentiel de Brenner
Énergie de polarisation
E0
P
Nanotube Poutre cylindrique creuse continue
R2 - R1 = 0,66 Å ~ épaisseur des orbitales Pz
Hypothèses : - contrainte répartie linéairement suivant l’axe de la poutre - faibles déflexions
II - Applications
2.3 – Déflexion de nanotubes
2 ( ) Ex Ez z (x) — ——————— (3Lx² x³)
3 Y (R24 R1
4) L Équation de la ligne neutre
II - Applications
2.3 – Déflexion de nanotubes
Nanotube (5,0) de 100 atomes (L = 21 Å)
5
4
3
2
1
0
| z (x
) | (
Å)
x (Å)0 5 10 15 20
E0x 0,54 V.Å-1
E0z 0,054 à 0,54 V.Å-1
// 361 ų
┴ 83 ų
Déflexion sous champ électrique
II - Applications
2.3 – Déflexion de nanotubes
Nanotube (5,0) de 100 atomes (L = 21 Å)
5
4
3
2
1
0
| z (x
) | (
Å)
x (Å)0 5 10 15 20
E0x 0,54 V.Å-1
E0z 0,054 à 0,54 V.Å-1
// 361 ų
┴ 83 ų
Module d’Young moyen : Y = 1,8 TPa
Déflexion sous champ électrique
II - Applications
2.3 – Déflexion de nanotubes
Nanotube (5,0) de 100 atomes (L = 21 Å)
5
4
3
2
1
0
| z (x
) | (
Å)
x (Å)0 5 10 15 20
E0x 0,54 V.Å-1
E0z 0,054 à 0,54 V.Å-1
// 361 ų
┴ 83 ų
Module d’Young moyen : Y = 1,8 TPa
Déflexion sous champ électrique Déflexion mécanique circulaire
4 EB
Y—————— d (R2(d/2)2)
2,62 Ų/atome
d 0,66 Å
(n,m) L [Å] [Å]EB1
[eV]EB2 [eV] Y
[TPa]
(5,5) 11,2 400 -690,17 -690,08 4,60
(5,5) 11,2 1000 -690,17 -690,15 4,60
(5,5) 23,4 400-
1418,69
-1418,50
4,77
(5,5) 23,4 1000-
1418,69
-1418,66
4,78
(10,10)
23,4 1000-
2862,98
-2862,7 4,93
(10,10)
72,8 500-
8745,24
-8742,3 4,86
Module d’Young moyen : Y 4,8 TPa
(Z. Xin et al PRB 62, 2000)
Bilan et perspectivesBilan et perspectives
Première approche de la déflexion de tubes sous champ électrique
Lissage possible des résultats par un modèle continu
Permet d’accéder aux données mécaniques (module d’Young…)
Résultats corrects dans le cas de la déflexion purement mécanique
Complexifier le modèle continu
Contrainte non linéaire suivant la ligne neutre
Accélérer le modèle atomistique en passant à un modèle multi-échelles
Localement : modèle atomistique
Globalement : modèle continu utilisant les lois de variations obtenues
Extension à des tubes de tailles plus réalistes, nano-balances…
III - Transformée en ondelettes
III - Transformée en ondelettes
3.1 – Introduction
Algorithmes en N³ algorithmes en ~N og (N)
III - Transformée en ondelettes
3.1 – Introduction
Transformée en ondelettes rapide (FWT)
convolution avec une
gaussienne
discrétisation +
f(t)eitdt
Transformée de Fourier continue
f() = ^
Transformée de Fourier fenêtrée
+
f(t) g(t-t0)eitdtf(t0,) = ^
+
Transformée en ondelettes continue
da,b = f(t) dt~ 1
___
a
tb
___
a
^ +
Transformée en ondelettes discrète
dj,k = 2j/2 f(t) (2jtk) dt ~^
FT
WT
Transformée de Fourier rapide (FFT)
(a,b) = 1 k
__ , __
2j 2j
discrétisation
III - Transformée en ondelettes
3.1 – Introduction
La transformée en ondelettes mesure la similitude entre le signal et l’ondelette pour ses
différentes dilatations ( résolution) et translations ( localisation temporelle)
Vj+1 Vj Wj
échantillonnage de départ
Approximation Détails
Dans le cas diadique
Vj Fonctions d’échelles jk(x)2j/2 (2jxk)}kZ approximation
Wj Ondelettes jk(x)2j/2 (2jxk)}kZ détails
Vj Wj {0}
Bases bi-orthogonales ~ ~jZ Vj Wj et Vj Wj
1
—
2
1
—
2 +=
0 1
1
00 1Ex : Haar
ANALYSES MULTI-RÉSOLUTIONS
{0} … Vj Vj+1 … L²
III - Transformée en ondelettes
3.2 – Principes de base
^ ^ ^f(t) cj+1,k (2j+1tk) cj,k (2jtk) + dj,k (2jtk)
k
VjVj+1 Wj
f(t) échantillonnage comportant 2 points
détailsapproximation
k
j,k(t) = hk’ j+1,2k+k’(t)k
k
j,k(t) = gk’ j+1,2k+k’(t)
Relations de la double échelle : relient les ondelettes et les fonctions d’échelle entre deux niveaux de résolution successifs
Espace direct :
Idem pour l’espace dual…
—— ~h
^
cj+1,2k+
^
cj,k
—— ~g
^
cj+1,2k+
^dj,k
^dj,
^
cj,
^
cj+1,k
hk2+ gk2
Relations de reconstruction :Relations de décomposition :
k
détailsapproximation
signal
ondelette
d = 0,0041
Niveau de résolution J+1
Translations
signal
ondelette
d = 0,0041
Niveau de résolution J+1
d = 0,7195
Translations
signal
ondelette
d = 0,0041
Niveau de résolution J+1
d = 0,7195 d = 0,5001
Translations
signal
ondelette
d = 0,0041
Niveau de résolution J+1
d = 0,7195 d = 0,5001
signal
ondelette
d = 0,0003
Niveau de résolution J
Dilatations Translations
signal
ondelette
Niveau de résolution J+1
signal
ondelette
d = 0,8287
d = 0,0041 d = 0,7195 d = 0,5001
d = 0,0003
Niveau de résolution J
Dilatations Translations
signal
ondelette
Niveau de résolution J+1
signal
ondelette
d = 0,7463d = 0,8287
d = 0,0041 d = 0,7195 d = 0,5001
d = 0,0003
Niveau de résolution J
Dilatations Translations
III - Transformée en ondelettes
3.2 – Applications
matrice caractérisant les interactions dipolaires
(2)
TR (ri ,rj) C(rj)
(2)
TR (rj ,ri) C(ri)
Id33
Id33
Id33
Id33
Eloc(r1)
Eloc(ri)
Eloc(rN)
E0(r1)
E0(ri)
E0(rN)
=•
III - Transformée en ondelettes
3.2 – Applications
matrice caractérisant les interactions dipolaires => partition (Y. Li)
WT(colonnes)
WT(lignes)
III - Transformée en ondelettes
3.2 – Applications
matrice caractérisant les interactions dipolaires => partition (Y. Li)
Transformée en ondelettes d’interpolation de la matrice 1er niveau (spline d’ordre 4) Niveau maximal (spline d’ordre 4)
WT(colonnes)
WT(lignes)
III - Transformée en ondelettes
3.2 – Applications
Faible erreur sur méthode
Inefficacité de la décomposition sur un seul niveau
Précision conservée pour la décomposition complète même à 70 – 80 % de compression
Bilan et perspectivesBilan et perspectives
Transformée en ondelettes efficace avec une décomposition sur plusieurs niveaux
précision meilleure que 3% sur jusqu’à 70 - 80 % de compression
Algorithme de résolution linéaire en Nog(N) au lieu de N 3
Exprimer directement les opérateurs (propagateur électrostatique) dans une base d’ondelettes (T. A. Arias - DFT )
Seuillage : seuls les coefficients de la matrice > seuil sont calculés
d’où libération de la mémoire vive
Restriction : varier la précision de la représentation en ondelettes en
fonction des besoins
Extension à des modélisations plus réalistes par gain de mémoire et de temps
Conclusion générale
Modèle d’interactions dipolaires renormalisé
Passer à un modèle de polarisabilités dynamiques
voir hyperpolarisabilités… (L. Jensen, thèse de doctorat, 2004)
Résultats vérifiés par l’expérience (capteur, Rao et al.) loi de sensibilité
Passer à un modèle continu utilisant les résultats du code
Étudier des géométries plus complexes (fagots de tubes, « spaghettis »)
Transformée en ondelettes : outil performant pour réduire la taille mémoire
nécessaire et accélérer les calculs (70 - 80% de compression)
Exprimer directement les opérateurs (propagateur électrostatique) dans
une base d’ondelettes adaptée à la géométrie du problème
LPM - UMR 6624, Laboratoire de Mathématiques et Applications – UMR 6623
REMERCIEMENTSREMERCIEMENTS
Cl. Girardet, D. HoffmannJ.-M. Vigoureux
M. Devel et M. MeyerPh. Lambin, P. Senet et J.-P. Salvetat
F. Picaud, M. Arab pour leur collaborationV. Pouthier, S. Picaud et Ch. Ramseyer pour leurs
réponses à mes questionsToute l’équipe du LPM pour son accueil
Toute l’équipe du LPS de Namur pour leur accueil
Le Conseil Régional pour son soutien financier…et enfin tous les membres de l’AFFDU ainsi que Cl.
Filiatre
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